Cap.I: equiprobabilità e calcolo combinatorio

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1 Esercizi di Calcolo delle Probabilità I Corso di Laurea in Matematica A.A.2008/09 Docente: Alessia Ascanelli Cap.I: equiprobabilità e calcolo combinatorio 1. Quanti numeri naturali di 4 cifre tutte distinte si posono costruire? 2. Un gruppo di amiche è composto da 10 donne, ognuna delle quali ha 3 figli. Si vuole eleggere una coppia mamma-figlio come mamma e bimbo dell anno. Quante sono le possibili scelte? 3. Quanti sono gli anagrammi possibili della parola (a)tigre? (b)matematica? (c)cancelletto? 4. Ad un torneo di calcio con girone all italiana si iscrivono 20 squadre. Quante partite avranno luogo? 5. Un matematico ordinato deve sistemare 10 libri in uno scaffale: 4 di analisi, 3 di geometria, 2 di analisi numerica ed 1 di algebra. Egli vuole mettere vicini tra loro i libri dello stesso argomento. In quanti modi può farlo? 6. In quanti modi posso mettere 9 bambini in fila indiana? 7. Un corso di probabilità è seguito da 10 studenti: 6 ragazze e 4 ragazzi. Dopo l esame viene stilata una graduatoria, dal voto più alto al più basso. Tutti gli studenti hanno ottenuto un voto diverso. (a) Quante sono le classifiche possibili? (b) E se uomini e donne compaiono in liste separate, quante sono le classifiche possibili? 8. In quanti modi posso distribuire 4 libri diversi a 7 bambini? 9. Ci sono 4 bandiere bianche, 3 bandiere rosse, 2 bandiere blu, e le bandiere dello stesso colore sono tra loro indistinguibili. Se le 9 bandiere vengono appese in fila, quanti segnali distinti si possono formare? 10. Un comitato universitario è composto da 3 studenti, 4 ricercatori, 5 professori, 2 amministrativi. Si sceglie a caso un sottocomitato di 4 persone. Qual è la probabilità che il sottocomitato contenga un rappresentante di ogni categoria? 11. Vengono lanciati 6 dadi. Qual è la probabilità che presentino 6 facce differenti? 12. Otto rematori si dispongono a caso su una canoa con otto posti. Qual è la probabilità che i due rematori più forti occupino il primo e l ultimo posto? 13. Un gruppo di n 3 persone si dispone a caso attorno ad un tavolo rotondo. Qual è la probabilità che due prefissate persone si ritrovino sedute accanto? 14. Un urna contiene 6 palline bianche e 5 palline nere. Estraggo a caso 3 palline dall urna. Calcolare la probabilità che una pallina estratta sia bianca e le altre 2 nere. 15. Supponiamo che le 18 squadre del campionato di calcio di serie A siano tutte della stessa forza. (a) Qual è la probabilità che arrivino ai primi posti, nell ordine, le stesse 3 squadre dell anno precedente? (b) Qual è la probabilità che vengano retrocesse le 3 squadre appena promosse? 1

2 16. (Bridge) A 4 giocatori vengono distribuite a caso le 52 carte del mazzo. Qual è la probabilità che nella mano attuale ogni giocatore abbia le stesse carte che aveva nella mano precedente? 17. Ci sono 4 urne numerate, e 7 palline numerate da collocare a caso nelle urne. (a) Qual è la probabilità di mettere tutte le palline nella terza urna? (b) Qual è la probabilità di mettere 3 palline nella prima urna, nessuna nella seconda, 2 nella terza e 2 nella quarta? (c) Qual è la probabilità che si abbia un urna con 5 palline ed una con 2? 18. Quattro ragazzi e quattro ragazze partecipano ad una caccia al tesoro a coppie. In quanti modi diversi si puó formare la quaterna di coppie se: (a) ogni coppia è formata da un ragazzo e una ragazza? (b) ogni coppia è formata da persone dello stesso sesso? (c) ogni coppia è formata in maniera del tutto casuale? 19. (Poker) Nel gioco del poker, da un mazzo di 32 carte (4 segni, ed 8 figure per ogni segno: 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A) si distribuiscono 5 carte ad ogni giocatore. Qual è la probabilità che il primo giocatore abbia servito: (a) una scala reale (b) un poker (c) colore ma non scala reale (d) un full (e) una scala non reale (f) un tris (g) una doppia coppia. 20. Si mescola accuratamente un mazzo di 40 carte italiane. (a) Con quale probabilità i 4 assi si presentano consecutivamente? (b) Con quale probabilità i 4 assi non si presentano consecutivamente? 21. Si mescola accuratamente un mazzo di 52 carte da gioco, e se ne scopre una alla volta fino a che non compare il primo asso. È più probabile che la carta successiva al primo asso sia l asso di picche o il 2 di fiori? 22. Si mescola accuratamente un mazzo di n carte. Si prende la prima, si lancia una moneta equa, e: se esce testa, la carta rimane al suo posto; se esce croce, la carta va spostata in fondo al mazzo. Si ripete il procedimento con la seconda, la terza,, l n-ma carta del mazzo. Dopo n lanci della moneta avremo fatto un giro completo di tutte le carte del mazzo. Calcolare la probabilità che alla fine del gioco l ordine delle carte sia lo stesso che si aveva inizialmente. 23. In una foresta vivono 20 cervi. In una battuta di caccia vengono catturati e marchiati 5 di essi, che poi vengono rimessi in libertá. Dopo qualche tempo, ad una seconda battuta di caccia, 4 dei 20 cervi vengono catturati. Supponiamo che ogni cervo abbia la stessa probabilità di essere catturato, e che tale probabilità non dipenda da quante volte è già stato catturato in passato. Quale è la probabilità che 2 dei 4 cervi catturati durante la seconda battuta di caccia siano marchiati? 24. Nel 1976, in Florida, una donna accusò i titolari della ditta per cui lavorava di averla discriminata ingiustamente nella sua carriera in base al sesso. Al processo i giudici le diedero ragione; la commissione era composta da 5 donne e 3 uomini: le donne votarono a favore dell accusatrice, gli uomini contro. I datori di lavoro fecero ricorso, sostenendo che l esito del processo era dovuto esclusivamente alla composizione della commissione. 2

