Strutture in c.a. SLU per sollecitazioni torcenti

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI MESSINA DIPARTIMENTO di INGEGNERIA CIVILE Strutture in c.a. SLU per sollecitazioni torcenti A. Recupero

2 La torsione sulle strutture Due tipi di torsione Tensioni generate dalla torsione

3 Evidenza Sperimentale sul c.a O. Graf e E. Mörsch (Stoccarda) eseguono delle prove su elementi cilindrici cavi e pieni, circolari e rettangolari di calcestruzzo evidenziando la necessità o di doppia armatura o di armatura ad elica; l armatura disposta in una sola direzione non incrementa in alcun modo la resistenza a torsione dell elemento strutturale

4 Natura della Torsione Torsione di compatibilità

5 Natura della Torsione Torsione d equilibrio Solo per la torsione d equilibrio diventa necessaria una verifica allo SLU, per la torsione di compatibilità basta seguire i minimi di armatura prescritti al fine di contenere la fessurazione;

6 Rigidezza Torsionale Torsione d equilibrio Con l incremento delle deformazioni, la rigidezza torsionale decade velocemente, ed in generale più velocemente di quella flessionale; In generale allo SLU essa può essere trascurata;

7 Modelli Resistenti Modello a denti di sega (W. Fuschsteiner 1969) Il modello parte dalle evidenze sperimentali e ipotizza la formazione di un traliccio nello spazio. Equivale al modello di Ritter- Mörsch per il taglio e richiede solo armatura disposta sugli spigoli

8 Modelli Resistenti Modello (CEB 1978) Il modello cerca di riprodurre per la torsione le stesse procedure utilizzate per il taglio h T T T ef sd sd sd def = 6 T T T rd1 rd2 rd3 Trd 1 = 0.5 fcd Aef hef sen(2 θ ) As Trd 2 = Tcd + 2 Aef f yd ctg( θ ) s Al Trd 3 = 2 Aef fyld tg( θ ) u ef Contributo del calcestruzzo T = 1.25 f A h se T 1.25 f A h cd ctd ef ef sd ctd ef ef T = 0 se T 3.75 f A h cd sd ctd ef ef 3 5 ctg( θ ) 5 3 Il modello mostrò i limiti sperimentali e fu abbandonato

9 Modelli Resistenti Modello a campi di tensione (B. Thürlimann 1978) Il modello parte dalla teoria degli stress-fields e scompone lo sforzo di torsione nei tagli sulle diverse facce. La sperimentazione ha mostrato che: Negli elementi strutturali solo lo strato periferico di calcestruzzo resiste alla torsione nello stato fessurato, siano pieni o cavi; La resistenza a torsione non dipende dalla forma della sezione, ma solo dall area racchiusa dal perimetro medio della sezione resistente Tale modello è quello adottato dalla N.I., dall EC2, dal MC 90 e dal New EC2

10 Modello base Modello adottato dall EC2, dal MC 90, dal New EC2 e dalle N.T.I. Le ipotesi del modello sono le seguenti: Nelle sezioni a perimetro poligonale, il sistema resistente è composto da campi di tensione nello spazio; Ai campi di tensione, che si formano in ogni falda, si deve assegnare uno spessore efficace t e la sezione cava corrispondente viene chiamata sezione efficace A (EC2, MC90 e New EC2) o B e (N.I.); I campi di tensione corrispondono ad un flusso di taglio costante lungo la loro linea media; Le armature longitudinali devono essere disposte sulle facce ove richieste e comunque la parte più importante deve essere posta sugli spigoli; Le armature trasversali (staffe) devono essere chiuse; L angolo d inclinazione dei campi è costante su tutte le facce.

