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1 SHULOFGOLQ,QIRUPDWLFD SURI0DXUL]LR6SXULR VSXULR#ERLQIQLW 1

2 I l Met odo Scient if ico La st or ia della Scienza moder na inizia in Gr ecia: nascit a della logica, della f ilosof ia, della mat emat ica e pr imi t ent at ivi di st udiar e il mondo ut ilizzando un abbozzo di PHWRGRVFLHQWLILFR Osser vazioni e misur e Cost r uzione di un modello mat emat ico Ut ilizzo pr edit t ivo del modello Conf r ont o t r a pr edizioni e nuove osser vazioni La Scienza è la gr ande avvent ur a di esplor azione collet t iva dell Umanit à. Galileo, I l met odo scient if ico è dist r ibuit o e non è appannaggio di un solo sogget t o. Gli scienziat i non sono isolat i, ma f or mano una comunit à unica.

3 'DLQILQLWR«I mat t oni dell Univer so sono gli DWRPL cost it uit i a lor o volt a da HOHWWURQLSURWRQLHQHXWURQL Gli at omi si r iuniscono e f or mano 0ROHFROH Gli elet t r oni sono legat i al nucleo dalla IRU]DHOHWWULFD. Pr ot oni e neut r oni sono legat i t r a lor o da una f or za più int ensa, la IRU]DIRUWH. - Le st elle splendono per t ant o t empo a causa della IRU]DGHEROH. - Gli ogget t i celest i sono legat i dalla IRU]DGL JUDYLWj «DLQILQLWR 3

4 Fisica ed I nf or mat ica I modelli t eor ici delle macchine calcolat r ici sono basat i su modelli f isici delle macchine st esse La logica int er na delle macchine calcolat r ici è basat a sull elet t r onica (oggi) e f or se domani ( f ot oni, meccanica quant ist ica) Molt i algor it mi di calcolo sono basat i su modelli f isici Modelli f isici hanno un r uolo impor t ant e nella comput er gr aphics e nello sviluppo di molt i simulat or i (videogiochi) La compr ensione della Fisica è impor t ant e anche nella gest ione di event i est er ni L I nf or mat ica f a molt o per la Fisica... e vicever sa 4

5 Le LOOXVWUD]LRQL ut ilizzat e sono nella maggior par t e est r at t e da: Halliday-Resnick-Walker, CEA. /LEULGL 7HVWR Gli ar goment i t r at t at i sono pr esent i in t ut t i i libr i di Fisica Gener ale che cont engano: Meccanica Elet t r omagnet ismo 5

6 $YYHUWHQ]D«Le seguent i t r aspar enze sono ut ilizzat e dur ant e la lezione. 11 possono quindi esser e consider at e aut oconsist ent i, ma necessit ano delle spiegazioni, di alcune dimost r azioni e passaggi pr esent at e dur ant e la lezione (magar i sulla t r adizionale lavagna). Sono per ò ut ili per aiut ar e lo st udent e a pr ender e appunt i, per aver e sot t omano le f or mule da usar e negli eser cizi e per selezionar e nei libr i consigliat i le par t i svolt e. Maur izio Spur io 6

7 0LVXUDUH RJJHWWL 6LVWHPLGLULIHULPHQWR: necessar i per localizzar e un event o nello spazio e nel t empo Gener alment e, ut ilizzer emo un 6Lst ema di 5if er iment o &ar t esiano r t ogonale (SiRCO). Un event o e localizzat o con le coor dinat e: (x,y,z,t ) Misur e di segment i e dist anze: il METRO misur ar e un segment o signif ica adot t ar e una pr ocedur a di misur a, ut ilizzando una gr andezza RPRJHQHD da conf r ont ar e 7

8 Met r o Campione (1796) Def inizione di FDPSLRQHRequisit i: pr eciso accessibile r ipr oducibile invar iabile Oggi: Si ut ilizzano le conoscenze della Fisica (quant ist ica, at omica, r elat ivit à ) P OXQJKH]]DSHUFRUVDGDOODOXFHLQV Misur e di Tempo Misur a di un LQWHUYDOORGLWHPSR: si ut ilizza un f enomeno per iodico I l gior no solar e è st at o un buon campione e per molt o t empo. Tut t avia, La dur at a del gior no e var iabile. V WHPSRQHFHVVDULRDOO DWRPRGL &VSHUHIIHWWXDUH RVFLOOD]LRQL 8

9 I l Sist ema I nt er nazionale - Misur a di Massa: il Kg Esist e un campione di massa (1 kg), un cilindr o di plat ino-ir idio conser vat o pr esso l Uf f icio I nt. Pesi e Misur e di Sevr es Oggi, si pr ef er isce ut ilizzar e come campione l at omo di 1 C, il quale ha una massa di: P & NJ - Misur a di Temper at ur a: il Kelvin (K) - Misur a di Car ica Elet t r ica: I l Coulomb (C)* (Cap. 11) - Misur a di quant it à di sost anza: la mole (mol) - Misur a di int ensit à luminosa: la candela (cd) * not a: il r ealt à il C nel SI è r ecent ement e divenut a gr andezza der ivat a dall Amper e. 9 Per semplicit à didat t ica, consider o l Amper e der ivat o dal Coulomb, e non vicever sa.

10 *UDQGH]]HVFDODULHYHWWRULDOL La SRVL]LRQH di un cor po in un SiRCO è def init a da una t er na di gr andezze (x,y,z). Le gr andezze che, come la posizione, hanno bisogno di 3 numer i per esser e def init e, sono chiamat e YHWWRUL I n manier a analoga, un vet t or e può esser e def init o da (vedi esempio a lat o): un modulo (o int ensit à dalla sua dir ezione da un ver so Una gr andezza vet t or iale viene sempr e indicat a in gr asset t o o con la f r eccia : Y, v I l modulo del vet t or e viene indicat o senza f r eccia! I l WHPSR è invece una gr andezza scalar e: si indica con il car at t er e nor male: t 10

11 Somma di vet t or i Si può andar e dalla par t enza all ar r ivo sia con un unico st ep, sia con due (o più) Quest a oper azione e la VRPPDYHWWRULDOH di due vet t or i. Per la somma dei vet t or i si usa gr af icament e la r egola del par allelogr amma. Esercizio.1: Mostrare come devono essere i vettori perché i) D + D DLi) D + D Diii) D + D Molt iplicazione di uno scalar e k per un vet t or e 9: E una gr andezza vet t or iale, con la st essa dir ezione e ver so concor de (se k>0) del vet t or e, e modulo par i al pr odot t o kv. Esercizio.: mostrare che se k -1 la direzione del vettore si inverte 11

12 Ver sor i Una volt a scelt o uno SiRCO, ciascun vet t or e spost ament o può esser e cost r uit o con t r e component i sugli assi or t ogonali: D D D D D a x La y M + a z N I ver sor i unit ar i Esempio di scomposizione sulle component i sugli assi x e y Esercizio.3: mostrare che se F DE, allora: c x a x + b x, c y a y + b y, c z a z + b z 1

13 Pr odot t o Scalar e t r a vet t or i Dat i i vet t or i D e E: D a x La y M + a z N E b x L b y M + b z N Si def inisce pr odot t o scalar e t r a vet t or i la gr andezza VFDODUH: D E a b cosφ Esercizio.3: mostrare che: D E a x b x + a y b y + a z b z I l pr odot t o scalar e (il punt ino è obbligat or io!) è una oper azione molt o impor t ant e in Fisica; inf at t i, molt e gr andezze vet t or iali (spost ament o, velocit à, f or za ) si combinano t r a lor o per f or mar e alt r e JUDQGH]]H VFDODUL t r amit e il pr odot t o scalar e. 13 I l pr ot ot ipo di quest e è il lavor o (dimensionalment e, ) V)

