Equazioni di erenziali Ordinarie

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1 Equazioni di erenziali Ordinarie Carmelo Pierpaolo Parello Sapienza Università di oma Questa bozza: marzo 01 Contents 1 Concetto e de nizione EDO lineari del primo ordine 3.1 Soluzione delle equazioni di erenziali del 1 ordine Soluzione delle equazioni di erenziali del 1 ordine a coe cienti costanti Soluzione delle equazioni di erenziali del 1 ordine a coe cienti variabili Le equazioni del primo ordine e il problema di Cauchy Le EDO lineari del ordine EDO lineari del ordine a coe cienti costanti La soluzione omogenea, x O (t) Sistemi di due EDO lineari del 1 ordine Soluzione nel caso di sistemi omogenei a coe cienti costanti La soluzione non singolare, u (t) = [x (t) ; y (t)] 0 : Dipartimento di Economia e Diritto, via del castro laurenziano, 9 - I oma. Tel.: carmelo.parello@uniroma1.it 1

2 1 Concetto e de nizione L espressione equazione di erenziale è utilizzata per indicare una vasta gamma di problemi relativi all Analisi Matematica. Partendo da una presentazione classica e relativamente semplice, un equazione di erenziale può essere de nita nel seguente modo: De nition 1 Una equazione di erenziale è un equazione in cui l incognita è una funzione x = g(t); dove l aggettivo di erenziale indica che nell equazione è presente almeno una derivata della funzione incognita, e dove la funzione incognita è de nita in un sottoinsieme di < n e ha valori in < m. Per n = 1; le equazioni di erenziali si dicono ordinarie; per n > 1; le equazioni di erenziali si dicono alle derivate parziali. L ordine di una equazione di erenziale indica il massimo ordine di derivazione della funzione incognita presente nell equazione. Così, un equazione di erenziale ordinaria di ordine k può essere espressa con la scrittura F(t; x (t) ; x 0 (t) ; x 00 (t) ; :::; x (k) (t)) = 0 (1) dove F () è una funzione reale di k + variabili reali. La (1) può assumere forme di cilmente trattabili ma spesso, specie in economia della crescita, può essere ricondotta ad espressioni più comode in cui la derivata di ordine massimo x (k) (t) viene comodamente isolata. Questo è il caso, ad esempio, delle equazioni in forma normale, il cui aspetto è: x (k) (t) = G(t; x (t) ; x 0 (t) ; :::; x (k 1) (t)) () La soluzione generale di un equazione di erenziale, detta anche integrale dell equazione, è una combinazione lineare di due soluzioni a loro volta spesso scomponibili in più tipologie. La prima, detta omogenea, ottenuta ponendo a zero il polinomio che non dipende dalla funzione o dalle sue derivate. La seconda, detta particolare o forzata, rappresenta invece il contributo proprio della parte che non dipende dalla funzione o dalle sue derivate, e viene ottenuta dalla prima con metodi diversi a seconda del tipo di equazione con cui si ha a che fare. Tra le tante funzioni che possono caratterizzare la F (:), le meno complicate da trattare sono quelle a variabili separate. De nition Diremo che un equazione di erenziale è a variabili separabili se è sempre possibile separare la funzione incognita e le sue derivate, x (t) ; x 0 (t), x 00 (t)...ecc., dalla parte che non dipende dalla funzione o dalle sue derivate, (t). L aspetto di una equazione di erenziale a variabili separate è il seguente: F 0 (x (k) (t))f 1 (x (k 1) (t))f (x (k ) (t)):::::f n 1 (x 0 (t))f n (x (t)) = (t)

