Modellistica, analisi e controllo di sospensioni attive per autoveicoli Appunti di Controlli Automatici

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1 Modellistica, analisi e controllo di sospensioni attive per autoveicoli Appunti di Controlli Automatici Versione giugno 2011 Ing. Alessandro Pisano

2 SOMMARIO 1. Introduzione e generalità (3) 1.1 Un po di storia (4) 2. Modelli dinamici di sospensioni per autoveicoli (6) 3. Modelli quarter-car per sospensioni passive e attive (8) 3.1 Modello single mass di una sospensione passiva (10) 3.2 Modello single mass di una sospensione attiva (15) Analisi mediante Luogo delle radici (17) feedback di accelerazione (23) Controllo dell assetto (25) 3.3 Vantaggi e svantaggi delle sospensioni attive (32) 3.4 Sospensioni semiattive (33) 4. Modello quarter-car a due masse (38) 5. Considerazioni conclusive (41) 2

3 Modellistica, analisi e controllo di sospensioni attive per autoveicoli 1. Introduzione e generalità Gli autoveicoli sono dotati di un sistema di sospensioni che, oltre a sorreggere lo chassis del veicolo, deve isolarlo dalle irregolarità del terreno per migliorare il comfort di marcia. Le sospensioni tendono a limitare le accelerazioni verticali della massa sospesa quando il veicolo transita su una sede stradale che presenta delle irregolarità. Molti veicoli impiegano sospensioni di tipo passivo, che sono le più semplici ed economiche e per questo sono le più usate nei veicoli commerciali. Sono composte da un ammortizzatore (molla Ks) e uno smorzatore viscoso (C) in parallelo i cui parametri sono fissi e scelti dalla casa costruttrice per ottenere un valore di compromesso tra le esigenze di comfort di marcia e quelle associate alla manovrabilità del veicolo (handling), anche in funzione dell impronta più o meno sportiva che si vuole conferire alla guida del mezzo. Sospensioni troppo morbide migliorano il comfort in quanto si deformano molto rapidamente assorbendo (e quindi compensando) le asperità e le brusche variazioni di quota della sede stradale, ma rischiano di ridurre la tenuta di strada a causa delle ampie oscillazioni verticali del veicolo e delle conseguenti ampie fluttuazioni della forza di contatto tra pneumatico e strada. Quando inoltre la macchina accelera o decelera, o percorre una curva, si generano sul veicolo delle forze che inducono movimenti di pitch e roll (v. Figura 2) al quale le sospensioni offrono poca resistenza. Viceversa una taratura troppo rigida garantisce migliore aderenza ma provoca un aumento delle sollecitazioni verticali sulla cassa del veicolo (basso comfort di marcia). Il problema del miglioramento del comfort di marcia viene come detto valutato in termini della minimizzazione delle accelerazioni verticali della massa. Il problema dell handling (talvolta indicato come controllo dell assetto ) viene espresso sia con riferimento alla minimizzazione delle fluttuazioni della forza di contatto tra pneumatico e strada che con l obiettivo di mantenere costante la quota rispetto al suolo delle masse sospese, a fronte delle forze, di varia natura (aerodinamica, trasferimenti di carico, ) che agiscono sulla carrozzeria in frenata, in accelerazione e in curva. Si vorrebbe simultaneamente che le sospensioni fossero morbide verso le asperità del terreno, e rigide nei confronti di forze esterne e/o inerziali. Appare chiaro come siano due specifiche contrastanti. Una sintesi efficace si traduce pertanto nell identificazione di un buon compromesso tra le due specifiche. Le macchine sportive hanno sospensioni molto rigide, prestanti in termini di assetto e tenuta di strada, ma inutilizzabili nella vita quotidiana. E chiaro come nelle competizioni sportive l aspetto delle prestazioni in termini di assetto e stabilità venga chiaramente privilegiato rispetto al comfort di marcia del pilota. 3

