Modelli matematici. A) Equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti

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1 Modelli matematici A) Equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti Tante situazioni fisiche anche molto diverse tra loro sono descritte dallo stesso modello matematico rappresentabile da un'equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti: +af (x)+b=0 dx In generale la soluzione di questa equazione differenziale si ottiene risolvendola con b = 0 (CASO 1) e poi aggiungendo alla soluzione f(x) trovata la costante -b/a. Soluzione dell'equazione omogenea (b=0): dx = af (x) ==> (metodo della separazione delle variabili) ==> = adx ==> f (x) f (x) = a dx ==> ln f (x) = a x+c ==> f (x)=c e a x Soluzione generale dell'equazione non omogenea (b 0): f (x)=c e a x b a La costante C si determina imponendo la condizione iniziale (o al contorno) del tipo f(0) = k.

2 ESEMPI: CASO 1 b = 0 Un caso semplice ma molto comune e importante è rappresentato dall'equazione differenziale omogenea del 1 ordine: = af (x) dx Essa descrive fenomeni in cui il cambiamento percentuale di una certa quantità f(x): f (x) costante nel tempo (a). Per risolvere l'equazione è necessaria la condizione al contorno f(0) = f 0. è * Decadimento esponenziale. Gli elementi radioattivi decadono seguendo la legge secondo cui il numero di nuclei che si trasformano in un certo intervallo di tempo è direttamente proporzionale al numero di nuclei presenti nel campione ossia: dn (t) = k N (t) dt Essa si integra per SEPARAZIONE delle VARIABILI ossia: dn (t) = k dt N (t ) La soluzione si ottiene integrando membro a membro e utilizzando la condizione iniziale N(0) = N 0 N (t)=n 0 e k t ** Assorbimento dell'intensità di una radiazione I da parte di una lastra di piombo di( x) = λ dx I (x) utilizzando la condizione iniziale I(0) = I 0 I( x)=i 0 e λ x

3 *** Scarica di un condensatore e scarica di un induttore in un circuito RC o RL Condensatore Induttanza dq(t) = 1 dt RC Q τ=rc di(t) = R dt L i τ= L R Q(t)=Q 0 e t RC i(t)=i 0 e R L t Utilizzando la condizione iniziale Q(0) = Q 0 e i(0) = i 0 **** Crescita esponenziale (legge di Malthus ) Secondo il modello malthusiano, se una popolazione ha a disposizione risorse infinite, cresce a un tasso costante cioè la variazione percentuale del numero di individui è costante. dn (t) =r dt N (t ) dove r è il TASSO di CRESCITA. La soluzione è una crescita esponenziale con N(0) = N 0 : N (t)=n 0 e rt Dopo un certo tempo la crescita esponenziale porta a valori enormi detta CATASTROFE MALTHUSIANA ***** Serbatoio pieno d'acqua salata che viene svuotato con velocità fissa e riempito con la stessa velocità con acqua dolce Un serbatoio contenente N litri d'acqua salata viene svuotato alla velocità v (litri al minuto) e ne vengono immessi sempre v (litri al minuto) d'acqua dolce supponendo di mescolare il tutto perfettamente. Quanto sale c'è nel serbatoio in funzione del tempo? dy dt = β y con y(t) la quantità di sale presente nel serbatoio all'istante t generico e β y=v y N sale che esce dal serbatoio. y(t)= y 0 e t τ τ= 1 β = N v y 0 = quantità di sale presente all'inizio la quantità di

4 ESEMPI: CASO 2 b 0 Un secondo caso molto comune e importante è rappresentato dall'equazione differenziale omogenea del 1 ordine a coefficienti costanti: = af (x)+b dx * Carica di un condensatore in un circuito V-RC e carica di un induttore in un circuito V-RL Condensatore (RC) Induttanza (RL) dq(t) = 1 dt RC Q+ V R τ=rc di(t) = R dt L i+ V L Q(t)=Q 0 (1 e t τ) i(t)=i 0 (1 e t τ) τ= L R con Q(0) = 0 e i(0) = 0, Q 0 =C V e i 0 = V R ** Caduta di una sbarretta conduttrice in un campo magnetico uniforme E' un classico problema sull'induzione elettromagnetica. Sulla sbarretta agiscono due forze contrastanti: la forza peso F = mg e la forza resistiva di Lorentz F = ilb che forniscono la seguente equazione differenziale (utilizzando la II legge della dinamica di Newton F=ma=m dv e la legge dt dv B 2 di Faraday Lenz ) : dt = l2 mr v+g v(t )=v max (1 e t τ) con τ= mr l 2 B 2 e v max = gmr l 2 B 2 ottenuta uguagliando: mg = ilb con v(0) = 0

