Geometria e misura. Indice. esercizi. mi autovaluto 26. mi autovaluto 38. Il calcolo delle aree 3. Il teorema di Pitagora 27

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1 Indice Geometria e misura Per orientarti 2 unità di apprendimento 1 Il calcolo delle aree 3 Equivalenza di figure piane 4 Figure piane prevalenti e subvalenti, p. 9 alcoliamo le aree 10 rea del rettangolo, p. 10; rea del quadrato, p. 11; rea del parallelogramma, p. 12; rea del triangolo, p. 13; La formula di Erone, p. 14; rea del rombo, p. 15; rea del trapezio, p. 17; rea dei poligoni regolari, p. 19; rea di un poligono qualsiasi, p. 22 Isoperimetria ed equiestensione 23 mi autovaluto 26 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero esercizi unità di apprendimento 2 Il teorema di Pitagora 27 Particolari terne numeriche 28 Il teorema di Pitagora 30 Le terne pitagoriche 33 pplicazioni del teorema di Pitagora 35 Triangolo isoscele, p. 35; Triangolo equilatero, p. 35; Triangolo rettangolo isoscele, p. 35; Quadrato, p. 36; Rettangolo, p. 36; Rombo, p. 36; Trapezio rettangolo, p. 36; Trapezio isoscele, p. 37; Poligono regolare, p. 37 mi autovaluto 38 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero esercizi

2 Indice VII unità di apprendimento 3 Le coordinate cartesiane 39 oordinate e assi cartesiani 40 Punto medio e distanza fra punti 42 Figure nel piano cartesiano 44 Isometrie nel piano cartesiano 46 mi autovaluto 48 Esercizi per verificare gli obiettivi esercizi unità di apprendimento 4 Similitudine e omotetia 49 Figure simili 50 Proprietà dei poligoni simili, p. 51 riteri di similitudine nei triangoli 52 1 criterio, p. 53; 2 criterio, p. 53; 3 criterio, p. 54 I teoremi di Euclide 54 Primo teorema di Euclide, p. 54; Secondo teorema di Euclide, p. 55; Interpretazione geometrica dei due teoremi di Euclide, p. 56 L omotetia 58 Proprietà dell omotetia, p. 59 mi autovaluto 62 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero spetti storici della matematica Talete, il primo vero matematico 64 Pitagora e la sua scuola 65 Il laboratorio matematico Il geopiano 70 Poligoni in... poligoni equivalenti 71 esercizi RS LIRI EDUTION SP Il grande Euclide 66 René Descartes, artesio 67 Misuriamo per... similitudine 73 Giochiamo con la matematica Il cruciverba 76 Percorsi 77 Il labirinto 78 pparati Mi autovaluto: soluzioni 198 Glossario 199 Tavole numeriche 201

3 Geometria e misura unità di apprendimento 1 Il calcolo delle aree 2 Il teorema di Pitagora 3 Le coordinate cartesiane 4 Similitudine e omotetia

4 2 Geometria e misura Per orientarti Il calcolo delle aree Le coordinate cartesiane Equivalenza di figure piane Le aree Isoperimetria ed equiestensione Il teorema di Pitagora oordinate e assi cartesiani Punto medio e distanza fra punti Figure nel piano cartesiano Isometrie nel piano cartesiano Similitudine e omotetia RS LIRI EDUTION SP Particolari terne numeriche Il teorema di Pitagora Le terne pitagoriche pplicazioni del teorema Figure simili riteri di similitudine I teoremi di Euclide L omotetia

5 unità di apprendimento 1 Il calcolo delle aree he cosa saprò e che cosa saprò fare dopo aver studiato questi argomenti? Equivalenza di figure piane alcoliamo le aree Isoperimetria ed equiestensione Ricordi il concetto di equivalenza e come si calcolano le aree dei poligoni? Rivedrai e approfondirai proprio questi argomenti. Per affrontare lo studio di questi argomenti ricorda che devi sapere: tutto ciò che riguarda i poligoni; i sistemi di misura delle lunghezze e delle superfici. on lo studio di questa unità di apprendimento imparerai: i concetti di equiscomponibilità ed equivalenza di figure piane; il calcolo delle aree delle figure piane; le proprietà di poligoni isoperimetrici ed equiestesi; e alla fine saprai: individuare poligoni equivalenti; calcolare l area dei triangoli, dei quadrilateri e dei poligoni regolari; riconoscere poligoni isoperimetrici; mettere in relazione i poligoni isoperimetrici ed equivalenti.

