Torsione Prova di torsione su un cilindro cavo

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1 Torsione e taglio Torsione Prova di torsione su un cilindro circolare cavo Sforzi tangenziali al variare del sistema di riferimento Barre di sezione circolare Sezione circolare cava Sezioni di forma qualunque Taglio Trattazione approssimata di Jourawsky per la sezione rettangolare Deformabilità a taglio 103

2 Torsione Prova di torsione su un cilindro cavo Consideriamo un cilindro circolare cavo, rigidamente fissato a un estremo e sottoposto a momento torcente W all altro. La sua sezione retta abbia raggio medio R e spessore b comparativamente piccolo (b<<r) Per ogni valore della coppia applicata è possibile misurare lo spostamento dei punti sulla superficie esterna (che la piccolezza dello spessore consente di identificare con la superficie media) e da questi risalire al regime deformativo. Se il materiale è isotropo si osserva che le sezioni rette ruotano mantenendosi piane e che, almeno per piccole rotazioni, le fibre longitudinali si conservano rettilineee e non variano di lunghezza. Il regime deformativo è quindi governato dalla rotazione θ() della generica sezione di ascissa, funzione lineare della distanza dall incastro. Questa può essere espressa in funzione della rotazione Θ=θ(l) dell incastro libero scrivendo θ ( ) = Θ l 104

3 Torsione Prova di torsione su un cilindro cavo Dal valore di Θ si può risalire a una grandezza rappresentativa della deformazione locale, vale a dire l angolo γ che la generica fibra longitudinale assume rispetto alla sua posizione originaria, parallela all asse. Da considerazioni geometriche questo angolo vale γ = RΘ e risulta ovunque costante. l SCORRIMENTO ANGOLARE Ci si domanda ora quale misura di sforzo corrisponda allo scorrimento angolare. Intuitivamente due sezioni rette si scambieranno sollecitazioni radenti nel loro piano. Vista la simmetria polare del cilindro rispetto a, queste risulteranno indipendenti dall anomalia α. Si ipotizza inoltre che esse siano dirette come la tangente alla linea media della sezione. Si configura così un flusso q di forze per unità di lunghezza della linea media, ovunque costante. Il suo valore è fissato da una condizione di equivalenza statica con il momento torcente applicato, che l equilibrio richiede costante in ogni sezione. 2π 2 2 W = qr d = 2 R q 0 α π 105

4 Torsione Prova di torsione su un cilindro cavo Il flusso è la risultante degli sforzi locali sullo spessore, che possono variare lungo lo spessore senza contraddire la simmetria. Se lo spessore è sottile, tali variazioni saranno però modeste, e appare legittimo assumere che lo sforzo sia ovunque costante e pari a τ. q τ = = b W TENSIONE TANGENZIALE 2 2π R b Essa agisce sul piano delle sezioni, contrariamente allo sforzo normale che è a essa ortogonale. Le sue dimensioni sono ancora quelle di una forza per unità di superficie. Ottenuti sperimentalmente i valori di Θ associati a ogni W, le relazioni date consentono di risalire al legame tra tensioni tangenziali e scorrimenti angolari per il materiale. Per piccole deformazioni tale legame si presenta simile alla curva uniassiale. In un primo tratto sussiste proporzionalità tra τ e γ: τ = Gγ dove G è una costante detta modulo di elasticità tangenziale e si determina come G = E 2(1 + ν ) 106

5 Torsione Prova di torsione su un cilindro cavo 107

6 Torsione Sforzi tangenziali al variare del sistema di riferimento Gli sforzi tangenziali appaiono qualitativamente diversi da quelli normali. La differenza tuttavia dipende essenzialmente dal modo in cui l elementino infinitesimo è stato isolato dal sistema di riferimento adottato. Si consideri la situazioni in figura assumendo per semplicità d=ds=a, con a abbastanza piccolo da poter ignorare la curvatura della parete del cilindro. Si immagini di sezionare questo elemento secondo un piano ortogonale all asse ζ ruotato di 45 rispetto a, isolando in tal modo il prisma a base triangolare in figura (a), di altezza pari allo spessore di parete b. Sulle due facce appartenenti all elementino originario (a base quadrata) agiscono le risultanti delle tensioni tangenziali che, essendo τ uniforme sull area ba, sono due forze pari a τba; perché l equilibrio del prisma sussista sulla superficie di nuova creazione deve agire la forza necessaria a chiudere il poligono delle forze. Essa ha quindi intensità τba 2 ed è diretta ortogonalmente alla superficie su cui agisce. 108

7 Torsione Sforzi tangenziali al variare del sistema di riferimento σ = τ Lo sforzo corrispondente vale ζ e configura trazione in direzione ζ. La figura (b) mostra l analoga operazione effettuata sezionando l elementino secondo un piano ortogonale all asse ξ: con identico ragionamento si conclude che la superficie è compressa e lo sforzo vale σ ξ = τ Il risultato è riassunto in figura: un elementino quadrato di lato a viene ritagliato dalla superficie del cilindro secondo due orientazioni diverse, con lati ortogonali in un caso agli assi e z e nell altro secondo giaciture inclinate di 45. Lo sforzo relativo al cilindro cavo in torsione si palesa, nei due riferimenti, attraverso componenti apparentemente diverse. Quanto detto illustra in un caso particolare una proprietà fondamentale dello stato di sforzo, le cui componenti scalari variano con il riferimento, seguendo una legge di trasformazione che garantisce l invarianza della grandezza fisica che rappresentano. 109