3 (a) Supponiamo che 5 voti a favore e 3 voti contrari siano casualmente ripartiti tra gli 8 giudici. Qual è la probabilità che i voti si suddividano come è avvenuto, ossia i 5 favorevoli alle 5 donne ed i 3 contrari ai 3 uomini? (b) Il ricorso era motivato? (c) E se i 5 voti a favore della signora fossero stati dati da 4 donne ed un uomo, il ricorso sarebbe stato motivato? 3

4 Esercizi di Calcolo delle Probabilità I Corso di Laurea in Matematica A.A.2008/09 Docente: Alessia Ascanelli Cap.II: misure di probabilità 1. Al mercato ci sono tre banchi di verdura. Arrivano n clienti che scelgono completamente a caso il banco da cui comperare la verdura. (a) Qual è la probabilità che il primo banco non abbia alcun cliente? (b) Qual è la probabilità che sia il primo che il secondo banco non abbiano alcun cliente? (c) Qual è la probabilità che almeno uno tra il primo ed il secondo banco non abbia alcun cliente? 2. In un palazzo con 4 piani (oltre al pianterreno), un ascensore carica 5 persone al piano terra e poi parte. Ogni persona scende completamente a caso ad uno dei 4 piani, e non sale più nessuno. (a) Qual è la probabilità che l ascensore arrivi vuoto al quarto piano? (b) Qual è la probabilità che l ascensore arrivi vuoto al terzo piano? (c) Qual è la probabilità che l ascensore si vuoti esattamente al terzo piano? (d) Qual è la probabilità che esttamente due persone arrivino al quarto piano? 3. Nel prossimo esercizio si farà uso della seguente disuguaglianza di Boole: dati gli eventi A n, n = 1, 2,, si ha p ( n=1a n ) p(a n ). Tale proprietà afferma che la misura di probabilità è subadditiva (si osservi che qui non si suppone che gli A n siano due a due disgiunti). Dimostrare la disuguaglianza di Boole. 4. (Un esempio paradossale) Supponiamo di avere un urna infinitamente grande ed una successione infinita di palline numerate: 1, 2, 3,. (a) Esperimento 1. Un minuto prima della mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 1 a 10 ed estraiamo la pallina 10; 1 2 minuto prima della mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 11 a 20 ed estraiamo la 20; ad 1 4 di minuto dalla mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 21 a 30 ed estraiamo la 30; ad 1 8 di minuto dalla mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 31 a 40 ed estraiamo la 40, etc. Quante palline conterrá l urna a mezzanotte? n=1 (b) Esperimento 2. Un minuto prima della mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 1 1 a 10 ed estraiamo la pallina 1; 2 minuto prima della mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 11 a 20 ed estraiamo la 2; ad 1 4 di minuto dalla mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 21 a 30 ed estraiamo la 3; ad 1 8 di minuto dalla mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 31 a 40 ed estraiamo la 4, etc. Quante palline conterrá l urna a mezzanotte? (c) Esperimento 3. Un minuto prima della mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 1 1 a 10 ed estraiamo una pallina a caso; 2 minuto prima della mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 11 a 20 ed estraiamo una pallina a caso; ad 1 4 di minuto dalla mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 21 a 30 ed estraiamo una pallina a caso; ad 1 8 di minuto dalla mezzanotte inseriamo nell urna le palline numerate da 31 a 40 ed estraiamo una pallina a caso, etc. Quante palline conterrá l urna a mezzanotte? 4

5 Esercizi di Calcolo delle Probabilità I Corso di Laurea in Matematica A.A.2008/09 Docente: Alessia Ascanelli Cap.III: probabilità condizionata ed indipendenza 1. Un urna contiene sei palline numerate da 1 a 6. (a) Dall urna vengono estratti, senza reimbussolamento, due numeri. Qual è la probabilità che i due numeri estratti siano consecutivi? [1/3] (b) Dall urna vengono estratti, con reimbussolamento, due numeri. Qual è la probabilità che i due numeri estratti siano consecutivi? [5/18] 2. Sedici amici attorno ad un tavolo rotondo si passano il fiasco; ognuno lo passa ad uno dei 2 vicini con uguale probabilità. Qual è la probabilità che il fiasco torni al primo commensale che ha bevuto dalla parte opposta a quella dalla quale se ne è allontanato? [0.0625] 3. Una scatola cilindrica contiene 13 cioccolatini distinguibili solo dal colore dell involucro: 5 sono al latte e 8 di cioccolato fondente. Anna, Bruno e Carlo nell ordine pescano un cioccolatino a caso dalla scatola. Ad Anna e Carlo piace solo il cioccolato al latte, a Bruno solo quello fondente. (a) Qual è la probabilità che tutti e 3 siano soddisfatti del cioccolatino ottenuto? [0.093] (b) Qual è la probabilità che almeno uno di loro sia soddisfatto? [0.837] 4. Un urna contiene 10 palline, di cui 6 bianche e 4 nere. Una seconda urna contiene invece 4 palline bianche e 6 nere. Prendiamo a caso una pallina dall urna 1 e mettiamola nell urna 2. Prendiamo quindi a caso una pallina dall urna 2 e mettiamola nella 1. Quante possono essere ora le palline bianche nell urna 1, e con quale probabilità? [5,6,7, con probabilità approssimate 0.327, 0.527, 0.145] 5. In un bosco costituito di sei radure si è persa una capretta, la quale si muove completamente a caso passando da una radura ad un altra (attigua) in cerca del pastore. La capretta si rende conto di essersi persa (e comincia a vagare) partendo dalla seconda radura. Se la capretta arriva alla prima radura, trova il pastore che la salva, se arriva alla sesta radura trova il lupo che la mangia. Qual è la probabilità che la capretta si salvi? [4/5] 6. (Il problema della principessa.) Una principessa deve scegliere tra 5 pretendenti, che le vengono presentati casualmente uno dopo l altro. I pretendenti scartati non si possono recuperare. Quale strategia le permette di avere la maggiore probabilità di scegliere il più bello? 7. In un parcheggio ci sono 5 posti in fila, inizialmente vuoti. Arriva un auto, che parcheggia in un posto a caso. Arriva una seconda auto, che parcheggia in uno dei rimanenti posti con probabilità direttamente proporzionale alla distanza dalla macchina già parcheggiata (distanza 1 se le auto sono vicine, distanza 2 se c è un buco in mezzo, etc.). Qual è la probabilità che le due auto siano parcheggiate vicine? [116/525] 8. Un mazzo da 52 carte viene mescolato accuratamente, poi le carte vengono scoperte una alla volta. Prima di ogni scoperta il giocatore può dire se la carta successiva sará un asso di picche; egli vince se ciò avviene. Il giocatore vince anche nel caso seguente: rimane una sola carta coperta, l asso di picche non è ancora uscito, ed egli non si è ancora pronunciato. Il giocatore vuole ovviamente massimizzare la sua probabilità di vittoria. Quale è una buona strategia? [Nessuna] 9. Un esperimento consiste di una serie di prove indipendenti, ciascuna delle quali è costituita dal lancio di una coppia di dadi non truccati. Ad ogni prova ci interessa valutare la somma dei dadi. Qual è la probabilità che l evento somma dei dadi =5 si presenti prima dell evento somma dei dadi =7? [2/5] 1

