Analisi Matematica I. Paolo Guiotto

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1 Alisi Mtemtic I Polo Guiotto

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3 3 Premess Il mterile coteuto i queste ote copre il progrmm di u corso di Alisi Mtemtic per u Lure d idirizzo scietifico. L Alisi itroduce gli strumeti del Clcolo Differezile ed Itegrle, el primo corso limitti l cotesto delle fuzioi di u sol vribile rele. Detti strumeti soo cetrli elle disciplie scietifiche modere quli Fisic e Igegeri e per questo motivo è fodmetle che lo studete li ppred i modo solido si dl primo o di Uiversità. È pur vero che molti degli rgometi previsti i questo corso co u grdo miore o mggiore di profodità soo stti già ffrotti ell Scuol Secodri. Tuttvi, il grdo di profodità richiesto d u corso uiversitrio è diverso. Per questo, si cosigli di o sottovlutre il corso ddo per scotti gli rgometi crededo mgri di cooscerli già. Lo scopo del corso è di imprre cooscere gli strumeti e l loro l verstilità sez ecessrimete mostrre ppliczioi fisiche o igegeristiche, che verro sviluppte el seguito. I u certo seso, ci cocedimo il lusso di o doverci troppo preoccupre di rispodere immeditmete ll domd " cos serve". Per fre u prgoe forse o molto ortodosso m efficce, qulsisi tlet di qulsisi discipli h bisogo di u cert preprzioe fisic per poter competere l meglio. Nel prgoe, questo corso è l "preprzioe tletic di bse". Accto llo scopo specifico di isegre lcui cocetti fodmetli, u corso di Mtemtic h u secod importte fuzioe. Come oto, l Mtemtic è iftti u discipli strtt che si fod uicmete sul rgiometo logico che port dedurre, d determite premesse, delle coclusioi. Così u Teori si fod su u certo umero di leggi di bse o ssiomi d cui viee dedotto tutto il resto. U Teorem fferm u cert verità prtire d certe premesse i coerez co l Teori e così, i piccolo, che l risoluzioe di u esercizio richiede u pesiero logico d cui o si può prescidere. I questo modo, lo studete impr progressivmete impostre u rgiometo logico vi vi più complesso, processo cetrle el Metodo Scietifico. Per questo tutto è importte llo stesso modo: l Teori come gli Esercizi. È impesbile risolvere co cogizioe di cus u problem sez vere cotezz dell Teori. D ltro cto, l risoluzioe di problemi è sez ltro u tssello fodmetle ell compresioe di u qulsisi Teori Geerle. U problem cetrle è: come si studi l Mtemtic? No c è u Metodo e oguo deve fre uo sforzo cercdo l propri strd. Ci soo sicurmete lcue cose che possoo essere utili, ltre d evitre. Cose utili: compredere bee le Defiizioi: u defiizioe cerc di solito di formlizzre u ide ituitiv el modo più preciso possibile. I questo, o è detto che u Defiizioe si semplice, zi spesso o lo è fftto o comuque o è di prtico utilizzo. Occorre cercre di lizzrl pezzo per pezzo, sottoporl verific cercdo di cpire qudo vle e qudo o; compredere bee gli euciti di Teoremi, Proposizioi, Lemmi, Corollri soo tutti di ftto l stess cos, le Proposizioi soo Teoremi "meo profodi", i Lemmi soo Teoremi che servoo soprtutto dimostrre ltri Teoremi, i Corollri soo Teoremi che seguoo qusi immeditmete d Teoremi pricipli), che i questo cso provdo sottoporre verific le ipotesi cos succede se u delle ipotesi viee meo?); compredere l ide di u dimostrzioe di u Teorem: spesso dietro d u dimostrzioe compless c è u ituizioe e u strtegi per cercre di redere cocret l ituizioe; queste

4 4 soo molto più importti dell dimostrzioe stess, che può essere che lug e tecicmete compless, m che i lie di pricipio potrebbe essere ricostruit solo ricorddosi l ide e l strtegi. È u po come uo che deve percorrere recrsi i u luogo h l ide di come recrvisi e che mezzi predere e dove strtegi), sicurmete molto più efficiete che ricordrsi ogi sigolo dettglio del percorso! fre gli Esercizi: u buo prte del mterile di quest dispes soo Esercizi svolti cui si ggiugoo qusi 600 Esercizi ll fie di ogi Cpitolo. Slvo per lcui csi, i geere o c è l soluzioe degli Esercizi ssegti: è fodmetle che lo studete impri progressivmete d uto-vlutrsi. Gli esercizi segti co ) preseto difficoltà di clcolo che richiedoo u miimo di bilità, ) soo più difficili e possoo richiedere u po più d ivetiv. L cos più importte d evitre come l peste è lo studio memori. Purtroppo quest è l strtegi che o pochi dotto per u serie di motivi: l Mtemtic è difficile, f pur, o pice. Ioltre, vi è l erroeo credo che studire memori si meo fticoso di cpire. L uic coseguez di quest strtegi è icremetre difficoltà, pur e disgusto per l mteri! Iftti, lo studio memori ormlmete o comport compresioe, il ché sigific che per quto uo "studi" memori) o umet le sue bilità e cpcità di risolvere esercizi. Di coseguez, di frote d u problem ci si ffid l destio, foriero delle più tviche pure. Corollrio di tutto questo, è u sempre miore picere e iteresse ell mteri. Si può trquillmete dire u cos: purtroppo, uo che studi memori lo si vede bee ll esme e bst porgli qulche semplice domd di compresioe per metterlo di frote d u muro, co l esito che si può immgire. U ultim cosiderzioe. Il testo è l mi visioe persole su come isegre l Alisi. I commercio soo dispoibili decie se o cetii) di testi co lo stesso obiettivo m che perseguoo strtegie più o meo diverse. È possibile che lo studete trovi quest versioe icompresibile e brutt, per cui è libero di gurdre che ltrove. Ed che se l trovsse covicete, è comuque sempre buo cos che si gurdi ttoro e set che qulche ltr "cmp". Ifie, per quto il testo si stto cotrollto, o è esete d errori: chiuque e trovsse è ivitto seglrmeli. Buo divertimeto!

