Esercizi del 9 ottobre 2014

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1 . Dire quali delle seguenti funzioni è lineare. (a x + x x x 3 (b (log 5x x (c sin x x (d x x + 5x 3 (e x x + 5x 3 + (f x +x 4x 3 x +,5x +x 3 (g x + x + x 3 3 Esercizi del 9 ottobre 4. Dire quali delle funzioni nell esercizio precedente è quadratica. 3. Per tutte le funzioni nell esercizio calcolare, nell insieme di definizione delle funzioni, il gradiente e la matrice hessiana. 4. Se il valore di una funzione lineare nel punto (,, è 4, qual è il valore della stessa funzione nel punto (4,, = (,,? Sai dire qual è il nome della proprietà che hai utilizzato per dare la risposta? 5. Se il valore di una funzione lineare nel punto (,, è 4 e quello nel punto (,, è 7, qual è il valore della stessa funzione in (4,, = (,, + (,,? Sai dire qual è il nome della proprietà che hai utilizzato per dare la risposta? 6. Definisci un problema di Programmazione Lineare (PL nel seguito. 7. Dire quali dei seguenti problemi è un problema di PL. (a (b (c (d min x x + x 3 x x + 7x 3 x 4 3x 6x 3x 3 = x, x 3. max x x + x 3 x x + 7x 3 x 4 3 3x 3 6x 3x 3 = x, x 3. min x x + x min x x + 7x 3 x 4 3x 6x 3x 3 x, x 4 =. x x x + x 3 + e x4 x x + 7x 3 x 4 3x 6x 3x 3.

2 (e max c T x Ax = b, x, dove il vettore delle variabili x ha n componenti, c è un vettore di numeri a n componenti, A è una matrice di numeri m n, e b è un vettore di numeri a m componenti. 8. Sia data la funzione quadratica in 3 variabili scritta in forma estesa x x + 4x 3 x x + 4x x 3 + x x + 5. Questa funzione puo essere scritta nella forma compatta xt Mx + c T x + d. Indicare esplicitamente per quali M, c e d. Ripetere l esercizio per le funzioni 4x +x +5x 3 x x +x x 3 x x 3 +x +3x +4x 3 e 3x x +6x 3+4x x 3 x x 3 +x +3x +4x 3 9. Scrivere in forma estesa le seguenti funzioni quadratiche 3 (a xt x + (,, 3x + 4, (b xt x + (,, 5x + 3, (c xt x + 6, 5. Per tutte le matrici M incontrate nei due esercizi precedenti, determinare se si tratta di matrici definite positive, semi definite positive o non semidefinite positive.. Siano date la funzione x 3 x 3x e x. Se ne scriva lo sviluppo di Taylor del primo e del secondo ordine nell intorno dei punti (a (, T e (b (, T. Si supponga ora di muoversi a partire dal punto (, nella direzione d. Determinare, se possibile, se per spostamenti sufficienti piccoli la funzione aumenta o diminuisce di valore, nel caso in cui d sia (, T, (, T, (, T o (, T. Ripetere l esercizio a partire dal punto (, T. Determinare infine se le matrici hessiane nei due punti (a e (b sono (semidefinite positive o negative o indefinite.. Si consideri la funzione (a nell esercizio 9. Si determini, se possibile, se spostandosi dall origine nella direzione nella direzione (,, T la funzione, almeno inizialmente, aumenta o diminuisce. Rispondere alla stessa domanda, supponendo però di muoversi a partire dal punto (,, T invece che dall origine. 3. (Esercizio d esame Una compagnia petrolifera deve rifornire di olio combustibili i porti di Cagliari e di Palermo; questa compagnia dispone di un deposito in ciascuno dei seguenti porti: Civitavecchia, La Spezia e Napoli. La tabella che segue riporta le disponibilità massime settimanali di ciascun deposito (in ettolitri e il costo unitario di prelievo (in euro per ettolitro di olio prelevato. Dispobilità max sett. costo unitario prelievo Deposito di Civitavecchia 3 Deposito di La Spezia 5 Deposito di Napoli 7 38 Inoltre sono noti i costi unitari (in euro del trasporto di un ettolitro di olio combustibile da ciascun deposito a ciascuna delle due destinazioni (Cagliari, Palermo.