6 10. Ci sono 3 scatole identiche: la prima contiene 2 monete da 50 centesimi, la seconda contiene una moneta da 50 centesimi ed una da 1 euro, la terza contiene 2 monete da 1 euro. Le 3 scatole vengono mescolate, poi se ne sceglie una a caso e da essa si estrae una moneta. La moneta estratta è da 50 centesimi. Qual è la probabilità che si tratti della prima scatola? [2/3] 11. Una compagnia di assicurazioni suddivide le persone in 2 classi: P= propense agli incidenti (il 30% della popolazione), N= non propense agli incidenti (il rimanente 70%). Le statistiche dell assicurazione mostrano che la probabilità di aver un incidente in un anno vale 0.4 per gli individui di classe P, mentre vale 0.2 per quelli di classe N. (a) Qual è la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno dall acquisto della polizza? [0.26] (b) Qual è la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente nel secondo anno di rinnovo dell assicurazione, sapendo che ha giá avuto un incidente nel primo anno? [0.29] 12. Lo 0,5% di una popolazione soffre di una determinata malattia M. In un laboratorio analisi l esame del sangue individua la malattia M (quando essa è presente nel paziente) nel 95% dei casi. L esame rileva però anche dei falsi positivi nell 1% dei casi (ovvero, una persona sana risulta positiva all esame con probabilità 0.01). Qual è la probabilità che una persona risultata positiva all esame abbia veramente la malattia M? [0.323] 13. L ispettore che conduce le indagini per un omicidio è convinto, ad un certo punto dell indagine, che l indagato S sia colpevole al 60%. Arriva una telefonata dei R.I.S. i quali avvisano l ispettore di avere la prova che il colpevole è mancino. I mancini costituiscono il 20% della popolazione, e l indagato S è mancino. Come deve modificare ora l ispettore la sua valutazione sulla colpevolezza di S? [0.882] 14. È scomparso un aereo, si suppone che sia finito, con uguale probabilità, in una di 3 possibili zone. La probabilità di non riuscire a rintracciare l aereo nella zona i (ammesso che sia effettivamente in tale zona) vale p i, i = 1, 2, 3. I valori delle p i dipendono dalle condizioni ambientali e geografiche, che sono differenti nelle 3 zone. Sono state condotte ricerche nella zona 1, ma l aereo non è stato trovato. Qual è la probabilità condizionata che l aereo si trovi nella zona i, i = 1, 2, 3? [p 1 /(p 1 + 2), 1/(p 1 + 2), 1/(p 1 + 2)] 15. Un modello semplificato per la variazione del prezzo delle azioni suppone che ogni giorno il prezzo delle azioni salga di una unitá con probabilità p, scenda di una unitá con probabilità 1 p, e che le variazioni di prezzo in giorni diversi siano indipendenti. (a) Qual è la probabilità che il prezzo delle azioni torni a quello di partenza dopo 2 giorni? [2p(1-p)] (b) Qual è la probabilità che il prezzo delle azioni sia salito di una unitá dopo 3 giorni? [3p 2 (1 p)] (c) Sapendo che il prezzo delle azioni è salito di una unitá dopo 3 giorni, quale è la probabilità che sia salito al primo giorno? [2/3] 16. Rispondere alle seguenti domande: (a) Un evento A è indipendente da sè stesso? (b) Siano A, B eventi indipendenti e disgiunti. Cosa si può dire su A e B? 17. Un esperimento consiste nel lanciare simultaneamente un dado e una moneta, quindi pescare una carta da poker da un mazzo di 52 carte ben mescolato. Consideriamo i 3 eventi: A= la moneta dá testa, B= il dado dá 5 oppure 6, 2

7 C= la carta pescata è di picche. I tre eventi sono indipendenti? 18. Tra tutte le possibili famiglie con 2 figli, se ne sceglie una a caso. Consideriamo gli eventi: A= il primogenito è maschio, B= i due figli hanno sessi diversi, C= il primogenito è femmina, D= il secondogenito è maschio. I tre eventi A,B,C sono indipendenti? I tre eventi A,B,D sono indipendenti? Motivare le risposte. 19. Sia Ω = {n N 1 n 120}. Si estragga a caso un elemento da Ω. Siano: A= il numero estratto è multiplo di 3, B= il numero estratto è multiplo di 4, C= il numero estratto è multiplo di 6. Gli eventi A, B sono indipendenti? Gli eventi B,C sono indipendenti? 20. (Il problema della divisione della posta) Due giocatori, A e B, disputano una sequenza di partite ciascuna delle quali ha due soli possibili esiti: vittoria di A (e sconfitta di B) oppure sconfitta di A (e vittoria di B). Il giocatore A ha probabilità p (0, 1) di vincere ogni singola partita. Vince chi arriva per primo a k vittorie. Il gioco viene interrotto allorchè A ha vinto m partite e B n partite, m, n < k. Si accordano di spartirsi la posta in base alla probabilità che ciascun giocatore ha di risultare vincitore. Come deve essere divisa la posta in gioco? 3