3 EDO lineari del primo ordine Un equazione di erenziale lineare del primo ordine ha la forma: x 0 (t) + a(t)x (t) = b(t) (3) dove a (t) e b (t), i coe cienti dell equazione, sono funzioni reali de nite in un intervallo = <. Di fatto la (3) è una equazione di erenziale in forma normale rientrante nella famiglia di EDO del tipo (??), avente come dominio il prodotto cartesiano E = = < ed in cui: G (t; x (t)) a(t)x (t) + b(t): Sotto opportune ipotesi sui coe cienti, per queste equazioni è possibile scrivere anche tutte le sue possibili soluzioni..1 Soluzione delle equazioni di erenziali del 1 ordine Come detto, non esistono metodi generali di risoluzione delle EDO validi per qualsiasi tipologia di equazione. Nel caso delle EDO, i metodi di risoluzione delle equazioni di erenziali del 1 ordine variano a seconda che i coe cienti che le caratterizzano siano costanti oppure variabili..1.1 Soluzione delle equazioni di erenziali del 1 ordine a coe cienti costanti Il caso più semplice da trattare è quello in cui i coe cienti della (3) non dipendono dalla variabile t (ossia: a(t) = a e b(t) = b). In questo caso la (3) si riduce alla seguente equazione: x 0 (t) + ax (t) = b (4) dove sia a che b sono due costanti reali. Per trovare la soluzione completa della (4) è necessario trovare sia la soluzione dell omogenea associata all equazione di erenziale di partenza, sia la soluzione particolare relativa la termine noto. La soluzione omogenea, x O (t). Imponendo la condizione b = 0, l equazione di erenziale omogenea associata alla (4) è data dalla seguente forma lineare, x 0 (t) + ax (t) = 0. Dopo semplici passaggi algebrici, l omogenea associata può essere riscritta nel seguente modo: x 0 (t) x (t) = a: Integrando primo e secondo membro otteniamo: x 0 (t) x (t) dt = a dt =) ln x (t) + C = at =) x O (t) = Ae at dove A e C è un termine costante che raccoglie le due costanti di integrazione ottenute risolvendo gli integrali. 3

4 La soluzione particolare, x p (t). Per ottenere la soluzione particolare è necessario imporre la condizione di stazionarietà della funzione incognita, x 0 (t) = 0. La (4) si riduce alla semplice equazione algebrica ax (t) = b, da cui è facile ottenere la soluzione particolare: x p (t) = b a : Va tuttavia notato che la soluzione particolare, x p (t), esiste solo nel caso in cui a 6= 0. Quando ciò non si veri ca, allora la soluzione della omogenea associata e la soluzione particolare coincidono e sono pari alla soluzione della seguente equazione di erenziale: x 0 (t) = b =) x 0 (t) dt = b dt =) x P (t) = A + bt; dove, ancora una volta, il termine A raccoglie tutte le costanti di integrazione ottenute risolvendo gli integrali. 1 La soluzione completa, x (t) = x O (t) + x p (t) : Una volta trovata la soluzione dell omogenea associata della (4) e la soluzione particolare associata al suo termine noto, la soluzione completa è data dalla somma algebrica di questi due integrali: >< Ae at + b a se a 6= 0 x (t) = x O (t) + x p (t) = A + bt se a = 0.1. Soluzione delle equazioni di erenziali del 1 ordine a coe cienti variabili Nel caso in cui entrambi i coe cienti della (3) siano variabili, per trovare la sua soluzione completa è possibile far ricorso ad un metodo generale di soluzione noto col nome del metodo del fattore di integrazione. Per comodità, riscriviamo la (3) in forma completa: x 0 (t) + a(t)x (t) = b(t): Moltiplicando entrambi i lati dell equazione per la funzione esponenziale, e a(t)dt - detta, appunto, fattore di integrazione -, si ottiene: x 0 (t) + a(t)x (t) a(t)dt e = a(t)dt b(t)e : {z } =di(t)=dt 1 E possibile ottenere lo stesso risultato risolvendo prima l omogenea associata e poi la particolare. Infatti, partendo dall equazione associata è possibile scrivere: x 0 (t) = 0 ) x 0 (t) dt = 0dt ) x O (t) = C 1; dove C 1 è una costante di regressione. L integrale particolare invece può essere scritto nel seguente modo: x P (t) = bdt ) x P (t) = bt + C : In conclusione, l integrale generale è pari a: x (t) = x O (t) + x P (t) = A + bt, dove A = C 1 + C : 4

