TEORIA DEL FUNZIONALE DELLA DENSITÀ

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "TEORIA DEL FUNZIONALE DELLA DENSITÀ"

Transcript

1 Università di Torino Corso di Studi in Scienza dei Materiali Laurea Magistrale in Scienza dei Materiali A. A TEORIA DEL FUNZIONALE DELLA DENSITÀ Appunti del corso Bartolomeo Civalleri [appunti aggiornati al September 16, 2014] 1

2 Premessa Queste note richiamano gli argomenti svolti nel modulo di Teoria del Funzionale della Densitá del corso opzionale di Complementi di Scienza dei Materiali Computazionale per la Laurea Magistrale in Scienza dei Materiali presso l Università di Torino. NOTA: Gli appunti sono in continuo aggiornamento e quindi alcuni capitoli possono non essere completi o in fase di revisione. Le figure sono state rimosse per evitare problemi di copyright (contattare il docente) Testo di riferimento: Koch, W., Holthausen, M.C.; A Chemist s Guide to Density Functional Theory, Wiley-VCH, Weinheim, 2000 Altri testi consultabili per approfondimenti sono: Parr, R.G; Yang, W. Density Functional Theory of Atoms and Molecules, Oxford University Press, NY, 1989 Dreizler, R.M.; Gross, E.K.U. Density Functional Theory: An Approach to the Many- Body Problem; Springer-Verlag, Berlin, 1990 Gill, P.W.M.; Density Functional Theory (DFT), Hartree-Fock (HF), and the Selfconsistent Field, in Encyclopedia of Computational Chemistry, Schleyer, P.v.R.; Allinger, N.L.; Clark, T.; Gasteiger, J.; Kollman, P.A.; Schaefer III, H.F.; Schreiner, P.R. (eds.); Wiley, Chichester, 1998, vol. A, pp

3 Contents 1 Introduzione Dalla funzione d onda alla densità elettronica Un esempio semplice: il modello di Thomas-Fermi Teoremi di Hohenberg-Kohn Teorema I: la densità come variabile base Teorema II: principio variazionale Il problema della v- e N-rappresentabilità Riformulazione di Levy-Lieb: la ricerca-vincolata Estensioni Sistemi con polarizzazione di spin Dipendenza dalla temperatura e ensemble statistici Dipendenza dalla densità di corrente Dipendenza dal tempo Matrici densità e buca di scambio e correlazione Matrici densità e operatore densità Matrici densità ridotte Matrici densità spinless Densità di paia Buca di scambio-correlazione La buca di Fermi La buca di Coulomb Esempi Approccio di Kohn-Sham Sistema di elettroni non interagenti Funzionale di scambio e correlazione ed equazioni di Kohn-Sham Discussione Significato delle autofunzioni di Kohn-Sham Significato degli autovalori di Kohn-Sham Significato del potenziale di XC Nota su scambio esatto e funzionale di scambio e correlazione Connessione adiabatica Esempi

4 5 Funzionali di scambio e correlazione La scala di Giacobbe (Jacob s Ladder) Funzionali di scambio e correlazione ibridi Funzionali ibridi globali Funzionali ibridi di tipo Range-Separated (RSH) Metodi doppio-ibridi (Double-Hybrids) Metodo B2-PLYP (S. Grimme JCP 124 (2006)034108) Alcune note schematiche sulla costruzione di un funzionale Esempi Funzionali locali e correzioni per il gradiente da GEA (GGA) Implementazione dei metodi DFT Implementazione dei metodi DFT Valutazione dei metodi DFT 60 A Sul concetto di funzionale e derivata di un funzionale 62 A.1 Funzionale e derivata funzionale A.2 Formula di Eulero A.3 Minimo di un funzionale B PBE s type exchange functionals and functional derivatives 69 C B97-like exchange-correlation functional and functional derivatives 73 4

5 Chapter 1 Introduzione 1.1 Dalla funzione d onda alla densità elettronica Consideriamo l approccio tradizionale (o standard) ai metodi della meccanica quantistica incentrato sull uso come variabile base della funziona d onda. Per una molecola con N elettroni si deve risolvere l equazione di Schrödinger ĤΨ = EΨ, dove l operatore Hamiltoniano elettronico ha l espressione Ĥ elec = 1/2 N 2 i i N i M A Z A r ia + N i N j>i 1 r ij + M A M B>A Z A Z B R AB (1.1) dove r ia = r i R A, r ij = r i r j e R AB = R A R B. Ĥ elec può essere riscritto evidenziando la dipendenza da un potenziale esterno, V ext, rappresentato dall interazione con i nuclei atomici, v(r i ) = M Z A A ria, quindi Ĥ elec = 1/2 N 2 i i N v(r i ) + i N i N j>i 1 r ij (1.2) Dalle relazioni (1.1) e (1.2) risulta che Ĥelec è completamente definito quando sono noti: 1. il numero di elettroni, N 2. il potenziale esterno, V ext, che a sua volta è definito da carica nucleare, Z A posizione dei nuclei, R A Dato l operatore Ĥ (tralasciamo l indicazione elec) è possibile risolvere l equazione di Schrödinger e ottenere la funzione d onda e l energia. Per fare questo siamo aiutati da un importante strumento: il principio variazionale, che stabilisce che esiste quindi una relazione funzionale tra E e Ψ Ψ tr Ĥ Ψ tr = E tr E 0 = Ψ 0 Ĥ Ψ 0 (1.3) E = E[Ψ] 5

6 L energia è un funzionale della funzione d onda. Possiamo esprimere il principio variazionale anche come E = min Ψ N E[Ψ] = min Ψ Ĥ Ψ = min Ψ T e + V ext + V ee Ψ Ψ N Ψ N dove Ψ N significa che si ricerca la Ψ tra tutte le funzioni d onda N-elettroniche fisicamente accettabili (continue, con derivate continue e di quadrato integrabile - vedere primo postulato della QM) Ad esempio per il metodo Hartree-Fock si ha E = min Φ Ĥ Φ = min E[Φ] Φ N Φ N dove il minimo si ottiene ricercando il miglior set di spinorbitali che definiscono il determinante di Slater, Φ. Quindi, mettendo insieme tutte queste osservazioni possiamo dire che dati {N, Z A, R A } questi definiscono l operatore hamiltoniano che attraverso la soluzione dell equazione di Schrödinger determinano Ψ e l energia, E. Possiamo indicare questo con Otteniamo, allora, che {N, Z A, R A } = Ĥ = Ψ = E E = E[N, V ext ] dove si evidenzia che l energia dipende dal numero di elettroni e dal potenziale esterno. La relazione funzionale scritta sopra non vale solo per l energia, ma per qualsiasi altra osservabile. Il valore di aspettazione per un osservabile è dato infatti da O = Ψ Ô Ψ. Anche la densità elettronica, ρ(r), si può ottenere da Ψ come ρ(r 1 ) = N Ψ(x 1, x 2,..., x N ) 2 ds 1 dx 2 dx N questa è la probabilità di trovare uno qualsiasi degli N elettroni nell elemento di volume dr 1 con spin arbitrario (gli altri N 1 elettroni hanno posizione e spin arbitrari). ρ(r) è più propriamente una densità di probabilità. La densità elettronica, ρ(r), ha una serie di importanti proprietà ρ(r) è positiva ρ(r) dipende dalle sole variabili spaziali: ρ(x, y, z) ρ(r) svanisce all infinito: ρ(r ) = 0 integrata dà il numero di elettroni totale: ρ(r 1 )dr 1 = N Inoltre, ρ(r) è un osservabile fisica, ottenibile da esperimenti di diffrazione di raggi X presenta dei massimi solo in corrispondenza della posizione dei nuclei, R A 6

