COMPITI DI MATEMATICA PER LE VACANZE ESTIVE Prof. Antonio Cerullo. Classe 1 A a.s. 2013/2014 ALGEBRA

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1 COMPITI DI MATEMATICA PER LE VACANZE ESTIVE Prof. Antonio Cerullo Classe A a.s. 0/04 ALGEBRA Libro di algebra: Matematica C Algebra (manuale completo per il primo anno della secondaria di secondo grado)*** link: Polinomi pagina 04 da 0. a 0.8 Prodotti notevoli pagina 08 da 0.7 a 0. Equazioni intere di primo grado pagine 54-55: da. a.5 Problemi di primo grado pagine : 4., 4.4, 4.5, 4.4, 4.4, 4.44, 4.57 Scomposizioni pagina 08 da 7. a 7.4 Frazioni algebriche pagina 8 da 9.7 a 9.8, pagina : 9., 9. e 9.5 Equazioni di altro tipo pagine da 0. a 0.4, da 0.5 a 0.7, da 0.4 a 0.6 Se ci sono dubbi nello svolgimento di alcuni esercizi, nella teoria di ogni capitolo sono riportati gli esercizi guidati più semplici e sono riportate anche le formule necessarie (per esempio quelle dei prodotti notevoli); in caso di ulteriore difficoltà consultare i quaderni con gli appunti. GEOMETRIA Libro di geometria: Matematica C Geometria Razionale (manuale di geometria per il biennio della scuola secondaria di secondo grado)*** link: Congruenza nei triangoli pagine esercizi 54, 68, 76, 94, 98 Rette parallele pagina esercizi, 6, 66, 78, 84, 05, 09, 0 Quadrilateri pagina esercizi 0, 49, 50, 5, 60, 6, 6, 6, 64 ***Un estratto dai due manuali delle sole pagine contenenti gli esercizi li trovate in : Sito Liceo Russell -> Servizi online -> E-learning -> Claroline ver..0. -> Matematica -> A -> Documenti e link Buone vacanze!!

2 MATEMATICA C ALGEBRA Testo per il primo biennio della Scuola Superiore di II grado Matematicamente.it 5 Edizione - 04

3 vi Indice 7.8 I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Esercizi riepilogativi Risposte III Calcolo Letterale 65 8 Espressioni letterali e valori numerici Lettere Lettere per esprimere formule Lettere per descrivere schemi di calcolo Lettere per esprimere proprietà Il valore numerico di un espressione letterale Condizione di esistenza di un espressione letterale Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Risposte Monomi L insieme dei monomi Valore di un monomio Moltiplicazione di due monomi Proprietà della moltiplicazione Potenza di un monomio Divisione di due monomi Addizione di due monomi Addizione di due monomi simili Addizione di monomi non simili Espressioni con i monomi Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi Massimo Comune Divisore Minimo comune multiplo Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Risposte Polinomi Definizioni fondamentali Somma algebrica di polinomi Prodotto di un polinomio per un monomio Quoziente tra un polinomio e un monomio Prodotto di polinomi Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Esercizi riepilogativi

4 Indice vii 0.6. Risposte Prodotti notevoli. Quadrato di un binomio Quadrato di un polinomio Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza Cubo di un binomio Potenza n-esima di un binomio Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Esercizi riepilogativi Risposte Divisione tra due polinomi 5. Polinomi in una sola variabile Polinomi in più variabili Regola di Ruffini Calcolo del resto Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Risposte IV Equazioni 9 Identità, equazioni, equivalenza 4. Identità ed equazioni Ricerca dell insieme soluzione Prinicipi di equivalenza Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado Equazioni a coefficienti frazionari Equazioni in cui l incognita compare con grado maggiore di Equazioni in cui l incognita scompare Riassunto Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Risposte Problemi di I grado in un incognita Un po di storia e qualche aneddoto Risoluzione dei problemi Esercizi Problemi con i numeri Problemi dalla realtà Problemi di geometria Risposte

5 viii Indice V Scomposizione e Frazioni 7 5 Scomposizione in fattori Cosa vuol dire scomporre in fattori Raccoglimento totale a fattore comune Raccoglimento parziale a fattore comune Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Risposte Riconoscimento di prodotti notevoli Quadrato di un binomio Quadrato di un polinomio Cubo di un binomio Differenza di due quadrati Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Risposte Altre tecniche di scomposizione Trinomi particolari Scomposizione con la regola Ruffini Somma e differenza di due cubi Scomposizione mediante metodi combinati Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Esercizi riepilogativi Risposte MCD e mcm tra polinomi 5 8. Divisore comune e multiplo comune Massimo Comun Divisore Minimo comune multiplo Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Risposte Frazioni algebriche 9 9. Definizione di frazione algebrica Condizioni di esistenza per una frazione algebrica Semplificazione di una frazione algebrica Moltiplicazione di frazioni algebriche Potenza di una frazione algebrica Casi particolari dell esponente Divisione di frazioni algebriche Addizione di frazioni algebriche Proprietà della addizione tra frazioni algebriche Esercizi

6 Indice ix 9.8. Esercizi dei singoli paragrafi Risposte VI Algebra di Primo Grado 4 0 Equazioni 4 0. Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado Equazioni numeriche frazionarie Equazioni letterali Equazioni con due parametri Equazioni letterali, caso in cui il denominatore contiene il parametro Equazioni letterali frazionarie Equazioni letterali e formule inverse Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Risposte Disequazioni 65. Intervalli sulla retta reale Disequazioni numeriche Ricerca dell insieme soluzione di una disequazione Problemi con le disequazioni Sistemi di disequazioni Disequazioni polinomiali di grado superiore al primo Disequazioni frazionarie Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi Risposte Sistemi di equazioni 9. Equazione lineare in due incognite Rappresentazione di un equazione lineare sul piano cartesiano Definizione di sistema di equazioni Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema Metodo di sostituzione Metodo del confronto Metodo di riduzione Metodo di Cramer Classificazione dei sistemi rispetto alle soluzioni Il metodo grafico Sistemi fratti Sistemi letterali Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili Esercizi Esercizi dei singoli paragrafi

7 04 Capitolo 0. Polinomi 0.6 Esercizi 0.6. Esercizi dei singoli paragrafi 0. - Definizioni fondamentali 0.. Riduci in forma normale il seguente polinomio: 5a 4ab + a + ab a a. Svolgimento: Evidenziamo i termini simili e sommiamoli tra di loro: 5a 4ab + + a + ab a a in modo da ottenere... Il termine noto è Il grado di: a ) x y y + 5yx 6y x rispetto alla lettera y è.., il grado complessivo è.. b ) 5a b + 4ab rispetto alla lettera b è, il grado complessivo è Stabilire quali dei seguenti polinomi sono omogenei: a ) x y + y x 4x 4 ; b ) x + xy; c ) x y y 4 x + 5x Individuare quali dei seguenti polinomi sono ordinati rispetto alla lettera x con potenze crescenti: a ) x + x; b ) x + x + 5x ; c ) x 4 x + x x Relativamente al polinomio b + a 4 + a + a : Il grado massimo è.... Il grado rispetto alla lettera a è... Rispetto alla lettera b è... il polinomio è ordinato rispetto alla a? è completo? è omogeneo? 0.6. Scrivere un polinomio di terzo grado nelle variabili a e b che sia omogeneo Scrivere un polinomio di quarto grado nelle variabili x e y che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze decrescenti della seconda indeterminata Scrivere un polinomio di quinto grado nelle variabili r e s che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze crescenti della prima indeterminata Scrivere un polinomio di quarto grado nelle variabili z e w che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze crescenti della prima indeterminata e decrescenti della seconda Scrivere un polinomio di sesto grado nelle variabili x, y e z che sia completo e ordinato secondo le potenze decrescenti della seconda variabile. 0.. Calcola il valore numerico dei polinomi per i valori a fianco indicati. a ) x + x per x = ; b ) x x + per x = 0; c ) x x per x = ; d ) x x + x per x = ; e ) 4 a + b 6 ab per a =, b = ; f ) 4x 6y + 5 x per x = 5, y = Somma algebrica di polinomi 0.. Calcolare la somma dei due polinomi: x + 5 y x, x xy + y x + y.

