Introduzione alla Logica

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1 SSIS Udine Anno Accademico 2005/2006 Corso Didattica della Logica e Laboratorio Introduzione alla Logica Giada Marzinotto 16 maggio 2006 Classe Primo anno di liceo; se liceo scientifico l unità serve come arte introduttiva alla logica ma va amliata e corredata da una scelta di esercizi di ambito discilinare. Prereuisiti Non sono necessari articolari rereuisiti in uanto l unità didattica è costruita in gran arte su osservazioni e considerazioni che scaturiscono dall uso comune del linguaggio. Dal momento che si accenna in ualche unto a dimostrazioni, sarebbe oortuno trattare l argomento ossibilmente in arallelo alla resentazione dei rimi teoremi di geometria iana. Obiettivi introdurre gli elementi della logica roosizionale e redicativa; in articolare riconoscere le regole d uso dei connettivi logici e dei uantificatori, saerle motivare e individuare i riscontri di tali regole nell uso uotidiano del linguaggio. La scelta di trarre gli esemi dal racconto di L. Carroll Alice nel aese delle meraviglie è stata attuata sia er mostrare uesto collegamento tra logica e ensiero razionale anche al di fuori dell ambito uramente matematico, sia er avere un modo vicino alla sensibilità degli studenti di trattare il roblema della conseguenza logica e del valore di verità delle roosizioni. 7 unità orarie (4 er la logica roosizionale, 3 er la logica redica- Temi tiva) 1

2 Indice 1 Introduzione 3 2 La logica roosizionale Le regole er Le regole er Le regole er Le regole er La regola del terzo escluso e il roblema della verità La logica dei redicati Le regole er Le regole er Esercizi 15 2

3 1 Introduzione In uesta unità didattica ci occueremo di introdurre i concetti fondamentali della Logica roosizionale e della Logica redicativa: cerchiamo innanzitutto di caire cosa intendiamo uando arliamo di Logica. Borogars are mimsy whenever it is brilling. It is now brilling and this thing is a borogar. This thing is mimsy. Quello sora riortato è un sillogismo che è stato commentato anche da Lewis Carroll: è cioè una forma di ragionamento comosta da due affermazioni, dette remesse, dalle uali si deduce una terza affermazione detta conclusione. La deduzione è segnalata dalla linea orizzontale che seara remesse e conclusione; otremmo esrimere la stessa cosa dicendo che se vale la remessa 1 e se vale la remessa 2 allora vale la conclusione. Osserviamo con attenzione il ragionamento: la struttura che lo caratterizza è la stessa che si riconosce nel seguente: Marco è triste ogni volta che iove. Ora iove e uesta ersona è Marco. Questa ersona è triste. Non abbiamo roblemi a riconoscere, nel modo di ragionare cui siamo usualmente abituati, che se una determinata ersona di nome Marco è semre triste uando iove e se in uesto momento iove e abbiamo davanti rorio lo stesso Marco vedremo che uella ersona è triste; ciò indiendentemente dal fatto che davvero conosciamo una ersona che si chiami Marco e che uesta ersona sia effettivamente triste ogni volta che iove. Allo stesso modo allora dovremo ammettere che se degli oggetti chiamati borogars hanno la rorietà di essere mimsy ogni volta che si verifica la condizione it is brilling e se in uesto momento it is brilling e abbiamo davanti un oggetto che è un borogar allora uell oggetto dovrà essere mimsy : uesto a rescindere dal fatto che i termini borogar, mimsy e it is brilling non abbiano un significato riconosciuto né nella nostra lingua né in nessun altra, nel senso che non vengono associati ad alcun oggetto, rorietà o situazione determinata. Se referiamo ossiamo ensare che, se in un ualche mondo si trovano degli oggetti detti borogar che sono mimsy uando it is brilling e se..., allora..., e così via. La Logica (er lo meno uella che resenteremo in uesta unità) si occua aunto di studiare la validità di un ragionamento, ovvero di stabilire se il rocesso con cui da determinate assunzioni o remesse vengono ricavate delle conclusioni segua in modo corretto le regole del ensiero razionale: si tratta dunue di rendere in considerazione la struttura che regge un determinato rocesso di ensiero, iuttosto che i significati contingenti dei termini e delle esressioni che in esso comaiono: uesto non vuol dire, chiaramente, che la Logica si occua di ragionamenti senza senso, bensì che essa ricerca e analizza le strutture comuni a ragionamenti che ossono essere contestualizzati negli ambiti iù disarati. A uesto unto è indisensabile stabilire uali siano le regole che riconosciamo come corrette e in che modo vadano alicate affinché si ossa dire di un ragionamento che è valido: vogliamo caire insomma uando, dato un certo insieme Γ di assunzioni (o iotesi), è da considerarsi corretto trarre da Γ una deter- 3

