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1 Teoria dei giochi La teoria dei giochi si occupa in generale delle tecniche matematiche per analizzare situazioni in cui due o piu individui prendono decisioni che influenzeranno il proprio e l altrui benessere. Le situazioni che i teorici della Teoria dei giochi studiano non sono meramente ricreative come potrebbe erroneamente far pensare il termine gioco. Nel linguaggio di questa giovane scienza (si può datare un inizio di questa moderna teoria con i lavori di Zermelo del 1913,di Borel Von Neumann del 1918 e di Von Neumann e Morgenstein del 1944) il termine gioco si riferisce ad ogni situazione sociale che coinvolge due o più individui: i giocatori. I giocatori sono supposti sempre decisori razionali, cioè prenderanno decisioni tali da massimizzare i payoff della propria utilita attesa. Un esempio di comportamento che tende a massimizzare il proprio payoff, puo essere trovato nei modelli di selezione evolutiva. In un universo dove il disordine crescente è una legge fisica, gli organismi complessi (includendo gli uomini o piu in generale le organizzazioni sociali) possono sopravvivere solo se si comportano in un modo che tende a far aumentare le loro probabilita di sopravvivenza e di riproduzione. Allora un argomento di selezione evoluzionistica suggerisce che gli individui tendono a massimizzare il valore atteso di una qualche misura di sopravvivenza naturale e idoneità riproduttiva altrimenti vengono rimpiazzati (V. Smith 1982). In generale, massimizzare il payoff dell utilità attesa non è lo stesso che massimizzare il payoff monetario atteso, perché i valori dell utilità non sono necessariamente in dollari. Un individuo avverso al rischio aumenta di piu la suautilità attesa vincendo un dollaro quando è povero che vincendo lo stesso dollaro quando è ricco. Questa osservazione ci suggerisce che per molti decisori razionali, l utilità puo non essere una funzione lineare del valore monetario. La teoria dei giochi può essere vista come una estensione della Teoria delle Decisioni (al caso di 2 o piu decisori razionali), quindi per comprendere le idee fondamentali della TdG una persona dovrebbe incominciare a studiare la Teoria delle Decisioni. Le decisioni riempiono la nostra vita. è proprio la capacita di scegliere e di esprimere i nostri desideri che distingue la vita dell essere intelligente da quello delle forme inferiori. Ogni giorno prendiamo delle decisioni, ma alcune sono così poco importanti che ce ne dimentichiamo suito dopo (ad esempio, se mettere o no il sale nella minestra... ),ma alcune, ad esempio quelle che incontriamo nella nostra vita professionale, sono così importanti che noi facciamo un analisi accurata prima di prendere una decisione. 1

2 In cosa consiste questa analisi accurata? O meglio, chi è un buon decisore? Una volta avute le idee chiare di come deve essere un buon decisore, allora potremo essere in grado di appoggiareo criticare le decisioni di altri, in particolare dei nostri rappresentanti e dei nostri mandanti. Questo è il ruolo dei governi che prendono decisioni sul nostro benessere. Lo fanno nel miglior modo possibile? A volte dobbiamo delegare gli altri, e vorremmo essere certi che decidano bene quindi solo se sappiamo riconoscere un buon decisore possiamo essere certi di ciò. Uno degli scopi della Teoria delle Decisioni è studiare che cosa è importante sapere per essere un buon decisore. Faremo degli esempi provocanti : ESEMPIO 1 Una compagnia televisiva nazionale sta facendo una selezione per un festival internazionale. Sette giudici sono stati convocati e hanno ascoltato quattro canzoni che chiameremo semplicemente: A, B, C, D. Ciascun giudice classifica le canzoni in ordine di preferenza così da quattro punti alla prima scelta, tre punti alla seconda e così via... La canzone che avra ottenuto il totale piu alto di punti sarà la canzone vincente. Sembra che i giudici abbiano votato come in tabella 1: g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 A B C D Quindi la canzone C è quella vincente. Immediatamente gli autori della canzone A protestano, perchè la canzone D non doveva entrare nelle selezioni, infatti sussiste la regola che i cantautori dovrebbero essere amatori, ma gli scrittori della canzone D sono professionisti. La compagnia televisiva ammette che è così e che è stato fatto un errore: la canzone D dovrebbe essere squalificata. Ma qual è il problema? La canzone D, infatti è in fondo. 2

