TESTI DI ESAME CON SVOLGIMENTO a.a

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1 TESTI DI ESAME CON SVOLGIMENTO a.a.1-11 febbraio 1. Investendo 1 euro al mese al 6% annuo, dopo n anni la somma investita é pari a a n = n euro. (a) Trovare i primi 5 termini della successione (a n ) n. (b) La successione converge o non converge? (a) a 1 = 1(1.6) 1 = 16 (b) a = 1(1.6) = a 3 = 1(1.6) 3 = a 4 = 1(1.6) 4 = a 5 = 1(1.6) 5 = cioé la successione diverge. lim a n = lim n + n + 1(1.6)n = + 1

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3 . Lo spostamento (in metri) di una particella che si muove in linea retta é dato da s(t) = t 3 /6 dove t é misurato in secondi. (a) Trovare la velocitá media nei seguenti intervalli: (i)[1, 3] (ii)[1, ] (iii)[1, 1.5] (iv)[1, 1.1] (b) Trovare la velocitá istantanea per t = 1. (c) Disegnare il grafico di s(t) in funzione di t e tracciare le secanti che hanno i coefficienti angolari calcolati nel punto (a). (d) Disegnare la tangente che ha il coefficiente angolare trovato nel punto (b). (a) In termini analitici la velocitá media in [1, b] é il rapporto incrementale della funzione quando si passa dal tempo t = 1 al tempo t = b : v media = s(b) s(1) b 1 con s(t) = t3 6 In termini geometrici, la velocitá media in [1, b] é il coefficiente angolare della retta secante il grafico di s(t) nei punti (1, s(1)) e (b, s(b)). (i) [1,3] v M = s(3) s(1) 3 1 = 6 1 =.16 (ii) [1,] v M = s() s(1) 1 = 7 6 = 1.16 (iii) [1,1.5] v M = s(1.5) s(1) =.79 (iv) [1,1.1] v M = s(1.1) s(1) = 1 5 (b) La velocitá istantanea é il limite del rapporto incrementale per t 1 cioè il valore della derivata prima della funzione spostamento calcolata nel punto t = 1; in termini geometrici è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di s(t) nel punto (1, s(1)). s(t) s(1) lim t 1 t 1 = lim t 1 t t 1 = lim t 3 1 t 1 6(t 1) = lim t + t + 1 t = 1 =.5

4 (c) (d) y

5 3. Spiegare perché la curva di seguito riportata puó rappresentare il grafico di una funzione f() e determinare: -campo di esistenza e codominio della funzione; -limiti e asintoti; -crescenza e punti di massimo e minimo; -convessitá e punti di flesso. Disegnare il grafico di f( ) La curva riportata rappresenta il grafico di una funzione perché ogni retta verticale di equazione = k interseca il grafico al piú una volta. -campo d esistenza -codominio - R R\{ 3} lim f() = lim f() = + la retta y = rappresenta un asintoto orizzontale per f lim f() 3 non esiste 5

6 infatti lim f() = + lim 3 f() = 3 + la retta = 3 rappresenta un asintoto verticale per f -f é crescente negli intervalli ], 3[, ] 3, [, ], + [ = punto di massimo relativo f é decrescente nell intervallo ], [ = punto di minimo relativo -indicati con 1 e i punti di flesso del grafico, 1 ], [, ], 4[ f é concava negli intervalli f é convessa negli intervalli ] 3, 1 [, ], + [ -Disegniamo il grafico di f( ) ], 3[, ] 1, [ C.E. = R cod = R, la funzione f( ) é pari

7 4. Calcolare che in una famiglia con tre figli, tutti e tre siano maschi: (a) senza disporre di altre informazioni, (b) sapendo giá che almeno uno dei figli é maschio, (c) sapendo giá che il primogenito é maschio. (a) Sia A i l evento: A i = i-esimo figlio é maschio. Allora P (A i ) = 1. Sia B l evento: B =3 figli maschi su tre nati. Allora possiamo scrivere P (B) = P (A 1 A A 3 ) = P (A 1 ) P (A ) P (A 3 ) = = 1 8 poiché i tre eventi sono indipendenti. (b) Si tratta di una probabilitá condizionata P (B C) dove C é l evento: C =almeno un figlio maschio su tre nati. Si noti che l evento C é l evento contrario dell evento D: D =tre figlie femmine (oppure nessun figlio maschio). C = D. P (D) = 1 8 Poiché B C si ha P (C) = P (D) = 1 P (D) = = 7 8 P (B C) = P (B). Allora P (B C) = P (B C) P (C) = P (B) P (C) = 1/8 7/8 = 1 7 (c) Anche in questo caso si tratta di una probabilitá condizionata. Indichiamo con E l evento: E =il primogenito é maschio Poiché B E si ha P (E) = 1 P (B E) = P (B E P (E) = P (B) P (E) = 1/8 1/ = 1 4 7