3 Cagliari Palermo Deposito di Civitavecchia 4 6 Deposito di La Spezia 5 75 Deposito di Napoli 65 5 Sapendo che settimanalmente Cagliari ha bisogno di 5 ettolitri e Palermo di ettolitri di olio combustibile, costruire un modello lineare che rappresenti il problema descritto e che permetta di soddisfare le domande di Cagliari e Palermo al costo minimo. 4. Un industria produce cibo per animali e sta per immettere sul mercato un nuovo prodotto. Per ottenere questo prodotto l industria acquista 4 diversi tipi di ingredienti base (A, B, C, D che miscela senza che ci siano perdite di peso in questo processo di lavorazione. Ogni ingrediente base ha differenti caratteristiche e prezzo di acquisto. La tabella che segue riporta, per ogni ettogrammo di ciascuno degli ingredienti, il contenuto di grassi (in grammi, di zuccheri (in grammi, le calorie (in cal. e il costo di acquisto (in euro A B C D grassi 5 zuccheri 5 9 calorie costo di acquisto,75,9,, Il prodotto finale deve avere un peso complessivo non superiore a ettogrammi. Costruire un modello lineare che permetta di determinare le quantità di ciascun ingrediente da utilizzare nella produzione del nuovo prodotto in modo da minimizzare il costo complessivo derivante dall acquisto degli ingredienti base utilizzati e soddisfacendo i seguenti requisiti di qualità: il prodotto deve contenere almeno 5 calorie, non piú di grammi di grassi, e un contenuto di zuccheri compreso tra i 6 e i 9 grammi. 5. (Esercizio d esame Si deve progettare un campo da gioco rettangolare da costruire su un terreno di forma circolare il cui raggio è pari a 5 metri. Si costruisca il modello di programmazione matematica che permette di ottenere i lati del campo da gioco che ha perimetro pari a 5 metri ed area massima, sapendo che il lato più lungo deve essere lungo almeno il % in più di quello più corto. 6. (Variante del precedente Si deve progettare un campo da gioco rettangolare da costruire su un terreno di forma circolare il cui raggio è pari a 5 metri. Si costruisca il modello di programmazione matematica che permette di ottenere i lati del campo da gioco che ha perimetro pari a 5 metri ed area massima garantendo allo stesso tempo che la differenza di lunghessa dei lati non sia superiore a metri. 7. (Esercizio d esame Si vuole progettare un bicchiere di cartoncino plastificato per i distributori di acqua. Si è deciso di usare bicchieri di forma conica che si prestano a essere impilati agevolmente. Bisogna decidere la forma esatta del bicchiere, scegliere quindi il raggio r della circonferenza di base e l altezza h del bicchiere, in modo da usare meno carta possibile. Il bicchiere deve avere un volume di centimetri cubi e, come mostrato da studi ergonomici, il raggio non deve essere minore di 4 cm, mentre l altezza deve essere compresa tra il doppio e il triplo del diametro di base. Si formuli un problema di ottimizzazione che permette di determinare r e h. Si ricorda che l area laterale di un cono è πr r + h mentre il suo volume è /3 del volume di un cilindro di uguale base e uguale altezza. 8. (Esercizio d esame. Questo problema è una variante più complessa di un esercizio svolto in classe Un azienda deve affrontare due problemi logistici interconnessi. Da una parte deve decidere dove localizzare d depositi su un territorio suddiviso in r regioni. Dall altra vuole determinare il piano distributivo sull orizzonte temporale considerato, decidendo per ciascuna regione e ciascun deposito la quantità di merce consegnata; in altre parole si vuole determinare la quantita di merce che viene mandata dal deposito i alla regione j. Il territorio approssimato come un quadrato con centro nell origine e lato lungo Per ogni regione sono note le coordinate (a j, b j (j =,..., r in cui avviene la consegna e la quantità Q j di merce richiesta. Inoltre è noto che ogni deposito ha una capacità D i (i =,..., d. Sapendo che il costo unitario di trasporto è di 5 centesimi

