Modellistica, analisi e controllo di sospensioni attive per autoveicoli

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1 Modellistica, analisi e controllo di sospensioni attive per autoveicoli Appunti di Controlli Automatici Versione 1.0 Ing. Alessandro Pisano

2 SOMMARIO 1. Introduzione e generalità (3) 1.1 Un po di storia (4) 2. Modelli dinamici di sospensioni per autoveicoli (6) 3. Modelli quarter-car per sospensioni passive e attive (8) 3.1 Modello single mass di una sospensione passiva (10) 3.2 Modello single mass di una sospensione attiva (15) Analisi mediante Luogo delle radici (16) feedback di accelerazione (21) Controllo dell assetto (24) 3.3 Vantaggi e svantaggi delle sospensioni attive (30) 3.4 Sospensioni semiattive (31) 4. Modello quarter-car a due masse (XX) 5. Considerazioni conclusive (XX) 2

3 Modellistica, analisi e controllo di sospensioni attive per autoveicoli 1. Introduzione e generalità Gli autoveicoli sono dotati di un sistema di sospensioni che, oltre a sorreggere lo chassis del veicolo, deve isolarlo dalle irregolarità del terreno per migliorare il comfort di marcia. Le sospensioni tendono a limitare le accelerazioni verticali della massa sospesa quando il veicolo transita su una sede stradale che presenta delle irregolarità. Molti veicoli impiegano sospensioni di tipo passivo, che sono le più semplici ed economiche e per questo sono le più usate nei veicoli commerciali. Sono composte da un ammortizzatore (molla Ks) e uno smorzatore viscoso (C) in parallelo i cui parametri sono fissi e scelti dalla casa costruttrice per ottenere un valore di compromesso tra le esigenze di comfort di marcia e quelle associate alla manovrabilità del veicolo (handling), anche in funzione dell impronta più o meno sportiva che si vuole conferire alla guida del mezzo. Sospensioni troppo morbide migliorano il comfort in quanto si deformano molto rapidamente assorbendo (e quindi compensando) le asperità e le brusche variazioni di quota della sede stradale, ma rischiano di ridurre la tenuta di strada a causa delle ampie oscillazioni verticali del veicolo e delle conseguenti ampie fluttuazioni della forza di contatto tra pneumatico e strada. Quando inoltre la macchina accelera o decelera, o percorre una curva, si generano sul veicolo delle forze che inducono movimenti di pitch e roll (v. Figura 2) al quale le sospensioni offrono poca resistenza. Viceversa una taratura troppo rigida garantisce migliore aderenza ma provoca un aumento delle sollecitazioni verticali sulla cassa del veicolo (basso comfort di marcia). Il problema del miglioramento del comfort di marcia viene come detto valutato in termini della minimizzazione delle accelerazioni verticali della massa. Il problema dell handling (talvolta indicato come controllo dell assetto ) viene espresso sia con riferimento alla minimizzazione delle fluttuazioni della forza di contatto tra pneumatico e strada che con l obiettivo di mantenere costante la quota rispetto al suolo delle masse sospese, a fronte delle forze, di varia natura (aerodinamica, trasferimenti di carico, ) che agiscono sulla carrozzeria in frenata, in accelerazione e in curva. Si vorrebbe simultaneamente che le sospensioni fossero morbide verso le asperità del terreno, e rigide nei confronti di forze esterne e/o inerziali. Appare chiaro come siano due specifiche contrastanti. Una sintesi efficace si traduce pertanto nell identificazione di un buon compromesso tra le due specifiche. Le macchine sportive hanno sospensioni molto rigide, prestanti in termini di assetto e tenuta di strada, ma inutilizzabili nella vita quotidiana. E chiaro come nelle competizioni sportive l aspetto delle prestazioni in termini di assetto e stabilità venga chiaramente privilegiato rispetto al comfort di marcia del pilota. 3

4 Le prestazioni ottenibili con sospensioni passive sono limitate dalla semplicità dei dispositivi di attuazione e dall insufficiente numero di gradi di libertà progettuali. In contesti spinti, come i veicoli sportivi o di alta gamma, le prestazioni fornite da sistemi passivi sono largamente insoddisfacenti, e in tali contesti si utilizzano difatti tipologie alternative di sospensioni: le sospensioni semi-attive e le sospensioni attive. Le sospensioni semi-attive sono anch esse composte da un sistema molla-smorzatore in parallelo, ma c è un attuatore e un relativo sistema di controllo in grado di variare opportunamente in linea il parametro C (costante di smorzamento) dello smorzatore. Nelle sospensioni attive, oltre alla molla e allo smorzatore vi è in più un terzo elemento, un attuatore in grado di generare una forza interna F(t) variabile nel tempo tra la cassa del veicolo e la ruota. Tali sistemi consentono, attraverso una opportuna modulazione di tale forza, di stabilizzare il movimento e ottenere prestazioni nettamente superiori a quelle di un sistema passivo, e comunque in genere migliori anche di quelle di un sistema semi-attivo. Il problema di come calibrare tale forza sulla base delle misure disponibili è un tipico problema di controllo che, per le sue peculiarità che si indagheranno nel seguito, si presta alla applicazione delle tecniche di analisi e sintesi per sistemi lineari tempo-invarianti. 1.1 Un pò di storia Ideate da un ingegnere inglese nel 1985, le sospensioni attive vennero impiegate per la prima volta in F1 due anni dopo, nel mondiale del 1987, sulla Lotus99T-Honda (guidata da Ayrton Senna) che fu equipaggiata da un complicato sistema di "sospensioni intelligenti" a controllo elettronico grazie al quale vinse due gran premi. A partire dall'anno successivo la Williams-Renault avviò lo sviluppo di un sistema di sospensioni attive tecnicamente più semplice, nel quale il gruppo molla-ammortizzatore di ciascuna ruota venne sostituito da un sistema idraulico a controllo elettronico. Occorsero circa 2 anni perché questo sistema raggiungesse ottimi risultati, caratterizzandosi poi come l'arma vincente della casa inglese nel triennio 1991/1993. Nel 1992, piloti Nigel Mansell e Riccardo Patrese, la macchina vinse 10 gran premi, con un sistema di controllo basato su reti neurali in grado di impartire oltre 60 variazioni di assetto al secondo e di mantenere il veicolo a meno di 1 cm dalla strada senza perdere l aderenza offerta dall effetto suolo. Nel 1993 Alex Zanardi ebbe uno spaventoso incidente con tutta probabilità dovuto ad un malfunzionamento del sistema di sospensioni attive. Le sospensioni attive vennero bandite a partire dalla stagione 1994, sia per ragioni di sicurezza che anche a causa della loro estrema efficacia che avvantaggiava troppo chi ne era in possesso. Ciò ha rallentato lo sviluppo delle tecnologie per il mercato di massa. Attualmente si incontrano su pochi veicoli commerciali di alta gamma e alcuni costruttori le stanno mettendo a punto anche per motoveicoli. Le sospensioni attive e semiattive possono talvolta essere dotate di particolari sistemi sensoriali che consentono di eseguire una predizione delle condizioni future. Ad esempio, si può impiegare un sensore di distanza ad elevata banda passante opportunamente orientato (v. Figura 1) in grado di rilevare in anticipo le asperità del terreno prima che si 4