5 Idice Cpitolo 0. Cocetti di bse 0.. Proposizioi 0.. Isiemi 0.3. Qutifictori Fuzioi 4 Cpitolo. Numeri Reli 5.. Perché i rzioli o bsto 5.. Assiomi dei umeri reli 6.3. Fuzioi elemetri 9.4. Desità dei rzioli ei reli 8.5. Fttorile, coefficieti biomili e biomio di Newto 9.6. Esercizi 0 Cpitolo. Numeri complessi 3.. Defiizioe di C 4.. Modulo di u umero complesso 7.3. Form trigoometric 9.4. Esercizi 3 Cpitolo 3. Successioi Modelli mtemtici L ozioe di limite Proprietà fodmetli Regole di clcolo Cofroto espoezili/poteze/logritmi Successioi mootoe Teorem di Bolzo Weierstrss Successioi defiite per ricorsioe Esercizi 59 Cpitolo 4. Serie umeriche Defiizioe ed esempi fodmetli Serie termii di sego costte Serie termii di sego vribile 73 5

6 Esercizi 77 Cpitolo 5. Limite Topologi elemetre dell rett rele Defiizioe di limite e di fuzioe cotiu Loclità del limite Proprietà fodmetli Clcolo dei limiti Limiti fodmetli Fuzioi iperboliche Esercizi 96 Cpitolo 6. Cotiuità Operzioi su fuzioi cotiue Cotiuità delle fuzioi mootoe Teorem di Weierstrss Teorem degli zeri Teorem dell ivers cotiu Esercizi 04 Cpitolo 7. Clcolo Differezile Defiizioe e prime proprietà Derivte delle fuzioi elemetri Regole di clcolo 7.4. Teoremi fodmetli del Clcolo Differezile Regole di Hôpitl Sego dell derivt e mootoi Derivt dell fuzioe ivers 7.8. Covessità Lo studio di fuzioe Formul di Tylor Clcolo co ifiitesimi Esercizi 43 Cpitolo 8. Primitive Defiizioe, primitive elemetri Regole di clcolo Primitive delle fuzioi rzioli Esercizi 64 Cpitolo 9. Itegrle di Riem Defiizioe di itegrle Clssi di fuzioi itegrbili Proprietà dell itegrle di Riem 7

7 9.4. Teorem fodmetle del Clcolo Formule d itegrzioe Esercizi 76 Cpitolo 0. Itegrli Geerlizzti Defiizioi Criterio del cofroto Test dell serie Covergez ssolut Criterio di Abel Dirichlet Esercizi 9 7

8 CAPITOLO 0 Cocetti di bse L Mtemtic è u liguggio prticolrmete utile e verstile el descrivere u serie di feomei d u puto di vist qutittivo e qulittivo. Come ogi liguggio, ci soo u vocbolrio e u grmmtic. Attrverso il vocbolrio, è possibile defiire cocetti usdo simboli e prole. A differez del liguggio comue, tuttvi, el liguggio mtemtico le "frsi" soo ffermzioi che devoo essere iequivocbilmete vere o flse, e predoo il ome di proposizioi. Le proposizioi si coettoo tr loro i modo logico e rziole, così che d u proposizioe se e poss dedurre u successiv e così vi. Questo cre potezilmete u circolo vizioso che rede ecessrio fissre degli oggetti "primitivi", o defiibili ttrverso ltri. I Mtemtic, gli oggetti primitivi soo isiemi. I questo breve Cpitolo richimimo questi cocetti. 0.. Proposizioi Abbimo detto che l Mtemtic è u liguggio. Le frsi che scrivimo i questo liguggio soo solo quelle che possoo essere solo vere o flse. Tli ffermzioi predoo il ome di proposizioi. Ad esempio divide 6 è u proposizioe ver, divide 3 è u proposizioe fls, metre è u umero mico, 3 e 4 soo umeri fortuti, o lo soo. Normlmete le proposizioi soo idicte co lettere come p, q,.... È possibile combire proposizioi per formre ltre proposizioi più complesse ttrverso lcue operzioi, dette operzioi logiche. Limitdoci lle pricipli, se p, q soo proposizioi, llor Per esempio l disgiuzioe tr p e q è l proposizioe p q ver se lmeo u tr p e q lo è; l cogiuzioe tr p e q è l proposizioe l egzioe di p è l proposizioe p q ver se p e q soo etrmbe vere; p ver se p è fls; divide 6) divide 3) è ver, divide 6) divide 3) è fls.

