Precorsi: Introduzione naïve alla logica ed alla teoria degli insiemi. Carlo Collari, Lapo Dini, Daniele Angella

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1 Precorsi: Introduzione naïve alla logica ed alla teoria degli insiemi. Carlo Collari, Lapo Dini, Daniele Angella

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4 CAPITOLO 1 Introduzione Per poter seguire un corso universitario di matematica, uno studente, deve avere ben chiari alcuni concetti che, usualmente, vengono dati per fatti assodati e/o vengono introdotti in poco tempo e subito utilizzati. Una parte essenziale di questa categoria di concetti è costituita dalla logica di base (connettivi, quanticatori e tavole di verità etc.) e dalla teoria naïve degli insiemi (unione, intersezione, De Morgan etc.). Lo scopo di questa lezione è il riepilogo di (o l'introduzione a) questi argomenti. La trattazione verrà sviluppata nella maniera seguente. Si introdurranno i predicati e gli enunciati, i quanticatori, ed i connettivi. Vedremo poi le proprietà dei connettivi principali: distributività, associatività e relazioni tra i vari connettivi (De Morgan logico). Si discuterà poi la negazione di enunciati, la non commutatività dei quanticatori e la catalogazione (tacita) dei connettivi unari e binari. Inne, studieremo la possibilità di esprimere tutti i connettivi binari in funzione di due connettivi, e poi di uno solo; inne, vedremo come è possibile esprimere, tramite negazione, et, e quanticatore esistenziale, tutti i quanticatori e i connettivi, binari ed unari. Il tutto sarà correlato da esempi ed esercizi. Dopo la parte di logica si passerà alla teoria degli insiemi. Inizieremo con il concetto intuitivo di insieme, di estensionalità, e di inclusione, introducendo l'eguaglianza tramite la doppia inclusione. Proseguiremo poi introducendo unione ed intersezione, e studiando le loro proprietà (distributività, associatività ed elementi neutri); quindi, introdurremo la complementazione, la dierenza, e la dierenza simmetrica (enfatizzando le proprietà di gruppo della dierenza simmetrica, e di anello con l'intersezione). Inne, parleremo di unione ed intersezione di famiglie generiche di insiemi, di De Morgan, e dell'insieme delle parti. Saranno sviluppati esempi ed esercizi relativi agli argomenti trattati. 3

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6 CAPITOLO 2 Logica La lezione di oggi sarà divisa in due parti principali: Logica e Teoria degli Insiemi. Lo scopo principale sarà richiamare, per chi li abbia già visti, o introdurre, per chi invece li dovrà vedere, alcuni concetti base di queste due teorie. La trattazione avrà un impostazione naive: sarà cioè impostata in maniera non assiomatica, ma bensì intuitiva. Questi argomenti sono stati scelti per due motivi. Primo, il linguaggio di queste teorie si è gradualmente imposto in tutti gli ambiti della matematica. In secondo luogo, la terminologia non è l'unica cosa che è stata adottata in tutti gli ambiti: ogni teorema e denizione è parte fondamentale del bagaglio culturale di ogni matematico che si possa denire tale. 1. Predicati ed enunciati Iniziamo con il parlare di enunciati e predicati. Denizione 1. Un enunciato è una proposizione/aermazione sensata, cioè: o è vera o è falsa, ma non entrambe contemporaneamente. Una tale aermazione/proposizione è detta soddisfare il principio di bivalenza e il principio del terzo escluso. Esempio 2.1. Ecco alcuni esempi di enunciati: (1) Carlo è un go. (2) La luna è una palla di burro. (3) è un numero primo. (4) è il numero di telefono di Aleri. (5) Il pane nella dispenza è muto. Ecco alcuni non-enunciati: (1) A che ora si pranza? (2) Mangia! (3) Questa frase è falsa. 5