6 4 Geometria e misura Equivalenza di figure piane Riprendiamo il discorso sulle figure piane. i siamo occupati finora dei poligoni, in particolare di triangoli e quadrilateri, ma sai sicuramente che esistono altri tipi di figure piane come, per esempio, il cerchio, una figura piana il cui contorno non è più una spezzata ma una particolare linea chiusa curva, la circonferenza. Ma non ci sono solo poligoni o cerchi, ci sono anche figure piane il cui contorno sono linee curve in generale o linee miste, cioè curve e spezzate insieme. Osserva. Figure e piane poligoni cerchi figure a contorno curvilineo figure a contorno mistilineo Date due qualsiasi di queste figure piane, due poligoni, due cerchi, due figure a contorno curvilineo o due a contorno mistilineo, sappiamo anche dire se sono congruenti o no. Sovrapponendoli infatti possiamo dire, per esempio, che: i due poligoni sono congruenti; i due cerchi non sono congruenti; le due figure a contorno curvilineo sono congruenti; le due figure a contorno mistilineo non sono congruenti.

7 1 Il calcolo delle aree Esercizi da pag. 80 a pag ontinuiamo il nostro discorso con un altro importante concetto, l equivalenza di figure piane. Una qualsiasi figura piana (un poligono, una figura a contorno curvilineo o mistilineo) ha un estensione in quanto occupa una parte di piano, ovvero occupa una superficie. Questa superficie è una grandezza misurabile; la misura della superficie occupata da una figura piana è l area della figura. È ovvio che due figure congruenti, aventi cioè la stessa forma e le stesse dimensioni, occupano la stessa superficie e quindi hanno la stessa area. Non è del tutto ovvio invece affermare che due figure, pur non avendo la stessa forma, possono occupare una stessa superficie e quindi avere la stessa area. rriviamo alla comprensione di quanto detto con alcune osservazioni. onsideriamo i poligoni, e ed esaminiamo le figure F, F ed F che si ottengono combinandole in modo diverso (Fig. 1). F Le tre figure F, F ed F non hanno certo la stessa forma, non sono quindi congruenti, ma sono formate dallo stesso numero di parti congruenti; diciamo che sono equicomposte (composte cioè dallo stesso numero di parti congruenti) o equiscomponibili (che si possono scomporre cioè nello stesso numero di parti congruenti). È chiaro inoltre che, essendo equicomposte, hanno tutte la stessa estensione, in quanto occupano la stessa parte di superficie; le chiamiamo allora equivalenti e indichiamo ciò nel seguente modo: F F F (leggi: F equivalente a F equivalente a F ) omplessivamente possiamo riassumere le considerazioni fatte dicendo che: F' F'' RS LIRI EDUTION SP Figura 1 Due figure piane sono equivalenti (o equiestese) se hanno la stessa estensione e quindi la stessa area. Due figure congruenti sono equivalenti. Due figure equicomposte (o equiscomponibili) sono equivalenti.

8 6 Geometria e misura L ultima affermazione rappresenta un criterio per stabilire se due figure piane sono equivalenti. Infatti, se sappiamo che due figure sono composte da uno stesso numero di parti congruenti, o se riusciamo a scomporre due figure nello stesso numero di parti congruenti, possiamo affermare che sono senz altro equivalenti. Osserva i seguenti esempi. E sempi 1. omponiamo in modo diverso le figure, e ; otteniamo, per esempio, le figure G ed F che risulteranno equicomposte e quindi equivalenti. G F 2. Poiché possiamo scomporre le due figure e nello stesso numero di parti congruenti, possiamo dire che sono equiscomponibili e quindi equivalenti. F' F F F' 3. Se componiamo in modo diverso le figure, e otteniamo, per esempio, le figure G ed F che risulteranno equicomposte e quindi equivalenti. G F Sui concetti di equiscomponibilità e di equivalenza è basato un gioco di origine cinese, il tangram, che adesso vedremo perché può aiutarci a capire meglio questi concetti. Il tangram, chiamato in ina chi chiao tu (che significa disposizione ingegnosa di sette pezzi ) consiste nel comporre in vari modi tutte le sette figure in cui viene scomposto un quadrato come vedi nella Fig. 2. Figura 2