8 08 Capitolo 0. Polinomi d ) [ (x xy y ) ( x ) y x ( 9 ) ] xy (y) (x x y + 4 ) xy. 0.7 ( ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi. [ ( ( x x y ) x + ) ( y 5x ) ] 0 xy (4y) (x x y + ) xy ( x x + ) y + xy + ) (y 4 xy + x + xy. 0.8 ( ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi. ( ) ( ) ( ) 9 a b a + b 4 a + 4b ( ) ( ) a a a 5b ( + 5ab 4 a + 4 ) b. 0.9 ( ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi. ( ) ( ) ( ) x + y x y 4 x 4y ( 7 4 x 4 x 6 ) xy 6 ( y 4 + x 4) 7 x y x ( ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi. ( x y 7 ) [ ( 8 x x ) ( 9 y 4 x + xy + 4 ) y + ( 94 x y + )] y + ) (x 9 y + 4y 9xy. 0. ( ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi. ( ab + ) ( xy ab ) [ ( ) ( ) ] ( ) xy ab xy ax + ( ax a ) y ( x ax + ) 4 xy 9 x y (ax ) + 4 ( ) a b ax + 4 (y x + ) a. 0. ( ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi. 6 ab { a 4 ab + [ ( a b 6 a 4 5 a 5 ) ( a ) ab ( 8 ) ( ab 98 )]} b + (a a 5b 9a b + ) 6 a b. 0. ( ). Risolvi la seguente espressione con i polinomi. {[ ( 5 x + x x y 7 4 xy + ) 8 y : ( )] y x 70 } ( xy 6 ) x + x y ( ) ( x 5 x x y x ) xy.

9 Sezione 0.6. Esercizi Se A = x, B = x +, C = x determina a ) A + B + C; b ) A B C; c ) A + B C; d ) A B C; e ) AC BC; f ) (A + B) C. 0.5 ( ). Operazioni tra polinomi con esponenti letterali. a ) ( a n+ a n+ + a n+) : ( a +n) ; b ) ( + a n+) ( a n ) ; c ) ( 6a n+ b n+ a n b n+ + 5a n+ b n+) : (a n b n ); d ) ( a n+ a n+ + a n+) ( a n+ a n) ; e ) ( a n a n+ + a n+) ( a n+ a n ) ; f ) ( a n + a n+ + a n+) ( a n+ a n) ; g ) ( a n+ + a n+) ( a n+ + a n+) ; h ) ( + a n+) ( a n+ ) ; i ) ( a n+ a n) ( a n+ + a n) ( a n+ + a n) ; j ) ( xn xn ) ( xn ) ( xn 0.6. Se si raddoppiano i lati di un rettangolo, come varia il suo perimetro? ) (x n + x) Come varia l area di un cerchio se si triplica il suo raggio? 0.7. Se si raddoppiano i lati di un triangolo rettangolo, come varia la sua area? 0.8. Se si raddoppiano gli spigoli a, b, e c di un parallelepipedo, come varia il suo volume? Determinare l area di un rettangolo avente come dimensioni a e 4 a b Determinare la superficie laterale di un cilindro avente raggio di base x y e altezza 5 xy Risposte 0.4. d) x + x + 5 9a, e) a 4 7 ab + 5 b. 0.. a) a, b) 9b, c) 8b, d) 6a 6 a b, e) x 9x a) a 4 a b a4 b + a, b) x y + x y 6xy + 8 y4, c) b, d) 6 xy4 4 x y b a x y. 0.. a x axy a4 b + a b ab. 0.. x x y a) a + a, b) a n + a n+ a n, c) 8ab a n b + 5 a b, d) a n+4 a n+ + a n+ a n+, e) a n+ a n+ a n + a n, f) a n + a n+, g) a n+4 + a n+ + a n+, i) a n+ a n+, h) a 4n+4 a 4n, j) 7 xn + 4 xn xn xn+ + x.

10 54 Capitolo. Identità, equazioni, equivalenza.9. Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) x + = x + ; b ) x + = x + ; c ) x + = x + ; d ) x + 4 = x ; e ) πx = 0; f ) πx = π..0. Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) 0, x = 0, ; b ) x 0, = x 0, 5; 5 c ) 89x 89 = 89x 89; d ) 89x 89 = 89x 89; e ) 48x 47 = 40x 47; f ) 40x = x... Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) x + = x + 4; b ) x + = x + ; c ) (x + ) = x + 5; d ) (x + 4) = x + 8; e ) x + 6 = 6x + 6; f ) x + = x Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) x + 4 = x 4 ; b ) x + 4 = x ; c ) x + 4 = x ; x d ) = 00 ; e ) 000x 00 = 000x 00; f ) 00x 000 = 000x ( ). Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) x 5( x) = 5 + 5x; b ) (x 5) ( x) = x; c ) ( + x) = 5( + x) ( x); d ) 4(x ) (x + ) = (x ); e ) x f ) x x = x +. = ;.4 ( ). Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) x + + x 5 b ) x = x 4 x 6 ; = 0 ; c ) 8x x = x + ; 6 d ) (x ) = 4(x ) + ; 7 e ) 57x + 57 x 4 57x 7 f ) x + = x. 5 = 0;

11 Sezione.4. Esercizi 55.5 ( ). Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) x x 6 = x ; b ) 4 x 5 c ) x + + 4x = x ; = ;.6 ( ). Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. d ) x + 0, 5 5 =, 75 0, x; e ) (x ) 4(5 x) = x ( ) ; f ) 4(x ) + 5 = ( x 6). a ) (x + ) ( x) = x + ; b ) (x + 5) x = ( x); c ) (x + ) = (x )(x + ) + x; d ) e ) (x + ) + x 4 ( x = ) + x = x ; f ) x + x 4 = 5 ( x (x ) ; 4 ) x..7 ( ). Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) (x )(5 + x) + 4 = (x ) ; b ) (x )(x + 5) + 4 = x ; ( c ) x ) ( x ) = x + ; d ) (x + ) = (x ) ; e ) f ) ( x) (x + ) x = ; = (x )..8 ( ). Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) 4(x + ) x( x) = (x + )(x ) x ; b ) x (x + ) = x + ( x ) ; c ) (x + ) = x ; d ) (x + ) = (x + ) x(x + ); e ) ( ) x x + 5 ( x + ) x = x(x + ); f ) ( x + ) ( ) ( x) + x = x +..9 ( ). Risolvi le seguenti equazioni nell insieme Q. a ) + x ( x ) + 4 x = 4 x + x + ; b ) [ ( x + x + ) + x + ] + 4 x = x ( x + x ) ; 4 ( c ) x ( + x + ) ) = (x + )(x ) 5x ;