8 Esercizi di Calcolo delle Probabilità I Corso di Laurea in Matematica A.A.2008/09 Docente: Alessia Ascanelli Cap.IV: variabili aleatorie discrete Principali distribuzioni di probabilità 1. (Uso della funzione di distribuzione) La funzione di distribuzione di una v.a. X è data da 0 x < 0 1/2 0 x < 1 3/5 1 x < 2 F (x) = 4/5 2 x < 3 9/10 3 x < x 3.5. (a) Calcolare p(x > 4/3), p(x < 3), p(0.5 < X 2.5). [0.4; 0.8; 0.3] (b) Ricavare la densità della v.a. X. [p 0 = 0.5, p 2 =0.2, p i = 0.1 per i = 1, 3, 3.5] 2. I bulloni prodotti da una fabbrica risultano essere difettosi nell 1% dei casi, in maniera indipendente l uno dall altro. I bulloni vengono venduti in confezioni da 10, e la fabbrica sostituisce un pacchetto se esso contiene almeno 2 bulloni difettosi. Quale è la percentuale di confezioni che la fabbrica dovrà sostituire? [0.4%] 3. Una compagnia aerea accetta fino a 28 prenotazioni su un volo con una capienza di 24 posti, poichè di solito il 30% dei passeggeri che hanno prenotato non si presenta poi alla partenza. Qual è la probabilità che almeno un passeggero che ha prenotato resti a terra perchè l aereo è pieno e non c è posto per lui? [0.0157] 4. In un processo la giuria è composta di 12 membri. L imputato viene condannato se almeno 8 giurati lo ritengono colpevole. Le decisioni dei giurati sono indipendenti, ed ognuno di essi prende la decisione corretta com probabilità Quale è la probabilità che la giuria emetta un verdetto corretto se: (a) l imputato è innocente? [ ] (b) l imputato è colpevole? [ ] 5. In un libro gli errori di stampa in ogni singola pagina seguono una distribuzione di Poisson di parametro 1/2. Si apre a caso una pagina di quel libro. Quale è la probabilità che essa contenga almeno un errore di stampa? [ 0.393] 6. Un portamonete contiene 10 pezzi da 500 lire e 3 pezzi da un euro. Due amici estraggono a turno una moneta a caso dal portamonete. Se la moneta estratta è da 500 lire, essa viene rimessa nel portamonete; se la moneta estratta è da 1 euro, il gioco finisce e vince chi ha pescato l euro. Qual è la probabilità che si vinca alla prima estrazione? Alla quarta? Entro la settima? [ : 0.23; 0.11; 0.84] 7. Uno spacciatore ha nascosto in cantina 30 scatole, ognuna contenente 100 pillole: nella scatola 14 ha messo 100 pillole di droga, mentre le pillole delle altre scatole sono tutte non drogate. Le pillole sono (ovviamente) tutte indistinguibili tra loro. La polizia sequestra le 30 scatole, e procede ad un controllo sul contenuto delle scatole: estrae in modo casuale tra tutte le scatole 28 pillole, e le fa analizzare. Qual è la probabilità che che lo spacciatore non venga scoperto? [0.385] 8. (Stima di massima verosimiglianza). Una regione è popolata da un numero ignoto N di cervi. Un gruppo di ecologisti ne cattura m, li marchia e poi li libera. Trascorso un tempo sufficiente a far sıche gli animali marchiati si ridistribuiscano tra la popolazione, gli ecologisti ne catturano altri n. Supponiamo che la dimensione della popolazione non sia cambiata tra le 2 catture, che tutti gli animali 1

9 abbiano la stessa probabilità di essere catturati, e che le catture siano indipendenti. Sia X la v.a. che conta il numero di animali marchiati presenti nel secondo gruppo catturato. Che distribuzione ha X? Supponiamo ora che m = 50, n = 40, e che si verifichi l evento X = 4. Noi sappiamo quanto vale, in funzione di N, la p(x = 4). Essa rappresenta la probabilità di catturare 4 animali marchiati su una popolazione di N animali. Ha senso allora prendere come stima di N il valore N che rende massima la p(x = 4). Calcolare N. [N =500] 9. (Il problema dei fiammiferi di Banach). Un fumatore porta sempre con sè due scatole di fiammiferi, una nella tasca destra ed una nella tasca sinistra. Ogni volta che deve fumare, sceglie un fiammifero da una delle due scatole in maniera equiprobabile. All inizio entrambe le scatole contengono n fiammiferi. Nel momento in cui il fumatore scopre che una delle due scatole è vuota, qual è la probabilità che l altra scatola contenga esattamente k fiammiferi, k = 0, 1,, n? [C 2n k,n (1/2) 2n k ] Distribuzioni congiunte di v.a. 10. Si estraggono 2 palline da un urna contenente 6 palline numerate da 1 a 6. Sia X i il il risultato dell i-ma estrazione, i = 1, 2. (a) Supponiamo che le estrazioni siano state effettuate con reimbussolamento. Calcolare la densità congiunta delle v.a. X 1, X 2, e le densità marginali di X 1 ed X 2. (b) Supponiamo ora che le estrazioni siano state effettuate senza reimbussolamento. densità congiunta delle v.a. X 1, X 2, e le densità marginali di X 1 ed X 2. Calcolare la [Sappiamo che dalla densità congiunta di due v.a. si possono ricavare le due densità marginali. Questo esercizio mostra come non sia possibile fare il contrario: dalle densità marginali non si può ricavare la densità congiunta. Infatti, densità congiunte diverse possono avere le stesse densità marginali.] 11. Riprendiamo l esercizio 10. (a) Supponiamo che le estrazioni siano state effettuate con reimbussolamento. Le v.a. X 1, X 2 sono indipendenti? [Sı] (b) Supponiamo ora che le estrazioni siano state effettuate senza reimbussolamento. Le v.a. X 1, X 2 sono indipendenti? [No] 12. Riprendiamo ancora l esercizio 10, e supponiamo che le estrazioni avvengano senza reimbussolamento. Qual è la probabilità che i numeri estratti differiscano al più di 2? [18/30] 13. In una certa comunità il 15% delle famiglie non ha figli, il 20% ne ha uno, il 35% ne ha due, il 30% ne ha tre. In ogni famiglia, e ad ogni nascita, maschi e femmine sono equiprobabili ed indipendenti. Siano M ed F le v.a. che contano il numero di figli maschi e il numero di figlie femmine (rispettivamente) di una famiglia scelta a caso tra quelle della comunità in oggetto. (a) Calcolare la densità discreta congiunta delle v.a. M, F. (b) Calcolare la probabilità che una famiglia scelta a caso abbia almeno 2 figli maschi. [0.2375] (c) Calcolare la probabilità che una famiglia scelta a caso abbia esattamente una figlia femmina. [0.3875] 14. Siano X, Y v.a. binomiali indipendenti di parametri (n, p) ed (m, p) rispettivamente. Che distribuzione ha la v.a. X + Y? [Binomiale di parametri m+n, p: ragionare, oppure calcolare direttamente usando l identità C n+m,k = k j=0 C n,jc m,k j ] 15. Siano X, Y v.a. di Poisson indipendenti di parametri λ 1 e λ 2 rispettivamente. Che distribuzione ha la v.a. X + Y? [Poisson di parametro λ 1 + λ 2 ] 16. Si lancino due dadi equi, siano X, Y le v.a. che rappresentano gli esiti dei due dadi. Calcolare la distrubuzione della v.a. Z = max{x, Y }. [p(z = k) = (2k 1)/36, k = 1,, 6] 2

