Mtr Mtr Mtr Mtr Mtr Mtr Mtr. Mtr. 2. Limiti di successioni i,t". Ssr,:* (1+50) :7275 FolruÌa[3.3jcor n 5C:,o i,a..,, -5:;

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1 ES E M P! O Somma dei termini di una progressione aritmetica := I primi 50 numeri naturali, escludendo lo zero: 1, 2, 3,4, 5,..., 50 umeri naturali (escluso lo zero). si possono pensare come i primi 50 termini di una progressione aritmetica il cui primo termine è a1 : 1 e la cui ragione è r/ : 1. È In base alla formula [3.3] abbiamo allora: ftì Ssr,:* (1+50) :7275 FolruÌa[3.3jcor n 5C:,o i,a..,, -5:; z E 5 E M P lo Somma dei termini di una proqressione qeometrica ' D"t"rriniamo la somma dei primi 6 termini della progressione geometrica definita da an:,, 3 fl) n.t,.on n > 1. \2/ La ragione della progressione è q: +, e a1 :3. In base alla formula [3.a] abbiamo allora: ESERCIZI ap.'t72 Vero o falso? a. la successi orre an : ;nè strettamente crescente b. data ta successione definita,^ {::;t:, * ro,, rísutta at : 29 c. la successiorre an : Jn +4 è hmitata d. la successioîe an -- t - 2-" è limitata superiormente ma non inferiormente e. la successione an : nz l1 è una progressione aritmetica /3\,. f. la successiorre an : l; ) è una progressione geometrica g. la somma dei primi dieci termini della progressione aritmetica definita da an :2 + 3n, con r? > 1, è 185 h. la somma dei primi cinque termini della progressione geometrica definita da an : (+)' t,. 211 con/r>1,e g1 2. Limiti di successioni i,t".

2 CD Oetermina il termine generale della progressione geometrica il cui primo termine è ay :3 e la cui ragione è 5. fa':3 ' 5"-rl CI) Oetermina il termine generale della progressione geometrica ii cui primo termine è a1 : 8 e la cui ragione è -4. la,: g(-+)" rl CD Oetermina il termine generale della progressione geometrica in ani a1 : 4 e a2: /Q. lar: 4' 5"-1f :6eat:3.,2 D Oetermina il termine generale della progressione geometrica di ragione positiva in cui ar [".:.(+)' '] CD Oefinisci ricorsivamente la progressione aritrnetica il cui primo termine è a1 :5 e la cui ragione è -2. CE) Definisci ricorsivamente la progressione aritrnetica il cui termine generale è an - 3n - 4. CD Oefinisci ricorsivamente la progressiong geometrica il cui primo termine è 4 e la cui ragione è -2. CD Oefinisci ricorsivamente la progressione geometrica il cui termine generale è an: -3-2"-2. CD Oetermlna il termine generale della successione definita ricorsivamente da q : 2, an :2 t an-t. CD Oetermina il termine generale della successione definita ricorsivamenteda q :3, clr: I * an-t. (D Oetermina il termine generale della successione definita ricorsivamenteda h : L, an:3an-r. (D Determina il termine generale della successione definita ricorsivamen te da q : 4, an : ior-r. QD Calcolala somma dei primi 8O numeri pari, escluso lo zero. Calcola la somma dei primi 10OO numeri naturali, escluso lo zero. [soo Calcolala somma dei primi 100 termini della progressione aritmetica definita ricorsivamente da: lar:t ì. or*t : [10 000] an 12 (E) Calcola la somma dei primi 50 termini della progressione definita da: an:3n I 5, n > O. l3ezsl (D Calcolala somma: 1, ". ptr*'- rl] (D Cdcola la somma: n. (D calcola Ia somma: t *+*I* *#. (D calcola ta somma: t * +* * * lírn'- 'r] 12-2t-"1 l, - (+)'l 2. Limiti di successioni I Esercizipreliminari Test GD Quale delle seguenti successioni è convergente? Ban: na+t n2 CD Quale delle seguenti successioni è divergente? Ear: t - e-n Ean:1-lnn Ban:1 - sin n Ear: I _1 n CD Quale delle seguenti successioni non è irregolare? Ean: sinn P)a": cos n n - E (-1)'(1- e-')