9 I lcui csi u proposizioe può essere ver o fls secod del vlore di u vribile. Ad esempio, se scrivimo p) := divide, è ver se è pri, fls se è dispri. I questo cso dicimo che p è u predicto. Come vedremo breve, i predicti soo fodmetli per descrivere gli isiemi. Ci serve quidi itrodurre questo cocetto. 0.. Isiemi Cos è u isieme? Provdo dre u defiizioe, potremmo dire che "u isieme è u collezioe/fmigli/ggreggo di oggetti". I termii collezioe, fmigli e ggregto soo, di ftto, sioimi dell prol isieme, cioè prole diverse co lo logo sigificto. Questo sigific che essu delle precedeti è di per sé u buo Defiizioe di isieme perché di ftto è come se dicessimo u isieme è u isieme di oggetti. È u defiizioe utoreferezile e i Mtemtic questo tipo di ffermzioi o soo delle Defiizioi. È per questo motivo che o dremo u Defiizioe di isieme, m prederemo questo cocetto come primitivo. Di solito gli isiemi soo deotti co lettere miuscole A, B, C, X, Y,.... L otzioe X pprtiee d X) sigific che è u elemeto dell isieme X, metre X sigific che o è u elemeto di X. Dicimo che A è u sottoisieme di B e scrivimo A B, se ogi elemeto A pprtiee che B, cioè B. U isieme può essere descritto elecdo i suoi elemeti, come d esempio A := {, 3, 4, 6, 53}, B := {}. Si cpisce che questo metodo può fuziore qudo l isieme h solo u umero fiito di elemeti e, per dire l verità, emmeo i tutti i csi. Ad esempio: immgiimo di dover scrivere l eleco dei umeri turli d fio 0 00 : ci servirebbe u scco di spzio! Duque, l eleco è u metodo tto semplice quto spesso poco efficce se o impossibile. Iftti gli isiemi ifiiti, cioè o formti d u umero fiito di elemeti, soo l regol i mtemtic. L esempio più semplice è proprio l isieme dei umeri turli N := {0,,, 3,...}. Cos soo i putii? È chiro che cotegoo u mbiguità perché o elecdo tutto omettimo qulcos i questo cso l qusi totlità degli elemeti di N). U modo efficce per descrivere molti isiemi è ttrverso l uso di opportui predicti. Ad esempio, se voglimo descrivere il sottoisieme S N dei umeri pri, potremmo itrodurre il predicto p) := divide : i questo cso S è l isieme degli N tli che p) è ver. I geerle Defiizioe 0... Dto u isieme X e u predicto p) su X, l isieme S X degli elemeti per cui p è ver si deot co S := { X : p)}. È coveiete cosiderre, tr tutti gli isiemi, che u isieme ppretemete bizzrro: l isieme vuoto, cioè l isieme privo di elemeti. Questo isieme h l stess fuzioe dello 0 per i umeri come vedremo tr poco. Molti isiemi soo defiiti prtire d ltri ttrverso opportue operzioi. Le pricipli soo uioe: dti A, B X, l uioe di A co B è l isieme degli elemeti che sto i A oppure i B, cioè A B := { X : A B}.

10 itersezioe: dti A, B X, l itersezioe di A e B è l isieme degli elemeti che sto si i A che i B, cioè A B := { X : A B}. Nel cso i cui A e B o bbio elemeti i comue si scrive A B :=. differez: dti A, B X, l differez tr A e B i questo ordie) è l isieme degli elemeti di A che o sto i B, cioè A\B := { X : A B}. I prticolre: X\ A si chim complemetre di A rispetto d X e si deot semplicemete co A c. Le operzioi isiemistiche soddisfo lcue semplici regole: commuttività) A B = B A, A B = B A, per ogi A, B. ssocitività) A B C) = A B) C, A B C) = A B) C, per ogi A, B, C. distributività) A B C) = A B) A C), per ogi A, B, C. elemeto eutro uioe) A = A per ogi A Qutifictori Cosiderimo or u predicto p = p). Spesso i Mtemtic si icotro frsi del tipo esiste lmeo u X tle che p) è ver X : p). Oppure per ogi S si h che p) è ver, X : p). I simboli esiste) e per ogi) vegoo detti qutifictori uiversli. Acor: esiste u uico X tle che p) è ver,! X : p). I qutifictori soo simboli che ricorroo prticmete i ogi ffermzioe mtemtic, ed è duque bee compredere il seso. Che può pprire semplice m che così semplice o è. Per esempio: l egzioe di X : p), è X : p) fls. L cofusioe può ioltre geerrsi qudo i due qutifictori vegoo utilizzti combiti. Per esempio: cosiderimo u predicto i due vribili p = p, y),, y X e le due proposizioi X y X : p, y), X, y X : p, y). L domd è: dicoo l stess cos? No! Per cpirlo fccimo u esempio e cosiderimo Vedimo cos sigifico le due proposizioi: p, y) := m y, su X = {esseri umi}. X y X : p, y) ogi essere umo m lmeo u ltro essere umo, X, y X : p, y) c è lmeo u essere umo che m ogi essere umo. Dovrebbe essere chir l differez. È bee prestre ttezioe: il priciple cocetto dell Alisi Mtemtic, quello di limite è fodto su u coppi,. 3

