Contributi al rischio di fattori generici definiti dall utente

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1 Contributi al rischio di fattori generici definiti dall utente In questo articolo Attilio Meucci ricorre all analisi di regressione per scomporre volatilità, value-at-ris (VaR) ed expected shortfall (ES) in combinazioni o aggregazioni arbitrarie di fattori di rischio, e illustra una semplice ricetta per implementare tale approccio nella pratica Fra le priorità di trader e gestori di portafoglio figura l analisi del rischio dei rispettivi profitti e perdite (PL) futuri. In linea generale, il PL può essere espresso come il prodotto di un vettore di fattori di rischio F per le relative esposizioni b, che rappresentano le variabili decisionali dell operatore: Π = b F (1) Si tratta di una formulazione molto generale, che comprende il caso in cui F ΔP rappresenta la variazione dei prezzi di un insieme di titoli (o classi di attività) e b w i relativi pesi di portafoglio. La formulazione copre anche il caso dei modelli fattoriali lineari con componenti sistematiche e idiosincratiche, usati nella arbitrage pricing theory; l approssimazione carryduration-convexity per il trading obbligazionario; e l approssimazione theta-delta-gamma-vega comunemente utilizzata dai des dei derivati. 1 Il rischio di una posizione è valutato, usando misure quali la deviazione, il value-at-ris (VaR) e la expected shortfall (ES), quale somma dei contributi di ciascun fattore F (cfr. la rassegna e i riferimenti bibliografici a fine articolo). Nondimeno, spesso i gestori devono analizzare i rischi in base a nuovi fattori F che risultano dalla combinazione di fattori F. preesistenti. Quando i nuovi fattori F coprono il rischio collegato al mercato nel suo insieme (rischio di mercato), esiste solo una possibile scomposizione del rischio in base ai contributi di tali nuovi fattori. Analogamente, l analisi dei contributi resta abbastanza diretta anche quando i nuovi fattori F rappresentano aggregazioni dei fattori originali F. Per esempio, i contributi di tutti i titoli di un determinato settore si sommano in un unico contributo specifico a tale settore. Tuttavia agli operatori interessa spesso individuare i contributi al rischio di un insieme limitato di nuovi fattori F che non copre il rischio di mercato. In questo caso, il calcolo dei contributi al rischio non è banale, poiché, come scopriremo, le esposizioni b ai fattori di nuova introduzione non sono ben definite. Inoltre, anche una volta risolto questo problema, da un punto di vista implementativo non è possibile perseguire soluzioni ad hoc diverse per ogni singolo caso, soprattutto in presenza di combinazioni di aggregazioni arbitrarie e di specifiche incomplete dei nuovi fattori. Nel presente articolo proponiamo un modello unificato che affronta i problemi sopra indicati. Da un lato, determiniamo la definizione più naturale dei contributi al rischio in base a specifiche incomplete dei fattori. A tal fine, attingiamo alla letteratura sulla attribuzione del rischio (cfr. riferimenti bibliografici): le esposizioni naturali b rappresentano i coefficienti di regressione di profitti e perdite Π sull insieme incompleto di nuovi fattori F. Dall altro lato, mostriamo come l aggregazione dei fattori, la specificazione incompleta e la specificazione totale dei fattori siano casi diversi di un processo unico. È pertanto possibile creare una routine in grado di gestire ogni possibile scenario. L articolo inizia con una rassegna dei principali risultati sulla scomposizione del rischio nei contributi di ciascun fattore originale F. Esaminiamo quindi il processo di scomposizione del rischio nel caso semplice, in cui i nuovi fattori di rischio F rappresentano aggregazioni dei fattori originari F. In tale scenario, i contributi al rischio sono definiti mediante una procedura di aggregazione dal basso verso l alto (bottom-up). Nella sezione successiva analizziamo poi il processo di scomposizione del rischio nel caso meno banale, in cui i nuovi