4 al chilometro al kilo, formulare il problema che permette di localizzare i depositi in modo da minimizzare i susseguenti costi di trasporto. Soluzioni. (b e (d. La (d è affine, e in ottimizzazione spesso viene etichettata come lineare (anche se tecnicamente parlando non lo è.. (a. 3. I gradienti sono: (a + x ( x log 5, (b (f ( x +,5x +x 3 4, 5x 3x 3 4, 5x + x 3 3x x Le matrici hessiane sono: ( ( (a, (b (f ( x +,5x +x 3 3 (g 6x 3 ( cos x, (c (g 3x 3, (d 5. (e 5 ( sin x, (c, (d (e 4, 5x, 5x + 9, 5x 3 3x 6, 5x + 3x 3 4.5x, 5x + 9, 5x 3 3x + 3x x 3 3x 6, 5x + 3x 3 3x + 6x x (= 4. La proprietà utilizzata è l omogeneità. 5. (=4+7. La proprietà utilizzata è l addittività. Si ricorda che le funzioni lineari sono per definizioni (le uniche funzioni che soddisfano le proprietà di omogeneità e addittività. Dovrebbe essere chiaro che la funzione (d dell esercizio soddisfa queste due proprietà mentre la (e no (fate degli esempi per verificare queste affermazioni. Nonostante ciò in ottimizzazione le funzionia ffini vengono spesso chiamate lineari. 6. Un problema di PL è un problema di ottimizzazione in cui sia la funzione obiettivo che i vincoli sono tutti definiti da funzioni lineari. Ricordando che l insieme di soluzioni di un sistema di equazioni e disequazioni lineari si chiama Poliedro, un problema di PL può anche essere definito come il problema di minimizzare una funzione lineare su un poliedro. 7. (a, (c e (e c = d = 5, c = 3 d =, 4

5 6 4 4 c = d = 3, 9. (a 3 x + x + x 3 + x x 3 x x 3 x x + 3x 3, (b x + x + x 3 + x x + x x 3 + x + 5x 3 + 3, (c 3 x + x + 5 x 3 4x x + x x 3 x x Esercizio 8: Non semidefinita positiva, definita positiva, non semidefinita positiva. Esercizio 9: Definita positiva, semidefinita positiva (ma non definita positiva, non semidefinita positiva.. Per la funzione data abbiamo ( 6x f(x = x 3x e x x 3 3e x (, x x f(x = 3x e x 6x 3e x 6x 3e x Nel punto (, T gli sviluppi di Taylor del primo e secondo ordine sono quindi, rispettivamente: f(y = (, 3y + ( y = 3y + ( y f(y = (, 3y + + ( 3 yt y + ( y = 3y 3 3y y + ( y. ( Siccome (, 3 = 3, spostandosi da (, T nella direzione (, T inizialmente la funzione decresece. ( ( ( 3 Siccome (, 3 = e = non siamo in grado di predire il compartamente della 3 funzione quando ci si sposta dall origine nella direzione (, T. ( Siccome (, 3 = 3, spostandosi da (, T nella direzione (, T inizialmente la funzione cresce. ( Siccome (, 3 = 3, spostandosi da (, T nella direzione (, T inizialmente la funzione cresce. Notiamo che spostandosi nella direzione (, T, mentre spostandosi nella direzione opposta, (, T la funzione cresce. Ripentendo l esercizio con il punto (, T abbiamo che gli sviluppi di Taylor sono ( ( ( y y f(y = 3e + (6 3e, 3e + y y ( ( y = 3e + (6 3e(y + ( 3e(y + y ( y f(y = 3e + (6 3e, 3e y + ( 3e 6 3e (y, y 6 3e ( ( y + y. ( y y = 3e + (6 3e(y + ( 3e(y + ( 3e(y + (6 3e(y (y + ( ( y + y. +

6 Tenendo conto che e, 7, e facile verificare quanto segue. ( Siccome (6 3e, 3e <, spostandosi da (, T nella direzione (, T inizialmente la funzione decresce. ( Siccome (6 3e, 3e <, spostandosi da (, T nella direzione (, T inizialmente la funzione decresce. ( Siccome (6 3e, 3e = 4, spostandosi da (, T nella direzione (, T inizialmente la funzione cresce. ( Siccome (6 3e, 3e >, spostandosi da (, T nella direzione (, T inizialmente la funzione cresce. Può essere interessante notare che, in generale, data una funzione f, se f( x T d > abbiamo che spostandosi dal punto x nella direzione d, la funzione inizialmente cresce. se ci si sposta nella direzione opposta a d, cioè se ci sposta nella direzione d, abbiamo ovviamente f( x T ( d <, che vuol dire che spostandosi dal punto x nella direzione opposta ad la funzione inizialmente decresce (vale ovviamente anche il viceversa. Guardate infatti quello che succede nell esempio appena svolto, spostandosi dal punto (,, T nella direzione (, T e (, T.. Il gradiente e la matrice hessiana della funzione sono xt f(x = T 3 3 x + (,, 3x + 4 sono x + f(x = 3. 3 Abbiamo f = (,, 3 =. Non possiamo quindi determinare usando solo informazioni del primo ordine (cioe lo sviluppo di Taylor al primo ordine come si comporta la funzione. Utilizziamo allora informazioni del secondo ordine. Abbiamo (,, 3 = 6 e possiamo quindi concludere che, spostandosi dall origine nella direzione (,, T, la funzione inizialmente cresce. T Se consideriamo ora il secondo punto, abbiamo f = (6,, 5 = e possiamo quindi concludere che, spostandosi dal punto (,, T nella direzione (,, T, la funzione inizialmente cresce. 3. Numeriamo i porti di partenza, Civitavecchia, La Spezia, Napoli 3, e quelli di arrivo, Cagliari, Palermo. Le variabili sono x ij, con i =,, 3 e j =, e rappresentano la quantità di olio combustibile trasportata da i

