EQUAZIONI DIFFERENZIALI: esercizi proposti. Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.

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1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI: esercizi proposti Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Un produttore di lampadine vuole realizzare lampadine che durino circa 700 ore ma, naturalmente alcune bruciano prima di altre. Sia F (t) la percentuale di lampadine che bruciano entro t ore, per cui F (t) é sempre compresa tra 0 e 1. (a) Ipotizzare un grafico per F (t) e disegnarlo. (b) Qual é il significato della derivata prima F (t)? (c) Supposto F (t) = 2 π + 0 F (t)dt? 1 x 2 +1, qual é il valore e il significato di 2. Quando si mettono al forno le patate, la loro temperatura aumenta secondo la legge di Newton: la velocitá di riscaldamento di un oggetto (in gradi al minuto) é proporzionale alla differenza di temperatura tra le patate e il forno, se questa differenza non é troppo grande. Supponiamo di mettere delle patate a temperatura ambiente di 20 o C in un forno riscaldato a 180 o C. (a) Formulare un ipotesi sul momento in cui le patate si riscaldano piú rapidamente. Cosa succede alla velocitá di riscaldamento al crescere di t? (b) Scrivere un equazione differenziale che descriva la legge di Newton in questa particolare situazione. Qual é la condizione iniziale? Questo modello é in accordo con l ipotesi formulata in (a)? Tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori iniziali. 3. Si consideri una popolazione P (t) con tassi di nascita e morte costanti pari ad α > 0 e β > 0 e un tasso di migrazione costante m > 0. Si assuma α > β. Il tasso di crescita della popolazione al tempo t 1

2 é descritto dall equazione differenziale P = kp m, k = α β Trovare la soluzione di questa equazione che verifica la condizione iniziale P (0) = P o. Individuare per quali valori di m la popolazione cresce esponenzialmente, oppure assume un valore costante, oppure diminuisce. 4. Una birra viene versata in modo costante nel boccale qui rappresentato; il volume versato nell unità di tempo è costante. Disegnate il grafico che rappresenta l altezza raggiunta dalla birra nel boccale in funzione del tempo, ponendo particolare attenzione alla concavita del grafico. Qual è il significato del punto di flesso? 5. Rette universitarie Uno studio sulla domanda di istruzione superiore, che utilizza le tasse scolastiche come variabile di prezzo, ha dato il seguente risultato dy dx = 0.4 y x dove x rappresenta le tasse scolastiche e y superiore. Risolvete l equazione differenziale. Quale delle seguenti conclusioni è suggerita dal risultato? la quantità di istruzione (a) Quando la retta sale, aumenta la domanda di iscrizione. (b) Come determinante della domanda di istruzione, il reddito è più importante del prezzo. (c) Se le Università riducessero le rette, i loro introiti aumenterebbero. (d) Se le Università alzassero le rette, i loro introiti aumenterebbero. 6. Il pazzo si separa presto dal suo denaro. Un pazzo perde i propri soldi al gioco con velocità (in euro all ora) pari ad un terzo della somma che egli possiede ad ogni dato istante. Quanto tempo gli occorrerà per perdere metà della sua ricchezza? 2

3 7. Saturazione del mercato. È stato introdotto un nuovo modello di computer sul mercato; si prevede che se ne venderanno unità e che il tasso di vendite mensili sarà il 10% della differenza tra il punto di saturazione del mercato e le vendite totali fino a quel mese. (a) Formulare un ipotesi sul momento in cui il tasso di vendite è più alto, individuare il suo andamento al crescere di t e tracciarne un grafico qualitativo. (b) Scrivere e risolvere un equazione differenziale che descriva le vendite totali in funzione dei mesi. Qual é la condizione iniziale? Questo modello é in accordo con l ipotesi formulata in (a)? Tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori iniziali. 8. Gelati Le vendite mensili dei gelati alla crema y(t) sono scese ad un tasso istantaneo del 5% al mese. (a) Se attualmente si vendono 1000 confezioni al mese, trovare l equazione differenziale che descrive la variazione nelle vendite e risolverla per prevedere le vendite mensili. (b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata y (t).. 9. Pesci. È stato elaborato un modello per prevedere la lunghezza L(t) di un pesce durante un certo periodo di tempo t. Se L è la lunghezza massima di una specie, allora l ipotesi è che il tasso di crescita della lunghezza sia proporzionale a L L(t). (a) Formulare e risolvere un equazione differenziale per trovare l espressione di L(t). (b) Per il merluzzo del Mare del Nord si è determinato che L = 53cm, L(0) = 10cm e la costante di proporzionalità è 0.2. Qual è l espressione di L(t) con questi dati? (c) Nel caso del merluzzo, tracciare il grafico della soluzione L(t) e della sua derivata L (t). 10. Radioattività. Gli isotopi radioattivi emettono radiazioni (decadono) secondo la cosiddetta legge del decadimento radioattivo. Sia N(t) il 3

