Calcolo differenziale

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1 CAPITOLO 5 Calcolo ifferenziale 1. Linearizzazione e erivabilità La nozione i erivata, i capitale importanza in matematica e nelle sue applicazioni, è legata all iea geometrica i retta tangente e all iea fisica i velocità. Essa fu introotta nel XVII secolo a Leibnitz e a Newton a fonamento el calcolo infinitesimale, come allora fu battezzato quel corpus i iee e tecniche che iee luogo alla isciplina che oggi si chiama Analisi Matematica. Ma che cosa significa retta tangente a una curva? Qual è la retta che meglio approssima una curva in un punto? Immaginiamo i essere a boro i un aeroplano in fase i atterraggio e assumiamo per il momento come accettabile la seguente iea, ancorché imprecisa: il pilota realizzerà un atterraggio perfetto ogniqualvolta la traiettoria escritta al carrello sia tangente alla pista, che per semplicità supponiamo orizzontale (l asse ). In questo caso, che cosa veiamo al finestrino nei momenti immeiatamente preceenti il momento i contatto? Sperabilmente, veiamo la pista scorrerci sotto quasi parallela all aereo, mentre esso si abbassa molto olcemente: la istanza orizzontale che percorre in quei seconi è, per unità i tempo, molto maggiore ella quota che pere. Se 0 è il punto ella pista ove avverrà l atterraggio, se è la proiezione a terra el carrello e se f() è la sua altezza al suolo (cosicché f( 0 ) = 0), allora il rapporto f()/( ) iviene sempre più piccolo a mano a mano che ci avviciniamo al momento i contatto, cioè f()/( ) 0 per

2 154 Analisi Matematica 1 Se anziché atterrare su una pista orizzontale atterrassimo su una pista inclinata, che nel nostro schema biimensionale pensiamo rappresentata al grafico i una funzione lineare p(), allora l abilità el pilota starà nel far si che (f() p())/( ) 0 per 0. Ribaltano il punto i vista, la retta p() è la migliore approssimazione rettilinea ella traiettoria f() nel punto 0. Il processo i astrazione matematica conuce, a questo o a altri simili esempi, alle nozioni i linearizzazione e i erivata, per mezzo elle quali potremo are un significato rigoroso al concetto i retta tangente. Definizione 1.1 (Linearizzabilità). Sia f : (a, b) R e sia 0 (a, b). Diremo che f è linearizzabile in 0 se esiste un polinomio i primo grao p 1 () tale che p 1 ( 0 ) = f( 0 ) e per il quale risulti (1.68) 0 f() p 1 () = 0. In tal caso, p 1 si chiama la linearizzazione i f in 0. Esempi. (1) Si osservi che la linearizazione in un punto, se c è, è unica. Infatti, osserviamo innanzitutto che ogni polinomio i primo grao p tale che p( 0 ) = f( 0 ) è ella forma p() = f( 0 ) + ( ) per qualche R. Perciò, se q è un altra linearizzazione i f in 0, si ha q() = f( 0 ) + e( ) per qualche e R, e quini p() f() + f() q() p() q() e = = Siccome e è costante, se ne euce ( p() f() e = 0 il che implica p = q. = p() f() ) q() f() = 0 0 = 0, q() f(). (2) Come ci obbiamo aspettare, se f è essa stessa un polinomio i primo grao, coincie con la propria linearizzazione in ogni punto. Se f() = a 2 + b + c, la linearizzazione in 0 = 0 è p() = b + c. Infatti (a 2 + b + c) (b + c) = a 0 per 0. Similmente, la linearizzazione in 0 = 0 i un polinomio i grao n el tipo n j=0 a j j è p() = a 0 + a 1 in quanto ( n j=0 a j j ) (a 0 + a 1 ) = a a n 1 n 1 + a n n = a a n 1 n 2 + a n n 1 0 per 0. In generale, la linearizzazione i n j=0 a j ( ) j è a 0 + a 1 ( ), come il lettore è invitato a verificare.

3 Calcolo ifferenziale 155 (3) La nostra intuizione geometrica ci suggerisce che una curva che presenti uno spigolo non sia linearizzabile in tal punto. Il prototipo i una siffatta curva è il grafico ella funzione. Proviamo che in effetti f() = non è linearizzabile nell origine. Se lo fosse, la sua linearizzazione ovrebbe essere el tipo p() = a, in quanto p(0) = 0. Ma allora f() p() = a = a = e evientemente il ite per 0 non esiste. 1 a se > 0 1 a se < 0, (4) La linearizzazione i f() = sin nell origine è. Infatti sin = sin 1 0 per 0. Similmente, la linearizzazione i f() = e 1 nell origine è, come quella i f() = log(1 + ). Quella i f() = cos è invece p() = 1, in quanto: cos 1 0. per 0. Ecco i grafici elle funzioni iscusse e le relative linearizzazioni nell origine.

4 156 Analisi Matematica 1 Introuciamo ora una elle più importanti nozioni ell Analisi. Come veremo nel Teorema 1.3, essa esprime una proprietà equivalente alla linearizzabilità. (1.69) Definizione 1.2 (Derivata). Siano f : (a, b) R e 0 (a, b). Il rapporto f() f( 0 ), efinito per ogni (a, b) \ { 0 }, si ice rapporto incrementale i f in 0. Diremo che f è erivabile in 0 se esso converge per 0, ossia se esiste finito il ite (1.70) 0 f() f( 0 ) = f ( 0 ), che si enota anche f ( 0) oppure Df( 0 ) e si chiama la erivata i f in 0. Il rapporto incrementale ha questo nome proprio perché esso è il rapporto tra l incremento f() f( 0 ) ei valori ella variabie ipenente (ossia f ) che corrispone all incremento ei valori ella variabile inipenente (ossia ). Tali incrementi sono spesso enotati rispettivamente con f e ; perciò il rapporto incrementale viene anche enotato f/. Esso rappresenta evientemente il coefficiente angolare ella retta passante per i punti ( 0, f( 0 )) e (, f()). (, f()) f ( 0, f( 0 )) La nostra intuizione geometrica ci suggerisce che al tenere i a 0, la retta passante per ( 0, f( 0 )) e (, f()) tenerà a una posizione ite che ci aspettiamo essere la retta tangente in ( 0, f( 0 )), qualora essa esista. Corrisponentemente, il rapporto incrementale tenerà al coefficiente angolare ella retta ite. La notazione f/ per la erivata vuole proprio ricorare questo proceimento i ite, e non