9 1 Il calcolo delle aree Esercizi da pag. 80 a pag Le figure che si possono ottenere risultano tutte equicomposte e quindi equivalenti; osservane alcune e prova poi tu a ricavarne altre. natra Ragazzo sdraiato Ragazzo che corre Villetta arca a vela igogna oniglio andela Figura 3 Per un primo controllo 1. Per ogni figura data disegnane una congruente e una solo equivalente:

10 8 Geometria e misura Riprendiamo il discorso sull equiscomponibilità e osserviamo, con alcuni esempi, che essa è ottenibile come somma o differenza di figure congruenti. E sempi 1. F H 2. M N P G Possiamo dire che le figure F, G e H sono equivalenti, in quanto somma di parti congruenti; sono infatti ottenibili sommando tre quadrati congruenti e tre rettangoli congruenti: Possiamo quindi affermare che: Figure che sono somma o differenza di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti. Ovvero: F G H Due figure equiscomponibili per somma o differenza di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti. È sempre vero anche il viceversa? ioè due figure equivalenti sono sempre equiscomponibili? Esaminiamo le seguenti coppie di figure equivalenti (Figg. 4, 5 e 6). RS LIRI EDUTION SP Possiamo dire che le figure M, N e P sono equivalenti, in quanto differenza di parti congruenti; sono infatti ottenibili togliendo da tre quadrati congruenti quattro quadratini congruenti: M N P Sono equivalenti e senz altro equiscomponibili. Figura 4 Sono equivalenti e senz altro equiscomponibili. Figura 5

11 1 Il calcolo delle aree Esercizi da pag. 80 a pag nche se siamo sicuri che sono equivalenti ci risulterà impossibile equiscomporle. Figura 6 Possiamo allora affermare che: Due figure equiscomponibili sono necessariamente equivalenti, ma non viceversa; due figure equivalenti non sono necessariamente equiscomponibili. Figure piane prevalenti e subvalenti ome fare a stabilire allora se due figure del tipo di Fig. 6 sono o no equivalenti? Si ricorre in questo caso a un metodo indiretto: il metodo della pesata. Disegniamo le due figure da confrontare su uno stesso foglio di cartone a spessore uniforme e ritagliamole. Pesiamo quindi, con una bilancia di precisione, le due figure ottenute; se hanno lo stesso peso vuol dire che è stata impiegata la stessa quantità di cartone, le due figure hanno quindi la stessa estensione e sono quindi equivalenti. In caso contrario non saranno equivalenti e la figura che pesa di più avrà maggiore estensione. Si dice che la figura che ha un estensione maggiore è prevalente e quella che ha un estensione minore è subvalente. In base a tutto ciò che abbiamo detto, confrontando due figure piane qualsiasi possiamo avere tre casi: le due figure sono congruenti e quindi anche equivalenti (Fig. 8); Figura 7 Figura 8 le due figure non sono congruenti ma sono equiscomponibili, hanno quindi la stessa estensione e sono equivalenti (Fig. 9); Figura 9

12 26 mi autovaluto Mettiti alla prova eseguendo quanto richiesto. Verifica i risultati alla fine del volume e segna 1 punto per ogni risposta esatta. ompleta poi la tua autovalutazione. 1. Segna il completamento esatto. Due figure sono equivalenti se hanno: a) lo stesso perimetro; b) la stessa area; c) la stessa forma. 2. Vero o falso? Scrivilo accanto a ogni affermazione. a) Due figure congruenti non sono necessariamente equivalenti.... b) Due figure equivalenti non sono necessariamente equicomposte.... c) Due figure equicomposte sono necessariamente equivalenti Scrivi la formula diretta per il calcolo dell area di un: a) rettangolo:... b) quadrato:... c) parallelogramma:... d)rombo: ompleta. a) La formula per il calcolo dell area di un triangolo è... perché il triangolo è equivalente alla avente la stessa e la stessa... b) Per il triangolo esiste anche la formula di Erone: = ompleta. La formula per il calcolo dell area di un rombo è... perché il rombo è equivalente alla... di un... avente per... e... le... del rombo. 6. ompleta. La formula per il calcolo dell area di un trapezio è... perché il trapezio è equivalente alla avente per base la... delle... e per altezza la RS LIRI EDUTION SP 7. ompleta. a) La formula per il calcolo dell area di un poligono regolare è... b) In un poligono regolare il rapporto a/l è... c) potema e lato di un poligono regolare sono legati dalla relazione: a = Vero o falso? Scrivilo accanto a ogni affermazione. a) Poligoni equivalenti sono necessariamente isoperimetrici.... b) Poligoni isoperimetrici non sono necessariamente equivalenti.... c) Poligoni congruenti sono necessariamente equivalenti ma non isoperimetrici.... Su 30 risposte, ne ho indovinate... Secondo me è stato un risultato *... Su questa unità di apprendimento penso quindi di ** Mi piacerebbe sapere che cosa ne pensa il mio insegnante * Ottimo; buono; discreto; sufficiente; appena sufficiente; insufficiente. ** ver capito bene tutto; avere ancora qualche dubbio; avere molte incertezze.