4 minata conclusione. In termini logici, uando ciò accade si dice che da Γ deriva o che è derivabile da Γ o che esiste una derivazione di da Γ. Questa relazione di derivabilità viene indicata in generale con Γ oure Γ Una derivazione verrà raresentata in generale come un albero in cui alle foglie troviamo le iotesi e alla radice la conclusione: ad esemio Se Lucia va al cinema allora Marta rimane a casa. Marta non è rimasta a casa, oure è stata invitata Stefania. Saiamo che Stefania non è stata invitata. Allora Lucia non è andata al cinema. è una derivazione formata dalle roosizioni (che indichiamo con lettere minuscole) : Lucia va al cinema : Marta rimane a casa r: Stefania è stata invitata e si raresenta con r r Procederemo d ora in oi nel lavoro traendo gli esemi necessari dal racconto Alice nel aese delle meraviglie di L. Carrol. 2 La logica roosizionale Il ee rende la gente così infiammabile... e l aceto la rende acida... e la camomilla la rende amara... e le caramelle e i dolci fan diventare mansueti i bambini... Se gli adulti saessero ueste cose, non sarebbero tanto avari di dolci. (ca. 9) Dovrò mangiare o bere ualcosa... (ca. 4) Ti sarei grato se non mi schiacciassi in uesto modo disse il Ghiro (ca. 11) Ogni volta che arliamo o scriviamo o in ualche modo ci esrimiamo, utilizziamo delle frasi; in modo iù reciso, diciamo che utilizziamo delle roosizioni collegate tra loro da dei connettivi. Nelle frasi riortate ui sora si riconoscono i connettivi e (congiunzione), o (disgiunzione), se... allora... (imlicazione); si uò inoltre osservare l uso del non (negazione). Il linguaggio che usiamo tutti i giorni è naturalmente molto ricco e vario: basta ensare che i verbi si usano in temi diversi, ad esrimere azioni ed eventi resenti, assati o futuri; usiamo forme condizionali e imerative, che esrimono desideri o comandi; arricchiamo il discorso con forme anche comlicate di subordinazione, con comlementi e talvolta con esclamazioni; in iù saiamo bene che molto sesso il linguaggio assume sfumature (imlicazioni emotive, doi sensi, ironie... ) 4