5 Calcolo ifferenziale 157 eve essere intesa come un vero rapporto tra le quantità f e (nessuna elle quali rappresenta un numero reale!) bensì come un semplice simbolo. Il rapporto incrementale si può scrivere anche in un moo iverso, naturalmente equivalente a (1.69), utilizzano in moo ancora più esplicito l iea i incremento. Per h sufficientemente piccolo (ossia h < b a) esso può scriversi f( 0 + h) f( 0 ). h Per passare all una all altra espressione basterà porre h =, e la efinizione i erivata iventerà (1.71) f f( 0 + h) f( 0 ) ( 0 ) =. h 0 h Le consierazioni geometriche che abbiamo svolto suggeriscono fortemente che, se f è erivabile in 0, la retta i coefficiente angolare f ( 0 ) ovrebbe essere esattamente la linearizzazione i f in tal punto e, viceversa, se f è linearizzabile in 0 allora la sua linearizzazione ovrebbe avere come coefficiente angolare la erivata i f in 0. Ciò è esattamente ciò che avviene, come provato nel risultato che segue. Teorema 1.3. Siano f : (a, b) R e 0 (a, b). Sono fatti equivalenti: (i) f è linearizzabile in 0 ; (ii) f è erivabile in 0 ; (iii) esistono un numero reale e una funzione R 1 : (a, b) R che soisfano: (1.72) f() = f( 0 ) + ( ) + R 1 () per ogni (a, b) e R 1 () (1.73) = 0. 0 Dimostrazione. (i) (ii). Sia p 1 () la linearizzazione i f in 0. Come già osservato, ogni polinomio i primo grao p 1 tale che p 1 ( 0 ) = f( 0 ) è ella forma p 1 () = f( 0 ) + ( ) per qualche R. D altra parte, per ipotesi 0 = 0 f() p 1 () f() f( 0 ) ( ) f() f( 0 ) = = Quini f è erivabile in 0 con erivata uguale a. (ii) (iii). Sia ora il valore ella erivata i f in 0 e si ponga R 1 () = f() f( 0 ) ( ), una funzione ben efinta per ogni (a, b). verificata per ogni (a, b) e inoltre 0 come esierato. Evientemente, la formula (1.72) è R 1 () f() f( 0 ) ( ) f() f( 0 ) = = = 0, 0 0

6 158 Analisi Matematica 1 (iii) (i). Si ponga p 1 () = f( 0 ) + ( ). Chiaramente, p 1 ( 0 ) = f( 0 ). Le formule (1.72) e (1.73) forniscono inoltre f() p 1 () 0 cosicché f è linearizzabile in 0. f() f( 0 ) ( ) = 0 = 0 R 1 () = 0, La eri- Qualche commento sul punto (iii) el teorema preceente è obbligo. vabilità e la linearizzabilità i f risultano unque equivalenti alla scrittura (1.74) f() = p 1 () + R 1 () = f( 0 ) + f ( 0 )( ) + R 1 (), che chiameremo sviluppo i Taylor al prim orine 1, ove evientemente p 1 () = f( 0 ) + f ( 0 )( ) non è altro che la linearizzazione i f, mentre R 1 è un resto i cui si conosce il comportamento per 0. In effetti, alla luce el Teorema 1.3, il coefficiente angolare i p 1 è la erivata i f in 0 e il resto, ossia l errore che si commette approssimano f meiante p 1, è tanto migliore quanto più è vicino a 0 : esso tene a zero per 0 e vi tene più rapiamente i quanto tene a 0, come quantificato alla formula (1.73). Questa osservazione è resa ancora più precisa al Teorema 1.5 che segue, e in particolare alla sua imostrazione. Possiamo finalmente formalizzare la nozione i retta tangente cui abbiamo già iverse volte alluso faceno affiamento alla nostra intuizione geometrica. Definizione 1.4. Sia f : (a, b) R e sia 0 (a, b). Se f è erivabile in 0, la retta tangente al grafico i f nel punto ( 0, f( 0 )) è la retta i equazione (1.75) y = f( 0 ) + f ( 0 )( ). Se f non è erivabile in 0, iremo che la retta tangente al grafico i f nel punto ( 0, f( 0 )) non esiste. Esempi. (5) Le funzioni costanti hanno erivata nulla in ogni punto in quanto il rapporto incrementale è costantemente uguale a zero. (6) Abbiamo visto nell Esempio 2 che la linearizzazione nell origine i un polinomio i grao n, iciamo Q() = n j=0 a j j, è semplicemente il termine lineare p() = a 0 +a 1. Quini Q (0) = a 1. Ciò naturalmente segue anche alla efinizione i erivata. Infatti Q() Q(0) = Q() a 0 = nj=1 a j j e evientemente questo converge a a 1 per 0. n = a j j 1 = a 1 + a a n n 1 j=1 (7) Come iscusso nell Esempio 3, la funzione non è linearizzabile in 0 = 0 e quini non esiste la retta tangente al grafico nell origine. 1 La formula (1.74) è la prima i una famiglia i formule el tipo f() = p n () + R n (), note come sviluppi i Taylor i orine n.