4 Le prestazioni ottenibili con sospensioni passive sono limitate dalla semplicità dei dispositivi di attuazione e dall insufficiente numero di gradi di libertà progettuali. In contesti spinti, come i veicoli sportivi o di alta gamma, le prestazioni fornite da sistemi passivi sono largamente insoddisfacenti, e in tali contesti si utilizzano difatti tipologie alternative di sospensioni: le sospensioni semi-attive e le sospensioni attive. Le sospensioni semi-attive sono anch esse composte da un sistema molla-smorzatore in parallelo, ma c è un attuatore e un relativo sistema di controllo in grado di variare opportunamente in linea il parametro C (costante di smorzamento) dello smorzatore. Nelle sospensioni attive, oltre alla molla e allo smorzatore vi è in più un terzo elemento, un attuatore in grado di generare una forza interna F(t) variabile nel tempo tra lo chassis del veicolo e la ruota. Tali sistemi consentono, attraverso una opportuna modulazione di tale forza, di stabilizzare il movimento e ottenere prestazioni nettamente superiori a quelle di un sistema passivo, e comunque in genere migliori anche di quelle di un sistema semi-attivo. Il problema di come calibrare tale forza sulla base delle misure disponibili è un tipico problema di controllo che, per le sue peculiarità che si indagheranno nel seguito, si presta alla applicazione delle tecniche di analisi e sintesi per sistemi lineari tempo-invarianti. 1.1 Un pò di storia Ideate da un ingegnere inglese nel 1985, le sospensioni attive vennero impiegate per la prima volta in F1 due anni dopo, nel mondiale del 1987, sulla Lotus99T-Honda (guidata da Ayrton Senna) che fu equipaggiata da un complicato sistema di "sospensioni intelligenti" a controllo elettronico grazie al quale vinse due gran premi. A partire dall'anno successivo la Williams-Renault avviò lo sviluppo di un sistema di sospensioni attive tecnicamente più semplice, nel quale il gruppo molla-ammortizzatore di ciascuna ruota venne sostituito da un sistema idraulico a controllo elettronico. Occorsero circa 2 anni perché questo sistema raggiungesse ottimi risultati, caratterizzandosi poi come l'arma vincente della casa inglese nel triennio 1991/1993. Nel 1992, piloti Nigel Mansell e Riccardo Patrese, la macchina vinse 10 gran premi, con un sistema di controllo basato su reti neurali in grado di impartire oltre 60 variazioni di assetto al secondo e di mantenere il veicolo a meno di 1 cm dalla strada senza perdere l aderenza offerta dall effetto suolo. Nel 1993 il pilota Alex Zanardi ebbe uno spaventoso incidente con tutta probabilità dovuto ad un malfunzionamento del sistema di sospensioni attive. Le sospensioni attive vennero bandite a partire dalla stagione 1994, sia per ragioni di sicurezza che anche a causa della loro estrema efficacia che avvantaggiava troppo chi ne era in possesso. Ciò ha rallentato lo sviluppo delle tecnologie per il mercato di massa. Attualmente si incontrano su pochi veicoli commerciali di alta gamma e alcuni costruttori le stanno mettendo a punto anche per motoveicoli. Le sospensioni attive e semiattive possono talvolta essere dotate di particolari sistemi sensoriali che consentono di eseguire una predizione delle condizioni future. Ad esempio, si può impiegare un sensore di distanza ad elevata banda passante opportunamente orientato (v. Figura 1) in grado di rilevare in anticipo le asperità del terreno prima che si 4