8 5. Una popolazione di 1 api cresce alla velocitá di n (t) unitá a settimana. Cosa rappresenta n (t)dt? Ricordiamo la formula fondamentale del calcolo integrale. Sia f una funzione continua in [a, b] e sia G una sua primitiva (cioé tale che G () = f() [a, b]). Allora b a f()d = G(b) G(a) Nel nostro caso possiamo indicare con n(t) una primitiva di n (t) nell intervallo [, 15]. Otteniamo cioé n(15) = n() + n(15) n() = n (t)dt n (t)dt = n (t)dt cioé, se con n(t) indichiamo la funzione che descrive la popolazione di api nel tempo, la somma data rappresenta la popolazione di api al tempo t = 15 settimane. 8

9 5 febbraio 1. Per un lavoro di un mese, quale compenso é piú vantaggioso? (a) 5 euro a fine mese? (b) Due euro il primo giorno, quattro il secondo, 8 euro il terzo e cosí via raddoppiando di giorno in giorno. Indichiamo con a 1 lo stipendio del primo giorno e con a n lo stipendio dell n-esimo giorno. a 1 = a = = 4 = a 3 = 4 = 8 = 3... a n = n 1 = n quindi il trentesimo giorno lo stipendio sará di a 3 = 3 euro A fine mese lo stipendio sarà = i = i=1 1 = euro (Ricordiamo che la somma dei primi n termini di una progressione geometrica è espressa come segue: n i= q i = 1 qn+1 1 q ) 9

10 . Un serbatoio contiene 5 litri di acqua pura, una pompa immette nel serbatoio con una velocitá di 5 litri/minuto una soluzione che contiene 3 grammi di sale ogni litro di acqua. Ricordando che la concentrazione di una soluzione é data dal rapporto quantitá di soluto quantitá di soluzione individuare la funzione che esprime la concentrazione di sale ( in grammi per litro) nel serbatoio dopo t minuti. Cosa accade alla concentrazione se t +? Quantitá di soluto = 3 5 t Quantitá di soluzione = 5t t C(t) = 5t t lim C(t) = lim t + t + 5t + 5 = 3 cioé per t + la concentrazione di sale nel serbatoio tende ad essere quella della soluzione immessa dalla pompa

11 8 gennaio 4 3. Sia f() = 3, trovare f (), f (), f (), f iv (). Disegnare i grafici dela funzione e delle sue derivate in uno stesso piano cartesiano e osservare se i grafici sono consistenti con l interpretazione geometrica di derivata. C.E. =R la funzione é continua e derivabile R. f () = 4 3 f () = 4 6 f () = 6 f iv () = f() = 3 = ( ) = =, = f () 4 3 (4 3) 4/3 4/3 5 febbraio /3 5 febbraio 3 = é un punto di minimo f() = - / febbraio 3 = 4/3 é un punto di massimo f(4/3) = 3/7 + f () / giugno 4 5 febbraio 3 y = /3 é un punto di flesso per f() f(/3) = 16/7 f (/3) = 4/3 13 giugno 4 f () < R y f iv () = R 11

12 Notiamo che anche le derivate successive sono rappresentate dalla retta y =. 6 y Notiamo che f () si annulla nei punti in cui f ammette punti di massimo o minimo relativo; é crescente finché f () é positiva ed é concava in quanto f () <. = /3 é un punto di flesso per f(), é un punto di massimo per f () ed é uno zero per f (). f () é costante e rappresenta il coefficiente angolare della retta y = f (). 1

13 4. Si vuole costruire un aiuola ovale delimitata dalle funzioni f() = a e g() = a in modo che l area sia esattamente 1 metri quadri. Come si deve scegliere a? { y = a Y = a = 4 = 4 = = = 1 le due curve si intersecano nei punti O = (, ) e A = (1, 1) Disegniamo i grafici delle due funzioni per (a a )d = a Otteniamo Area = 1 1 a d a (a a )d = a = 1 = a = 36 3 d = 3 a[ 3 ] 1 a 3 [3 ] 1 = 3 a 1 3 a = 1 3 a 13