fattori di rischio F coprono totalmente il rischio di mercato. In questo contesto, i contributi al rischio sono definiti mediante una semplice regola di trasformazione. Passiamo quindi al calcolo dei contributi al rischio di nuovi fattori di rischio F che non coprono totalmente il rischio di mercato. In questo contesto, i contributi al rischio sono definiti mediante l analisi di regressione. Successivamente, dimostriamo come tali approcci apparentemente diversi siano ricompresi in realtà in un unico modello. In conclusione, presentiamo una routine per il calcolo dei contributi al rischio applicabile nella pratica ad ogni scenario. A sostegno dell intuizione teorica, illustriamo ciascuna fase del ragionamento con esempi tratti dalla vita reale. Contributi al rischio: una rassegna della letteratura Questa sezione presenta in sintesi i risultati introdotti da Litterman (1996) e Garman (1997), e successivamente elaborati da Tasche (1999), Mina (22), Hallerbach (23), Zhang e Rachev (24), Scherer (24). Si veda inoltre Meucci (25) per una rassegna completa. Il PL in (1) è funzione delle esposizioni b. Da ciò discende che anche il rischio di portafoglio deve essere una funzione R(b) delle esposizioni. La misura di rischio più utilizzata è la deviazione del PL, anche nota come tracing error nelle allocazioni basate su un benchmar: 1 In teoria, l approccio copre anche il caso del full repricing mediante l aggiunta di derivate di ordine superiore nell espansione di Taylor del PL. 4 Ris Italia Inverno 27

2 Fra le misure alternative figurano il VaR: R ( b) b Cov{ F}b (2) R ( b) Q b F ( c) (3) dove Q X denota il quantile della variabile casuale X e c è il livello di confidenza, generalmente impostato a c 99%; e l ES, conosciuta anche come conditional VaR: R b ( ) E { b F b F Q b F ( c) } (4) Tutte queste misure sono omogenee: R(b) raddoppia se raddoppiano le esposizioni b. Pertanto vale la seguente identità: N ( ) b n (5) R b n=1 dove N è la dimensione del mercato F. In altri termini, il rischio totale può essere espresso come la somma dei contributi di ogni fattore, dove il contributo generico n-esimo è il prodotto del contributo marginale per unità R/ n -esimo è il prodotto del contributo marginale per unità n-esimo in portafoglio, rappresentato dall esposizione b n. Se misuriamo il rischio usando la volatilità (2), le derivate parziali in (5) diventano: = n Cov{ F}b b Cov{ F}b Se misuriamo il rischio in termini del VaR (3), possiamo esprimere le derivate parziali come in Hallerbach (23), Gourieroux, Laurent e Scaillet (2) e Tasche (22), come attese condizionate: E F b F Q (6) { b F ( c) } (7) Analogamente se utilizziamo l ES (4) come misura del rischio, le derivate parziali possono essere espresse come attese condizionate: { b F ( c) } (8) E F b F Q In un mercato ellittico, le derivate in (6) (8), e quindi i contributi al rischio (5), possono essere calcolati in modo analitico. In mercati profondamente non normali e pienamente generali, possiamo rappresentare la distribuzione congiunta di F nei termini di un panel F J N di simulazioni Monte Carlo: la riga j-esima generica rappresenta uno scenario congiunto per i fattori e la colonna generica n-esima la distribuzione marginale del fattore n-esimo. La generazione di F è spesso un compito abbastanza semplice anche in presenza di ipotesi di distribuzione congiunta molto complesse. La covarianza in (6) può quindi essere approssimata dalla covarianza campionaria di F. Per quanto riguarda il VaR, le attese nella (7) possono essere approssimate come in Mausser (23) (cfr. anche Epperlein e Smillie, 26, e Meucci e Gan, 27): c S b (9) A. Esposizioni ai tassi di riferimento In questa espressione, S b è un panel J N in cui la generica colonna j-esima corrisponde alla colonna j-esima del panel F, selezionata come statistica d ordine del vettore J-dimensionale Fb; e c è uno smoothing ernel, massimo sul livello di confidenza riscalato cj. Analogamente, per l ES possiamo approssimare le attese nella (8) come: q c S b (1) dove q c è una funzione