13 spetti storici della matematica Talete, il primo vero matematico Pitagora e la sua scuola Il grande Euclide René Descartes, artesio

14 64 spetti storici della matematica Talete, il primo vero matematico Intorno al 2 millennio a.. le civiltà egizia e babilonese sono in declino e lentamente nasce una nuova civiltà, la civiltà ellenica, che diventerà la grande civiltà greca. Il primo passo di questa nascente civiltà è quello di assimilare le varie conoscenze dei popoli con cui viene in contatto, in particolare abilonesi, Egizi, Sumeri e Fenici. ncora intorno al VII secolo a.. la geometria è una scienza primitiva e poco precisa, ma fa il suo ingresso nella storia il primo matematico, Talete di Mileto. Della vita di Talete si sa ben poco: anche la sua data di nascita (624 a..) e la sua nazionalità sono incerte. Nato da nobili e ricchi genitori, inizialmente si dedica al commercio, un attività che gli permette di diventare ricco e soprattutto di intraprendere molti viaggi, alcuni dei quali in Egitto. La sua attività e i molti viaggi gli consentono di stabilire relazioni commerciali con gli altri popoli, presso i quali allarga le sue conoscenze e il suo pensiero. Si interessa a tutto; infatti, studia le diverse tendenze culturali, politiche e scientifiche e diventa un esperto commerciante, politico e scienziato. Talete di Mileto. Viene affascinato soprattutto dagli studi geometrici; in Egitto scopre come misurare l altezza delle piramidi e la distanza delle navi nel mare. alcola l altezza delle piramidi sfruttando la conoscenza delle similitudini. Quando l ombra del mio corpo è uguale all altezza del mio corpo, disse Talete, misurate l ombra della piramide, sarà uguale alla sua altezza. Fonda la geometria deduttiva, fa altre importanti scoperte e dà alla geometria un ordine e una ragione logica che ne fa un insieme ordinato e logicamente coerente di conoscenze: è il primo passo della trasformazione della geometria in scienza. differenza dei suoi maestri, decide di divulgare le sue conoscenze; è di Talete il primo trattato di geometria, il libro che trasforma ufficialmente la geometria in una scienza logica e coerente.

15 spetti storici della matematica 65 Pitagora e la sua scuola La geometria diventa una disciplina vera e propria in Grecia nel V secolo a.. con la nascita delle prime scuole matematiche: la scuola ionica fondata da Talete di Mileto, la scuola ellenica fondata da Parmenide, la scuola pitagorica, la più importante, fondata da Pitagora. La figura e la vita di Pitagora sono avvolte nel mistero; la leggenda dice che fosse figlio del dio pollo, di certo si sa che nacque a Samo, un isola della Grecia, intorno al 570 a.. Fu uno dei massimi matematici e filosofi dell antichità; con lui si discuteva di principi filosofici e conoscenze matematiche fino a fonderle e farne uno stile di vita. Da giovane compì lunghi viaggi in Oriente, dove apprese nuove conoscenze sulle scienze, sui misteri delle religioni e sulla filosofia. Ritornato a Samo fu costretto, forse dal tiranno Policrate, a lasciare definitivamente la sua patria e, intorno ai quaranta anni, si trasferì nella fiorente Magna Grecia, a rotone in alabria. È qui che fondò la famosa Scuola pitagorica, che ebbe un notevole peso sullo sviluppo politico-sociale della città. lla fine del secolo, però, fu costretto a fuggire a Metaponto, dove morì verso il 500 a.. RS LIRI EDUTION SP Pitagora ed Euclide. Miniatura del XIV secolo, Firenze, iblioteca Nazionale entrale. Intorno a Pitagora e alla sua scuola, dove si insegnava matematica, ma anche filosofia, musica, astronomia ecc., nacquero parecchie leggende, che esaltavano il carattere filosofico, religioso e scientifico della sua figura rendendo ancora più misteriosa l attività della scuola stessa. La scuola pitagorica funzionava sulla base di regolamenti molto rigorosi, che esigevano dagli allievi, fra l altro, un lungo periodo di tirocinio prima dell ammissione e il più rigoroso segreto su quanto veniva scoperto. Il fondamentale nucleo su cui Pitagora basava la sua matematica è il numero : I numeri sono il principio di tutte le cose, così recitava la dottrina filosofica del grande Pitagora.