11 Modelli base z staffe R θ z tg θ V i H i c i a i σ c t a i s La singola biella di calcestruzzo sopporta uno sforzo pari a : R = σ t ( z sinθ ) Su ogni parete sono presenti un numero di bielle pari a: Sulla singola parete: ai Ri = R Nbielle = σ c t ( z sinθ) ctgθ = σc t ai cosθ z N c bielle = a i z ctgθ

12 Modelli base z staffe R θ z tg θ V i H i c i a i σ c t a i s Quindi σ c t ai Hi = Ri cosθ = senθ cosθ tgθ σ c t ai 2 Vi = Ri senθ = sen θ tgθ

13 Modelli base s staffe θ c i a i V i t a i a i ctg θ Imponendo l equilibrio alla traslazione verticale: ctgθ a V = n A σ = A σ s i i staffe w sw w sw n staffe = ctgθ a s i

14 Modelli base s staffe θ c i a i V i t a i a i ctg θ Imponendo l equilibrio alla traslazione verticale: ctgθ a V = n A σ = A σ s i i staffe w sw w sw n staffe = ctgθ a s i

15 Modelli Base Raccogliendo i contributi dell i-esima faccia del poligono: σ t σ t H = H = senθ cosθ a = senθ cosθ u c c tot i i tgθ 1.. n tgθ σ sw Aw σsw Aw σsw Aw T = V c = ctgθ a c = ctgθ 2 Ω = ctgθ 2 A s s s tot i i i i i σ t σ t σ t T = V c = sen θ a c = sen θ 2 Ω = sen θ 2 A tgθ tgθ tgθ c 2 c 2 c 2 tot i i i i i

16 dalle precedenti si ottiene: Modelli Base Imponendo l equilibrio alla rotazione torsionale: T Ed = T tot σ c TEd = t 2 A cosθ senθ che sostituita nella espressione dello sforzo longitudinale fornisce: σ c t TEd u Htot = senθ cosθ u = ctgθ = Asl σsl tgθ 2 A dalle precedente pagina si ottiene ancora: σ sw = A w s T Ed ctgθ 2 A

17 Modelli Base Imponendo le condizioni di ammissibilità plastica si ottiene: σ c = TEd t 2 A cosθ senθ f cd3 T 2 A t f cosθ senθ Ed cd 3 σ sl TEd u = ctgθ A 2 A sl f sld Asl fsld TEd 2 A u ctgθ σ sw TEd = tgθ Aw 2 A s f swd Aw TEd 2 A fswd ctgθ s

18 A 2c t u Verifica (torsione pura)-ec2-nti Area sezione Perimetro esterno 0.4 ctg( θ ) 2.5 f = 0.5 f cd 3 cd T rd1 2 fcd 3 t A = ctg( θ ) + tg( θ ) Aw Trd 2 = 2 A fyd ctg( θ ) s Asl 2A fyld Trd 3 = u ctg( θ ) T T T Ed Ed Ed T T T rd1 rd 2 rd 3

19 Verifica (torsione pura)-ec2-nti A f T Ed cd 3 t Si progetta la sezione in modo che sia sufficiente 0.4 ctg( θ ) 2.5 Si sceglie un angolo di tentativo Aw TEd = s 2 A ctg( θ ) f yd Si calcola l armatura trasversale A lt TEd u ctg( θ ) = 2A f yd Si calcola l armatura longitudinale totale b Abl = Alt u d Adl = Alt u Si ripartisce tra le facce l armatura longitudinale

20 Verifica (soll. composte) EC2-NTI A 2c t u Verifica staffe Aw Trd 2 = 2 A fyd ctg( θ ) s Area sezione Perimetro esterno nb Aw Vrd 3 = 0.9 d ctg( θ ) f s V Ed T Ed + 1 V T rd 3 rd 2 yd Verifica delle armature laterali MEd VEd ctg( θ ) TEd b ctg( θ ) cd 0.9 d 2 2A MEd VEd ctg( θ) TEd b ctg( θ) fyd d 2 2A ( 0.8 x b f ) A f f yd TEd d ctg( θ ) 2A A dt Verifica dei correnti V T rd 2 rd1 2 fcd 3 t A = ctg( θ ) + tg( θ ) α b 0.9 d f = ctg + tg( θ ) c w cd3 ( θ ) V V Ed TEd + 1 Verifica dei campi di calcestruzzo T rd 2 rd1