7 6 2. LOGICA (4) Il barbiere rade tutti e soli quelli che non si radono da soli. Non di tutti gli enunciati è facile stabilire il valore di verità. Anzi, potrebbe essere addirittura impossibile, in linea di principio. Ad esempio, consideriamo l'enunciato: un elettrone ha una data quantità di moto e si trova in un dato punto; per il principio di indeterminazione di Heisenberg, è impossibile determinare con precisione entrambi questi valori! Un altro esempio: tra una settimana piove è un'aermazione di cui non si può (mai) vericare la veridicità. Consideriamo ora, ad esempio, la frase x è primo. Questo è un enunciato? No, perché non è né vera né falsa, ma dipende da cos'è x. Chiaramente, abbiamo bisogno di denire un dominio (di denizione) della x: se x non è un numero o un'atleta, la frase è in generale priva di senso. Denizione 2. Aermazioni/proposizioni come quella riportata, dipendente cioè da una o più variabili, sono dette predicati se e solo se per ogni x scelta nel dominio di variazione questo è un enunciato. È da notare che, data una frase contenente un certo numero di variabili, per poter giudicare che si tratti di un predicato è necessario specicare un dominio di denizione. In caso non venga specicato, noi, implicitamente, assumeremo che le varibili stiano nel più grande dominio possibile per cui la frase sia sensata (nel senso della bivalenza). Esempio 2.2. (1) x e y sono sposati; (2) z mangia banane; Consideriamo le aermazioni: questi sono predicati se x e y sono scelti nel dominio degli essere umani, e z nel dominio degli animali. Un predicato sempre vero è una tautologia, mentre uno che è sempre falso è una contraddizione. 2. Quanticatori e connettivi 2.1. Quanticatori. Oltre alla valutazione in un punto qualsiasi del dominio di denizione, esiste un'altra maniera per trasformare predicati in enunciati. Questa passa per l'uso dei quanticatori : esiste, per ogni, ed esiste unico, detti, rispettivamente, quanticatori esistenziale, universale, e di unicità (uniqueness in inglese). I simboli con cui vengono usualmente indicati sono:,, e! (talvolta 1 ). Le variabili di un predicato che non sono quanticate vengono dette libere.

8 2. QUANTIFICATORI E CONNETTIVI 7 Esempio 2.3. Sia P(x, y) un predicato dipendente da x e y, ad esempio: nel luogo x, il giorno y piove, dove x varia nei luoghi della terra ed y tra i giorni dall'inizio dei tempi ad ora. Proviamo ad applicare i quanticatori appena visti. (a) x, P(x, y), tradotto: in ogni luogo della terra, il giorno y piove. (b) y, P(x, y), tradotto: esiste un giorno tale che nel luogo x piove. (c)! y, x, P(x, y), tradotto: esiste un unico giorno per cui piova in ogni punto della terra. Una domanda del tutto lecita sarebbe: si può scambiare l'ordine dei quanticatori? Consideriamo ad esempio questi due predicati. (d) x, y, P(x, y), tradotto: per ogni luogo, esiste un giorno in cui piove. (e) y, x, P(x, y), tradotto: esiste un giorno tale che piova in ogni luogo. Quasi certamente, il secondo è falso, mentre il primo è vero: non sono quindi equivalenti. Un'altra cosa che ci si può chiedere è cosa accade se invertiamo le variabili: anche in questo caso i risultati sono diversi. predicato. Prendiamo ad esempio il seguente (f) y, x, P(x, y), tradotto: per ogni giorno esiste un luogo in cui piove. Si ha che (f) è diverso dall'enunciato (d): infatti, se domani non piovesse in tutto il pianeta, l'enunciato (f) sarebbe falso, mentre il (d) rimarrebbe plausibilmente vero Negazione. Nell'ultimo esempio, abbiamo trovato un caso in cui il predicato (f) è falso ed il (d) è vero. Cosa sarebbe dovuto accadere per far sì che l'enunciato (d) fosse falso mentre l'(f) vero? Per capirlo andiamo a vedere cosa deve accadere perché l'enunciato (d) sia falso. Studiare quando un enunciato/predicato è falso è equivalente a studiare quando è vera la sua negazione. Denizione 3. Sia P un predicato; la sua negazione (o predicato opposto) P è un predicato vero esattamente quando P è falso. Ogni predicato è individuato dal suo opposto in maniera (bi)univoca; in altre parole, negando la negazione si aerma. Per gli enunciati e predicati elementari, cioè non ottenuti da predicati per quanticazione di variabili, la negazione è equivalente a piazzare un non davanti al verbo. Ad esempio:

9 8 2. LOGICA Qui piove, si nega come: qui non piove. Consideriamo, per semplicità, predicati univariati, ad esempio x, x è un montone ; la sua negazione è non tutti gli x sono montoni, ossia, c'è almeno un x che non è un montone. Quindi: similmente: Esempio 2.4. ( x, R(x)) è come x, R(x). ( x, R(x)) è come x, R(x). Ritorniamo al nostro esempio: x, y, P(x, y), tradotto: per ogni luogo esiste un giorno in cui piove. Possiamo considerare quest'enunciato come: neghiamolo: x, y, P(x, y), } {{ } ossia, x, Q(x); Q(x) ( x, Q(x)) è come x, Q(x) ; dobbiamo ora negare Q(x), ottenendo (Q(x)) è come ( y, P(x, y)) è come y, P(x, y). Quindi, in conclusione, la negazione di (d) è: x, y, P(x, y), tradotto: esiste un luogo dove ogni giorno non piove. Come si può ricavare, tramite applicazione successiva di questo ragionamento, una regola generale? Dato un predicato con un qualsiasi numero (nito) di quanticatori, la sua negazione si ottiene sostituendo gli esiste con i per ogni, i per ogni con gli esiste, e negando il predicato. Esempio 2.5. La negazione di è x, y, z, a, b, α, β, γ, δ, S (x, y, z, a, b, α, β, γ, δ) x, y, z, a, b, α, β, γ, δ, S (x, y, z, a, b, α, β, γ, δ) Connettivi. La negazione ci consente di costruire, a partire da un predicato P, un altro, P, legati dalla relazione seguente: P è vero solamente quando P è falso, e viceversa. Possiamo schematizzare questa aermazione in una tabella, detta tavola di verità:

10 2. QUANTIFICATORI E CONNETTIVI 9 P P V F F V Se invece avessimo due predicati in partenza, possiamo creare, a partire da questi, nuovi predicati. La cosa più semplice è usare una congiunzione, come ad esempio e (indicato con ) oppure o (indicato con ). Esempio 2.6. P: Carlo mangia la mela; Q: Roberta guarda la TV. P Q: Carlo mangia la mela e Roberta guarda la TV. P Q: Carlo mangia la mela o Roberta guarda la TV. Osservazione 2.1. Osserviamo che la o va intesa in senso inclusivo (vel ), e non esclusivo: in Matematica, la o esclusiva è chiamata aut e si indica con (talvolta con ). Proviamo a costruire le tavole di verità anche per queste congiunzioni: P Q P Q P Q P Q V V V V F V F F V V F V F V V F F F F F A sinistra della doppia sbarra verticale, scriveremo, per ogni riga, il valore di verità dei predicati di partenza, in maniera tale da coprire tutti i casi possibili. Nelle altre colonne, indicheremo il corrispondente valore di verità del predicato ottenuto. In altre parole, un predicato costruito con la congiunzione e è falso tutte le volte che almeno uno dei due è falso; mentre un predicato costruito con la congiunzione o è vero tutte le volte che almeno uno dei due è vero. Guardando le tavole, sappiamo decidere la veridicità di un predicato composto solo se conosciamo il valore di verità dei predicati elementari che la compongono. In particolare, per trarre da alcune aermazioni delle conclusioni logiche che siano vere necessitiamo di partire da proposizioni vere (la cui verità è data a priori). Nel seguito, considereremo uguali due connettivi aventi la stessa tavola di verità, e che quindi si comportano alla stessa maniera; per tale ragione verranno allora detti equivalenti. Ora abbiamo tre connettivi : e, che necessitano di due predicati di partenza (eventualmente uguali): connettivi di questo tipo sono detti connettivi binari; mentre ha bisogno solo di un predicato, e per questa ragione è detto connettivo unario. Osservazione 2.2. Notiamo che e sono commutativi, cioè P Q è equivalente a dire Q P.