16 Il laboratorio matematico Il geopiano Poligoni in... poligoni equivalenti Misuriamo per... similitudine

17 70 Il laboratorio matematico Il geopiano Uno strumento utile per la costruzione di figure piane equivalenti è il geopiano, un congegno molto semplice che adesso vediamo come costruire e usare. Prendi una tavoletta di legno di forma quadrata e fissa su di essa dei chiodini a distanza regolare l uno dall altro. Procurati degli elastici di diverso colore e tendendoli fra i chiodini, come vedi nella figura a fianco, puoi ottenere dei poligoni, ad esempio quadrati e rettangoli. Se consideriamo il quadratino avente per vertici quattro chiodini come unità di misura u, sarà facile constatare che il quadrato e il rettangolo a lato sono equivalenti; l area di entrambi è infatti 4 u. Riproduci con gli elastici le figure proposte nei due geopiani a fianco e prova la loro equivalenza. Puoi anche tu costruire poligoni equivalenti: incomincia a costruirne uno equivalente a quello dato in figura e poi costruiscine altri a tuo piacere.

18 Il laboratorio matematico 71 Poligoni in... poligoni equivalenti Per studiare il calcolo delle aree, per esempio quella del parallelogramma, abbiamo trasformato il parallelogramma in un rettangolo equivalente. h on delle costruzioni grafiche, osserviamo adesso come è possibile trasformare un poligono in un altro equivalente. Trasformiamo un parallelogramma in un triangolo equivalente. Disegna un parallelogramma D e prolunga la sua base di un segmento E congruente alla stessa base: E =. Unendo il vertice D con il punto E, otterrai un triangolo che è equivalente al parallelogramma perché somma entrambi di parti congruenti: HD + DH (parallelogramma) HD + EH (triangolo). D E H Trasformiamo un triangolo qualsiasi in un rettangolo equivalente. Disegna un triangolo e, in modo inverso a quanto fatto prima, trasformalo in un parallelogramma equivalente. asterà dividere a metà la base del triangolo e disegnare da D e le parallele rispettivamente ad e. Trasforma adesso il parallelogramma in un rettangolo equivalente disegnando il triangolo G congruente al triangolo DEF: otterrai un rettangolo che sarà equivalente al triangolo. RS LIRI EDUTION SP G F E D

19 Giochiamo con la matematica Il cruciverba Percorsi Il labirinto

20 76 Giochiamo con la matematica Il cruciverba ompleta il cruciverba scrivendo in cifre le aree delle figure assegnate Orizzontali Verticali 1. rea (b = 16; h = 3) 2. rea (b = 14; h = 12) 3. rea (l = 16) 6. rea (b = 7; h = 6) 8. rea (d 1 = 9; d 2 = 10) 4. rea (h = 9; b = 6) 5. rea (h = 13; b = 50) 7. rea (l = 5) 10. rea (b max = 10; b min = 6; h = 6,5) 12. rea (b = 10; h = 7) 9. rea (b = 15; h = 9) 11. rea (b = 10; h = 5) 14. rea (d 1 = 12; d 2 = 9) 13. rea (b = 39; h = 15) 16. rea (b = 40; h = 29) 15. rea (b = 11; h = 4) 17. rea (l = 7) 18. rea (b = 18; h = 10)