5 manifestino alle ruote, permettendo quindi alle sospensioni (al sistema di controllo delle stesse) di conoscere in anticipo le future condizioni della strada e quindi adattarsi opportunamente. Figura 1. Sistema predittivo con sensore di distanza Una soluzione alternativa è rilevare la deformazione delle sospensioni anteriori ed impiegarla come segnale di misura indicativo dell occorrenza delle asperità della strada attraverso il loro effetto in termini di deformazione delle sospensioni anteriori. Ciò consente di pianificare in anticipo, in maniera predittiva, l asseto delle sole sospensioni posteriori. Nella sezione successiva si presentano vari modelli matematici per i sistemi di sospensioni passive, attive e semiattive. Tali modelli, appartenenti alla classe dei sistemi lineari, hanno una bassa complessità, adeguata alle esigenze di utilizzare esplicitamente tali modelli per la progettazione di sistemi di controllo. Modelli più complessi ed accurati, in genere fortemente non lineari, possono essere sviluppati e sono impiegati nella pratica come strumento di analisi e verifica prestazionale off-line, per via simulativa, delle prestazioni del sistema in condizioni il più possibile realistiche. La determinazione dei valori dei parametri è estremamente problematica nei modelli complessi, e la taratura di tali modelli viene effettuata sulla base di prove sperimentali. Non è scopo della presente trattazione descrivere tali modelli complessi e le relative procedure di identificazione parametrica. Ci si limiterà pertanto a considerare semplici modelli lineari a parametri costanti per i quali possono essere utilizzati efficacemente gli strumenti di analisi e sintesi propri dei sistemi LTI (Lineari Tempo-Invarianti). 5

6 2. Modelli matematici di sospensioni per autoveicoli Anche nell ambito dei semplici sistemi LTI vi sono diverse categorie di modelli matematici, e la scelta del particolare modello dipende dal fine (analisi, sintesi), e dalle informazioni che si desidera estrarne. Un autoveicolo è un sistema enormemente complesso, con un elevatissimo numero di componenti interagenti. Schematizzazione di un autoveicolo I modelli si suddividono in tre categorie principali: Modelli Quarter-Car Modelli Half-Car Modelli Full Car Il modello quarter-car descrive la dinamica verticale di un quarto dell intero veicolo, concentrando l analisi su una singola ruota e sul relativo sistema di sospensioni. Il veicolo è in sostanza diviso in quattro sezioni che vengono modellate separatamente trascurando le mutue interazioni. Cosi facendo è possibile studiare esclusivamente movimenti traslatori verticali (heave) e non si possono caratterizzare i moti di rollio (roll), beccheggio (pitch) e imbardata (yaw) (v. Figura 2), che sono peraltro deboli in condizioni di accelerazioni modeste e di marcia rettilinea. 6

7 Figura 2. Notazione per le direzioni di movimento del veicolo Nella figura 3 è mostrato uno schema funzionale rappresentativo del modello quarter-car di un sistema di sospensioni passive. Nel modello della figura Mb rappresenta la massa sospesa (body), pari a circa un quarto della massa dell intero veicolo (inclusi i passeggeri), ed Mt rappresenta la massa non sospesa, cioè quella associata all insieme sospensione-ruota. Le variabili Xb ed Xt rappresentano rispettivamente le quote, rispetto ad un piano orizzontale di riferimento, del baricentro della massa sospesa e di quella non sospesa, mentre Xr descrive il profilo del fondo stradale. La costante elastica Kt tiene conto dell elasticità del pneumatico (il fenomeno del contatto tra la carreggiata il pneumatico è prevalentemente di natura elastica), mentre i parametri Ks e C sono rispettivamente la costante elastica e il coefficiente di smorzamento della sospensione passiva. Figura 3. Modello quarter-car di un autoveicolo con sospensioni passive Nel modello half-car la vettura è vista di lato (v. Figura 4). La ruota anteriore e la ruota posteriore, con le relative sospensioni, vengono modellate in maniera accoppiata. Tale modello 7