14 5. Scooter. In due ore la velocità di uno scooter è variata da 5 km/h a 6 km/h seguendo la funzione v(t) = 5 +.5t dove t. Qual è stata la velocità media dello scooter in quelle due ore? Soluzione La distanza percorsa è pari a v(t)dt = = km. (5 +.5t )dt = [ 5t +.5 ] 3 t3 = = Applicando il Teorema della Media, si trova che la velocità media è pari a v(t)dt = = 53.3 km/h. 14

15 13 giugno 1. Quando si somministra ad un animale una sostanza chimica la sua risposta R é proporzionale al logaritmo decimale della dose somministrata. Individuare una legge che interpreti il fenomeno e disegnarne il grafico (fissare arbitrariamente la costante di proporzionalitá. Quanto vale R se =, 1 oppure = 1? Quale dose occorre affinché R = 1? Una legge che interpreta il fenomeno é data da R() = a log 1 con a 1 =.1 R(.1) = a log 1 1 = a = 1 R(1) = a log 1 1 = a Per sapere quale dose occorre affinché R = 1 impostiamo la seguente equazione a log 1 = 1 = log 1 = 1 a = = 1 1 a 15

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17 . Un serbatoio contiene 5 litri di acqua salata al 3%, cioé ogni liotro di soluzione contiene 3 grammi di sale (e di conseguenza 97/1 grammi di acqua); una pompa immette nel serbatoio con una velocitá di 5 litri/minuto acqua pura. Ricordando che la concentrazione di una soluzione é data dal rapporto quantitá di soluto quantitá di soluzione individuare la funzione che esprime la concentrazione di sale (in grammi su litro) nel serbatoio dopo t minuti e disegnarne il grafico. Cosa accade alla concentrazione se t +? Quantitá di soluto = 3 5 = 15 Quantitá di soluzione = 5 + 5t C(t) = t = 6 + t 4 3 y lim C(t) = t + cioé per t + nel serbatoio ci sará solo acqua pura. 17

18 3. Disegnare il grafico di una funzione f() tale che : - lim f() = ; - monotona strettamente crescente; - discontinua in = ; - f () <, ; - asintoto orizzontale y = 5. Il seguente grafico soddisfa tutte le condizioni richieste 8 6 y Poiché f () <, allora f é una funzione concava. Inoltre essendo una funzione strettamente crescente, la discontinuitá in = dovrá essere di tipo salto (I specie). 18

19 4. Un contadino vorrebbe usare 5 ettari di terreno a ridosso di una porzione rettilinea di un fiume per edificare stalle, erigendo un unico muro parallelo al fiume e 7 muri perpendicolari ad esso. Come puó costruirla in modo che la lunghezza complessiva dei muri sia minima? y Indichiamo con e y le dimensioni del campo. La funzione da minimizzare é f(, y) = y + 7 con la condizione y = 5 cioé y = 5/. I vincoli sono >, y > La funzione f() = = rappresenta la lunghezza dei muri in funzione della variabile indipendente ed è la quantità da minimizzare. Studiamo il segno della derivata prima f () = La disequazione è verificata per valori esterni alle radici dell equazione associata (si può disegnare il grafico della parabola e visualizare le soluzioni geometricamente) 5 5 = ± = ± Tenendo conto del C.E. > deduciamo: f 5 () = per = 1, f 5 () > in ]1, + [. Otteniamo 7 7 = 1 punto di minimo relativo rispetto a cui si ha la lunghezza minima 5 7 dei muri. Risulta y = 5 5 = = 1 = = 7 19

20 cioé la lunghezza minima si ottiene quando la lunghezza del muro vericale é pari alla somma degli altri sette orizzontali.