5 manifestino alle ruote, permettendo quindi alle sospensioni (al sistema di controllo delle stesse) di conoscere in anticipo le future condizioni della strada e quindi adattarsi opportunamente. Figura 1. Sistema predittivo con sensore di distanza Una soluzione alternativa è rilevare la deformazione delle sospensioni anteriori ed impiegarla come segnale di misura indicativo dell occorrenza delle asperità della strada attraverso il loro effetto in termini di deformazione delle sospensioni anteriori. Ciò consente di pianificare in anticipo, in maniera predittiva, l asseto delle sole sospensioni posteriori. Nella sezione successiva si presentano vari modelli matematici per i sistemi di sospensioni passive, attive e semiattive. Tali modelli, appartenenti alla classe dei sistemi lineari, hanno una bassa complessità, adeguata alle esigenze di utilizzare esplicitamente tali modelli per la progettazione di sistemi di controllo. Modelli più complessi ed accurati, in genere fortemente non lineari, possono essere sviluppati e sono impiegati nella pratica come strumento di analisi e verifica prestazionale off-line, per via simulativa, delle prestazioni del sistema in condizioni il più possibile realistiche. La determinazione dei valori dei parametri è estremamente problematica nei modelli complessi, e la taratura di tali modelli viene effettuata sulla base di prove sperimentali. Non è scopo della presente trattazione descrivere tali modelli complessi e le relative procedure di identificazione parametrica. Ci si limiterà pertanto a considerare semplici modelli lineari a parametri costanti per i quali possono essere utilizzati efficacemente gli strumenti di analisi e sintesi propri dei sistemi LTI (Lineari Tempo-Invarianti). 5

6 2. Modelli matematici di sospensioni per autoveicoli Anche nell ambito dei semplici sistemi LTI vi sono diverse categorie di modelli matematici, e la scelta del particolare modello dipende dal fine (analisi, sintesi), e dalle informazioni che si desidera estrarne. Un autoveicolo è un sistema enormemente complesso, con un elevatissimo numero di componenti interagenti. Schematizzazione di un autoveicolo I modelli si suddividono in tre categorie principali: Modelli Quarter-Car Modelli Half-Car Modelli Full Car Il modello quarter-car descrive la dinamica verticale di un quarto dell intero veicolo, concentrando l analisi su una singola ruota e sul relativo sistema di sospensioni. Il veicolo è in sostanza diviso in quattro sezioni che vengono modellate separatamente trascurando le mutue interazioni. Cosi facendo è possibile studiare esclusivamente movimenti traslatori verticali (heave) e non si possono caratterizzare i moti di rollio (roll), beccheggio (pitch) e imbardata (v. Figura 2), che sono peraltro deboli in condizioni di accelerazioni modeste e di marcia rettilinea. 6

7 Figura 2. Notazione per le direzioni di movimento del veicolo Nella figura 3 è mostrato uno schema funzionale rappresentativo del modello quarter-car di un sistema di sospensioni passive. Nel modello della figura Mb rappresenta la massa sospesa (body), pari a circa un quarto della massa dell intera cassa dei veicolo (inclusi i passeggeri), ed Mt rappresenta la massa non sospesa, cioè quella associata all insieme sospensione-ruota. Le variabili Xb ed Xt rappresentano rispettivamente le quote, rispetto ad un asse orizzontale di riferimento, del baricentro della massa sospesa e di quella non sospesa, mentre Xr descrive il profilo del fondo stradale. La costante elastica Kt tiene conto dell elasticità del pneumatico (il fenomeno del contatto tra la carreggiata il pneumatico è prevalentemente di natura elastica), mentre i parametri C e Ks sono la costante elastica e il coefficiente di smorzamento della sospensione passiva. Figura 3. Modello quarter-car di un autoveicolo con sospensioni passive Nel modello half-car la vettura è vista di lato (v. Figura 4). La ruota anteriore e la ruota posteriore, con le relative sospensioni, vengono modellate in maniera accoppiata. Tale modello consente di rappresentare i moti di beccheggio in aggiunta ai moti traslatori verticali della parte anteriore e della parte posteriore del veicolo. 7

8 x b1 beccheggio (pitch) M b x b2 x t1 x t2 x r1 tyre 1 x r2 tyre 2 Figura 4. Modello half-car di un autoveicolo con sospensioni passive Nel modello full-car (o full-vehicle) il veicolo è visto nella sua interezza. Possono essere studiati tutti i moti possibili del veicolo inclusi il rollio e l imbardata. La carrozzeria è vista come un grosso parallelepipedo indeformabile con 6 gradi di libertà. Figura 5 Modello full-vehicle di un autoveicolo con sospensioni passive 3. Modelli quarter-car per sospensioni passive e attive I modelli mostrati nelle Figure 3-5 sono rappresentativi come detto di autoveicoli con sospensioni passive con una molla e uno smorzatore in parallelo. Ora si considerino le sospensioni attive e semi-attive menzionate nella sezione introduttiva 8