7 Calcolo ifferenziale 159 (8) La maggior parte ei iti notevoli che abbiamo incontrato possono essere interpretati come la imostrazione ella erivabilità (spesso nell origine) ell opportuna funzione elementare. Ripreneno i casi visti nell Esempio 4, abbiamo la tabella: f() f (0) retta tangente sin 1 cos 0 1 e log(1 + ) 1 Come accennato all inizio el capitolo, la erivata è legata al concetto i velocità. Supponiamo infatti i escrivere il moto i un punto su una retta meiante una funzione f : I R efinita in un intervallo i tempo I, e per semplicità supponiamo I = (a, b). Dunque f(t) escrive la posizione el punto all istante t. Se pertanto t 0 è un istante fissato e h è un piccolo incremento temporale, in tale lasso i tempo il punto si è spostato i f(t 0 + h) f(t 0 ). Evientemente, il rapporto incrementale f(t 0 + h) f(t 0 ) h rappresenta la velocità meia el punto in quell intervallo temporale: se il moto fosse uniforme, essa sarebbe esattamente la velocità costante con la quale il punto si è spostato a f(t 0 ) a f(t 0 + h). Passano perciò al ite per h 0 si ottiene la velocità istantanea el punto nell istante t 0. Questa iea è i fonamentale importanza in Meccanica. Il risultato che segue conferma l iea intuitivamente chiara che la erivabilità in un punto sia una proprietà più forte ella continuità. Proposizione 1.5. Se f : (a, b) R è erivabile in 0 (a, b), allora essa è continua in 0. Dimostrazione. In virtù el puto (iii) el Teorema 1.3, per ogni (a, b) abbiamo f() = f( 0 ) + f ( 0 )( ) + R 1 () con R 1 ()/( ) 0. Siccome unque R 1 ()/( ) è convergente, essa è localmente itata (Proposizione 2.9) e poiché è infinitesima, il prootto è infinitesimo (Proposizione 2.21), ossia R 1 () 0 per 0. Ma allora a cui la continuità in 0. f() = [f( 0 ) + f ( 0 )( ) + R 1 ()] = f( 0 ), 0 0 Si osservi che naturalmente l implicazione opposta a quella ella proposizione preceente è falsa: la funzione è continua ma non erivabile nell origine. Passiamo ora llo stusio elle cosiette regole i erivazione, ossia al vero e proprio calcolo elle erivate.

8 160 Analisi Matematica 1 Proposizione 1.6 (Derivata i somme e prootti). Siano f, g : (a, b) R erivabili in 0 (a, b). Allora sono erivabili in 0 anche le funzioni f + g, fg e αf per ogni α R e si ha: (i) (f + g) ( 0 ) = f ( 0 ) + g ( 0 ); (ii) (fg) ( 0 ) = f ( 0 )g( 0 ) + f( 0 )g ( 0 ); (iii) (αf) ( 0 ) = αf ( 0 ). Dimostrazione. Per la somma si ha (f + g)() (f + g)( 0 ) = f() f( 0) + g() g( 0) f ( 0 ) + g ( 0 ) per 0. Per il prootto invece (fg)() (fg)( 0 ) = f()g() f()g( 0) + f()g( 0 ) f( 0 )g( 0 ) ( ) 0 ( ) g() g(0 ) f() f(0 ) = f() + g( 0 ). Ora, poiché f e g sono erivabili in 0, esse sono continue in 0. Quini il rapporto incrementale tene a f( 0 )g ( 0 )+g( 0 )f ( 0 ) per 0. La (iii) segue a (ii) perché le costanti hanno erivata nulla: basta prenere g() = α per ogni (a, b). La formula in (ii) è nota come regola i Leibnitz. Dai punti (i) e (iii) segue la linearità ella erivazione, nel senso che per ogni α, β R si ha (αf + βg) ( 0 ) = αf ( 0 ) + βg ( 0 ). Proposizione 1.7 (Derivata ella funzione composta). Siano f : (a, b) R e g : (c, ) R erivabili rispettivamente in 0 (a, b) e in f( 0 ) (c, ) e si supponga che f((a, b)) (c, ). Allora la funzione g f è erivabile in 0 e si ha: (g f) ( 0 ) = g (f( 0 ))f ( 0 ). Dimostrazione. Poniamo per semplicità y 0 = f( 0 ) e consieriamo gli sviluppi i Taylor al prim orine f() = f( 0 ) + f ( 0 )( ) + R f () g(y) = g(y 0 ) + g (y 0 )(y y 0 ) + R g (), ove si sono enotati con R f e R g i resti. Quini, per ipotesi R f ()/( ) 0 per 0 mentre R g (y)/(y y 0 ) 0 per y y 0. Pertanto, in y = f() si ha g(f()) = g(y 0 ) + g (y 0 )(f() y 0 ) + R g (f()) = g(y 0 ) + g (y 0 ) [ f( 0 ) + f ( 0 )( ) + R f () ] g (y 0 )f( 0 ) + R g (f()) = [ g(f( 0 )) + g (f( 0 ))f ( 0 )( ) ] + [ g (f( 0 ))R f () + R g (f()) ]. L espressione preceente per g f è costituita alla somma i ue aeni: l aeno lineare g(f( 0 )) + g (f( 0 ))f ( 0 )( ) più il secono aeno Q() = g (f( 0 ))R f () + R g (f()).

9 Se proviamo che Calcolo ifferenziale Q() = 0, allora il Teorema 1.3 ci ice che l espressione ottenuta è lo sviluppo i Taylor al prim orine i g f, in quanto Q si comporta esattamente come il resto i g f. Ne seguirebbe allora che g f è erivabile in 0 e unque in particolare che il coefficiente el termine lineare, ossia g (f( 0 ))f ( 0 ) è proprio la erivata in 0, come esieriamo imostrare. D altre parte, Q() = g (f( 0 ))R f () + R g (f()) = g (f( 0 )) R f() + R g(f()) = g (f( 0 )) R f() + = g (f( 0 )) R f() + R g(f()) f() f( 0 ) f() f( 0 ) ( ) ( ) Rg (y) f() f(0 ). y y 0 Ora, siccome f è continua in 0, posto y = f() si ha y y 0 per 0. In altri termini, possiamo applicare il Teorema 2.23 i cambio i variabile nei iti e ottenere come volevamo. Q() g (f( 0 )) f ( 0 ) = 0, La regola i erivazione ella funzione composta viene etta anche regola ella catena, trauzione ell inglese chain rule. Completiamo il quaro relativo alle regole i erivazione con i tre risultati che seguono. Proceeremo poi a ottenere le erivate elle funzioni elementari e a isporre perciò egli strumenti aeguati per il calcolo ella maggior parte elle erivate che ragionevomente capita i over calcolare. Omettiamo la non ifficile imostrazione ella proposizione che segue. Il lettore curioso la potrà ricavare a solo per esercizio oppure leggerla a esempio in [DM]. Proposizione 1.8 (Derivata ell inversa). Sia f : (a, b) R invertibile in (a, b) e erivabile in 0 (a, b) e si supponga f ( 0 ) 0. Allora la funzione inversa f 1 è erivabile in y 0 = f( 0 ) e si ha (f 1 ) (y 0 ) = 1 f ( 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). Se sapessimo a priori che la funzione inversa è erivabile in y 0, potremmo ottenere l espressione ella erivatta all ientità f 1 (f()) =, certamente valia per ogni (a, b). Infatti, al Teorema 1.7 e al fatto che la erivata i è 1 si ottiene 1 = (f 1 f) ( 0 ) = (f 1 ) (f( 0 ))f ( 0 ) = (f 1 ) (y 0 )f ( 0 ),