21 5. Sia a(t) = t + 4 l accelerazione (in m/s ) di una particella che si muove in linea retta. Trovare - la velocitá al tempo t, sapendo che v() = 5, - lo spazio percorso dalla particella nell intervallo di tempo t 1. Possiamo scrivere v(t) = v() + t a(s)ds = t (s + 4)ds = 5 + [ s + 4s]t = 5 + t + 4t supponendo che all istante t = s() = possiamo scrivere s(1) = 1 v(t)dt = 1 (5 + t + 4t)dt = [5t + t 3 /6 + t ] 1 = 5 + 1/6 + = 5/6 = 416, 6 metri 1

22 7 giugno 1. Un manager di un mobilificio sa che produrre 1 sedie al giorno costa euro, mentre produrne 3 costa 48 euro. a) Esprimere il costo in funzione del numero di sedie prodotte in un giorno, assumendo che la relazione tra le variabili sia lineare, quindi disegnarne il grafico. b) Qual é la pendenza del grafico e cosa rappresenta? c) Qual é l intercetta sull asse y e cosa rappresenta? a) Indichiamo con il numero di sedie prodotte in un giorno e con f() il costo. Sapendo che la relazione tra le due variabili é lineare possiamo scrivere f() = m + q Impostiamo il seguente sistema { = 1m + q Risolvendo tale sistema otteniamo: 48 = 3m + q m = 13 q = 9 cioé f() = b) La pendenza del grafico é m = 13 e rappresenta l incremento del costo quando la produzione di sedie aumenta di una unitá. c) L intersezione con l asse y ( = ) é y = 9 e rappresenta i costi fissi di produzione.

23 . La funzione C(t) = K(e at e bt ) dove a, b, K sono costanti positive con b > a, è usata come modello della concentrazione all istante t di un farmaco iniettato nel sangue. a) Calcolare lim t + C(t). Nel seguito dell esercizio si assuma k = 1, a = 1, b =. b) Calcolare C (t), la velocitá alla quale il farmaco viene eliminato dal sangue. Quando si annulla tale velocitá? c) Tracciare il grafico approssimativo di C(t). d) Tracciare il grafico approssimativo di C (t). a) lim C(t) = lim t + t + K(e at e bt ) = b) domc(t) = [, + [ domc (t) = [, + [ C (t) = ( e t + e t ) Al fine di tracciare il grafico approssimativo di C(t), studiamo il segno della derivata prima: ( e t + e t ) = (divido per e t ) 1 + e t = e t 1 = e t 1 = t ln 1 = t ln Deduciamo che C (t) = in t = ln, C(t) crescente in ], ln [ e decrescente in ] ln, + [= t = ln punto di massimo relativo. c) Usando le proprietà ricavate in a) e b), tenendo conto che C() = siamo in grado di tracciare un grafico approssimativo di C(t) 3

24 t d) Dall osservazione del grafico di C(t), usando i criteri di monotonia e di convessità si può ricavare un approssimazione del grafico di C (t) t 4

25 3. Disegnare il grafico di una funzione f() che ha un massimo relativo in = ed é derivabile in tale punto; Disegnare il grafico di una funzione f() che ha un massimo relativo in = ma non derivabile in tale punto. Disegnare il grafico di una funzione f() che ha un massimo relativo in = e non é continua in tale punto. 1 8 y funzione con un massimo relativo in = e derivabile in quel punto 5

26 4 y funzione con un massimo relativo in = continua ma non derivabile in quel punto 1 8 y funzione con un massimo relativo in = ma non continua nel punto 6

27 Un contadino con uno steccato di 75 m vuole circondare un area rettangolare e dividerla in quattro zone con recinzioni parallele a un lato del rettangolo. 11 luglio 3 Qual - é l area + massima che- si puó recintare? + 7 giugno 4 y Indichiamo con e y le dimensioni della recinzione y = 75 = y = Notiamo che 15 e che y 375. La funzione che descrive l area é 75 5 f() = = 1 (75 5 ) Il grafico di f() é una parabola con la concavitá rivolta verso il basso

28 Il punto di massimo di f() sará quindi l ascissa del vertice della parabola = b a = = = 75 L area massima é f(75) = 146m ed è realizzata assumendo y = = 75 5 = y = 5 cioè la soluzione di massima area si realizza quando la lunghezza della somma delle pareti orizzontali coincide con la lunghezza della somma delle pareti verticali. 8

29 5. Se C() rappresenta il costo per produrre unitá di prodotto, allora il costo marginale é dato dalla derivata prima C (). Il costo marginale per la produzione di metri di una certa stoffa é C () = (in euro al metro) Trovare la crescita dei costi di produzione se il livello cresce da metri a 4. La differenza dei costi di produzione quando si passa da a 4 puó essere rappresentata da C(4) C() cioé dal teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo dire C(4) C() = 4 C () = 4 ( )d = [ ]4 = 6 = 58 9