11 Fuzioi U fuzioe f : X Y è u modo di ssocire d ogi X u elemeto f ) Y. Ache il cocetto di fuzioe è, come quello di isieme, u cocetto primitivo. Normlmete X è detto domiio e Y co domiio. L elemeto f ) corrispodete ttrverso f è detto immgie di. I geerle, se A X poimo f A) := { f ) Y : A}, e chimimo f A) immgie di A ttrverso f. Alcue importti proprietà delle fuzioi soo: dicimo che f è iiettiv se f ) = f y) se e solo se sse) = y; dicimo che f è suriettiv se f X) = Y, cioè se y Y, X tle che f ) = y. dicimo che f è biiettiv se è iiettiv e suriettiv. Allert! No v dimeticto che u fuzioe o è semplicemete l "regol" f di ssegre d u u elemeto f ): o vo iftti dimeticti domiio e co-domiio. L stess "regol" può essere iiettiv o meo, suriettiv o meo, biiettiv o meo secod di quli soo domiio e co-domiio. Per esempio, predimo f ) =. Possimo pesre f ei segueti cotesti: f : N N, i questo cso è iiettiv m o suriettiv; f : Z Z, Z := {0, ±, ±, ±3,...} isieme degli iteri reltivi) o è é iiettiv é suriettiv; f : N f N), è iiettiv e suriettiv cioè biiettiv). Se f è biiettiv bbimo i prticolre che y Y,! X, : f ) = y. I ltre prole, per ogi y Y c è u uico X per cui f ) = y. Ciò defiisce, di ftto, u fuzioe che viee dett ivers di f : f : Y X, f y) :=, dove X : f ) = y. I prticolre: f f y)) = y, y Y, f f )) =, X. A questo proposito itroducimo u importte operzioe sulle fuzioi: se f : X Y, g : Y Z, defiimo g f : X Z, g f )) := g f )), X, che chimimo composizioe di f e g. I prticolre, se chimimo idetità su X I X : X X, I X ) :=, X, se f è biiettiv f f = I Y, f f = I X. Ifie: u utilissimo modo di descrivere u fuzioe è quello di ssocire d ess u isieme, detto grfico e defiito come G f ) := {, f )) X Y : X}. Qui X Y è il cosiddetto prodotto crtesio di X e Y, cioè l isieme delle coppie, y) co X e y Y.

12 CAPITOLO Numeri Reli Il cocetto di umero h u lug stori e solo verso l fie del XIX secolo se è trovt u defiizioe soddisfcete. Soddisfcete o vuol dire semplice, zi: il cocetto di umero è complesso e strtto, che el cso dei umeri più semplici come i turli. Come per guidre u utomobile o è ecessrio cooscere com è ftto il motore ei miimi dettgli, così oi seguiremo u pproccio prgmtico che corrispode poi ll ide che usulmete ci fccimo qudo icotrimo per l prim volt i umeri: i umeri soo etità su cui soo defiite lcue operzioi soddisfceti opportue regole di clcolo. I questo cpitolo ci occuperemo dei umeri reli, el prossimo trtteremo i umeri complessi... Perché i rzioli o bsto Ogi isieme di umeri rispode d u specific ecessità. L isieme dei umeri turli N = {0,,, 3,...} rispode l bisogo di cotre. Su N soo defiite due operzioi, l somm e il prodotto, che soddisfo lcue proprietà ote di primi i di Scuol. I turli soo sufficieti per l mggior prte delle ppliczioi ell vit comue, m o per tutte. I lcui csi è coveiete vere il cocetto di umero egtivo. Per esempio, pesdo l bilcio di u impres è fodmetle l differez tr ricvi e costi. Se i costi soo superiori i ricvi sigific che l impres h u debito, che può essere pesto coveietemete come u somm egtiv. Per quest rgioe vegoo itrodotti i umeri iteri reltivi o più brevemete iteri) Z = {0, ±, ±, ±3,...}. Ache su Z soo defiite somm e prodotto che verifico le stesse proprietà di somm e prodotto i N, i Z è però defiito l opposto di ogi umero, cos che o possimo fre i N. Qudo ci poimo il problem di dividere u qutità i u certo umero di prti ci ccorgimo che Z o è sufficiete. Certo, i lcui csi è possibile: 6 può essere diviso i prti o i 3 prti m o i 4 o i 5 prti. È così che scoo i umeri rzioli deotti co Q = { p q : p, q Z, q 0}. Ache i Q si soo somm e prodotto, ogi umero h u opposto e u reciproco. I rzioli soo ifiiti, come i turli e gli iteri del resto, però i più i rzioli soo molto "fitti": tr due rzioli distiti ce e soo ifiiti ltri, cos che o ccde coi turli o gli iteri. Tuttvi furoo già i Greci redersi coto che c ero qutità che o potevo essere ricodotte umeri rzioli. Se si prede u qudrto di lto e si trcci l digole tutti sppimo che, dl teorem di Pitgor, ess è lug + =. Tuttvi questo umero o può essere scritto come rpporto di due turli, cioè o è u rziole. L dimostrzioe è u piccolo m bellissimo esempio di rgometzioe per ssurdo: Teorem... No esiste lcu Q tle che =. 5