10 162 Analisi Matematica 1 a cui la formula. Il fatto che il coefficiente angolare ella retta tangente al grafico i f 1 sia il reciproco i quello ella retta tangente al grafico i f nel punto corrisponente, non è sorprenente: i ruoli i e y sono per l appunto invertiti e quini il rapporto incrementale è il reciproco. Moificano le notazioni ella Proposizione 1.8, abbiamo perciò che nel punto ( 0, f 1 ( 0 )) = (f(t 0 ), t 0 ), la retta tangente al grafico ella funzione inversa ha equazione: (1.76) y = f 1 ( 0 ) + (f 1 ) ( 0 )( ) = t 0 + f (t 0 ). Proposizione 1.9 (Derivata el reciproco). Sia f : (a, b) R erivabile in 0 (a, b) e si supponga f( 0 ) 0. Allora la funzione reciproca 1/f è efinita in un intorno i 0, è erivabile in 0 e si ha ( 1 f ) ( 0 ) = f ( 0 ) (f( 0 )) 2. Dimostrazione. Il rapporto incrementale i 1/f() in 0 è [ 1 1 f() 1 ] = 1 [ ] f(0 ) f() 1 = f( 0 ) f()f( 0 ) f()f( 0 ) Siccome f è continua, esso converge a f ( 0 )/(f( 0 )) 2 per 0. f() f( 0 ). Corollario 1.10 (Derivata el quoziente). Siano f, g : (a, b) R erivabili in 0 (a, b) e si supponga g( 0 ) 0. Allora la funzione quoziente f/g è efinita in un intorno i 0, è erivabile in 0 e si ha ( f g ) ( 0 ) = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) (g( 0 )) 2.

11 Calcolo ifferenziale 163 Dimostrazione. Applichiamo la regola i Leibnitz al prootto f(1/g) e la Proposizione 1.9, otteneno ( f 1 ) ( 0 ) = f 1 ( 0 ) g g( 0 ) + f( 0) = f ( 0 ) g( 0 ) f( 0) g ( 0 ) (g( 0 )) 2 ( ) 1 ( 0 ) g = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) (g( 0 )) 2. Concluiamo questo paragrafo con qualche osservazione sui iti estri e sinistri. Definizione Sia f : [a, b] R. (i) se 0 [a, b) e se esiste finito il ite + 0 f() f( 0 ) esso si enota f + ( 0) e si chiama la erivata estra i f in 0 ; (ii) se 0 (a, b] e se esiste finito il ite 0 f() f( 0 ) esso si enota f ( 0) e si chiama la erivata sinistra i f in 0. Evientemente, se 0 (a, b) allora f è erivabile in 0 se e solo se esistono sia la erivata estra che la erivata sinistra in 0 e si ha f +( 0 ) = f ( 0 ). Esempi. (9) Come visto nell Esempio 3, la funzione non è erivabile nell origine. Però f() f(0) 0 = = = 1 f() f(0) 0 cosicché f +(0) = 1 e f (0) = 1. = 0 0 = 0 2. Derivate i funzioni elementari = 1 In questo paragrafo calcoleremo le erivate elle principali funzioni elementari che abbiamo incontrato finora. Utilizzeremo spesso le notazioni f f (), () per inicare la erivata i f come funzione. In effetti, se f : (a, b) R è erivabile in ogni punto i (a, b), allora è efinita in moo naturale la funzione f (), che

12 164 Analisi Matematica 1 evientemente si chiama la erivata i f. La secona notazione è particolarmente comoa quano f è efinita meiante una formula. A esempio, log(1 + ) log(1 + ), ove e se esiste, e ci consente i lavorare inica la erivata i irettamente con la formula, evitano i are un nome alla funzione. Similmente, se f è efinita meiante una formula e vogliamo calcolare f (g()), ove g() è un altra funzione, avremo occasione i scrivere A esempio, scriveremo (2.77) ( f()) (g()). ( ) log(1 + ) (e ) Potenze con esponente intero, polinomi. Abbiamo già visto negli esempi 2 e 6 che la erivata i è 1, come peraltro risulta chiaro al fatto che il rapporto incrementale in ognoi punto vale esattamente 1. Proviamo ora per inuzione su n che (2.78) n = n n 1. Supponeno (2.78) vera fino al grao n, si ha poi, per ipotesi inuttiva e per la regola i Leibnitz n+1 = ( n ) ( ) ( ) = n + n = n n 1 + n 1 = (n + 1) n, che è esattamente (2.78) per n + 1. Dalla linearità ella erivata, si ottiene subito che (2.79) n n n 1 a k k = ka k k 1 = (k + 1)a k k. k=0 k=1 k=0 Quini la erivata i un polinomio i grao n è un polinomio i grao n Esponenziali e logaritmi. La erivata ella mappa esponenziale e si ottiene molto facilmente alla erivata nell origine (che abbiamo già calcolato) e alle proprietà ella funzione: e +h e = e e h e = e eh 1 e h h h per h 0, per via el solito ite notevole. Vale unque la fonamentale formula (2.80) e = e che, in particolare, esprime il fatto che la funzione esponenziale è erivabile su tutto l asse reale. Dimostreremo che essa è l unica funzione erivabile su R che soisfa le

13 proprietà f () = f() f(0) = 1. Similmente, per ogni base reale a > 0 si ottiene a cui a +h a h Calcolo ifferenziale 165 = a a h a h per ogni R = a ah 1 h a log a, (2.81) a = a log a. Applicano le varie regole i erivazione viste e (2.80) si ha inoltre cosh = ( e + e ) = ( e + e ) = 1 2 Quini (2.82) cosh = sinh e similmente (2.83) sinh = cosh. Dalla regola i erivazione ella funzione inversa si ottiene log = 1 ( e )(log ) = 1, ossia (2.84) log = 1. Similmente, si ottiene (2.85) log a = 1 log a. ( e + e ( 1) ) Potenze generali. Se α R e > 0, utilizzano la regola i erivazione ella funzione composta e le erivate calcolate sopra, abbiamo α = eα log = ( e ) (α log ) α log = eα log α, ossia (2.86) α = α α 1, che evientemente generalizza (2.78) al caso i potenza reale. particolare, per α = 1/2, si ha 1 (2.87) = 2. Osserviamo che, in