30 11 luglio 1. La tariffa applicata da una certa compagnia di tai é di tre euro per il primo chilometro e di altri centesimi per ogni successivo ettometro anche parzialmente percorso. Esprimere il costo C() di una corsa in funzione della sua lunghezza, supponendo un percorso massimo di 1, 5 chilometri. Disegnare il grafico di C(). Nel caso di percorso massimo, qual é il costo medio per ogni ettometro? La funzione costo C() é C() = 3 1 3, 1 < 1, 1 3, 4 1, 1 < 1, 3, 6 1, < 1, 3 3, 8 1, 3 < 1, 4 4 1, 4 < 1, 5 3

31 C() é una funzione a gradini che assume valore costante tra un ettometro e l altro. In caso di percorso massimo la spesa é di 4 euro. La spesa media é percorso massimo data da ettometri percorsi = 4/15 =, 6 euro per ogni ettometro. 31

32 . Un isotopo di sodio 4 Na ha un tempo di dimezzamanto di 15 ore. Un campione di questo isotopo ha massa di g. (a) Trovare la massa rimanente dopo 6 ore. (b) Trovare la legge a n che esprime la massa rimanente dopo n 15 ore. (c) Trovare la legge g(t) che rappresenta la quantitá rimanente dopo t ore e disegnarne il grafico. (d) Individuare il valore di t in cui la massa residua sará di.1 g. (a) a = g a 15 = 1g a 3 =.5g a 45 =.5g a 6 =.15g Dopo 6 ore la massa rimanente di.15 g. (b) a = a 1 = 1a (dopo 15 ore) a = 1a 1 = ( 1 ) a (dopo 15 ore)... a n = ( 1 )n a (dopo n 15 ore) (c) la legge g(t) sará individuata dividendo per il periodo di dimezzamento g(t) = ( 1 ) t 15 a il cui grafico può essere rappresentato da 3

33 1.5 grammi t (d) per sapere in quale tempo t la massa residua é di.1 g. si dovrá impostare la seguente equazione 1 t 15 g(t) =.1 =.1 = t 15 = = t t log = log = = log log = t = 114, 65 ore 33

34 3. Disegnare il grafico di f() = 1 individuando il campo di esistenza, il codominio, gli asintoti e gli evetuali punti di 3 1 massimo, di minimo e di flesso. C.E. ( ) C.E = R \ {1} cod f = R \ {} Infatti y = 1 3 1, y(3 1) = = 1 y, y 3 = 1 1 y + 1, y = 3 + 1, y. y 6 1 Studio degli asintoti verticali: 1 lim = lim la retta di equazione = 1 é un asintoto verticale per la funzione. Studio degli asintoti orizzontali: lim = lim = + - la retta di equazione y = é un asintoto orizzontale per la funzione. Studiamo il segno della derivata prima: f () = 3 ( 3 1) = f () C.E.f luglio 3 per = f () = punto a tangente orizzontale Studiamo il segno della derivata seconda: f () = 6(3 1) ( 3 1) ( 3 1) 4 = 6(3 + 1) ( 3 1)

35 Risolvendo tale disequazione otteniamo luglio 3 = 1 3 e = punti di flesso 7 giugno 4 3 y

36 4. La figura mostra il grafico della popolazione di api allevate da un apicoltore. (a) Usare un approssimazione lineare (retta tangente) per predire la popolazione di api dopo 18 settimane e dopo settimane (b) Quale previsione é piú accurata e perché? (c) I risultati trovati sono sottostimati? numeroapi t Consideriamo la retta tangente al grafico nel punto = 17 P (, f( )) = (17, 7) y = f( ) + f ( )( ) Il coefficiente angolare della retta tangente puó essere stimato calcolando il rapporto incrementale della funzione tra i punti = 15 e = 17 f ( ) = f(17) f(15) = 7 6 = 5 36

37 l equazione della retta tangente é y = 7 + 5( 17) Possiamo predire la popolazione di api dopo 18 e dopo ore calcolando l immagine di questi punti sulla retta. y(18) = 7 + 5(18 17) = = 75 y() = 7 + 5( 17) = = 85 (b) la previsione migliore é quella per = 18 perché il punto é piú vicino al punto di tangenza. (c) La funzione nell intorno del punto di tangenza é concava quindi la retta tangente si trova la di sopra del grafico, cioé i valori trovati sono sovrastimati. 37

