TESTI DI ESAME a.a

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1 TESTI DI ESAME a.a Perugia, 01 febbraio Temperature. Nella scala della temperatura Fahrenheit, l acqua gela a 32 o F e bolle a 212 o F; nella scala Celsius (o centigrada), l acqua gela a 0 o C e bolle a 100 o C. (a) Assumendo una relazione lineare, esprimere F in funzione di C e disegnare il grafico della funzione. (b) Spiegare il significato del termine noto e del coefficiente angolare. (c) Trovare la temperatura Fahrenheit corrispondente a 30 o C e la temperatura Celsius corrispondente a 104 o F. (d) Motivare se la funzione trovata è invertibile e, in caso positivo, determinare la funzione inversa, disegnarne il grafico e stabilirne il significato relativamente alle temperature. 2. Terremoti. La scala Richter è utilizzata per misurare l intensità dei terremoti. La classificazione di un terremoto secondo la scala Richter è data dall espressione R = 2 (loge 4, 4) 3 dove E è l energia rilasciata dal terremoto (in joule). (a) Disegnare il grafico della funzione che rappresenta l intensità R. (b) Il terremoto di San Francisco del 1906 aveva intensità R = 8.2 sulla scala Richter: determinare l energia rilasciata dal terremoto. (c) Completare la seguente frase: se un terremoto fa registrare un punto in più sulla scala Richter rispetto ad un altro terremoto, allora il primo rilascia un energia... volte maggiore di quella del secondo. 1

2 3. Mosche. In un esperimento genetico 50 mosche della frutta sono chiuse in un vaso di vetro capace di contenere una popolazione massima di 1000 mosche. Indicato con f(t) il numero delle mosche dopo t giorni, l evoluzione della popolazione è rappresentata dalla funzione f(t) = e 3000t (a) Determinare lim t 0 f(t) = lim t + f(t) = e interpretarne i significati. (b) Trovare la velocità media di evoluzione della popolazione negli intervalli [0, 3], [0, 4] e darne il significato geometrico e in termini di crescita della popolazione. (c) Trovare la velocità istantanea di crescita dopo 2 giorni e interpretarne il significato geometrico e dinamico. (d) Tracciare il grafico di f(t) (non è richiesto lo studio di funzione). 4. Sia f una funzione tale che f(0) = 3 e la cui derivata è f (x) = x ( Non viene data una formula per la f. In effetti non è possibile trovare esplicitamente un formula di questo tipo.) (a) Usare un approssimazione lineare per stimare il valore di f(0.001). (b) Stabilire se il valore esatto di f(0.001) è inferiore o superiore a quello stimato. Perugia, 11 febbraio Proiettile. Un proiettile sia sparato da terra lungo la verticale con una velocità iniziale pari a 100 m/s. La legge oraria del moto è data da s(t) = 100t 4, 9t 2 (a) Disegnare il grafico della funzione. 2

3 (b) Spiegare i significati delle coordinate del vertice e delle due intersezioni con l asse t. (c) Determinare la velocità media del proiettile negli intervalli [0, 10] e [10, 20] e darne il significato geometrico. (d) Determinare la legge della velocità istantanea del proiettile e disegnarne il grafico. 2. Altalena. Un altalena per bambini oscilla (sotto l effetto della sola gravità) perdendo ad ogni semi-oscillazione l 1% dell energia a causa dell attrito. (a) Trovare un modello che permetta di stimare l energia residua dopo n oscillazioni e disegnare il grafico della relativa funzione esponenziale supporto (di variabile reale). (b) Determinare dopo quante oscillazioni l energia residua è inferiore al 2% dell energia iniziale. (c) Determinare in quali oscillazioni si ha la maggior perdita di energia e disegnare il grafico della derivata della funzione esponenziale supporto. 3. (a) Disegnare il grafico di una funzione tale che lim x 0 f(x) = + lim x 1+ f(x) = 2, lim x 1 f(x) = 5, f( 1) = 3 x = 4, punto di massimo relativo x = 2, punto di minimo relativo lim x + f(x) = 3 lim x f(x) = 3 3