5 Il membro di sinistra della precedente espressione, [x 0 (t) + a(t)x (t)] e a(t)dt, non è nient altro che la derivata rispetto a t di una funzione prodotto formata dalla funzione incognita, x (t), e dal fattore d integrazione, e a(t)dt ; ossia: I (t) x (t) e a(t)dt. Di conseguenza, la precedente espressione può essere riscritta nel seguente modo: di (t) dt = b(t)e a(t)dt =) di (t) = b(t)e a(t)dt dt Integrando entrambi i lati dell equazione, e considendo che il lato di sinistra non è nientr altro che il di erenziale della funzione prodotto I (t), è possibile scrivere: d x (t) e a(t)dt = a(t)dt b(t)e dt =) x (t) a(t)dt e + C = b(t)e a(t)dt dt che alla ne si riduce a: x (t) = e a(t)dt A + b(t)e a(t)dt dt dove A è una costante arbitraria che potrà essere de nita a partire dalle condizioni iniziali x (0).. Le equazioni del primo ordine e il problema di Cauchy I problemi economici che si traducono in modelli di crescita con equazioni di erenziali non richiedono, in genere, di trovare tutte le soluzioni, ma solo quella (o quelle) che soddisfano condizioni ulteriori. Per le equazioni del primo ordine molto spesso si presenta la necessità di determinare la soluzione (o le soluzioni) dell equazione che, in un dato punto punto ssato dell intervallo t 0 =, assume un valore assegnato. Formalmente questo problema, che in analisi matematica prende il nome di problema di Cauchy, può essere riassunto dalla seguente scrittura: >< x 0 (t) = G (t; x (t)) : x (t 0 ) = x 0 dove (t 0 ; x 0 ) E. Diremo che x = g(t) è soluzione di (5) sull intervallo = se x è soluzione dell equazione di erenziale di partenza, x 0 (t) = G (t; x (t)), su = se t 0 = e x(t 0 ) = x 0. Una parte molto importante della teoria delle equazioni di erenziali è dedicata allo studio della esistenza, e dell unicità, per soluzioni del problema di Cauchy; in questa parte della dispensa ci limiteremo ad enunciare il seguente risultato che garantisce, sotto l ipotesi di regolarità della funzione g (), l esistenza e l unicità locale della soluzione. Teorema Siano E < un insieme aperto, (t 0 ; x 0 ) un punto di E e G : E! <. Se G sono continue in E (in particolare, se G C 1 (E)) esiste un intervallo aperto contenente x 0 in cui il problema di Cauchy (5) ha una ed una sola soluzione. Dim.: Si veda Waelde (Cap. 4, 011). (5) 5

6 Teorema Siano a e b funzioni continue nell intervallo =, e siano t 0 =, x 0 <. Allora il problema di Cauchy >< x 0 (t) + a(t)x (t) = b(t) : x (t 0 ) = x 0 ha una ed una sola soluzione, de nita nell intervallo =, data dalla funzione 3 t t x (t) = e t a(s)ds s 0 4x (t 0 ) + b (s) e t a(u)du 0 ds 5 : (7) {z } t 0 =x 0 Inoltre, tutte le soluzioni in = dell equazione (3) sono: x (t) = e t t t a(s)ds s 0 C + b (s) e t a(u)du 0 ds : t 0 dove t 0 è un punto qualsiasi ( ssato) dell intervallo = e C è una costante reale arbitraria. Dim.: Tenendo conto della continuita di a (t) e b (t), è su ciente derivare la soluzione (7) per veri care che risolve il problema di Cauchy (6). Sia poi x = g(t) una soluzione in = della (3); per ogni t = si ha: x 0 (t) + a(t)x (t) = b(t) t e moltiplicando per il fattore di integrazione, e t a(u)du 0, si ha: x 0 t (t) e t a(u)du t 0 + a(t)x (t) e t a(u)du t 0 = b(t)e t a(u)du 0 : () t La funzione prodotto I (t) x (t) e t a(u)du 0 è derivabile in =, con I 0 (t) = [x 0 t (t) + a (t) x (t)] e t a(u)du 0, e la () può essere scritta come: (6) d [x (t) I (t)] dt t = b(t)e t a(u)du 0 : Cambiando la variabile d integrazione in s, ed integrando s nell intervallo di estremi t 0 e t =, e tenendo conto del fatto che I(t 0 ) = 1, si ottiene: in =. x (t) = e t t t a(s)ds s 0 x 0 + b (s) e t a(u)du 0 ds : t 0 In conclusione, ogni soluzione della (3) in = è espressa dalla formula (7), dove t 0 è un punto ssato Esercizio 1 Trovare la soluzione completa delle seguenti equazioni di erenziali lineari del 1 ordine ed analizzare le loro proprietà dinamiche: 1. x 0 (t) + 3x (t) = 6 6