step che salta da zero a 1/cJ con livello di confidenza riscalato cj. A titolo esemplificativo, si consideri un portafoglio di titoli di Stato statunitensi. Il PL del portafoglio è correttamente descritto nella (1) da una approssimazione quadratica duration-convessità. Più esplicitamente, esistono N 7 fattori, ovvero le variazioni dei sei tassi di riferimento della curva di rendimento dei titoli di Stato (sei mesi, due, cinque, dieci, 2 e 3 anni) e una scadenza quadratica media per la convessità: dove: b 6m b 2a b 5a b 1a b 2a b 3a b y2,91,752 1,59 1,516 1,223,266,481 F ( y 6 m, y 2 a, y 5 a, y 1 a, y 2 a, y 3 a, y 2 ) (11) ( + y 3 a ) (12) y y 6 m + y 2 a + y 5 a + y 1 a + y 2 a Le esposizioni b sono le relative duration dei tassi di riferimento e la convessità media. Nel nostro esempio, tali sensibilità a una certa data sono illustrate nella tabella A. Il PL viene rappresentato come rendimento e misurato in punti base. Stimiamo la distribuzione congiunta delle variazioni dei sei tassi a partire da un dataset di realizzazioni mensili lungo un orizzonte temporale di 1 anni. Nello specifico, adottando un approccio a due fasi, adattiamo in primo luogo ciascun tasso ad una diversa distribuzion t-student. I parametri di localizzazione sono pari a zero, i gradi di libertà tre, quattro, cinque, sette, dieci e 15, rispettivamente, e i parametri di dispersione possono essere ricavati dalla tabella B. Adattiamo quindi la struttura congiunta ad una normale copula, la cui matrice di correlazione può essere ricavata dalla tabella B. A partire dalla distribuzione stimata, generiamo un panel F J N di J 1 6 simulazioni Monte Carlo. Le prime colonne N 1 sono generate sulla base della scomposizione marginale-copula sopra descritta; l ultima colonna è calcolata deterministicamente dalle prime colonne N 1 come nella (12). Calcoliamo la covarianza nella (6) come covarianza campionaria nella tabella B. Date le esposizioni nella tabella A e i contributi unitari (6) calcoliamo la volatilità totale e i contributi di ciascun fattore. Analogamente, calcoliamo le sensibilità del VaR (9) e quindi il VaR e i contributi di ciascun fattore. Infine, calcoliamo le sensibilità ES (1) e quindi l ES e i contributi di ciascun fattore. I contributi sono illustrati nella figura 1 e riportati nella tabella C. Si noti che il VaR 32 pb e la ES 46 pb non sono coerenti con l assunto normale per deviazione 126 pb, in cui il VaR 294 pb e la ES 337 pb. Inoltre si noti dalla figura 1 che l importanza relativa dei diversi contributi cambia al variare della misura, una conseguenza della distribuzione congiunta non ellittica dei fattori. risitalia.com 41

3 B. Matrice di covarianza dei tassi di riferimento Dy 6m Dy 1a Dy 3a Dy 6m Dy 1a Dy 3a Contributi al rischio dei tassi di riferimento (rosso = positivo, verde = negativo) Contributi al rischio di fattori aggregati Quando il numero di fattori di rischio in (1) è elevato, gli operatori tendono ad analizzare il rischio ad un livello aggregato. Formalmente, consideriamo K bucet N 1,..., N K che coprono tutti gli N fattori F in modo esaustivo e reciprocamente esclusivo. Il contributo al rischio C del generico bucet -esimo è intuitivamente definibile come la somma dei contributi singoli di ogni fattore nel bucet. Da (5) otteniamo: C ( ) R b b n (13) n n N Volatilità 6m 2a 5a 1a 2a 3a Convessità VaR 6m 2a 5a 1a 2a 3a Convessità Nel nostro esempio, potremmo essere interessati in K 3 bucet: il segmento a breve della curva, rappresentato dai tassi di riferimento a sei mesi, due e cinque anni; il segmento a lungo termine rappresentato dai tassi a dieci, 2 e 3 anni; e la convessità. Pertanto, i bucet saranno: N 1 { 1,2, 3}, N 2 { 4,5,6}, N 3 { 7} (14) Sommando i valori della tabella C otteniamo i contributi al rischio di ogni bucet della tabella D. Apparentemente, la regola intuitiva (13) non ha alcun impatto sul problema del calcolo dei contributi al rischio originato dalla combinazione dei fattori originali F nei nuovi fattori F. Come andiamo a vedere qui di seguito, non è