14 Pr odot t o vet t or iale t r a vet t or i Dat i i vet t or i D e E: D a x La y M + a z NE b x L b y M + b z N Si def inisce pr odot t o vet t or iale t r a vet t or i la gr andezza YHWWRULDOH: F DuE il modulo e : a b sinφ la dir ezione è per pendicolar e al piano cont enent e D ee; il ver so è dat o dalla r egola della mano dest r a. Esercizio.4: mostrare che: DuE (a y b z - a z b y ) L+ (a z b x - a x b z ) M+ (a x b y - a y b x ) N 14

15 I vet t or i e le leggi della f isica Supponiamo di aver e due osser vat or i, ciascuno con il suo SiRCO. Nei due sist emi, i vet t or i D e E avr anno dif f er ent i component i; t ut t avia, le oper azioni di somma, pr odot t o scalar e e pr odot t o vet t or iale t r a vet t or i r imangono immut at e. Ogni volt a che ho espr esso una legge in f or ma vet t or iale, non ho bisogno di ver if icar e se la legge r est a immut at a se io WUDVOR (spost o l or igine del SiRCO) o UXRWR il SiRCO. Esercizio.5: mostrare che se D D [ D \ allora D (D [ D \ ) con: D [ D [ FRVID \ VLQID \ D [ VLQID \ FRVI Esercizio.6: mostrare che se D E a x b x + a y b y + a z b z Allora è anche: D E a x b x + a y b y + a z b z 15

16 &LQHPDWLFDGHOSXQWR Un punt o mat er iale è localizzat o dal vet t or e posizione U Una var iazione di posizione si def inisce spost ament o e viene indicat a da 'U U U L insieme dei punt i nello spazio t occat i dal punt o in ist ant i di t empo successivi si def inisce WUDLHWWRULD. 16

17 Var iazione della posizione Si def inisce velocit à media il r appor t o t r a lo spost ament o della par t icella e la dur at a W dell int er vallo in cui avviene. Nel caso in cui l int er vallo di t empo sia inf init esimo (dt), la dir ezione dello spost ament o 'UoGUcoincide con la WDQJHQWH alla t r aiet t or ia. 17

18 Velocit à Si def inisce velocit à (o velocit à ist ant anea) il r appor t o: ρ Y ρ GU GW La velocit à di una par t icella ha sempr e la dir ezione della t angent e alla cur va che r appr esent a la t r aiet t or ia. Se la t r aiet t or ia è dat a in f or ma par amet r ica del t empo come: U x(t)l+ y(t)m + z(t)n TXHVWDHTXD]LRQHVLFKLDPDOHJJHRUDULD G[ G\ ; Y\ allor a le component i della velocit a sono: Y ; Y] GW GW [ G] GW Esercizio 3.1. Calcolare le componenti della velocità se: U kt L- bt M Esercizio 3.. Disegnate la WUDLHWWRULD della particella dell es. 3.1 (k4, b1) La velocit à e una gr andezza le cui dimensioni sono [spazio]/ [t empo]. Nel S.I. si misur a in m/ s 18

19 Acceler azione Si def inisce acceler azione di un cor po il r appor t o: ρ D ρ GY GW ρ G U GW La acceler azione di una par t icella r appr esent a la var iazione di velocit à al var iar e del t empo. L acceler azione e una gr andezza le cui dimensioni sono [spazio]/ [t empo ]. Nel S.I. si misur a in m/ s Esercizio 3.. Calcolare le componenti della accelerazione se: U kt L- bt M L acceler azione è una gr andezza molt o impor t ant e. Most r er emo che il mot o di un cor po ( legge or ar ia!) è not o se è not a l acceler azione. I n alt r i t er mini: conosci D per conoscer e il mot o! 19

20 I l pr oblema dir et t o della cinemat ica: dalla t r aiet t or ia all acceler azione Sper iment alment e, è possibile conoscer e la t r aiet t or ia di un ogget t o lanciat o da un cannone: y-αx +βx (vedi f igur a). Siet e in gr ado di r icavar e velocit à ed acceler azione? 5LVSRVWD: si. Occor r e dappr ima scr iver e la legge or ar ia (par amet r izzar e le coor dinat e in f unzione del t empo): x(t ) v ox t y(t ) g t +v oy t z(t ) 0 (sost it uit e per det er minar e v ox, v oy,g da α e β) Tr over et e così che il mot o lungo l asse x avviene a velocit à cost ant e e senza acceler azione (mot o r et t ilineo unif or me), ment r e lungo l asse delle y avviene con velocit à che aument a linear ment e col t empo, ed acceler azione cost ant e (mot o unif or mement e acceler at o). I due mot i sono indipendent i l uno dall alt 0 r o

21 /HOHJJLGHOOD'LQDPLFD Tut t i conoscono il concet t o ant r opomor f ico di sf or zo muscolar e, che è un descr it t or e (NON una gr andezza f isica) di una sensazione comune. Tr over emo che dovr emo applicar e uno sf or zo muscolar e per vincer e una f or za che può esser e di var ia nat ur a (gr avit azionale, elet t r ica ) Dobbiamo t r ovar e un SURFHGLPHQWRRSHUDWLYR con cui espr imer e quest o nuovo concet t o. Lo st r ument o che ci per met t e di esser e quant it at ivi è il dinamomet r o (D). Noi dobbiamo eser cit ar e uno sf or zo per sollevar e un cocomer o. La molla del (D) si allunga di una quant it à l. Dobbiamo eser cit ar e uno sf or zo doppio per sollevar e due cocomer i: la molla del (D) si allungher à di l. At t enzione: dovr emo cur ar e le pr opr iet à dello st r ument o (linear it à). 1

22 I l dinamomet r o e la f or za Vi è cor r ispondenza t r a lo sf or zo e la f or za eser cit at a. Lo st r ument o è linear e Quando not iamo che vi è una var iazione di velocit à su un cor po, possiamo af f er mar e che su quest o si è eser cit at a una IRU]D Lo st r ument o che ut ilizziamo per misur ar e le f or ze è il dinamomet r o. La f or za è una gr andezza YHWWRULDOH: inf at t i, la somma di due f or ze dà come r isult at o una f or za il cui modulo,dir ezione e ver so è dat o dalla somma dei vet t or i.

23 Nat ur a vet t or iale della For za E anche quest a una osser vazione di car at t er e sper iment ale. For ze con diver se dir ezioni: For ze con la st essa dir ezione Risult ant e delle f or ze con la r egola del par allelogr amma 3

24 La massa e la I I Legge della Dinamica Sper iment alment e, si è osser vat o che se viene applicat a una f or za, su un cor po si pr oduce una acceler azione (l osser vazione pr oviene da Galileo). Newt on f issò il coef f icient e di pr opor zionalit à, che dipende da XQD pr opr iet à del cor po sogget t o alla f or za: la sua PDVVD. ) D ρ ρ ) PD Seconda legge di Newt on. La f or za (misur abile con un dinamomet r o) agent e su un punt o mat er iale è pr opor zionale all acceler azione pr odot t a t r amit e un coef f icient e che è la massa del punt o mat er iale. Tale r elazione espr ime una legge, che lega gr andezze f isiche diver se () e D). Poiché l unit à di massa è f issat a, e l acceler azione è def init a, la I I Legge di N. per met t e di def inir e l unit à di f or za: Se un ogget t o di massa 1 kg subisce una acceler azione di 1 m/ s, su di esso si eser cit a una f or za par i a 1 Newt on (N). 1 N 1 kg ms -. Le dimensioni della For za sono: >)RU]D@ 4

25 La pr ima legge della Dinamica Esist ono delle sit uazioni in cui la I I Legge di Newt on sembr a f alsa: Ad es, su di una giost r a r ot ant e un ogget t o non ancor at o inizia a muover si, senza che appar ent ement e vi sia una f or za eser cit at a. Newt on si r ese cont o di quest o nella sua I legge: Pr ima legge di Newt on. Se su un cor po non agisce nessuna f or za, la velocit à del cor po non può cambiar e, ossia il cor po non acceler a. Come cor ollar io, ne consegue che la I I legge 11 è valida in t ut t i i sist emi di r if er iment o (ad es. su una giost r a). I sist emi di r if er iment o in cui è ver if icat a la I legge della D. si chiamano VLVWHPLGLULIHULPHQWRLQHU]LDOL 65, La giost r a non cost it uisce un SRI. Qual è un SRI è un pr oblema di nat ur a sper iment ale, e dipende dal gr ado di pr ecisione con cui si devono r isolver e i pr oblemi. Esercizio 4.1. La t er r a è un sist ema di r if er iment o iner ziale? Esercizio 4.. Sapreste far vedere che se conoscete UN SRI, allora ne conoscete 5 infiniti?