4 (b) Stabilire il campo di esistenza della funzione f(x) di cui avete disegnato il grafico. (c) Determinare i punti di discontinuità e classificarli. (d) Individuare gli eventuali asintoti. 4. Campo da gioco. Un campo da gioco viene tracciato in forma rettangolare con una parte semicircolare agli estremi dei lati minori. Il perimetro è assegnato. Trovare le proporzioni del campo tali che l area della parte rettangolare sia massima. Perugia, 20 febbraio Conto bancario. Supponete di avere un conto senza interessi dove depositate 4000 euro all inizio di ogni mese. Prelevate 3000 euro ogni mese in modo che il saldo diminuisca linearmente. Assumete che il conto inizi con 4000 euro a t = 0 mesi. (a) Individuare la legge f(t) che rappresenta questo movimento bancario e disegnarne il grafico. (b) Esprimere il significato del coefficiente angolare e dell intercetta con l asse y. (c) Calcolare lim t 2 f(t) = lim f(t) = t 2 + lim f(t) = t + spiegando il significato di tali limiti. 2. Budino. La mamma ha preparato un budino (100 o C) e lo mette in frigorifero a raffreddare. In accordo con la legge di raffreddamento di Newton, tenendo conto delle caratteristiche fisiche e chimiche del liquido e del contenitore, possiamo assumere che la differenza di temperatura tra il budino e l ambiente (0 o C) decresca ogni minuto del 3.4%. 4

5 (a) Trovare un modello che descriva la diminuzione della temperatura del budino e disegnare il grafico della relativa funzione. (b) Determinare il tempo di dimezzamento (o emivita) della temperatura (impostare una disequazione). (c) Dopo quanti minuti la temperatura si ridurrà alla quarta parte? (d) Dopo quanti minuti sarà inferiore a 35 o C? 3. Lo spostamento (in metri) di una particella che si muove in linea retta è dato da s(t) = t 3 /6, dove t è misurato in secondi. (a) Trovare la velocità media nei seguenti intervalli: (i) [1,3] (ii) [1,2] (iii) [1,1.5] (iv) [1,1.1] (b) Trovare la velocitá istantanea per t = 1. (c) Disegnare il grafico di s(t) in funzione di t. (d) Esprimere il significato geometrico delle velocità medie calcolate e tracciare le rette secanti. (e) Esprimere il significato geometrico della velocità istantanea calcolata, determinare l equazione della retta tangente nel punto di ascissa t = 1 e disegnarla. 4. Secchi. Un azienda deve produrre secchi di plastica capienti 5dm 3. I secchi sono cilindri aperti sul lato superiore e l azienda vuole conoscere a quali dimensioni corrisponde la minima quantità di plastica. Perugia, 06 giugno Rifiuti tossici. Il costo del trattamento dei rifiuti tossici per l eliminazione del PCP (pentaclorofenolo) aumenta al crescere della quantità di PCP eliminata. Ecco un possibile modello C(x) = x 2 5

6 dove x è la riduzione della tossicità (espressa in kg di PCP eliminati al giorno) e C(x) è il costo giornaliero (in euro) di questa riduzione. (a) Disegnare il grafico della funzione C(x) e spiegare il significato del termine noto. (b) Determinare la quantità minima di PCP che viene eliminata quando il costo giornaliero è superiore a euro. (c) I sussidi governativi per lo smaltimento dei rifiuti tossici ammontano a S(x) = 500x dove x è definito come sopra e S(x) è il sussidio giornaliero in euro. i. Determinare la funzione costo N(x) dell eliminazione di x chili di PCP al giorno al netto del sussidio e disegnarne il grafico. ii. Calcolare il costo netto dell eliminazione di 20 Kg di PCP al giorno. 2. Soluzione salina. La quantità di sale (in kg) presente in una soluzione dopo t minuti di trattamento è espressa dalla funzione f(t) = e t/200. (a) Disegnare il grafico della funzione f(t). (b) Determinare la quantità di sale presente all inizio del trattamento. (c) Calcolare lim t + f(t) e spiegarne il significato in termini di concentrazione della soluzione. (d) Determinare dopo quanti minuti la quantità di sale presente supera i 100 kg. 3. Riviste. Il profitto mensile (in euro) che un edicola realizza con la vendita di riviste è espresso dalla funzione P (x) = 5x + x dove x è il numero di riviste vendute in un mese. (a) Se attualmente sono vendute x = 50 riviste al mese, calcolare il profitto e il profitto marginale (derivata prima). (b) Spiegare il significato geometrico ed economico del profitto marginale. 6

7 (c) (facoltativo) Disegnare il grafico di P (x) e rappresntare il significato geometrico del profitto marginale. 4. Secchi. Un azienda produce secchi di plastica capienti 5000cm 3. I secchi sono cilindri aperti sul lato superiore. Calcolarne le dimensioni in modo da utilizzar ela minore quantità di plastica. 7