3 @ Vero o falso? a. se una successione è superiormente limitata e strettamente decrescente, allora è convergente b. se a, < 100 per ogni n N e a, è strettamente crescente, allota anè convergente c. se an è limitata e monotona, allora non può essere divergente d. se liqf(x) : 1 e en ---+ Oper /! + *oo, allota,\y,, f(a"1 : t e. se4n ---+Oebn ---+0pern++cr:einoltre,-lim n++@ f(ar):1, lim f(b"): -l,alloranonpuòesistereil limite per x - 0 della funzione n.+ f f. se la successione an è irregolate, allora, qualsiasi sia il caratter e di bn, anche la succession e anbn è irregolare ','.r:i':i '::l:.:io--ì r.,lr:.: Inventa tu. Fornisci l'esempio: a. di una successione divergente e superiormente limitata; b. di una successione convergente e inferiormente limitata; c. di una successione convergente non monotona; d. di una successione divergente non monotona. I Calcolo di limitidisuccessioni Verifica, in base alla definizione, i seguenti limiti. Nelle soluzioni è riportata la condizione che definisce i valori di n per cui è soddisfatta la tim 3:o n++@ n,!**(2,.t_ 3) 1; tim (r*!\:,,_+_\ rim 'l= :, n-+q fil I.r+r(*)': o,itl(3 - t) : *- Calcola i seguenti limiti di successioni.!b lim 'n, =' n-+a nl Z # tim 3n2-+-Zn - 3 n++6 Zn + /,qîl(s - t") ti -- rl> "'!.-l a '';7 ; 1/it"l i ii > ("í. ;! > @ tim e& 11^ L n++@ rim$ n-+@ e't' ri- l1)' tim tim lim sin lim cos n++ 7On / rn+2\ (a;s; (t-,)

4 lim ln (r*a\ n-+m \ n / h- {11 n-+q. l nm +!, n_+@ \/n + i0l t0j t- 1l l1l [+ -'l (ID CD qe (fd,. 1 1 llfil n-*q -COS 11 - nz,itl[i" (nz + 5) - tn(n2 - +)] -.{ lllll n-+q - 3n 4n Irmn-+q tfl t1l Trt iri - "rjîl ",(,1;l_r) 1ip --nln-+q \n @ n^ (r *a* t) n-+@\n \/n n^'{--i n-+@ n "I+L(J"'+z-") (@ nm_?4tl-- n-+x \/tlz+3n+2-5n GD,lim n(l-eiy (EE) lim ntn n'+m lt *1) \ n/ GD lim nzlt -.o,?l n-f@ \ n) GD,ITLn sin a GD,rim rotr("+) pl l; -l i0l [1] lr) L- l t1l l0l l0l 1l -l,) -_1 l2l!31 i2l ["j i3i ì-l qd CE fd fd (D fd fe).. 3-3n lrm _ n-+* 4 * 2n,\T*JT *m.':+r (' * +)'",tt+*(t/ii - {n1,tit*" (t.í).. 7-e* llltt n-+rc Z sln -_ ṉ,\+-(#)" }ly*(ffi)" lim n2ú -.o, 1\ n-+ \ n/ (D ti^ n+f= n-+@ n * ln5 (@,\iry,*n* ce ti^ (tl?\",-+*\n+s/ (gl ri- (4)" "z ag - n) [-ì til letl Lz) I 3l l- t) t0j [+-] i1l L2l i0ì t1j lctl [e't'j 18 i ll L.) l GD nrim "t,(ftr) GD,ti.r, +# ::l iir ili {T + tsl l0l (sussni**to: ricorda.n" ( i ) : "#*,)