8 Torsione Barre di sezione circolare La soluzione sviluppata fino ad ora rappresenta un approssimazione che è adeguata solo per cilindri di parete sottile. La relazione è stata ottenuta ipotizzando che le tensioni tangenziali fossero uniformemente distribuite sullo spessore della parete. In genere le tensioni tangenziali sono diverse, sia per valore sia per orientamento, nei diversi punti della sezione e il loro andamento deve essere determinato con il calcolo. Un caso semplice da poter essere affrontato con procedimenti diretti è quello di una barra di sezione circolare piena, di raggio R, che dà luogo al problema della torsione di un cilindro illustrato in figura. Per effetto del momento torcente W le sezioni ruotano mantenendosi piane e indeformate. Inoltre le fibre rettilinee rimangono sostanzialmente rettilinee. Nel processo deformativo quelle appartenenti alla superficie del cilindro ruotano rispetto alla loro posizione originaria di un angolo che vale γ ma RΘ = dove Θ è la rotazione della sezione di sommità. l 110

9 Torsione Barre di sezione circolare Fibre parallele a queste ultime, a distanza r dal baricentro, avranno uno scorrimento angolare più piccolo in ragione del rapporto r/r. r Θ γ ( r) = γ ma = r R l La quantità β = Θ l è nota come torsione e rappresenta la rotazione relativa tra due sezioni a distanza unitaria. Quindi si può riscrivere γ ( r) = β r τ ( r) = Gβ r L andamento delle tensioni sulla sezione è illustrato in figura; esse sono dirette parallelamente alla tangente al bordo e variano linearmente lungo il raggio, annullandosi nel baricentro e raggiungendo il valore massimo sul contorno r=r. 111

10 Torsione Barre di sezione circolare La figura mostra un settore della sezione, sotteso dall angolo α. La forza infinitesima τda, ortogonale al raggio, che agisce a distanza r dal baricentro, fornisce un contributo al momento torcente pari a dw=rτda. L integrale sulla sezione di questi contributi produce il momento torcente totale La quantità 2π R 2π R 3 π 4 τ ( β ) ( α) β α β W = rda = G r r rdrd = G d r dr = G R 2 A IG rappresenta il momento d inerzia polare della sezione circolare. Quindi possiamo riscrivere W = π = R 2 GI β G Se risolta per β determina il valore della torsione indotta da un assegnato momento torcente. W 2 τ ( r) = r τ ma = τ ( R) = W 3 I π R G 4 112

11 Torsione Barre di sezione circolare 113

12 Torsione Sezione circolare cava Lo stesso procedimento consente di determinare la soluzione esatta di una barra la cui sezione sia una corona circolare di raggio medio R e spessore b. L espressione delle tensioni tangenziali diviene W W r τ ( r) = Gβ r = r = IG 2π R b 1 b 1+ 4 R 3 2 In particolare in corrispondenza dei bordi interno ed esterno risulta 1 b 1 b 1 1+ W 2 W τ 2 min = τ ( Ri ) = R ; τ = τ ( R ) = R 2π R b 1 b 2π R b 1 b R 4 R 2 2 ma e

13 Torsione Sezione circolare cava Osservazione: Se b/r 0, le relazioni precedenti divengono I I R b G W 3 G = 2 π, τ ma τ = 2 2π R b Si ritrovano quindi i risultati stabiliti inizialmente come approssimazione per il cilindro in parete sottile, contrassegnati con una sopralineatura. 115

14 Torsione Sezione di forma qualunque Se la sezione ha forma diversa da quelle sin qui esaminate, il problema della torsione non può essere affrontato in modo immediato. Le sezioni infatti, pur ruotando rigidamente nel loro piano, non si conservano piane: esse subiscono un ingobbimento in conseguenza del quale le rette della sezione si inclinano in modo vario, rendendo problematica una definizione geometrica immediata dello scorrimento angolare tra le fibre. Il problema andrebbe affrontato considerando la barra in torsione come un solido elastico. La soluzione analitica è agevole solo per poche sezioni. Per le sezioni più comuni sono stati ottenuti risultati numerici. Ad esempio, per una sezione rettangolare di lati a e b (a b), lo sforzo tangenziale massimo e la torsione sono espressi dalle formule τ W W = K, β = k ab Gab ma 2 3 dove i coefficienti numerici K e k dipendono dal rapporto a/b 116

15 Torsione Sezione di forma qualunque Qualora non si disponga di risultati numerici occorre cercare ragionevoli approssimazioni. E quindi utile un analogia formale tra il problema della torsione e un semplice modello idrodinamico. Si consideri un recipiente con fondo orizzontale uguale alla sezione della barra, contornato da una parete cilindrica verticale, contenente un liquido incomprimibile, privo di attrito e in moto piano rotatorio. La prima informazione di interesse si riferisce alla capacità di una barra di opporsi a un momento torcente subendo rotazioni di entità limitata. La relazione tra il momento torcente e la torsione può scriversi nella forma W = GJ β dove J è una proprietà geometrica della sezione con le dimensioni di un momento d inerzia. Una barra è tanto più rigida torsionalmente quanto più è elevato il prodotto GJ, detto rigidità torsionale. 117