9 In figura 6 si riporta lo schema della sospensione semi-attiva con lo smorzatore tempo variante C(t). In figura 7 si riporta lo schema della sospensione attiva, con la presenza dell attuatore in parallelo che applica una forza F=F(t) tra la cassa del veicolo e la ruota. C(t) Figura 6. Modello quarter-car di un autoveicolo con sospensioni semiattive Figura 7. Modello quarter-car di un autoveicolo con sospensioni attive Introduciamo una ulteriore classificazione dei modelli. I modelli quarter-car presentati in precedenza (v. Figure 3, 6, 7) modellano separatamente le masse sospese e non sospese per mezzo di due elementi inerziali separati (la massa Mb e la massa Mt). Tali tipologie di modelli vengono pertanto chiamati di tipo double-mass. E possibile ragionare su una rappresentazione ancora più semplificata delle sospensioni, che accorpa le due masse in un unico elemento inerziale, e include l elasticità del pneumatico nella molla K s. In tale tipologia di modelli, che viene detta single-mass, Mb definisce ora sia la massa di un quarto dell intera cassa dei veicolo (inclusi i passeggeri) che la massa associata all insieme sospensione-ruota. La variabile Xb rappresenta ancora la quota, rispetto ad un asse orizzontale di riferimento, del baricentro della massa sospesa, e la variabile Xt sparisce dal modello. La costante elastica Ks tiene ora conto sia della costante elastica della sospensione passiva che dell elasticità del pneumatico. 9

10 double-mass single-mass Xr Sospensione e pneumatico Sospensione Pneumatico Figura 8. Modelli quarter-car single-mass e double-mass di un autoveicolo con sospensioni passive Nei modelli single-mass si trascura, in sostanza, la dinamica della massa non sospesa. 3.1 Modello single mass di una sospensione passiva Facciamo riferimento allo schema single mass di una sospensione passiva riportato nella Figura 8. Per quanto concerne il miglioramento del comfort, è opportuno considerare come variabile di ingresso la quota della sede stradale e come variabile di uscita la quota della cassa del veicolo, ed in particolare la sua accelerazione. Nella successive analisi sul problema del controllo dell assetto (handling) si includerà una variabile di ingresso aggiuntiva (una forza esterna agente sulla carrozzeria). Nell ipotesi di comportamento lineare per gli elementi elastici e viscosi della sospensione si può tracciare il seguente diagramma di corpo libero per lo schema single-mass in Figura 8 ( ) + ( ) M b Figura 9. Diagramma di corpo libero per il modello quarter-car single-mass della sospensione passiva dove è la lunghezza di riposo della molla dell ammortizzatore. Le forze agenti sulla cassa del veicolo lungo la direzione verticale sono la forza elastica = + ( ) e la forza viscosa = ( ), originate dal sistema di sospensioni, e la forza peso Tali forze bilanciano la forza di inerzia e conducono alla seguente equazione dinamica 10

11 = ( ) + ( ) + (1) Valutiamo il valore di equilibrio assunto a regime dalla posizione in condizioni statiche, cioè quando = 0 e sotto l azione della sola forza peso. Tale valore si ricava facilmente dalla (1) ponendo a zero i termini di derivata temporale e sostituendo la condizione = 0: = Il valore di nella (2) viene detto deformazione statica della sospensione. Introducendo la nuova variabile differenza = = (3) si può riscrivere l equazione (1) in una forma alternativa semplificata, completamente equivalente, dove però non sono più presenti i termini costanti e che complicherebbero le analisi seguenti. Sostituendo nella (1) la relazione = +, e osservando che = = (4) si ottiene = ( ) + ( ) (5) Risulta immediato associare alla (5) una funzione di trasferimento tra la variabile di ingresso e la variabile di uscita. Si noti come dal valore di sia possibile risalire univocamente al valore di, e viceversa. Sviluppando la (5) si ottiene + + = + (6) Trasformando con Laplace tutti i termini della (6) si ha + + () = + () (7) dalla quale ricaviamo la funzione di trasferimento cercata (2) () = () () = (8) La funzione di trasferimento () ha due poli ( e ) ed uno zero =, = ± (9) (10) Lo zero è sempre reale negativo, mentre i poli e, che in dipendenza degli specifici valori dei parametri possono essere reali oppure complessi coniugati, hanno sempre parte reale negativa. Nelle sospensioni passive commerciali i parametri sono usualmente tali che (11) 11

12 La (11) implica che i poli e saranno complessi coniugati, con una pulsazione naturale = / (12) ed un coefficiente di smorzamento = (13) che si determinano imponendo che il polinomio caratteristico della funzione di trasferimento (8) sia espresso nella forma standard Affinché la funzione di trasferimento (8) abbia proprietà filtranti più marcate (cioè attenui il più possibile le componenti in media ed alta frequenza dell ingresso) si deve ridurre il più possibile la pulsazione naturale. La minimizzazione di, che deve essere necessariamente ottenuta riducendo la costante elastica (in quanto la massa non è un parametro modificabile dal progettista) deve però tenere in considerazione il vincolo della deflessione statica poiché la molla della sospensione deve sostenere la massa senza che la sua deformazione ecceda la lunghezza di riposo della molla. Nella figura seguente analizziamo i diagrammi di risposta in frequenza della Funzione di trasferimento (8) utilizzando due diversi set di parametri che differiscono per il valore della costante = 250, = 8000 /, = = / (14) = 250, = 8000 /, = = / (15) % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE Mb=250; c=8000; k1=70000; k2=40000; % CREAZIONE OGGETTI TRANSFER FUNCTION num_g1_1=[c k1]; den_g1_1=[mb c k1]; G1_1=tf(num_G1_1,den_G1_1) num_g1_2=[c k2]; den_g1_2=[mb c k2]; G1_2=tf(num_G1_2,den_G1_2) % DIAGRAMMA DI BODE bode(g1_1,'k',g1_2,'b'),grid 12

13 Bode Diagram k=70000 G1_1 G1_2 Magnitude (db) k= G1_1 G1_2 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 10. Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento (8) con i parametri (14) e (15) Nella Figura 10 osserviamo come le due Funzioni di trasferimento abbiano proprietà filtranti differenti, con la curva nera (quella corrispondente al valore di k più elevato) che mostra un diagramma dei moduli con caratteristiche filtranti meno accentuate rispetto alla curva blu. Osserviamo anche come in alta frequenza la pendenza negativa dei due diagrammi dei moduli sia pari a 20 db/decade. Se si riuscisse a cancellare in qualche modo lo zero dal numeratore, la pendenza in alta frequenza diverrebbe 40 db/decade e quindi si avrebbero proprietà filtranti più accentuate. E chiaro dalle equazioni (6),(7) come lo zero sia causato dal termine nella forza prodotta dallo smorzatore viscoso. Le cose migliorerebbero se riuscissi a realizzare uno schema come quello riportato nella Figura 11: c Xr k Figura 11. Sospensione passiva con smorzatore viscoso agganciato a un punto fisso Si avrebbe infatti una forza prodotta dallo smorzatore pari a = in quanto l estremo superiore dello stesso è agganciato ad un punto fisso e non più soggetto quindi alle sollecitazioni 13