8 consente di rappresentare i moti di beccheggio in aggiunta ai moti traslatori verticali della parte anteriore e della parte posteriore del veicolo. x b1 beccheggio (pitch) M b x b2 x t1 x r1 x t2 tyre 1 tyre 2 x r2 Figura 4. Modello half-car di un autoveicolo con sospensioni passive Nel modello full-car (o full-vehicle) il veicolo è visto nella sua interezza. Possono essere studiati tutti i moti possibili del veicolo inclusi il rollio e l imbardata. La carrozzeria è vista come un grosso parallelepipedo indeformabile con 6 gradi di libertà. Figura 5 Modello full-vehicle di un autoveicolo con sospensioni passive 3. Modelli quarter-car per sospensioni passive e attive I modelli mostrati nelle Figure 3-5 sono rappresentativi come detto di autoveicoli con sospensioni passive con una molla e uno smorzatore in parallelo. Ora si considerino le sospensioni attive e semi-attive menzionate nella sezione introduttiva 8

9 In figura 6 si riporta lo schema della sospensione semi-attiva con lo smorzatore tempo variante C(t). In figura 7 si riporta lo schema della sospensione attiva, con la presenza dell attuatore in parallelo che applica una forza F=F(t) tra la cassa del veicolo e la ruota. C(t) Figura 6. Modello quarter-car di un autoveicolo con sospensioni semiattive Figura 7. Modello quarter-car di un autoveicolo con sospensioni attive Introduciamo una ulteriore classificazione dei modelli. I modelli quarter-car presentati in precedenza (v. Figure 3, 6, 7) modellano separatamente le masse sospese e non sospese per mezzo di due elementi inerziali separati (la massa Mb e la massa Mt). Tali tipologie di modelli vengono pertanto chiamati di tipo double-mass. E possibile ragionare su una rappresentazione ancora più semplificata delle sospensioni, che accorpa le due masse in un unico elemento inerziale, e include l elasticità del pneumatico nella molla K s. In tale tipologia di modelli, che viene detta single-mass, Mb definisce ora sia la massa di un quarto dell intera cassa dei veicolo (inclusi i passeggeri) che la massa associata all insieme sospensione-ruota. La variabile Xb rappresenta ancora la quota, rispetto ad un asse orizzontale di riferimento, del baricentro della massa sospesa, e la variabile Xt sparisce dal modello. La costante elastica Ks tiene ora conto sia della costante elastica della sospensione passiva che dell elasticità del pneumatico. 9

10 double-mass single-mass Xr Sospensione e pneumatico Sospensione Pneumatico Figura 8. Modelli quarter-car single-mass e double-mass di un autoveicolo con sospensioni passive Nei modelli single-mass si trascura, in sostanza, la dinamica della massa non sospesa descrivendo il sistema ad un livello dei dettaglio inferiore. 3.1 Modello single mass di una sospensione passiva Facciamo riferimento allo schema single mass di una sospensione passiva riportato nella Figura 8. Per quanto concerne il miglioramento del comfort, è opportuno considerare come variabile di ingresso la quota della sede stradale e come variabile di uscita la quota della cassa del veicolo, ed in particolare la sua accelerazione. Nella successive analisi sul problema del controllo dell assetto (handling) si includerà una variabile di ingresso aggiuntiva (una forza esterna agente sulla carrozzeria). Nell ipotesi di comportamento lineare per gli elementi elastici e viscosi della sospensione si può tracciare il seguente diagramma di corpo libero per lo schema single-mass in Figura 8 b r b r + r b M b b Figura 9. Diagramma di corpo libero per il modello quarter-car single-mass della sospensione passiva dove è la lunghezza di riposo della molla dell ammortizzatore. Le forze agenti sulla cassa del veicolo lungo la direzione verticale sono la forza elastica e la forza viscosa, originate dal sistema di sospensioni, e la forza peso Tali forze bilanciano la forza di inerzia e conducono alla seguente equazione dinamica 10