12 58 Capitolo. Identità, equazioni, equivalenza.49. L insieme soluzione dell equazione (x + ) = 5 (x ) è: A I. S. = { } 6 B I. S. = { } 6 C I. S. = { } D I. S. = { } Per ogni equazione, individua quali tra gli elementi dell insieme indicato a fianco sono soluzioni: a ) x { 5 = 0, Q =, 5, 7, 7 } ; 5 b ) x } {, 4 x = 4, Q =, 0, 6 ; { c ) x(x + ) + 4 = 5 x + x, Q = 9,, },..4. Risposte.4 a) x =, b) x =, c) x =, d) x =..5 a) x = 5, b) x = 0, c) x = 5, d) Impossibile..6 a) Indeterminata, b) x = 6, c) Impossibile, d) x =..7 a) Indeterminata, b) x = 5, c) Indeterminata.. a) x = 0, b) Impossibile, c) x = 7 5, d) x =, 6988 e) x = 7, f) x = a) x = 66 7, b) x =, c) x = 5, d) x = 7 7, e) x = 0, f) x = 8..5 a) Impossibile, b) x = 7, c) x = 7 5 5, d) x = 6, e) x = 6 5, f) x = 6..6 a) x =, b) Impossibile, c) x = 9 7, d) x =, e) Impossibile, f) x = a) x = , b) x =, c) x = 4, d) x = 0, e) x = 0, f) x =..8 a) x =, b) Indeterminata, c) x =, d) Impossibile, e) x = 0, f) x = 8..9 a) x = 4, b) x = 5, c) x = 9 8, d) x =, e) Impossibile, f) x =..40 a) x =, b) x = 6, c) x = 9 7, d) x =, e) x = 0, f) x = a) Indeterminata, b) x = 6 c) x = , d) x = 7, e) x = 6, f) x =.,.4 a) x = 0, b) x =, c) x = 7, d) x = 7, e) x =, f) x = 5.

13 64 Capitolo 4. Problemi di I grado in un incognita Gli esercizi indicati con ( ) sono tratti da Matematica, Dipartimento di Matematica, ITIS V. Volterra, San Donà di Piave, Versione [-][S-A], pg. 90; licenza CC,BY-NC-BD, per gentile concessione dei professori che hanno redatto il libro. Il libro è scaricabile da http: // 4. Esercizi 4.. Problemi con i numeri 4. ( ). Determina due numeri, sapendo che la loro somma vale 70 e il secondo supera di 6 il doppio del primo. 4. ( ). Determina due numeri, sapendo che il secondo supera di 7 il triplo del primo e che la loro somma è ( ). Determinare due numeri dispari consecutivi sapendo che il minore supera di 0 i 7 del maggiore. 4.4 ( ). Sommando 5 al doppio di un numero si ottengono i 7 del numero stesso. Qual è il numero? 4.5. Determinare due numeri consecutivi sapendo che i 4 9 del maggiore superano di 8 i del minore. 4.6 ( ). Se ad un numero sommiamo il suo doppio, il suo triplo, il suo quintuplo e sottraiamo, otteniamo 00. Qual è il numero? 4.7 ( ). Trova il prodotto tra due numeri, sapendo che: se al primo numero sottraiamo 50 otteniamo 50 meno il primo numero; se al doppio del secondo aggiungiamo il suo consecutivo, otteniamo ( ). Se a 5 sottraiamo un numero, otteniamo la quinta parte del numero stesso. Qual è questo numero? 4.9 ( ). Carlo ha 5 caramelle e vuole dividerle con le sue due sorelline. Quante caramelle resteranno a Carlo se le ha distribuite in modo che ogni sorellina ne abbia la metà delle sue? 4.0 ( ). Se a 5 sottraiamo un numero, otteniamo il numero stesso aumentato di. Di quale numero si tratta? 4. ( ). Se ad un numero sottraiamo 4 e sommiamo 75, otteniamo 00. Qual è il numero? 4. ( ). Se alla terza parte di un numero sommiamo 45 e poi sottraiamo 5, otteniamo 45. Qual è il numero? 4. ( ). Se ad un numero sommiamo il doppio del suo consecutivo otteniamo 77. Qual è il numero? 4.4 ( ). Se alla terza parte di un numero sommiamo la sua metà, otteniamo il numero aumentato di. Qual è il numero? 4.5 ( ). Il doppio di un numero equivale alla metà del suo consecutivo più. Qual è il numero? 4.6 ( ). Un numero è uguale al suo consecutivo meno. Trova il numero. 4.7 ( ). La somma tra un numero e il suo consecutivo è uguale al numero aumentato di. Trova il numero. 4.8 ( ). La somma tra un numero ed il suo consecutivo aumentato di è uguale a 8. Qual è il numero? 4.9. La somma tra un numero e lo stesso numero aumentato di è uguale a 7. Qual è il numero? 4.0 ( ). La terza parte di un numero aumentata di è uguale a 7. Trova il numero.

14 66 Capitolo 4. Problemi di I grado in un incognita 4.4. Un rubinetto, se aperto, riempie una vasca in 5 ore; un altro rubinetto riempie la stessa vasca in 7 ore. Se vengono aperti contemporaneamente, quanto tempo ci vorrà per riempire 6 della vasca? 4.4 ( ). L età di Antonio è i 8 di quella della sua professoressa. Sapendo che tra 6 anni l età della professoressa sarà doppia di quella di Antonio, quanti anni ha la professoressa? 4.44 ( ). Policrate, tiranno di Samos, domanda a Pitagora il numero dei suoi allievi. Pitagora risponde che: la metà studia le belle scienze matematiche; l eterna Natura è oggetto dei lavori di un quarto; un settimo si esercita al silenzio e alla meditazione; vi sono inoltre tre donne. Quanti allievi aveva Pitagora? ( Matematica dilettevole e curiosa ) Trovare un numero di due cifre sapendo che la cifra delle decine è inferiore di rispetto alla cifra delle unità e sapendo che invertendo l ordine delle cifre e sottraendo il numero stesso, si ottiene 7. ( Algebra riceativa ) Al cinema Matematico hanno deciso di aumentare il biglietto del 0%; il numero degli spettatori è calato, però, del 0%. È stato un affare? A mezzogiorno le lancette dei minuti e delle ore sono sovrapposte. Quando saranno di nuovo sovrapposte? Con due qualità di caffè da e/ kg e 5 e/ kg si vuole ottenere un quintale di miscela da, 5 e/ kg. Quanti kg della prima e quanti della seconda qualità occorre prendere? 4.49 ( ). In un supermercato si vendono le uova in due diverse confezioni, che ne contengono rispettivamente 0 e. In un giorno è stato venduto un numero di contenitori da uova doppio di quelli da 0, per un totale di 544 uova. Quanti contenitori da 0 uova sono stati venduti? 4.50 ( ). Ubaldo, per recarsi in palestra, passa sui mezzi di trasporto 0 minuti, tuttavia il tempo totale per completare il tragitto è maggiore a causa dei tempi di attesa. Sappiamo che Ubaldo utilizza mezzi, impiega i 0 del tempo totale per l autobus, i 5 del tempo totale per la metropolitana e 0 minuti per il treno. Quanti minuti è costretto ad aspettare i mezzi di trasporto? (poni x il tempo di attesa) 4.5 ( ). Anna pesa un terzo di Gina e Gina pesa la metà di Alfredo. Se la somma dei tre pesi è 00 kg, quanto pesa Anna? 4.5. In una partita a dama dopo i primi 0 minuti sulla scacchiera restano ancora 8 pedine. Dopo altri 0 minuti un giocatore perde 4 pedine nere e l altro 6 pedine bianche ed entrambi rimangono con lo stesso numero di pedine. Calcolate quante pedine aveva ogni giocatore dopo i primi 0 minuti di gioco. 4.5 ( ). Due numeri naturali sono tali che la loro somma è 6 e il primo, aumentato di, è il doppio del secondo diminuito di. Trovare i due numeri Un dvd recoder ha due modalità di registrazione: SP e LP. Con la seconda modalità è possibile registrare il doppio rispetto alla modalità SP. Con un dvd dato per ore in SP, come è possibile registrare un film della durata di ore e un quarto? Se voglio registrare il più possibile in SP (di qualità migliore rispetto all altra) quando devo necessariamente passare all altra modalità LP? 4.55 ( ). Tizio si reca al casinò e gioca tutti i soldi che ha; dopo la prima giocata, perde la metà dei suoi soldi. Gli vengono prestati e e gioca ancora una volta tutti i suoi soldi; questa volta vince e i suoi averi vengono quadruplicati. Torna a casa con e 00. Con quanti soldi era arrivato al casinò? 4.56 ( ). I sette nani mangiano in tutto 7 bignè; sapendo che il secondo ne ha mangiati il doppio del primo, il terzo il doppio del secondo e così via, quanti bignè ha mangiato ciascuno di loro?