16 Torsione Sezione di forma qualunque Per le sezioni circolari si è visto che J=I G. In altri casi si può scrivere 1 J = I G m dove m 1 è un coefficiente numerico, noto come fattore di torsione. Per sezioni compatte, escludendo i profilati, si può ricorrere alla formula empirica dove A è l area della sezione. 2 I G m = k con 35 k 45 4 A 118

17 Torsione Sezione di forma qualunque Per profili monocellulari (che cioè presentano un unico circuito chiuso) una buona approssimazione per J è fornita da J = a 0 4Ω 2 ds b( s) s è la coordinata curvilinea che percorre la linea media del profilo, di cui a rappresenta la lunghezza totale; b(s) è lo spessore della parete Ω rappresenta l area chiusa della linea media Se b è costante l integrale al denominatore risulta a/b e si ottiene J = 4Ω 2 b a 119

18 Torsione Sezione di forma qualunque Con l ausilio dell analogia idrodinamica è possibile valutare con buona approssimazione le tensioni tangenziali in profili chiusi in parete sottile. L analogia suggerisce la presenza di un flusso q di tensioni tangenziali, ovunque diretto lungo la linea media e definito come la risultante sullo spessore dei valori locali. Indicando con s un coordinata che percorre b / 2 la linea media del profilo e con n un asse in q = τ dn ogni punto a essa ortogonale, l espressione b / 2 del flusso si scrive: Su ogni tratto ds si ha quindi una forza qds diretta come la tangente alla linea media. L insieme di queste forze deve uguagliare il momento torcente a W W = r( s) qds = 2q dω = 2Ωq q = 2 Ω 0 Il valore medio delle tensioni tangenziali locali, si ottiene dividendo q per lo spessore τ q W ( s) = FORMULA DI BREDT b( s) = 2 Ω b( s) La tensione tangenziale è ma dove lo spessore è minimo; nell idrodinamica la velocità del liquido aumenta dove la larghezza della sezione diminuisce. 120

19 Taglio Trattazione approssimata di Jourawsky per sezione rettangolare Anche le azioni taglianti producono sforzi tangenziali nella sezione di una trave. Come nel caso della torsione, la formulazione esatta del problema, basata sulle equazioni della teoria dell elasticità, non consente di ottenere la soluzione in modo ragionevole. Esiste tuttavia un approccio al problema che fornisce approssimazioni adeguate. Osservazione: Le tensioni di taglio sono di entità modesta rispetto a quelle indotte da altre azioni interne e una loro valutazione, anche grossolana, è in genere sufficiente nella pratica. Il procedimento per il calcolo della soluzione approssimata, dovuta a Jourawsky, viene introdotta in riferimento alla sezione rettangolare di figura. Essa è sollecitata da una forza T diretta come l asse principale z. La figura (b) mostra un tratto infinitesimo di trave, lungo d, con le azioni interne sulle due sezioni: pur supponendo che il taglio si mantenga costante l equilibrio richiede che il momento flettente aumenti della quantità dm=td. 121

20 Taglio Trattazione approssimata di Jourawsky per sezione rettangolare In figura (c) è illustrata la distribuzione di sforzi locali che ne consegue; le tensioni tangenziali, di cui si vuole determinare l andamento, sono indicate con τ z in quanto agiscono su una giacitura di normale e sono dirette come z; gli sforzi normali σ, dovuti al momento flettente, hanno andamento lineare in z. σ = M z I Per effetto della variazione del momento, anche gli sforzi normali varieranno con e sulla sezione di destra dell elemento infinitesimo risulteranno pari a σ σ M + Td z I + d = Alla base della trattazione di Jourawsky sta l osservazione che, data una corda parallela all asse y che suddivida la sezione in due porzioni, indicate con A e A, il solo equilibrio permette di determinare la tensione tangenziale media su di essa come: τ z / 2 1 b = b b / 2 τ z dy 122

21 Taglio Trattazione approssimata di Jourawsky per sezione rettangolare Si immagini di isolare la porzione inferiore del tronco infinitesimo (b): stante la loro dipendenza da, gli sforzi normali sulle due facce a distanza d avranno risultanti pari a σ R = σ da ; R + dr = σ + d da σ σ σ A'' L equilibrio alla traslazione in direzione non è quindi assicurato dalle sole tensioni normali, in quanto la risultante di quelle che agiscono sulla sezione di destra eccede l analoga forza sulla sezione di sinistra della quantità σ T drσ = dda = d zda I A '' L equilibrio è ristabilito dalle tensioni tangenziali, indicate con τ z, che le due porzioni in cui il tronco è stato idealmente suddiviso si scambiano attraverso le facce di normale ±z, di area pari a bd (c). b / 2 La loro risultante vale drτ = d τ zdy b / 2 A'' A '' 123