5 che non sono classificabili erché in genere strettamente legate al contesto in cui ci si one, alla sensibilità di chi riceve il messaggio e così via. Non ci occueremo di tutti uesti asetti: nostro comito sarà iuttosto studiare la struttura essenziale, e dunue molto semlificata risetto alla ricchezza del linguaggio, di un ragionamento. Ci occueremo in uesta fase di riconoscere e studiare le norme che regolano l introduzione, l eliminazione e in genere l utilizzo in un rocesso di ensiero rorio di uei connettivi che abbiamo riconosciuto nei brani di cui sora e che vengono indicate in Logica con determinati simboli: la congiunzione e ( ); la disgiunzione o ( ); l imlicazione se... allora ( ); inoltre la negazione non, che non è un connettivo ( ) 2.1 Le regole er Introduzione Alcuni uccelli se la batterono di corsa; una vecchia Gazza rese a imbacuccarsi con ogni cura... (ca. 3) Le roosizioni che riconosciamo nell esemio sono due: : alcuni uccelli se la batterono di corsa : una vecchia Gazza rese a imbacuccarsi con ogni cura Se assumiamo sia l affermazione sia l affermazione, nel nostro modo di ragionare è legittimo indicare e : in altri termini la congiunzione lega due roosizioni uando assumiamo che valgano entrambe: la regola di introduzione si esrime dunue come Eliminazione Come bambino sarebbe stato orribilmente brutto, ma come maialino non mi sembra affatto male... (ca. 6) Iniziamo osservando un fatto: nel ragionamento, er collegare roosizioni non usiamo solo i connettivi di cui abbiamo arlato sora, ma anche altre articelle (ma, erò, uando, ecc), oltre a segni di interunzione; in generale erò è ossibile, con oortune semlificazioni, ricondurre tali articelle e segni di interunzione ai connettivi già elencati. Un esemio è rorio nel brano riortato sora, in cui la virgola e il ma, dal unto di vista logico, sono del tutto euivalenti a una congiunzione; dunue la roosizione è del tio, con : come bambino sarebbe stato orribilmente brutto : come maialino non mi sembra affatto male Prorio er il significato che attribuiamo alla congiunzione, significato di cui abbiamo già discusso sora, se ammettiamo due roosizioni congiunte allora 5

6 dobbiamo ammettere searatamente l una e l altra: formuleremo dunue la regola di eliminazione di come oure 2.2 Le regole er Introduzione Il ozzo era molto rofondo o lei [Alice] stava reciitando molto lentamente... (ca. 1) Consideriamo la frase riortata: è costituita da due roosizioni : il ozzo era molto rofondo : lei stava reciitando molto lentamente unite dalla disgiunzione o : si uò dunue esrimere come. Siamo naturalmente disosti ad ammettere che se il ozzo è rofondo allora il ozzo è rofondo o Alice sta reciitando molto lentamente; allo stesso modo ossiamo tranuillamente accettare che se Alice sta reciitando molto lentamente allora il ozzo è rofondo o Alice sta reciitando molto lentamente: in altri termini, una ualsiasi delle due roosizioni e è sufficiente er derivare. Diamo uindi la regola di introduzione del : oure Eliminazione Se mi fai allungare osso afferrare la chiave, se mi fai rimicciolire osso strisciare sotto la orta, così in un modo o nell altro arrivo nel giardino... (ca. 1) Esrimiamo la frase in modo iù articolato: Alice è convinta che la torta che sta er mangiare la farà allungare oure rimicciolire e da entrambe le iotesi trae alcune conclusioni. Schematizziamo: : mi fai allungare : mi fai rimicciolire r: arrivo nel giardino s: osso afferrare la chiave t: osso strisciare sotto la orta s r t r r In generale la regola di eliminazione di raresenta il ragionamento er 6