7 sui nuclei è presente una cuspide, conseguenza della singolarità nel termine Z A r ia dell hamiltoniano per r ia 0. Questa cuspide dipende dalla carica nucleare attraverso la relazione [ ] lim r ia 0 r + 2Z A ρ(r) = 0 dove ρ(r) è la media sferica di ρ(r) ρ(r) = 1 π 2π ρ(r) sin θdθdφ 4π 0 0 La condizione di cuspide può ugualmente essere espressa come 2Z A = ln ρ(r) ri =R r A ia La relazione sopra è facilmente verificabile nel caso di un atomo (ad esempio, si provi ( come esercizio a verificarlo per l atomo di idrogeno per il quale Ψ 1s = 1 Z ) 3/2 π 1/2 a e Z r a ). Nel caso molecolare la densità elettronica è mediata sfericamente nell intorno della posizione dei nuclei, R A. decade con un andamento esponenziale asintotico per grandi distanze dai nuclei come dove I è il potenziale di ionizzazione ρ(r) exp[ 2 2I r ] Quindi ρ(r), come Ψ, contiene tutti gli ingredienti necessari per definire l operatore hamiltoniano: N, Z A, R A ; e di conseguenza tutte le proprietà molecolari. Si può scrivere ρ(r) = {N, Z A, R A } = Ĥ = Ψ = E Possiamo allora affermare che l energia è un funzionale della densità elettronica e vale il seguente principio variazionale E = E = E[ρ(r)] min E[ρ] ρ N,V ext dove ρ N, V ext indica che la ricerca va fatta su tutte le ρ accettabili dal punto di vista fisico e cioè che integrate diano il numero totale di elettroni, N, e che definiscano univocamente il potenziale esterno, V ext. Questi due risultati corrispondono ai due teoremi di Hohenberg-Kohn. Il primo stabilisce l esistenza del funzionale, E[ρ], e il secondo definisce un principio variazionale. 7

8 1.2 Un esempio semplice: il modello di Thomas-Fermi I primi tentativi di usare la densità elettronica come variabile base risalgono in realtà alle origini della meccanica quantistica. Infatti, nel 1927, Thomas e Fermi in modo indipendente, proposero un semplice modello meccanico-statistico della struttura elettronica degli atomi. In pratica il modello di Thomas-Fermi ha un interesse prevalemtemente storico con scarsa utilità concreta, ma è da considerarsi il primo esempio di quella che diventerà la teoria del funzionale della densità. Thomas e Fermi considerano un sistema ideale di elettroni non interagenti, cioè un gas uniforme di elettroni non interagenti. L energia del sistema in esame dipenderà quindi esclusivamente dall energia cinetica degli elettroni. Anche se l assunzioni fatte sono molto drastiche è possibile dimostrare che per tale sistema l energia dipende solamente dalla densità elettronica ρ(r). Dividiamo lo spazio in piccoli cubetti (celle) ognuno di lato l e volume V = l 3, ognuno contenente un numero fissato di elettroni N (che può essere diverso da cella a cella). Assumiano quindi che gli elettroni in ogni cella si comportino come particelle fermioniche indipendenti a T = 0K e che le celle siano tra loro indipendenti. I livelli energetici delle particelle in una buca di potenziale tridimensionale infinita sono dati da ɛ(n x, n y, n z ) = h2 8ml 2 (n2 x + n 2 y + n 2 z) = h2 8ml 2 R2 dove n x, n y, n z = 1, 2, 3,... Per numeri quantici elevati, cioè per grandi valori di R, il numero di livelli energetici con energia minore di ɛ può essere approssimato dal volume di un ottante di una sfera di raggio R nello spazio (n x, n y, n z ). Questo numero è ( ) 4πR 3 ( ) 8ml 2 3/2 ɛ (1.4) Φ(ɛ) = = π 6 h 2 Il numero di livelli energetici tra ɛ e ɛ + δɛ è quindi ( ) 8ml 2 3/2 ɛ 1/2 δɛ + O((δɛ) 2 ) (1.5) g(ɛ) ɛ = Φ(ɛ + δɛ) Φ(ɛ) = π 4 h 2 dove la funzione g(ɛ) è la densità degli stati con energia ɛ. Per calcolare l energia totale di una cella con N elettroni, occorre conoscere la probabilità di occupazione dello stato con energia ɛ che indichiamo con f(ɛ). Questa è data dalla distribuzione di Fermi-Dirac 1 f(ɛ) = (1.6) 1 + e β(ɛ µ) dove β = 1 gradino k B T e k B è la costante di Boltzmann. A T = 0K la?? si riduce alla funzione f(ɛ) = 1, ɛ < ɛ F (1.7) f(ɛ) = 0, ɛ > ɛ F (1.8) con β, dove ɛ F è l energia di Fermi. Tutti gli stati con energia minore di ɛ F sono occupati mentre quelli con energia maggiore sono non-occupati. 8