14 166 Analisi Matematica 1 Se la potenza è a sua volta una funzione i, anziché una costante, la regola (2.86) si estene in moo complicato, anche se il metoo i calcolo è lo stesso. Più in generale, se f è una funzione erivabile positiva e g è una funzione erivabile qualunque, si ha ossia (2.88) f()g() = log f() eg() = ( e ) (g() log f()) g() log f() = f() g() [ g () log f() + g() log f() ] ] = f() [g g() 1 () log f() + g() f() f (), [ f()g() = f() g() g () log f() + g() ] f() f (). Quini, se g() = α, ossia se g è costante, si ha (2.89) f()α = αf() α 1 f (), coerentemente con (2.86) se f() = Funzioni trigonometriche. Dalle formule i prostaferesi sin( + h) sin = 2 ( ) ( ) ( 2 + h h h h cos sin = cos + h ) sin (h/2) h/2 Perciò, utilizzano la continuità el coseno e il solito ite notevole sin / 1 per 0 si ottiene (2.90) sin = cos. Similmente, cos( + h) cos = 2 ( ) ( ) ( 2 + h h h h sin sin = sin + h ) sin (h/2), h/2 a cui (2.91) cos = sin. Applicano la formula i erivazione el quoziente si ha pertanto tan = a cui le ue formule (2.92) ( ) sin = cos ( sin ) cos sin ( cos ) = (cos )2 + (sin ) 2, (cos ) 2 (cos ) 2 tan = 1 + (tan )2 = 1 (cos ) 2.

15 Calcolo ifferenziale 167 Applichiamo ora le regole i erivazione ella funzione inversa e calcoliamo la erivata i arcsin, arccos e arctan. Innanzitutto, arcsin = 1 cos (arcsin ). Per [ π/2, π/2] il coseno è non negativo, perciò cos = 1 sin 2. Ne segue arcsin = 1 1 sin 2 (arcsin ) ossia (2.93) e similmente (2.94) Infine e quini (2.95) Esempi. arcsin = arccos = arctan = tan 2 (arctan ) arctan = (10) Ripreniamo 2.77 e effettuiamo il calcolo. Siccome 1 1 log(1 + ) = 2 log(1 + ) 1 +, si avrà ( ) log(1 + ) (e ) = 2 (11) Vogliamo calcolare la erivata i f() =. Siccome si avrà = e log = e log 1 1 log(1 + e ) 1 + e. ( = e log 1 log + 1 ) = (1 + log ).

16 168 Analisi Matematica 1 3. I teoremi classici el calcolo ifferenziale In questo paragrafo stuiamo alcuni teoremi classici, che consentono i ottenere informazioni molto rilevanti sul comportamento i una funzione a partire alla conoscenza elle proprietà ella sua erivata o, viceversa, a eurre proprietà ella erivata a quelle ella funzione. Ci riferiamo soprattutto alla monotonia e allo stuio egli estremi locali, un raffinamento ei concetti i massimo e minimo introotti e iscussi nei capitoli preceenti. È infatti molto importante estenere queste nozioni, conferenovi anche un significato anche locale. Supponiamo i stuiare l anamento ella temperatura i una certa città in funzione el tempo. Come i servizi metereologici non mancano mai i ricorarci, nell arco ella giornata vengono registrate le temperature massime e minime. Si tratta, appunto, i valori relativi a una sola giornata. Evientemente, la temperatura massima registrata in un giorno i gennaio sarà assai inferiore alla massima registrata a luglio (e magari inferiore anche alla minima). Similmente, le minime i agosto saranno notevolmente superiori a quelle i icembre (e magari anche alle massime). Ciò nonimeno, relativamente a un breve lasso i tempo quale una giornata, oppure anche una stagione, le massime e le minime, giornaliere o stagionali, forniscono informazioni utili e interessanti. L importanza el concetto i massimo o minimo locale è ancora più trasparente se si pensa alla mappatura ei rilievi terrestri: per are una escrizione aeguata ella geografia i una regione è senz altro significativo iniviuare colline e avvallamenti. In questo caso, la funzione che si vuole escrivere è l altezza sul livello el mare i una zona ella superficie terrestre, e è quini efinita su una porzione i piano 2 anziché su un sottoinsieme ella retta reale. Da un punto i vista concettuale, l obbiettivo che si vuole raggiungere è però el tutto analogo, cioè istinguere aspetti locali a aspetti globali. La cima i una collina rappresenta un massimo locale, anche se magari vi sono altre colline o montagne che sono più alte. Definizione 3.1. Siano I R e f : I R. Diremo che 0 I è un punto i: (i) massimo globale (o assoluto) se f( 0 ) f() per ogni I ; (ii) minimo globale (o assoluto) se f( 0 ) f() per ogni I ; (iii) massimo locale (o relativo) se esiste δ > 0 tale che f( 0 ) f() per ogni ( 0 δ, 0 + δ) I ; (iv) minimo locale (o relativo) se esiste δ > 0 tale che f( 0 ) f() per ogni ( 0 δ, 0 + δ) I. 2 Il geoie terrestre viene assimilato a un piano se si consierano regioni abbastanza piccole.

17 Calcolo ifferenziale 169 Se 0 soisfa (i) o (ii) esso si ice un estremo globale (o assoluto) per f ; se esso soisfa (iii) o (iv) esso si ice un estremo locale (o relativo) per f. Se inoltre le iseguaglianze valgono in senso stretto per 0, si parla i massimi o minimi (locali o globali) forti. Si osservi che se 0 è un estremo assoluto allora è anche un estremo relativo, mentre il viceversa è falso. Si consieri a esempio la seguente funzione Evientemente, essa ha cinque massimi relativi i cui uno assoluto e ue agli estremi, e quattro minimi relativi, i cui ue assoluti. Teorema 3.2 (i Fermat). Sia f : (a, b) R e sia 0 (a, b). Se 0 estremo relativo e se f è erivabile in 0, allora f ( 0 ) = 0. è un Dimostrazione. Supponiamo che 0 sia i minimo relativo; il caso in cui esso è i massimo relativo è analogo, e la imostrazione viene lasciata per esercizio. Allora esiste δ > 0 tale che f( 0 + h) f( 0 ) 0 per ogni h (0, δ), h f( 0 + h) f( 0 ) 0 per ogni h ( δ, 0). h Passano al ite per h 0, si ottiene f + ( 0) 0 e f ( 0) 0. Poiché per ipotesi f è erivabile in 0 si ha necessariamente f + ( 0) = f ( 0) = f ( 0 ), cosicché f ( 0 ) = 0. Definizione 3.3. Sia f : (a, b) R. Se 0 (a, b) è un punto in cui f è erivabile e f ( 0 ) = 0, allora esso si ice un punto critico (o stazionario) i f.