8 5. Spostamento. Un auto ha una velocità di v(t) = 60 e t/10 chilometri all ora all istante t, misurato in ore. Trovare la distanza percorsa dall auto tra l ora t = 1 e l ora t = 6. Perugia, 26 giugno Analisi di mercato. Un azienda sta pianificando la commercializzazione di un prodotto. Il prezzo di vendita sarà di 2 euro per unità. I costi variabili sono stimati nella misura del 40% del ricavo totale, mentre i costi fissi per il 2008 ammontano a 6000 euro. (a) Determinare la funzione che rappresenta il profitto/perdita dell azienda e disegnarne il grafico. (b) Spiegare i significati economici delle intersezioni con gli assi cartesiani. (c) Spiegare il significato geometrico e economico del coefficiente angolare. (d) In base a ricerche di mercato l azienda stima di vendere fino a 5500 unità nel Determinare il profitto/perdita stimato. 2. Palladio 100. Il tempo di dimezzamento del palladio 100, 100 P d, è di quattro giorni (metà di una qualunque quantità di palladio si disintegra in quattro giorni). La massa campione è di un grammo. (a) Trovare un modello che permetta di prevedere la massa m(t) di palladio che rimane dopo t giorni e disegnare il grafico della relativa funzione esponenziale. (b) Trovare dopo quanti giorni la massa sarà inferiore a 0.01 grammi (disequazione). (c) Calcolare lim t + m(t) = lim t 0 m(t) = (d) Determinare la funzione inversa della m(t) e disegnarne il grafico. (e) (facoltativo) Spiegare il significato e le applicazioni della funzione inversa. 8

9 3. Trovare l approssimazione lineare della funzione f(x) = 1 x in x 0 = 0 (equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto di ascissa nulla). (a) Approssimare i numeri 0.9 e 0.99 (b) Illustrare graficamente disegnando f e la retta tangente. 4. Container. Un container rettangolare con apertura superiore deve avere un volume di 10m 3 e le dimensioni della sua base sono una il doppio dell altra. Se il materiale per la base costa 10 euro al metro quadro e il materiale per i lati 6 euro al metro quadro, calcolare le dimensioni del container in modo da minimizzare i costi. 5. Olio. Si supponga che l olio esca da una tanica alla velocità di v(t) litri al minuto. (a) Spiegare cosa rappresenta v(t)dt. (b) Se v(t) = 1 t, calcolare quanti minuti servono per riempire una 3 lattina della capacità di 10 litri. Perugia, 14 luglio Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere giustificare la risposta, se false fornire un controesempio. Sia f(x) una funzione. (a) Una retta verticale interseca il grafico di f(x) al piú una volta. (b) Se f(x) = f(y), allora x = y. (c) Se x 1 < x 2 e f(x) é una funzione decrescente, allora f(x 1 ) > f(x 2 ). (d) f(x) è la funzione opposta di f(x). 9

10 2. (a) Completare le seguenti affermazioni: Il coefficiente angolare della retta di equazione y = mx + q è il numero di unità di cui cresce... per un incremento unitario di... Se in una retta y cresce tre volte più rapidamente di x, allora il... della retta è... (b) Trenino. La posizione di un modellino di treno su un binario, espressa in decimetri percorsi, dopo t secondi è data da s(t) = 3.8t i. Rappresentare graficamente la funzione s(t) e indicare il significato matematico e fisico dei due coefficienti. ii. Dove si trova il treno dopo 2 secondi? iii. Se il binario è lungo 15 m dopo quanto tempo il trenino ne avrà percorso il 30% 3. Escherichia Coli. Un abitante usuale dell intestino umano è il batterio Escherichia Coli. Una cellula di questo batterio in brodo di coltura si divide in due ogni 20 minuti. La popolazione iniziale di una coltura è 60 cellule. (a) Trovare un modello che descriva la crescita della coltura (riproduzione per mitosi) dopo t minuti e disegnare il grafico della relativa funzione esponenziale f(x). (b) Calcolare lim x 0 f(x) = lim x + f(x) = (c) Tracciare il grafico della funzione derivata. (d) Determinare il tasso di crescita dopo 8 ore. (e) Calcolare il tempo necessario affinché il numero dei batteri superi individui. 10