9 Sommando i contributi dovuti ai diversi stati energetici, si ricava l energia totale degli elettroni nella cella E = 2 ɛf(ɛ)g(ɛ)dɛ = 4π ( 2m h 2 ) 3/2 l 3 ɛ F 0 ɛ 3/2 dɛ (1.9) ( = 8π 2m ) 3/2 5 h l 3 ɛ 5/2 2 F dove il fattore 2 indica che ogni livello è doppiamente occupato da un elettrone con spin α e un altro con spin β. L energia di Fermi è legata al numero di elettroni N nella cella attraverso la formula N = 2 f(ɛ)g(ɛ)dɛ = 8π 3 Eliminando ɛ F dalla 1.9 usando la 1.10 si ricava ( 2m h 2 E = 3π ( ) 2/3 ( 5 Nɛ F = 3h2 3 N l 3 10m 8π l 3 ) 3/2 l 3 ɛ 3/2 F (1.10) ) 5/3 (1.11) L equazione 1.11 è la relazione tra l energia cinetica totale e la densità elettronica ρ = N/l 3 = N/V per ogni cella nello spazio. (Notare che celle diverse possono avere valori diversi di ρ.) Sommando i contributi da tutte le celle si ottiene l energia cinetica totale che in unità atomiche diventa T T F [ρ] = C F ρ 5/3 (r)dr (1.12) dove C F = 3 10 (3π2 ) 2/3 = (1.13) ed è stato considerato il limite per V 0 con ρ = N/ V = ρ(r) con valore finito per passare da una somma ad un integrale. Questo è il famoso funzionale energia cinetica di Thomas-Fermi che fu applicato allo studio degli elettroni negli atomi. Nota: in questa approssimazione è stato assunto che le proprietà elettroniche siano determinate da funzionali della densità elettronica che localmente si rifanno ad un sistema elettronico omogeneo. Questa assunzione è alla base di quella che vedremo essere l approssimazione locale dei funzionali della densità (local density approximation, LDA). Se al contributo cinetico dato dalla 1.12 si sommano le energie elettrostatiche classiche di attrazione elettrone-nucleo e repulsiva elettrone-elettrone (trascurando i contributi di scambio e correlazione) si ottiene per un atomo l energia espressa solo in termini della densità elettronica E T F [ρ(r)] = C F ρ 5/3 (r)dr Z r ρ(r)dr ρ(r1 )ρ(r 2 ) r 1 r 2 dr 1dr 2 (1.14) Questo è il funzionale energia totale nella teoria atomica di Thomas-Fermi. Per le molecole l espressione sopra può essere opportunamente modificata. 9

10 Si può assumere allora che per lo stato fondamentale di un atomo la densità elettronica minimizza il funzionale E T F [ρ(r)] soggetto al vincolo N = N[ρ(r)] = ρ(r)dr (1.15) dove N è il numero totale di elettroni nell atomo. Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, la densità elettronica dello stato fondamentale deve soddisfare il principio variazionale ( )} δ {E T F [ρ] µ T F ρ(r)dr N = 0 (1.16) che porta all equazione di Eulero-Lagrange µ T F = δe T F [ρ] δρ(r) = 5 3 C F ρ 2/3 (r) φ(r) (1.17) dove φ(r) è il potenziale elettrostatico nel punto r generato dal nucleo e dall intera distribuzione elettronica φ(r) = Z r ρ(r 2 ) r r 2 dr 2 (1.18) L equazione di Eulero-Lagrange può essere risolta insieme al vincolo per ricavare la densità elettronica che inserita nella 1.14 permette di ottenere l energia dello stato fondamentale. Il modello di Thomas-Fermi può essere esteso ad un gas di elettroni integragenti includendo i contributi di scambio (Dirac-Slater, TFD)[3, 4] e correlazione (Wigner, TFDW)[5] o per tenere conto di effetti di non omogeneità del gas di elettroni (Weizsacker, Kirzhnitz, TFW)[6,?]. La crudezza delle approssimazioni del modello lo rendono inaccurato per la descrizione di atomi e molecole ed è stato dimostrato non essere in grado nè di riprodurre la struttura a guscio degli atomi nè di dare alcuna legame tra gli atomi in una molecola [7]. 10

11 Chapter 2 Teoremi di Hohenberg-Kohn La formulazione moderna della teorià del funzionale della densità ha avuto origine con il famoso articolo di P. Hohenbger e W. Kohn (HK) del 1964[8]. Gli autori dimostrarono che un ruolo chiave può essere assegnato alla densità di particelle per lo stato fondamentale di un sistema multi-corpi. La densità diventa quindi la variabile base per la descrizione del sistema in quanto tutte le proprietà osservabili possono essere considerate funzionali unici della densità dello stato fondamentale. A differenza da quanto visto per il modello di Thomas-Fermi, l approccio di Hohenberg e Kohn è di formulare la teoria del funzionale della densità come una teoria esatta per un sistema multicorpi. A fini del corso, noi consideriamo un sistema di multielettronico a nuclei fissi descritto dall hamiltoniano N N N N Ĥ elec = 1/2 2 1 i v(r i ) + (2.1) r ij i ma la teoria è del tutto generale e si applica ad un sistema di particelle (fermioni o bosoni) soggette all azione di un potenziale esterno V ext (r). La formulazione di basa su due teoremi fondamentali. 2.1 Teorema I: la densità come variabile base Teorema I: Per qualsiasi sistema di particelle interagenti soggetto all azione di un potenziale esterno V ext (r), il potenziale V ext (r) è determinato unicamente, a meno di una costante, dalla densità di particelle nello stato fondamentale, ρ 0 (r). Corollario Dato che l hamiltoniano è completamente definito, eccetto che per uno shift di energia, ne consegue che sono anche definite le funzioni d onda multi-particelle per tutti gli stati (fondamentale ed eccitati). Perciò tutte le proprietà del sistema sono completamente determinate data la sola densità dello stato fondamentale ρ 0 (r). i i j>i Dimostrazione: 11

12 Consideriamo un sistema di multielettronico il cui la funzione d onda Ψ 0 dello stato fondamentale sia non degenere. (Nota: l estensione al caso degenere è facile, ma vedremo più avanti che è possibile generalizzare i teoremi di HK in una formulazione che vale per stati degeneri e non degeneri). L hamiltoniano 2.1 può essere scritto in modo conciso come Ĥ = T + V ext + V ee La dimostrazione intuitiva vista in precedenza che l energia è un funzionale della densità elettronica può essere formalizzata in tre passaggi: A. Esiste una corrispondenza biunivoca tra il potenziale esterno V ext (r) e la funzione d onda Ψ 0. Come già sottolineato, definire V ext (r) corrisponde a definire Ĥ e quindi la funzione d onda Ψ che soddisfa Ψ 0 Ĥ Ψ 0, con E 0 energia dello stato fondamentale. Dato V ext (r), la funzione d onda Ψ 0 è univocamente definita. Se così non fosse, sarebbe possibile avere due potenziali diversi V ext (r) e V ext(r), che differendo tra loro per più di una costante V ext (r) V ext(r) cost (2.2) (potenziali del tipo V ext (r) = V ext(r) + cost sono considerati equivalenti) danno origine alla stessa funzione d onda Ψ. Per dimostrare che questo non è vero, partiamo dalle corrispondenti equazioni di Schrödinger si ha Ψ Ĥ Ψ = Ψ T + V ext + V ee Ψ = E 0 e se fosse Ψ = Ψ per sottrazione si avrebbe Ψ Ĥ Ψ = Ψ T + V ext + V ee Ψ = E 0 ( V ext V ext) Ψ = (E 0 E 0) Ψ (2.3) Dato che V ext e V ext sono potenziali moltiplicativi, la 2.3 porterebbe a V ext V ext = E 0 E 0 = E(cost) in contraddizione con la 2.2. Questo dimostra quindi V ext Ĥ Ψ B. Esiste una corrispondenza univoca tra Ψ 0 e ρ(r). Questa relazione è implicita nella definizione di ρ ρ(r) = N Ψ(x 1, x 2,..., x N ) 2 ds 1 dx 2 dx N e quindi possiamo scrivere Ψ = ρ(r) C. Alla densità elettronica ρ(r), che corrisponde a uno stato fondamentale non degenere, corrisponde univocamente un potenziale esterno V ext (r). Lo si dimostra per assurdo. Siano V ext (r) e V ext(r) due potenziali diversi, tali che V ext (r) V ext(r) + cost, cui corrispondono le hamiltoniane Ĥ e Ĥ e quindi le due autofunzioni per lo stato fondamentale Ψ 0 e Ψ 0 12