7 casi e si esrime in uesta forma: r r r Osservazione 1. La lineetta sora le iotesi e indica un oerazione di scarico. Questa regola afferma in sostanza che, saendo che sia nell iotesi sia nell iotesi si uò dedurre r, allora si uò dedurre r saendo che : uesto significa che e vengono considerate searatamente come iotesi di lavoro, assunzioni temoranee che servono a dedurre r, ma al fine di dedurre r è sufficiente l iotesi : l oerazione di scarico consiste aunto nel segnalare uali sono le iotesi di lavoro che non è necessario inserire nell insieme Γ di iotesi della derivazione. Osservazione 2. Abbiamo considerato fin ui una disgiunzione debole, indicata come disgiunzione inclusiva o con il termine latino vel: il significato del vel è che si ammette la disgiunzione se si ammette almeno una tra e, cioè o, o o anche entrambe. Esiste anche una forma forte di disgiunzione, detta disgiunzione esclusiva o aut e che indichiamo con : ammettere significa ammettere esattamente una tra e, ossia oure ma non entrambe. Nonostante uesto tio di disgiunzione sia forse anche iù comune dell altro nel linguaggio comune, dal unto di vista logico è iù interessante studiare vel; si tenga conto tra l altro che si uò esrimere in modo euivalente usando vel, la congiunzione e la negazione nel modo seguente, che esclude la ossibilità di ammettere entrambi i disgiunti: 2.3 Le regole er ( ) ( ) Prima di elencare le regole che determinano l uso di è bene secificare esattamente cosa intendiamo con uesto connettivo: abbiamo detto che nell uso corrente si traduce con se... allora... o con esressioni euivalenti. Il significato di una imlicazione è dichiarare che ogni volta che si assume si deve assumere anche, o in altri termini che non uò nello stesso temo darsi e non darsi : ( ) o ancora euivalentemente che si assume oure non si assume : Esercizio 3. Si dimostri l euivalenza tra uesti due enunciati, ossia si mostri una derivazione del rimo dal secondo e una derivazione del secondo dal rimo (meglio se doo aver visto anche le regole sull uso di ). Questa osservazione uò aiutare a caire iù chiaramente alcune regole che verranno resentate di seguito. 7

8 Introduzione Da allora lui [il temo] non vuole iù fare niente di uel che gli chiedo. Adesso sono semre le sei [... ] Allora è semre l ora del tè, uindi non abbiamo neanche un minuto er sciacuare le tazze tra un sorso e l altro. (ca. 7) Raccontando ad Alice le rorie disavventure, il Caellaio arte da una remessa ( Adesso sono semre le sei ) e trae una conseguenza ( Allora è semre l ora del tè ) che lo orta ad una conclusione ( Non abbiamo temo er sciacuare le tazze ). Non è affatto in contrasto col nostro modo di ragionare concludere che se sono semre le sei allora non abbiamo temo er sciacuare le tazze. Usando le nostre raresentazioni : sono semre le sei r: è semre l ora del tè : non abbiamo temo er sciacuare le tazze r In generale formuleremo la regola di introduzione di in uesto modo: Osservazione 4. Ritroviamo anche ui lo scarico dell iotesi. Di nuovo serve come iotesi di lavoro er la deduzione, non come dato di fatto: la differenza è sottile ma sostanziale. Come accade di solito nelle deduzioni in cui si introduce un (e non solo), uello che ci interessa è stabilire che se o uando si verifica una determinata circostanza allora se ne verificherà un altra, non che si è effettivamente verificata la rima e uindi si verifica effettivamente anche la seconda. Eliminazione (o modus onens) C erano una volta tre sorelline che vivevano in fondo a un ozzo [... ] cominciò il Ghiro. E di cosa vivevano? disse Alice [... ] Vivevano di melassa disse il Ghiro [... ] Ma non otevano! Si sarebbero ammalate! osservò Alice [... ] Infatti lo erano disse il Ghiro (ca.7) In uesto dialogo tra Alice e il Ghiro riconosciamo l utilizzo di un imortante regola er l imlicazione. Si afferma, sostanzialmente, che se le bambine vivono di melassa allora si ammalano: le bambine nel ozzo vivevano di melassa; allora erano ammalate. Come al solito, semlifichiamo le nostre roosizioni: : le bambine vivono di melassa : le bambine sono ammalate 8