11 4. Area di parcheggio. Si vuole costruire un area di parcheggio a ridosso della linea ferroviaria per ampliare l offerta dei posti macchina a disposizione degli utenti. Per ragioni di economia si pensa di utilizzare per la recinzione di tre lati del parcheggio (rettangolare) una rete lunga complessivamente 1000 m. Determinare le dimensioni che consentono di destinare al parcheggio la massima area, tenendo conto che ogni lato deve essere lungo almeno 300 m. Perugia, 4 settembre Ingressi in piscina. Il costo di un ingresso in piscina è 6.5 euro. Un carnet di 10 ingressi costa 52 euro. L utente A acquista il biglietto ad ogni ingresso, mentre l utente B vuole risparmiare e sceglie l opzione carnet. (a) Disegnare nello stesso piano cartesiano i grafici che rappresentano la spesa f A (x), f B (x) rispettivamente dell utente A e B in funzione degli ingressi effettuati (da 0 ingressi a 30 ingressi). Cosa rappresentano le intersezioni dei due grafici? (b) Determinare la strategia (in funzione del numero degli ingressi) che permette di minimizzare la spesa. 2. Decadimento radioattivo. Il decadimento di una certa sostanza radioattiva è tale che dopo 10 anni rimane solo il 70% della radioattività. (a) Trovare un modello che descriva la radioattività residua dopo t anni e disegnare il grafico della relativa funzione esponenziale f(t). (b) Quanto sarà la radioattività ancora presente dopo 50 anni? (c) Qual è il tempo di dimezzamento della sostanza? (d) Quanto si dovrà aspettare affinchè la radioattività residua sia inferiore al 20%? 3. Magliette da calcio. Una affermata azienda produce costose magliette da calcio da vendere alle cooperative universitarie in lotti composti al massimo da 500 unità. Il costo sostenuto dall azienda (in euro) per un lotto di x magliette da calcio è C(x) = x. 11

12 (a) Quante magliette per lotto dovrebbe produrre l azienda per minimizzare il costo medio C(x)? (b) Disegnare il grafico della funzione costo medio e quello della sua derivata. (c) Sarebbe stato significativo chiedere di minimizzare il costo totale C(x)? 4. Disegnare il grafico di una funzione f(x) tale che lim x 2 f(x) = lim x 1 f(x) = 3 lim x 1 +f(x) = 4 lim x + f(x) = 1 lim x f(x) = Determinare l equazione degli asintoti. Rispetto al grafico da voi tracciato individuare il C.E., gli eventuali punti di discontinuità e di non derivabilità. 5. Spostamento. Un auto ha una velocità di v(t) = 10t 2 +30t chilometri all ora all istante t, misurato in ore. Trovare la distanza percorsa dall auto nelle prime tre ore di moto. Perugia, 18 settembre Orario ferroviario. Nella tabella sono riportati gli orari ferroviari dell IC 9341 e le distanze dalla stazione di Perugia. PG Assisi Foligno Spoleto TR Orte Roma h Km

13 (a) Adottando una approssimazione lineare, stimare l orario di arrivo a Roma Termini e quello di transito nella stazione di Assisi. (b) Rappresentare graficamente i dati della tabella e la retta approssimante. (c) Determinare il significato del termine noto e del coefficiente angolare dell approssimazione linere. (d) Valutare in quale tratto il treno ha la massima velocità media. 2. Effetto serra. Il gas maggiormente responsabile dell effetto serra è l anidride carbonica. In base alle previsioni più pessimistiche, la quantità di anidride carbonica nell atmosfera è approssimabile da h(t) = 277e t ove h(t) rappresenta le parti di volume per milione e t, 20 t 350, è il tempo in anni trascorsi dal 1750 assunto come anno zero. (a) Disegnare il grafico della funzione e studiarne la monotonia, i punti critici e la concavità. (b) Utilizzate il modello per prevedere la quantità di anidride carbonica presente nell atmosfera nel (c) Quando, approssimando alla decina di anni, il livello supererà 700 parti per milione? (DISEQUAZIONE!) 3. Determinare i coefficienti reali a, b, c tali che il grafico della funzione g(x) = ax2 +bx+c x 3 sia tangente all asse delle ascisse nel punto A = (2, 0) e intersechi lo stesso asse in un ulteriore punto di ascissa x = Disegnare il grafico di una funzione f(x) tale che lim x 3 f(x) = + lim x 0 f(x) = 2 lim x 0 +f(x) = 3 lim x + f(x) = 0 13

14 lim x f(x) = 1 Determinare l equazione degli asintoti. Rispetto al grafico da voi tracciato individuare il C.E., gli eventuali punti di discontinuità e di non derivabilità. 5. Animali. Una popolazione di animali P (t) cresce alla velocità v(t) = t, dove t è misurata in anni. (a) Calcolare l aumento della popolazione tra il quarto e il decimo anno. (b) Disegnare il grafico di v(t) e individuare la rappresentazione geometrica di tale aumento. (c) Determinare un rettangolo equivalente alla regione curvilinea individuata. 14