7 . x 0 (t) 3x (t) = 6 3. x 0 (t) = 1 : Esercizio isolvere i seguenti problemi di Cauchy del 1 ordine ed illustrare le rispettive proprietà dinamiche: 1. x 0 (t) + x (t) = 1, con x (0) = 1. x 0 (t) 3x (t) = 0, con x (0) = 3. x 0 (t) = 1, con x (0) = 5 3 Le EDO lineari del ordine Un equazione di erenziale lineare del secondo ordine ha la forma: x 00 (t) + a 1 (t)x 0 (t) + a (t) x (t) = b(t) (9) dove a (t) e b (t), i coe cienti dell equazione, sono funzioni reali de nite in un intervallo = <. Sotto opportune ipotesi sui coe cienti, per queste equazioni è possibile scrivere anche tutte le soluzioni. Tuttavia, le proprietà delle soluzioni dipendono del comportamento dei tre coe cienti a 1 (t), a (t) e b (t). 3.1 EDO lineari del ordine a coe cienti costanti Quando i tre coe cienti della (9) non dipendono dalla variabile t, l equazione si riduce alla seguente forma: x 00 (t) + a 1 x 0 (t) + a x (t) = b (10) dove a 1, a e b, sono tre semplici costanti reali. La soluzione completa della (10) è data dalla somma della soluzione omogenea e della particolare. Tuttavia, a di erenza delle EDO del 1 ordine, in questo caso la soluzione della omogenea associata alla (10) avrà molteplicità pari a due e potrebbe esistere anche in campo complesso La soluzione omogenea, x O (t) L omogenea associata alla (10) può essere vista come semplice caso particolare in cui si impone b = 0. Ciò implica la seguente forma lineare, x 00 (t) + a 1 x 0 (t) + a x (t) = 0. Tra tutte le soluzioni possibili, supponiamo che essa assuma la forma esponenziale, x (t) = Ae t, e che quindi sia possibile scrivere: x 0 (t) = Ae t 7

8 x 00 (t) = Ae t : Sostituendo questi risultati nella (10) ed imponendo b = 0 otteniamo: Ae t + a 1 Ae t + a Ae t = 0 =) Ae t + a 1 + a = 0 Poichè il termine Ae t è diverso da zero - e non potrebbe essere altrimenti visto che Ae t è la soluzione non singolare (o banale)! -, a nchè l equazione algebrica all estremità della precedente espressione ammetta soluzione è necessario che il polinomio tra parentesi - che prende il nome di polinomio caratteristico della (10) - sia nullo. Ciò signi ca che per trovare la soluzione dell omogenea associata alla (10) è indispensabile trovare le radici del polinomio caratteristico: L () + a 1 + a. (11) Ora, siccome la (11) è un polinomio di secondo grado, le soluzioni dell equazione L () = 0 potrebbero anche esistere in campo complesso. Tutto dipenderà dal segno del discriminate della (11) - che indicheremo con, che a sua volta dipenderà dai valori delle due costanti reali a 1 e a. partendo dalla de nizione di discriminante possiamo scrivere: = (a 1 ) 4a =) 1; = a p 1, da cui è possibile distinguere tre possibili sottocasi: 1. > 0 =) (a 1 ) > 4a =) L () ha radici distinte in campo reale;. = 0 =) (a 1 ) = 4a =) L () ha radici coincidenti in campo reale; 3. < 0 =) (a 1 ) < 4a =) L () ha radici distinte in campo complesso. Infatti, Caso 1: radici reali e distinte Se > 0, allora la (11) ha soluzioni distinte in campo reale - 1 < ^ <, tali che 1 6= -, da cui è possibile distinguere due possibili sottocasi: radici di segno opposto: 1 < 0 < ^ 1 > 0 > ; radici di segno concorde: 1 < < 0 ^ < 1 < 0 ^ 0 < 1 < ^ 0 < < 1. Le due soluzioni saranno quindi pari a: x 1 O (t) = A 1 e 1t ^ x O (t) = A e t ; da cui è possibile ottenere la soluzione completa: x O (t) = x 1 O (t) + x O (t) = A 1 e 1t + A e t. Caso : radici reali e coincidenti Se = 0, allora la (11) ha soluzioni concidenti in campo reale - 1 < ^ <, tali che 1 = =. In questo caso le due soluzioni dell omogenea associata sono linearmente dipendenti. Per renderle linearmente indipendenti è necessario moltiplicare una soluzione, ad esempio la seconda, per t in modo da ottenere la seguente coppia di soluzioni omogenee: x 1 O (t) = A 1 e t ^ x O (t) = A te t La soluzione omogenea completa sarà quindi pari a: x O (t) = x 1 O (t) + x O (t) = (A 1 + A t) e t