9 Allora il dialogo si uò raresentare con 2.4 Le regole er Sillogismo disgiuntivo Fa la tua deosizione, disse il Re, e non essere nervoso o ti faccio giustiziare sul momento! (ca. 11) Consideriamo uesta minaccia del Re al Caellaio: sostituiamo er comodità non essere nervoso con stai tranuillo in modo da evitare (er il momento) doie negazioni. Il senso della frase è che il Caellaio ha due alternative, stare tranuillo oure venir giustiziato: visto il significato già discusso di, è immediato ammettere che se non si verifica la rima er lo sfortunato Caellaio si verificherà la seconda. Osservazione 5. Notiamo che in uesta regola sarebbe indifferente arlare di disgiunzione inclusiva o esclusiva: in entrambe se uno dei disgiunti non viene ammesso deve essere ammesso l altro. Raresentiamo: : stai tranuillo : ti faccio giustiziare Modus tollens Se avessero un o di cervello cercherebbero di scoerchiare il tetto (ca. 4) Sesso uando arliamo sottintendiamo significati che non vengono esressi direttamente: è rorio il caso di uesta frase, in cui l uso del condizionale ci fa caire che il reale ensiero di Alice andrebbe comletato così: visto che non cercano di scoerchiare il tetto allora non hanno cervello. Le roosizioni sono, semlificando : hanno cervello : cercano di scoerchiare il tetto e il ragionamento di Alice, che esrime la regola detta modus tollens, si raresenta con Ex falso Vai a giocare a crouet con la Regina oggi? disse il Gatto. Magari! disse Alice Ma non sono stata invitata. Allora ci vediamo là. (ca. 6) Comletiamo uesta strana affermazione del Gatto del Cheshire in modo che ci risulti un o iù ragionevole: se la frase fosse Se sei stata invitata allora ci 9

10 vediamo là non avremmo alcun roblema a seguire il ragionamento. La regola logica che raresenta tale rocedimento di ensiero è una regola iuttosto discussa che si raresenta in uesto modo: : sei stata invitata : ci vediamo là Vale la ena di sendere ualche arola sulla giustificazione di uesta regola. Essa si motiva con la derivazione che uò sembrare iuttosto discutibile uando se ne considera il significato, ma è erfettamente coerente con le regole introdotte finora er i connettivi logici. Dal momento che l iotesi viene scaricata al termine della deduzione, abbiamo dedotto da come afferma la regola aena introdotta. Questo tio di regole uò risultare difficile da accettare erché ci sembra strano che si ossa ricavare da una determinata iotesi una conclusione che con essa non ha alcuna attinenza; tuttavia al fondo di uesto tio di regole ce n è una, detta Ex falso (uodlibet) (Dal falso nel senso di contraddizione segue ualunue cosa) che dobbiamo necessariamente accettare erché anche uesta del tutto coerente con le regole individuate fino a ui; la regola ex falso si esrime con ed è motivata dalla derivazione dove la contraddizione sta nella congiunzione in uanto, rorio er il significato che attribuiamo alla negazione, è contraddittorio ammettere una ualche circostanza e la sua negazione (ad esemio iove e non iove ). 2.5 La regola del terzo escluso e il roblema della verità Esiste una regola, oltre a uelle resentate fin ui er la logica roosizionale, che ossiamo decidere di accettare o non accettare: si tratta della regola del terzo escluso, che afferma che data una ualsiasi roosizione vale oure. Questa regola caratterizza tradizionalmente la Logica classica in uanto è stata accettata e utilizzata fin dalla formulazione della Logica data da Aristotele. Teorie logiche molto iù recenti erò hanno messo in discussione uesta regola: l osservazione cruciale in uesto caso nasce dal fatto che i logici classici hanno in genere esresso lo stesso rinciio affermando che è vero oure è vero, o 10