13 che per quanto dimostrato prima (A) sono diverse. Supponiamo però che Ψ 0 e Ψ 0 definiscano la stessa densità di carica ρ(r). Per il teorema variazionale, dato che Ψ 0 Ψ 0, ed essendo lo stato fondamentale non degenere, vale E 0 = Ψ 0 Ĥ Ψ 0 < Ψ 0 Ĥ Ψ 0 ma anche da cui E 0 = Ψ 0 Ĥ Ψ 0 < Ψ 0 Ĥ Ψ 0 Ψ 0 Ĥ Ĥ Ψ 0 < Ψ 0 Ĥ Ĥ Ψ 0 dato che le hamiltoniane differiscono solo per il potenziale esterno si ottiene Ψ 0 V ext V ext Ψ 0 < Ψ 0 V ext V ext Ψ 0 che si può scrivere come ρ(r)[v ext (r) v ext(r)]dr < ρ (r)[v ext (r) v ext(r)]dr da cui ρ(r) < ρ (r), ma essendo per ipotesi ρ(r) ρ (r), si arriva ad un assurdo. Non possono quindi esistere due potenziali esterni diversi che generano la stessa densità elettronica. Ne consegue che ρ(r) = v ext (r) Riassumendo i risultati ottenuti si ricava v ext (r) ρ(r) (2.4) Ĥ Ψ 0 da cui risulta che non solo esiste una relazione diretta tra Ψ 0 e ρ(r), ma anche una relazione inversa, perciò la funzione d onda è un funzionale della densità Ψ 0 [ρ] e di conseguenza tutte le proprietà (osservabili) del sistema Ψ[ρ] Ô Ψ[ρ] = O[ρ] sono funzionali della densità. Con particolare riferimento all energia, il primo teorema di HK stabilisce quindi l esistenza del funzionale E v [ρ] = V ext [ρ] + T [ρ] + V ee [ρ] in cui si è evidenziata la dipendenza esplicita da v ext (r) e che i singoli contributi all energia totale sono essi stessi dei funzionali della densità, come appena dimostrato. È possibile, a questo punto, esplicitare nell espressione dell energia, i contributi che dipendono dal sistema stesso: il potenziale esterno dovuto all interazione attrattiva elettrone-nucleo e quelle che sono universali perchè la loro espressione non dipende da N, R A e Z A E v [ρ] = ρ(r)v ext (r)dr + T [ρ] + V ee [ρ] 13

14 Raccogliendo i termini che sono indipendenti dal sistema E v [ρ] = ρ(r)v ext (r)dr + F HK [ρ] si può definire il funzionale universale di HK F HK [ρ] = T [ρ] + V ee [ρ] = Ψ[ρ] T + V ee Ψ[ρ] F HK [ρ] è universale nel senso che è lo stesso funzionale per atomi, molecole e solidi indipendentemente dal fatto che l interazione degli elettroni sia con un nucleo, alcuni nuclei o un reticolo cristallino. 2.2 Teorema II: principio variazionale Teorema II: È possibile definire un funzionale universale per l energia, E[ρ], in termini della densità ρ(r), valido per qualsiasi potenziale esterno v ext (r). Dato un qualunque potenziale esterno v ext (r), l energia esatta dello stato fondamentale del sistema è il minimo globale di questo funzionale e la densità ρ(r) che minimizza il funzionale è la densità esatta dello stato fondamentale. Corollario La conoscenza del funzionale E[ρ] è sufficiente, da sola, a determinare esattamente l energia e la densità dello stato fondamentale. In generale, stati elettronici eccitati devono essere determinati in altri modi. Anche proprietà all equilibrio termico (con T 0 K) come ad esempio la capacità termica sono determinate direttamente come funzionale della densità passando attraverso la definizione dell energia libera come funzionale della densità. Dimostrazione: Il secondo teorema di HK può anche essere riformulato come: data una densità di prova ρ(r), tale che soddisfi le condizioni ρ(r) 0, ρ(r)dr = N e che sia associata a un qualche potenziale esterno ṽ ext (r), E 0 E v [ ρ] (2.5) Per dimostrare il teorema, notiamo che il primo teorema di HK stabilisce che ρ determina ṽ, l hamiltoniana Ĥ e la funzione d onda Ψ. Per quest ultima vale il principio variazionale definito dalla relazione 1.3 e quindi può essere utilizzata come funzione d onda di prova per l hamiltoniana generata dal potenziale esterno vero v ext (r), cioè Ψ Ĥ Ψ Ψ 0 Ĥ Ψ 0 = E 0 [ρ 0 ] quindi per il primo teorema di HK vale T [ ρ] + V ee [ ρ] + ρ(r)v ext dr = E v [ ρ] E 0 [ρ 0 ] 14