15 Sezione 4.. Esercizi ( ). Babbo Natale vuole mettere in fila le sue renne in modo tale che ogni fila abbia lo stesso numero di renne. Se le mette in fila per quattro le file sono due di meno rispetto al caso in cui le mette in fila per tre. Quante sono le renne? 4.58 ( ). Cinque fratelli si devono spartire un eredità di e80000 in modo tale che ciascuno ottenga e 8000 in più del fratello immediatamente minore. Quanto otterrà il fratello più piccolo? 4.59 ( ). Giovanni ha tre anni in più di Maria. Sette anni fa la somma delle loro età era 9. Quale età hanno attualmente? 4.60 ( ). Lucio ha acquistato un paio di jeans e una maglietta spendendo complessivamente e 58. Calcolare il costo dei jeans e quello della maglietta, sapendo che i jeans costano e 88 più della maglietta. 4.6 ( ). Francesca ha il triplo dell età di Anna. Fra sette anni Francesca avrà il doppio dell età di Anna. Quali sono le loro età attualmente? 4.6 ( ). In una fattoria ci sono tra polli e conigli 40 animali con 6 zampe. Quanti sono i conigli? 4.6 ( ). Due anni fa ho comprato un appartamento. Ho pagato alla consegna del suo prezzo, dopo un anno 4 della rimanenza; oggi ho saldato il debito sborsando e Qual è stato il prezzo dell appartamento? 4.64 ( ). Un ciclista pedala in una direzione a 0 km/h, un marciatore parte a piedi dallo stesso punto e alla stessa ora e va nella direzione contraria a 6 km/h. Dopo quanto tempo saranno lontani 50 km? 4.65 ( ). Un banca mi offre il % di interesse su quanto depositato all inizio dell anno. Alla fine dell anno vado a ritirare i soldi depositati più l interesse: se ritiro e 0400, quanto avevo depositato all inizio? Quanto dovrebbe essere la percentuale di interesse per ricevere e 000 depositando i soldi calcolati al punto precedente? 4.66 ( ). Si devono distribuire e fra persone che hanno vinto un concorso. Alcune di esse rinunciano alla vincita e quindi la somma viene distribuita tra le persone rimanenti. Sapendo che ad ognuna di esse sono stati dati e 4800 euro in più, quante sono le persone che hanno rinunciato al premio? 4.67 ( ). Un treno parte da una stazione e viaggia alla velocità costante di 0 km/h. Dopo 80 minuti parte un secondo treno dalla stessa stazione e nella stessa direzione alla velocità di 50 km/h. Dopo quanti km il secondo raggiungerà il primo? 4.68 ( ). Un padre ha anni, il figlio 5. Dopo quanti anni l età del padre sarà 0 volte maggiore di quella del figlio? Si interpreti il risultato ottenuto ( ). Uno studente compra 4 penne, quaderni e 7 libri per un totale di e 80. Sapendo che un libro costa quanto 8 penne e che 6 quaderni costano quanto 5 libri, determinare il costo dei singoli oggetti ( ). Un mercante va ad una fiera, riesce a raddoppiare il proprio capitale e vi spende e 500; ad una seconda fiera triplica il suo avere e spende e 900; ad una terza poi quadruplica il suo denaro e spende e 00. Dopo ciò gli sono rimasti e 800. Quanto era all inizio il suo capitale? 4.7 ( ). L epitaffio di Diofanto. Viandante! Qui furono sepolti i resti di Diofanto. E i numeri possono mostrare, oh, miracolo! Quanto lunga fu la sua vita, la cui sesta parte costituì la sua felice infanzia. Aveva trascorso ormai la dodicesima parte della sua vita, quando di peli si coprì la guancia. E la settima parte della sua esistenza trascorse in un matrimonio senza figli. Passò ancora un quinquiennio e gli fu fonte di gioia la nascita del suo primogenito, che donò il suo corpo, la sua bella esistenza alla terra, la quale durò solo la metà di quella

16 70 Capitolo 4. Problemi di I grado in un incognita 4..4 Risposte 4.. 8; ; ; Indeterminato ; ; 60; ; Indeterminato ; ; ; 4; kg Impossibile e ,, 4, 6, 6,

17 08 Capitolo 7. Altre tecniche di scomposizione 7. ( ). Scomponi in fattori. a ) 8a 8 b ; b ) 4a + 8a a ; c ) x x x; d ) 4xy + 4xz ya za yh zh; e ) x 6 8x ; f ) 54a b b 4 ; g ) xyz + 9ya + 6x a 8x 4 z; h ) y + ay 6a ; i ) x + 4x x 6; j ) (x 7x + 0) x + 0x ( ). Scomponi in fattori. a ) 4 9 a b + a + b; b ) x 6x + 9 (y y + ); c ) 6a 4 x 8a b x + b 4 x ; d ) 4(x ) 4y(x ) + y ; e ) 4a 4 b 4a b + 6a b 6a b 4 ; f ) 8x 4x + 7x ; g ) x 4 x 0x + 4x; h ) 8a 4 64a b ; i ) 4x + 8x + x ; j ) a 4 b c 8a bc ( ). Scomponi in fattori. a ) x + x x ; b ) 0x 45x; c ) 8p q x pq 4 x + 8p q y pq 4 y; d ) 0a 6 6a c 5a 4 b + 0abc; e ) a 7 6a 4 x + 6a 4 b 8ab x ; f ) x 6x y + xy 8y ; g ) x 5 + x 4 x 66x + 7x; h ) a x y 48a xy + 4b x y 6b xy ; i ) x 5 + x 4 xy 4 y 4 ; j ) 48a 5 bx + 6a 5 by 6a b 4 x a b 4 y. 7.4 ( ). Scomponi in fattori. a ) x (x 4 8x + 8) x ; b ) x 5 x x + ; c ) x 8 y 8 x 6 y + x y 6 ; d ) 6ab 8a 5 b 9 ; e ) 6x 7 + x 6 6x 5 + 8x 4 ; f ) x 4 4x 45; g ) a 7 x + 9a 5 x 4 9a x 6 + ax 8 ; h ) x x + 5x + 49; i ) 4ab c + 0ab abc 5ab; j ) 6a 6 b a 4 b 5 + 6a b ( ). Scomponi in fattori. a ) y 5y 4y; b ) x + 4xy 6x + 4y y + 9; c ) x 4 4x + 4x 4x + ; d ) x y + ay a ; e ) ( a) + (5 + a) (a ); f ) x x + x ; g ) x y x y + 4 xy4 ; h ) 7x 6 + 9x 5 x 4 + x 7 ; i ) 4x 9y 6yz z 4 ; j ) 8 a4 b 4 a b + a b 4 ab ( ). Scomponi in fattori. a ) a + 4ab + 4b x + xy y ; b ) a 4 b a b + 4a bc + a b 4a b c + 4a bc ; c ) a 4 a x + a x 9 ax ;