26 $OFXQLHVHPSLGLIRU]H 5.1 f or za peso Noi abbiamo esper ienza del f at t o che, se lasciamo un cor po ad una cer t a alt ezza, esso cade. Sul cor po agisce una f or za, che è la IRU]DJUDYLWD]LRQDOH (di cui discut er emo in seguit o). I n pr ossimit à della t er r a, qualunque cor po (se t r ascur iamo l at t r it o), cade con la st essa acceler azione, ossia è sogget t o a una f or za cost ant e lungo la ver t icale che si chiama IRU]DSHVR: ) PJ At t enzione 1: il peso è una f or za, e si misur a in Newt on, la massa si misur a in kg! At t enzione : con la f or za peso, conviene f ar coincider e uno degli assi di un SiRCO con la ver t icale. I n t al caso, si possono omet t er e anche i simboli di vet t or e! 6

27 La I I I legge della dinamica Se appoggiat e un ogget t o su un t avolo, su di esso agisce la f or za peso, ma l ogget t o QRQFDGH! Quest o avviene per ché la super f icie del t avolo spinge il cor po con una f or za 1esat t ament e cont r ar ia al peso. (La super f icie,anche se appar ent ement e r igida, si def or ma. Sono f or ze elet t r iche t r a i micr oscopici cost it uent i della mat er ia che r eagiscono al peso) 7HU]DOHJJHGL1HZWRQazione e r eazione. Quando due cor pi int er agiscono, le f or ze eser cit at e da un cor po sull alt r o sono uguali in modulo e dir ezione, ma ver so oppost o. I mpar er emo che le f or ze possono eser cit ar si non solo quando vi sia un cont at t o, ma anche con azione a dist anza (f or ze gr avit azionali, elet t r iche ). Anche in t al caso si applica la t er za legge 7

28 Esempio: il mot o dei pr oiet t ili St udiamo il mot o di un pr oiet t ile, sot t opost o alla f or za peso F-mg lungo l asse delle y. Esso e lanciat o con velocit à v o 330 km/ h dall or igine del SiRCO ad un angolo θ o 60 o r ispet t o l or izzont e. Det er minar e la git t at a R e la sua massima alt ezza. Risoluzione: occor r e dappr ima scr iver e le equazioni del mot o: F x mdv x /dt 0 v x (t) v 0x x(t) v 0x t F y mdv y /dt - mg v y (t) - gt + v 0y y(t) - ½gt + v 0y t La git t at a R e la massima alt ezza possono esser e det er minat e r icavando la t r aiet t or ia del cor po (una par abola): y(t) - ½(g/v 0x)x + (v 0y/ v 0x )x e r ichiedendo che int er sechi l asse y0. La massima alt ezza come si può det er minar e? 8

29 5. L at t r it o La nost r a esper ienza quot idiana è cont aminat a dalla IRU]DGLDWWULWR sia quando t r asciniamo un ogget t o appoggiat o su una super f icie (at t r it o dinamico) sia quando lasciamo cader e un ogget t o legger o in ar ia (r esist enza del mezzo). Un par t icolar e di cosa avviene a livello quasi micr oscopico t r a due mat er iali in cont at t o, da cui si or igina la f or za di at t r it o 1- $WWULWRGLQDPLFR il modulo della f or za viene par amet r izzat o dalla f or mula: F µn dove N è la component e nor male della f or za, e µ un coef f icient e che dipende dai mat er iali in cont at t o I n pr esenza di at t r it o, ogget t i diver si possono aver e velocit à diver se! - 5HVLVWHQ]DGHOPH]]R: il modulo della f or za viene par amet r izzat o dalla f or mula: Fηv Dove v è la velocit à del cor po, η è un coef f icient e. 9

30 La velocit à di cadut a limit e Esercizio 5.1. Calcolar e la massima velocit à r aggiunt a da un ogget t o (goccia di pioggia, par acadut ist a) con coef f icient e η in cadut a liber a. GY ) P PJ ηy GW Equazione del mot o dalla I I legge della dinamica GY GW Soluzione J η Y P η G( J Y) P P η GW J Y( W) η η J W P 1 H η P W >> η Equazione dif f er enziale da r isolver e per separ azione delle var iabili η P G\ J Y P η GW \ G\ η GW \ P Y limlwh Esercizio 5.. Cosa succede se η0? 30

31 5.3 La f or za elast ica I n Nat ur a molt e sit uazioni possono esser e assimilat e alla f or za di r ichiamo di una molla. Se si spost a dalla posizione di r iposo una molla di una quant it à [, quest a eser cit a una f or za di r ichiamo che viene par amet r izzat a da: ) -k [(legge di Hooke) Esercizio 5.3. Descr iver e il mot o di un ogget t o mat er iale allont anat o di x 0 dall equilibr io e sogget t o ad una f or za di r ichiamo elast ica, t r ascur ando l at t r it o. G [ GW Soluzione: scr iviamo l equazione del mot o: P N[ La f unzione che soddisf a quest a equazione è: ( ϖt), x(t) x o cos con ϖ 31 k m

32 5.4 I l mot o cir colar e unif or me Un mot o si chiama FLUFRODUHXQLIRUPH, se ar chi di cir conf er enza θ della st essa gr andezza, vengono spazzat i in t empi uguali (ossia, con velocit à in modulo cost ant e). Quindi, per def inizione GTGW FRVW Z I n Nat ur a molt e sit uazioni sono equipar abili a quest o mot o (i pianet i at t or no al Sole, gli elet t r oni negli at omi). Nel caso della Figur a, le component i del mot o sono descr it t e dalle eq: [W UFRVTW \W UVLQTW Eser cizio 5.4:Come scr iver est e le coor dinat e del vet t or e U r uot at o di +90 o (senso ant ior ar io) r ispet t o ad U? Nel Mot o cir colar e unif or me, la velocit à cambia ist ant aneament e di dir ezione, ed è sempr e per pendicolar e al r aggio. Eser cizio 5.5 Most r ar e l af f er mazione pr ecedent e Poiché vi è var iazione di velocit à, vi e acceler azione!! Ossia, GHYH esser ci una f or za che def let t e cont inuament e il vet t or e Y U T 3

33 Acceler azione nel Mot o Cir colar e Unif or me v x v \ (t) (t) rϖ sen( ϖ t) rϖ cos( ϖ t) a a x y (t) (t) rϖ rϖ cos( ϖ t) sen( ϖ t) ϖ ϖ x y Nel mot o cir colar e unif or me, deve esist er e una acceler azione che cont inuament e GHIOHWWH il mot o. L acceler azione deve esser e UDGLDOH, ver so il cent r o e di modulo: D UZ Y U L acceler azione sar à dovut a ad una f or za est er na. Quest a f or za si chiama FHQWULSHWD, e sar à dovut a a qualche f enomeno f isico (ad es. l at t r azione t r a pianet i, o la f or za elet t r ost at ica at t r at t iva t r a pr ot oni ed elet t r oni). Poiché la par t icella non cade nel cent r o, la f or za cent r ipet a è esat t ament e cont r obilanciat a dalla f or za FHQWULIXJD, di modulo par i a ) & PUZ PY U I n alt r i t er mini, si ha un mot o cir colar e unif or me qualor a una f or za cent r ale (gr avit azionale, Coulombiana) venga esat t ament e bilanciat a dalla f or za 33 cent r if uga. I n seguit o: mot o di pianet i, at omo