14 impresse dalla strada. Ove si riuscisse a realizzare la configurazione in Figura 11 si avrebbe, in luogo della (5), la seguente equazione differenziale = + ( ) (16) cui corrisponderebbe la seguente Funzione di trasferimento nella quale, in effetti, è sparito lo zero dal numeratore. () = () () = (17) Poniamo a confronto i diagrammi di bode delle Funzione di trasferimento () ed () per i seguenti valori dei parametri = 250, = 8000 /, = / (18) % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE Mb=250; c=8000; k=70000; % CREAZIONE OGGETTI TRANSFER FUNCTION num_g1=[c k]; den_g1=[mb c k]; G1=tf(num_G1,den_G1) num_g2=[k]; den_g2=[mb c k]; G2=tf(num_G2,den_G2) % DIAGRAMMA DI BODE bode(g1,'k',g2,'b'),grid 20 Bode Diagram 0 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 12. Diagrammi di Bode delle Funzione di trasferimento () ed () nelle (8) e (17) con i parametri (18) 14

15 La curva blu in Figura 12, che corrisponde alla Funzione di trasferimento (), ha una pendenza doppia alle alte frequenze rispetto alla curva nera associata alla () e pertanto migliori proprietà filtranti in alta frequenza. Chiediamoci cosa significa realizzare lo schema in Figura 11. Si dovrebbe poter agganciare un estremo dello smorzatore a un punto fisso la cui quota verticale è solidale allo chassis, e non è ovviamente possibile implementare tale soluzione in un autoveicolo, non, almeno, per migliorare il comfort. Una soluzione simile è talvolta impiegata per smorzare le vibrazioni che il motore può trasmettere alla carrozzeria, interponendo lo smorzatore tra il motore e la carrozzeria stessa con quest ultima che funge da punto fisso di aggancio. Un effetto analogo può essere realizzato per mezzo di una sospensione attiva. 3.2 Modello single mass di una sospensione attiva Modifichiamo lo schema in Figura 8 rimuovendo lo smorzatore passivo viscoso ed inserendo in parallelo alla molla un elemento attivo, nella fattispecie un attuatore di forza (ad es. di tipo oleodinamico), in grado di generare una forza verticale arbitraria F(t) (v. Figura 13) Xb Mb k F(t) Xr Figura 13. Sospensione attiva senza smorzatore viscoso Il modello matematico del sistema in figura 13 può essere ricavato procedendo come prima. Il diagramma di corpo libero è () + ( ) M b Figura 14. Diagramma di corpo libero per il modello di sospensione attiva in Figura 13 15

16 che conduce al seguente bilancio di forze = () + ( ) + (19) Il valore di equilibrio di per F(t)=0 è analogo alla (2), quindi si può effettuare il cambio di variabile descritto nella (3) ed ottenere le seguenti equazioni + = () + (20) Per determinare il comportamento dinamico del sistema di sospensioni bisogna specificare il valore della forza F(t) che verrà richiesta all attuatore. Si immagini di pilotare l attuatore con un segnale di forza desiderata (set-point di forza) pari a () = (21) e si ipotizzi istantanea la risposta dell attuatore nel generare il profilo desiderato (): () = () (22) Sostituendo le (21)-(22) nella (19), e trasformando con Laplace si ottiene + + () = () (23) dalla quale ricaviamo la Funzione di trasferimento () = () = () () = 1 (24) che è in effetti analoga alla Funzione di trasferimento ricercata (17). Si è quindi visto come con sistema di sospensioni attive, in cui l attuatore viene pilotato per mezzo della semplice legge di controllo (21) in retroazione sulla velocità verticale della cassa del veicolo, sia possibile ottenere, per il legame tra e, la forma desiderata (17) per la funzione di trasferimento (), con due poli e nessuno zero. L inserimento di un attuatore attivo non è ovviamente una operazione indolore, in quanto gli attuatori, ad es. oleodinamici sono dotati di tutta una serie di organi accessori necessari al loro funzionamento (un compressore per il fluido, serbatoi di raccolta, servovalvole) che incrementano il peso del veicolo e nel complesso riducono l affidabilità complessiva del sistema rispetto alla versione completamente passiva. La molla in parallelo non viene rimossa in quanto è utile per sostenere il peso del veicolo riducendo l onere di forza applicata da parte dell attuatore. Servono inoltre sensori di misura per rilevare le condizioni operative del veicolo e realizzare il controllo in retroazione dell attuatore. In accordo con lo schema in Figura 7, si potrebbe complicare lo schema in Figura 13 inserendo uno smorzatore viscoso passivo in parallelo alla molla e all attuatore per fungere da ausilio e ridurre l entità delle forze che devono essere esercitate dall attuatore attivo. 16

17 3.2.1 Analisi mediante luogo delle radici Ora effettuiamo delle analisi grafiche con lo strumento del luogo delle radici per capire l effetto della variazione dei singoli parametri sul comportamento del sistema a ciclo chiuso. Il Luogo delle radici è una costruzione grafica che consente di predire il comportamento delle radici del polinomio () = () + () (25) al variare del coefficiente reale 0. Tale costruzione è di frequente impiego nei controlli perche il polinomio caratteristico a ciclo chiuso di un sistema di controllo in retroazione è dato da () = () + (), dove () e () sono rispettivamente il numeratore ed il denominatore della Funzione di trasferimento a ciclo aperto ed α è il guadagno variabile di un regolatore proporzionale a monte del processo. In questa sede applichiamo lo strumento di analisi mediante LdR in maniera non convenzionale. Consideriamo il polinomio caratteristico della Funzione di trasferimento (24) () = + + (26) Con riferimento alla decomposizione (25), se si pone () = + e () = si può analizzare per mezzo del luogo delle radici l effetto sui poli a ciclo chiuso della variazione del guadagno. Se invece si pone () = + e () = 1 si può analizzare per mezzo del luogo delle radici corrispondente l effetto sui poli a ciclo chiuso della variazione del guadagno. Una volta specificata la forma dei polinomi () e () nella (25), il luogo si traccia con le regole note associando i poli (cioè i punti di partenza dei rami del luogo) alle radici del polinomio (), ed associando gli zeri (cioè i punti di arrivo dei rami del luogo che non convergono agli asintoti) alle radici del polinomio (). Analisi rispetto al parametro c 1 Tracciamo il luogo delle radici con 1 () = + () = (27) per analizzare l effetto sui poli a ciclo chiuso della variazione del guadagno c. Le radici del polinomio () sono complesse coniugate e immaginarie pure, = ± = ± (28) Il modulo dei poli, è pari alla pulsazione naturale. Per valori molto piccoli di i poli della Funzione di trasferimento (24) sono pertanto molto prossimi alla coppia di radici immaginarie 17