18 Sezione 7.5. Esercizi 7.5. Risposte 7.9. a) (x + )(x 5), b) (y + z)(y 5), e) (x ) (x + ). 7.. a) (x + )(x + ) (x ), b) (m )(m + ) (m + ), c) (a + )(a ) (a + ), d) (a + ) (a ), e) (a )(a + ) (a + ), f) (x )(x ), g) (t + )(t ) (t ), h) (x )(x )(x + )(x + 7), i) (y + )(y ) ( y + y + ), j) (t + )(t 4) ( t + t + 4 ) a) (x + )(x + )(x + 5) ( x 4x + ), b) (x + )(x )(x ) ( x + x + ), c) (x ) (x + ), d) (a + )(a )(a + )(a + a + ), e) (x + )(x + )(x + 5)(x 4x ), f) (x )(x ), g) (x ) ( x + x + ), h) (x + ) ( x + ), i) (x ) ( x + ) a) (a + )(a + )(a + ), b) (x n )(x n + ), c) (x a) ( x a ) a) (x + y) (x y + ), b) 5 ( + x y ), c) (y ) (y ), d) (y + ) ( y), e) (x ) (4x y), f) (a + b) (a b), g) (x + ) (x + k), h) x(x ) (x ), i) (x ) (4x + ), j) 6 (x y) a) (x ) (x a), b) (x + 4) (x ), c) ( 4 a b ), d) a(9 4ab)(9 + 4ab), e) (a 5)(a + 5), f) (a + b)(x y), g) (x + ) ( x + ) ( x x + ), h) 00 y ( x y + ) ( x y ), i) (a + b) (5 x), j) 6 (x + b) (x b). 7.. a) ( a b) ( 4a + ab + 4 b), b) (a + ) (a + ) (a ), c) ( x) (x + ) ( x x + 4 ), d) (y + z)(4x a h), e) x (x + )(x ) ( x + 9 ), f) b(a b) ( 9a + ab + b ), g) (a 4xz) ( x + y ), h) (y a) (y + a), i) ( x + ) (x ), j) (x 5) (x )(x ). 7.. a) ( a + b ) ( a b + ), b) (x 4 + y)(x y), c) x (a b) (a + b), d) (x y), e) a b(a + b )(a b), f) (x )(x )(4x ), g) x(x )(x + )(x 4), h) a (9a 8b)(9a + 8b), i) (x + )(x )(x + ), j) a bc(ab c )(ab + c ). 7.. a) (x )(x + )(x + ), b) 5x(x )(x + ), c) pq (p q)(p + q)(x + y), d) a(4a 5b)(5a 4c), e) a(a + b )(a x ), f) (x y), g) x(x )(x )(x + )(x + 4), h) xy(a + b)(x y)(4a ab + b ), i) (x + )(x y)(x + y)(x + y ), j) a b(a b)(x + y)(4a + ab + b ) a) 9(x + )(x )(x + 9), b) (x + )(x ) (x + x + ), c) (x y) (x + y) (x + y ), d) ab( ab )( + ab )(4 + 9a b 4 ), e) x 4 (x )(x + )(x ), f) (x )(x + )(x + 5), g) ax (x a) (x + a), h) (x + )(x 7), i) ab(4b )(c + 5), j) 6a b (a b) (a + b).

19 8 Capitolo 9. Frazioni algebriche 9.7 ( ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza. a ) x x x x ; b ) x 5x + x 7x + 6 ; c ) a + a + a + ax + x + a + ; d ) x + 5x + 6 x + 6x + 9 ; x + + ax a e ) x ; x + f ) 4x 4x 4 + 8x 8x x. 9.8 ( ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza. a ) x x + x 5x + ; x + x b ) x + x ; c ) d ) x x + x x + x ; 6a b 9a b ab a b + a ; e ) x + 7x + x ; 9 x f ) x 4 + x + x. 9.9 ( ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza. a ) x + x x + x 6 ; b ) x x + x x x ; c ) d ) x 4xy ax ay + x 4y ; 8a 5 b 5 4a b 5 a a + a ; e ) x x x + x ; f ) x + x x x + x + x ( ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza. a ) a a b + ab a ; b ) x + x 8 x + x 4 ; c ) x 7x + 7x x 5x + x + ; a + a d ) ab + b + a + ; e ) x x 6 x + x 5 ; f ) x + x x x. + x + 9. ( ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza. a ) a a ab + b + a + ; b ) x x x ; + c ) d ) 4x + 4y 6x + 6y + ax + ay ; x x + x x x + x ; e ) f ) x xy x xy + ax axy ; x 8 ( x + 4 ). 4x 9. ( ). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza. a ) x x x + x ; x + xy + y b ) x + y + + xy x y ; x x c ) ax ax + x x ; d ) x6 x Moltiplicazione di frazioni algebriche 9. ( ). Determinate i seguenti prodotti, indicando sempre le condizioni di esistenza. a ) x 6y 5xy x y + xy 4y x ; b ) x4 5x + 4 x x x 4x ; c ) d ) 4x a a x x a a x ; a a + a a a a + a a 4 + a a.

20 Capitolo 9. Frazioni algebriche 9. ( ). Semplifica le seguenti espressioni. a ) b ) ( a + ) a a + a ; a + a a + a ; c ) a + b ( a b a b a + b a b ) ; a d ) x + x + x x x + 8x 4x. 9. ( ). Semplifica le seguenti espressioni. a ) b ) x + x x + + x x + x ; x (x ) x + (x + ) + x 4x + x ; c ) d ) x + x + + 6x + x x x + x x ; x x xy + y x y + 9 y x Semplifica le seguenti espressioni. a ) b ) 6x x 4 + x x + ; x x 4 + x + x + x + ; c ) d ) (x ) x x + x x ( x) ; x x x x. 9.5 ( ). Semplifica le seguenti espressioni. a ) b ) 4x x + x 4 + x + 8(x ) x x + x + x 8 ; x 9x x 4 x + x 0 ; c ) d ) 4ay 4a y + 8a + y + a y a y ay + 4a ; 8x 4x x + 9 5x x + x 0x 9 4x. 9.6 ( ). Semplifica le seguenti espressioni. a ) x x + x + + x x x + x + ; b ) t 4 + t 4z z + + 4z 4t t z t z + t + 8z + 4 ; 9.7. Semplifica le seguenti espressioni. c ) d ) ( x y + y ) x : ( x y ( x + a x a x a ) : x + a ) + x y x ; ). ( x a x + a a ) b ) c ) d ) x 4 x 4x + 4 x 5x + 6 x 4x x x x x x + x 8 x 4x + 4 ; x 5x ax a + x x x ax ax + x x ; b + a + ab + a a + a + b a + a + b ; x 4 x a ( x 4x a + 4xa + a 4 : + ax x a + xa xa + a ) x. ax 9.8 ( ). Semplifica le seguenti espressioni. a ) xy + yz y xz zx + zy xy z xy x yz + xz ;