34 ,OODYRURO HQHUJLDFLQHWLFDH O HQHUJLDSRWHQ]LDOH Di seguit o, def inir emo alcune nuove gr andezze f isiche scalar i: il ODYRUR, O HQHUJLDFLQHWLFD e O HQHUJLDSRWHQ]LDOH (I l lavor o è l int egr ale su un per cor so, del pr odot t o scalar e t r a la f or za e uno spost ament o inf init esimo sul per cor so.) Tr over emo che, gr azie alla I I legge di Newt on, pot r emo calcolar e il lavor o di una f or za t r a due punt i nello spazio, come la var iazione di ener gia cinet ica t r a i due punt i. I nf ine t r over emo che, per alcune f or ze det t e conser vat ive, il lavor o non dipende dal (per cor so) cammino scelt o. I n quest o caso, è def init a una nuova gr andezza (O HQHUJLD SRWHQ]LDOH) che dipende dai soli punt i di ar r ivo e par t enza. Nel caso delle f or ze conser vat ive, la somma di O HQHUJLDFLQHWLFD e O HQHUJLDSRWHQ]LDOH HQHUJLDsono cost ant i del mot o (ossia, l ener gia è la st essa in t ut t i i punt i del per cor so). 34

35 I l Lavor o di una f or za 1- Supponiamo di conoscer e la f or za ) in t ut t i i punt i di una r egione di spazio (campo di f or ze) ) )U) )x,y,z - Consider iamo una cur va nello spazio che connet t a i punt i A e B Possiamo '(),1,5(una nuova gr andezza f isica, come l int egr ale del pr odot t o scalar e t r a la IRU]D ed un HOHPHQWRLQILQLWHVLPRGL FXUYD. L int egr ale è sempr e calcolabile, ed il r isult at o è uno VFDODUH / % $ ) G V La nuova gr andezza si chiama ODYRUR, e si misur a in (Newt on Met r o) -RXOH 35

36 Casi semplici: spost ament o unidimensionale e - For za cost ant e e par allela allo spost ament o [caso (d) in f ig.] - For za cost ant e e nor male allo spost ament o [(b) in f ig.] - For za cost ant e ad angolo f isso r ispet t o allo spost ament o [casi (a,c) in f igur a] V - Lavor o svolt o dalla For za peso F g mg: Nel pr imo caso spost o la massa m ver so l alt o per un t r at t o lungo h: / PJKFRV R PJK Nel secondo caso, la massa m viene spint a ver so il basso: / PJKFRV R PJK Es Cosa succede se mi spost o di h in or izzont ale? h mg h 36

37 Lavor o della f or za elast ica Allont aniamo un blocco (f issat o con una molla) dalla posizione di equilibr io (f or za negat iva sull asse x, spost ament o posit ivo sull asse x): % [ 1 1 / ) G V ( NV) G V N[ R N[ $ [ R Occor r e f or nir e un lavor o dall est er no per allont anar e il blocco dalla posizione di r iposo. I l lavor o è negat ivo se compiut o sulla molla. I n gener ale, il ODYRUR è una gr andezza f isica (numer o!) che qvhpsuh FDOFRODELOH se la f or za è not a (pot r anno event ualment e esser ci pr oblemi di calcolo). Può succeder e che il numer o sia dif f er ent e se il per cor so scelt o è dif f er ent e. Es Cosa succede se spost o il blocco, compr imendo la molla? 37

38 (QHUJLDFLQHWLFD(Teor ema delle f or ze vive) I n vir t ù della I I Legge di Newt on )mdil lavor o ha una impor t ant e pr opr iet à: L B A F d s B A m d v dt d s 1 mv B 1 mv A Se def iniamo HQHUJLDFLQHWLFD la gr andezza: T 1 mv allor a il ODYRUR compiut o dalla r isult ant e delle f or ze agent i su un punt o mat er iale da A a B è uguale alla dif f er enza t r a l HQHUJLDFLQHWLFD possedut a dal punt o nella posizione f inale ed in quella iniziale: / 7 % 7 $ 38

39 Lapot enza Un lavor o può esser e svolt o in più o meno t empo. Per molt i scopi quest o aspet t o è impor t ant e. La r apidit à con la quale viene eseguit o un lavor o si chiama SRWHQ]D3: 3 G/ GW G ρ ( ) GW ρ G V ) Una f or za non compie lavor o se la f or za è per pendicolar e allo spost ament o (ovver o, f or za e velocit à or t ogonali). P>0 se la f or za e lo spost ament o sono concor di: la f or za eser cit a un lavor o P<0 se f or za e spost ament o sono discor di: occor r e eser cit ar e un lavor o est er no sul cor po per muover lo cont r o la f or za in quest ione. ρ ) ρ Y La pot enza nel SI si misur a in J aule/ s. Poiché è una unit à molt o comune: :DWW MDXOHV 39

40 /HJJHGHOODFRQVHUYD]LRQHGHOO (QHUJLD )RU]HFRQVHUYDWLYHHQRQ Supponendo di spost ar e il punt o mat er iale dalla posizione P 1 a P su diver si per cor si, t r oviamo che per alcuni campi di f or ze il lavor o 11 dipende dal per cor so scelt o. I n quest o caso, la f or za e det t a FRQVHUYDWLYD. I n caso cont r ar io, il campo è non conser vat ivo I n alt r i t er mini, il lavor o complessivo svolt o da una f or za conser vat iva su una par t icella che si muove su un per cor so chiuso è zer o. Esempi: For za peso, F z mg For za di t ipo cent r ale, For za di at t r it o F x xy ; F y y ; F z 0 ) N U U Caso impor t ant e! 40

41 (QHUJLD3RWHQ]LDOH 6H (e solo se) LOFDPSRGLIRU]HqFRQVHUYDWLYR, allor a è possibile def inir e una f unzione scalar e della sola posizione, l (QHUJLD3RWHQ]LDOH 8UI l lavor o della f or za dipende solo dalla var iazione dei valor i della f unzione U(r ) t r a i punt i iniziale e f inale. / % [ 8 (%) 8 ( $ ] 8 ) G V ) $ Esempi: For za peso, Umgz For za di t ipo cent r ale, 8 N 1 U 41

42 I n gener ale, la f unzione HQHUJLDSRWHQ]LDOH8Udeve esser e det er minat a pr oblema per pr oblema Se t iene f issa la posizione di par t enza (ad es., nell or igine del SiRCO o ad una dist anza dall or igine), la IXQ]LRQHHQHUJLDSRWHQ]LDOHGLSHQGH VRORGDOSXQWRGLDUULYR. I n t al caso, U(r ) è def init a a meno di una cost ant e addit iva (ar bit r ar iet à della posizione di par t enza). Ener gia Meccanica Def iniamo HQHUJLDPHFFDQLFD ( la somma di ener gia cinet ica T ed ener gia pot enziale U: ( 78 -L ener gia t ot ale E di un sist ema può var iar e solo se viene t r asf er it a ener gia dal (al) di f uor i del sist ema. Se quest o non può avvenir e, il sist ema si chiama LVRODWR. - I n un sist ema isolat o, O HQHUJLDPHFFDQLFDVLFRQVHUYD 4

43 Legge di conser vazione dell ener gia meccanica Teor ema delle f or ze vive: il lavor o svolt o dalle f or ze eguaglia la var iazione di ener gia cinet ica: / 7 7 6H il campo di f or ze è conser vat ivo, / 8 8 allor a la quant it à: E U +T U 1 +T 1 r imane cost ant e lungo t ut t a la t r aiet t or ia del mot o -La legge della conser vazione dell ener gia meccanica è molt o impor t ant e e ver r à gener alizzat a. - E una legge pr edit t iva (possiamo r icavar e inf or mazioni) Es. 7.1 A quale velocit à deve esser e spar at o un r azzo sulla super f icie 43 t er r est r e in modo che r iesca a f uggir e all at t r azione della Ter r a?