13 6 Dim. Suppoimo per ssurdo che tle = p q supporre che o bbio fttori i comue. Or, esist. Elimire evetuli fttori comui tr p e q, possimo =, p q =, p = q. D ciò segue che p è pri. Vedimo che ecessrimete p è pri. Iftti: p può essere pri o dispri. Se fosse dispri srebbe del tipo p = k + per u certo k Z, e quidi Duque p = k, per cui p = k + ) = 4k + + k = k + k) +, = p dispri: impossibile!. p = q, 4k = q, q = k, = q pri. M llor divide p e q, il che cotrddice che p e q o bbio divisori comui... Assiomi dei umeri reli Se o è u umero rziole, llor... che umero è? È coveiete formrsi u ide visiv dell situzioe. Rppresetimo i umeri come puti di u rett orizzotle, fissimo u puto picere, che rppreset lo 0, u secodo puto picere, diverso dl primo, che rppreset il umero. Il umero > 0 è rppresetto dl puto che si ottiee prededo copie cosecutive del segmeto 0 disposte u dopo l ltr verso destr prtire d 0, e < 0 prededo copie di 0 disposte u dopo l ltr verso siistr prtire d Per rppresetre m, co > 0, si divide 0 i prti uguli, dopodiché se e coto m copie verso destr se m > 0, m copie verso siistr se m < 0. A differez dei puti di N e Z, i puti di Q soo sprpgliti vedremo i seguito u termiologi più precis) i ogi pezzetto di rett. Questo perché se p, q Q llor p+q Q: tr p, q Q ci soo ifiiti ltri puti di Q. Duque se N e Z sembro "discreti", Q sembr u cotiuo che occup tutti i puti dell rett. M è dvvero così? Per cpirlo, cosiderimo gli isiemi S := { q Q : q 0, q > }, S := { q Q : q 0, q < }. 0 Siccome o c è essu q Q tle che q = possimo dire che mettedo ssieme S e S bbimo tutti i umeri rzioli positivi. I simboli Q + := {q Q : q 0} = S S. Nell figur bbimo volutmete segto che il "puto". Ituitivmete iftti i umeri di S soo i rzioli q tli che q > metre quelli di S soo quelli 0 q <. I ltre prole, rppreset i qulche modo il "cofie" tr S e S. Notimo che

14 i) è siistr di S, i ltri termii è u miorte per gli elemeti di S; ii) è il miglior miorte di S, el seso che essu umero ll su destr è più miorte. Il cocetto di miglior miorte è di fodmetle importz e distigue i reli di rzioli. Defiizioe... L isieme dei umeri reli è u isieme R Q co le segueti proprietà: somm: su R è defiit u somm + soddisfcete le proprietà segueti: i) ssocitiv): + y + z) = + y) + z,, y, z R. ii) commuttiv): + y = y +,, y R. iii) zero): + 0 =, R. iv) opposto): R,!y R : + y = 0. Per defiizioe := y. prodotto: su R è defiit u prodotto soddisfcete le proprietà segueti: i) ssocitiv): y z) = y) z,, y, z R. ii) commuttiv): y = y,, y R. iii) uità): =, R. iv) reciproco): R\{0},!y R : y =. Per defiizioe := y. proprietà distributiv: y + z) = y + z,, y, z R. ordimeto: su R è defiit u relzioe d ordie < tle che i) ordimeto totle):, y R si h, esclusivmete, < y, = y, y <. Si scrive y se < y o = y. Le segueti proprietà vlgoo: ii) trsitività): se y e y z llor z. iii) riflessività): se y e y llor y =. iv) ivriz dell somm): se y llor + z y + z, z R. v) ivriz del prodotto): se y llor z y z, z R, z 0. Scrivimo che y sse y. Ifie, vle l seguete proprietà: ssiom di completezz): se u isieme S R è iferiormete limitto, cioè se esiste m R per cui m s per ogi s S esiste llor u umero α =: if S R tle che i) α è u miorte per S, cioè α s, s S; ii) α è il miglior miorte per S, cioè β > α, s S tle che α s β. 7 Α Β Osservzioe... Tlvolt è utile riscrivere l ii) delle proprietà crtteristiche dell if ell form seguete ε > 0, s S : α s α + ε. L esistez del miglior miorte if) equivle di ftto ll esistez del miglior mggiorte: Proposizioe..3. Si S R superiormete limitto, cioè tle che esist u M R per cui s M per ogi s S. Esiste llor α =: sup S R tle che i) α è u mggiorte di S: α s, s S; ii) α è il miglior mggiorte di S: β < α, s S tle che β s α.

