Regolazione e controllo

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1 Regolazione e controllo Controllo ed analisi dell errore Mikael Bianchi, Ricercatore SUPSI 9 maggio 207

2 2 Tematiche Introduzione del controllo ad anello chiuso Analisi dell errore allo stato finito Segnale di riferimento costante Segnale di riferimento a rampa Segnale di riferimento a parabola Calcolo dell errore allo stato finito per un sistema generico Analisi dinamica del sistema controllato Analisi dei poli di un sistema Parentesi: Calcolo del valore di una funzione di trasferimento Metodo del luogo delle radici Posizionamento analitico dei poli 9/05/207 Definizione delle specifiche Calcolo del controllore Strutture di controllori generici: Controllo PID

3 Controlload anellochiuso Introduzione

4 4 Controllo ad anello chiuso: Motivazione Problema: Il controllo ad anello aperto porta inevitabilmente ad errori di inseguimento Disturbi sul processo non possono venir identificati ad anello aperto Analogia: guida alla cieca Possibile soluzione: Controllo ad anello chiuso La retroazione del segnale di uscita Y(s) permette di misurare eventuali errori dal segnale di riferimento e reagire di conseguenza - Controllo Attuazione Processo Misura : Errore di inseguimento Assunzione: Attuazione e misura sono ideali (funzione di trasferimento = )

5 5 Controllo ad anello chiuso: Analisi del sistema - Controllo Processo Funzione di trasferimento del processo controllato Calcolo dell errore

6 6 Controllo con retroazione e modello di riferimento Problemi del controllo con retroazione: in genere lento e sensibile ai disturbi saturazione dell attuazione genera instabilità Controllo con Feedforward Inversione del processo con modello di riferimento può fornire una traiettoria per il segnale di attuazione in funzione del segnale di riferimento Controllore con retroazione si occupa unicamente della correzione dell errore Dinamica viene garantita con la parte di Feedforward Inversione del processo con modello di riferimento Modello di riferimento - Controllo Processo

7 7 Controllo con retroazione e modello di riferimento Controllo con Feedforward, generatore di traiettoria Partendo da requisiti iniziali (ad esempio segnale di riferimento finale) e considerando saturazioni e non linearità, si può generare la traiettoria ottimale (problema di controllo ottimale). Il controllo ad anello chiuso viene utilizzato unicamente per correggere errori di traiettoria. Generatore di traiettoria Modello del processo - Controllo Processo

8 8 Controllo ad anello chiuso: Obiettivi di design Obiettivi: Minimizzare l errore di inseguimento e(t) Dinamica: Convergenza rapida dell errore Ad esempio in presenza di disturbi Spostare a sinistra i poli del sistema ad anello chiuso Allo stato finito: Eliminazione dell errore finale: lim! " 0 Per segnale di riferimento costante Per segnali di riferimento variabili nel tempo (retta o parabola)

9 Controlload anellochiuso Calcolodell erroreallostatofinito

10 0 Analisi dell errore allo stato finito Obiettivi dell analisi dell errore allo stato finito Capire se il controllo è in grado di raggiungere i requisiti richiesti Calcolare i parametri di controllo partendo da specifiche sull errore Tipi di segnali di riferimento analizzati per il calcolo dell errore allo stato finito: Segnale costante (analogia: posizione costante) Segnale a rampa (analogia: posizione a velocità costante) Segnale a parabola (analogia: posizione ad accelerazione costante) Riferimento costante Riferimento a rampa Riferimento a parabola Uscita r(t) y(t) $! Uscita r(t) y(t) $! Uscita r(t) y(t) $! t t t

11 Analisi dell errore allo stato finito : Processo e controllo - Controllo Processo Processo e controllo: Errore allo stato finito: "! lim! " lim % lim % Per le analisi successive si utilizzerà la forma generica polinomiale fattorizzata: Funzione di tipo n: ' () (),() - / (0 (0, (0 -, con 20