11 Valutiamo il valore di equilibrio assunto a regime dalla posizione in condizioni statiche, cioè quando e sotto l azione della sola forza peso. Tale valore si ricava facilmente dalla (1) ponendo a zero i termini di derivata temporale e sostituendo la condizione : Il valore di nella (2) viene detto deformazione statica della sospensione. Introducendo la nuova variabile differenza si può riscrivere l equazione (1) in una forma alternativa semplificata, completamente equivalente, dove però non sono più presenti i termini costanti e che complicherebbero le analisi seguenti. Sostituendo nella (1) la relazione si ottiene, e osservando che Risulta immediato associare alla (5) una funzione di trasferimento tra la variabile di ingresso e la variabile di uscita. Si noti come dal valore di sia possibile risalire univocamente al valore di, e viceversa. Sviluppando la (5) si ottiene Trasformando con Laplace tutti i termini della (6) si ha dalla quale ricaviamo la funzione di trasferimento cercata La funzione di trasferimento ha due poli ( e ) ed uno zero (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Lo zero è sempre reale negativo, mentre i poli e, che in dipendenza degli specifici valori dei parametri possono essere reali oppure complessi coniugati, hanno sempre parte reale negativa. Nelle sospensioni passive commerciali i parametri sono usualmente tali che (10) 11

12 (11) La (11) implica che i poli e saranno complessi coniugati, con una pulsazione naturale (12) ed un coefficiente di smorzamento che si determinano imponendo che il polinomio caratteristico della funzione di trasferimento (8) sia espresso (a meno di un coefficiente moltiplicativo costante) nella forma standard, cioè dalla uguaglianza (13) Affinché la funzione di trasferimento (8) abbia proprietà filtranti più marcate (cioè attenui il più possibile le componenti in media ed alta frequenza dell ingresso) si deve ridurre il più possibile la pulsazione naturale. La minimizzazione di, che deve essere necessariamente ottenuta riducendo la costante elastica (in quanto la massa non è un parametro modificabile dal progettista) deve però tenere in considerazione il vincolo della deflessione statica poiché la molla della sospensione deve sostenere la massa senza che la sua deformazione ecceda la lunghezza di riposo della molla. Nella figura seguente analizziamo i diagrammi di risposta in frequenza della Funzione di trasferimento (8) utilizzando due diversi set di parametri che differiscono per il valore della costante,, (14),, (15) % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE Mb=250; c=8000; k1=70000; k2=40000; % CREAZIONE OGGETTI TRANSFER FUNCTION num_g1_1=[c k1]; den_g1_1=[mb c k1]; G1_1=tf(num_G1_1,den_G1_1) num_g1_2=[c k2]; den_g1_2=[mb c k2]; G1_2=tf(num_G1_2,den_G1_2) % DIAGRAMMA DI BODE bode(g1_1,'k',g1_2,'b'),grid 12

13 Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram k=70000 G1_1 G1_ k= G1_1 G1_ Frequency (rad/sec) Figura 10. Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento (8) con i parametri (14) e (15) Nella Figura 10 osserviamo come le due Funzioni di trasferimento abbiano proprietà filtranti differenti, con la curva nera (quella corrispondente al valore di k più elevato) che mostra un diagramma dei moduli con caratteristiche filtranti meno accentuate rispetto alla curva blu. Osserviamo anche come in alta frequenza la pendenza negativa dei due diagrammi dei moduli sia pari a 20 db/decade. Se si riuscisse a cancellare in qualche modo lo zero dal numeratore, la pendenza in alta frequenza diverrebbe 40 db/decade e quindi si avrebbero proprietà filtranti più accentuate. E chiaro dalle equazioni (6),(7) come lo zero sia causato dal termine nella forza prodotta dallo smorzatore viscoso. Le cose migliorerebbero se riuscissi a realizzare uno schema come quello riportato nella Figura 11: c Xr k Figura 11. Sospensione passiva con smorzatore viscoso agganciato a un punto fisso Si avrebbe infatti una forza prodotta dallo smorzatore pari a in quanto l estremo superiore dello stesso è agganciato ad un punto fisso e non più soggetto quindi alle sollecitazioni 13