4 numero degli atomi di un isotopo radioattivo presenti al tempo t, tale numero diminuisce per via del fenomeno della radioattività in modo proporzionale al numero stesso degli atomi N(t). (a) Determinare l equazione differenziale che che descrive il decadimento radioattivo e risolverla supponendo che N(0) = N 0 (dato iniziale). (b) Un applicazione del decadimento radioattivo è la datazione dei reperti archeologici o di opere d arte. soluzione trovata per tale scopo? Come si può usare la 11. Le vendite mensili di t-shirt sono scese ad un tasso del 5% al mese. Se attualmente si vendono 1000 magliette al mese (a) determinare l equazione differenziale che descrive la variazione nelle vendite e risolverla per prevedere le vendite mensili. Tracciare il grafico della soluzione. (b) Quante t-shirt si venderanno tra 7 mesi? (c) Se in magazzino avete 5000 magliette, prevedete di poterle vendere tutte? 12. Zuppa. Una pentola di zuppa a 38 o C è posta in un locale con temperatura di 15 o C. 30 o C. Dopo 10 minuti la zuppa si è raffreddata fino a (a) Facendo riferimento alla legge di raffreddamento di Newton ( La velocità di raffreddamento di un oggetto (in gradi al minuto) è proporzionale alla differenza di temperatura tra l oggetto e l ambiente, se questa temperatura non è troppo grande), determinare una equazione differenziale che descriva questa situazione e risolverla. (b) Che cosa rappresenta la funzione soluzione? Tracciarne il grafico. (c) Trovare il tasso di raffreddamento dopo 20 minuti. 13. Infuenza. Un epidemia di influenza si diffonde in una popolazione di 10 4 abitanti. Inizialmente sono riportate 100 persone contagiate e si stima che la costante di proporzionalità sia k = 5%. Si prevede che metà della popolazione si ammalerà. 4

5 (a) Determinare l equazione differenziale che descrive questa situazione e risolverla. (b) Che cosa rappresenta la funzione soluzione? Tracciarne il grafico. (c) Qual è il momento di massima diffusione dell epidemia? 14. Batteri. Una coltura di batteri parte con 500 individui e cresce ad un tasso proporzionale alla propria dimensione. Dopo 3 ore ci sono 8000 batteri. (a) Trovare l equazione differenziale che descrive la crescita della popolazione di batteri e risolverla. (b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata y (t). (c) Determinare il numero di batteri dopo 4 ore. (d) Trovare il tasso di crescita dopo 4 ore. 15. Salamoia. Un serbatoio contiene 1000 litri di salamoia formata da 15 Kg di sale sciolto. Dell acqua entra nel serbatoio ad una velocità di 10 litri al minuto. La soluzione viene rimescolata continuamente e fuoriesce dalla tanica alla stessa velocità. (a) Trovare l equazione differenziale che descrive la variazione della quantità di sale nel serbatoio e risolverla per prevedere la concentrazione della soluzione a lungo termine. (b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata y (t). 5