21 8 Capitolo 9. Frazioni algebriche 9.8. Risposte 9.5. a) x x+, b) x+a, c) a+, d) x +x 4 5, e) +a, f) a a a) a x, a b b) a+, c) 4 a b a+, d) b+c, e) x a+, f) a) x+ x x+, b) x, c) a + x a) x x+ x, b) x+, c) x+ a, d) x+, e) x, f) 4x(x +) x+. x, d) a b a, e) x+4 x, f) x x +x a) x x, b) x + x+, c) x a+, d) 4a b 5 a+, e) x x, f) x x a) b+ a x+7 x, b) x+6, c) x+, d) a b+, e) x+ x+5, f) x x a) a b+, b) x x x+, c) a+, d) x + (x ), e) a+, f) x x +4 x. 9.. a) x x+y+ x, b) x+y, x(a+), d) x4 +x +. c) x +x+ x a) (x+y), b), c) 6, d) 5y (x+y) a a) (a 5) 5a (a +4), x8 b) 5, c) x+ y 5 x, d) x a) a +, b) x, c) (x ), d) a) (x ) x 9, b) ( ) x+a, x+ c) x x+, d) x a) y+ a y+, b) a+6, c) 5, d) x + x a) x+y, b) 7 x y 6x, c) a, d) a(a ), e), f) x a) x+, b) x x x 4, c) x, d) x. (x ) 9.0. a) a+b+ (a )(b+), b) a+ a a, (x+) c) x(x+), x(x+) d) x. 9.. a) x 5x+ x, b) x( x), c), d) x x 7 x a), b) a + a(a ), c) b a(b a), d) x +x x. 9.. a) x x+ (x ), b) x x +x x, c) x+ (5y x) x, d). (x y)

22 Sezione 9.8. Esercizi a) 7(x+) (x+4)(x ), b) (x+5)(x 5)(x 4), c) a y ay+4a, d) 9 x a) x x x +, t b) t +4, x y c) x+y, x(a+x) d) a(x a) a) (x y)(y z), 5 x b) x+, c) ab, d) a a +a a) 0 x, ( x) b) x+, c), d) a) y y+, b) x+ a, c) x, d) a a) x+, b) x6 +x 5 x 4 x +8x x(x )(x+), c) a(a )(a ), a(a ) d) a x a) (a+) a, b) 8x x, a c) a, 4(x ) d). (x ) a) 6b, b) (x ) (x +x+) 8x 5, c), d) x+ (x )(x ) a) x (x+), b) x+ 6x(x ), 4x c) x 4, d) (x ) a) 6x 5 (x ), b) 45x 9 9( x), c) 8(x+) 4x+ ( x)(x )(x 5), d) 6(x+)(x ) a) a(4a ), b) x x+, c) 8x +a + (a ), d) x(a + ) a) x4 +4x +5x +80x 5, b) ax a, x+a+ c) a(x+a), d) a) (a + b), b) 4x+ (x ), c) b b, d) x a) 8 b a, b) 6(x + ), c) a + x +, d) a +a 8 a a) 5a, b), c) x a, d) x (x+a)(x a) a) 5x 8 x(x ), b) x+ x, c) x, d) 7 x a) a x, b) x+ a, c) x a) 4(x ), b) (x a)(x a) x+a, c) a. x a) n y x n +y n, b) x y, c) x+y, d) x x+y, e) b x b.

23 5 Capitolo 0. Equazioni 0.5 Esercizi 0.5. Esercizi dei singoli paragrafi 0. - Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado 0. ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) x + x = 0; b ) x + x 9x 8 = 0; c ) x x 4 = 0; d ) 4x + 6x + 6 = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) x x 0 = 0; b ) x + 4x = 0; c ) x 6x 9 = 0; d ) x + 5x 4 = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) x 9x + 0 = 0; c ) 7x + 4x 68 = 0; b ) x + x + 6 = 0; d ) 7 x + 7x 68 = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) x 4 6x = 0; b ) x + x 0x + 6 = 0; c ) x + 6x + 4 = 0; d ) x 6 + 7x 5 0x 4 = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) x x x + 5 = 0; b ) x + 0x 4 = 0; c ) x x 4x = 0; d ) x 4 5x + 4 = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) x 5x x 5 = 0; c ) 4x4 8x + x = 0; b ) 4 x 4 x = 0; d ) 6 5 x 6 5 x x = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) 4x + 0x + 64x 80 = 0; b ) 5x + 5x 80x 80 = 0; c ) x + 8x + x 8 = 0; d ) 4x + 8x 6x = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) x + x + 6x + 6 = 0; b ) x + 6x x 96 = 0; c ) x + 6x x 6 = 0; d ) x + 4x 8x + 56 = 0.

24 Sezione 0.5. Esercizi ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) x + x + 8x + 08 = 0; b ) x 4 0x + 5x 50x + 4 = 0; c ) x x + 8x + 8 = 0; d ) 5x 4 + 5x + 0x 0x 0 = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) 7 6 x4 6 6 x x + 40 = 0; b ) (x 6x + 8)(x 5 x 4 + x ) = 0; c ) ( 5 4x ) 4 (x ) = 0; d ) (x 4) ( x 4x 8x + 6 ) 9 = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) (x x)(x 5 9x )(x + 5) = 0; b ) x 5 + x 4 x 7x + 0x + 4 = 0; c ) x x = 0; d ) x + 5x = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) 6x + x = 0; b ) x x x + = 0; c ) x x 8x 4 = 0; d ) 8x + 6x 5x = ( ). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado. a ) 6x + x 0x + = 0; b ) 4x 4 8x x + x + = 0; c ) 8x 4 0x 9x + 40x = 0; d ) x + 68x 4x + 5 = ( ). Risolvere la seguente equazione riconducendola a una equazione di primo grado. (x 4 + x x x 6)(4x 6 6x + 96) = 0; 0. - Equazioni numeriche frazionarie 0.5 ( ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. a ) b ) x + = x + ; x = ; c ) x + = 0; d ) x 4 x = ( ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. a ) b ) x x + x = ; x = x x ; c ) d ) x x 4 = 5 x + ; x + = x +.