38 5. L area A sottesa dal grafico della funzione f() = e nell intervallo [, b] è tre volte l area B sottesa nell intervallo [, a]. Esprimere b in termini di a. Sappiamo che B = b Quindi e d, A = a [ ] b [ ] a e = 3 e e d, b e d = 3 a, ovvero e b 1 = 3e a 3, e d. cioè e b = 3e a e da ciò si deduce b = ln(3e a ). 38

39 1 settembre 1. Una scatola aperta viene costruita a partire da un pezzo di cartone di dimensioni 1 dm per dm tagliando via dai vertici quattro quadrati di lato e ripiegando in alto i lembi, come in figura. Esprimere il volume V() della scatola in funzione della sua altezza e disegnarne il grafico. Individuare per quali valori dell altezza si realizza il volume massimo. 1 C D A B Sia AB = CD = 1 Il volume della scatola é V () = ( )(1 ) = 4( ) Imponiamo che le dimensioni della scatola, AB e CD siano quantitá non negative. La risoluzione del sistema 1 39

40 6 1 indica che ha senso considerare il problema per e 6 in tale intervallo V ()) Per disegnare la funzione individuiamo dapprima i punti di intersezione della curva con l asse. V () = = o = Studiamo il segno della derivata prima. V () = 4( ) = = 16± = e = Disegnamo ora la funzione V () nell intervallo considerato o 3 1 punto di massimo V ( 1 ) = 6, 58 cm 3. La funzione ha due punti di minimo = e = 6 dove V () = luglio luglio giugno

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42 . Supponiamo di mettere delle patate a temperatura ambiente di C in un forno riscaldato a 18 C. Il grafico riportato in figura approssima, secondo la legge di riscaldamento di Newton l aumento della loro temperatura in funzione del tempo. Interpretare il grafico e disegnare quello della funzione derivata Dal grafico notiamo che la funzione é crescente, concava e che ammette un asintoto orizzontale di equazione y = 18. La funzione derivata prima f sará una funzione a valori positivi, decrescente e lim f () = +. Il grafico della funzione derivata avrà approssimativamente il seguente andamento: 4

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44 3. Tracciare il grafico di una funzione che soddisfi le condizioni specificate: lim 3 lim f() =, lim f() = + 3 f() = 4, lim f() =, f(3) = 3 + lim f() =, f( ) = 1 Dalle condizione date possiamo dedurre che la funzione da disegnare avrá le seguenti caratteristiche: - asse asintoto orizzontale per ± - discontinuitá di prima specie nel punto = 3 - discontinuitá di terza specie nel punto = (eliminabile) Supponendo che la funzione sia definita in tutto R, il grafico seguente soddisfa le proprietá richieste

45 4. Sia assegnata una certa funzione f() tale che f(1) = 5 e il grafico della derivata f () sia quello disegnato in figura. a) usare un approssimazione lineare (retta tangente) per stimare f(, 9) e f(1, 1). b) Le stime in a) sono per eccesso o per difetto? a) Scriviamo l equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa = 1, f( ) = 5. Dal grafico si nota che f ( ) = y = f( ) + f ( )( ) y = 5 + ( 1) = y = + 3 quindi f(, 9), = 4, 8 f(1, 1) 1, = 5, b) Dal grafico si vede che f é una funzione strettamente decrescente da cui segue che f cioé f é una funzione concava e quindi la retta tangente si trova sopra il grafico di f e pertanto le stime fatte sono per eccesso. 45

46 5. Ciascuna equazione del seguente sistema rappresenta una retta del piano. a + by = h d + ey = k p + qy = r Sotto quali condizioni le tre rette hanno intersezione vuota? Quando, invece, la loro intersezione é un solo punto? Sia A = a c e b d f matrice dei coefficienti del sistema e matrice completa. C = a b h c d k e f r Dal teorema di Rouché -Capelli possiamo dire che se rgc = 3 (detc ) allora il sistema non ha soluzioni (infatti rga ) se detc = e rga = allora il sistema ha una sola soluzione (infatti in questo caso anche rgc = ) se rga = 1 = rgc il sistema ha soluzioni se rga = 1 e rgc = il sistema non ha soluzioni. Le tre rette hanno intersezione vuota quando sono parallele; questo caso si verifica quando il rga = 1 e rgc > 1. L intersezione é un solo punto se il sistema ammette una sola soluzione cioé rga = rgc =. 46