5 ! Successioni e funzioni Dimostra Dimostra che lim x sinx non esiste. x++@ lim cos x2 non esiste. x-+@ s^éè, Dimostra che limcos l non esiste. r-0 X 11 Dimostra che lim- sin -l non esiste. x+ox X Progressioni aritmetiche e geometriche e limiti di successioni Q Fornisci l'esempio: a. di una successione limitata e irregolare; b. di una progressione geometrica limitata; c. di una progressione aritmetica strettamente decrescente; d. di una successione monotona non convergente. G) catcota:,lim cos (#*l O Stabilisci se ciascuna delle seguenti successioni è convergente, divergente o Consideralasuccessionecosìdefinitaperricorrentut {1t:'^, <, conn > 1. Stabiliscisesitrattadiuna t 4n : an-'r _5' progressione aritmetica o geometrica, esprimi il termine generale an in funzione di n e determina se la successione a, è convergente, divergente o irregolare. Quanto vale lim h -l ':,,-l an, n-+a n CD Calcola: lim n++ ) StaUitisci se le seguenti affermazioni relative a una successiotte an sono vere o false. Se sono vere giustificale, altrimenti esibisci un controesempio. a. se an è convergente, allora anche an+7- arèconvergente b. se aral - a, è convergente, alloraanè convergente (n+2)t-(n+1)! (n + 2)l G) Sia s, la somma dei primi n multipli di 3 diversi sn dazero; calcola lim n++ú nz' M tr M tr c. se an è convergente a un numero non nullo, allora anche o'l' èconvergente M tr an d. se a1*1 è convergente, allora anche a, è an convergente M Considera la progressione aritmetica c, tale che at :3? a Determina il termine generale an e calcola lim L. n++e Considera la progressione geometrica a, Il cui primo termine è a1 : 9 e la cui ragione è ]. Oetermi na il termine generale di a, e il termine generale di sn: at I + ar. Quindi calcola: a' nrlyt-a' b.,4+l" (p Considera la successione così definita per ricor- (a,:4 rcnza: \ -^' i,- r\_, conn> 1 e k e R. Per quali 4, : (r - t)qn t valori di k è convergente? I FUNTO PER OGNI ESERCIZIO RISOLTO CORR,ETTAMEhITE; suffrctenza: ALMENo 6 pururl Le soluzioni sono in fondo al volume 177

6 Frazioni generatrici. Esprimi i seguenti numeri periodici come somma di una opportuna serie geometrica, quindi ricava la ftazione generatrice: a. 0,6 b. O,2I c.7,234 Determina per quali valori di r le seguenti serie sono convergenti e, per tali valori di x, calcolane la somma S. In=O + tn=o lm t n:0 *rc t n:o +N t n:0 (+)' xzn (7 + 2x)" (#)' (2 sin x)', con0( x 12n /,, a, í:' A partire da un quadrato Q1 il cui lato misura 4, costruiamo una successione di quadrati Qz, Qs,,, Q, ciascuno avente il lato di misura uguale alla metà del precedente. Siano Ir, lz,...,1, rispettivamente le lunghezze dei lati dei quadrati a1, a2,, an le loro aree. Esprimi In e a, in funzione di n; supponi quindi che il processo di costruzione dei quadrati continui indefinitamente e calcola: a. la somma delle lunghezze dei lati degli infiniti quadrati che si ottengono; b. la somma delle aree degli infiniti quadrati che si ottengono. 'r..),ì 6/'\ '.,"1-l;il Considera la figura qui sotto. Il lato del quadrato A1B1C1D1 misura 21. Sia ar, a2,, an la successione delle aree dei cerchi inscritti nei quadrati AtBtCrDr, A2B2C2D2,..., ArBnCnDr. Esprimi an in funzione di n; supponi quindi che il processo di costruzione dei quadrati e dei cerchi continui indefinitamente e calcola la somma delle aree degli infiniti cerchi che si ottengono. Sia AeBsCg un triangolo rettangolo in cui l'altezza AsAl relativa all'ipotenusa misura h e A()QBs : e. Costruiamo una poligonale AyA1A2...A, in cui Az èla proiezione di.a1 su AsBs, As è la proiezione di,4,2 su BsCs, e così via, come indicato in figura. Siano /e, 11,..., l, le lunghezze di AsA1, A1A2, A2A3,..., An-tAn. a. Calcola lalunghezza della poligonaleasaya2. An quando n + foo. b. Calcola la somma delle aree dei triangoli AsA1A2, AtAzAz,,An-2An-1An quandon + *oo. Ao A2 A4 A