15 8 Dim. Esercizio. Defiizioe..4. Dicimo che S R è iferiormete illimitto e scrivimo if S = ) se o è iferiormete limitto, cioè se if S =, m R, s S, : s m. Alogmete si dice che S è superiormete illimitto e si poe sup S = +. Defiizioe..5. Si S R. Dicimo che m = mi S se i) m s, s S; ii) m S. Defiizioe simile per m S. È evidete che Proposizioe..6. Se esiste mi S llor mi S = if S, se esiste m S llor m S = sup S. Dim. Esercizio. Esempio..7. Si S = { Determire if / sup e, se esistoo, mi / m. } : N,. Sol. Si osserv subito che gli elemeti di S, che soo i umeri del tipo co N, e o, come tlvolt erroemete si crede, i umeri turli ), soo tutti compresi tr 0 e, precismete 0 < per ogi N,. Questo sigific che S è si iferiormete che superiormete limitto rispettivmete, d esempio, d 0 e d ). if / mi. U cdidto turle è il umero 0: iftti è u miorte già visto) e "vicio" d esso cdoo elemeti di S. Precismete: verifichimo che è il miglior miorte, cioè che M β > 0, N, : β, β. β. Quidi bst predere u qulsisi itero mggiore di β e l elemeto < β. Pssimo l mi: se esiste coicide co l if, quidi ecessrimete il cdidto è 0. M 0 S perché 0 qule che si ) e quidi 0 o può essere miimo. Se e coclude che il miimo o esiste. sup / m. Abbimo già visto che è u mggiorte. E siccome S perché l elemeto m S =. M llor, per u ftto geerle, sup S = m S =. S) si h che Nel semplice esempio che bbimo ppe visto è scost u sottile isidi. Ad u certo puto si dice: preso u itero mggiore del umero rele β.... M simo sicuri che esisto tli iteri?

16 9 Lemm..8 proprietà rchimede). b > 0, N, : > b. Dim. Suppoimo per ssurdo che esist u umero b R tle che b, N. Duque N srebbe superiormete limitto i R e llor, i virtù dell Assiom di completezz, mmetterebbe u estremo superiore R α := sup N Or: predimo β := α < α. Essedo α il miglior mggiorte, esiste ñ N tle che β ñ α. Β ñ Α ñ b M llor N ñ + β + = α + = α + > α: duque ci srebbe u itero ñ + ) mggiore di α che per ipotesi è però il mggiorte di tutti gli iteri: ssurdo! M llor u b come quello ssuto iizilmete o può esistere. Defiizioe..9. Sio, b R, < b. Poimo [, b] := { R : b}. ], b] := { R : < b}. [, b[:= { R : < b}. ], b[:= { R : < < b}. ], b] := { R : b}. ], b[:= { R : < b}. [, + [:= { R : }. ], + [:= { R : > }. Oguo dei precedeti isiemi è geericmete detto itervllo. Poimo che ], + [:= R e R + := [0, + [, R :=], 0]. Allert!..0. ± o soo umeri! Solo utili covezioi. Dll proprietà rchimede segue che dto > 0, prim o poi qulche itero è mggiore di, cioè [0, [. Or [0, [= [0, [ [, [ [, 3[... [, [. E siccome tli itervlli soo disgiuti, può stre i uo e uo solo di tli itervlli. È così itrodott correttmete l Defiizioe... Dto > 0 si chim prte iter di il umero [] N tle che [] < [] +. Si chim ivece prte frziori di il umero [] =: {}..3. Fuzioi elemetri L Assiom di completezz è il fodmeto di tutt l Alisi: è lo strumeto che cosete di mostrre l esistez di per qulsisi 0 e qulsisi N, che su volt permette di costruire le poteze d espoete rziole q, q Q) e rele α α R). Dlle queste si costruiscoo espoezili e logritmi. I quest sezioe vedimo, sez dimostrre ull, le pricipli proprietà di queste fuzioi che soo, o che dovrebbero essere, i gr prte ote dlle Scuole Superiori.

17 0.3.. Rdici e poteze. Comicimo col Teorem.3.. N,, 0! y 0, : y =. Chimimo tle uico y rdice esim di e lo idichimo col simbolo. Si h che = if{y > 0 : y > }. Pesdo ll rdice esim come u fuzioe, : [0, + [ [0, + [, ) =, =, [0, + [. Come fuzioi, e soo u l ivers dell ltr peste etrmbe veti domiio e codomiio ugule [0, + [. Se è dispri, possimo defiire che l rdice esim di u umero egtivo.3.) :=, se < 0, dispri). Attezioe: quest è u uov defiizioe, che se utilizzimo lo stesso simbolo! Rissumedo: [0, + [, > 0 pri),, è defiit ], + [, > 0 dispri). Coviee itrodurre l otzioe / :=. Quest otzioe è motivt dl ftto che / ) =, 0. Ioltre ci permette di itrodurre l potez d espoete rziole. Teorem.3.. Si m Q, q 0, > 0. Se m > 0 defiimo m := ) m, [0, + [,, pri), ], + [,, dispri) Se m < 0 l defiizioe è l stess, co l uic differez che l potez o viee defiit per = 0. Allor, purché le qutità scritte bbio seso, si h p+q = p q ; p ) q = pq ; 0 p = 0, per ogi p > 0; p = per ogi q Q. Ioltre vlgoo le segueti proprietà di mootoi: se 0 < < y, llor p < y p, p > 0; p > y p, p < 0. se p < q, llor p < q, > ; p > q, <.