10 17. Si lancino due dadi equi, siano X, Y le v.a. che rappresentano gli esiti dei due dadi. Calcolare la distrubuzione della v.a. Z che rappresenta la somma dei punteggi ottenuti lanciando i due dadi. [p(z = k) = (k 1)/36 se k = 2,, 6, p(z = k) = (12 k)/36 se k = 7,, 12] Valore atteso e varianza 18. Un urna contiene 3 palline bianche, 3 rosse, 5 nere. Si estraggono a caso 3 palline. Si vince 1 euro per ogni bianca estratta, si perde 1 euro per ogni rossa estratta. Qual è la probabilità che alla fine del gioco si vincano effettivamente dei soldi? A quanto ammonta la vincita attesa? [1/3; 0] 19. In un paese si pratica il seguente controllo delle nascite: le coppie fanno figli fino a che non nasce un maschio, al che si fermano. Smettono comunque dopo il quarto figlio. Presa a caso una famiglia di quel paese: (a) quale sarà in media la proporzione di maschi in famiglia? [68.2%] (b) quale sarà in media il numero totale di figli di quella famiglia? [1.875] (c) quale sarà in media il numero di figli maschi di quella famiglia? [0.9375] 20. In un gioco a quiz il concorrente deve rispondere a 2 domande, contenute rispettivamente nelle buste A e B. Egli può scegliere da quale busta cominciare: una volta scelta la prima domanda a cui rispondere, potrà rispondere anche alla seconda solo se ha azzeccato la prima. Il concorrente vince 200 euro se risponde correttamente alla domanda A (ed ha il 60% di probabilità di dare la risposta giusta), 100 euro se azzecca la B (della quale azzecca la risposta all 80%). Si suppone che conoscere la risposta della domanda A e conoscere la risposta della domanda B siano due eventi indipendenti. Quale busta dovrà scegliere per prima se vuole massimizzare la sua vincita attesa? [B] 21. In un contenitore, n uova fresche sono mischiate a k uova marce. Le uova vengono verificate una ad una rompendole fino a che non si siano eliminate tutte le k uova marce. Quante uova sopravvivono in media? [n/(k+1)] 22. Una scatola contiene 5 palline bianche e 5 palline nere. Si estraggono 2 palline a caso. Se sono dello stesso colore, si vincono 1.10 euro, se sono di colore diverso si perde 1 euro. Calcolare valore atteso e varianza della vincita. [ : ; 1.089] 23. Sia X una v.a. discreta limitata: esiste M > 0 tale che p( X M) = 1. Provare che X ha media finita. 24. Sia X una variabile aleatoria uniforme discreta, cioè una v.a. che assume i valori interi 1, 2,, n con probabilità 1/n. Calcolare valore atteso e varianza di X. [(n + 1)/2; (n 2 1)/12] (Si ricordi che: n = n(n + 1)/2 e che n 2 = n(n + 1)(2n + 1)/6) 25. Siano X, Y due v.a. indipendenti e con distribuzione uniforme discreta come nell esercizio precedente. Calcolare media e varianza della v.a. Z = X +Y senza ricavare la distribuzione di Z. [n+1, (n 2 1)/6] 26. Una malattia M si presenta con probabilità Ci sono 1000 persone che devono essere sottoposte ad un esame del sangue per determinare se sono affette o meno dalla malattia. Invece di eseguire 1000 analisi del sangue, i medici decidono di procedere come segue: si suddividono le persone in gruppi da 10 individui; per ogni gruppo, si mescolano i campioni di sangue dei 10 elementi di quel gruppo, e si analizza il sangue di gruppo. Se un gruppo risulta positivo all esame, si procede quindi ad analisi individuali sui componenti di quel gruppo. Quante analisi del sangue bisogna eseguire in media? [ 195.6] 27. Calcolare media e varianza di una v.a. binomiale di parametri (n, p). [np, np(1 p)] 28. Calcolare media e varianza di una v.a. ipergeometrica. Per comodità di notazione si prenda N = b + r, p = r/(b+r) (b, r sono rispettivamente il numero di palline bianche e rosse nell urna dalla quale stiamo estraendo n palline senza reimbussolamento). Confrontare i risultati degli esercizi 27 e 28: cosa si può ( dire se N è molto grande rispetto ad n? [np, np(1 p) 1 n 1 N 1 ) ] 3

11 29. Calcolare media e varianza di una v.a. geometrica [1/p, (1 p)/p 2 ] 30. Calcolare media e varianza di una v.a. binomiale negativa. [r/p, r(1 p)/p 2 ] 31. Un gioco di dadi si svolge come segue. Il giocatore lancia due dadi. - Se la somma è 2, 3 o 12 egli perde; - se la somma è 7 o 11, egli vince; - se la somma è un numero i {4, 5, 6, 8, 9, 10}, egli continua a lanciare il dado fino a che non esce 7 oppure quello stesso i. Se esce 7, il giocatore perde; se esce i, il giocatore vince. Sia X il numero di lanci necessari per concludere il gioco. Calcolare E[X]. [ 3.376] 4