6 FACOLTÁ DI AGRARIA Nome CL Anno di corso Scuola di provenienza Cognome Perugia, 16 marzo 2005 Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Gelati. Il profitto mensile sulle vendite di gelato alla crema y(t) cresce ad un tasso istantaneo del 10% al mese. (a) Se attualmente si ottiene un profitto di 1500 euro al mese, trovare l equazione differenziale che descrive la variazione del profitto e risolverla per prevedere il profitto mensile. (b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata y (t).. (c) Usare il Metodo di Eulero, con passo 1 e 0.5 rispettivamente, per determinare due approssimazioni della soluzione e confrontare i valori ottenuti con quelli della soluzione esatta al secondo mese ( t = 2). 2. Raffreddamento. Consideriamo un corpo a temperatura di 100 o C che viene immesso in un recipiente contenente acqua mantenuta a temperatura costante di 20 o C. Dopo un minuto la temperatura del corpo si è ridotta a 60 o C. Supponendo che valga la legge di Newton sul raffreddamento, (a) formulare un ipotesi sul momento in cui il tasso di raffreddamento è più alto, individuare il suo andamento al crescere di t e tracciarne un grafico qualitativo; (b) scrivere e risolvere un equazione differenziale che descriva la variazione della temperatura in funzione del tempo; (c) tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori iniziali; 6

7 (d) determinare l intervallo di tempo necessario al corpo per raggiungere la temperatura di 25 o C. 3. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere giustificare la risposta, se false, fornire un controesempio. (a) Tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = 1 + y 2 sono funzioni crescenti. (b) La funzione f(x) = (ln x)/x è soluzione dell equazione differenziale x 2 y + xy = 1. (c) L equazione y = x + y è a variabili separabili. (d) Se y(t) è la soluzione del problema ai valori iniziali allora lim t + y(t) = 5. y = 2y(1 y 5 ) y(0) = 1 7

8 FACOLTÀ DI AGRARIA Nome CL Cognome Anno di corso Perugia, 1 giugno 2005 Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Automobili. Un automobile da corsa accelera da ferma fino a raggiungere la velocità di 40t m/s t secondi dopo la partenza. Che distanza percorrerà in 8 secondi? 2. Vacanze. Dopo l introduzione dell euro, il costo y(t) di una settimana di vacanza per una famiglia media di quattro persone è cresciuto continuamente ad un tasso istantaneo del 7.3%. (a) Formulare e risolvere un equazione differenziale per trovare l espressione di y(t). (b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata y (t).. 3. Glucosio. Una soluzione di glucosio viene somministrata in vena con velocità costante v. Via via che il glucosio viene introdotto, viene trasformato in altre sostanze ed eliminato dal flusso sanguigno con una velocità proporzionale alla sua concentrazione in quell istante. Quindi un modello per la concentrazione della soluzione di glucosio C(t) nel sangue è dove k è una costante positiva. dc dt = v kc (a) Supponendo che la concentrazione al tempo t = 0 sia C 0 determinare la concentrazione in funzione del tempo risolvendo l equazione differenziale. (b) Assumendo C 0 < v/k risposta. trovare lim t + C(t) e interpretare la 8

9 (c) Disegnare i grafici di C(t) e di C (t). 4. Integrali. Assegnata la funzione 3 se 2 x < 1 f(x) = x + 2 se 1 x < 4 (a) motivarne l integrabilità e determinarne l integrale definito; (b) determinarne l area sottesa dal grafico; (c) individuare un rettangolo equivalente. 9

10 FACOLTÁ DI AGRARIA Nome CL Anno di corso Scuola di provenienza Cognome Perugia, 6 aprile 2006 I Esercitazione di Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Cinetica chimica. Il pentossido di azoto gassoso si decompone secondo la reazione 2N 2 O 5 4NO 2 + O 2. Sia C(t) = [N 2 O 5 ] la concentrazione di pentossido di azoto (in moli per litro) al tempo t. Si può supporre che a temperatura costante il tasso di reazione dc/dt sia proporzionale a C. (a) Trovare l equazione differenziale che descrive la variazione di concentrazione e risolverla. (b) Tracciare il grafico della famiglia di soluzioni dell equazione differenziale e quello della derivata C (t). (c) Se C(0) = moli/litro, determinare la soluzione del problema di Cauchy. (d) Se dopo 4 minuti la concentrazione è scesa a moli/litro, dopo quanti minuti sarà il 10% della concentrazione iniziale? (e) Usare il Metodo di Eulero, con passo 1 e 0.5 rispettivamente, per determinare due approssimazioni della soluzione e confrontare i valori ottenuti con quelli della soluzione esatta al secondo minuto ( t = 2). 2. Dieta. È noto che la velocità di dimagrimento è proporzionale alla differenza tra il peso effettivo e quello ideale. Una ragazza alta 1.68 m dovrebbe pesare circa 55 Kg. Spaventata dall eccessivo peso di 100 Kg decide di iniziare una dieta dimagrante. Indicato con P (t) il peso dopo t settimane di dieta: 10