44 44 6LVWHPLGLSXQWLTXDQWLWjGLPRWR HXUWL Come si muove un insieme di punt i? Cos è un cor po r igido? Occor r e def inir e il FHQWURGLPDVVD. Most r er emo l equazione che gover na il mot o del cent r o di massa Consider iamo un insieme di punt i in un SiRCO. Si def inisce &0 &HQWURGL0DVVD&0 il punt o di coor d: 1 L L 1 L L L P F 1 L L 1 L L L P F 1 L L 1 L L L P F P P ] ] P P \ \ P P [ [ ; ; I l C.M. è un punt o f it t izio che può cor r isponder e a nessun punt o r eale. 1 L L 1 L L L P F P P U U ρ ρ

45 Cor pi r igidi Un Cor po r igido è compost o da cost it uent i la cui GLVWDQ]DUHODWLYDQRQFDPELD. La dist anza viene mant enut a cost ant e da )RU]H,QWHUQH. Anche per un cor po r igido può esser e def init o il C.M., sost it uendo il denominat or e con la massa M del cor po, ed il numer at or e da un int egr ale. (Un cor po r igido è cost it uit o inf at t i da un numer o così gr ande di punt i che può esser e consider at o come una dist r ibuzione cont inua di massa.) Equazione del Mot o per i Cor pi Rigidi ρ ρ ) QHW 0 D F. P Acceler azione del &0 Somma vet t or iale di t ut t e le )RU]H(VWHUQH Dimost r azione: alla lavagna. 45

46 Quant it à di mot o Si def inisce quant it à di mot o di un ogget t o la gr andezza: ρ S ρ P Y Si def inisce quant it à di mot o di un sist ema di 1 punt i: ρ S 1 ρ P L Y L 1 La quant it à di mot o è una gr andezza f isica impor t ant e. I nf at t i, se sul sist ema di punt i QRQDJLVFRQRIRU]HHVWHUQH (ma solo int er ne) la quant it à di mot o del sist ema non var ia (si conser va) Dim: ρ GS GW L S ρ costante (sist ema chiuso e isolat o) G ρ GW ρ GY GW 1 1 L P L L YL P L L ) H[W + ) ) 1 1 int H[W ρ ρ ρ 46

47 Ur t i Sist ema FKLXVR e LVRODWR La quant it à di mot o è ut ile per st udiar e gli XUWL. Un XUWR è un event o nel quale una f or za agisce per un t empo r elat ivament e br eve, su ciascuno di due cor pi in cont at t o. I n un sist ema chiuso ed isolat o, la quant it à di mot o 3 r est a invar iat a. ρ ρ ρ ρ S 1, L + S, L S1, I + S, I Se nell ur t o t r a due cor pi l ener gia cinet ica t ot ale non cambia, l ur t o si chiama HODVWLFR. Negli usuali ur t i t r a ogget t i comuni, una cer t a por zione di ener gia si t r asf er isce da cinet ica ad alt r e f or me. I n quest i casi, l ur t o si chiama DQHODVWLFR. 47

48 Ur t i uni-dimensionali Ur t o elast ico Ur t o complet ament e anelast ico P Y 1 1 1, L P Y , L P + 0 P P Y 1 1 1, I P Y 1 + P Y 1, I +, I 1 P Y P, I 1 1 Y 1, I Y1, L; Y, I Y1, L P1 + P P1 + P P Y L + ( P P ) 9 1 1, P Y 1 9 1, L ( P1 + P) 48

49 Esempio: il pendolo balist ico Eser cizio 8.1: I l pendolo balist ico er a un disposit ivo usat o per misur ar e la velocit à dei pr oiet t ili. Assumendo che la massa del legno in f igur a sia M5.4 kg, quella del pr oiet t ile che si ar r est a nel blocco di legno m9.5 g, e che il pendolo si sollevi per una dist anza ver t icale di h6.3 cm, det er minar e la velocit à del pr oiet t ile pr ima della collisione. Risoluzione. Occor r e suddivider e il pr oblema in due par t i: (1) l ur t o complet ament e anelast ico t r a pr oiet t ile e legno, e () l innalzament o del blocco cont r o la f or za di gr avit à. Dopo l ur t o, la velocit à complessiva del blocco è Vmv/ (m+m). Per innalzament o, l ener gia cinet ica del sist ema [1/ (m+m)v ] si t r asf or ma in ener gia pot enziale gr avit azionale [(m+m)gh], da cui si r icava: 0 + P Y JK 630P / V P 49

50 *UDQGH]]HDQJRODUL0RPHQWR GLXQDIRU]D²0RPHQWR$QJRODUH Posizione angolar e: misur at a in UDGLDQWL θ lunghezza ar co/ r aggios/ r Spost ament o angolar e: θ θ 1 θ Velocit à angolar e: ϑ ϖ lim W 0 W Gθ GW Nel caso in cui la posizione angolar e var ia in modo cost ant e (sr θ), la velocit à angolar e ω è cost ant e (mot o cir colar e unif or me). La velocit à del punt o è semplicement e: Y GVGW ZU I l SHULRGR è semplicement e: (lunghezza cir conf er enza/ velocit à) SUY SZ 50

51 Moment o di una f or za Empir icament e, sappiamo che è più semplice apr ir e una por t a vicino alla maniglia, piut t ost o che in pr ossimit à dei car dini, anche con la st essa f or za. Per ché si causi una r ot azione, non solo è necessar ia una ρ ρ ρ f or za, ma anche che sia applicat a in un punt o convenient e. τ U ) Def iniamo il PRPHQWRGHOODIRU]D la gr andezza: il modulo è τrf sinφ, dir ezione nor male al piano di U e ). Condizione per ché un cor po venga messo in r ot azione, è che vi sia un moment o della f or za non nullo. Es. 9.1 Most r ar e che nel caso di una f or za cent r ale, il moment o della f or za e nullo. 51

52 Moment o angolar e I l concet t o di quant it à di mot o, e la sua conser vazione, ci consent ono di SUHYHGHUH gli ef f et t i di una collisione, senza conoscer ne la dinamica in det t aglio. La nuova gr andezza che int r oduciamo (il moment o angolar e) è sogget t o ad una analoga legge di conser vazione. Consider iamo una par t icella con quant it à di mot o SmYPossiamo def inir e il moment o angolar e (o moment o di p): O U S Vet t or e or t ogonale al piano di S e U, e di modulo SU senφ Moment o angolar e di un sist ema di par t icelle ρ ρ / l 1 ρ + l ρ + l 3 ρ +...l n L 11 ρ l L 5

53 Relazione t r acweco Tr a moment o della f or za e moment o angolar e, esist e una r elazione analoga alla I I legge di Newt on ) ds/ dt Dimost r azione: ρ τ Gl ρ GW ρ ρ ρ Gl ρ GY GU ρ ρ ρ P( U + Y) P( U D + 0) GW GW GW ( U ρ PD ρ ) ρ τ F. Y. G. ossia, una var iazione del moment o angolar e induce un moment o della f or za, che pr ovoca una r ot azione di un ogget t o (sist ema) Un caso impor t ant e e quando la f or za e di t ipo cent r ale ) )U I n t al caso inf at t i, il moment o W della f or za e nullo, e quindi: ρ Gl GW ρ 0 l cost I l moment o della quant it à di mot o e FRVWDQWH in int ensit à, dir ezione e ver so. 53