18 170 Analisi Matematica 1 Esempi. (12) Il teorema i Fermat può essere formulato iceno che se 0 è un punto i estremo relativo per f e esiste f ( 0 ), allora esso è un punto critico per f. Il viceversa è falso: la funzione f() = 3 ha nell origine un punto critico (in quanto f () = 3 2 che evientemente si annulla nell origine) ma esso non è un estremo relativo. Infati, se > 0 (quini a estra e arbitrariamente vicino all origine) allora f() > 0, mentre se < 0 (quini a sinistra e arbitrariamente vicino all origine) allora f() < 0. (13) Sia f : [a, b] R e supponiamo che f sia erivabile in tutto l intervallo aperto (a, b) e che inoltre esistano f + (a) e f (b). Se a oppure b sono estremi (anche assoluti) non è affatto etto che f + (a) = 0 oppure f (b) = 0. Si consieri infatti la funzione f() = in [0, 1]. Essa è erivabile in (0, 1) con erivata f () = 1. Evientemente f +(0) = f (1) = 1 anche se 0 è il massimo assoluto e 1 è il minimo assoluto i f. Presentiamo ora il classico trittico el calcolo ifferenziale: i teoremi i Rolle, Lagrange e Cauchy. Essi sono tra essi equivalenti, ovvero, supponeno che uno qualunque sia vero, si possono imostrare gli altri ue. Nonostante l equivalenza, il teorema più (irettamente) utile è quello i Lagrange, noto anche come teorema ei valori intermei, e, più ancora, sono i grane utilità i suoi corollari. Teorema 3.4 (Rolle). Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e erivabile in (a, b). Se f(a) = f(b), allora esiste ξ (a, b) tale che f (ξ) = 0. Dimostrazione. Se f è costante, allora f () = 0 per ogni e il risultato è ovvio. Supponiamo allora che f non sia costante. Siano M, m [a, b], rispettivamente, il massimo e il minimo (assoluti) i f, certo esistenti per il teorema i Weierstrass. Uno tra M e m non è un estremo ell intervallo [a, b], perché altrimenti il valore massimo e il valore minimo i f coincierebbero, e f sarebbe costante. Sia ξ l estremo i f che sta in (a, b). Poiché in ξ la funzione è certamente erivabile, per il teorema i Fermat si conclue che f (ξ) = 0.

19 Calcolo ifferenziale 171 L interpretazione geometrica el teorema i Rolle è illustrata nella figura seguente: se f assume gli stessi valori agli estremi e se esiste la retta tangente in ogni punto, ve ne è una orizzontale. Teorema 3.5 (Cauchy). Siano f, g : [a, b] R continue in [a, b] e erivabili in (a, b). Allora esiste ξ (a, b) tale che [ ] f(b) f(a) f et (ξ) g(b) g(a) g = 0 (ξ) Dimostrazione. Sia [ ] f(b) f(a) f() ϕ() = et. g(b) g(a) g() In quanto combinazione lineare i funzioni continue in [a, b] e erivabili in (a, b), essa è continua in [a, b] e erivabile in (a, b). Inoltre ϕ(a) = (f(b) f(a))g(a) f(a)(g(b) g(a)) = f(b)g(a) f(a)g(b) ϕ(b) = (f(b) f(a))g(b) f(b)(g(b) g(a)) = f(a)g(b) + f(b)g(a), e quini ϕ(a) = ϕ(b). Ne segue che ϕ soisfa le ipotesi el teorema i Rolle, e unque esiste ξ (a, b) tale che ϕ (ξ) = 0. Ma [ ] f(b) f(a) f ϕ () = et () g(b) g(a) g, () il che prova l asserto. Teorema 3.6 (Lagrange). Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e erivabile in (a, b). Allora esiste ξ (a, b) tale che f(b) f(a) = f (ξ)(b a).

20 172 Analisi Matematica 1 Dimostrazione. Sia g() =, una funzione certamente continua in [a, b] e erivabile in (a, b). Applicano il Teorema i Cauchy a f e g si ottiene la tesi, in quanto [ ] f(b) f(a) f 0 = et (ξ) = f(b) f(a) f b a 1 (ξ)(b a). L interpretazione geometrica el teorema i Lagrange è el tutto simile a quella el teorema i Rolle, anzi, si può ben affermare che quest ultima ne sia un caso particolare. Infatti, riscriveno la tesi el teorema i Lagrange nella forma f(b) f(a) = f (ξ) b a si euce l esistenza i una retta tangente al grafico (quella nel punto (ξ, f(ξ))) parallela alla retta che congiunge i punti (a, f(a)) e (b, f(b)). Quini, l asserzione geometrica è analoga a quella el teorema i Rolle, ma inclinata. Corollario 3.7. Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e erivabile in (a, b). Allora f è costante in [a, b] se e solo se f () = 0 per ogni (a, b). Dimostrazione. Sapiamo già che se f è costante in [a, b], allora f () = 0 per ogni (a, b) in quanto i rapporti incrementali sono tutti nulli. Per provare il viceversa, assumiamo f () = 0 per ogni (a, b) e preniamo a, cioè (a, b]. Poiché f è continua in [a, ] e erivabile in (a, ), per il teorema i Lagrange esisterà ξ (a, ) tale che f() f(a) = f (ξ)( a) = 0 e unque f() = f(a). Perciò in tutti i punti i [a, b] f assume lo stesso valore.