12 2 Analisi dell errore allo stato finito: riferimento costante Calcolo dell errore al gradino con retroazione Scegliendo 3 (Funzione a gradino) Uscita r(t) y(t) $! Errore allo stato finito: "! lim % lim % t Forma polinomiale: "! lim ' % 8 Soluzioni in funzione di n: Per 0: "! Per 9 "! '

13 3 Analisi dell errore allo stato finito: riferimento a rampa Calcolo dell errore con rampa e retroazione Uscita r(t) $! Scegliendo 3, (Funzione a rampa) y(t) Errore allo stato finito: "! lim % 5 lim % t Forma polinomiale: "! k lim % 8;3 Soluzioni in funzione di n: Per 0: "! Per "! k Per 2 "! 0

14 4 Analisi dell errore allo stato finito: riferimento a parabola Calcolo dell errore con parabola e retroazione Scegliendo 3 - (Funzione a parabola) Uscita r(t) $! Errore allo stato finito: "! lim % 6 lim % 5 y(t) t Forma polinomiale: "! k lim % 8;5 Soluzioni in funzione di n: Per =: "! Per 2 "! k Per 22 "! 0

15 5 Analisi dell errore allo stato finito Sistema con Feedback non unitario - Per il calcolo dell errore si porta il sistema in schema con retroazione unitaria, in modo da poter utilizzare le formule sull errore allo stato finito con retroazione - A

16 Controlload anellochiuso Analisidinamicadel sistemacontrollato

17 7 Introduzione al problema Nel design di un controllore è importante massimizzare il tempo di reazione in modo da minimizzare l errore di traiettoria nel più breve tempo possibile. La risposta dinamica del sistema è data dai poli del sistema; questi sono in relazione alla soluzione omogenea dell equazione differenziale Determina la soluzione forzata dell equazione differenziale (dipende A7 3 A7 5 A7 6 dallo stimolo in entrata) A4 3 A4 5 A4 6 Rs Determina la soluzione omogenea dell equazione differenziale (dipende unicamente dalle condizioni iniziali) Obiettivo è di spostare i poli del sistema controllato verso A, mantenendo la parte immaginaria limitata (overshoot)

18 8 Analisi dei poli di un sistema Si consideri una retroazione semplice con guadagno variabile: - Controllo Processo Funzione di trasferimento ad anello chiuso: Poli del sistema sono i valori di s tali che 0 A In coordinate polari si potrà scrivere: " H I J A0 K

19 9 Analisi dei poli di un sistema In coordinate polari i poli del sistema sono i valori di s tali che: 80 N Interpretazione geometrica: Rappresentazione in coordinate polari di un numero immaginario QR p S 4 " T p " p 5 QR p 5 S patan QR p " p Punto - in coodinate polari QR 80 - "

20 20 Parentesi: Regole di calcolo del valore di una funzione Data una funzione di trasferimento: Z A7 Z Z A4 Z Si può calcolare il valore della funzione al punto % utilizzando le coordinate polari: % A7 Z % A7 Z " [;) \ % A4 Z % A4 Z " [;0 \ % %A7 Z " [;) \ Z % A4 Z " [;0 \ Z Z %A7 Z Z % A4 Z " \ [;) \ ; \ [ ;0 \

21 2 Parentesi: Regole di calcolo del valore di una funzione Interpretazione geometrica: % QR S 7 Z " % A7 Z " % QR % A " 7 Z QR 7 Z T % A7 Z " % A7 Z 5 QR % A7 Z 5 S % A7 Z atan QR %A7 Z " % A7 Z

22 22 Luogo delle radici: Analisi di un sistema semplice Si consideri una retroazione semplice con guadagno variabile: - K Controllo Processo In questo specifico caso si sceglie il controllo: ^ Obiettivo del metodo del luogo delle radici è di rappresentare graficamente il valore delle radici (poli) del sistema ad anello chiuso in funzione del guadagno K. Variando K da 0 a trovare il valore di s tale che: ^ ^80 2