così. Contributi al rischio in caso di nuovi fattori completi Oltre ad aggregare il rischio delle componenti F, gli operatori ES 6m 2a 5a 1a 2a 3a Convessità C. Contributi al rischio dei tassi di riferimento Totale C 6m C 2a C 5a C 1a C 2a C 3a C x 126 1,2 2,3 31,8 4,4 27, 5,5,1 VaR 32 3,2 53,1 83, 12,5 66,3 13,3 1,9 ES 46 4,3 73,6 19,6 127,5 79,2 15,5 3,8 D. Contributi aggregati al rischio Totale C 1 C 2 C ,3 72,9,1 VaR ,4 182, 1,9 ES ,6 222,2 3,8 devono tipicamente riordinare tali fonti di rischio in nuovi fattori di rischio F che sono combinazioni lineari dei fattori originali: F PF (15) In questa espressione, ogni riga della matrice di Pic P rappresenta una combinazione lineare che definisce il relativo nuovo fattore. In questa sezione, ipotizziamo che i nuovi fattori coprano interamente il rischio di mercato. In altre parole, ipotizziamo che la matric P sia invertibile. Per calcolare le esposizioni b ai nuovi fattori, possiamo riscrivere il PL (1) come Π = b P 1 PF b F. Pertanto: b P 1 b (16) Anche i contributi unitari al rischio dei nuovi fattori sono una semplice trasformazione dei corrispondenti contributi dei fattori originali. Di fatto, come dimostriamo in una appendice tecnica disponibile su richiesta: R b = P R (17) Dalla (16) e (17), è facile calcolare il contributo al rischio del nuovo fattore -esimo generico come il prodotto del contributo marginale unitario R/ e la relativa esposizione b. A titolo esemplificativo, supponiamo che nel nostro esempio il gestore del portafoglio sia interessato all esposizione alla curva forward, come rappresentata dalla differenza tra tassi di riferimento adiacenti. In questo caso, la matrice di Pic è quella illustrata nella tabella E. Applicando le (16) e (17) ai numeri calcolati nella precedente sezione sulla letteratura, otteniamo i contributi al rischio dei fattori forward indicati in tabella F e rappresentati graficamente nella figura 2. Di nuovo, un semplice controllo evidenzia che l ipotesi di normalità, o ellittica, non e sostenibili. Contributi al rischio in caso di nuovi fattori parziali In linea generale, il numero N di fattori di rischio F che determinano il PL (1) è elevato. Per questo, gli operatori tendono spesso ad aggregare il rischio come illustrato sopra, oppure a concentrarsi su un limitato insieme K N di fattori definiti dall utente F, più importanti, o ancora a utilizzare una combinazione di questi due approcci. Per affrontare il problema, generalizziamo la specificazione dei fattori (15) come segue: F PF (18) dove la matrice P, che ipotizziamo essere di rango pieno, ha ora 42 Ris Italia Inverno 27

4 E. Matrice di Pic per i tassi forward P Dy 6m Dy 1a Dy 3a F 1 1 F F F F F F 7 1 F. Contributi al rischio dei tassi forward Totale C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C ,6 63,4 12,6 1,1 6,9,4,1 VaR , 169,5 31,5 32,5 2, 1,2 1,9 ES ,4 241,5 22,8 58,2 28,9 1,7 3,8 solo K N righe indipendenti. A fini illustrativi, ipotizziamo che il gestore del portafoglio sia interessato ai contributi al rischio dei primi tre principali movimenti della curva. Effettuiamo la scomposizione in componenti principali dei primi sei termini nella sezione nordovest della tabella B e costruiamo le tre righe illustrate nella tabella G con gli autovettori corrispondenti ai tre maggiori autovalori. Come in Litterman e Scheinman (1991), il fattore F 1 corrisponde approssimativamente ad uno spostamento della curva (shift); il fattore F corrisponde a un movimento di inclinazione/ 2 appiattimento; e il fattore F a un movimento dei segmenti 3 estremi della curva (butterfly twist). I nuovi fattori F sospingono la casualità del PL attraverso alcune esposizioni b. Tuttavia, tali esposizioni non sono definite in modo univoco. Scelte diverse per le esposizioni portano a componenti residue diverse nel PL: Π = b F + ε (19) Di conseguenza, scelte diverse per le b portano a contributi diversi dei fattori F. Il fenomeno appare chiaro nel nostro esempio. Consideriamo il primo fattore nell equazione (11), la dinamica del tasso a sei