18 È utile vere u ide grfic dell fuzioe potez q co q Q. Come fuzioe vremo che q : [0, + [ [0, + [, q > 0, pri, q = m Q\Z, = q :]0, + [ ]0, + [, q < 0, pri, q :], + [ ], + [, q > 0, dispri, q :], + [\{0} ], + [\{0}, q < 0, dispri. Siccome, qule che si q, q è sempre defiit su ]0, + [ dimo trccire u grfico su questo domiio. y y p p0 y p p y y p p Formlizzimo u cocetto importte per u fuzioe rele di vribile rele: Defiizioe.3.3. Si f : D R R. Dicimo che f è crescete e scrivimo f ) se f ) f y),, y D : y. strettmete crescete e scrivimo f strett) se f ) < f y),, y D, : < y. Alogmete si defiisce il cocetto di fuzioe decrescete e decrescete strett. Ifie: u fuzioe che si crescete oppure esclusivmete) decrescete si dice geericmete mooto. Duque p strett se p > 0, p strett se p < 0. Esempio.3.4. Si S := Determire if / sup S e, se esistoo, mi / m S. Sol. sup / m. Gli elemeti di S soo i umeri { } + : N,. +, l vrire di N, ttezioe! molti, sbglido, credoo che gli elemeti di S sio i umeri N, ). Notimo che + > per ogi. Pertto > 0 per ogi, per cui < + + per ogi. Ne deducimo che S è superiormete limitto d per esempio) e quidi sup S R. Vedimo che sup S =. Ituitivmete sembr chiro: per grde il umero è piccolo, duque è u + + elemeto di S "vicio". Precismete: bbimo già visto che è u mggiorte. Occorre verificre che è il migliore, cioè che β <, : + > β. M + > β, < β, + + > + =: b, β

19 cioè + > + b), > + b). Quidi se N è tle che > + b) l elemeto corrispodete d i S, cioè > β. Duque + è sup. Per quto rigurd il m: se esiste coicide col sup, e duque il cdidto è. M S, N, : che è impossibile: duque m S. + =, N, : + = 0, if / mi. Notimo che + cresce l crescere di, scrivimo i breve +. Per cui come sembr rgioevole) + e quidi d cui. Prededo llor = bbimo + + S + < +, >, = 5 = mi S = if S. Le poteze si estedoo d espoeti reli o rzioli). Teorem.3.5. Si α R, 0. È llor be defiit l potez α se α < 0 bisog che > 0) e soddisf le medesime proprietà dell potez d espoete rziole. I prticolre: α è biiettiv tr I =]0, + [ e J =]0, + [ co ivers /α. Il grfico delle poteze α è del tutto logo quello delle poteze co espoete rziole..3.. Espoezili e logritmi. Fissimo or > 0 e chimimo ep :], + [ ]0, + [, ep ) :=, R, espoezile di bse. Chirmete ep. Per le proprietà delle poteze bbimo subito il Teorem.3.6. Si > 0,. Allor ep strett se >, ep strett se <. +y = y, per ogi, y R. ep 0) = 0 =, per ogi > 0. I prticolre: ep è biiettiv tr I =], + [ e J =]0, + [. Dim. È u semplice coseguez delle proprietà delle poteze. y 0 y y

20 3 Esempio.3.7. Risolvere l disugugliz Sol. Azitutto, essedo 5 > 0 l disequzioe h seso per ogi R. Ioltre, 5 5 4, 5 4 5, , Per cui, poedo y = 5, bbimo , y=5 y 4y 5 0, y 4 36 =, y = 5, cioè sse 5 o 5 5. L prim, evidetemete o h soluzioi. L secod, essedo 5 >, produce 5 5 = 5 sse. L coclusioe è che le soluzioi soo tutti gli. Si > 0,. Il logritmo è l iverso dell espoezile. L su defiizioe precis è il coteuto del Teorem.3.8. Si > 0,. Allor > 0,!ξ R : ξ =. Si poe log := ξ. L fuzioe log :]0, + [ ], + [ è l ivers di ep, cioè e soddisf le proprietà segueti: log ) =, R, log y = y, y ]0, + [. i) log strett se >, log strett se <. ii) log y) = log + log y, per ogi, y ]0, + [. iii) log y ) = y log, per ogi y R, > 0. iv) log = log b)log b ), per ogi > 0,, b. v) log = 0, per ogi > 0,. vi) log =, per ogi > 0,. I prticolre: log è biiettiv tr I =]0, + [ e J =], + [ co log = ep. Dim. L esistez è l prte compless qui omess) dell dimostrzioe. Le proprietà i),..., vi) si ottegoo fcilmete. È utile osservre che, i virtù delle proprietà di espoezili e logritmi, che Ecco i vri grfici dei logritmi: y,, se y 0, log y, se y > 0, > ), log y, se y > 0, < ). Esempio.3.9. Risolvere l disequzioe log + log4 + 4). )