12 Esercizi di Calcolo delle Probabilità I Corso di Laurea in Matematica A.A.2008/09 Docente: Alessia Ascanelli Cap.V: il processo di Bernoulli 1. (Un altro problema di collezione di figurine). Un ragazzo vuole riempire un album di n figurine, le quali vengono vendute una alla volta ma non in maniera del tutto casuale: sia p i, i = 1,, n la probabilità di acquistare una figurina di tipo i, indipendentemente dalle figurine già raccolte. Il ragazzo acquista m figurine. Sia X il numero di diversi tipi di figurine che ci sono tra le m acquistate. (a) Determinare 1 E[X], V [X]. (b) Se le figurine fossero poste in commercio del tutto casualmente, che valori si otterrebbero per E[X], V [X]? Calcolare esplicitamente i valori per n = 10 ed m = 5, per n = 100 ed m = 50. [E[X] = n i=1,,n (1 p i) m ; V [X] = i=1,,n (1 p i) m + i,j=1,,n,i j (1 p i p j ) m ( i=1,,n (1 p i ) m ) 2 ; 4.1, 0.5; 39.5, 5.5] 2. Un ragazzo vuole riempire un album di n figurine, le quali vengono vendute una alla volta ed in maniera del tutto casuale. Supponiamo che ad ogni acquisto sia ugualmente probabile ottenere una delle n figurine, indipendentemente da quelle già ottenute. Il ragazzo continua ad acquistare figurine fino a che non completa l album. (a) (Figurine uniche in una raccolta). Sia X il numero di figurine uniche del suo album, ossia il numero di figurine che egli possiede in un unica copia. Calcolare E[X], V [X]. [E[X] = k=1,,n 1/k, V [X] = k=1,,n 1/k + i,j=1,,n,i<j 4/[(n j + 2)(n i + 1)] ( k=1,,n 1/k)2 ] (b) (Il secondo collezionista) Il ragazzo ha un fratellino, il quale possiede un album identico. Il fratello maggiore cede al minore le figurine che scarta. Quando il fratello maggiore avrà completato l album, quante figurine sarà riuscito ad attaccare (in media) il fratellino nel suo album? [n k=1,,n 1/k] 3. (Chi si rivede!) Ci sono n amici attorno ad un tavolo rotondo che si passano il fiasco; ognuno lo passa ad uno dei 2 vicini con uguale probabilità. Qual è la probabilità che il fiasco torni al primo commensale che ha bevuto dalla parte opposta a quella dalla quale se ne è allontanato?[1/n] 4. Un uomo lancia ripetutamente una moneta non truccata: guadagna 1 punto ogni volta che esce testa e perde un punto ogni volta che esce croce. Per ogni n = 1, 2, 3,, sia X n il suo punteggio dopo n lanci. (a) Dimostrare che per ogni k Z, l evento X n k per ogni n è quasi impossibile (i.e.: il giocatore avrà prima o poi k punti con probabilità 1). (b) Sia k Z /{0}, e sia T k il primo istante di passaggio per k (ossia il primo n N tale che X n = k). Dimostrare che E[T k ] = + (i.e: il numero medio di lanci che l uomo deve fare per ottenere per la prima volta k punti è infinito!). (c) Sia T il primo istante di ritorno in zero (ossia il primo n > 0 tale che X n = 0). Dimostrare che E[T k ] = + (i.e: il numero medio di lanci che deve fare per riportarsi a zero punti è infinito) 1 Suggerimento: è più semplice calcolare media e varianza di Y = numero di diversi tipi di figurine mancanti dopo gli m acquisti fatti... 1

13 Esercizi di Calcolo delle Probabilità I Corso di Laurea in Matematica A.A.2008/09 Docente: Alessia Ascanelli Cap.VI: la distribuzione di Poisson 1. Un libro di 500 pagine contiene 500 errori di stampa. Qual è la probabilità che a pagina 149 vi siano almeno tre errori? [ 0.080] 2. Una tipografia assume due tipografi, Alessandro e Daniele. Il numero medio di errori per articolo commessi da Alessandro è 4.2, mentre è 3 per Daniele. Ogni articolo ha la stessa probabilità di essere stato composto da Alessandro o da Daniele. Prendiamo un articolo a caso stampato da quella copisteria. Qual è la probabilità che l articolo non contenga errori? [0.032] 3. Si acquista un biglietto della lotteria in 50 lotterie diverse, ogni biglietto ha probabilità 0.01 di essere vincente. Calcolare approssimativamente la probabilità di vincere: (a) almeno un premio; [ ] (b) esattamente un premio; [ ] (c) almeno due premi? [ ] 4. Una fabbrica produce viti sotto controllo di qualità. La probabilità che una vite sia difettosa è 0.015, indipendentemente dalle altre viti. Qual è la probabilità che una scatola di 100 viti non ne contenga di difettose (calcolarla sia precisamente che approssimativamente)? Quale numero n di viti dovrebbe contenere ogni scatola per far sì che la probabilità che almeno 100 delle n viti siano regolari valga almeno 0.8? [ 0.22; 102] 5. Le telefonate che giungono ad un centralino vengono indirizzate ad un operatore con probabilità p [0, 1], oppure smistate ad un altro servizio con probabilità 1 p. Il numero di telefonate che giungono in un giorno a quel centralino è una v.a. di Poisson di parametro λ > 0, e si suppone che le telefonate siano tra loro indipendenti. Qual è la probabilità che in un giorno l operatore riceva k telefonate 1? Quante telefonate riceve in media ogni giorno l operatore? [Il numero di telefonate giornaliere ricevute dall operatore è una v.a. di Poisson di parametro λp.] 6. Siano X, Y v.a. di Poisson indipendenti, di parametri λ e µ rispettivamente. Calcolare la distribuzione di probabilità di X condizionata dal fatto che X + Y = n. [B(n, λ/(λ + µ))] 7. Un pescatore sulla riva di un fiume aspetta che i pesci abbocchino all amo. Supponiamo che l arrivo di un pesce all amo sia un evento che avviene in un preciso istante di tempo, che la probabilità che un pesce arrivi sia proporzionale all intervallo di tempo considerato, che la probabilità che due o più pesci arrivino contemporaneamente sia molto piccola rispetto alla probabilità che ne arrivi uno solo, e che l arrivo di un pesce in un certo intervallo di tempo sia indipendente dagli arrivi precedenti. Il pescatore frequenta spesso quel fiume, e ritiene che al suo amo arrivino mediamente 1.2 pesci all ora. Sia, per t > 0, N t il numero di pesci che abboccano all amo del pescatore in t (ore). Calcolare la probabilità che il pescatore: (a) dopo 6 ore di pesca abbia preso 0, 1, 2, 5, 10 pesci; (b) abbia preso 3 pesci nell ultima ora e mezza di pesca; [ 0.16] (c) sia rimasto 45 minuti a guardare l amo senza veder arrivare alcun pesce. [ 0.41] 1 La v.a. X= numero di telefonate ricevute in un giorno dall operatore si può scrivere come X = I S1 + + I SN, dove S i è l evento la i-ma telefonata giunta al centralino viene indirizzata all operatore all operatore, ed N è il numero di telefonate che giungono al centralino in un giorno. La v.a. X è detta somma aleatoria, poichè il numero di termini da sommare è esso stesso una v.a.; somme aleatorie si incontrano spesso quando si studiano fenomeni casuali che dipendono a loro volta da fenomeni casuali. 1