15 che è il risultato cercato. Assumendo che E v [ρ] sia differenziabile, il principio variazionale stabilito sopra fornisce uno strumento molto utile per ricavare l energia dello stato fondamentale imponendo che { ( )} δ E v [ρ] µ ρ(r)dr N = 0 (2.6) che si riduce alla risoluzione dell equazione di Eulero-Lagrange µ = δe v[ρ] δρ(r) = v ext(r) + δf HK[ρ] δρ(r) Se si conoscesse la forma esatta del funzionale F HK [ρ] da inserire nella 2.6 si sarebbe risolto il problema di trattare un sistema multielettronico in modo esatto. Per farlo occorre dare una forma esplicita ai funzionali energia cinetica e repulsione elettrone-elettrone. Purtroppo, la loro forma funzionale non è nota. Per il momento limitiamoci però ad estrarre da V ee [ρ] almeno il contributo coulombiano classico, J[ρ], che è noto V ee [ρ] = 1 ρ(r1 )ρ(r 2 ) dr 1 dr 2 + E ncl [ρ] = J[ρ] + E ncl [ρ] 2 r 12 dove E ncl [ρ] è un termine non classico di interazione elettrone-elettrone che contiene tutti gli effetti di correlazione elettronica e di auto-interazione. Il secondo teorema di HK limita, di fatto, l applicabilità del principio variazionale, definito dalla 2.5, allo stato fondamentale del sistema poichè è valido solo per E 0, a differenza del primo teorema che è valido per tutti gli stati elettonici del sistema. In questo caso non viene fornita alcuna indicazione per gli stati eccitati. In sintesi: tutte le proprietà di un sistema definito dal potenziale esterno v ext (r) sono determinate dalla densità dello stato fondamentale; l energia dello stato fondamentale associata ad una densità ρ(r) è ottenibile attraverso la relazione funzionale ρ(r)v ext (r)dr + F HK [ρ]; questo funzionale raggiunge il suo valore minimo, rispetto a tutte le densità permesse, se e solo se la densità usata è la vera densità elettronica dello stato fondamentale (cioè, ρ(r) = ρ 0 (r)) questi tre punti che implicano: Ψ[ρ], universalità e teorema variazionale, costituiscono la formulazione classica dei teoremi di HK. 15

16 2.3 Il problema della v- e N-rappresentabilità Quanto detto finora nasconde un problema teorico di carattere più formale: esistono delle restrizioni allo spazio delle densità nella definizione di funzionale data da HK? In realtà, la dimostrazione originale di HK è ristretta alle densità ρ(r) che sono le densità dello stato fondamentale dell hamiltoniana elettronica associate ad un qualche potenziale esterno v ext (r). Queste densità vengono chiamate v-rappresentabili. Esiste quindi uno spazio, che raccoglie tutte le possibili densità, all interno del quale si possono definire e costruire i funzionali della densità. In altre parole, non tutte le densità possibili sono valide nel contesto del primo teorema di HK. Dovrebbero essere considerate solo quelle che sono associate con una funzione d onda antisimmetrica e un operatore hamiltoniano che contiene un qualche potenziale esterno. Un altro problema che si origina da questo aspetto è quello di stabilire quando la ρ è accettabile (v-rappresentabile). Al momento non sono note le condizioni matematiche che devono essere soddisfatte dalla ρ per essere v-rappresentabile. Si può dimostrare, come vedremo meglio nella prossima sezione, che il problema della v- rappresentabilità non è essenziale e che la teoria DFT può essere riformulata in modo tale da richiedere che per il funzionale e per il principio variazionale, la densità debba soddisfare una condizione meno restrittiva, la cosiddetta N-rappresentabilità. Una densità è N-rappresentabile se può essere ottenuta da una qualche funzione d onda antisimmetrica N-elettronica. In questo caso le condizioni matematiche perchè una densità sia N-rappresentabile sono note ρ(r) 0, ρ(r)dr = N, e ρ 1/2 2 dr < (cioè condizioni di: non negatività, normalizzazione e continuità) e sono soddisfatte da praticamente qualsiasi densità. Le funzioni v-rappresentabili sono ovviamente un sottoinsieme di quelle N-rappresentabili. 2.4 Riformulazione di Levy-Lieb: la ricerca-vincolata Una definizione alternativa di funzionale della densità è stata proposta da Levy e Lieb. Essa ha alcuni vantaggi rispetto alla definizione data nei teoremi di HK: estende la definizione di funzionale della densità rendendola più trattabile formalmente e chiarisce il suo significato fisico; fornisce una via per arrivare al funzionale esatto; porta alla stessa densità e energia di minimo come nell analisi di HK e si applica anche al caso di stati fondamentali degeneri. L idea di Levy e Lieb (LL) è di definire una procedura di minimizzazione in due passi. Partendo dall espressione dell energia in termini della funzione d onda E = Ψ T e + V ext + V ee Ψ = Ψ T Ψ + Ψ V ee Ψ + ρ(r)v ext (r)dr 16

17 L energia dello stato fondamentale può essere ricavata minimizzando l espressione sopra rispetto a tutte le Ψ antisimmetriche N-elettroniche. E 0 = min Ψ N Ψ T e + V ext + V ee Ψ Quella che determina l autovalore più basso è la funzione d onda dello stato fondamentale Ψ 0. Per collegare il principio variazionale sopra alla teoria DFT, si considera solo l insieme di funzioni Ψ che danno la stessa densità ρ(r) e si cerca la Ψ che minimizza l energia [ ] E = min Ψ ρ(r) Ψ T + V ee Ψ + ρ(r)v ext (r)dr a questo punto si minimizza l energia per quella data densità ρ(r) ( [ E 0 = Ψ T + V ] ) ee Ψ + ρ(r)v ext (r)dr min ρ(r) N min Ψ ρ(r) Dalle espressioni sopra si può definire il funzionale universale di Levy-Lieb F LL [ρ] come F LL [ρ] = min Ψ ρ(r) Ψ T + V ee Ψ quindi Bisogna notare che E 0 = ( min F LL [ρ] + ρ(r) N ) ρ(r)v ext (r)dr Il significato di E 0 è quindi il minimo della somma di energia cinetica e repulsione elettronica cercato tra tutte le possibili Ψ che danno la stessa densità ρ 0 ; la ricerca è vincolata (constrained-search) perchè si considera solo l insieme delle funzioni d onda che danno la densità ρ 0 (r) a differenza del caso tradizionale E 0 = min Ψ N Ψ Ĥ Ψ dove la ricerca considera l intero spazio delle funzioni d onda antisimmetriche N-elettroniche; il funzionale di LL è definito per qualsiasi densità che sia N-rappresentabile; F LL [ρ 0 ] = F HK [ρ 0 ] quando ρ 0 è v-rappresentabile; la definizione di F LL elimina la restrizione della dimostrazione originale di HK di avere uno stato fondamentale non degenere; anche se questa formulazione è più generale non fornisce alcuna via pratica per poter sfruttare le enormi potenzialità offerte dalla teoria DFT. Nel passare dalla complessità della Ψ, funzione a 4N-variabili, alla densità elettronica, ρ(r), funzione di tre sole variabli, tutta la complessità si trasferisce nel funzionale F [ρ] che non è noto. 17