21 Giochiamo con la matematica 77 Percorsi Quale percorso deve seguire il nostro coniglietto per raggiungere le carote? E quale percorso il piccolo gattino per arrivare alla sua palla? RS LIRI EDUTION SP

22 esercizi Geometria e misura 1 Il calcolo delle aree 2 Il teorema di Pitagora 3 Le coordinate cartesiane 4 Similitudine e omotetia... per contenuti... per verificare gli obiettivi... di recupero

23 80 esercizi unità di apprendimento 1 Il calcolo delle aree Da ricordare Due figure piane sono equivalenti se hanno la stessa area. Due figure equicomposte sono equivalenti ma non viceversa. L area del quadrato si ottiene moltiplicando la misura del lato per se stessa: L area del triangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza e dividendo tale prodotto per 2: b h 2 2 = b = h = 2 h b Oppure con la formula di Erone: = p Ê Á p ˆ Ê - Á p ˆ Ê - Á p ˆ a b - c 2 Ë 2 Ë 2 Ë 2 L area del rombo si ottiene moltiplicando la misura delle due diagonali e dividendo tale prodotto per 2: d d = = l l l = d = d2 = d d La formula per l area del rombo vale anche per il quadrato e il deltoide. 2 1 L area del rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza: = b h b = h = h b L area del parallelogramma si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza: = b h b = h = h b L area del trapezio si ottiene moltiplicando la somma delle misure delle basi per l altezza e dividendo tale prodotto per 2: ( + b) h 2 = h = 2 + b L area di un poligono regolare si ottiene: moltiplicando il perimetro per la misura dell apotema e dividendo tale prodotto per 2: = p a 2 2 p = a = 2 a p moltiplicando il quadrato della misura del lato per la costante del poligono: 2 = l j l = j 2 + b = h RS LIRI EDUTION SP Poligoni congruenti sono necessariamente equivalenti e isoperimetrici. Poligoni equivalenti non sono necessariamente congruenti e isoperimetrici.

24 1 Il calcolo delle aree Teoria da pag. 3 a pag Esercizi per contenuti Equivalenza di figure piane 1. he cosa si intende per superficie di una figura piana? 2. he cos è l area di una figura piana? 3. Quando due figure piane si dicono equivalenti? 4. Due figure equivalenti sono sempre congruenti? Perché? 13. Osserva le coppie di figure date e inserisci al posto dei puntini il termine equivalente, prevalente o subvalente : F F F... F F F F... F 5. he cosa indica la simbologia F F? 6. Quando due figure si dicono equicomposte o equiscomponibili? 7. Segna l affermazione esatta: a) Due figure equicomposte sono sempre equivalenti e viceversa. b) Due figure equicomposte sono sempre equivalenti ma non viceversa. c) Due figure equicomposte non sono sempre equivalenti ma non viceversa. 8. In quale modo è possibile vedere se due figure piane sono equivalenti? 9. Vero o falso? Scrivilo accanto a ogni frase. a) Figure piane ottenute come differenza di parti congruenti sono congruenti.... b) Figure piane ottenute come somma di parti congruenti sono equivalenti Vero o falso? Scrivilo accanto a ogni frase. a) Figure piane ottenute come differenza di parti equivalenti sono equivalenti.... b) Figure piane ottenute come somma di parti equivalenti non sono equivalenti Di quali proprietà gode la relazione di equivalenza? 14. Stabilisci per quale motivo (somma o differenza di parti congruenti) sono equivalenti le figure assegnate: F ed F sono equivalenti perché... F ed F sono equivalenti perché... Nei seguenti esercizi osserva le figure date e indica quelle fra loro equivalenti F F F... F F F F F 12. he cosa significa il termine prevalente? E il termine subvalente?