18 pure,. I rami del luogo partono dai poli,, ed inoltre uno dei due rami converge verso la radice del polinomio (), cioè verso l origine. Il luogo delle radici associato ha il seguente andamento (nel tracciamento si è utilizzata la notazione grafica x =poli, o =zeri). Sono evidenziati nei due rami i versi di percorrenza. Im jω n p * R e jω n Figura 15. Luogo delle radici al variare del guadagno c 1 Partendo da valori molto piccoli, al crescere di i poli della Funzione di trasferimento (24) convergono verso l asse reale negativo e raggiungono, per un particolare valore del guadagno (detto smorzamento critico ), il punto doppio p*. Per valori di superiori a si ha un ramo che converge verso sinistra ed un ramo che converge verso destra, cioè verso l origine. Si ha pertanto un progressivo allungamento della durata del transitorio, che come sappiamo è governata dalla costante di tempo del modo dominante (in altre parole, dalla distanza dall origine del polo reale negativo più vicino all origine). Verifichiamo le analisi svolte tracciando in Matlab il luogo delle radici mantenendo gli stessi valori di prima per e e facendo variare tra 100 e % PARAMETRI DELLA SOSPENSIONE Mb=250; k=70000; % DEFINIZIONE POLINOMI P1 E P2 P1=[Mb 0 k]; P2=[1 0]; % LUOGO DELLE RADICI NELL INTERVALLO 100 < C1 < rlocus(p2,p1,[100:1:15000]) Il grafico in Figura 15a conferma la costruzione riportata nella Figura

19 20 Root Locus 15 c 1 =100 Imaginary Axis c 1 = c 1 = c 1 = Real Axis Figura 15a Luogo delle radici per = 70000, = 250, e Per calcolare la posizione del punto doppio, risolviamo la corrispondente equazione dei punti doppi = (29) Nel caso in esame si ha n=2, m=1,, = ± e = 0: + = 0 + = = 0 (30) La (30) ha come soluzioni, = ±. Solo la soluzione reale negativa = appartiene al luogo, quindi il punto doppio sarà collocato in = = = /. La pulsazione naturale corrispondente ai valori = e = 250 è pari a La posizione del punto doppio nella Figura 15a è pertanto in accordo con l analisi. Ora determiniamo il valore dello smorzamento critico, il valore del guadagno in corrispondenza del quale il luogo incontra il punto doppio. Quando =, la Funzione di trasferimento (24) ha due poli coincidenti reali negativi. Tale valore si potrebbe determinare facilmente analizzando l espressione in forma chiusa delle radici del polinomio caratteristico (26), = ± (32) e determinando il valore positivo di per il quale si annulla il termine sotto radice quadrata. Si ottiene = 1 = 2 (33) Ricaviamo tale valore per via alternativa, utilizzando il luogo delle radici e in particolare la formula di taratura. Per taratura si intende il determinare il valore del guadagno α in corrispondenza del 19

20 quale il luogo raggiunge un punto preassegnato del luogo stesso. Nel caso in esame il guadagno è α=c 1. Il valore di α associato a un determinato punto dipende come noto dalle distanze di tale punto da tutti i poli (le radici del polinomio P 1 (s)) e da tutti gli zeri (le radici del polinomio P 2 (s)). Nella Figura 16 le distanze del punto doppio dai due poli sono indicate con,, e la distanza del punto doppio dallo zero è indicata con. Da semplici considerazioni geometriche si ricava che = =2 = (34) = jω n jω n Figura 16. Taratura del punto doppio del luogo delle radici in Figura 15 Il valore del guadagno associato al punto doppio si ottiene dalla formula = (35) dove è il guadagno in alta frequenza della funzione di trasferimento (). Il guadagno in alta () frequenza di una Funzione di trasferimento è il rapporto tra i coefficienti di grado più elevato del numeratore e denominatore. Nel caso in esame () () = (36) quindi si ha =, e applicando la formula (35) si ottiene = = 2 = 2 (37) che risulta essere in perfetto accordo con la (33). Analisi rispetto al parametro k Per quanto concerne l analisi rispetto al parametro k si deve porre come detto in precedenza: () = + () = 1 (38) 20

21 Il polinomio () ha ora un polo nell origine ed un polo reale negativo = 0 2 = 1 (39) Il polinomio () non ha radici, quindi i due rami del luogo convergono verso due asintoti. Il luogo ha il seguente andamento 2 Figura 17. Luogo delle radici al variare del guadagno k Il punto doppio sta nel punto medio tra e (cioè nel punto ). Il valore critico del guadagno corrispondente al punto doppio si può ricavare sempre annullando il termine sotto radice quadrata nella (32). Si ottiene = E possibile ricavare l equazione (40) per via alternativa applicando la formula di taratura del luogo. Per valori molto piccoli di, la Funzione di trasferimento (24) ha un polo reale negativo molto prossimo all origine ed un polo reale negativo a distanza maggiore. Al crescere di i due poli vanno uno verso l altro. Quando = = (40) i due poli si sono reciprocamente raggiunti nel punto doppio e la Funzione di trasferimento (24) ha due poli coincidenti reali negativi entrambi pari a. Aumentando oltre il valore critico (40) compare nella Funzione di trasferimento (24) una coppia di poli complessi coniugati la cui parte reale rimane costante e la cui parte immaginaria cresce con. La durata del transitorio rimane pertanto la stessa, e l unico effetto dell incremento di oltre il valore critico (40) è un incremento della ampiezza delle oscillazioni transitorie. 21