3 Ciascun giudice preferiva la vittoria per la canzone C invece che per la D. Così sembra che non ci sia stata alcuna ingiustizia, tuttavia gli autori della canzone A non sono soddisfatti. L argomento è che la canzone D doveva essere squalificata prima della classifica così i giudici avrebbero avuto solo tre canzoni da scegliere, cioè ciascun giudice avrebbe dato: 3 punti al primo posto 2 punti l secondo posto 1 punto al primo posto Supponendo che le preferenze rimangano quelle della tabella 1, le canzoni avrebbero ottenuto il seguente punteggio: A =15 B =14 C =13 così la canzone A sarebbe stata la vincitrice. Sembra quindi che gli autori della canzone A avessero motivo di protestare. Vediamo ora alcuni Problemi di decisione reale Gli esempi della vita reale, in generale, possono essere molto complicati, inoltre, molte volte gli obiettivi di un decisore possono essere in contraddizione: ad esmpio èimpossibile costruire un reattore nucleare minimizzando il suo costo di costruzione e massimizzando la sua sicurezza. Vediamo altri esempi: CONTROLLO NELLA BANCA DL SANGUE. Un ospedale ha una bana del sangue da cui desidera soddisfare ogni giorno le necessitá per le trasfusioni. Due sono i criteri importanti per valutare l efficienza di una politica di controllo: la mancanza di sangue e la scadenza. Capita una mancanza se una domanda per il sangue non può essere supplita dalle riserve della banca. Tali mancanze non sono così catastrofiche come potrebbero sembrare, perchè l ospedale può chiamare i sevizi di una banca del sangue regionale o anche portare il sangue dal donatore chiamato specificatamente per soddisfare una certa richiesta. Non di meno si va incontro a problemi di costo e di ritardo; il sangue non ha una scadenza indefinita, infatti dopo poche settimane si deteriora e non può essere usato a lungo. 3

4 D altra parte se la banca del sangue ne raccoglie in quantità superiori alle sue necessità, la successiva scadenza e distruzione sarebbero un significativo spreco di risorse. È ovvio che c è INCERTEZZA, perchè la domanda della quantità di sangue in ogni periodo non è conosciuta, sebbene le esigenze passate possano dare qualche informazione per il futuro. Questo è un problema decisionale. Altro esempio: DECISIONE DI POSIZIONARE UN AEROPORTO. È stata presa la decisione di costruire un aeroporto. Un governo dve dovrebbe scegliere di porre un nuovo aeroporto internazionale? In generale la scelta è limitata a pochi siti candidati per ragion di richiesta geografica. Dovranno essere evitate le montagne, i centri abitati, la vicinanza con altri aeroporti già esistenti, lughi con pericolose correnti d aria, eccetera... Il governo deve trovare un opportuno compromesso tra molti obiettivi spesso diametralmente opposti. Per minimizzare l inconveniente del viaggio, l aeroporto dovrebbe essere il posto più vicino possibile alla più grande città del paese, ma per salvalguardare la salute pubblica e inimizzare gli inconvenienti alla popolazione dovrebbe essere costruito il piú lontano possibile dalle grandi città. Ovviamente il governo dovrà minimizzare i costi di costruzione e di mantenimento,ancora vorràmassimizzare la capacità e desidererà costruire un aeroporto tale da aumentare il prestigio internazionale del paese. I progetti su un aeroporto non sono mai a breve termine e la loro costruzione richiede molti anni. È necessario sottolineare che ci sono varie incertezze? Come sarà la domanda in futuro per il lavoro aeroportuale? Come saranno in futuro i cambiamenti della crisi energetica? Questi potrebbero cambiare il costo drammaticamente e causare un veloce declino del traffico aereo. I voli diventeranno più sicuri e più tranquilli? Il prezzo del volo cambierà significativamente? L avvento del jet wide body con la sua capacità di portare 500 passeggeri in pochi minuti, non era prevista quando furono disegnati alcuni air-terminal negli ultimi cinquant anni... Ci sono quindi moltissimi fattori che contribuiscono all incertezza di scegliere un luogo piuttosto che un altro. gli aeroporti e i loro siti sono stati studiati a lungo in letteratura. La comunicazione Roskill del Terzo Aeroporto di Londra ha pubblicato le delibere in 9 volumi! (cfr Keeney-Raiffa). 4

5 PROBLEMI DECISIONALI(S.French) Esempio 1 INDIPENDENZA DELLE PREFERENZE Supponiamo che Tizio stia scegliendo per il suo pranzo da un menù limitato e a prezzo fisso, può avere: Come primo: PUDDING (di manzo e rognone tritati), Oppure INSALATA DI PROSCIUTTO. Come secondo: ROTOLO DI MARMELLATA Oppure GELATO. Tizio decide attribuendo un punteggio ai singoli piatti, il totale gli permetterà di compiere la scelta. I punti che assegna sono i seguenti: PUDDING 10 punti INSALATA DI PROSCIUTTO 8 punti ROTOLO 9 punti GELATO 2 punti Così i quattro pasti hanno il seguente totale: PUDDING + ROTOLO 10+9=19 punti PUDDING + GELATO 10+2=12 punti INSALATA + ROTOLO 8+9=17 punti INSALATA + GELATO 8+2=10 punti. Dal punteggio sembrerebbe che Tizio preferisca mangiare pudding e rotolo di marmellata, ma è proprio così? Anche se ha un debole per la crosta che si forma intorno al pudding o sul rotolo di marmellata, in realtà non è abbastanza goloso da fare un pranzo così pesante. allora questo metodo non funziona? E quando potrebbe funzionare? La ragione per cui il totale dei punti non esprime più le sue preferenze per un pasto completo, è che si suppone che le prefernze su un secondo piatto siano indipendenti da quele per un primo piatto. Naturalmente non è così. SOLO QUANDO LE PREFERENZE SONO INDIPENDENTI SI POS- SONO SOMMARE I VALORI 5