25 82 esercizi per contenuti Quali delle figure assegnate sono equivalenti alla figura F? Segnale. F 19. Osserva le figure e completa la tabella indicando le figure fra loro congruenti e quelle solo equivalenti. E Figure congruenti Figure solo equivalenti @ F H @ Nei seguenti esercizi disegna tre poligoni tra loro equivalenti combinando le figure assegnate Per ogni figura data nei seguenti esercizi disegnane una congruente e una solo equivalente

26 118 esercizi per verificare... Esercizi per verificare ciò che sai 1. Segna il completamento esatto. Due figure piane sono equivalenti se: a) sovrapposte, coincidono perfettamente; b) hanno la stessa area; c) hanno lo stesso perimetro. 2. Vero o falso? Scrivilo accanto a ogni affermazione: a) Figure equiscomponibili sono sempre equivalenti.... b) Figure equivalenti sono sempre equiscomponibili.... c) Figure equiscomponibili per somma o differenza di parti congruenti non sono necessariamente equivalenti Scrivi al posto dei puntini uno dei seguenti termini: congruenti, isoperimetrici, equivalenti. a) Poligoni congruenti sono necessariamente... e... b) Poligoni equivalenti non sono necessariamente... e... c) Poligoni isoperimetrici non sono necessariamente... e ompleta: a) L unità di misura delle superfici è il... b) I suoi multipli sono... c) I suoi sottomultipli sono ccanto a ogni figura scrivi la formula per il calcolo dell area e la o le formule inverse: =... l =... =... h =... b =... =... d =... D =... =... h =... b + =... =... p =... a =... o =... l =... =... h =... b =... =... h =... b = ciò che sai fare 1. Fra le seguenti coppie di figure riconosci quelle equivalenti scrivendo al posto dei puntini sono o non sono. a)... equivalenti. b)... equivalenti. c)... equivalenti. d)... equivalenti.

27 1 Il calcolo delle aree Teoria da pag. 3 a pag ombina in vario modo i due triangoli che formano il rettangolo assegnato e disegna: a) un triangolo; b) un deltoide; c) un parallelogramma. ome sono tra loro queste figure? ombina in vari modi i triangoli che formano il rettangolo assegnato e disegna: a) un quadrato; b) un trapezio rettangolo; c) un triangolo rettangolo isoscele; d) un parallelogramma. ome sono tra loro queste figure?... alcola il perimetro e l area delle figure assegnate nei seguenti esercizi misurandone, direttamente in figura, le dimensioni necessarie Risolvi i seguenti problemi. 6. Un rettangolo ha l altezza congruente ai 4/5 della base, che misura 45 cm. alcola l area e il perimetro di questo rettangolo. [1 620 cm 2 ; 162 cm] 7. Un rettangolo ha la base congruente al doppio dell altezza. Sapendo che la base misura 34 cm, calcolane perimetro e area. [102 cm; 578 cm 2 ] 8. La somma della base e dell altezza di un rettangolo misura 60 cm. Sapendo che l altezza è 1/3 della base, calcolane perimetro e area. [120 cm; 675 cm 2 ] 9. Un rettangolo ha l area di 147 cm 2 e l altezza i 3/4 della base. alcola l area di un altro rettangolo avente lo stesso perimetro e la base lunga 7 cm. [122,5 cm 2 ] 10. Un quadrato è equivalente a un rettangolo che ha base e altezza lunghe rispettivamente 28 cm e 7 cm. alcola il lato del quadrato. [14 cm] 11. Un quadrato ha il perimetro congruente a quello di un rettangolo di base 24 cm e altezza 8 cm. alcola l area del quadrato. [256 cm 2 ] RS LIRI EDUTION SP 12. alcola il perimetro di un rettangolo equivalente a un quadrato di lato 15 cm, sapendo che la base del rettangolo è lunga 45 cm. [100 cm] 13. Un quadrato ha l area di cm 2. alcola il perimetro di un rettangolo equivalente al quadrato e avente la base lunga il doppio del lato del quadrato. [255 cm] 14. In un parallelogramma le due altezze misurano 15 cm e 25 cm. Sapendo che la base relativa all altezza minore misura 60 cm, calcola il perimetro. [192 cm] 15. In un parallelogramma la somma di due lati consecutivi misura 75 cm e il lato minore è congruente al doppio del maggiore. Sapendo che l altezza relativa al lato maggiore è uguale ai suoi 3/5, calcola l area del parallelogramma. [1 500 cm 2 ] 16. Il perimetro di un parallelogramma è uguale a quello di un rettangolo avente l area di 330 cm 2 e la base lunga 22 cm. Sapendo che il lato minore del parallelogramma misura 17 cm e che l altezza relativa al lato maggiore è lunga 13 cm, calcola l area del parallelogramma. [260 cm 2 ] 17. Un parallelogramma è equivalente a un rettangolo. La somma della base e dell altezza del rettangolo misura 30 cm e l altezza è 1/4 della base. alcola il perimetro del parallelogramma sapendo che le due altezze misurano 9 cm e 18 cm. [48 cm 2 ]