9 Caso 3: radici immaginarie Se < 0, allora la (11) ha soluzioni in campo complesso, 1; = h iv, dove h denota la parte reale della redice e v quella immaginaria. In questo caso la coppia di soluzioni omogenee sarà pari a: x 1 O (t) = A 1 e (h+iv)t ^ x (h iv)t O (t) = A e che, facendo ricorso alla formula di Eulero, diventa: x 1 O (t) = A 1 e ht (cos vt + i sin vt) ^ x O (t) = A e ht (cos vt i sin vt) La soluzione omogenea completa sarà data dalla seguente espressione: x O (t) = x 1 O (t) + x O (t) = A 1 e ht (cos vt + i sin vt) + A e ht (cos vt i sin vt) =) =) x O (t) = e ht ( 1 cos vt + sin vt). dove: 1 A 1 + A e i (A 1 A ) sono due costanti di integrazione. Esercizio 3 Trovare la soluzione completa delle seguenti equazioni di erenziali lineari del ordine ed analizzare le loro proprietà dinamiche: 1. x 00 (t) + x 0 (t) x (t) = 0, con x (0) = 1 ^ x 0 (0) = :. x 00 (t) + 6x 0 (t) + 9x (t) = 1, con x (0) = 5 ^ x0 (0) = 5: 3. x 00 (t) + x 0 (t) + 17x (t) = 1, con x (0) = 3 ^ x 0 (0) = 11: 4. x 00 (t) + x 0 (t) = 1, con x (0) = 3 ^ x 0 (0) = 11: 4 Sistemi di due EDO lineari del 1 ordine Un sistema di due EDO lineari del 1 ordine non omogeneo ha la seguente forma: >< x 0 (t) = 11 (t) x (t) + 1 (t) y (t) + 1 (t) y 0 (t) = 1 (t) x (t) + (t) y (t) + (t) dove i coe cienti ij (t) - con fi; jg = f1; g - sono funzioni reali e dove z (t) - con z = f1; g sono due termini noti variabili. La formula di Eulero è una relazione che consente di rappresentare i numeri complessi in coordinate polari. Essa a erma che, per ogni numero reale, v, è possibile passare da funzioni esponenziali complesse a funzioni trigonometriche sulla base della seguente relazione: e iv = cos v + i sin v. 9