6 Esempio 2: MIN-MAX REGRET Un associazione di genitori e insegnanti sta cercando di raccogliere fondi per la scuola quindi deve organizzare qualcosa. Ci sono due alternative tra cui la commisione deve decidere: 1- Un giorno di sport 2- Una festa in giardino. La riuscita dipenderá dal tempo (per semplicitá indichiamo con SOLE oppure PIOGGIA). Allora le possibilità sono date dalla seguente tabella: Lire PIOGGIA SOLE GIORNATA DI SPORT FESTA IN GIARDINO TAB.1 Il responsabile suggerisce che si dovrebbe evitare di rischiare, perchè il denaro risparmiato va a beneficio di altro. Osserva che una giornata di sport gli garantisce almeno Lit85, mentre la festa Lit75, allora promuove la giornata di sport (MAX-MIN). Prima di votare, il tesoriere ricorda che è possibile assicrarsi contro il brutto tempo, infatti pagando Lit10, l assicurazione paga Lit50 in caso di pioggia. Allora la tabella delle possibili entrate diventa la seguente: Lire PIOGGIA SOLE GIORNATA SPORT FESTA IN GIARDINO TAB.2 Il responsabile suggerisce ora la festa, perché questa gli garantisce un entrata almeno di Lit.115 (MAX (110,115) =115). è evidente che il responsabile non ama il rischio! Voi avreste fatto fatto così? A questo punto, la segretaria (che è molto attenta) commenta che non c è alcuna differenza tra le due tabelle, infatti, in entrambi i casi, in una giornata di pioggia, la giornata di sport porta a Lit.10 in più rispetto alla festa e in una giornata di sole, la giornata di sport porta a Lit.30 in meno rispetto alla giornata di festa. Allora si puó consigliare la gfiornata di sport in base alla Tabella 1 e la festa in base alla Tabella 2. Siete d accordo? Che cosa proporreste? Si potrebbe considerare la perdita di opprtunità o il rimpianto di una opzione 6

7 (cioè l ammontare di denaro per cui l entrata è minore dell entrata della migliore alternativa). Consultiamo allora la tabella 3 seguente: Lire PIOGGIA SOLE MAX RIMPIANTO GIORNATA DI SPORT FESTA TAB. 3 MIN-MAX REGRET= MIN (30,10) = 10 Il responsabile considera nuovamente le alternative come in tabella 3, dove sono mostrati i rimpianti e non le entrate e propone di organizzare una festa perchè ha il più piccolo tra i massimi rimpianti (MIN-MAX REGRET), ciò gli garantisce che il rimpianto non supera Lit.10. Siete d accordo con il responsabile? A questo punto interviene il tesoriere per chiedere se i votanti sono sicuri o no e subito si realizza che ci sono ben 4 e non 2 sole opzioni. Osseviamo quindi la seguente tabella dove compaiono le entrate e tra parentesi i rimpianti per tutte le 4 opzioni ENTRATA IN Lit. (RIMPIANTO) PIOGGIA SOLE MAX RIMPIANTO SPORT (NO ASSICUR.) 85 (40) 120 (30) 40 FESTA (NO ASSICUR.) 75 (50) 150 (0) 50 SPORT (CON ASSICUR.) 125 (0) 110 (40) 40 FESTA (CON ASSICUR.) 115 (10) 140 (10) 10 TAB: 4 MIN-MAX REGRET = MIN (40,50,40,10) =10 Da queste considerazioni, il responsabile propone di organizzare una festa con l assicurazione contro la pioggia. L opzione viene approvata. Questo metodo è chiamato MIN-MAX REGRET perchè ha lo scopo di scegliere l opzione che minimizza il massimo rimpianto. Vi sembra un metodo valido? Facciamo alcune osservazioni per mettere in luce che non è così razionale come apparentemente sembra. Supponiamo che, per qualche motivo, l assicurazione non sia disposta ad assicurare la scuola contro la perdita dovuta alla pioggia. L associazione deve allora organizzare la giornata di festa o di sport senza assicurazione. Quando il tesoriere telefona al responsabile chiedendo cosa deve fare, questo suggerisce che non c é tempo per riunire la commissione, ma è propenso a prendere una decisone in base al criterio del MIN-MAX REGRET. 7