14 Phase (deg) Magnitude (db) impresse dalla strada. Ove si riuscisse a realizzare la configurazione in Figura 11 si avrebbe, in luogo della (5), la seguente equazione differenziale (16) cui corrisponderebbe la seguente Funzione di trasferimento nella quale, in effetti, non compare nessuno zero (17) Poniamo a confronto i diagrammi di bode delle Funzione di trasferimento ed per i seguenti valori dei parametri,, (18) % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE Mb=250; c=8000; k=70000; % CREAZIONE OGGETTI TRANSFER FUNCTION num_g1=[c k]; den_g1=[mb c k]; G1=tf(num_G1,den_G1) num_g2=[k]; den_g2=[mb c k]; G2=tf(num_G2,den_G2) % DIAGRAMMA DI BODE bode(g1,'k',g2,'b'),grid 20 Bode Diagram Frequency (rad/sec) 14

15 Figura 12. Diagrammi di Bode delle Funzione di trasferimento ed nelle (8) e (17) con i parametri (18) La curva blu in Figura 12, che corrisponde alla Funzione di trasferimento, ha una pendenza doppia alle alte frequenze rispetto alla curva nera associata alla e pertanto migliori proprietà filtranti in alta frequenza. Chiediamoci cosa significa realizzare lo schema in Figura 11. Si dovrebbe poter agganciare un estremo dello smorzatore a un punto fisso la cui quota verticale è solidale allo chassis, e non è ovviamente possibile implementare tale soluzione in un autoveicolo, non, almeno, per migliorare il comfort. Una soluzione simile è talvolta impiegata per smorzare le vibrazioni che il motore può trasmettere alla carrozzeria, interponendo lo smorzatore tra il motore e la carrozzeria stessa con quest ultima che funge da punto fisso di aggancio. Un effetto analogo può essere realizzato per mezzo di una sospensione attiva. 3.2 Modello single mass di una sospensione attiva Modifichiamo lo schema in Figura 8 rimuovendo lo smorzatore passivo viscoso ed inserendo in parallelo alla molla un elemento attivo, nella fattispecie un attuatore di forza (ad es. di tipo oleodinamico), in grado di generare una forza verticale arbitraria F(t) (v. Figura 13) Xb Mb k F(t) Xr Figura 13. Sospensione attiva senza smorzatore viscoso Il modello matematico del sistema in figura 13 può essere ricavato procedendo come prima. Il diagramma di corpo libero è F t r + r b b M b b Figura 14. Diagramma di corpo libero per il modello di sospensione attiva in Figura 13 15

16 che conduce al seguente bilancio di forze F t (19) Il valore di equilibrio di per F(t)=0 è analogo alla (2), quindi si può effettuare il cambio di variabile descritto nella (3) ed ottenere le seguenti equazioni F t (20) Per determinare il comportamento dinamico del sistema di sospensioni bisogna specificare il valore della forza F(t) che verrà richiesta all attuatore. Si immagini di pilotare l attuatore con un segnale di forza desiderata (set-point di forza) pari a F t (21) e si ipotizzi istantanea la risposta dell attuatore nel generare il profilo desiderato F t : F t F t (22) Sostituendo le (21)-(22) nella (19), e trasformando con Laplace si ottiene (23) dalla quale ricaviamo la Funzione di trasferimento che è in effetti analoga alla Funzione di trasferimento ricercata (17). Si è quindi visto come con sistema di sospensioni attive, in cui l attuatore viene pilotato per mezzo della semplice legge di controllo (21) in retroazione sulla velocità verticale della cassa del veicolo, sia possibile ottenere, per il legame tra e la forma desiderata (17) per la funzione di trasferimento, con due poli e nessuno zero. L inserimento di un attuatore attivo non è ovviamente una operazione indolore, in quanto gli attuatori, ad es. oleodinamici sono dotati di tutta una serie di organi accessori necessari al loro funzionamento (un compressore per il fluido, serbatoi di raccolta, servovalvole) che incrementano il peso del veicolo e nel complesso riducono l affidabilità complessiva del sistema rispetto alla versione completamente passiva. La molla in parallelo non viene rimossa in quanto è utile per sostenere il peso del veicolo riducendo l onere di forza applicata da parte dell attuatore. Servono inoltre sensori di misura per rilevare le condizioni operative del veicolo e realizzare il controllo in retroazione dell attuatore. Similarmente a quanto riportato nello schema in Figura 7, si potrebbe complicare lo schema in Figura 13 inserendo uno smorzatore viscoso passivo in parallelo alla molla e all attuatore, affinché questo possa per fungere da ausilio e ridurre l entità delle forze che devono essere esercitate dall attuatore attivo. (24) 16