mesi. Il contributo dovuto a questo fattore dipende dai fattori rimanenti, ovvero dalla definizione della componente residua. Invero, il contributo del tasso a sei mesi è minimo quando tali fattori sono gli altri tassi di riferimento (cfr. figura 1), ma diventa elevato quando gli altri fattori sono i tassi forward (figura 2). Per definire le esposizioni migliori, ci avvaliamo delle tecniche di attribuzione del rischio, introdotte da Sharpe (1992) e successivamente studiate e applicate in una varietà di contesti (cfr., per esempio, Fung e Hsieh, 1997, e Brown e Goetzmann, 23). Come nella (19), nell attribuzione del rischio il PL è espresso come una combinazione lineare di fattori, in cui le esposizioni b sono fissate per ridurre al minimo la varianza del residuo di regressione, ovvero per spiegare al meglio il PL. Come dimostriamo in un appendice tecnica disponibile su richiesta, la soluzione b è il coefficiente di regressione izzato: b PCov{ F} P { }b (2) ( ) 1 PCov F che decorrela i nuovi fattori F dalla componente residua e. 2 A partire da questa specifica selezione di esposizioni, possiamo calcolare il contributo al rischio C del fattore generico -esimo 2 Contributi al rischio dei tassi forward (rosso = positivo, verde = negativo) Volatilità VaR ES G. Matrice di Pic per l analisi delle componenti principali P Dy 6m Dy 1a Dy 3a F 1,28,48,51,44,36,34 F 2,71,38,,28,36,37 F 3,59,41,46,1,33,41 H. Contributi al rischio dall analisi delle componenti principali F come il prodotto dell esposizione b per il relativo contributo unitario R/, calcolabile facilmente a partire dai contributi unitari originali R/. Invero, poche manipolazioni algebriche dettagliate nell appendice tecnica evidenziano che la (17) resta valida anche quando la matrice P non è invertibile: R b = P R (21) Nel nostro esempio, quando il rischio è misurato in termini di volatilità, otteniamo i contributi evidenziati nella tabella H. Come previsto, un portafoglio di obbligazioni long-only è esposto soprattutto a un movimento di spostamento (parallel shift). In altri termini, la duration del portafoglio è una rappresentazione precisa del rischio di portafoglio. L effetto di appiattimento o di twisting della curva è di ordini di grandezza inferiore rispetto allo spostamento parallelo. Si noti che l operazione di sorting multiplo necessaria per il calcolo diretto delle sensibilità (9) e (1) è onerosa. Utilizzando l equazione (21) tale operazione può essere effettuata una sola volta per ogni dato portafoglio. Totale C 1 C 2 C 3 Componente residua ,9 2,1,1,1 VaR ,3 3,5 1, 1,2 ES 46 47,4 1,1 2,6 2,9 2 TCiò non è vero per le distribuzioni con code grasse come quella di Cauchy, in cui il coefficiente di regressione non è definito. risitalia.com 43

5 Un modello generalizzato Nella sezione precedente abbiamo discusso tre problematiche apparentemente diverse legate all attribuzione del rischio: l aggregazione, rappresentata dalla regola di aggregazione semplice (13); la specifica completa dei fattori, con le regole di trasformazione (16) e (17); e la specifica parziale, risolta con il metodo di regressione nelle (2) e (21). Poiché i problemi sopradescritti potranno emergere in combinazioni diverse nelle applicazioni operative pratiche, da un punto di vista implementativo non è chiaro come risolvere il processo di attribuzione del rischio con modalità non ad hoc. Nondimeno, come vedremo, tutti i problemi descritti (o qualsiasi loro combinazione) possono essere trattati in un quadro unificato, molto semplice anche dal punto di vista computazionale. Con riferimento a una specifica completa dei fattori, se P è invertibile la soluzione regressiva (2) si trasforma semplicemente nella (16). Pertanto, la specifica completa dei fattori rappresenta una fattispecie speciale del metodo di regressione. Per quanto riguarda la regola di regressione (13), è possibile esprimere il PL (1) in termini di nuovi fattori bucet-specific come segue: K Π = b F (22) =1 In questa espressione, le esposizioni sono definite semplicemente come b 1, un