22 Taglio Trattazione approssimata di Jourawsky per sezione rettangolare La condizione di equilibrio dr σ =dr τ stabilisce quindi T I zda = b / 2 A'' b / 2 τ z dy L integrale al primo membro rappresenta il momento statico S dell area A rispetto all asse y. Inoltre per la proprietà di reciprocità delle tensioni tangenziali τ z = τ z. Si può scrivere quindi TS y ''( z) τ z ( z) = FORMULA DI JOURAWSKY Ib L approssimazione consiste nell aver identificato le tensioni effettive con il valore medio. 124

23 Taglio Deformabilità a taglio Le azioni taglianti causano deformazioni globalmente rappresentabili come una traslazione relativa in direzione di T tra due sezioni di trave a distanza d. Questa è dovuta allo scorrimento angolare tra le fibre longitudinali e quelle verticali sulla sezione, che tuttavia non è uniforme sulla sezione stessa: gli scorrimenti γ sono legati alle corrispondenti tensioni tangenziali τ attraverso la relazione τ = Gγ La figura illustra il fenomeno per una sezione rettangolare di altezza h. Nel caso in esame l andamento delle γ è parabolico e il loro valore si ottiene semplicemente dividendo per G l espressione delle τ a taglio. In corrispondenza delle fibre estreme è γ=0, per cui in questi punti la sezione si mantiene ortogonale alle fibre longitudinali, mentre lo scorrimento è massimo nel baricentro. Ne consegue che la sezione si ingobba. Come parametro rappresentativo della deformazione globale, si assume lo scorrimento medio, indicato con t e definito in modo che td rappresenti lo spostamento relativo tra due sezioni. 125

24 Taglio Deformabilità a taglio Tra l azione tagliante e lo scorrimento medio sussiste la relazione T = 5 GA * t 6 dove A * è una proprietà della sezione, nota come area di taglio e si ottiene come dove µ>1 rappresenta il fattore di taglio. A * 1 = A µ N.B. Nella maggior parte dei casi di interessa nelle costruzioni, la deformabilità a taglio viene trascurata. Il suo contributo diviene significativo solo per travi particolarmente tozze o per travi composte. 126

25 Elementi di meccanica dei solidi Introduzione Stato di sforzo Definizione Stati di sforzo piani Stati di sforzo spaziali Condizioni di equilibrio Stato di deformazione Legame elastico-lineare isotropo 127

26 Introduzione Finora sono state studiate le sollecitazioni locali indotte nella sezione retta di una trave dalle diverse azioni interne. Si è visto che azioni assiali e momenti flettenti comportano uno sforzo σ diretto parallelamente all asse della trave, cui conseguono, attraverso il legame elastico, le deformazioni longitudinali e trasversali σ σ ε = εt = νε = ν E E A taglio e momento torcente sono invece associati lo sforzo tangenziale τ, diversamente orientato nei diversi punti della sezione e lo scorrimento angolare γ = τ G Dal punto di vista deformativo, le (1) comportano una variazione delle dimensioni lineari delle fibre, mentre la (2) misura la variazione di angolo tra fibre originariamente ortogonali. Per quanto riguarda gli sforzi, le σ sono normali alla sezione, le τ agiscono invece nel suo piano. La differenza, tuttavia, non è una proprietà intrinseca, piuttosto dipende dal sistema di riferimento adottato. (2) (1) 128

27 Introduzione Per chiarire questo aspetto si considerino i due stati deformativi in figura riferiti, per semplicità, a un elemento originariamente quadrato, di lato a. La figura (a) ne mostra la deformazione indotta da una trazione uniassiale in direzione. La deformazione diretta è indicata con ε, mentre la deformazione trasversale è espressa come ε y =-νε. E evidente che il processo che trasforma il quadrato in rettangolo può essere descritto sia dalle variazioni di lunghezza dei lati, che si mantengono ortogonali, sia dall allungamento delle due diagonali e dallo scorrimento angolare tra esse. Le diagonali sono originariamente orientate secondo gli assi ξ e η, che costituiscono un sistema di riferimento ruotato di 45 rispetto a -y.

28 Introduzione La lunghezza d delle diagonale deformata, originariamente lunga d=a 2, si ottiene usando il teorema di Pitagora e risulta d ' = a (1 + ε ) + a (1 νε ) Sviluppando i quadrati, considerando che per piccole deformazioni è lecito trascurare i termini del secondo ordine e ricordando che al primo ordine è (1+)=1+/2, si ha 1 ν d ' = d 1+ ε 2 d ' d 1 ν εξ = εη = = ε d 2 130

29 Introduzione Si procede ora alla valutazione dello scorrimento angolare γ ξη tra le due diagonali, originariamente ortogonali. La tangente dell angolo α nella parte destra della figura è 1 νε tgα = 1 (1 + ν ) ε 1+ ε dove l approssimazione vale per piccole deformazioni. Inoltre è anche γ ξη /2=π/4-α, quindi γ ξη π tg( π / 4) tgα 1 tgα (1 + ν ) ε tg = tg α = = = tg( π / 4) tgα 1+ tgα 2 (1 + ν ) ε Per piccole deformazioni vale quindi γ ξη = (1 + ν ) ε 131