17 3.2.1 Analisi mediante luogo delle radici Ora effettuiamo delle analisi grafiche con lo strumento del luogo delle radici per capire l effetto della variazione dei singoli parametri sul comportamento del sistema a ciclo chiuso. Il Luogo delle radici è una costruzione grafica che consente di predire il comportamento delle radici del polinomio al variare del coefficiente reale. Tale costruzione è di frequente impiego nei controlli perche il polinomio caratteristico a ciclo chiuso di un sistema di controllo in retroazione è dato da, dove e sono rispettivamente il numeratore ed il denominatore della Funzione di trasferimento a ciclo aperto ed è il guadagno variabile di un regolatore proporzionale a monte del processo. In questa sede applichiamo lo strumento di analisi mediante LdR in maniera non convenzionale. Consideriamo il polinomio caratteristico della Funzione di trasferimento (24) Con riferimento alla decomposizione (25), se si pone e si può analizzare per mezzo del luogo delle radici l effetto sui poli a ciclo chiuso della variazione del guadagno. Se invece si pone e si può analizzare per mezzo del luogo delle radici corrispondente l effetto sui poli a ciclo chiuso della variazione del guadagno. Una volta specificata la forma dei polinomi e nella (25), il luogo si traccia con le regole note associando i poli (cioè i punti di partenza dei rami del luogo) alle radici del polinomio, ed associando gli zeri (cioè i punti di arrivo dei rami del luogo che non convergono agli asintoti) alle radici del polinomio. (25) (26) Analisi rispetto al parametro c 1 Tracciamo il luogo delle radici con per analizzare l effetto sui poli a ciclo chiuso della variazione del guadagno. Tale analisi si riferisce ad una rappresentazione modificata del sistema di controllo, come nella seguente Figura 14a, che vede il coefficiente inserito come il guadagno di un regolatore proporzionale. Si verifica facilmente che i poli a ciclo chiuso del sistema in Figura 14a (ove tutti gli ingressi esterni, cioè il set-point e i disturbi, sono posti pari a zero) coincidono con quelli del sistema (24). (27) 17

18 Figura 14a Schema a blocchi equivalente del sistema a ciclo chiuso al variare del guadagno c 1 Il tragitto dei poli a ciclo chiuso del sistema in Figura 14a può essere studiato mediante applicazione diretta del LdR, che è quanto ci si appresta a fare. Si presti attenzione al fatto che gli zeri del sistema a ciclo chiuso in Figura 14a, che ha FdT a ciclo chiuso (27a) sono differenti da quelli del sistema (24).Pertanto l equivalenza tra le due rappresentazioni si ha solamente per quanto riguarda la collocazione dei poli a ciclo chiuso, ma non per quanto riguarda gli zeri. Le radici del polinomio sono complesse coniugate e immaginarie pure Il modulo dei poli è pari alla pulsazione naturale. Per valori molto piccoli di i poli della Funzione di trasferimento (24) sono pertanto molto prossimi alla coppia di radici immaginarie pure. Il luogo delle radici associato ha il seguente andamento (nel tracciamento si è utilizzata la notazione grafica x =poli, o =zeri). I rami del luogo partono dai poli, raggiungono un punto doppio p * del semiasse reale negativo (che appartiene interamente al luogo) e successivamente uno dei due rami converge verso la radice del polinomio, cioè verso l origine, mentre il secondo ramo evolve verso sinistra nel semiasse reale negativo, lungo la direzione asintotica, alla sinistra del punto doppio p * Sono evidenziati nei due rami i versi di percorrenza. (28) 18