vettore di uno, e i nuovi fattori sono definiti come la somma ponderata per il portafoglio di tutti i fattori originali in un dato bucet: F F n b n (23) n N Questo insieme di fattori corrisponde ad una matrice di Pic nella specifica parziale dei fattori (18), definita come: P n b n se il fattore F n è nel -esimo bucet (24) negli altri casi Si noti che nell equazione (22) il PL è totalmente descritto dai nuovi fattori. In altri termini, b 1 riduce al minimo la componente residua, che è pari a zero. Quindi, b 1 rappresenta la soluzione di regressione per la specifica parziale dei fattori definita dalla matrice di Pic (24) e la regola di aggregazione (13) coincide con il prodotto del contributo unitario marginale R/ moltiplicato per la relativa esposizione b 1. Pertanto, tanto la specifica completa dei fattori che quella parziale possono essere analizzate in un quadro di specifica parziale, risolvibile con l analisi di regressione. Conclusioni In questo articolo abbiamo presentato un approccio unificato per il calcolo dei contributi al rischio derivanti da fattori definiti dall utente, corrispondenti ad aggregazioni e/o combinazioni lineari dei fattori di rischio che determinano il PL. L approccio è implementabile nel modo seguente: n Si parte dal PL Π come funzione di fattori dati F e delle loro esposizioni b descritte in (1) e si analizza il contributo al rischio nei termini di tali fattori come nella (5). n Si determinano i nuovi fattori F come combinazioni lineari dei fattori esistenti. In particolare, se si considerano le aggregazioni di rischio, le corrispondenti combinazioni lineari sono come definite nella (24). n Utilizzando i coefficienti di queste combinazioni lineari, si forma la matrice di Pic P nella (18). Se il rango di P non è pieno, cancellare le righe in eccesso (e i relativi fattori) fino a renderlo pieno. n Calcolare le esposizioni b dei nuovi fattori come nella (2). n Calcolare i contributi unitari al rischio dei nuovi fattori R/ come nella (21). n Calcolare il contributo al rischio del fattore generico -esimo come prodotto del valore -esimo di b per il valore -esimo di R/. La routine descritta può essere facilmente codificata e tutti i calcoli possono essere effettuati in una frazione di secondo. n Attilio Meucci è vice presidente di Lehman Brothers a New Yor. L autore ringrazia Robert Durie, Anthony Lazanas, Antonio Silva e due referee anonimi per le loro osservazioni. attilio.meucci@lehman.com Riferimenti bibliografici Brown S e W Goetzmann, 23 Hedge funds with style Journal of Portfolio Management 29, pp Epperlein E e A Smillie, 26 Cracing VAR with ernels Ris agosto, pp Fung W e D Hsieh, 1997 Empirical characterizations of dynamic trading strategies: the case of hedge funds Review of Financial Studies 1, pp Garman M, 1997 Taing VAR to pieces Ris ottobre, pp Gourieroux C, J-P Laurent e O Scaillet, 2 Sensitivity analysis of values at ris Journal of Empirical Finance 7, pp Hallerbach W, 23 Decomposing portfolio value-at-ris: a general analysis Journal of Ris 5, pp Litterman R, 1996 Hot spots and hedges Ris Management Series, Goldman Sachs Litterman R e J Scheinman, 1991 Common factors affecting bond returns Journal of Fixed Income 1, pp Mausser H, 23 Calculating quantile-based ris analytics with L-estimators Journal of Ris Finance, primavera, pp Meucci A, 25 Ris and asset allocation Springer Meucci A e Y Gan, 27 The POINT tail ris model Lehman Brothers Publications Mina J, 22 Ris attribution for asset managers Documento di lavoro, RisMetrics Scherer B, 24 Portfolio construction and ris budgeting Ris Boos Sharpe W, 1992 Asset allocation: management style and performance measurement Journal of Portfolio Management, inverno, pp Tasche D, 1999 Ris contributions and performance measurement Documento di lavoro, Technische Universitaet München Tasche D, 22 Expected shortfall and beyond Journal of Baning and Finance 26, pp Zhang Y e S Rachev, 24 Ris attribution and portfolio performance measurement an overview Documento di lavoro 44 Ris Italia Inverno 27