54 Conser vazione del moment o angolar e Se il moment o net t o delle f or ze agent i su un sist ema è nullo, allor a si ha d//dt 0, ossia : / cost ant e (sist ema isolat o) indipendent ement e dai cambiament i che int er vengono all int er no del sist ema. Per la nat ur a vet t or iale di W, se una component e e nulla, allor a la component e di O lungo quella dir ezione r imane cost ant e, indipendent ement e dalle alt r e. La conser vazione del moment o angolar e ha impor t ant i conseguenze anche in Ast r of isica: una pulsar e ogget t o di r aggio R~ 10 km che r imane dopo la mor t e di una st ella. Poiché le St elle come il Sole (r sun 10 9 m,) r uot ano (T sun 30 gior ni), si ha: Pϖ ϖ 7 SXOVDU SXOVDU 6WDU U 6WDU U U 10 VWDU SXOVDU 10 Pϖ 7 6WDU ϖ SXOVDU 6WDU 10 U SXOVDU 10 ~ ϖ 6WDU V 0.3PV 54

55 *UDYLWD]LRQH8QLYHUVDOH Sinor a, abbiamo par lat o di gr andezze FLQHPDWLFKH (velocit à, acceler azione) e di gr andezze GLQDPLFKH (f or ze,..). Abbiamo t r ovat o la r elazione t r a quest e gr andezze (Leggi di Newt on, leggi di conser vazione). Rimane una domanda: &KHFRVDRULJLQDOHIRU]H" E quest o il pr oblema che deve r isolver e la f isica; sino a poco t empo f a si conoscono 4 t ipi di f or ze f ondament ali: )RU]DJUDYLWD]LRQDOH, or iginat a dalle PDVVH; )RU]HHOHWWURPDJQHWLFKH, or iginat e dalle FDULFKHHOHWWULFKHHGDOORURPRWR )RU]HIRUWLall int er no dei pr ot oni e neut r oni, or iginat e da FDULFKHGLFRORUH; For ze deboli. A par t ir e dagli anni 70, si e compr eso che le f or ze deboli e le f or ze elet t r o- magnet iche sono aspet t i diver si dello st esso meccanismo, e le f or ze f ondament ali si sono r idot t e a 3. Tut t i gli aspet t i della f isica sono r iconducibili (per or a) a quest i 3 t ipi di int er azione f ondament ali. L Uomo per pr imo ha avut o esper ienza coi f enomeni gr avit azionali. 55

56 La For za Gr avit azionale. I n t er mini di f isica moder na, si pensa che una massa possa def or mar e la geomet r ia dello spazio-t empo. Anche se mat emat icament e complicat o, quest o concet t o ha una semplice r appr esent azione nel caso bidimensionale! Tut t o si basa sull osser vazione che le masse si at t r aggono! Non solo ogget t i vengono at t r at t i dalla Ter r a (cadut a liber a) ma anche la Luna e at t r at t a (e cade!!) sulla Ter r a. I. Newt on (1665) f or mulo la Legge di Gr avit azione Univer sale: ρ P P 1 11 ) * Uˆ * ( 1P / NJ U ) P ed P r appr esent ano le masse, U la dist anza ment r e * e la cost ant e Gr avit azionale 56

57 Gr avit a sulla super f icie Ter r est r e I n r ealt à, la mela at t r ae la Ter r a così come la Ter r a at t r ae la mela (I I I Legge). Tut t avia, gli ef f et t i sono più evident i sulla mela, in quant o O DFFHOHUD]LRQH (I I legge) sulla mela e molt o più gr ande, ment r e e t r ascur abile per la t er r a. (La cosa dif f icile da most r ar e, e che se la mat er ia si dist r ibuisce unif or mement e a gusci, allor a e FRPHVH t ut t a la massa f osse concent r at a nel suo cent r o. Newt on invent o il calcolo int egr ale per r isolver e quest o pr oblema!) Pesiamo la Ter r a. Noi conosciamo gia che i cor pi cadono in pr ossimit a della super f icie Ter r est r e con una acceler azione cost ant e ver so il basso: Fmg. E compat ibile t ale legge con la Legge di Gr avit azione Univer sale? Supponiamo m massa t er r a, r T 6300 km: ) * PP7 ( U + K) 7 *P U7 7 P PJ (Tr ascur iamo h r ispet t o a r T ; la dir ezione sar a sempr e per pendicolar e alla super f icie t er r est r e) J *P U7 7 P 7 JU7 * 9.8 ( ) NJ 57

58 La cinemat ica dei pianet i Sin dall ant ichit à l Uomo ha st udiat o il mot o degli ogget t i celest i. I l mot o di quest i r isult ava est r emament e complicat o, a FDXVDSULQFLSDOPHQWHGLSUHJLXGL]L che condizionavano la scelt a del sist ema di r if er iment o. Mot o appar ent e di Mar t e osser vat o dalla Ter r a nel

59 Osser vazione cinemat ica del Sist ema Solar e 7RORPHR (10 a.c.): or igine del Sist ema di r if er iment o: 7HUUD. Composizione di PRWLFLUFRODUL &RSHUQLFR (1500): or igine del S. di r if er iment o: 6ROH. Composizione di PRWLFLUFRODUL Osser vazioni VSHULPHQWDOL di Tycho %UDKH ( ).HSOHUR (1600):or igine del S. di r if er iment o: 6ROH. Or bit e dei pianet i HOOLWWLFKH Le leggi di Kepler o pr ovengono da misur e di cinemat ica. Tut t avia, esse per met t ono una int er pr et azione dei dat i in t er mini di legge dinamica I n pr at ica, si t r at t a di un complesso pr oblema inver so di cinemat ica: DYHQGROHLQIRUPD]LRQLVXOPRWRGHLSLDQHWLSRVVLDPRULFDYDUH 59 LQIRUPD]LRQLVXOODQDWXUDGL)" 6,

60 /HOHJJLGL.HSOHUR 1- Le or bit e dei pianet i sono i) SLDQH (ciascun pianet a la pr opr ia) e ii) VRQRGLIRUPDHOOLWWLFD con un f uoco occupat o dal Sole. - I l r aggio vet t or e dal Sole al pianet a GHVFULYHDUHH SURSRU]LRQDOLDLWHPSLLPSLHJDWL a descr iver le (velocit à ar eolar e cost ant e) 3- I TXDGUDWLGHLSHULRGL 7 di r ivoluzione dei pianet i at t or no al Sole sono pr opor zionali ai FXELGHO VHPLDVVHPDJJLRUH D delle r ispet t ive or bit e ellit t iche, 7 vd 60

61 I nt er pr et azione in t er mini di legge dinamica La pr ima par t e della I Legge di Kepler o, e la I I Legge implicano che la For za e di t ipo cent r ale: ) ) (U) Un or bit a piana implica che il vet t or e velocit a giaccia in un piano. Quest o e ver o se il YHWWRUHPRPHQWRDQJRODUHO UuSH FRVWDQWH. Se la dir ezione di O e cost ant e, v e in un piano Se O UuSH FRVWDQWHLQ PRGXORsi ha la legge delle ar ee. I nf at t i: _O UuS_ USVLQθ US UPY PωU OSHUSHQGLFRODUHDOSLDQR Consider iamo or a l ar ea A in ar ancio in f igur a: 1 $ U ( U θ ) G$ 1 Gθ U GW GW 1 U (Quest a r elazione diviene esat t a quando 'WRVVLD'T t ende D ϖ G$ l GW P cost 61