22 3.2.2 Feedback di accelerazione Vediamo se con leggi di controllo in retroazione più complesse rispetto alle (21)-(22) si riesce a migliorare le prestazioni del sistema di sospensioni attive. Sfruttiamo in particolare la possibilità di trasdurre e retroazionare l accelerazione verticale della cassa () = () = = (41) Sostituendo la (41) nella (19), e trasformando con Laplace si ottiene ( + ) + + () = () (42) dalla quale ricaviamo la Funzione di trasferimento () = () = () () = ( ) (43) Appare chiaro dalla (43) come la retroazione di accelerazione consenta di introdurre una modifica fittizia delle proprietà inerziali. Si può in sostanza modificare mediante feedback il valore equivalente della massa del veicolo facendo in modo che il comportamento dinamico della sospensione sia quello di un sistema con un valore della massa equivalente pari a = + (44) Ora si possono controllare le caratteristiche della Funzione di trasferimento (43) avendo a disposizione tre parametri di taratura:, ed. Il polinomio caratteristico della (43) è () = ( + ) + + (45) al quale corrispondono i seguenti valori della pulsazione naturale e del coefficiente di smorzamento: = = ( ) (46) (47) Vi è da tenere in considerazione il vincolo introdotto dalla deformazione statica. La molla della sospensione deve sostenere la massa senza che la sua deformazione ecceda la lunghezza di riposo della molla (v. eq. (3)). Proponiamo una metodologia per scegliere in sequenza i valori dei tre parametri di taratura. Si può scegliere innanzitutto il parametro per soddisfare il vincolo della deformazione statica. Fissato per la deformazione statica un valore desiderato sufficientemente inferiore alla lunghezza di riposo (ad es. = 0.1 ), si determina il valore di affinchè sia soddisfatta la seguente diseguaglianza 22

23 (48) Come secondo passo si determina il valore di imponendo un valore desiderato, per la pulsazione naturale mediante inversione della (46): = (49), Come terzo e ultimo passo si determina il valore di imponendo un valore desiderato per lo smorzamento mediante inversione della (47) = 2( + ) (50) Si potrebbe anche, in alternativa, scegliere di variare in linea il coefficiente in dipendenza dal valore di Mb (misurato per mezzo di una cella di carico) per fare in modo che la massa equivalente + si mantenga costante. In tal modo si realizzerebbe un sistema di sospensioni attive le cui prestazioni sono insensibili, entro certi limiti, alle variazioni del carico sospeso (che è un parametro soggetto a grosse variazioni in funzione anche del numero dei passeggeri) Analizziamo mediante luogo delle radici l effetto della variazione del guadagno. Il polinomio caratteristico (45) può essere decomposto nella forma (25) ponendo = e 1 () = + + () = 2 (51) Si possono avere due diversi andamenti del luogo in funzione del fatto che il polinomio () abbia radici e complesse coniugate o reali negative. Si noti che il polinomio () ha due radici coincidenti nell origine ( = = 0) Nel primo caso (caso A, radici e complesse coniugate) si ha l andamento in Figura 17a. Nel secondo caso (caso B, radici e reali negative) si l andamento in Figura 17b. In entrambi i casi i poli vengono attratti dall origine al crescere del guadagno Caso A Caso B Figura 17ab. Luoghi delle radici al variare del guadagno 23

24 3.2.3 Controllo dell assetto I modelli di sospensioni attive introdotti finora, e le relative analisi, sono state prevalentemente orientate al problema del miglioramento del comfort con riferimento alla compensazione delle accelerazioni verticali dell abitacolo causate dalle irregolarità della sede stradale. Per il controllo dell assetto (handling) è importante valutare la risposta del sistema in presenza di forze esterne disturbanti agenti sulla carrozzeria che possono essere dovute ad effetti aerodinamici (sia transitori che permanenti), trasferimenti di carico in frenata o in accelerazione, etc. Disegniamo pertanto il seguente schema a blocchi in cui compare una forza esterna d(t) d(t) Xb Mb k F(t) Xr Figura 18. Sospensione attiva con forza disturbante d(t) Al fine di studiare il problema del mantenimento di una quota costante per la massa sospesa a fronte di variazioni della forza disturbante d(t), da assumersi non nota, occorre un modello matematico differente. Sulla base dello schema a blocchi riportato in figura 18, si può scrivere la seguente equazione = () () + ( ) + (52) che, con il solito cambio di variabile (3) viene trasformata come segue + = () () + (53) Ora proponiamo una particolare forma per la legge di controllo in retroazione della forza in cui alle aliquote già presenti nella (41) (le retroazioni di velocità e di accelerazione) si aggiunge una componente aggiuntiva che chiamiamo (): () = + () = + () (54) Sostituendo la (54) nella (53) si ottiene ( + ) + + = () () + (55) 24

25 Il sistema descritto dalla (55) può essere rappresentato mediante il seguente schema a blocchi () () () ( + ) + + Figura 18. Schema a blocchi associato alla eq. (55) Gli anelli di retroazione già richiusi nella (41), e la molla k, garantiscono, se ben tarati, un comportamento soddisfacente per quanto concerne il miglioramento del comfort. La componente aggiuntiva () può essere progettata quindi per assolvere a specifiche di controllo concernenti l handling. E obbiettivo della componente aggiuntiva () garantire la reiezione (o comunque una sufficiente attenuazione) a regime degli effetti della forza disturbante d(t). E possibile ottenere tale obbiettivo realizzando una struttura in retroazione come quella riportata nella Figura 19 () () 0 + () () ( + ) + + Figura 19. Schema in retroazione per il controllo dell assetto Si noti che, sfruttando la linearità e quindi il principio di sovrapposizione, si potrebbe senza perdita di generalità alcuna porre = 0 nello schema in Figura 19. Si deve in sostanza progettare la forma del regolatore R(s). E opportuno considerare un disturbo d(t) costante perché se il sistema di controllo riesce, con prontezza, ad operare la reiezione di un disturbo costante allora attenuerà significativamente anche disturbi tempo varianti sufficientemente lenti. Appare chiaro dalla Figura 19 come al fine di garantire la reiezione a regime di un disturbo d(t) costante si deve realizzare un sistema di controllo di tipo 1 in cui il polo nell origine sia presente a monte del punto di inserimento del disturbo. Poiché il disturbo d(t) si sovrappone alla uscita del regolatore R(s) il polo nell origine dovrà necessariamente essere contenuto nel regolatore R(s). La soluzione più semplice appare la realizzazione di un controllore puramente integrale, al quale corrisponde la seguente Funzione di trasferimento 25