21 Calcolo ifferenziale 173 Esempi. (14) Si noti bene che nel preceente corollario è essenziale che la funzione sia efinita su un intervallo. A esempio, la funzione 1 se [0, 1] f() = 2 se [2, 3] è continua in I = [0, 1] [2, 3] e erivabile all interno i I, ossia in J = (1, 2) (2, 3), ha erivata nulla in J ma non è affatto costante. (15) Il Corollario 3.7 può essere esteso a intervalli itati a intervalli ilitati, osservano che se a esempio una funzione f : (c, + ) R ha erivata ienticamente nulla, allora essa è in particolare nulla su ogni sottointervallo el tipo (a, b) con a > c e quini è costante in ogni sottointervallo el tipo [a, b]. Essa è unque costante in (a, + ). Per un esempio interessante, si consieri la funzione f() = arctan + arctan 1 efnita su R\{0}, ove è certamente erivabile in quanto somma i composte i funzioni erivabili. Calcolano la erivata si ha f () = ( (1/) 1 ) = Allora f è costante in (0, + ) e tale costante è il valore i f in qualsiasi punto > 0, a esempio f(1) = arctan 1 + arctan 1 = π/2. Se ne euce l interessante formula π (3.96) 2 arctan = arctan 1 vera per (0, + ). Che formula si ottiene in (, 0)? Corollario 3.8. Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e erivabile in (a, b). (i) Se f () > 0 per ogni (a, b), allora f è strettamente crescente in [a, b]; (ii) se f () < 0 per ogni (a, b), allora f è strettamente ecrescente in [a, b].

22 174 Analisi Matematica 1 Dimostrazione. Dimostriamo (i); la imostrazione i (ii) è el tutto analoga e viene lasciata per esercizio. Siano 1, 2 [a, b] e si supponga 1 < 2. Evientemente, f è continua in [ 1, 2 ] e erivabile in ( 1, 2 ), e quini per il teorema i Lagrange esiste ξ ( 1, 2 ) tale che f( 2 ) f( 1 ) = f (ξ)( 2 1 ). ll membro estro i questa uguaglianza è positivo per l ipotesi su f e per la scelta i 1 e 2. Quini f( 2 ) > f( 1 ) e si ha la tesi. Esempi. (16) Le implicazioni el preceente corollario non possono essere invertite, ossia non si può ire che se f, supposta continua in [a, b] e erivabile in (a, b), è strettamente crescente, allora f () > 0 in (a, b). Si consieri f : [ 1, 1] R efinita a f() = 3. Esssa è strettamente crescente in [ 1, 1] ma f (0) = 0. È invece vero che le versioni eboli i monotonia e positività sono equivalenti, nel senso el corollario che segue. Corollario 3.9. Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e erivabile in (a, b). (i) f () 0 per ogni (a, b) se e solo se f è non ecrescente in [a, b]; (ii) f () 0 per ogni (a, b) se e solo se f è non crescente in [a, b]. Dimostrazione. Al solito, ci itiamo a (i). Per imostrare che se f () 0 per ogni (a, b) allora e f è non ecrescente in [a, b] si ragiona come nella imostrazione el Corollario 3.8. Viceversa, supponiamo f non ecrescente e preniamo (a, b). Per h 0 sufficientemente piccolo in valore assoluto, + h (a, b) e per ipotesi 0 se h > 0 f( + h) f() è 0 se h < 0. Divieno per h e osservano che le preceenti iseguaglianze mantengono il verso per h > 0 e lo invertono per h < 0, si ottiene f( + h) f() 0 h per ogni h 0 sufficientemente piccolo in valore assolto, inipenentemente al segno. Passano al ite per h 0 si ha f () 0, come esierato. Si eve quini interpretare cum granu salis il corollario preceente: se abbiamo una funzione strettamente crescente in un intervallo chiuso (quini in particolare non ecrescente), e erivabile al suo interno, possiamo eurre che f () 0 nell intervallo aperto, ma non possiamo affatto inferire che f () > 0, come visto nell Esempio 16. Passiamo ora a un corollario el teorema i Rolle e el Corollario 3.9, noto come teorema i Darbou. Esso si enuncia alle volte iceno che l immagine i un intervallo meiante una erivata è un intervallo. La versione che interessa a noi è la seguente: Corollario 3.10 (Darbou). Sia f : (a, b) R erivabile in (a, b). Se ξ e η sono ue punti i (a, b), allora f assume tutti i valori compresi tra f (ξ) e f (η).

23 Calcolo ifferenziale 175 Dimostrazione. Se f (ξ) = f (η) non c è nulla a imostrare. Supponiamo allora per esempio f (ξ) < f (η) e preniamo λ tale che f (ξ) < λ < f (η). Dobbiamo provare che esiste un punto c (a, b) tale che f (c) = λ. Si consieri la funzione g() = f() λ, certamente ben efinita e erivabile in tutto (a, b). Per ipotesi, g (ξ) = f (ξ) λ < 0 mentre g (η) = f (η) λ > 0. Segue al Corollario 3.9 che g non può essere monotona nell intervallo chiuso I i estremi ξ e η: se lo fosse, la sua erivata non potrebbe cambiare segno. Poiché g è continua, essa non è iniettiva e unque esistono ue punti α < β in I tali che g(α) = g(β). Perciò g soisfa le ipotesi el teorema i Rolle in [α, β] e ne consegue l esistenza i un punto c (α, β) tale che 0 = g (c) = f (c) λ, come si voleva. Dal risultato preceente si euce che una erivata non può avere iscontinuità i prima specie, cioè a salto. Concluiamo il capitolo con gli importanti teoremi i e l Hôpital e le loro conseguenze. Essi riguarano la possibilità i calcolare iti el tipo f() p g(), qualora si presentino come forme ineterminate, sapeno calcolare piuttosto f () p g (). Sotto opportune ipotesi, l esistenza el secono ite ci permette i eurre che anche il primo esiste e che essi sono uguali. La natura el punto p e el processo i ite non è importante, ossia se p R oppure p = ± oppure ancora se p R ma p + ovvero p, nel senso che enunciati analoghi valgono in tutte le situazioni possibili. Per semplicità, aremo l enunciato in un solo caso, invitano il lettore a prourre gli enunciati nei casi rimanenti. Teorema 3.11 (e l Hôpital). Siano f, g : (a, b) R erivabili in (a, b), sia g () 0 per ogni (a, b) e supponiamo che esista finito o infinito 3. Se f () a + g () = l, (i) entrambe f e g sono infinitesime per a +, oppure (ii) g iverge per a +, allora esiste anche il ite p (f()/g()) e si ha f() p g() = l. 3 Ossia l R {± }.