14 8. Supponiamo che il numero medio di veicoli abbandonati settimanalmente lungo l Autostrada del Sole sia 2.2. Qual è la probabilità che: (a) la prossima settimana non venga abbandonato alcun veicolo; [ 0.11] (b) la prossima settimana vengano abbandonati almeno due veicoli; [ 0.65] (c) nelle prossime 10 settimane non venga abbandonato alcun veicolo; [ ] (d) nelle prossime 10 settimane vengano abbandonati almeno due veicoli? [ 1] 9. Calcolare la funzione generatrice della distribuzione di probabilità di una v.a. B(n, p) e di una v.a. geometrica di parametro p. Ritrovare, utilizzando la funzione generatrice, media e varianza della v.a. binomiale e della v.a. geometrica. [(xp + 1 p) n ; (px)/(1 x + px)] 2

15 Esercizi di Calcolo delle Probabilità I Corso di Laurea in Matematica A.A.2008/09 Docente: Alessia Ascanelli Cap.VII: variabili aleatorie continue 1. Il tempo di vita di un certo tipo di pile per radio è una v.a. di densità { 0 x 100 f(x) = kx 2 x > 100. Quanto vale la costante k? Una radio che monta questo tipo di pile funziona con 5 pile. Qual è la probabilità che che esattamente 2 delle 5 pile debbano essere sostituite entro le 150 ore di attività? [100; 0.329] 2. Un oggetto si muove su una retta, partendo dall origine e muovendosi nel verso positivo alla velocità di 1m/s. In un istante scelto a caso nell intervallo (0; 10) l oggetto inverte la marcia, procedendo quindi nel verso negativo con velocitá 1m/s. Dove si troverà l oggetto dopo 10 secondi? E dopo 15? [Uniformemente distribuito su ( 10; 10); uniformemente distribuito su ( 15; 5)] 3. La distanza tra le auto che percorrono una certa autostrada in una direzione è una v.a. esponenziale di media 100m. Qual è la probabilità che in un tratto lungo 5km ci siano dalle 50 alle 60 automobili? 4. Il numero di chilometri che un auto può percorrere prima che la batteria ceda è una v.a. esponenziale di media Qual è la probabilità che in un viaggio di 5000km non si debba mai cambiare la batteria? Se la distribuzione non fosse esponenziale, si potrebbe rispondere alla domanda? [ 0.61;no] 5. Siano X, Y v.a. con densità, indipendenti ed equidistribuite. Siano f ed F rispettivamente le loro (comuni) densità e funzione di distribuzione. (a) Calcolare (in funzione di F, f) la densità di Z = max{x, Y }. (b) Calcolare (in funzione di F, f) la densità di W = min{x, Y }. (c) Se X, Y sono v.a. uniformi su [0; 1], che densità hanno Z e W? (d) Se X, Y sono v.a. esponenziali di parametro λ, che densità hanno Z e W? Che tipo di v.a. è W? [2F f; 2(1 F )f; f Z (z) = 2z, z [0; 1], f W (w) = 2(1 w), w [0; 1]; f Z (z) = 2λ(1 e λz )e λz, z 0, W è esponenziale di paramentro 2λ] 6. Sia X una v.a. uniforme su (a; b). Calcolare la funzione di distribuzione della v.a. Y = e X. [(ln y a)/(b a) per y [e a ; e b ], 0 per y < e a, 1 per y > e b ] 7. Il lato di un triangolo equilatero è una v.a. uniforme su [0; 1]. Calcolare la distribuzione dell area del triangolo. [2 x/ 4 3 per 0 x 3/4, 1 per x > 3/4] 8. Sia X v.a. a valori positivi, di densità f. Calcolare la densità di Y = X. Applicare il risultato ottenuto per calcolare la densità della lunghezza del lato di un quadrato la cui area è uniformemente distribuita su [a, b]. [2yf(y 2 ), y > 0; 2y/(b a) per a y b] 9. Una v.a. X ha la densità 1 f(x) = λ 2 e λx x 0, λ 2 eλx x < 0. Calcolare la densitá di Y = X. [λe λy per y > 0, 0 altrimenti] 1 Una v.a. dotata della densità f qui definita è detta v.a. esponenziale bilaterale. 1

16 10. Un bastoncino di lunghezza 1 ha un segnetto rosso in un suo punto a, a (0; 1). Il bastoncino viene spezzato in un punto che è distribuito uniformemente su (0; 1). Calcolare il valore atteso della lunghezza del pezzo di bastoncino che contiene il punto a. [1/2 + a(1 a)] 11. Si registrano ogni anno i livelli massimi e minimi dell acqua di un fiume. Supponiamo che il livello minimo dell acqua sia 1, mentre il massimo Y sia una v.a. con distribuzione F (y) = 1 y 2, 1 y < +. Quanto vale in media il livello massimo dell acqua? [2] 12. Un bersaglio circolare ha il raggio di 30cm. La probabilità di colpire un qualsiasi disco concentrico interno al bersaglio è proporzionale all area del disco stesso. Si lancia una freccetta, sia R la sua distanza dal centro del bersaglio. Calcolare distribuzione, densità e media di R. [f(r) = r/450, r [0; 30]; E[R] = 20cm] 13. La durata T di un certo tipo di telefonata soddisfa la relazione p(t > t) = ae λt + (1 a)e µt, t 0, dove λ, µ R + e a [0; 1] sono costanti determinate empiricamente. Calcolare media e varianza di T. [a/λ + (1 a)/µ; 2a/λ 2 + 2(1 a)/µ 2 [a/λ + (1 a)/µ] 2 ] 14. (Una passeggiata aleatoria nel piano) Una particella, che si trova inizialmente in un punto O del piano, comincia a muoversi effettuando una sequenza di percorsi rettilinei di lunghezza 1 ma di direzione casuale, in modo tale che l ultimo segmento del percorso formi con l asse orizzontale un angolo uniformemente distribuito su [0; 2π). Calcolare il valore atteso del quadrato della distanza dall origine dopo n passi. [n] 15. Siano X, Y v.a. con densità, indipendenti ed equidistribuite. Siano µ, σ 2 rispettivamente la media e la varianza delle v.a. X, Y. Calcolare media e varianza delle v.a. S = X + Y e D = X Y. [2µ, 2σ 2 ; 0, 0] 16. Si lancia una moneta equa 50 volte. Qual è la probabilità che il numero di teste ottenute sia la metà del numero di lanci fatti? Confrontare la soluzione esatta con quella approssimata. [ 0.11] 17. Si vuole testare se una certa dieta è efficace o meno nel ridurre il tasso di colesterolo nel sangue. La si valuta su 100 persone: esse vengono messe a dieta per un certo periodo di tempo, poi viene misurato loro il tasso di colesterolo nel sangue. Il dietologo che conduce l esperimento decide di consigliare la dieta se almeno il 65% delle persone ha, dopo la dieta, un tasso di colesterolo inferiore a quello che aveva prima. Qual è la probabilità che il dietologo prescriva la nuova dieta se essa, di fatto, non ha effetti sul tasso di colesterolo? [ ] 2