11 (a) formulare e risolvere un equazione differenziale per trovare l espressione di P (t), (b) tracciare il grafico della soluzione P (t) e della sua derivata P (t). (c) Se dopo un mese ha perso 7 Kg, determinare in quanto tempo raggiunge il peso di 60 Kg. 3. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere giustificare la risposta, se false, fornire un controesempio. (a) Tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = y 2 sono funzioni decrescenti. (b) L equazione è a variabili separabili. y = 3 y x (c) La crescita di una popolazione è modellizzata dall equazione differenziale y = 1.2y(1 y 5200 ); allora i valori di equilibrio sono y(t) = 0 e y(t) = (d) L equazione differenziale y = 5 y si risolve separando le variabili. 11

12 FACOLTÁ DI AGRARIA Nome CL Anno di corso Scuola di provenienza Cognome Perugia, 16 maggio 2007 II Compito in itinere di Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Sterilità commerciale. La funzione N(t) rappresenti la concentrazione nel latte del microrganismo Bacillus stearothermophilus dopo t secondi di trattamento di sanitizzazione alla temperatura di K. La prima legge di Bigelow afferma che il tasso di abbattimento microbico è proporzionale alla concetrazione stessa del microrganismo con costante cinetica di reazione k = (a) Trovare l equazione differenziale che descrive la variazione di concentrazione e risolverla. (b) Tracciare il grafico della famiglia di soluzioni dell equazione differenziale e quello della derivata N (t). (c) Se N(0) = 100 spore/ml, determinare la soluzione del problema di Cauchy. (d) Determinare il tempo di trattamento necessario per ridurre la concentrazione sotto la soglia di sterilità commerciale di spore/ml (e) Usare il Metodo di Eulero, con passo 1 e 0.5 rispettivamente, per determinare due approssimazioni della soluzione e confrontare i valori ottenuti con quelli della soluzione esatta nei primi due secondi ( t = 2). 2. TV. Un nuovo modello di TV è stato appena introdotto nel mercato e al momento della presentazione sono state regalate 1000 TV. Si prevede che il mercato si saturi al livello di 2 milioni di unità vendute. Sia S(t) il valore delle vendite totali in milioni di unità dopo t mesi 12

13 dalla presentazione. Si supponga che il tasso di vendite mensili segua il modello di Verhulst con costante k = 1/4.. (a) Formulare e risolvere un equazione differenziale per trovare l espressione di S(t). (b) Tracciare il grafico della soluzione S(t) e della sua derivata S (t). (c) Determinare dopo quanto tempo il mercato sarà saturo. 3. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere giustificare la risposta, se false, fornire un controesempio. (a) Risolvere l equazione differenziale y = senx equivale a trovare l integrale indefinito di senx. (b) Tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = y 4 5y 3 + 6y 2 sono funzioni decrescenti. (c) L equazione differenziale y = 5(20 y) non ha soluzioni di equilibrio. 13

14 FACOLTÁ DI AGRARIA Nome CL Anno di corso Scuola di provenienza Cognome Perugia, 9 aprile 2008 I Compito in itinere di Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Gelati. Il profitto mensile sulle vendite di gelato cresce ad un tasso istantaneo del 10% al mese. (a) Trovare l equazione differenziale che descrive la variazione del profitto e risolverla. (b) Tracciare il grafico della famiglia di soluzioni dell equazione differenziale e quello della derivata prima. (c) Se attualmente si ha un profitto di euro al mese, determinare la soluzione del problema di Cauchy. 2. Brodo bollente. Un brodo bollente (100 o C) è lasciato raffreddare sul tavolo della cucina a 20 o C. (a) Formulare e risolvere un equazione differenziale per trovare l espressione della temperatura del brodo y(t) dopo t minuti. (b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata y (t). (c) Se dopo 20 minuti la temperatura del brodo è scesa a 60 o C, quale sarà la temperatura dopo 40 minuti? 3. Qua e là. (a) Sia v(t) = 40t la velocità di un auto da corsa. Che distanza percorrerà nei primi 8 secondi? (b) Risolvere l equazione differenziale y = 1 72 y 14