19 Im j n p * Re j n Figura 15. Luogo delle radici al variare del guadagno c 1 Partendo da valori di molto piccoli, in corrispondenza di cui si hanno due poli complessi coniugati, debolmente smorzati, molto prossimi ai punti di origine, al crescere di i poli della Funzione di trasferimento (24) convergono verso l asse reale negativo e raggiungono, per un particolare valore del guadagno (detto smorzamento critico ), il punto doppio p*. Per valori di superiori a si ha un ramo che converge verso sinistra ed un ramo che converge verso destra, cioè verso l origine. Si ha pertanto un progressivo allungamento della durata del transitorio, che come sappiamo è governata dalla costante di tempo del modo dominante (in altre parole, dalla distanza dall origine del polo reale negativo più vicino all origine). Verifichiamo le analisi svolte tracciando in Matlab il luogo delle radici mantenendo gli stessi valori di prima per e e facendo variare tra 100 e % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE Mb=250; k=70000; % DEFINIZIONE POLINOMI P1 E P2 P1=[Mb 0 k]; P2=[1 0]; % LUOGO DELLE RADICI NELL INTERVALLO 100 < C1 < rlocus(p2,p1,[100:1:15000]) Il luogo delle radici in Figura 15a conferma la costruzione riportata nella Figura

20 Imaginary Axis 20 Root Locus 15 c 1 = c 1 =15000 c 1 = c 1 = Real Axis Figura 15a Luogo delle radici per,, e Per calcolare la posizione del punto doppio, risolviamo la corrispondente equazione dei punti doppi Nel caso in esame si ha n=2, m=1, e : (29) (30) La (30) ha come soluzioni. Solo la soluzione reale negativa appartiene al luogo, quindi il punto doppio sarà collocato in di taratura. Per taratura si intende il determinare il valore del guadagno in corrispondenza del 20. La pulsazione naturale corrispondente ai valori e è pari a. La posizione del punto doppio nella Figura 15a è pertanto in accordo con l analisi. Ora determiniamo il valore dello smorzamento critico, il valore del guadagno in corrispondenza del quale il luogo incontra il punto doppio. Quando, la Funzione di trasferimento (24) ha due poli coincidenti reali negativi. Tale valore si potrebbe determinare facilmente analizzando l espressione in forma chiusa delle radici del polinomio caratteristico (26) e determinando il valore positivo di ottiene r (32) per il quale si annulla il termine sotto radice quadrata. Si Ricaviamo tale valore per via alternativa, utilizzando il luogo delle radici e in particolare la formula (33)

21 quale il luogo raggiunge un punto preassegnato del luogo stesso. Nel caso in esame il guadagno è =c 1. Il valore di associato a un determinato punto dipende come noto dalle distanze di tale punto da tutti i poli (le radici del polinomio P 1 (s)) e da tutti gli zeri (le radici del polinomio P 2 (s)). Nella Figura 16 le distanze del punto doppio dai due poli sono indicate con,, e la distanza del punto doppio dallo zero è indicata con r. Da semplici considerazioni geometriche si ricava che = r (34) r j n j n Figura 16. Taratura del punto doppio del luogo delle radici in Figura 15 Il valore del guadagno associato al punto doppio si ottiene dalla formula (35) dove è il guadagno in alta frequenza della funzione di trasferimento. Il guadagno in alta frequenza di una Funzione di trasferimento è il rapporto tra i coefficienti di grado più elevato del numeratore e denominatore. Nel caso in esame (si faccia anche riferimento alla Figura 14a) (36) quindi si ha, e applicando la formula (35) si ottiene b (37) che risulta essere in accordo con la (33). Analisi rispetto al parametro k Per quanto concerne l analisi rispetto al parametro k si deve porre come detto in precedenza: (38) 21

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