17 Esercizi di Calcolo delle Probabilità I Corso di Laurea in Matematica A.A.2008/09 Docente: Alessia Ascanelli Cap.VIII: Teoremi limite Alcuni esempi di utilizzo della disuguaglianza di Chebyscev 1. Il numero di articoli prodotti settimanalmente da una fabbrica è una v.a. di media 50 e varianza 25. Cosa possiamo dire riguardo alla probabilità che la produzione di questa settimana sia compresa tra le 40 e le 60 unità? [ 0.75] 2. Sia X una v.a. uniforme sull intervallo [0; 10]. Calcolare la probabilità dell evento ( X 5 > 4). Confrontare il risultato ottenuto con la stima che si otterrebbe usando la disuguaglianza di Chebyscev. [0.2, 0.52: la disuguaglianza di Chebyscev, seppure corretta, non fornisce una buona approssimazione.] 3. Sia X una v.a. normale di parametri µ e σ 2. Calcolare la probabilità dell evento ( X µ > 2σ). Confrontare il risultato ottenuto con la stima che si otterrebbe usando la disuguaglianza di Chebyscev. [0.0456, 0.25] 4. Sia X una v.a. con V [X] = 0. Dimostrare che p(x = E[X]) = 1. (Le v.a. con varianza nulla sono tutte e sole le v.a. costanti) Funzioni generatrici dei momenti 5. Calcolare la funzione generatrice dei momenti di una v.a. B(n, p), dedurne media e varianza di B(n, p). [(pe t + (1 p)) n ] 6. Calcolare la funzione generatrice dei momenti di una v.a. di Poisson di parametro λ > 0, dedurne media e varianza della v.a. di Poisson di parametro λ. [e λ(et 1).] 7. Calcolare la funzione generatrice dei momenti di una v.a. B(n, p), dedurne media e varianza di B(n, p). [(pe t + (1 p)) n ] 8. Dedurre la funzione generatrice dei momenti di una v.a. N(µ, σ 2 ) dalla funzione generatrice dei momenti di una v.a. N(0, 1). Ricavare poi dalla funzione generatrice dei momenti di N(µ, σ 2 ) media e varianza di N(µ, σ 2 ). [e µt+t2 σ 2 /2 ] Teoremi limite ed applicazioni 9. Il tempo di funzionamento di un certo componente prima di guastarsi è una v.a. con densità f(x) = 2x, x [0; 1]. Quando un componente si guasta, esso viene immediatamente rimpiazzato da un altro dello stesso tipo. I tempi di funzionamento dei singoli componenti sono tra loro indipendenti. Quanti componenti si devono possedere per essere sicuri al 90% (circa) che la scorta sia sufficiente per almeno 35 giorni? [almeno 56] 10. Un astronomo vuole misurare in anni luce la distanza di una data stella. Egli ha uno strumento di misura affidabile ma sa che, a causa delle condizioni metereologiche e dell errore di misurazione (ogni misurazione, per quanto precisa, ne è affetta), ogni misurazione effettuata non fornisce il valor vero della distanza, ma solo una buona approssimazione di tale valore. Decide quindi di fare n misurazioni, e poi di prendere il loro valore medio come stima della distanza d della stella. L astronomo ritiene che i valori delle varie misurazioni siano v.a. indipendenti ed equidistribuite con media d e varianza 4 (anni luce al quadrato). Quante misurazioni deve fare l astronomo per essere sicuro almeno al 95% di stimare la distanza con un errore non superiore a ±0.5 anni luce? [almeno 62] 11. Si lanciano 10 dadi equi. Qual è approssimativamente la probabilità che la somma dei valori ottenuti sia compresa tra 30 e 40, estremi inclusi? [0.69] 1

18 12. Siano X 1,, X 10 v.a. uniformi su ) [0; 1] tra loro indipendenti. Calcolare approssimativamente la probabilità dell evento ( 10 i=1 X i > 6. [0.14] 13. La distanza tra le auto che percorrono una certa autostrada in una direzione è una v.a. esponenziale di media 100m. Calcolare approssimativamente la probabilità che in un tratto lungo 5km ci siano dalle 50 alle 60 automobili. 14. Un giocatore d azzardo effettua 100 scommesse. Ad ogni scommessa, egli perde 1 euro con probabilità 0.7, perde 2 euro con probabilità 0.2, vince 10 euro con probabilità 0.1. Qual è la probabilità che egli, alla fine delle 100 scommesse, abbia perso del denaro? [0.6103] 15. Ad una elezione si esegue un sondaggio su n votanti scelti a caso, per determinare approssimativamente la proporzione p di votanti a favore di un certo candidato. Si suppone che ogni elettore voti indipendentemente dagli altri. Quanti votanti si devono intervistare per approssimare p con errore inferiore al 4.5% con un livello di sicurezza del 95%? [475] 16. La riparazione di un automobile richiede due fasi separate: la prima si distribuisce come una v.a. esponenziale di media 0.2 ore, la seconda (indipendente dalla prima) come una v.a. esponenziale di media 0.3 ore. Un meccanico deve effettuare la riparazione di 20 autovetture. (a) Calcolare approssimativamente la probabilità che l intero lavoro venga completato in 8 ore. [0.1075] (b) Determinare t tale che la probabilità che l intero lavoro venga completato entro t ore sia circa [t = 12.65] 2