15 (c) Un modello per la concentrazione di glucosio C(t) nel sangue è dc dt = 1 C(t) Determinare la concentrazione C(t) risolvendo l quazione differenziale. (d) Scrivere l espressione della soluzione del problema di Cauchy y = 2y(1 y 5 ) e tracciarne il grafico. y(0) = 1 15

16 EQUAZIONI DIFFERENZIALI: alcuni esercizi con svolgimento 1. In una comunità di x 1 persone indichiamo con x il numero di coloro che hanno udito un certo pettegolezzo t giorni dopo che esso sia stato divulgato. È ragionevole pensare che ll tasso di crescita di x, cioè il tasso di diffusione del pettegolezzo tra i membri della comunità, sia proporzionale alla frequenza di contatto tra chi ha udito il pettegolezzo e chi non l ha udito,a sua volta direttamente proporzionale al numero di persone che lo hanno udito e al numero di coloro che non l hanno udito. Tutto ciò conduce all equazione differenziale dx dt = cx(x 1 x), dove c è una costante che esprime il livello di attività sociale. Sapendo che il pettegolezzo è inizialmente rivelato a x 0 persone (x = x 0 quando t = 0), determinare x in funzione di t. Che comportamento ha la funzione x(t) quando x +? Tracciare il grafico di x(t). Svolgimento Consideriamo il problema di Cauchy x (t) = cx 1 x(t) cx 2 (t) x(0) = x 0 con un equazione differenziale del primo ordine di Bernoulli. Dividiamo per x 2 x x 2 = cx 1 x c, x 0 Consideriamo la sostituzione z(t) = 1 x(t), quindi z (t) = 1 x 2 (t) x (t) z (t) = cx 1 z(t) + c Questa è un equazione differenziale lineare del primo ordine ove a(t) = cx 1 b(t) = c A(t) = cx 1 t z(t) = e cx 1t e cx1t c dt = e cx 1t cx1 e cx 1t dt = x 1 ( ) e cx 1t 1 e cx1t + k = 1 + ke cx 1t x 1 x 1 16

17 x(t) = 1 z(t) = 1 1 x 1 + ke = x 1 cx 1t 1 + kx 1 e cx 1t x 1 x(t) = 1 + kx 1 e cx 1t x(0) = x 0 x(0) = x kx 1 = x 0 x 1 = x 0 + kx 0 x 1 k = x 1 x 0 x 0 x 1 x(t) = x x 1 x 0 x 0 e cx 1t persone informate giorni lim t + x(t) = x 1 Nel grafico si è supposto x 1 = , x 0 = 10000, c =

18 2. In un esperimento genetico 50 mosche della frutta sono chiuse in un vaso di vetro capace di contenere una popolazione massima di 1000 mosche. Il tasso di crescita della popolazione x(t) di mosche è pertanto proporzionale alla popolazione stessa e a (1000 x(t)) (e quindi al loro prodotto). a) Formulare un ipotesi sul momento in cui le mosche crescono piú rapidamente. Cosa succede alla tasso di crescita al crescere di t? b) Scrivere un equazione differenziale che descriva la crescita delle mosche in questa particolare situazione e risolverla. Questo modello é in accordo con l ipotesi formulata in (a)? Tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori iniziali. c) Se 30 giorni dopo la popolazione è cresciuta di 200 unità, quando la popolazione raggiungerà la metà della capacità del vaso? Soluzione a) La crescita delle mosche sarà massima dopo un certo periodo t. Al crescere del tempo la velocità di crescita diminuisce tendendo a zero. b) x (t) = kx(t) ( 1000 x(t) ) x(0) = 50 Si tratta di un equazione differenziale del tipo di Bernoulli. Dividiamo per x 2 x (t) = 1000kx(t) kx 2 (t) x (t) x 2 (t) = 1000k k, x(t) 0 x(t) Operiamo la sostituzione z(t) = 1 x(t), z (t) = x (t) x 2 (t) z (t) = 1000kz(t) + k Questa è un equazione differenziale lineare del primo ordine 18