25 54 Capitolo 0. Equazioni 0.7 ( ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. a ) x 4 x 6 = 0; b ) x = x + ; x x c ) x 4 = x + ; d ) x x = x x. 0.8 ( ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. a ) x x = x x ; b ) x + x + = x + ; x + c ) x + x = ; d ) 6 + x x = x x. 0.9 ( ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. a ) b ) x + x + = x x ; 5 x 6 x + = x x x ; c ) x x d ) x + x x = 0; x + x = ( ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. a ) x + x + 4x + 4x = ; b ) x + x + x x = 0; c ) x x x + = x ; d ) 4 x = x + 5x + 6 x ( ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. a ) b ) 5 5x + + x = x ; x + x + = x x ; c ) 0 x x = 0; d ) + x x + = x + x x x. 0. ( ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. a ) x 6 x + 5x 0 5x = x 4 x ; b ) 8x 9x x 6x + 9x + x 8x + 6 = 0; c ) x + x = x + x + x 6 ; d ) + x x + x + x = 6 8x 4x. 0. ( ). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. x a ) x + 6x x 4x + 4 = x (x ) ; ( 4 b ) (4x + 6) x + ) = 0; x 5x c ) x 8x + 5 x = 5 8x 90 ; (x 4)(x + ) d ) (x 4)(x + ) =. x

26 56 Capitolo 0. Equazioni 0. ( ). Quale numero occorre aggiungere a numeratore e denominatore della frazione due settimi perchè essa triplichi di valore? 0.. Due amici A e B partono con le loro automobili nello stesso istante da due località diverse; A fa un viaggio di 00 Km a una certa velocità, B fa un viaggio di Km ad una velocità che supera quella dell amico di 0 Km/h. I due amici arrivano nello stesso istante all appuntamento. Qual è la velocità di A? A B 00 km km Traccia di soluzione: se A e B partono insieme e arrivano insieme significa che hanno impiegato lo stesso tempo per fare il proprio viaggio; il tempo è dato dal rapporto tra lo spazio percorso e la velocità; la velocità di A è l incognita del problema: la indichiamo con x; l equazione risolvente è 0 x = x + 0. Prosegui nella risoluzione. 0.. Per percorrere 480 Km un treno impiega ore di più di quanto impiegherebbe un aereo a percorrere 90 Km. L aereo viaggia ad una velocità media che è 8 volte quella del treno. Qual è la velocità del treno? 0. - Equazioni letterali 0.4 ( ). Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali nell incognita x. a ) + x = a + x; c b ) x 7 = ax 5; ) b x = b + bx; d ) ax + = x ( ). Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali nell incognita x. a ) k(x + ) = k + ; b ) (b + )(x + ) = 0; c ) k x + k = x + ; d ) (a )(x + ) = x Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali nell incognita x. a ) ax + x a ax = 0; b ) ax a = x ( a) + a (x ); c ) x( 5a) + (a ) = (a )(a + ); d ) x + a (x a) + = 0.

27 Sezione 0.5. Esercizi Equazione di stato dei gas perfetti: pv = nrt. Ricava le formule per calcolare: V = , t = Rendimento del ciclo di Carnot: η = T T. Ricava le formule per calcolare: T = , T = Legge di Stevino: P B = P A + ρ g (z A z B ). Ricava le formule per calcolare: ρ = , z A = , z B = Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla lettera richiesta. a ) y = a x b ) y = a x x =..., a =... ; x =..., a =... ; c ) y = x a x =..., a =... ; d ) y = a x x =..., a = Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla lettera richiesta. a ) x + x = k k =... ; k + b ) (m )x = m m =... ; c ) x + + a a + = 0 a =... ; d ) (a + )(b )x = 0 b = ( ). Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla lettera richiesta. a ) b ) x a + b + x b a b = x a + b + b a b a =..., x =... ; bx a b a b = 0 a =..., b = Risposte 0.. a) {0, }, b) {, +9}, c) {, },d) { }. 0.. a) {5, }, b) {, 6}, c) {, }, d) {, 7}. 0. a) {, 5}, b) {7, 6}, c) {4, 6}, d) {6, 8} a) {0, +4, 4}, b) {, +, 4}, c) {, }, d) {0, +, +5} a) {, +5, }, b) {, }, c) {0,, +4}, d) {,, +, } a) { 5}, b) {0, +, }, c) {0, +, 8}, d) {, +, } a) {, +9, 5}, b) {, +4, 4}, c) {,, +6}, d) {, } a) {,, 8}, b) {4, 4, }, c) {,, 8}, d) {7}.

28 6 Capitolo 0. Equazioni 0.9. a) { 6}, b) {, +, +, +4}, c) {, +, 7}, d) {,, 4, +6} a) {,, +5, 4}, b) {0, +, +, +4}, c) { 5, 5, }, d) {4, +, }. 0.. a) {0, +,, +, }, b) {,,, +, 4}, c) {, }, d) {, }. 0.. a) {, }, b) {,, }, c) {,, }, d) {,, 4}. 0.. a) {,, }, b) {,,, }, c) {,, 4, }, d) { 5,, 6} {, +, +, } a) { }, b) { }, c) {0}, d) a) {0}, b) { }, c) { 6 }, d) a), b) { }, c), d) {, } a) { }, b) {0, }, c) {}, d) { } a), b) { 9 }, c) { }, d) { } a) { }, b) { }, c), d) {, }. 0.. a) { 5 }, b), c), d) { }. 0.. a) { 4 }, b) { 7 }, c), d). 0.. a) R {}, b) {, 5 }, c) { 5}, d) {4,, } a) R {, }, b) {}, c) { }, d) {} a) { }, b) {, }, c) { }, d) {} a) { 5, +}, b) {, 4, }, c), d) { 6} a) R { }, b) { }, c) { 5 }, d) { 4} a) { 5 }, b) { 4 }, c) {4}, d) { 6 5}, e) { 5 }, f) { 0} x = 0.. x = a) a R { } { } a 4, b) a = ; a (a ), c) b = 0 R; b = ; b 0 b { } { b, d) a = ; a a } a) k = 0 ; k 0 { k k }, b) b = R; b { }, c) k = R; k = ; k k { k+}, d) a = R; a { } a) a = R; a {0}, b) k = 0 ; k 0 { k }, c) a = 0 R; a = ; a 0 a { 0 a}, d) a = 0 R; a 0 { (a ) } a) a = R; a {}, b) a = R; a = ; a a { a }, c) a = ; a = R; a a { a }, d) m = m = R; m m.

29 Matematica C Geometria Razionale Manuale di geometria per il biennio della scuola secondaria di secondo grado terza edizione Copyright Matematicamente.it 04 Questo libro, eccetto dove diversamente specificato, è rilasciato nei termini della licenza Creative Commons Attribuzione.0 Italia (CC BY.0) il cui testo integrale è disponibile al sito Tu sei libero di Condividere riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitare questo materiale con qualsiasi mezzo e formato Modificare remixare, trasformare il materiale e basarti su di esso per le tue opere per qualsiasi fine, anche commerciale. Per maggiori informazioni su questo particolare regime di diritto d'autore si legga il materiale informativo pubblicato su Coordinatori del progetto Antonio Bernardo Angela D'Amato Autori Angela D Amato Antonio Bernardo Hanno collaborato Francesco Camia Erasmo Modica Germano Pettarin Nicola Chiriano Luciano Sarra Anna Cristina Mocchetti Claudio Carboncini Cristina Mocchetti Lucia Rapella Paolo Baggiani Vittorio Patriarca Giuseppe Pipino Anna Battaglini-Frank Dorotea Jacona Gemma Fiorito Eugenio Medaglia Laura Todisco Alberto Brudaglio Luca Frangella Alessandro Paolini Collaborazione, commenti e suggerimenti Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica C o se vuoi inviare commenti e/o suggerimenti scrivi a antoniobernardo@matematicamente.it Versione del documento Versione. del Stampa Terza edizione, 04 Dati tecnici per l'adozione del libro a scuola: Titolo: Matematica C, Geometria razionale Codice ISBN: Editore: Matematicamente.it Anno di edizione: 04 Prezzo: 0,00 Formato: ebook (PDF + ODT)