11 anche che è vero o è falso (tertium non datur, non vi è una terza ossibilità). Questa restrizione otrebbe anche essere accettata in via di rinciio, ma se ci si occua in Logica di roblemi un o iù vicini al ragionamento e sorattuttto al linguaggio anche comune ci si accorge che essa è troo limitante: non è affatto vero che, uando arliamo, siamo in grado di decidere er ogni affermazione che facciamo se essa è vera o falsa, nè che ragioniamo solo su affermazioni vere o false, rincialmente er due motivi: 1. non è ben chiaro cosa intendiamo er verità : ad esemio ossiamo dire che ciò che accade ad Alice è vero? Nel nostro mondo non esistono Gatti del Cheshire e Leri Marzoline, uindi saremmo tentati da un certo unto di vista di dire di no, ma nel sogno di Alice, che è una sorta di altro mondo, le sue avventure accadono davvero nessuno imedisce di costruire un ragionamento erfettamente logico su roosizioni di cui non si sa se sono vere o false; di nuovo ci viene in aiuto Alice, oiché nel racconto da cui stiamo traendo i nostri esemi ci sono numerosi ragionamenti e di tutti ossiamo dire con sicurezza, analizzandoli sulla base delle regole fin ui resentate, se sono logici ( o, se referiamo, corretti, coerenti,... ) senza aver affatto risolto la uestione di cui al unto recedente. Il roblema della verità è stato amiamente discusso sorattutto dai logici dell ultimo secolo; in uesta sede non ce ne occueremo in modo troo dettagliato in uanto la uestione è estremamente comlessa. Ci limitiamo a chiarire che non assumeremo la regola del terzo escluso, inserendoci uindi nel filone della logica detta intuizionistica anziché in uello della logica classica: non a caso finora non abbiamo mai usato esressioni del tio se è vera ma iuttosto se ammettiamo. Diremo che vero e falso sono valori attribuiti a ciascuna roosizione da una certa funzione detta valutazione, non ci interessa in che modo (ossiamo ensare che è vera in un ualche mondo - che otrebbe non essere il nostro - se in uel mondo si verifica la circostanza esressa da ); in una derivazione il valore di verità della conclusione dienderà esclusivamente dai valori di verità attribuiti alle iotesi. Si uò dimostrare, anche se non lo faremo ui, che da Γ segue segue che Γ è conseguenza logica di, il che significa che uando tutte le roosizioni in Γ sono vere lo è anche ; nel caso si ammettesse il terzo escluso, varrebbe anche il viceversa. Notiamo, come ultime osservazioni sull argomento, che Osservazione 6. la relazione di conseguenza logica differisce uindi da uella di derivabilità erché entra nel merito semantico, cioè del significato, mentre la derivabilità si limita a un gioco meccanico di tio sintattico, basato cioè soltanto sulle relazioni tra le roosizioni determinate dai connettivi Osservazione 7. se rinunciamo al terzo escluso dobbiamo rinunciare anche alla doia negazione, ossia non ossiamo affermare che euivale a Esercizio 8. Pensando al significato comunemente attribuito alla congiunzione, alla disgiunzione, alla negazione, scrivere la negazione di, di, di. 11

12 3 La logica dei redicati Non saevo che i Gatti del Cheshire sogghignano semre, anzi, non saevo neanche che i gatti otessero sogghignare disse Alice. Tutti sanno farlo, disse la Duchessa, e uasi tutti lo fanno. Io non ne conoscevo nessuno disse Alice. (ca. 6) Se volessimo raresentare come abbiamo fatto finora le roosizioni di uesto dialogo, ci troveremo in una grossa difficoltà: non siamo in grado di esrimere i ronomi tutti, nessuno, ualcuno.... Il roblema è meno banale di uanto sembra: ad esemio, dal fatto che tutti i Gatti del Cheshire sanno sogghignare ci sembra naturale dedurre che anche il gatto della Duchessa sa sogghignare, eure usando solo gli strumenti della logica roosizionale saremmo costretti a raresentare la rima affermazione come una roosizione, la seconda come una roosizione e non c è alcuna derivazione giustificabile da a. Non solo: ci accorgiamo anche che non abbiamo alcun modo di riferire una condizione (ad esemio il saer sogghignare) a individui distinti (ad esemio il gatto della Duchessa iuttosto che il gatto della vicina di casa); sarebbe molto ragionevole oterlo fare senza dover usare due roosizioni diverse e del tutto indiendenti, dal momento che la condizione di cui arliamo è la stessa e cambia solo l individuo cui è riferita. Abbiamo dunue bisogno di nuovi strumenti: i uantificatori (er ogni) ed (esiste): servono a secificare se arliamo di tutti, alcuni, nessuno degli individui di un determinato insieme o dominio le variabili x, y, z,... : servono a indicare generici elementi del dominio; le costanti a, b, c,... : servono a secificare singoli individui del dominio; i simboli funzionali P, Q,... : ermettono di costruire redicati, ossia esressioni che associano determinate rorietà a variabili. Si dicono unari se fanno riferimento a una sola variabile, binari se a due e così via; i simboli relazionali R1, R2,... : esrimono relazioni tra due o iù oggetti. Ad esemio, in riferimento alle frasi del dialogo sora, otremo orre G(x): x è un gatto del Cheshire (redicato unario) S(x): x sa sogghignare (redicato unario) F(x): x sogghigna (redicato unario) d : il gatto della Duchessa Con uesto otremmo già dire, ad esemio, che il gatto della Duchessa è un gatto del Cheshire: G(d) tutti i gatti del Cheshire sanno sogghignare: x(g(x) S(x)) (recisamente, er ogni oggetto x se x è un gatto del Cheshire allora x sa sogghignare ) alcuni gatti del Cheshire sogghignano: x(g(x) F (x) (recisamente, esistono oggetti x tali che x è un gatto del Cheshire e x sogghigna ) 12