62 La t er za legge di Kepler o Dalla t er za legge di Kepler o, possiamo r icavar e che la f or za t r a Sole e pianet i deve esser e LQYHUVDPHQWHSURSRU]LRQDOHDOTXDGUDWRGHOOD GLVWDQ]D. Per semplicit à assumiamo che le or bit e siano cir colar i, ed ut ilizziamo la condizione di st abilit à dell or bit a (par. 5.4): ) ) F 1 Pϖ U *0P U π P U 7 *0P U U 7 3 *0 4π 6

63 Si not i che dal valor e sper iment ale di r 3 / T si può det er minar e il pr odot t o GM (che noi abbiamo esplicit ament e inser it o in F N ). I n r ealt a, le or bit e non sono che appr ossimat ivament e cir colar i. Ut ilizzando le or bit e ellit t iche, i dif f er ent i valor i di r 3 / T nella t abella sono spiegat i (legger a dipendenza dalla massa del pianet a)!. Tut t avia anche con quest a modif ica, il valor e per Mer cur io r est a legger ment e anomalo. Quest a anomalia venne spiegat a r ivoluzionando la t eor ia della Gr avit azione (7HRULDGHOOD 5HODWLYLWj*HQHUDOHGL(LQVWHLQ). La par t e mat emat icament e più complessa da st udiar e e il f at t o che le or bit e dei pianet i sono ellit t iche ( a par t e della I legge). Anche quest o e conseguenza del f at t o che F~1/ r Conclusioni Le leggi di Newt on sono st at e l esempio più impor t ant e di come osser vazioni cinemat iche possano pr odur r e leggi dinamiche. La spiegazione della gr avit a t er r est r e e di quella t r a pianet i r appr esent a il pr imo esempio di XQLILFD]LRQHGHLIHQRPHQL 63

64 /DFDULFDHOHWWULFDHOHJJHGL&RXORPE Esist e in Nat ur a una f or za di nat ur a non gr avit azionale, che può esser e at t r at t iva o r epulsiva Quest a f or za e dovut a all'esist enza di car iche elet t r iche di due t ipi: + - Car iche dello st esso segno si r espingono, car iche di segno oppost o si at t r aggono. I mat er iali che si conoscono possono esser e LVRODQWL o FRQGXWWRUL, a seconda del f at t o che la car ica depost a r imanga localizzat a o meno. La car ica elet t r ica e una gr andezza f ondament ale nel SI, la cui unit a di misur a e il Coulomb ( C) (* vedi not a al cap. 1) 64

65 Legge di Coulomb Sper iment alment e, C.A. &RXORPE det er minò (1785) che una car ica T induce una f or za sulla car ica T che è pr opor zionale al pr odot t o delle int ensit à T, T delle car iche e inver sament e pr opor zionale al quadr at o delle dist anze. ρ Con la car ica 1 9 ) 1 4πε R T1T U Uˆ misur at a in Coulomb, la cost ant e vale: La legge di Coulomb ha nat ur a vet t or iale. La f or za r isult ant e da più car iche e la somma vet t or iale delle singole f or ze. 4πε R ) ) 1 P / & ) ) ) I n gener ale, ) Σ) L +Q -Q 4XDQWL]]D]LRQHGHOODFDULFDHOHWWULFD Oggi noi conosciamo che la car ica elet t r ica e quant izzat a, ossia esist e una car ica element ar e molt o piccola, di cui t ut t e sono mult iple: T QH con ecar ica elet t r one C I nolt r e, la car ica elet t r ica e conser vat a: possono esist er e dei pr ocessi in cui car iche elet t r iche vengono cr eat e, ma in modo che la 65 car ica r isult ant e sia nulla. Ad es: γ e+e-

66 I l campo elet t r ico ( I l FDPSRHOHWWULFR ( è un campo vet t or iale: ad ogni punt o dello spazio si può immaginar e associat o un vet t or e. I n f isica moder na il concet t o di campo vet t or iale è di impor t anza f ondament ale. Se q o è una car ica di pr ova, il FDPSR HOHWWULFR ( è def init o come: ) q o ( ossia, come quel vet t or e che, molt iplicat o per la car ica di pr ova, dà la f or za (in Newt on) agent e sulla car ica st essa. Per def inizione, l unit à di misur a del campo elet t r ico è: ( 1HZWRQ& I l caso semplice di FDPSRHOHWWULFR gener at o da una car ica q è: ρ ) T R ( ρ 1 4πε R T U Uˆ 66

67 Linee di f or za di ( I l met odo per visualizzar e il FDPSRHOHWWULFRut ilizza il concet t o di OLQHHGLIRU]D. La linea di f or za in un punt o r appr esent a la dir ezione in cui muover ebbe una car ica posit iva post a in quel punt o. I l numer o delle linee di f or za qualit at ivament e r appr esent a l int ensit à del campo elet t r ico st esso. I l campo ( in un punt o, essendo una gr andezza vet t or iale, gode delle pr opr iet à vet t or iali: ad es., il campo r isult ant e da due o più car iche si ot t iene della somma dei vet t or i 67

68 68 Dipolo elet t r ico Un GLSRORHOHWWULFR è compost o da due car iche di segno oppost o, post e ad una dist anza d (e un caso impor t ant e per ché in Nat ur a esist ono molt e sit uazioni par agonabili ad un dipolo). I l campo ( di un dipolo in un punt o lont ano z dal cent r o del dipolo: U T U T ( ( ( πε R + ) ( ) ( 4 1 G ] T G ] T πε ] G ] G ] G ] ( R R πε πε + TG S ] S ( R, 1 3 πε GLSRORHOHWWULFR &DPSRGLGLSROR HOHWWULFR

69 Esempi: Eser cizio 11.1: cosa accade ad un GLSRORHOHWWULFRse immesso in un campo ( cost ant e ed unif or me? Eser cizio 1.: st udiar e il mot o di una goccia d inchiost r o di massa m e car ica Q t r a i piat t i di def lessione di una st ampant e a get t o d inchiost r o. La velocit à iniziale della goccia m è v x. Tr a i piat t i vi è un campo ( come il f igur a. Det er minar e la def lessione lungo y. (m kg, Q C, E N/C, L1.6 cm). R: y0.64 mm 69

70 8QRVJXDUGRGHQWURODPDWHULD Abbiamo conosciut o due t r a le f or ze f ondament ali della nat ur a: la f or za JUDYLWD]LRQDOH e la f or zahohwwulfdla pr ima e legat a alla PDVVD, la seconda alla FDULFD di una par t icella. Ma come e cost it uit a la mat er ia? 0ROHFROH. Gr an par t e dei mat er iali, sono cost it uit i da molecole, che sono agglomer at i di DWRPL legat i da f or ze elet t r iche di t ipo di dipolo (t alvolt a molt o piu complicat e). $WRPL. Gli at omi sono aggr egat i neut r i compost i da QXFOHL (car ichi +) ed elet t r oni (car ichi -). I l numer o Z di pr ot oni (od elet t r oni) det er mina il nome dell element o: dall idr ogeno (Z1) all Ur anio (Z9). Gli at omi sono st abili per f or ze di nat ur a elet t r ica. 1XFOHL. Anche i nuclei sono compost i da pr ot oni (car ichi +) e neut r oni (neut r i). La car ica dei p e la st essa degli e, cambiat a di segno. I nuclei sono t enut i da f or ze nuclear i. 70 I SURWRQLHQHXWURQL sono compost i da quar k.