30 Introduzione La figura (b) illustra invece la deformazione associata a sole tensioni tangenziali (puro taglio). Il processo deformativo che trasforma il quadrato grigio nel rombo può essere descritto sia dallo scorrimento angolare γ y tra i lati del quadrato, che conservano inalterata la loro dimensione, sia dalle lunghezze d ξ e d η delle due diagonali deformate, che si mantengono tra loro ortogonali. Usando ancora Pitagora e considerando γ y <<1, le lunghezze delle diagonali deformate risultano d a a aγ a γ d γ 2 2 ' ξ = + ( y ) 2 1 y (1 y / 2) d a a a a d 2 2 ' η = + ( + γ y ) γ y (1 + γ y / 2) d ' ξ d 1 d ' η d 1 εξ = = γ y, εη = = γ d 2 d 2 y 132

31 Introduzione Come le componenti di deformazione, anche le componenti di sforzo dipendono dal riferimento. Nella prova uniassiale, su una sezione retta della barra agisce una forza per unità di superficie σ. Si immagini di suddividere in due parti un volume di materiale (un cubo di spigolo a) secondo un piano normale all asse ξ, inclinato di 45 rispetto a. Sulla faccia appartenente alla sezione retta agisce la forza σ a 2 e per l equilibrio la stessa forza è presente con verso opposto sulla faccia inclinata. Essa può decomporsi in una componente normale alla faccia e in una tangenziale diretta secondo η. Tali componenti sono uguali tra loro e valgono 1/ 2σ a 2. Indicando con σ ξ e τ ξη i loro valori per unità di superficie e ricordando che questa ora vale 2a 2, si ha σ ξ σ σ = ; τξη = 2 2 Procedendo in modo analogo si può verificare che le componenti di sforzo su una faccia di normale η perpendicolare a ξ valgono σ η σ σ = ; τηξ =

32 Introduzione L equivalente operazione per uno stato di puro taglio era già stata fatta; si era visto che su facce inclinate di 45 le tensioni tangenziali erano nulle, mentre le componenti normali erano σ = τ ; σ = τ ξ y Le relazioni sanciscono l equivalenza tra le rappresentazioni in figura. L uguaglianza tra le tensioni tangenziali su due facce tra loro ortogonali consegue dall equilibrio alla rotazione dell elemento nel piano in cui è rappresentato. η y 134

33 Introduzione Si è quindi stabilita una relazione tra i valori delle deformazioni e degli sforzi nel riferimento (,y,z) e quelli nel riferimento (ξ,η,z), ruotato di 45 rispetto al precedente. Nelle equazioni sono state elencate solo le componenti nel piano del disegno. In generale sforzi e deformazioni hanno componenti anche in direzione z. Per semplicità si è solo considerata una rotazione di 45 del riferimento nel piano (,y), ma è possibile concepire rotazioni di qualunque entità, non necessariamente contenute nel piano. In ogni riferimento le componenti di sforzo e deformazione assumono valori diversi, ma i regimi tensionale e deformativo permangono gli stessi. Questi rappresentano infatti grandezze fisiche, cui ci si riferisce come allo stato di sforzo e allo stato di deformazione. Le loro componenti scalari variano con il riferimento, seguendo però una legge di trasformazione che garantisce l invarianza delle grandezze che rappresentano. Questa legge risulta essere quella relativa a un ente matematico noto come tensore doppio, che nei casi in questione gode anche di simmetria.

34 Stato di sforzo Definizione Si consideri, all interno di un corpo soggetto a forze e quindi sollecitato, una piccola superficie normale a un asse : lo sforzo che affiora in un punto P di tale superficie si evidenzia come un vettore, indicato con σ in figura. La sua proiezione sull asse definisce la componente normale σ, mentre la proiezione sulla superficie è un vettore τ, di componenti τ y e τ z secondo due assi y e z contenuti sulla superficie stessa. Su ogni elemento superficiale lo sforzo è quindi individuato da 3 componenti, una normale e due tangenziali. In realtà lo stato di sforzo nel punto non è identificato dal vettore σ : se la superficie contenente il punto P fosse infatti scelta con un orientazione diversa, lo sforzo si paleserebbe con un vettore diverso e non esprimibile in termini del solo σ. E stato però dimostrato che se si conoscono le componenti vettoriali di sforzo su tre giaciture, tipicamente i vettori σ, σ y, σ z su tre superfici ortogonali ai tre assi, il vettore su ogni possibile giacitura per P risulta completamente individuato. 136

35 Stato di sforzo Definizione Lo stato di sforzo è quindi una grandezza fisica definita da 3 componenti vettoriali o, equivalentemente, da 9 componenti scalari, che si rappresentano come indicato in figura (a). Lo stato di sforzo, indicato con σ, viene solitamente rappresentato mediante la matrice σ τ y τ z σ = τ y σ y τ zy τ z τ yz σ z Delle 9 componenti scalari solo 6 sono indipendenti, in quanto la matrice risulta simmetrica.