13 e così via. Vedremo ora di caire uali sono le regole er introdurre ed eliminare i uantificatori. Nota: utilizzeremo esemi semlici, in cui comare un solo redicato uantificato: le stesse regole erò valgono se al osto dei redicati si mettono formule, ossia comosizioni di redicati costruite tramite connettivi, come si otrà vedere negli esercizi riortati in fondo. 3.1 Le regole er Eliminazione I remi andranno a tutti disse il Dodo [... ] Ma anche lei [Alice] deve ricevere un remio, no? (ca. 3) In una secie di gara tutti sono stati dichiarati vincitori, dunue tutti ricevono un remio; ioché Alice fa arte dei giocatori, anche lei riceverà un remio. Se oniamo P(x): x riceve un remio a: Alice otteniamo la raresentazione della regola di eliminazione di o assaggio dall universale al articolare, secondo cui se è stato derivato un universale allora si ossono derivare tutte le sue istanze, le alicazioni a individui secifici aartenenti al dominio. x P (x) P (a) Introduzione Che ne è stato del bambino? chiese il gatto. Si è trasformato in un orcellino disse Alice. Ecco, lo saevo (ca. 6) La risosta del gatto lascia intendere che, almeno secondo lui, tutti i bambini allora si trasformano in orcellini. Leggendo in uesto modo il dialogo e onendo P(x): il bambino x si trasforma in orcellino, ossiamo raresentare così: P (b) x P (x) Questa è effettivamente la regola di introduzione di, ma è soggetta ad un imortante restrizione: l universale non si uò introdurre semre in uesto modo, ma solo uando sul arametro b non sono state imoste condizioni, in articolare se siamo all interno di una derivazione b non deve far arte delle iotesi e non deve essere già stato utilizzato in altre arti della derivazione stessa. Si tratta di uello che in generale nelle dimostrazioni è indicato come un elemento generico sul uale fare considerazioni. Per inciso, è rorio er uesto che l affermazione del gatto in uesto caso non ci sembra molto coerente: se un ualsiasi bambino si trasforma in orcellino ossiamo anche ensare che tutti i bambini lo facciano, ma non si vede il motivo di trarre la stessa conclusione se saiamo solo che lo ha fatto uel reciso bambino che Alice teneva in braccio (e che dunue è un individuo su cui abbiamo osto recise condizioni), dunue l alicazione che il gatto fa della nostra regola non è corretta... 13