5 *** Caduta di un oggetto (es. paracadutista) in un mezzo viscoso come l'aria o l'acqua E' un classico problema di dinamica. Sull'oggetto agiscono due forze contrastanti: la forza peso accelerante F = mg e la forza d'attrito F = k v che forniscono la seguente: dv dt = k m v+g v(t )=v max (1 e t τ) τ= m con v(0) = 0 e v k max = gm ottenuta uguagliando: mg = kv k **** Raffreddamento di un corpo secondo la legge di Newton Secondo la legge del raffreddamento di Newton la temperatura di un corpo isolato diminuisce in modo proporzionale alla differenza fra la sua temperatura e quella dell'ambiente T E secondo la legge: dt dt = k (T T E ) T (t)=t E +T 0 (1 e t τ) τ= 1 k con T(0) = T 0 ***** Serbatoio riempito con una soluzione salina di concentrazione fissa che si svuota ad una certa velocità In un serbatoio contenente N litri d'acqua dolce viene versata una soluzione di acqua e sale al p % (p grammi di sale ogni litro d'acqua) alla velocità v (litri al minuto) e ne escono sempre v (litri al minuto) supponendo di mescolare il tutto perfettamente. Calcola quanto sale c'è nel serbatoio in funzione del tempo dy dt =α β y con y(t) la quantità di sale presente nel serbatoio all'istante t generico, α=vp g al minuto) che entra nel serbatoio e β y=v y N y(t)= pn (1 e τ t ) τ= 1 β = N v con y(0) = 0 la quantità di sale (in la quantità di sale che esce dal serbatoio.

6 B) Eq. differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti omogenea Un altro importante modello matematico che descrive svariate situazioni fisiche è rappresentato dall' equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti: d 2 dx 2 f (x)±k2 f (x)=0 CASO 1) + k 2 La soluzione generale di questa equazione differenziale sarebbe una soluzione complessa del tipo f (x)=ae ikx +be ikx ma possiamo semplificarla molto scrivendola in questo modo: f (x)= A cos(kx+ϕ) Le costanti A e ϕ si determinano imponendo le condizioni al contorno f(0) = f 0 e f '(0) = v 0 CASO 2) - k 2 La soluzione è: f (x)= A e kx +B e kx Le costanti A e B si determinano imponendo le condizioni al contorno f (0) = f 0 e f '(0) = v 0 ESEMPI: CASO 1 * Oscillatore armonico Il prototipo per antonomasia di questa equazione è rappresentato dall'oscillatore armonico soggetto alla forza elastica F = - kx. Dalla II legge della dinamica di Newton F=ma=m d2 x dt 2 si ottiene d 2 x dt 2 +ω2 x=0 con ω 2 = k m. La soluzione è quindi: x(t)= A cos ωt dove si sono scelte come condizioni iniziali: x(0) = A e v(0) = x '(0) = 0.

7 ** Circuito LC oscillante d 2 Q dt 2 +ω2 Q=0 con ω 2 = 1 LC fem= L d i dt Inizialmente si chiude l'interruttore su 1 e si carica il condensatore; successivamente lo si commuta su 2 scaricandolo sull'induttanza. L'equazione di Kirchoff alla maglia fornisce l'equazione:. Ricordiamo che per la legge di Faraday-Lenz la fem indotta sulla bobina è mentre nel condensatore la ddp è V = Q C La soluzione della carica ai capi del condensatore è quindi:. Inoltre si ha i= dq dt. Q(t)=Q 0 cos ωt L'energia è inizialmente tutta nel condensatore E= 1 2 E= 1 2 L i2 e così via. Q 0 2 C poi si trasferisce nell'induttanza *** Pendolo La forza di richiamo di un pendolo è F= mg sin θ. Per piccole oscillazioni ( θ<10 per esempio) il seno di un angolo può essere approssimato con l'angolo ossia: sin θ θ. La seconda legge della dinamica po' essere scritta allora come: d 2 θ dt 2 + g L θ =0 la cui soluzione è: θ(t )=θ 0 cosω t con ω= g L, θ 0 = angolo iniziale, L = lunghezza pendolo v(0) = 0

8 **** Equazione di Schrodinger In meccanica quantistica (non relativistica) l'equazione fondamentale che governa la dinamica della funzione d'onda ψ è quella di Schrodinger che in una dimensione e non dipendente dal tempo è: ħ2 d 2 ψ + V ψ =E ψ 2m dx 2 con V energia potenziale ed E energia totale della particella (cinetica + potenziale). L operatore H= ħ2 d 2 + V 2 m dx 2 è chiamato operatore Hamiltoniano (o semplicemente Hamiltoniana) del sistema e l equazione di S. diventa un equazione agli autovalori del tipo H ψ=e ψ **** A Nel caso la particella sia libera V = 0 e l'equazione si scrive: d 2 ψ dx 2 + k 2 ψ=0 con k 2 = 2mE = p2 ħ 2 ħ = 4 π2 (relazione di De Broglie) 2 λ 2 La soluzione che descrive una particella libera è quindi un'onda (manca la parte temporale) del tipo ψ( x)= A cos(kx+ϕ) ESEMPI: CASO 2 **** B Nel caso la particella sia muova in un potenziale costante V > E (classicamente è impossibile perché implicherebbe un'energia cinetica negativa) per x 0, l'equazione si scrive: d 2 ψ dx 2 λ 2 ψ=0 con λ 2 2m(V E) = ħ 2 La soluzione che descrive questa particella è del tipo ψ( x)= A e λ x +B e λ x. La condizione di normalizzazione impone che A = 0. Dunque l'ampiezza dell'onda ψ( x) (e quindi la probabilità di trovare la particella in zone con V>E che è proporzionale a ψ(x) 2 ) decresce esponenzialmente secondo la legge: ψ( x)=b e λ x B si determina con la condizione di normalizzazione: 0 + ψ 2 (x)dx=1 Questo risultato va sotto il nome di effetto tunnel quantistico.