19 z(t) = e 1000kt ( ) e e 1000kt k dt = e 1000kt 1000kt c = ce 1000kt x(t) = 1 z(t) = ce 1000kt 1000 = ce 1000kt 1000 x(t) = ce 1000kt x(0) = 50 x(0) = = = c c = c 1000 x(t) = e 1000kt mosche giorni c) x(30) = e 30000k = = e 30000k e 30000k =

20 ln 3 + ln 19 k = la popolazione raggiungerà la metà della capacità del vaso quando e 1000kt = = e 1000kt t = cioè, ricordando il valore di k, t = 30 ln 19 ln 19 ln 3 ln k 20

21 3. La quota di mercato x(t) di un azienda cresce in proporzione alla dimensione del mercato residuo M x(t) ove M > 0 è il mercato potenziale. a) Formulare un ipotesi sul momento in cui la quota cresce piú rapidamente. Cosa succede alla tasso di crescita al crescere di t? b) Scrivere un equazione differenziale che descriva l andamento dell azienda e risolvere il problema ai valori iniziali con la condizione x(0) = 0. Questo modello é in accordo con l ipotesi formulata in (a)? Tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori iniziali. Soluzione a) La crescita sarà più veloce nei primi istanti e al crescere di t la quota di mercato x(t) tenderà al valore M, cioè la sua velocità x (t) tenderà a zero. b) Sia a la costante di proporzionalità (a > 0). x (t) = a ( M x(t) ) = ax(t) + am equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea. x (t) = ax(t) + am x(0) = 0 A(t) = a(t), b(t) = am x(t) = e at e at am dt = e at (Me at + c) = M + ce at imponendo la condizione iniziale abbiamo x(0) = M + c = 0 c = M quindi x(t) = M(1 e at ). 21

22 quota di mercato t 22

23 4. Un condensatore elettrico, a causa delle perdite, si scarica con una velocità direttamente proporzionale alla carica elettrica Q(t) al tempo t. Se Q(0) = Q 0, determinare Q(t), sapendo che k è la costante di proporzionalità. Soluzione L equazione differenziale che descrive tale situazione è Q (t) = kq(t) È un equazione differenziale a variabili separabili Q (t) dq(t) Q(t) = k Q(t) = Q(t) = e kt+c = ce kt. k dt log Q(t) = kt + c Sapendo che Q(0) = Q 0 otteniamo Q(0) = c = Q 0, quindi la soluzione dell equazione è Q(t) = Q 0 e kt. 23

24 5. Epidemie Si prevede che una certa epidemia di influenza segua la funzione definita da da dt = 1 A(20 A) 10 dove A(t) è il numero di persone contagiate (in milioni) e t è il numero di mesi dall inizio dell epidemia. (a) Se inizialmente sono riportati casi, trovare A(t) e tracciare il grafico. (b) Quando A(t) cresce più rapidamente? Tracciare il grafico della derivata da dt (c) Quante persone saranno contagiate alla fine? Soluzione A(t) è il numero di persone contagiate dopo t mesi, t > 0 A (t) = 2A(t) 1 10 A2 (t) Equazione differenziale di Bernoulli A (t) A 2 (t) = 2A(t) 1 10 A(t) 0 Consideriamo la sostituzione z(t) = 1 A(t), z (t) = A (t) A 2 (t) z (t) = 2z(t) Questa è un equazione differenziale lineare a(t) = 2 b(t) = 1 10 A(t) = 2t z(t) = e 2t e 2t 1 ( ) 1 10 dt = e 2t 20 e2t + c == ce 2t A(t) = 1 z(t) = = 20 ce 2t ce 2t, c 20 A(t) = ce 2t A(0) = = milioni ] 120, + [ A(0) = c = c = c = 1000 c =

25 A(t) = e 2t (la soluzione A(t) = 0 non è compatibile con il dato iniziale) lim A(t) = 20 milioni. t ersone contagiate mesi La funzione A(t) cresce più rapidamente in corrispondenza del flesso in cui la funzione derivata prima A (t) presenta un punto di massimo. 25

26 tasso di contagio mesi 26