11 10 2. LOGICA Qual è la relazione che lega i connettivi e con il connettivo? In particolare, come neghiamo predicati dove compaiono queste due congiunzioni? Esempio 2.7. P: Carlo mangia la mela; Q: Roberta guarda la TV. P Q: Carlo mangia la mela e Roberta guarda la TV. (P Q): Non è vero che Carlo mangia la mela e Roberta guarda la TV. ( P) ( Q): Carlo non mangia la mela o Roberta non guarda la TV. Notiamo che gli ultimi due predicati sono equivalenti, mentre nessuno dei due è equivalente al seguente: ( P) ( Q): Carlo non mangia la mela e Roberta non guarda la TV; infatti, se Carlo mangia la mela ma Roberta non guarda la TV, allora il predicato ( P) ( Q) è vero, mentre il predicato ( P) ( Q) è falso. In astratto: (2.1) (P Q) = ( P) ( Q) Verichiamo la non falsità della nostra aermazione scrivendo la tavola di verità di entrambe le frasi. P Q P Q (P Q) P Q ( P) ( Q) V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V Analogamente, si può vedere che: (2.2) (P Q) = ( P) ( Q) Ed ecco le tavole di verità: P Q P Q (P Q) P Q ( P) ( Q) V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V La (2.1) e la (2.2) vengono dette leggi di de Morgan. Osserviamo che sostituendo a P il predicato T, e S a Q nella (2.2), si ottiene la (2.1), a meno di negare entrambi i membri. Se non ne siete convinti provate a scriverlo esplicitamente, magari con un esempio. Si vede subito che le due congiunzioni e e o sono associative, cioè (P Q) R è equivalente a P (Q R), quindi possiamo denire un o ed un e per più predicati, come P Q R.

12 2. QUANTIFICATORI E CONNETTIVI 11 Oltre a o e a e, ci sono, in italiano, altre congiunzioni e si possono utilizzare per costruire nuovi predicati; un esempio è dato da se... allora.... Esempio 2.8. La moglie dice al marito Se passi dal fruttivendolo, allora compra le mele: se il marito torna a casa con le mele, la moglie sarà in ogni caso contenta, anche se il marito le ha comprate al supermercato e non dal fruttivendolo; non avrà modo di lamentarsi (o quasi... ) neanche se il marito torna senza mela ma si giustica dicendo di non essere passato davanti al fruttivendolo; se invece il marito torna dicendo di essere passato davanti al fruttivendolo ma di essersi dimenticato di comprare le mele... Esempio 2.9. P: Piove. Q: Prendo l'ombrello. P Q: Se piove, allora prendo l'ombrello. Q P: Se prendo l'ombrello, allora piove. Notate che P Q non è equivalente a Q P!! Potrebbe piovere senza che io prenda l'ombrello, allora il predicato P Q sarebbe falso, mentre Q P sarebbe vero. Partendo dall'esempio, proviamo a costruire la tavola di verità: P Q P Q Q P V V V V V F F V F V V F F F V V In altre parola, il predicato P Q è falso solo quando la premessa (o antecedente ) P è vera e la conclusione (o conseguente ) Q è falsa. Riuscireste a costruire il connettivo usando solo i connettivi,, e? E utilizzando solo due di essi? Possiamo unire i due connettivi in uno solo: il se e solo se ( ), che rappresenta contemporaneamente Q P e Q P. Esempio P: Piove. Q: Prendo l'ombrello. P Q: Piove se e solo se prendo l'ombrello. La tavola di verità del se e solo se è P Q P Q Q P [(P Q) (Q P)] = [P Q] V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V In altre parole, P Q è vera solamente quando P e Q hanno lo stesso valore di verità (cioè, sono entrambe vere, o entrambe false).