8 Osserva la tabella 4 e decide per la giornata di sport, perchè ha il più piccolo tra i minimi rimpianti, ma allora il tesoriere osserva che guardando alla tabella 3 è meglio organizzare una festa. A chi dareste ragione? Perchè? 8

9 PROPOSIZIONE. Siano f, g : X R; esse rappresentano lo stesso preordine in X se e solo se esiste una funzione φ : f(x) g(x) strettamente crescente e surgettiva tale che g = φ f. In altre parole, la proposizione precedente ci dice che le rappresentazioni di un preordine oppure sono uniche a meno di una variazione di scala strettamente crescente. Un indicazione di come la precedente proposizione ci permette di valutare il significato o la validità di una certa analisi è data dal seguente esempio. Esempio. La UGA (University Grants Authority) di una certa cittá ha la responsabilità di suddividere le risorse alle due università dello stato che hanno lo stesso numero di studenti. È stato stabilito di suddividere le risorse in relazione alla qualità accademica nelle prove di ammissione: il problema è come misurare la qualità. Gli studenti di questa città fanno un solo esame di ammissione che classifica la loro abilità in cinque gradi: A (più alto), B, C, D, E. Numericamente possiamo tradurli in punteggio: A = 5 punti, B = 4 punti, C = 3 punti, D = 2 punti, E = 1 punto. Inoltre si suggerisce che le risorse devono essere suddivise in rapporto al punteggio medio ottenuto dallo studente ammesso all università. La tabella seguente dà la proporzione degli studenti in rapporto alla votazione. Proporzione degli studenti ammessi in base al grado. grado Univ.1 Univ.2 A 5% 30% B 65% 5% C 5% 25% D 5% 35% E 20% 5% La media dei punti ottenuti dagli studenti ammessi è: università 1 : = 3.2 università 2 : = 3.2 poichè , l università 1 riceverà piú denaro dell università 2. Supponiamo ora che la UGA usi un altro metodo: si potrebbero usare il minimo voto necessario per aver ottenuto ciascun grado nell esame finale; allora i gradi dovrebbero essere tradotti numericamente così: A B C D 90punti 75punti 65punti 50punti 9

10 E 30punti. Allora, calcolando la media si ha: università 1: = 65, università 2: = 66; in questo modo l università 2 riceve più soldi. allora sembra che la suddivisione delle risorse dipenda dalla scelta abbastanza arbitraria della scala numerica che rappresente l esito degli esami. Se UGA vuole il punteggio per rappresentare la qualità accademica di uno studente solo per riflettere i gradi ottenuti nell esame finale alloa devono rappresentare le loo preferenze tra gli studenti con una funzione a valori ordinali. Tali funzioni sono uniche a meno di trasformazioni crescenti. Allora due funzioni ordinali equivalenti sono: V (A) = 5, V (B) = 4, V (C) = 3, V (D) = 2, V (E) = 1 W (A) = 90, W (B) = 75, W (C) = 65, W (D) = 50, W (E) = 30. Queste sono in relazione per mezzo della funzione strettamente crescenteφ: w(.) = φ[v(.)] dove φ é tale che φ(5) = 90, φ(4) = 75, φ(3) = 65, φ(2) = 50, φ(1) = 30. Allora abbiamo già un esempio che dimostra come l ordine del valor medio di v su un gruppo e su un altro gruppo non é necessariamnte preservato con una trasformazione strettamente crescente φ. La conclusione che noi suggeriam è la seguente: se UGA vuole suddividee le risorse in base ai criteri di qualità accademica degli studenti ammessi, deve fare più attenzione nel definire la qualità accademica. Cioé in generale, se A = {a i : i = 1,..., n} é un insieme di n oggetti, se noi consideriamo le somme ni=1 λ i v(a i ) e n i=1 µ i v(a i ) (con λ i eµ i arbitrari), allora ni=1 λ i v(a i ) n i=1 µ i v(a i ) non implica che ni=1 λ i φ[v(a i )] n i=1 µ i φ[v(a i )] Per tradurre l esempio in questa forma, basta considerare λ i eµ i come le percentuali di studenti che raggiungono gradi differenti nelle università 1, 2. Una somma del tipo n i=1 λ i v(a i ) é nota come combinazione lineare delle 10

11 v(a i ). Quanto esposto sopra dimostra che l ordine di due combinazioni lineari non si conserva sotto trasformazioni strettamente crescenti. Osservazione. Si può pensare he UGA non esprima preferenze tra studenti quando li classifica in rapporto alla loro qualità accademica. Tuttavia sostenere che uno studente è meglio di un altro accademicamente è un giudizio molto simile ad un giudizio di preferenze. 11