23 23 Luogo delle radici: Analisi di un sistema semplice Calcolo del luogo delle radici di una retroazione con guadagno in Matlab: rlocus( ) A

24 Controlload anellochiuso Posizionamentoanaliticodeipoli

25 25 Introduzione Ricapitolazione metodo del luogo delle radici - K Controllo Processo ^0 Permette l analisi del luogo delle radici con un controllore semplice (retroazione con guadagno) in funzione del guadagno K Svantaggio: Non permette in genere di posizionare tutti i poli del processo

26 Obiettivi DTI / ISEA / Regolazione e Controllo 26 Poli di un sistema determinano la velocità di reazione ad uno stimolo Obiettivo: Cercare di spostare i poli verso A Contenere la parte immaginaria (che determina l overshoot) I(l) poli(o) dominanti(e) determina(no) la dinamica del sistema Fattibilità dipende da: La struttura del controllore in genere una retroazione con guadagno non basta! Controllabilità del processo con l attuatore siamo in grado di agire su tutti gli stati interni del processo?

27 27 Obiettivi Sistema controllabile obiettivo è spostare i poli verso A QR`.b Sistema non controllabile Attenzione ai poli non influenzabili direttamente! QR`.b "`.b "`.b

28 28 Obiettivi Posizionamento dei poli: Partendo da una forma generica di processo controllato: c Si vuole riuscire a posizionare tutti i poli della fdt ad anello chiuso: c A7 3 A7 5 A7 6 A4 3 A4 5 A4 6 O in forma alternativa si determinano tutti i coefficienti del denominatore c 8 d 8;3 8;3 d 5 5 d 3 d % 8 8;3 8; %

29 29 Posizionamento dei poli, definizione delle specifiche Sistema del ordine 4 3 Im`b Re`b Processo controllato desiderato: Z ;0 Definizione delle specifiche: 4 3 Ae f e f : Banda del sistema controllatogh/j Sistema del 2 ordine cossl f Im`b e f Al f 5 K Processo controllato desiderato: ' A4 3 A4 5 Ae f l f S Re`b Specifiche: 4 3,5 Al f e f NK e f Al f 5 Ae f Al f 5 K

30 30 Posizionamento dei poli, definizione delle specifiche Sistema di ordine superiore QR`.b QR`.b "`.b 2S f S f "`.b Ae f Strategia per il posizionamento dei poli: Equidistanti sul semicerchio di raggioe f Z Processo controllato desiderato: ;0 ;0, ;0 / Definizione delle specifiche: 4 3 Ae f 4 5,6 Ae f sin S f NK cos S f 4 r,s Ae f sin 2S f NK cos 2S f

31 3 Posizionamento dei poli: Calcolo del controllore. Calcolo della funzione di trasferimento Modellazione fisica 2. Calcolo della funzione di trasferimento totale del sistema controllato c c H I J 3(H I J Calcolo del polinomio caratteristico (denominatore di c ) 3. Definizione delle specifiche partendo dall ordine del denominatore c 4. Definizione della struttura necessaria del controllore, per raggiungere il posizionamento di tutti i poli 5. Comparazione dei coefficienti tra polinomio desiderato e calcolo dei coefficienti del controllore

32 32 Strutture convenzionali di controllori Controllo PID ^w - ^x ^v { h h Processo P: Parte proporzionale: ^0 Permette di aumentare la banda del controllo t u I: Parte integrale: Permette di diminuire l errore statico D: Parte derivativa: s ^v Permette di aumentare la stabilità Funzione di trasferimento del controllo PID: wxv ^0 t u s ^v, t y ( t z (t u

33 33 Strutture convenzionali di controllori Controllo PID: Forma alternativa - ^w ~ ~ { h h Processo Funzione di trasferimento del controllo PID: wxv ^0 3 c } s ~ ^w: Guadagno ~ : Tempo di ripristino ~ : Tempo d azione della derivata