18 2.5 Estensioni I teoremi di HK possono essere generalizzati al caso di particelle di diverso tipo o per condizioni diverse. Di seguito sono elencate alcune delle estensioni della teoria del funzionale della densità con alcuni commenti e non verranno discusse ulteriormente. Per dettagli vedere i riferimenti citati. sistemi con polarizzazione di spin sistemi non elettronici e multicomponenti stati eccitati dipendenza dalla temperatura e ensemble statistici dipendenza dal tempo (TD-DFT - Time Dependent-DFT) dipendenza dalla densità di corrente (Current-DFT) Sistemi con polarizzazione di spin In questo caso, oltre al potenziale esterno esiste un potenziale locale magnetico di interazione elettronica spin-spin (tipo Zeeman). Cioè il potenziale agisce solo sugli spin e non sul moto orbitale degli elettroni. All interno di questo modello, i teoremi visti possono essere generalizzati per includere due tipi di densità: la densità elettronica totale, ρ(r) = ρ α (r) + ρ β (r), e la densità di spin, s(r) = ρ α (r) ρ β (r). Questo porta al funzionale dell energia E = E HK [ρ(r), s(r)] E[ρ(x)] dove x = {r, σ}. Questa generalizzazione costituisce la Spin-DFT che è la base per poter trattare sistemi multielettronici con molteplicità di spin non nulla. È quindi essenziale per la descrizione di solidi con ordine magnetico, come ad esempio nel caso della stabilità relativa di fasi antiferro- e ferro-magnetiche. In assenza di un campo magnetico tipo Zeeman, la soluzione a più bassa energia può avere una polarizzazione di spin ρ α (r) ρ β (r). Questo è un caso analogo alla soluzione unrestricted con rottura di simmetria che si ritrova nella teoria di Hartree-Fock. Aggiungere note su SDFT e teoremi di HK Dipendenza dalla temperatura e ensemble statistici I teoremi di HK validi a T = 0 K si possono estendere a sistemi multi-particelle all equilibrio termico per diversi ensemble statistici. Questo fu dimostrato da Mermin subito la pubblicazione dell articolo di Hohenberg-Kohn. L estensione porta a conclusioni ancora più generali perchè non solo l energia interna, ma anche l entropia, la capacità termica, l energia libera,... sono funzionali della densità elettronica. Inoltre, i teoremi possono anche essere estesi al caso in cui si abbia un sistema all equilibrio termico con potenziale chimico costante, ma con fluttazioni del numero di elettroni. 18

19 2.5.3 Dipendenza dalla densità di corrente Nel caso in cui l effetto di un campo magnetico esterno coinvolge non solo i termini elettronici spin-spin, la densità elettronica da sola non è più sufficiente, ma occorre includere anche la densità di corrente j = p. È possibile dimostrare che anche in questo caso i teoremi di HK sono validi e quindi tutte le proprietà del sistema sono funzionali di ρ e j. Questa teoria rappresenta una delle attuali frontiere di sviluppo della teoria DFT Dipendenza dal tempo La dipendenza dal tempo tiene conto dell evoluzione temporale di uno stato quantistico. È stato dimostrato che, data una funzione d onda iniziale al tempo t, l evoluzione della Ψ(r, t) a qualsiasi altro tempo t è un funzionale unico della densità dipendente dal tempo ρ(r, t). La dimostrazione che esiste questa relazione funzionale e un principio variazionale corrispondente é stata data nel 1985 da Runge e Gross. Su questa formulazione si basa anche l estensione della teoria DFT agli stati eccitati. Aggiungere note su TDDFT e teoremi di HK, riferimenti a RG e review Dreuw/Head- Gordon 19

20 Chapter 3 Matrici densità e buca di scambio e correlazione 3.1 Matrici densità e operatore densità Il concetto di matrice densità è molto generale ed è stato introdotto nella meccanica statistica quantistica per descrivere un sistema il cui stato quantistico non è completamente specificato. In questi casi esistono diverse funzioni d onda compatibili con l informazione data e occorre una qualche media statistica oltre alla media quantistica, che definisce il valore atteso, data da una delle funzioni d onda. Qui non discuteremo gli aspetti formali, ma ne introduciamo solo la definizione e poi ne discuteremo velocemente alcune proprietà per arrivare a definire la densità di paia e la buca di scambio e correlazione. Sappiamo che il significato fisico di Ψ(r N, s N ), funzione d onda di un sistema N-elettronico, è legato al suo modulo quadro Ψ 2 che rappresenta una funzione distribuzione di probabilità Ψ(r N, s N ) 2 dr N dove dr N = dr 1, dr 2,..., dr N ; r N = r 1, r 2,..., r N e s N è l insieme s 1, s 2,..., s N. Ψ 2 dà cioè la probabilità di trovare il sistema N-elettronico con coordinate spaziali tra r N e r N + dr N e coordinate di spin uguali a s N. Usando x {r, s}, la quantità sopra diventa Ψ N (x 1 x 2 x N )Ψ N(x 1 x 2 x N ) (3.1) È possibile generalizzare questa espressione per definire un oggetto del tipo γ N (x 1x 2 x N, x 1 x 2 x N ) Ψ N (x 1x 2 x N)Ψ N(x 1 x 2 x N ) (3.2) Si considerano quindi due set di variabili indipendenti {x N } e {x N} che possono essere pensati come due insiemi di indici che attraverso la 3.2 restituiscono un valore numerico che si può considerare come un elemento di una matrice che viene chiamata matrice densità. Nel caso in cui x i = x i per tutti i valori di i, si ottiene un elemento diagonale della matrice che corrisponde alla

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Obiettivi - Descrivere il comportamento quantistico di un elettrone in un cristallo unidimensionale - Spiegare l origine delle bande di

Dettagli

Particelle identiche : schema (per uno studio più dettagliato vedi lezione 2) φ 1

Particelle identiche : schema (per uno studio più dettagliato vedi lezione 2) φ 1 Particelle identiche : schema (per uno studio più dettagliato vedi lezione ) Funzioni d onda di un sistema composto Sistema costituito da due particelle (eventualmente identiche) H φ q H φ H ψ φ φ stato

Dettagli

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali

Dettagli

LA STRUTTURA DELL ATOMO 4.A PRE-REQUISITI 4.B PRE-TEST 4.6 ENERGIE DI IONIZZAZIONE E DISTRIBUZIONE DEGLI ELETTRONI 4.C OBIETTIVI

LA STRUTTURA DELL ATOMO 4.A PRE-REQUISITI 4.B PRE-TEST 4.6 ENERGIE DI IONIZZAZIONE E DISTRIBUZIONE DEGLI ELETTRONI 4.C OBIETTIVI LA STRUTTURA DELL ATOMO 4.A PRE-REQUISITI 4.B PRE-TEST 4.C OBIETTIVI 4.1 UNO SGUARDO ALLA STORIA 4.2 L ATOMO DI BOHR (1913) 4.5.2 PRINCIPIO DELLA MASSIMA MOLTEPLICITA (REGOLA DI HUND) 4.5.3 ESERCIZI SVOLTI