36 Stato di sforzo Uno stato di sforzo che comporti σ z =τ zy =τ z =0 si dice piano Stati di sforzo piani σ τ y σ = τ y σ y Uno stato di sforzo piano è completamente definito dalle 3 componenti σ, σ y e τ y =τ y. La loro conoscenza consente infatti di calcolare la componente vettoriale di sforzo σ α su una qualunque giacitura la cui normale uscente n α sia contenuta nel piano degli sforzi. La figura illustra un elemento di materiale, che si presenta come un triangolo nel piano degli sforzi, delimitato dalle due giaciture di normali uscenti dirette come e y e da una terza giacitura identificata dal vettore n α che ne definisce l orientamento. Se questo vettore è unitario, le sue componenti sono i coseni degli angoli che esso forma con i due assi coordinati. n α nα cosα = = nα y sinα 138

37 Stato di sforzo σα σ τ y nα = σ α y τ y σ y nα y σ = σ n α α Stati di sforzo piani Questa è la relazione di Cauchy che stabilisce che lo stato di sforzo in un punto è completamente noto se lo sono i valori delle componenti della matrice σ. Dal punto di vista ingegneristico risultano più espressive la componente normale e quella contenuta nel piano della giacitura, indicate rispettivamente con σ e τ in figura. Esse si ottengono proiettando σ α sul vettore n α e sul vettore unitario a esso ortogonale, indicato con r α di componenti r α rα sinα = = rα y cosα 139

38 Stato di sforzo Stati di sforzo piani 1 1 σ = σα nα = ( σ + σ y ) + ( σ σ y )cos 2α + τ y sin 2α τ = σα rα = ( σ σ y )sin 2 α + τ y cos 2 α 2 Queste relazioni definiscono le componenti normale e tangenziale del vettore σ α su una generica giacitura, la cui orientazione è definita dall angolo α. 140

39 Stato di sforzo Stati di sforzo piani 141

40 Stato di sforzo Stati di sforzo piani Le relazioni di σ e τ ricavate sono suscettibili di un interpretazione geometrica. Riordinando i termini della prima relazione, elevando al quadrato ambo i membri e sommando le 2 espressioni si perviene alla relazione ( σ c) + τ = R c 2 σ + σ ( σ σ ) = y ; R = y + τ y Queste relazioni definiscono nel piano (σ,τ) una circonferenza con centro nel punto σ=c,τ=0 e raggio R. Per un dato stato di sforzo piano, i valori delle tensioni normali e tangenziali relativi a una qualunque giacitura nel piano degli sforzi appartengono a questa circonferenza, nota come diagramma di Mohr. 142

41 Stato di sforzo Stati di sforzo piani La figura illustra questo diagramma per un generico stato di sforzo piano. Gli sforzi normale e tangenziale sulle due giaciture ortogonali agli assi si collocano, rispettivamente, nei punti A (di coordinate σ=σ e τ=-τ y ) e B (di coordinate σ=σ y e τ=τ y ). I due punti risultano diametralmente opposti, indicando che l angolo di 90 tra i due assi si traduce in un angolo piatto nel diagramma. Come stabilito dalle equazioni parametriche della circonferenza, una rotazione di α nel piano fisico corrisponde a una rotazione di 2α nel piano di Mohr. I valori ma e min dello sforzo normale corrisponde all intersezione del cerchio con l asse delle σ e valgono σ I, II 2 y ( y ) c R σ + σ σ = ± = ± σ + τ 2 4 In corrispondenza di questi punti la tensione tangenziale è nulla. 2 y 143

42 Stato di sforzo Esistono quindi due giaciture mutualmente ortogonali nel piano che prevedono la presenza della sola componente normale di sforzo. Le normali a queste giaciture identificano le direzioni principali di sforzo e i valori sono detti sforzi principali. Le direzioni principali si determinano considerando che, nel diagramma di Mohr, il passaggio dal punto A (giacitura di normale ) al punto I (prima direzione principale) comporta una rotazione pari a 2α* dove è Stati di sforzo piani τ y tg2 α* = 1/ 2 σ σ y Nel piano fisico la prima direzione principale è quindi ruotata di α* rispetto a. Di interesse è anche il valore della tensione tangenziale massima, che corrisponde al punto H di coordinate 2 σ + σ ( σ σ ) σ = c = y ; τ = R = y + τ 2 2 o equivalentemente al punto K. Questi punti si raggiungono dalle direzioni principali mediante una rotazione di 90 nel piano di Mohr e corrispondono quindi a giaciture inclinate a 45 rispetto a quelle principali nel piano fisico. 2 y

43 Stato di sforzo Stati di sforzo piani 145

44 Stato di sforzo Stati di sforzo piani 146

45 Stato di sforzo Stati di sforzo piani A titolo di ulteriore illustrazione in figura sono riportati i diagrammi di Mohr relativi alle due situazioni uniassiale e di puro taglio. Nel caso monoassiale le tensioni tangenziali massime si hanno sulle giaciture di normali ξ e η, che per lo stato di puro taglio identificano invece le direzioni principali. 147