13 12 2. LOGICA : Per rispondere ad una domanda precedente, vediamo qual è il legame tra e [P Q] = [ P Q] Per convincersene, basta scrivere le tavole di verità! Possiamo dedurre quindi: [P Q] = [ P Q] = [ P Q] = [ Q P] = [ Q P] 3. Esercizi (1) Si verichi la distributività di rispetto a, cioè: [(P Q) R] = [(P R) (Q R)]. (2) Si verichi la distributività di rispetto a. (3) Vericare che i seguenti predicati siano tautologie: (a) P P (principio del terzo escluso) (b) (P P) (principio di non contraddizione) (c) ((P Q) P) Q (modus ponens) (d) ((P Q) Q) P (modus tollens) (e) (P (Q Q)) P (reductio ad absurdum ) (f) (P P) Q (ex falso quodlibet ) (g) ( P P) P (consequentia mirabilis ) (h) (P Q) ( Q P) (contronominale ) (i) ((P Q) P) Q (sillogismo disgiuntivo ) (j) ((P Q) (Q R)) ((P R)) (4) Vercare che i seguenti predicati non sono tautologie, e trovare un controesempio usando la tavola di verità (a) ((P Q) Q) P (negazione del conseguente) (b) ((P Q) P) Q (aermazione dell'antecedente) ricordate che in generale non sono vere, sono ragionamenti fallaci! (5) Scova tutte le tavole di verità dei connettivi unari, binari, e ternari. (a) Quante sono? (b) Quanti connettivi di questi tipi (compresi i banali) possiamo creare? (6) (a) Quanti sono i connettivi binari associativi?

14 3. ESERCIZI 13 (b) E quelli commutativi? Ce n'è almeno uno? (c) Quanti di questi soddifano de Morgan con e? Ce n'è almeno uno? (d) Quanti soddisfano De Morgan con o? (7) Vale De Morgan per tre predicati? E per quattro? (8) Provare che l'aermazione di Epimenide tutti i Cretesi sono bugiardi, noto a volte come paradosso del mentitore, non è un paradosso! (9) Deniamo il connettivo seguente: P Q P Q V V F V F F F V F F F V Ricavare da questo tutti i connettivi binari. (10) Deniamo il connettivo seguente: P Q P Q V V F V F V F V V F F V Ricavare da questo tutti i connettivi binari.

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16 CAPITOLO 3 Insiemi Denizione 1. Un insieme è un insieme di elementi. Osservazione 3.1. Questa non è una denizione! In generale non esiste una denizione di insieme ma viene denito attraverso i legami con altri oggetti e proprietà primitive (es.: appartenenza e insieme vuoto). Esempio 3.1. A = {x, y} è uguale a B = {x, x, y}. Mentre è diverso da C = {x, {y}}. Infatti gli elementi di A sono x e y, così come quelli di B. Gli elementi di C sono invece x e {y}. Gli elementi y e {y} sono diversi! Ciò che volevamo esprimere con questa pseudo-denizione è che un insieme è totalmente caratterizzato dai suoi elementi, o dalla loro assenza: in particolare, esiste un solo insieme vuoto (di solito indicato con ) caratterizzato dal non possedere elementi. Durante tutto il seguito (e per i prossimi anni) per dire x appartiene a X scriveremo x X. Denizione 2. Un sottoinsieme S di un insieme A è un insieme i cui elementi sono anche elementi di A. In genere si scrive S A. Esempio 3.2. (a) {1, 2, 6} è un sottoinsieme di {1, 2, 3, unicorno, 5, 6, 7, 645, pera}. (b) Nota che A, per qualunque insieme A. (c) 1 non è un sottoinsieme di {1, 2, 3, unicorno, 5, 6, 7, 645, pera}! (d) { } è un sottoinsieme dell'insieme {, palla, 12313}, ma non un suo elemento. In particolare, due insiemi sono uguali se e solo se sono uno contenuto nell'altro e viceversa: A = B se e solo se A B B A. 15