71 Gli at omi possono esser e immaginat i come piccoli sist emi planet ar i, in cui nuclei ed elet t r oni (e - ) sono legat i dalla f or za di Coulomb. La dif f er enza e che gli e - non possono r uot ar e che su RUELWH GHILQLWH (modello di Bohr degli st at i st azionar i). Ad ogni or bit a, cor r isponde un pr eciso valor e di HQHUJLD (U+T). E possibile che gli e- cambino or bit a: in t al caso assor bono o emet t ono un quant o di ener gia (IRWRQH). Teor ia (semiclassica) di Bohr : 1. I r aggi delle or bit e sono t ali che il moment o angolar e (Lmvr ) degli e - assume valor i mult ipli di una cost ant e f ondament ale (hcost. di Plank). I n una t r ansizione dal r aggio r 1 a quello r viene emessa (assor bit a) una quant it à di ener gia par i a: Kν / Q ( L ( I At omi K π P H 9 10 NJ H & 34 1 K V ε ) / P 0 Eser cizio 1.1. Det er minar e il r aggio dell or bit a f ondament ale dell H. Eser cizio 1.. Se le dimensioni di un at omo sono di m, quant i at omi sono all 71 incir ca pr esent i in un cm 3 di mat er iale (liquido o solido)?

72 Gli at omi successivi a quello di idr ogeno sono car at t er izzat i da un numer o di elet t r oni (o pr ot oni nei nuclei) via via cr escent i. L ult imo element o st abile in nat ur a e l Ur anio (Z9). Ciascun at omo puo aggr egar si con alt r i at omi (dello st esso o di alt r i t ipi) per f or mar e FULVWDOOL o PROHFROH. Tabella Per iodica 7

73 Condut t or i ed isolant i La classif icazione dei mat er iali in isolant i e condut t or i è dat a dalla lor o maggior e o minor e capacit à di "condur r e" l'elet t r icit à. I mat er iali che t r asmet t ono meglio l'elet t r icit à sono i mat er iali "FRQGXWWRUL" (come i met alli) ment r e i mat er iali LVRODQWL non possono t r asmet t er la, ma solo t r at t ener la. Oggi sappiamo che i mat er iali isolant i, non t r asmet t ono l'elet t r icit à per ché i nuclei e gli elet t r oni dei lor o at omi non possono var iar e il lor o st at o di equilibr io elet t r ico. I n pr at ica, ciascun nucleo di un isolant e lega t ut t i gli elet t r oni dell at omo, che non possono allont anar si dal nucleo st esso. Gli at omi dei met alli si dispongono in st r ut t ur e r egolar i (UHWLFROLFULVWDOOLQL): in quest e, gli e- più vicini ai nuclei sono f or t ement e legat i ai nuclei st essi. Gli ult imi elet t r oni (ossia, quelli più lont ani) sono invece FRQGLYLVL dai nuclei nel cr ist allo, e cost it uiscono l insieme degli "HOHWWURQLOLEHUL (o elet t r oni di conduzione). Quest i elet t r oni possono muover si indipendent ement e uno dall'alt r o sulla super f icie del met allo, anche molt o velocement e nei mat er iali condut t or i. I n un met allo alcalino, per ogni at omo vi è un elet t r one liber o, nell'at omo dell'alluminio ve ne sono invece t r e, essendo l'alluminio un buon condut t or e, e così via. 73

74 Nuclei Non e dif f icile immaginar e gli e- legat i ai QXFOHL (car ichi +) da f or ze di nat ur a elet t r ica. Ma chi mant iene st abile i pr ot oni nei nuclei? Olt r e alla JUDYLWD]LRQH ed alle f or ze di QDWXUD HOHWWULFD vi sono delle f or ze det t e QXFOHDUL. Per aver e una idea delle scale di dist anza : se il r aggio del nucleo f osse di 1 cm, gli elet t r oni dist er ebber o dal nucleo alcuni km. /DPDWHULDq YXRWDµ Quest e f or ze sono sempr e at t r at t ive per i pr ot oni ed i neut r oni, su dist anze molt o piccole (cir ca uguali al r aggio dei p,n). Sono inef f icaci a dist anze piu gr andi, dove domina la r epulsione coulombiana. Fissione nuclear e Eser cizio 1.3. I r aggi dei nuclei sono 10-5 più piccoli di quelli at omici. Sar est e in gr ado di most r ar e che la disint egr azione di un nucleo f or nisce 10 5 piu ener gia delle r eazioni chimiche t r a at omi? Oggi sappiamo che i pr ot oni ed i neut r oni sono anch essi compost i da quar 74k

75 Chi ha f or mat o i Nuclei? (O,C, Cu,Au, Pb, ) I gr andi ammassi nell Univer so (Galassie) sono compost i da st elle, legat e dalla f or za gr avit azionale. Anche le singole st elle (compost e pr incipalment e da H ed He) sono mant enut e dalla gr avit azione. La t eor ia sull evoluzione dell Univer so (Big Bang) pr edice che 15 miliar di di anni f a l univer so sia nat o con una composizione chimica di cir ca 76% di H e 4% di He. Come si sono pot ut i f or mar e gli element i piu pesant i? Nelle st elle, l enor me pr essione avvicina i pr ot oni a dist anze t ali da pot er f ar innescar e la cat t ur a da par t e delle f or ze nuclear i, che liber ano ener gia. Si f or mano cosi, a par t ir e da H ed He nuclei piu pesant i (sino al Fer r o). I nuclei piu pesant i del Fe (sino all U) si f or mano dur ant e le cat ast r of iche mor t i delle st elle (super novae) 75

76 ,O)OXVVRGL(HOD/HJJHGL*DXVV Flusso di una gr andezza vet t or iale I l IOXVVR Φ di una gr andezza vet t or iale (ad es., di un liquido): e un numer o (VFDODUH!) che e pr opor zionale alla quant it à di liquido che int er cet t a una cer t a ar ea. Dipende: (i) dal modulo ν del vet t or e; (ii) dell ar ea A; (iii) dall or ient azione dell ar ea r ispet t o al vet t or e (θ). Φ Y$ cosϑ ρ Y ρ $ Nel seguit o, consider er emo il f lusso del campo elet t r ico 76

77 Cont eggio delle linee di f or za di ( Sper iment alment e: il QXPHURGLOLQHH del campo vet t or iale ( che at t r aver sano una qualunque super f icie chiusa e dir et t ament e pr opor zionale alla FDULFD r acchiusa dalla super f icie. Quest o deve signif icar e un qualche t ipo di r elazione t r a il IOXVVR at t r aver so una qualunque super f icie e la car ica elet t r ica 77

78 Flusso at t r aver so super f icie chiusa Se il campo vet t or iale ( var ia da punt o a punt o, e se la super f icie S e qualunque, il calcolo del f lusso e sempr e possibile, sebbene più complicat o mat emat icament e. ρ ρ ρ ρ Φ ( $ ( G$ I l cer chio indica che la super f icie e chiusa Legge di Gauss I l f lusso di un campo elet t r ico at t r aver so una qualunque super f icie chiusa e uguale alla car ica r acchiusa all int er no della super f icie, diviso la cost ant e ε o. ρ ρ Φ ( ( G$ 78 T ε int 0

79 Legge di Gauss legge di Coulomb Dimost r iamo la legge di Gauss a par t ir e dalla legge di Coulomb, nel semplice caso di una car ica punt if or me. Consider iamo come super f icie chiusa una sf er a con al cent r o la car ica q. Φ ( T 4πε R ρ ρ ( G$ 1 U VIHUD TUˆ ( 4πε U G$Uˆ Uˆ R T 4πε ) ( G$ Uˆ) R 1 U 4πε U Analogament e, dalla Legge di Gauss si può ot t ener e la L. di Coulomb. La L. di Gauss e una delle equazioni f ondament ali dell elet t r omagnet ismo, ed in casi di simmet r ia, può esser e ut ilizzat a per det er minar e il campo elet t r ico. R T ε R Per la legge di Gauss, se una car ica viene f or nit a ad un condut t or e isolat o, quest a si dispone t ot alment e sulla sua super f icie est er na. Nessuna car ica può t r ovar si ent r o il condut t or e. 79