30 - Matematica C Geometria Razionale - Indice CAPITOLO : NOZIONI FONDAMENTALI INDICE. Introduzione alla geometria razionale...6. Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioni...7. Gli enti fondamentali della geometria Prime definizioni: segmenti e angoli Confronto e operazioni fra segmenti e angoli La misura Poligoni e poligonale ESERCIZI...9 CAPITOLO : CONGRUENZA NEI TRIANGOLI. Definizioni relative ai triangoli...5. Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli...5. Teoremi del triangolo isoscele Terzo criterio di congruenza dei triangoli Congruenza dei poligoni ESERCIZI...6 CAPITOLO : RETTE PARALLELE. Primo teorema dell angolo esterno Rette perpendicolari Rette parallele Somma degli angoli interni di un triangolo Generalizzazione dei criteri di congruenza dei triangoli Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo ESERCIZI...8 CAPITOLO 4: QUADRILATERI. Generalità sui quadrilateri Trapezio e deltoide...9. Proprietà dei parallelogrammi Parallelogrammi particolari Corrispondenza di Talete Conseguenze della corrispondenza di Talete ESERCIZI...97 CAPITOLO 5: CIRCONFERENZA. Luoghi geometrici...0. Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà Posizioni relative fra rette e circonferenze Angoli nelle circonferenze Proprietà dei segmenti di tangenza Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza Punti notevoli di un triangolo Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti Poligoni regolari ESERCIZI...4 CAPITOLO 6: PROPORZIONALITÀ E SIMILITUDINE. La misura...0. Proporzionalità tra grandezze.... Teorema di Talete, caso generale Avere la stessa forma La similitudine nei triangoli...4

31 - Matematica C Geometria Razionale. Congruenza nei triangoli Esercizi sui criteri di congruenza dei triangoli e sui triangoli isosceli. 5 Due triangoli sono congruenti se hanno segmento BG congruente a CF. Dimostra che i triangoli AGD e AFE sono congruenti. a) tre lati congruenti V F b) tre angoli congruenti V F 67 Dato il triangolo convesso non piatto a O b c) due lati e l angolo compreso congruenti V F si prenda un punto A sul lato Oa e un punto B sul lato d) due angoli e il lato in comune congruenti V F Ob, in modo che OA OB. Sia M il punto medio di e) un lato e l angolo opposto congruenti V F OA e N il punto medio di OB, congiungi A con N e B 54 Prolunga nello stesso verso i lati di un triangolo equilatero di tre segmenti tra loro congruenti. con M, indica con P in punto di intersezione. Dimostra che sono congruenti i triangoli OBC e OAD e i Dimostra che il triangolo ottenuto congiungendo gli triangolo AOP OPB. estremi dei segmenti aggiunti è equilatero. 68 Nel triangolo isoscele ABC di base AB e 55 Due triangoli equilateri sono congruenti se vertice C, prendi un punto D sulla bisettrice CH hanno lo stesso perimetro. dell angolo al vertice C, indica con E il punto di 56 Dimostra che due triangoli equilateri che intersezione della retta AD con BC e F il punto di hanno in comune la base sono congruenti. intersezione di BD con AC. Dimostra che i triangoli 57 Se in due triangoli sono congruenti due coppie FDA e EDB sono congruenti. di lati e la mediana relativa ad uno di essi, allora i due 69 Siano ABC e ABD due triangoli isosceli triangoli sono congruenti. aventi la base AB in comune e i vertici C e D situati 58 Se in due triangoli sono congruenti due coppie da parti opposte rispetto ad AB. Dimostrare che di lati e la bisettrice relativa ad uno di essi, allora i A C D D C B. due triangoli sono congruenti. 70 Sia P un punto interno al triangolo isoscele 59 Due triangoli isosceli sono congruenti se ABC di base AB e sia AP = PB. Si dimostri che hanno rispettivamente congruenti la base e un altro CP appartiene alla bisettrice dell angolo in C. lato. 7 Due triangoli equilateri ABC e DBC hanno la 60 Se due triangoli hanno congruenti due lati e la base BC in comune e i vertici A e D situati da parti mediana relativa a uno di essi allora sono congruenti. opposte rispetto alla base BC. Dimostra che i due 6 In un triangolo se la bisettrice di un angolo è triangoli sono congruenti. anche meddiana allora il triangolo è isoscele. 7 Siano ABC e A B C due triangoli congruenti. 6 In un triangolo isoscele ABC di base BC e Si fissino su AC un punto P e su A C un punto P vertice A prendi un punto D sul lato AB e un punto E tali che AP A ' P '. Si fissino su BC un punto Q e sul lato AC, in modo che BD EC, unisci C con D su B C un punto Q tali che BQ B ' Q '. Si dimostri che PQ P ' Q '. e B con E, sia {F}= BE DC, dimostra che i triangoli BFA e CFA sono congruenti. 7 Nel triangolo generico ABC sia AK la bisettrice dell'angolo in A. Sul prolungamento dei lati AB 6 Dimostra che, prolungando i lati congruenti AB e AC di un triangolo isoscele di due segmenti e AC, rispettivamente dalla parte di B e dalla parte di congruenti rispettivamente AP e AQ, si ha che C, individua due punti D ed E, tali che AD sia BQ = PC. congruente ad AE. Dimostra che DK è congruente a 64 In un triangolo isoscele ABC di base BC e KE. vertice A, prolunga il lato AB di un segmento BD e il 74 Due triangoli, che hanno un lato congruente e lato AC di un segmento CE in modo che BD CE hanno congruenti anche i due angoli esterni al triangolo aventi per vertici gli estremi del lato congruente,, prolunga la base BC di un segmento BG, dalla parte di B, e di un segmento CF dalla parte di C, in modo sono congruenti. che BG CF. Dimostra che sono congruenti i 75 Dato il triangolo ABC e un punto O esterno al triangoli ADG e AEF. triangolo, si unisca O con A, con B e con C. Si 65 In un triangolo scaleno ABC sia AC>BC. prolunghi ciascun segmento, dalla parte di O, dei Prolunga BC, dalla parte di C, di un segmento CD segmenti OA ' = OA, OB ' = OB, OC ' = OC congruente ad AC e prolunga AC, dalla parte di C, si Dimostra che ABC = A' B ' C '. un segmento CE congruente a BC. Detto H il punto di 76 Siano LMN i punti medi dei lati del triangolo intersezione della retta per AB con la retta per DE, isoscele ABC, dimostra che anche LMN è isoscele. dimostra che AH DH. 77 Siano MN i punti medi dei lati congruenti AB 66 In un triangolo isoscele ABC di base BC e e AC del triangolo isoscele ABC, dimostra che le vertice A, prolunga il lato AB di un segmento BD e il mediane AM e AN sono congruenti. lato AC di un segmento CE in modo che BD CE. 78 Siano A O B e B O C due angoli consecutivi Unisci D con C e prolunga il segmento DC, dalla congruenti, sia OM la bisettrice dell angolo A O B. parte di C di un segmento CF. Unisci E con B e Sulle semirette OC, OB, OM e OA si prendano prolunga il segmento EB dalla parte di B di un rispettivamente i segmenti tutti congruenti tra di loro 64