17 16 3. INSIEMI D'ora in avanti lavoreremo solamente con i sottoinsiemi di un insieme detto universo, che verrà indicato con Ω. Ci sono problemi con considerarare l'insieme di tutti gli insiemi, ad esempio il paradosso di Russell: per evitarlo ci piazziamo in un universo. Denizione 3. Dato un'insieme A chiamiamo insieme delle parti di A, indicato (A), l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A. Esistono due modi per dare un insieme: forma estensiva, che consiste nell'elencare uno per uno i suoi elementi, ed una forma intensiva, dove gli elementi sono espressi come elementi di un dato sottoinsieme di Ω che godono di una certa proprietà. Esempio 3.3. Ad esempio: X = {x R x 2 = 6358}, che è un modo carino per scrivere l'insieme vuoto. Ci sono tre principali vantaggi nell'utilizzare la denizione intensiva, della forma A = {x Ω P(x)}: non necessita della nitezza dell'insieme (dubito che qualcuno riesca a scrivere all'innito... ); non necessita della conoscenza (neppure formale) degli elementi del nostro insieme (anche se talvolta è utile sapere che esistono o che ne esiste almeno uno); si può ricavare da una denizione estensiva una intensiva, basta scrivere P(x) = ((x = x 1 ) (x = x k )). A partire da due insiemi A e B ne possiamo fare l'unione A B, che è l'insieme degli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi, ovvero: A B = {x Ω x A x B} oppure l'intersezione, cioè l'insieme degli elementi che stanno in entrambi, ovvero: A B = {x Ω x A x B} = {x A x B} Dalla denizione che abbiamo dato si nota la simmetria che c'è tra l'unione e l'intersezione tra insiemi e i connettivi o ed e tra predicati. Per gli insiemi valgono anche le leggi di De Morgan, ma prima dobbiamo denire un analogo della negazione; questa è la complementazione, che dà l'insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad A: C (A) = {x Ω x A}

18 Adesso possiamo scrivere De Morgan per insiemi: Teorema 4. Siano A, B, C tre insiemi. Allora valgono: (1) A B = B A (2) A B = B A (3) (A B) C = A (B C) (4) (A B) C = A (B C) (5) (A B) C = (A C) (B C) (6) (A B) C = (A C) (B C) (7) C (A B) = C (A) C (B) (8) C (A B) = C (A) C (B) 1. ESERCIZI 17 Osservazione 3.2. L'associatività ci permette di denire l'unione (rispettivamente, l'intersezione) tra un numero qualsiasi di insiemi. Un tentativo di generalizzazione la complementazione è la dierenza insiemistica, denita come: A \ B = {x A x / B}; in realtà questa non generalizza la complementazione, infatti: A C (B) = A \ B. 1. Esercizi (1) Dimostrate il Teorema 4. (2) Dimostrate De Morgan per unioni/intersezioni nite di insiemi. (3) Deniamo la dierenza simmetrica come: A B = (A \ B) (B \ A), Verica le seguenti proprietà: (a) è associativo; (b) esiste un elemento neutro E, cioè tale che, per ogni A, valga A E = A; (c) per ogni A, esiste un inverso, cioè un B tale che A B = E, dove E è l'elemento neutro. (Questo si può esprimere anche dicendo che ( (Ω), )) è un gruppo.) Inoltre, valgono anche: (a) è distributivo rispetto a ; (b) ammette un elemento neutro.

19 18 3. INSIEMI (Questo si può esprimere anche dicendo che ( (Ω),, )) è un anello.)