10 Questo sistema può essere riscritto in forma matriciale: " # " #" # " # x 0 (t) 11 (t) 1 (t) x (t) 1 (t) = + y 0 (t) 1 (t) (t) y (t) (t) {z } {z } {z } {z } u 0 (t) A(t) u(t) B(t) =) u 0 (t) = A (t) u (t) + B (t) dove u 0 (t) è un vettore colonna x1 di derivate prime, A (t) è una matrice quadrata x composta da funzioni reali, u (t) è un vettore colonna x1 formato dalle due funzioni incognite e B (t) un vettore colonna x1 formato dai due termini noti variabili. 4.1 Soluzione nel caso di sistemi omogenei a coe cienti costanti Supponiamo che i coe cienti che formano la matrice A (t) e il vettore colonna B (t) non dipendano da t. Il sistema di partenza si riduce alla seguente espressione: u 0 (t) = Au (t) + B: (1) dove: " 11 1 # " 1 # A 1 ^ B sono, rispettivamente, una matrice non singolare formata da quattro costanti reali, ij <; con fi; jg = f1; g, e un vettore colonna formato da due costanti reali z <, con z = f1; g. Nel caso di un sistema omogeneo, il vettore dei terminiin noti sarà un vettore di zeri, B = [0; 0] 0. Di conseguenza, il sistema di erenziale di partenza si riduce alla semplice equazione di erenziale matriciale omogenea del 1 ordine a coe cienti variabili: u 0 (t) = Au (t) ; la quale ammette una soluzione singolare del tipo, u = [0; 0] 0. Cerchiamo adesso le soluzioni non banali e ipotizziamo che la (1) ammetta soluzioni di tipo esponenziali u (t) = W e t, dove W = [w 1 ; w ] 0 è un vettore colonna x1 formato da costanti reali. Inserendo l ipotesi di soluzione, u (t) = W e t, nell equazione di erenziale matriciale (e ricordando che u 0 (t) = W e t ) si ottiene: W e t = AW e t =) W = AW =) W (A I) = 0 (13) dove I è una matrice identita x. Se è tale che la matrice A I è non singolare, allora l unica soluzione possibile sarà quella banale W = 0, perché l unica combinazione lineare delle colonne di A I uguale al vettore nullo sarà quella con coe cienti w 1 tutti nulli (i = 1; ). Di conseguenza per ottenere soluzioni non singolari occorre che sia tale da rendere singolare la matrice A I. Poichè una matrice è singolare se e solo se il suo determinante è nullo, allora risolvere la (13) si riduce a trovare le radici della equazione caratteristica generata dal determinante della matrice A I. Tuttavia, dall Algebra delle Matrici sappiamo che risolvere l equazione: Det [A I] = 0 10

11 signi ca trovare tutti gli autovalori,, e gli autovettori, W, della matrice dei coe cienti A. conseguenza, la ricerca delle soluzioni del sistema lineare omogeneo (13) si riduce alla ricerca degli autovalori ed autovettori della matrice dei coe cienti A. Per semplicità, poniamo J A I e riscriviamo la precedente equazione in forma compatta: (" # " #) (" #) DetJ = 0 =) Det = 0 =) Det = 0: Applicando la formula del determinante otteniamo il seguente polinomio caratteristico: ( 11 ) (a ) a 1 a 1 = 0 =) ( 11 + a ) + ( {z } 11 a a 1 a 1 ) = 0: {z } =tra DetA Poiche i due termini entro parentesi rappresentano, rispettivamente, la traccia di A e il determinante di A, l equazione caratteristica che risolve il sistema di partenza (1) diventa: Di L () = tra + DetA Per cui, trovare le soluzioni di un sistema di due EDO lineari del 1 ordine del tipo (1) equivale a risolvere una EDO lineare del ordine omogenea del tipo: x 00 (t) + a 1 x 0 (t) + a x (t) = 0 dove: a 1 tra e a DetA La soluzione non singolare, u (t) = [x (t) ; y (t)] 0 : Come nel caso delle EDO lineari del ordine, per trovare le soluzioni dell equazione omogenea associata al sistema (1) è necessario risolvere l equazione caratteristica L () = 0, che sappiamo può anche presentare soluzioni in campo complesso. Anche in questo caso, quindi, l andamento delle soluzioni, ossia la loro dinamica, dipenderà dal segno del discriminate della L (), che a sua volta dipenderà dai valori della traccia della matrice dei coe cienti, tra, e dal suo determinante, DetA. Partendo dalla de nizione di discriminante è dunque possibile scrivere: q = ( tra) 4DetA =) 1; = tra ( tra) 4DetA, da cui possiamo distinguere i seguenti casi: 1. > 0 =) ( tra) > 4DetA =) L () ha radici distinte in campo reale;. = 0 =) ( tra) = 4DetA =) L () ha radici coincidenti in campo reale; 3. < 0 =) ( tra) < 4DetA =) L () ha radici complesse e coniugate. 11