26 () = La componente di controllo aggiuntiva () viene pertanto calcolata come segue () = () (56) (57) Avendo posto = 0 il sistema a ciclo chiuso con il regolatore (56) può essere rappresentato come segue () () + 1 ( + ) + + Figura20. Sistema a ciclo chiuso con regolatore integrale Affinché il sistema di controllo goda delle desiderate proprietà di robustezze nei confronti del disturbo d(t), l inserimento del controllore R(s) deve mantenere la stabilità a ciclo chiuso del sistema in retroazione in Figura 20. Dimostriamo attraverso il teorema del valore finale che il sistema di controllo in Figura 20 garantisce la reiezione asintotica di un disturbo d(t) a gradino. Poniamo () = ( ) (58) La Funzione di trasferimento tra il disturbo d(t) è l uscita () si calcola come segue () = () () = = () () () = ( ) (59) Se il seguente polinomio caratteristico a ciclo chiuso ha tutte le radici a parte reale negativa () = ( + ) (60) allora il valore a regime dell uscita ()in risposta ad un gradino costante () = =. si può valutare per mezzo del teorema del valore finale = 26

27 lim () = lim ()() = lim ( + ) = = lim = 0 ( ) (61) Abbiamo riverificato la nota proprietà dei sistemi di controllo di tipo 1 che garantiscono la reiezione a regime di tutti quei disturbi costanti che si immettono nel sistema di controllo a valle del blocco contenente il polo nell origine. La retroazione integrale (57) garantisce quindi la reiezione di un disturbo costante sotto l ipotesi di sistema stabile a ciclo chiuso. Risulta cruciale nell esempio in esame il fatto che il polo nell origine in catena diretta sia collocato a monte del punto di intervento del disturbo, e quindi nel controllore. Ricaviamo la condizione sui parametri di progetto che garantisca la stabilità a ciclo chiuso del sistema, che garantisca cioè che il polinomio caratteristico (60) abbia tutte le radici a parte reale negativa. Applichiamo a tal fine il Criterio di Routh-Hurwitz (RH). Il criterio di RH consente di affermare se un dato polinomio abbia tutte le radici contenute nel semipiano sinistro, e in caso contrario di determinare il numero di radici a parte reale positiva. Il criterio si basa sulla costruzione di una certa tabella di numeri (tabella di RH). E stato dimostrato che un polinomio ha tutte le radici a parte reale negativa se e solo se tutti gli elementi della prima colonna della Tabella di RH hanno segno concorde. Per il polinomio caratteristico (60) si costruisce la seguente Tabella di RH Figura 21. Tabella di RH per il polinomio (60) Gli elementi della prima colonna hanno segno concorde se e solo se il coefficiente A è strettamente positivo. Tale condizione si verifica se > ( + ) (62) L equazione (62) rappresenta pertanto il vincolo di progetto sui coefficienti del sistema di sospensioni attive che deve essere soddisfatto al fine di garantire la stabilità del polinomio caratteristico (60) della Funzione di trasferimento a ciclo chiuso. 27

28 Con la metodologia applicata nei paragrafi e analizziamo mediante il luogo della radici l effetto della variazione dei coefficienti di progetto, e sui poli a ciclo chiuso (cioè sulle radici del polinomio (60)). Per comodità riportiamo nuovamente l espressione del polinomio caratteristico () = ( + ) z Ricordiamo come si debba a tal fine fare riferimento alla seguente decomposizione () = () + () (63) dove è il parametro di progetto che si intende analizzare. Analisi rispetto al parametro Si deve porre = e scegliere i polinomi () e () come segue () = ( + 1 ) () = 1 (64) Il polinomio () ha ora un polo nell origine e due poli che possono essere sia reali negativi che complessi coniugati. Per valori tipici dei parametri i poli del polinomio () sono in genere complessi coniugati e si assumerà tale ipotesi per il tracciamento del luogo. Il polinomio () non ha invece radici, quindi i tre rami del luogo convergono verso i tre asintoti. Sotto l ipotesi che il polinomio () ammetta una coppia di radici complesse coniugate Il luogo ha l andamento riportato in Figura 22 Figura 22. Luogo delle radici del polinomio (60) al variare del guadagno La condizione (62) mi consente di esprimere il valore del guadagno critico (il massimo valore consentito per oltre il quale due dei tre rami del luogo entrano nel semipiano destro dell instabilità) come segue = (65) 28

29 Si può osservare come la scelta di non sia semplice in quanto per valori molto piccoli la risposta è molto lenta (a causa del polo a ciclo chiuso molto vicino all origine) mentre per valori troppo grandi abbiamo visto esserci il rischio dell instabilità. Analisi rispetto al parametro Si deve porre = e scegliere i polinomi () e () come segue () = ( + 1 ) () = (66) Il polinomio () ha tre radici delle quali una () è reale negativa mentre le atre due (, ) sono complesse coniugate e instabili.. Il polinomio () ha invece una radice nell origine = 0. Figura 23. Luogo delle radici del polinomio (60) al variare del guadagno Va rimarcato come il luogo delle radici in Figura 23 parta dal semipiano destro ed evolva successivamente verso il semipiano sinistro della stabilità al crescere del guadagno k. Il valore del guadagno critico va ora inteso come un valore minimo per il guadagno al di sotto del quale il sistema a ciclo chiuso è instabile. Il valore di si ricava analiticamente sempre dalla condizione (62): = Analisi rispetto al parametro Si deve porre = e scegliere i polinomi () e () come segue () = ( + 1 ) () = (68) Il polinomio () ha tre radici delle quali una () è reale negativa mentre le atre due (, ) sono complesse coniugate e instabili. Il polinomio () ha invece due radici nell origine = = 0. (67) 29

30 , Figura 24. Luogo delle radici del polinomio (60) al variare del guadagno Il luogo in Figura 24 presenta un comportamento analogo a quello in Figura 23: parte dal semipiano destro ed evolve successivamente verso il semipiano della stabilità al crescere del guadagno c 1. Anche stavolta il valore del guadagno critico va inteso come un valore minimo per il guadagno al di sotto del quale il sistema a ciclo chiuso è instabile. Il esatto di si ricava analiticamente sempre dalla condizione (62): = + 1 (69) 3.3 Vantaggi e svantaggi delle sospensioni attive Il progetto utilizzando sospensioni passive è molto semplice perche vi sono, come parametri di liberi, i due soli valori e. Le tecniche di analisi per sistemi lineari del secondo ordine consentono di predire con semplicità il comportamento del sistema. Il progetto richiede un compromesso tra - Attenuazione dei disturbi in media e alta frequenze dovuti alle asperità del manto stradale - Problemi di risonanza - Deflessione statica e dinamica - Stabilità robusta a fronte di incertezze parametriche (es. variazione della massa del veicolo) Talvolta si impiegano molle e smorzatori non lineari in cui le forze prodotte sono funzioni non lineari della deformazione e della velocità relativa tra la massa sospesa e la massa non sospesa. Le prestazioni migliorano significativamente ed è infatti una soluzione molto adottata nella pratica anche a causa del costo e della complessità molto inferiore in confronto con un sistema di sospensioni attive. I gradi di libertà in sede progettuale non sono comunque sufficienti per ottenere prestazioni completamente soddisfacenti anche in contesti spinti. A vantaggio delle sospensioni passive (sia lineari che non lineari) restano quindi la loro semplicità costruttiva, il 30