24 176 Analisi Matematica 1 Dimostrazione. Ci itiamo a imostrare il teorema nel caso (i) e nelle ipotesi in cui l R. Il lettore curioso può trovare la imostrazione ei casi restanti in [R]. Sia ε > 0. Siccome f (ξ)/g (ξ) l, esiste δ > 0 tale che se a < ξ < a + δ, allora l ε 2 < f (ξ) g (ξ) < l + ε 2. Presi ora, y con a < < y < a + δ, per il teorema i Cauchy esisterà ξ (, y) tale che l ε f() f(y) < 2 g() g(y) = f (ξ) g (ξ) < l + ε 2. Passano al ite per a +, siccome f e g sono entrambe infinitesime, si ha l ε 2 f(y) g(y) l + ε 2 per ogni y (a, a + δ). Per efinizione i ite, si ha la tesi, in quanto per ogni ε > 0 abbiamo trovato δ > 0 tale che per ogni y (a, a + δ) risulta f(y) g(y) l < ε, visto che l ε < l ε/2 e anche l + ε/2 < l + ε. Le ipotesi (i) e (ii) si riassumono in gergo iceno che il teorema i e l Hôpital vale nei casi 0 qualunque cosa oppure. 0 Le virgolette sono naturalmente obbligo, e anche quano queste espressioni siano correttamente interpretate, non si eve imenticare l ipotesi fonamentale g 0 vicino al punto in cui si calcola il ite. Il lettore attento avrà notato che questa ipotesi i fatto implica la sensatezza el ite per a + el rapporto f()/g(). Infatti, siccome la erivata i g non si annulla, essa sarà o positiva o negativa e quini g sarà strettamente monotona in (a, b). Ma allora g può annullarsi al più una volta in tale intervallo e quini per abbastanza vicino a a certamente si avrà g() 0. Infine, la monotonia i g è stata implicitamente usata nella imostrazione: quano si applica il teorema i Cauchy si ivie per g() g(y) che non è nullo per e y vicini a a. Esempi. (17) Supponiamo i voler calcolare 0 e 1 + log(1 ), tan che è una forma ineterminata el tipo zero su zero. La erivata el enominatore è (tan ) = 1 + (tan )2 1 = (tan ) 2

25 Calcolo ifferenziale 177 e non si annulla in un intorno bucato ell origine. Possiamo quini provare a applicare il teorema i e l Hôpital una prima volta, ossia possiamo calcolare il rapporto tra le erivate, otteneno: (3.97) (e 1 + log(1 )) = (tan ) e 1 1 (cos )2 = (tan ) 2 1 (e (1 ) 1) (sin ) 2. Anche questo rapporto è una forma ineterminata el tipo zero su zero. Prima i proceere a applicare nuovamente il teorema, osserviamo che esso comporta il calcolo i iverse erivate. Conviene unque se possibile (e nel nostro caso lo abbiamo fatto) scrivere la funzione come il prootto i un termine convergente e i un altro che contiene la forma ineterminata. Il termine convergente, infatti, che nel nostro caso è (cos ) 2 1, può essere escluso ai calcoli successivi. Per quanto riguara la forma ineterminata, siccome (sin )2 = 2 sin cos non si annulla in un intorno bucato ell origine, possiamo provare a analizzarla calcolano ancora il rapporto tra le erivate. Siccome (e (1 ) 1) (sin = )2 e 2 sin cos = 1 2 sin per 0, per il teorema i e l Hôpital, possiamo eurre che (e (1 ) 1) = 1 0 (sin ) 2 2 e quini che il ite in (3.97) vale anch esso 1/2. teorema i e l Hôpital, il ite iniziale vale 1/2. (18) Dimostriamo ora il ite notevole (3.98) + log = 0, α > 0. α e cos 1 2 Ma allora, nuovamente per il In effetti, log = 1/ α α = 1 α 1 α 0 α e per il teorema i e l Hôpital si conclue. Quini, per +, il logaritmo iverge più lentamente i qualunque potenza el suo argomento. (19) Viceversa, per +, l esponenziale iverge più rapimente i qualunque potenza el suo argomento: e (3.99) = +, α > 0. + α

26 178 Analisi Matematica 1 In effetti, abbiamo a che fare con una forma ineterminata el tipo infinito su infinito e calcolano il rapporto elle erivate una prima volta si ha: e = α e α α 1. Se α 1 0, tale rapporto iverge a +, altrimenti si ha ancora una forma ineterminata el tipo infinito su infinito e calcolano il rapporto elle erivate ancora una volta si ottiene e α(α 1) α 2. Se α 2 0, tale rapporto iverge a +, altrimenti si itera il proceimento. Siccome esisterà un intero non negativo n per il quale α (n, n + 1], calcolano il rapporto elle erivate n + 1 volte si perviene a e + α(α 1)(α 1)... (α n)α (n+1) in quanto α (n + 1) 0. La tesi segue evientemente al teorema i e l Hôpital. (20) Un altro ite notevole interessante riguara il comportamento el logaritmo per 0 +, cioè (3.100) 0 + ε log = 0. ε > 0. In questo caso, obbiamo prima osservare che ε log = log ε, che è una forma ineterminata el tipo infinito su infinito. Questa osservazione ci mostra peraltro che il ite (3.100) ice in realtà che il logaritmo iverge (negativamente) più lentamente i ogni potenza negativa i. Si osservi inoltre che l aspetto interessante consiste nell osservare che si può prenere ε arbitrariamente piccolo. Se infatti (3.100) è vera per ε, lo è a maggior ragione per ogni esponente maggiore i ε. Veneno alla imostrazione, log = 1/ ε ε = 1 ε 1 ε ε 0, a cui segue (3.100) per il teorema i e l Hôpital. (21) Infine, un esempio nel quale il teorema non si può applicare. Si consieri il ite sin + + sin. La erivata el enominatore è infatti 1 cos e si annulla in ogni intorno i +, ossia in ogni semiretta el tipo (a, + ). Dunque il rapporto tra le erivate non può neppure essere preso in esame. D altra parte però sin + sin = 1 sin 1 + sin 1 in quanto sin è itata e 1/ infinitesima per +.