7 Considera la successione così definita: an: 1 l1 a.dimostrache, < Zr-Tperognin>1. -L-I-I 11 7t ' zl' +1,conn>1. nt b. Tenendo conto di quanto dimostrato al punto a, dimostra che an < 3 per ogni n > 1. c. Dimostra che a, è convergente. Calcola il seguente limite:,{15 i,,, ttt :,),i t:,ttlt., di matematica e in Esprimi in funzione dinla seguente somma: ', t:ì, ':r' ' ',, r':,r, l)')-\, s : r(0) + r(1) + f(2) r(100) l ''',i Let f be the function given by f (*) : 3x + 4 for all real.x. Compute the sum: List the first nine terms of the sequenc e an - t- (+). Does this have a limit? Is the sequence bounded? Is the sequence monotonic? sequence Use induction principle to prove that2n < nl f.or n > 4. Find the values of x for which the series f n'r" converges. í:u I Problemi ed Considera la progressione geometrica an, il cuiprimo termine è a1 : 2 e la cui ragione è -3. a. Determina il termine generale a, della progressione e stabilisci se è convergente. b.determinaiterminigeneralidellesuccessionipneqnlcoírn)l,talichel'equazionex2+pnx+qn:oabbia come soluzioni a, e en+t-. Stabilisci se si tratta di progressioni aritmetiche o geometriche e, in caso affermativo, individuane il primo termine e la ragione. c. Determina il termine generale della successione c, definita da cn :Za e calcola lim cn. CIn n-ià d.stabilisci se la successione d, avente termine generale dr:logslcnl è una progressione aritmetica o geometrica e calcola,l:y_a". e. Esprimi in funzione di n il termine generale della successione s, definita da sn : ct I cz t I Cn. f. Calcola,lj+Lr,. Q) Sia aolocodo un quadrato. Tracciamo i quattro segmenti così definiti: il segmento che congiunge A0 con il punto medio di BeCs, il segmento che congiunge Be con il punto medio di CeDe, il segmento che congiunge Ce con il punto medio di AsDe e il segmento che congiunge Ds con il punto medio diaobo. Questi quattro segmenti, intersecandosi a due a due, individuano quattro puntial, Bt, Ct, D1, vertici del quadrilateroalblcldl. a. Dimostra che A1B1C1D1 è un quadrato. b. Supposto che il lato del quadrato AoBsCsDo misuri 2, determina la misura del lato dia1b1c1d1.

8 c. Ripetendo sul quadrato AútCtDt la stessa costruzione effettuata su AsBsCsDs si ottiene un nuovo quadrato, A2B2C2D2. Sul quadrato A2B2C2D2 può essere nuovamente dpetuta la costruzione, ottenendo così un quadrato A3B3CyD3, e così via. Sia as, a1,, 4n la successione delle aree dei quadrati AsBsCsDs, A1B1C1D1,.., AnBnCnDr. Dimostra che è una progressione geometrica e determina il suo termine generale. d. Determina il minimo valore di n per cui l'area dianbncndnè minore Ot,h- dell'area diaobocodo. e. Sia sn la somma delle aree dei quadrati AsBsCsDs, ArBtCtDt,, AnBrCnDr. Determina il limite di s, per 4 + *oo. r Quesiti C) Considera la progressione aritmetica i cui primi due termini Sorlo 41 : 6 e az:8. Sia s, : at i az +. + an.calcola l, 'tx Sn GD Considera la progressione geometrica aricttiprimi due termini Sorlo 41 : -2 e or:!. 3' Sia s, : at + az + + ar. calcolu nlly*o" ",U+L r,. (E) Stabilisci per quali valori di x la successione definita da a, : ( " =\t', \x+5/ a. è convergente; b. è irregolare. G) calcola' tr- (n - 1)l sin n n++@ ) sia sn: r * n; calcola: ''m $' n'+q fiz G) Dimostra per induzione che n3 - (E Stabitisci se le seguenti affermazioni sono vere o false; se sono vere, giustificale, se sono false fornisci un controesempio. a. se una successione è strettamente cfescente, allora è convergente M tr b. seunasuccessionearèstrettamentedecrescentee ar)operognit4 N, alloraarèconvergente M tr c. se an e b, sono due successioni convergenti, allora an * bn è convergente M tr d. se an e b, sono due successioni divergenti, allora an I b, è divergente M tr e. se una successione diverge a *oo, allora è definitivamente crescente M E (D Risolvi l'equazione nell'incognita x: 7+2x+4xz +8x3 + +(2x\ro: 2, I t \4^t _ l_2x nl n è divisibile per 3 per ogni n N, conn ) 2. Q) Dimostra che la successione così definita ricorsivamente: { :t :t- o 7 è convergente e calcola il suo limitepern+*oo. lon-t:+-- (D tndividua quale delle seguenti successioni, di cui è dato il termine generale, è irregolare, giustificando esaurientemente la risposta. t?r)' (-7)" n î.an_(-t)'(;) b. an: C. An: ^ d.an:r# n+z "