46 Stato di sforzo Stati di sforzo spaziali 148

47 Stato di sforzo Condizioni di equilibrio L equilibrio istaura dei legami tra le componenti del tensore degli sforzi e le forze agenti sul corpo. Queste sono costituite da forze di volume, il cui valore per unità di volume viene indicato con F, e da forze di superficie, agenti sul contorno che delimita il solido. Le prime sono considerate note ovunque sul volume V, mentre il contorno S si presenta in generale suddiviso in 2 parti: contorno libero (o caricato) S F su cui le azioni, di cui f indica il valore per unità di superficie, si suppongono note contorno vincolato S U, che trasmette reazioni incognite a priori Le forze, di volume e di superficie, sono vettori con componenti nelle tre direzioni coordinate. N.B. Le forze in gioco sono FdV e fds, per cui le componenti di F sono misurate in N/mm 3 e quelle di f in N/mm 2. F f F = Fy f= f y F z f z 149

48 Stato di sforzo La figura mostra il solido in una configurazione Γ, che si suppone di equilibrio; ciò significa che l insieme delle forze di volume e di superficie soddisfano le equazioni cardinali della statica in Γ. L equilibrio dovrà allora sussistere per ogni porzione di volume isolata dal suo contesto e soggetta alle forze agenti su di essa e a essa trasmesse dal contesto stesso. Condizioni di equilibrio Si ritagli attorno a un punto un parallelepipedo infinitesimo di spigoli d,dy e dz paralleli agli assi. Si mettano in evidenza le componenti vettoriali di sforzo sulle facce, tenendo conto delle loro variazioni nei versi positivi degli assi. Sul parallelepipedo è inoltre presente la forza di volume FdV=Fddydz. 150

49 Stato di sforzo L equilibrio alla traslazione fornisce l equazione vettoriale σ con σ σ y z F = y z 0 in V σ τ y τ z F σ = τ y, σ y = σ y, σ z = τ zy, F = Fy τ z τ yz σ z F z Condizioni di equilibrio Tali equazioni sono note come equazioni indefinite di equilibrio. L equilibrio alla rotazione del parallelepipedo non permette di formulare relazioni ulteriori, limitandosi a confermare la simmetria del tensore degli sforzi. 151

50 Stato di sforzo Condizioni di equilibrio Sul contorno, la componente vettoriale di sforzo che affiora sulla superficie si identifica con la forza ivi agente. Questa è nota sul contorno libero e l equazione di Cauchy, scritta sostituendo σ α con f e la normale f α alla generica giacitura con la normale n al contorno nel punto considerato, fornisce le condizioni di equilibrio al contorno. σ n + σ n + σ n = f y y z z con in S σ τ y τ z f σ = τ y, σ y = σ y, σ z = τ zy, f = f y τ z τ yz σ z f z E evidente che le 3 equazioni differenziali cui sono associate queste condizioni al contorno non sono sufficienti a determinare le 6 componenti del tensore degli sforzi nel solido. Un corpo continuo è intrinsecamente iperstatico e per calcolare lo stato di sforzo occorre usare, come già fatto per le travi, oltra alle condizioni di equilibrio, anche quelle di congruenza e le relazioni costitutive. 152 F

51 Stato di deformazione Si considera ora il solido come un mezzo deformabile e ci si propone di descriverne il processo deformativo. Questo porta il solido dalla configurazione iniziale indeformata Γ* alla configurazione deformata Γ. In questa transizione, un punto P, di coordinate (,y,z) in Γ*, si porta nella posizione p in Γ, definita dalle coordinate +s,y+s y, z+s z. Il vettore s (, y, z) s(, y, z) = sy (, y, z) sz (, y, z) rappresenta lo spostamento del punto P. Il vettore spostamento, quando noto in ogni punto, descrive completamente il processo deformativo. Si vuole determinare una misura della deformazione locale, rappresentativa delle variazioni di volume e forma dell intorno di un punto. 153

52 Stato di deformazione L ipotesi fondamentale, detta di congruenza, assume che il cambiamento di configurazione avvenga senza lacerazioni o sovrapposizioni di materiale. Ciò implica che le componenti del vettore spostamento siano funzioni continue e a un sol valore del punto. Dovranno inoltre essere rispettate le condizioni imposte sulla porzione vincolate S U del contorno, dove gli spostamenti assumono valori assegnati s*. Si richiede cioè che sia s = s *, s = s *, s = s * in S (*) y y z z U Uno spostamento continuo e a un sol valore ovunque nel volume V e rispettoso delle condizioni al contorno definisce un processo deformativo congruente. Inoltre si suppone che le componenti di s siano differenziabili. 154

53 Stato di deformazione Si considera un punto P 0 nel solido, che a seguito dello spostamento s 0 si porta nella posizione p 0. Per congruenza, un punto P nell intorno di P 0 si porterà in p, nell intorno di p 0. Lo spostamento s di P differisce da s 0 di una quantità infinitesima ds, che rappresenta la variazione subita dallo spostamento per effetto della variazione d delle coordinate del punto. Ricordando la relazione s s s ds = d + dy + dz y z e le analoghe per le altre due componenti si giunge a ds dsy ds z s s s y z d sy sy sy = dy y z dz sz sz s z y z o sinteticamente a ds = ψ d 155