21 C20/25 FeB44 g 1 g 2 Esempio g 3 Trave porta balcone g 1 = 9.30 N/m (portato) g 1,2 = 3.75 N/mq (proprio) g 2,2 = 1.40 N/mq (portato) q 2 = 4.00 N/mq g 3 = 0.56 N/m (portato) l s q 2 l s =1.50 m; l t =6.00 m b = 30 cm; H =??; c = 4 cm f cd = 13.0 MPa, f cd2 = f cd3 = 0.5*13.0 = 6.5 MPa σ oc = 0.85*13.0 = 11.0 MPa

22 q 2 Esempio Trave porta balcone g 1 g 2 g3 Un calcolo esatto viene vanificato da una analisi dei carichi approssimata b w l s q t m t Allo Stato Limite Ultimo si ottiene: (( γ 2 γ ) ( )) γ 3 ( 0.5 ) 3 ( γ 2 γ 2) γ 3 γ 1 γ m = g + q l l + b + g l + b t g q s s w g s w qh ( ) = g + q l+ g + g + 25 Nm / b H t g q s g g g w Carico torcente Carico distribuito Svolti i calcoli si ottiene mt = N m m [ ] qh ( ) = HNm / t

23 Esempio Trave porta balcone Si calcola una altezza minima della trave che deriva da considerazioni di deformabilità. Per una trave portante a meno di effettuare successive verifiche si assume pari ad un decimo della luce di calcolo Vsd = qt Lt 8 Cerniera cilindrica = incastro torsionale Si calcolano le caratteristiche di sollecitazione della trave in funzione dei vincoli. Si ricorda che la torsione va con la legge del taglio di una trave con vincoli opportuni Tsd = mt Lt 2 V/qL M/(qL^2) T/mL x/l 0.10 x/l x/l 1 M = q L 8 2 sd t t

24 Esempio Trave porta balcone Stimato quindi il peso della trave, si calcola il momento flettente massimo in condizioni di SLU: 1 2 M sd = qt Lt = 183 Nm 8 Si assume: ξ = 0.2; δ = 4 / 60; β = 0.5; λ = 0.393; ψ = (Coerente con la scelta di ξ) Si calcola l altezza minima richiesta da condizioni statiche per rapporti e caratteristiche fissate: h min = M sd ( 1 β ) ( 1 β)( 1 λξ) + β ( 1 δ) ( b ξ ψ f ) w cd1 Si ottiene h min = 45 cm e quindi H min = = 49 cm

25 Esempio Trave porta balcone Si calcola l altezza minima della sezione che è necessaria per sopportare lo sforzo di torsione e taglio combinati, azzerando la funzione d interazione: Si stima un valore di spessore della sezione anulare compatibile con le caratteristiche geometriche della sezione. bw 2c t = bw 14 c 6 t = 2 c b < 14 c w Si può assumere una altezza della trave pari a: H = 70 cm

26 Esempio Trave porta balcone Calcolato il perimetro e l area della sezione efficace t t u = 2( bw 2 + H 2 ) = 1580 mm 2 2 t t A = bw 2 H 2 ) = mm Assumendo un numero di bracci pari a due t a h Si può calcolare la spaziatura s fissata l area A w fyd Aw s = 51 mm V Ed T Ed + nb 0.9 d 2Be a b Si adottano staffe φ 8 ( 50 mm 2 ) A Si può calcolare l armatura longitudinale A lt lt TEd u = = 1011 mm 2A f yd 2 ( bw t) Alb = Alt = 125 mm u ( H t) Alh = Alt = 381 mm u 2 2

27 Esempio Trave porta balcone Si può calcolare l armatura strettamente necessaria per la flessione per fissata altezza h: A sf = ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( h β c) b f ψ ( h β c) b f ψ 4 λ (1 β) b f ψ M w cd1 w cd1 w cd1 sd 2 λ (1 β) 2 f yd In queste condizioni l area diventa: A A sf sup sf inf = 761 mm 2 = 380 mm 2 Che sommate a quelle richieste dalla torsione forniscono: A = + = mm < mm sup inf (5φ16) A = + = mm < mm (3 16) φ