14 Negazione Tutti si sedettero in cerchio (ca. 3) La frase riortata uò essere tradotta con x S(x) dove S(x): x si sedette. Suoniamo ora di voler negare uesta frase: se non ammettiamo (o non è vero, ricordando uanto già detto sulla uestione della verità) che tutti si siano seduti allora ualcuno non si sarà seduto. Punto cruciale: basta aunto che ualcuno non si sia seduto, non è necessario che tutti non si siano seduti. Di conseguenza, la negazione di uesta frase si esrimerà non con un uantificatore universale ma con un uantificatore esistenziale: 3.2 Le regole er x S(x) Introduzione Una orcellina d India tentò un alauso... (ca. 11) Se saiamo che un determinato individuo, ad esemio la orcellina d India, soddisfa una determinata condizione, ad esemio tentare un alauso, è immediato ammettere che esiste un ualche individuo che la soddisfa: in altri termini, osto A(x): x tenta un alauso e : la orcellina d India, si ha A() x A(x) Eliminazione Al centro della cucina sedeva la Duchessa intenta a cullare un lattante... (ca. 6) C è un bambino che la Duchessa sta cullando: se oniamo C(x): x è cullato dalla Duchessa, ossiamo decidere anche di dare un nome, ad esemio b, al bambino, e dunue scrivere x C(x) C(b) Γ C(b) Si tratta della regola di eliminazione di, che si traduce nel tiico rocedimento er cui, ad esemio, in una dimostrazione in cui stiamo arlando di triangoli diciamo Sia ABC un triangolo tale che... : stiamo insomma dando un nome, individuando un oggetto di cui saiamo che esiste. Attenzione erò: anche in uesto caso il nome, ossia la costante, va scelto con alcune accortezze. Per intenderci: se in Alice, ualche agina rima, fosse stato chiamato b il bambino della vicina che sta giocando in cortile, non saremmo autorizzati a riutilizzare lo stesso nome er un bambino diverso, a scanso di confusioni iù o meno gravi, così come in una dimostrazione non è mai oortuno scegliere lo stesso nome er due oggetti distinti. 14

15 Negazione Il Dodo aveva lasciato cadere una ausa come se ualcuno dovesse rendere la arola, ma nessuno si era sognato di farlo. (ca. 3) Abbiamo in uesta frase un redicato e la sua negazione. Ponendo P(x): x arla, ualcuno arla si raresenta con x P (x) Se erò nessuno arla, ovviamente, tutti stanno zitti: la negazione di un esistenziale richiede un universale x P (x) 4 Esercizi I seguenti esercizi sono rooste di attività da svolgere in classe er esemlificare i contenuti inseriti nell unità didattica. Esercizio 9. Ma io sono una bambina! No, tu sei un serente, confessa! Adesso mi dirai anche che non hai mai assaggiato un uovo! Certo che ho assaggiato le uova! Ma solo erché le bambine mangiano le uova come i serenti, tutto ui! [...] se è vero allora sono una secie di serenti anche loro, unto e basta! (ca. 5) In uesto vivace dialogo tra Alice ed il Piccione, ti sembra corretta la conclusione a cui arriva il Piccione? Perché? (suggerimento: oni a: Alice, B(x): x è una bambina, S(x): x è un serente, U(x): x mangia le uova, oi raresenta il ragionamento comiuto nelle ultime due battute del dialogo) Esercizio 10. [... ] Tanto er cominciare, i cani non sono matti [...] Un cane uando è arrabbiato ringhia e uando è contento muove la coda. Io invece ringhio uando sono contento e muovo la coda uando sono arrabbiato. Perciò sono matto (ca. 6) Studia la validità di uesto ragionamento del Gatto del Cheshire, onendo g: il Gatto del Cheshire, C(x): x è un cane, M(x): x è matto, R(x): x ringhia, S(x): x muove la coda, B(x): x è arrabbiato, N(x): x è contento Riferimenti bibliografici [1] F. D Agostini, Le ali al ensiero, ed. Paravia, 2003 [2] Aunti del corso [3] L. Carroll, Alice nel aese delle meraviglie, ed. Feltrinelli, 1993 (testo originale a fronte) 15