28 1 Il calcolo delle aree Teoria da pag. 3 a pag Esercizi di recupero Se hai ancora qualche difficoltà, segui gli esercizi svolti (quelli nel riquadro) e poi completa gli altri. 1. alcolare il perimetro e l area di un rettangolo avente la base e l altezza lunghe rispettivamente 25 cm e 10 cm. D Dati Richieste æ = 25 cm p =? æ = 10 cm =? Per calcolare il perimetro basta applicare la formula p = ( æ + æ ) 2; avremo quindi: p = ( ) 2 cm = 35 2 cm = 70 cm Per calcolare l area basta applicare la formula = æ æ ; avremo quindi: = (25 10) cm 2 = 250 cm 2 2. alcolare il perimetro di un rettangolo avente l area di 324 cm 2 e la base lunga 12 cm. D Dati Richieste = 324 cm 2 p =? æ = 12 cm Per calcolare il perimetro occorre conoscere l altezza del rettangolo che si calcola applicando la 324 formula inversa h = ; avremo quindi: h = = cm = 27cm Quindi: p = ( æ + æ b 12 ) 2, per cui p = ( ) 2 cm = 39 2 cm = 78 cm Risolvi i seguenti problemi. 3. alcola il perimetro e l area di un rettangolo avente la base e l altezza lunghe rispettivamente 35 cm e 19 cm. D Dati Richieste æ =... cm p =? æ =... cm =? Per calcolare il perimetro basta applicare la formula: p = ( )...; avremo quindi: p = ( )... cm = cm = 108 cm 4. alcola il perimetro di un rettangolo avente l area di 672 cm 2 e l altezza lunga 21 cm. Dati Richiesta D =... cm p =? æ =... cm Per calcolare il perimetro occorre conoscere la... del rettangolo, che si calcola... applicando la formula inversa b = ; avremo quindi: 672 b = cm =... cm, quindi: p = (...)... cm = cm = 106 cm

29 122 esercizi di recupero Risolvi i seguenti problemi. 5. alcola il perimetro e l area di un rettangolo avente la base e l altezza lunghe rispettivamente 37 cm e 23 cm. [120 cm; 851 cm 2 ] 6. alcola il perimetro e l area di un rettangolo sapendo che le due dimensioni sono lunghe rispettivamente 13,4 cm e 31 cm. [88,8 cm; 415,4 cm 2 ] 7. La base e l altezza di un rettangolo misurano rispettivamente 21,5 cm e 13,7 cm. alcolane perimetro e area. [70,4 cm; 294,55 cm 2 ] 8. alcola il perimetro e l area di un rettangolo avente la base lunga 39 cm e l altezza congruente ai 4/3 della base. [182 cm; cm 2 ] 9. alcola il perimetro di un rettangolo avente l area di 930 cm 2 e l altezza lunga 37,2 cm. [124,4 cm] 10. alcola il perimetro di un rettangolo avente l area di 1 334,5 cm 2 e l altezza lunga 42,5 cm. [147,8 cm] 11. alcolare il perimetro e l area di un quadrato avente il lato lungo 24 cm. Dati Richieste æ = 24 cm p =? l =? Per calcolare il perimetro basta applicare la formula p = l 4; avremo quindi: p = 24 4 cm = 96 cm Per calcolare l area basta applicare la formula = l 2 ; avremo quindi: = 24 2 cm 2 = 576 cm alcolare il perimetro di un quadrato avente l area di 961 cm 2. Dati Richiesta = 961 cm 2 p =? RS LIRI EDUTION SP Per calcolare il perimetro occorre conoscere il lato che si calcola applicando la formula inversa l = ; avremo quindi: l = 961 cm = 31 cm, per cui: p = 31 4 cm = 124 cm l D D Risolvi i seguenti problemi. 13. alcola il perimetro e l area di un quadrato avente il lato lungo 29 cm. Dati Richieste æ =... cm p =? =? Per calcolare il perimetro basta applicare la formula p =......; avremo quindi: p = cm = 116 cm Per calcolare l area basta applicare la formula =...; avremo quindi: =... cm 2 = 841 cm 2 D