Dettagli

Capitolo 7: Simmetrie e Numeri Quantici

Capitolo 7: Simmetrie e Numeri Quantici Capitolo 7: Simmetrie e Numeri Quantici Corso di Fisica Nucleare e Subnucleare I Professor Carlo Dionisi A.A. 2004-2005 1 Simmetrie Invarianza Leggi di Conservazione 1) Principi di Invarianza e leggi di

Dettagli

Istituto Superiore Vincenzo Cardarelli Istituto Tecnico per Geometri Liceo Artistico A.S. 2014 2015

Istituto Superiore Vincenzo Cardarelli Istituto Tecnico per Geometri Liceo Artistico A.S. 2014 2015 Istituto Superiore Vincenzo Cardarelli Istituto Tecnico per Geometri Liceo Artistico A.S. 2014 2015 Piano di lavoro annuale Materia : Fisica Classi Quinte Blocchi tematici Competenze Traguardi formativi

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica considerarsi completa?

Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica considerarsi completa? Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica considerarsi completa? A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen 25/03/1935 Abstract In una teoria completa c è un elemento corrispondente ad ogni elemento

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO Capitolo 14 EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO Nel Cap.11 abbiamo trattato metodi di risoluzione dell equazione di Schrödinger in presenza di perturbazioni indipendenti dal tempo; in questo capitolo trattiamo

Dettagli

2m (con L = 0, 1, 2,...)

2m (con L = 0, 1, 2,...) Capitolo 2 Proprietà elettromagnetiche dei nuclei Spin e momento magnetico del nucleo: generalità Se una carica e si muove di moto circolare uniforme, per esempio un elettrone attorno ad un nucleo, esiste

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

Teoria del campo cristallino (CFT)

Teoria del campo cristallino (CFT) Teoria del campo cristallino (CFT) Interazione elettrostatica (non covalente) tra: - leganti anionici cariche elettriche puntiformi - leganti neutri dipoli elettrici con la parte negativa verso il centro

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Derivazione elementare dell espressione della quantità di moto e dell energia in relativività ristretta

Derivazione elementare dell espressione della quantità di moto e dell energia in relativività ristretta Derivazione elementare dell espressione della quantità di moto e dell energia in relativività ristretta L. P. 22 Aprile 2015 Sommario L espressione della quantità di moto e dell energia in relatività ristretta

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

Corrente elettrica (regime stazionario)

Corrente elettrica (regime stazionario) Corrente elettrica (regime stazionario) Metalli Corrente elettrica Legge di Ohm Resistori Collegamento di resistori Generatori di forza elettromotrice Metalli Struttura cristallina: ripetizione di unita`

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

I modelli atomici da Dalton a Bohr

I modelli atomici da Dalton a Bohr 1 Espansione 2.1 I modelli atomici da Dalton a Bohr Modello atomico di Dalton: l atomo è una particella indivisibile. Modello atomico di Dalton Nel 1808 John Dalton (Eaglesfield, 1766 Manchester, 1844)

Dettagli

Erwin Schrödinger Che cos è la vita? La cellula vivente dal punto di vista fisico tr. it. a cura di M. Ageno, Adelphi, Milano 2008, pp.

Erwin Schrödinger Che cos è la vita? La cellula vivente dal punto di vista fisico tr. it. a cura di M. Ageno, Adelphi, Milano 2008, pp. RECENSIONI&REPORTS recensione Erwin Schrödinger Che cos è la vita? La cellula vivente dal punto di vista fisico tr. it. a cura di M. Ageno, Adelphi, Milano 2008, pp. 154, 12 «Il vasto e importante e molto

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca Trascrizione del testo e redazione delle soluzioni di Paolo Cavallo. La prova Il candidato svolga una relazione

Dettagli

Potenziale Elettrico. r A. Superfici Equipotenziali. independenza dal cammino. 4pe 0 r. Fisica II CdL Chimica

Potenziale Elettrico. r A. Superfici Equipotenziali. independenza dal cammino. 4pe 0 r. Fisica II CdL Chimica Potenziale Elettrico Q V 4pe 0 R Q 4pe 0 r C R R R r r B q B r A A independenza dal cammino Superfici Equipotenziali Due modi per analizzare i problemi Con le forze o i campi (vettori) per determinare

Dettagli

FONDAMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA

FONDAMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA FONDAMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA Appunti raccolti nel Dipartimento di Fisica dell Università La Sapienza di Roma a cura di Stefano Patrì. Indirizzo e-mail dell autore: seriegeo@yahoo.it 5 ottobre 008

Dettagli

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t;

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t; CAPITOLO CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Definizioni Dato un conduttore filiforme ed una sua sezione normale S si definisce: Corrente elettrica i Q = (1) t dove Q è la carica che attraversa la sezione S

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

La Termodinamica ed I principi della Termodinamica

La Termodinamica ed I principi della Termodinamica La Termodinamica ed I principi della Termodinamica La termodinamica è quella branca della fisica che descrive le trasformazioni subite da un sistema (sia esso naturale o costruito dall uomo), in seguito

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

I principi della meccanica quantistica nella scuola secondaria Un contributo

I principi della meccanica quantistica nella scuola secondaria Un contributo I principi della meccanica quantistica nella scuola secondaria Un contributo Paolo Cavallo 10 marzo 2004 Sommario Si riassume una strategia per la presentazione dei principi della meccanica quantistica

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

CAPITOLO I CORRENTE ELETTRICA. Copyright ISHTAR - Ottobre 2003 1

CAPITOLO I CORRENTE ELETTRICA. Copyright ISHTAR - Ottobre 2003 1 CAPITOLO I CORRENTE ELETTRICA Copyright ISHTAR - Ottobre 2003 1 INDICE CORRENTE ELETTRICA...3 INTENSITÀ DI CORRENTE...4 Carica elettrica...4 LE CORRENTI CONTINUE O STAZIONARIE...5 CARICA ELETTRICA ELEMENTARE...6

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014)

PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014) PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014) Le grandezze fisiche. Metodo sperimentale di Galilei. Concetto di grandezza fisica e della sua misura. Il Sistema internazionale di Unità

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

1. Diodi. figura 1. figura 2

1. Diodi. figura 1. figura 2 1. Diodi 1.1. Funzionamento 1.1.1. Drogaggio 1.1.2. Campo elettrico di buil-in 1.1.3. Larghezza della zona di svuotamento 1.1.4. Curve caratteristiche Polarizzazione Polarizzazione diretta Polarizzazione

Dettagli

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA Un conduttore ideale all equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo al suo interno. Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da zero al suo

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

. analisi teorica (studio di esistenza, unicità della soluzione, sensitività rispetto ai dati, regolarità, comportamento qualitativo).