31 basso costo e l affidabilità. Nel caso di sospensioni attive i vantaggi in termini di prestazioni sono notevoli, ma i costi da pagare sono: - Necessità di un compressore per il fluido idraulico che aziona gli attuatori, con i relativi accessori (serbatoi di raccolta, servovalvole, ). - Necessità di attuatori di forza che applicano alla massa di sospesa le forze calcolate dal sistema di controllo della sospensione - Necessita di sensori (accelerazione, velocità, spostamento, deformazione,..) - Necessità di microprocessori, e di hardware e software per la loro gestione e per l immagazzinamento dei dati. - Tutto ciò si traduce in un aumento del peso del veicolo, maggior consumo (anche per la necessità di fornire energia al sistema attuatore), maggior costo, minore affidabilità per l elevato numero di componenti. I sistemi elettronici alloggiati nei veicoli si trovano ad operare in condizioni ambientali non facili e sono soggetti a forti disturbi elettromagnetici sia irradiati che condotti. Le normative internazionali in termini di affidabilità per le elettroniche da alloggiarsi nei sistemi automotive commerciali sono inoltre estremamente stringenti. Almeno in linea teorica, meno nella pratica, le prestazioni di un sistema di sospensioni attive sono limitate solo dalla potenza di attuazione che si sceglie di impiegare. Come dato indicativo si può ipotizzare che un sistema di sospensioni attive richieda un incremento di potenza tra i 5 e i 15 kw/ruota ed un incremento di peso tra i 20 e i 30 kg/ruota Una soluzione di compromesso tra la semplicità e i bassi costi di una sospensione passiva e le prestazioni elevate dii una sospensione attiva sono le cosiddette sospensioni semiattive, discusse nella sezione successiva. 3.4 Sospensioni semiattive Come anticipato nella sezione introduttiva e nella sezione 3, le sospensioni semi-attive hanno una struttura simile a quella delle sospensioni passive con la differenza che impiegano un dispositivo smorzatore del quale è possibile variare in linea il coefficiente di smorzamento che diventa pertanto una funzione del tempo = () (v. Figura 6). A seconda della tecnologia costruttiva dello smorzatore attivo, il valore del coefficiente di smorzamento può variare con continuità o in modo discreto (cioè entro un insieme di valori costanti ammissibili). La variazione del coefficiente di smorzamento è asservita alle letture dei sensori (velocità, accelerazione verticale e laterale, angolo di sterzata, ) e ad un software di calcolo gestito da un microprocessore che implementa la logica opportuna. E una soluzione molto più diffusa nella pratica rispetto alle sospensioni attive. La potenza richiesta è modesta (dell ordine delle poche centinaia di Watt), e pesi e ingombri sono nettamente inferiori. La grossa limitazione alle prestazioni ottenibili è che lo smorzatore può generare forze solo in regime dinamico quando cioè esiste una velocità relativa non nulla tra le masse sospese e le masse non sospese. Un attuatore attivo non è soggetto ad alcuna limitazione in tal senso e la forza che può applicare alla massa è completamente svincolata dalle velocità relative tra le masse sospese e non sospese. Per contro, una sospensione semiattiva è un dispositivo di controllo che in sede di analisi teorica introduce delle equazioni di funzionamento tempovarianti che invalidano i metodi di analisi applicati nelle precedenti sezioni i quali assumevano per la sospensione un modello matematico lineare e tempo invariante. 31

32 Se consideriamo infatti la versione semi-attiva del modello single-mass mostrato in Figura 8 il modello matematico risultante è il seguente + () + = + (70) Poiché la variabile di stato è moltiplicata per il coefficiente tempo-variante c(t), al legame ingresso-uscita (70) non può essere associate nessuna funzione di trasferimento. Peraltro, in quei casi in cui in coefficiente c(t) può solo assumere un valore a scelta in un insieme discreto di valori (c 1, c 2, c n ) si può pensare di definire una famiglia di funzioni di trasferimento, ciascuna corrispondente ad uno specifico valore c i di c(t), e di sviluppare considerazioni di progetto basate sulla commutazione imposta tra una Funzione di trasferimento e l altra. Tale approccio alla sintesi si configura nell ambito della cosiddetta teoria del controllo a commutazione (switched control) una area di ricerca piuttosto recente ed attualmente al centro degli interessi di una vasta comunità scientifica. I comportamenti ottenibili variando in linea la funzione di trasferimento di un processo possono avere poco, o niente, a che fare con i comportamenti propri dei sottosistemi. Se però la rapidità con la quale si varia il coefficiente c(t) è sufficientemente lenta, si possono applicare anche metodologie di analisi più standard. La descrizione di tali tecniche avanzate di controllo esula dagli aspetti di questo corso. Spendiamo alcune parole in merito alle tecnologie realizzative per mezzo delle quali si realizzano comunemente le sospensioni semiattive. Iniziamo con il mostrare un tre diverse tipologie costruttiva di smorzatori idraulici passivi. La figura 25 mostra 3 tipologie di smorzatori passivi (in inglese dampers, o shock absorbers ) utilizzati nelle applicazioni automotive. Tali dispositivi generano una forza quando un olio idraulico viscoso fluisce attraverso la valvola che mette in comunicazione due camere a tenuta. Più è stretta la luce d efflusso della valvola, maggiore sarà la forza dissipativa di natura viscosa generata. La figura 26 mostra una illustrazione più di dettaglio della tipologia di smorzatori passivi twin-tube (anche detta dual-tube ) che in figura 25 è quella alla sinistra. Tra i veicoli commerciali che impiegano sospensioni semiattive citiamo l Audi A8, la Lancia Thesis, e la Opel Astra. Una prima tipologia di smorzatori semiattivi di tipo idraulico è quella in cui il coefficiente di smorzamento viene modificato variando meccanicamente, con opportuni attuatori tipicamente elettrici o elettromagnetici, la luce di efflusso del fluido viscoso tra le due camere dello smorzatore (figura 27). 32