54 Stato di deformazione ds = ψ d ψ è un tensore doppio, noto come gradiente di spostamento. Esso, in generale, non si presenta simmetrico, ma può essere decomposto nella somma delle sue parti emissimmetrica e simmetrica scrivendo ψ = θ + ε con 1 T 1 T θ = ( ψ ψ ), ε = ( ψ + ψ ) 2 2 Lo spostamento s del generico punto P nell intorno di P 0 può allora scriversi s = s + θ d + ε d 0 I 3 termini hanno il significato illustrato in figura: s 0 governa la traslazione rigida dell intorno θ d rappresenta una rotazione rigida attorno a p 0 ε d governa la deformazione vera e propria, cioè la parte del processo che comporta variazioni di volume e di forma dell intorno 156

55 Stato di deformazione Il tensore doppio ε, simmetrico per costruzione, governa quindi la deformazione pura dell intorno. La figura, per semplicità limitata al piano, mostra una fibra originariamente orientata secondo l asse e lunga d, che nel processo deformativo assume lunghezza dξ. Questa può essere calcolata mediante il teorema di Pitagora. Se le componenti del gradiente di spostamento sono piccole si ottiene 2 s sy s dξ = d + s + d s + sy + d sy d 1+ 2 Su questa base si calcola la deformazione diretta della fibra, che risulta ε dξ d s = = = d ε

56 Stato di deformazione La figura mostra invece due fibre originariamente orientate secondo gli assi e y, che il processo deformativo trasforma nelle due fibre lunghe, rispettivamente, dξ e dη. L angolo originariamente retto, tra di esse diviene pari a θ, cosicché tra le due fibre si ha uno scorrimento angolare γ y =π/2- θ=α 1 +α 2. Considerazioni geometriche stabiliscono sy sy + d sy 1 sy sy sin α1 = = α1 dξ 1+ ε Si ha quindi sinα γ s s y y = + = 2 2 y ε = ε s s + dy s s = = d + y y y 1 s 2 α 2 η 1 ε y

57 Stato di deformazione In 3 dimensioni si hanno quindi le seguenti relazioni s s y sz ε =, ε y =, ε z = y z s s y sy sz sz s γ y = +, γ yz = +, γ z = + y z y z Tali relazioni sono note come legame deformazioni-spostamenti e, unitamente alle condizioni sul contorno vincolato (*), impongono la congruenza del processo deformativo. La deformazione, come lo sforzo, è una grandezza tensoriale. Lo stato di deformazione in un punto è infatti definito dal tensore doppio simmetrico, noto come tensore delle piccole deformazioni. 1 1 ε γ y γ z ε = γ y ε y γ yz γ z γ yz ε z 2 2 N.B. Il fattore ½ che compare indica che le componenti tensoriali sono la metà del corrispondente scorrimento angolare. 159

58 Stato di deformazione Le proprietà stabilite per lo stato di sforzo date precedentemente non dipendono dal significato fisico di questa grandezza, ma valgono per qualunque tensore doppio simmetrico, incluso quello di deformazione. In particolare, ogni stato di deformazione ammette una terna privilegiata, detta ancora principale, nella quale il tensore ε presenta solo le componenti diagonali ε I, ε II, ε III che costituiscono le deformazioni principali. In questo riferimento gli scorrimenti sono nulli: pertanto un parallelepipedo con gli spigoli orientati parallelamente agli assi principali si trasforma, nel processo deformativo, in un parallelepipedo i cui spigoli variano di lunghezza, ma si mantengono mutualmente ortogonali. Osservazione: Come per gli sforzi, anche per le deformazioni si possono tracciare i diagrammi di Mohr, ora riferiti al piano (ε,γ/2) 160

59 Legame elastico-lineare isotropo Le equazioni che legano gli sforzi in un punto alle deformazioni che questi inducono, dette legame costitutivo, descrivono matematicamente il comportamento meccanico del materiale. In questa sede si considera solo il caso più semplice, relativo al comportamento elastico-lineare, che prevede una relazione di proporzionalità tra sforzi e deformazioni, con completo recupero della deformazione alla rimozione dello sforzo. Si limita inoltre l attenzione al caso isotropo, relativo a un materiale che non presenta direzioni preferenziali di comportamento, il cui legame risulta invariante con il sistema di riferimento. Una caratteristica fondamentale del comportamento isotropo è il disaccoppiamento della parte del legame che relazione sforzi normali e deformazioni dirette da quella che lega sforzi tangenziali e scorrimenti angolari. Nel caso generale in cui le tre componenti di sforzo normale sono tutte presenti il legame si ottiene sovrapponendo le soluzioni. 1 ε = ( σ νσ y νσ z ) (e analoghe) E Per quanto riguarda gli sforzi tangenziali e gli scorrimenti angolari, il legame elastico instaura una relazione di proporzionalità tra le componenti corrispondenti che è γ y 1 = τ G y (e analoghe) 161

60 Legame elastico-lineare isotropo G indica il modulo di elasticità tangenziale, che sta in relazione al modulo di Young tramite la relazione G = E 2(1 + ν ) In forma matriciale, il legame elastico-lineare isotropo si scrive quindi ε ε y ε z γ y γ yz γ z 1 ν ν σ ν 1 ν σ y 1 ν ν σ z = E (1 ν ) 0 0 τ + y (1 + ν ) 0 τ yz (1 + ν ) τ z 162