. analisi teorica (studio di esistenza, unicità della soluzione, sensitività rispetto ai dati, regolarità, comportamento qualitativo). 1 Modelli matematici Un modello è un insieme di equazioni e altre relazioni matematiche che rappresentano fenomeni fisici, spiegando ipotesi basate sull osservazione della realtà. In generale un modello

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli I numeri complessi Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli 1 Introduzione Studiare i numeri complessi può sembrare inutile ed avulso dalla realtà;

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

su web che riportano documentazione e software dedicati agli argomenti trattati nel libro, riportandone, alla fine dei rispettivi capitoli, gli

su web che riportano documentazione e software dedicati agli argomenti trattati nel libro, riportandone, alla fine dei rispettivi capitoli, gli Prefazione Non è facile definire che cosa è un problema inverso anche se, ogni giorno, facciamo delle operazioni mentali che sono dei metodi inversi: riconoscere i luoghi che attraversiamo quando andiamo

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

A i è un aperto in E. i=1

A i è un aperto in E. i=1 Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA Classe VA scientifico MATEMATICA MODULO 1 ESPONENZIALI E LOGARITMI 1. Potenze con esponente reale; 2. La funzione esponenziale: proprietà e grafico; 3. Definizione di logaritmo;

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Gli orbitali: modello atomico probabilistico

Gli orbitali: modello atomico probabilistico 1 Approfondimento 2.1 Gli orbitali: modello atomico probabilistico Modello atomico planetario (o a gusci): gli elettroni ruotano intorno al nucleo percorrendo orbite prefissate. Il modello atomico planetario

Dettagli

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo 5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo X m a (mod n ) Oggetto di questo paragrafo è lo studio della risolubilità di congruenze del tipo: X m a (mod n) con m, n, a Z ed m, n > 0. Per l effettiva

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Poniamo il carbonio al centro, tre idrogeni sono legati al carbonio direttamente e uno attraverso l ossigeno

Poniamo il carbonio al centro, tre idrogeni sono legati al carbonio direttamente e uno attraverso l ossigeno Strutture di Lewis E un metodo semplice per ottenere le formule di struttura di composti covalenti nota la formula molecolare, la configurazione elettronica del livello di valenza degli atomi e la connettività

Dettagli

23 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIVERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO

23 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIVERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO v 23 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO Un campione di terreno viene considerato come un sistema multifase,

Dettagli

Fisica quantistica. Introduzione alla polarizzazione e altri sistemi a due livelli. Christian Ferrari. Liceo di Locarno

Fisica quantistica. Introduzione alla polarizzazione e altri sistemi a due livelli. Christian Ferrari. Liceo di Locarno Fisica quantistica Introduzione alla polarizzazione e altri sistemi a due livelli Christian Ferrari Liceo di Locarno Sommario La polarizzazione della luce e del fotone Altri sistemi a due livelli L evoluzione

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Note di fisica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, luglio 2012. 1 Quantità di moto.

Note di fisica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, luglio 2012. 1 Quantità di moto. Note di fisica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, luglio 2012. Indice 1 Quantità di moto. 1 1.1 Quantità di moto di una particella.............................. 1 1.2 Quantità

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

modulo: CHIMICA DEI POLIMERI

modulo: CHIMICA DEI POLIMERI CORSO PON Esperto nella progettazione, caratterizzazione e lavorazione di termoplastici modulo: CHIMICA DEI POLIMERI Vincenzo Venditto influenza delle caratteristiche strutturali, microstrutturali e morfologiche

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

Programmazione Modulare

Programmazione Modulare Indirizzo: BIENNIO Programmazione Modulare Disciplina: FISICA Classe: 2 a D Ore settimanali previste: (2 ore Teoria 1 ora Laboratorio) Prerequisiti per l'accesso alla PARTE D: Effetti delle forze. Scomposizione

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

di questi il SECONDO PRINCIPIO ΔU sistema isolato= 0

di questi il SECONDO PRINCIPIO ΔU sistema isolato= 0 L entropia e il secondo principio della termodinamica La maggior parte delle reazioni esotermiche risulta spontanea ma esistono numerose eccezioni. In laboratorio, ad esempio, si osserva come la dissoluzione

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Unità 12. La corrente elettrica

Unità 12. La corrente elettrica Unità 12 La corrente elettrica L elettricità risiede nell atomo Modello dell atomo: al centro c è il nucleo formato da protoni e neutroni ben legati tra di loro; in orbita intorno al nucleo si trovano

Dettagli

I numeri reali. Note per il corso di Analisi Matematica 1. G. Mauceri. a.a. 2003-04

I numeri reali. Note per il corso di Analisi Matematica 1. G. Mauceri. a.a. 2003-04 I numeri reali Note per il corso di Analisi Matematica 1 G. Mauceri a.a. 2003-04 2 I numeri reali Contents 1 Introduzione 3 2 Gli assiomi di campo 3 3 Gli assiomi dell ordine 4 4 Valore assoluto 5 5 I

Dettagli

La dinamica delle collisioni

La dinamica delle collisioni La dinamica delle collisioni Un video: clic Un altro video: clic Analisi di un crash test (I) I filmati delle prove d impatto distruttive degli autoveicoli, dato l elevato numero dei fotogrammi al secondo,

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

LABORATORIO I-A. Cenni sui circuiti elettrici in corrente continua

LABORATORIO I-A. Cenni sui circuiti elettrici in corrente continua 1 UNIVERSITÀ DIGENOVA FACOLTÀDISCIENZEM.F.N. LABORATORIO IA Cenni sui circuiti elettrici in corrente continua Anno Accademico 2001 2002 2 Capitolo 1 Richiami sui fenomeni elettrici Esperienze elementari

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

tanhαl + i tan(ωl/v) 1 + i tanh αl tan(ωl/v). (10.1)

tanhαl + i tan(ωl/v) 1 + i tanh αl tan(ωl/v). (10.1) 10 - La voce umana Lo strumento a fiato senz altro più importante è la voce, ma è anche il più difficile da trattare in modo esauriente in queste brevi note, a causa della sua complessità. Vediamo innanzitutto

Dettagli

Correnti e circuiti a corrente continua. La corrente elettrica

Correnti e circuiti a corrente continua. La corrente elettrica Correnti e circuiti a corrente continua La corrente elettrica Corrente elettrica: carica che fluisce attraverso la sezione di un conduttore in una unità di tempo Q t Q lim t 0 t ntensità di corrente media

Dettagli