7 a j. Con questa scelta il problema richiesto può essere scritto come costi di prelievo costi di trasporto {}}{{}}{ min 3(x + x + 5(x + x + 38(x 3 + x 3 + 4x + 6x + 5x + 75x + 65x 3 + 5x 3 x + x x + x limiti sui prelievi dai depositi x 3 + x 3 7 x + x + x 3 = 5 x + x + x 3 = x. } soddisfacimento della domanda 4. Introduciamo le variabili x i, i =,..., 4 che rappresentano gli ettogrammi di ingredienti base A,B, C e D utilizzate per la produzione del nuovo prodotto. Con questa scelta il problema richiesto può essere scritto come costo del prodotto {}}{ min, 75x +, 9x +, x 3 +, x 4 x + x + x 3 + x 4 limite sul peso finale 5x + x + 38x 3 + 6x 4 5 x + x + x 3 + 5x 4 soddisfacimento dei requisiti di qualità 6 x + 5x + x 3 + 9x 4 9 x. 5. Le variabili sono: x e x, lunghezze dei lati del campo da gioco. Il problema può essere formulato come max x x area del campo da gioco x + x = 5 il perimetro è di x + x il campo non fuoriesce dal terreno circolare a disposizione (la sua diagonale non supera il diametro del terreno x, x un lato è lungo almeno il % in più dell altro x. Notate che il vincolo x, x di fatto impone che x sia la lunghezza del lato più lungo. 6. Concettualmente basta sostituire nella formulazione precedente, al vincolo x, x, il vincolo x x. Questo vincolo contiene però un modulo e risulta non differenziabile. Conviene allora esprimerlo in modo equivalente con due vincoli lineari: x x. In alternativa si possono anche usare i due vincoli x x e x x, dove il primo dei due vincoli esprime il fatto che x è la lunghezza del lato meno corto. Notate che il vincolo x x è necessario, perché altrimenti i valori x = 45 e X = 8 soddisfano il vincolo x x, ma non la richiesta che la differenza delle lunghezze non superi i metri. 7. Con la scelta indicata di r e h come variabili, il problema può essere formulato nel seguente modo min πr r + h 3 πr h = r 4 4r h 6r 8. Variabili: Le coordinate (x i, y i, i =,..., d, dei depositi da costruire e z ij, j =,..., r, la quantità di merce consegnata dal deposito i alla regione j. Il problema può essere formulato nel seguente modo.

8 min costi di trasporto: somma delle quantià dpedite per le distanze per il costo unitario {}}{ d r, 5 z ij (x i a j + (y i b j i= j= r j= z ij D i, i =,..., d } limiti sui prelievi dai depositi } d i= z ij = Q j, j =,..., r soddifacimento della domanda } 5 x i 5 i =,..., d i depositi sono costruiti nel territorio indicato 5 y i 5 i =,..., d z. Ovviamente il fattore,5 nella funzione obiettivo, il costo unitario di trasporto, può essere omesso senza cambiare le soluzioni ottime. Più in generale, moltiplicare una funzione obiettivo per una costante postiva non cambia i punti di minimo. Notiamo anche i vincoli di soddisfacimento della domanda, d i= z ij = Q j, potevano anche scriversi come d i= z ij Q j, cioè dicendo che ogni deposito deve ricevere almeno Q j. La regione ammissibile, se si usano questi vincoli è ovviamente più grande, ma le soluzioni ottime non cambiano, perché è chiaro che all ottimo, dovendo mini minimizzare i costi di trasporto, nessuno riceverà più di quanto richiesto.