12 Caso 1: radici reali e distinte. Se > 0, la matrice dei coe cienti A presenta due autovalori reali e distinti in campo reale, 1 < ^ <, tali che 1 6=. La soluzione del sistema (1) sarà quindi data dalla seguente coppia di funzioni: 3 x (t) = A 1W 1 e 1t + A W e t =) y (t) dove: W 1 = w ^ W = w >< x (t) = A 1 e 1t + A e t y (t) = A 1 w 1 e 1t + A w e t sono i due autovettori riferiti ai due autovalori, in cui il primo elemento di ogni autovettore, il generico w i1 con i = f1; g, è stato normalizzato ad uno. L andamento temporale delle soluzioni dipenderanno dal segno degli autovalori. In particolare, è possibile distinguere tre possibili dinamiche: 1 Tipo di equilibrio dinamica + u = (0; 0) è un punto di sella (o saddle point) Esiste un unico sentiero convergente + u = (0; 0) è un punto di sella (o saddle point) Esiste un unico sentiero convergente + + u = (0; 0) è un nodo divergente (o star) Non esistono sentieri convergenti u = (0; 0) è un nodo convergente (o sink) Caso : radici reali e coincidenti. Esistono in niti sentieri convergenti Se = 0, la matrice dei coe cienti A presenta due autovalori reali e concidenti, 1 < ^ < tali che 1 = =. La soluzione del sistema (1) sarà quindi data dalla seguente coppia di funzioni: 3 x (t) = A 1W e t + A W te t =) y (t) >< x (t) = A 1 e t + A te t y (t) = A 1 w e t + A w te t dove W indica l autovettore associato all unico autovalore reale della matrice A: L andamento temporale delle soluzioni dipenderanno dal segno degli autovalori. In particolare, è possibile distinguere due possibili dinamiche: Tipo di equilibrio dinamica + u = (0; 0) è globalmente instabile Non esistono sentieri convegenti u = (0; 0) è globalmente stabile Caso 3: radici complesse e coniugate. Esistono in niti sentieri convegenti Se < 0, la matrice dei coe cienti A presenta due autovalori complessi e coniugati, 1; = h iv, dove h denota la parte reale della redice caratteristica e v quella immaginaria. In questo caso la coppia di soluzioni omogenee sarà pari a: 3 x (t) >< x (t) = e ht A 1 e vit + A e vit = A 1W 1 e (h+iv)t + A W e (h iv)t =) y (t) y (t) = e ht A 1 w 1 e vit + A w e vit 1

13 che, facendo ricorso alla formula di Eulero, diventa: >< x (t) = e ht [A 1 (cos vt + i sin vt) + A (cos vt =) i sin vt)] y (t) = e ht [A 1 w 1 (cos vt + i sin vt) + A w (cos vt + i sin vt)] >< x (t) = e ht ( 1 cos vt + sin vt) y (t) = e ht ( 0 1 cos vt + 0 sin vt) =) dove: 1 A 1 + A, i (A 1 A ), 1 A 1 w 1 + A w e i (A 1 w 1 A w ) sono le quattro costanti di integrazione La presenza di funzioni trigonometriche all interno delle soluzioni fa sì che il loro andamento dinamico sia di tipo oscillatorio. Tuttavia, la stabilità o l instabilità della soluzione singolare, (0; 0), dipenderà dal segno della parte reale delle radici del polinomio caratteristico. E quindi possibile distinguere tre possibili dinamiche: h Tipo di equilibrio dinamica + u = (0; 0) è un focus instabile (o source) Le oscillazioni sono divergenti verso in nito 0 u = (0; 0) è un centro (o focal point) Le oscillazioni sono regolari intorno all equilibrio u = (0; 0) è un focus stabile (o spiral sink) Le oscillazioni sono convergenti verso l equilibrio Esercizio 4 isolvere i seguenti sistemi di equazioni di erenziali omogenei lineari del 1 ordine a coe cienti costanti ed analizzare le loro proprietà dinamiche: >< x 0 (t) = x (t) + y (t) 1. ; con x (0) = 1 e y (0) = 1; y 0 (t) = 3x (t) y (t). 3. >< >< x 0 (t) = 3y (t) y 0 (t) = 1x (t) 4y (t) x 0 (t) = x (t) + y (t) y 0 (t) = x (t) + y (t), con x (0) = e y (0) = 1; ; con x (0) = 1 e y (0) = : 13