21 4 y y log y log Sol. Azitutto discutimo il domiio di esistez dell disequzioe. Affiché bbi seso occorre che 0, > 0, + 4 > 0,, >, > 4, Quidi il domiio è D =], + [. Or, utilizzdo le proprietà dei logritmi, Chirmete log 4 = log 4 4 / = log 4 4 =, per cui >, ) log + log4 )log + 4)). ) log + log + 4, log log + 4, log + 4. ). Essedo l bse >, per l mootoicità dei logritmi ) = , 6 ) + 4, 4 3. Pertto le soluzioi i D) soo ], 4 3 ] Fuzioi trigoometriche. Le fuzioi trigoometriche soo che dette fuzioi circolri cus del loro sigificto geometrico. Cosiderimo u puto, y) sull circoferez uitri el pio cioè sull circoferez di rggio cetrt ell origie), per cui + y =. U puto su tle circoferez può essere idividuto che trmite l lughezz θ dell rco di circoferez compres tr il puto, 0) e il puto, y) stesso. È be oto che l lughezz totle dell circoferez è pri π 3, 4. Per esempio θ = 0, 0), θ = π 0, ), θ = π, 0), θ = 3π 0, ). Acor: θ = π 4,, θ = 3π 4, I geerle, d ogi puto, y) sull circoferez uitri corrispode u uic lughezz θ [0, π[. Ovvimete ciò drebbe dimostrto specie perché o è chiro cos si effettivmete l lughezz di u rco). Noi ccetteremo quest corrispodez d u puto di vist ituitivo. Co quest covezioe, dt l lughezz θ chimimo le coordite corrispodeti cos θ :=, si θ := y.

22 5 si Θ,y Θ cos Θ Abbimo così defiito due fuzioi, si, cos : [0, π[ R. Per molte rgioi prtiche è coveiete defiire si θ e cos θ per ogi vlore rele di θ. Ovvimete qudo θ < 0 o θ > π il seso di θ come lughezz di rco di circoferez viee meo. Tuttvi c è u modo del tutto turle di procedere. Per esempio: u puto, y) corrispodete d u rco θ [0, π[ può essere pesto corrispodere che u rco del tipo θ + kπ, k N. Nel seso che se si immgi di vvolgere uo spgo, prtedo dl puto, 0) per u lughezz θ + kπ sigific fre k giri dell circoferez i seso tiorrio) e poi ggiugere u pezzetto lugo θ: è chiro che prtedo d, 0) dopo k giri ci trovimo cor el puto, 0) e co cor u trtto θ ci trovimo esttmete el puto, y). Lo stesso rgiometo lo potremmo fre per k < 0, sempre itero: i tl cso k giri possoo essere iterpretti come giri i seso orrio. Allor prtedo dl puto, 0) e girdo k volte i seso orrio, dopo k giri simo di uovo l puto, 0) e percorredo u trtto θ i seso orrio ci trovimo di uovo el puto, y). Tutto questo port turlmete d vere che siθ + kπ) = si θ, cosθ + kπ) = cos θ, k Z. Tutto questo è cofezioto el seguete Teorem.3.0. Esistoo due fuzioi si, cos : R R tli che: i) cos 0, si 0) =, 0), cos π, si ) π = 0, ). ii) idetità fodmetle): si θ) + cos θ) =, per ogi θ R. I prticolre: si θ, cos θ, θ R. iii) periodicità): siθ + π) = si θ, cosθ + π) = cos θ, per ogi θ R. iv) formule di ddizioe): vlgoo le idetità siθ + θ ) = si θ cos θ + cos θ si θ, cosθ + θ ) = cos θ cos θ si θ si θ. I prticolre: siθ) = si θ cos θ, cosθ) = cos θ) si θ) = cos θ) v) simmetri): si θ) = si θ e cos θ) = cos θ per ogi θ R. Alcue proprietà delle fuzioi trigoometriche merito u defiizioe più geerle. Defiizioe.3.. U fuzioe f : R R si dice T periodic se m o esiste S < T tle che l precedete vlg. f + T) = f ), R,

23 6 Π Π Π Π 3 Π Π Defiizioe.3.. Si f : D R R u fuzioe su D simmetrico rispetto ll origie cioè tle che D sse D). Dicimo che f è pri se f ) = f ) per ogi D; dispri se f ) = f ) per ogi D. Queste proprietà soo molto utili el trccire grfici. Itroducimo ifie due fuzioi coesse lle fuzioi circolri: l tgete e l cotgete. { π } t : R\ + kπ : k Z R, t θ := si θ { π } cos θ, θ R\ + kπ : Z, cot : R\ {kπ : k Z} R, cot θ := cos θ, θ R\ {kπ : Z} si θ y t y cot Π Π Π Π 3 Π Π Dlle formule di ddizioe per si e cos segue fcilmete che t e cot soo π periodiche Modulo. Defiizioe.3.3 modulo). :=, se 0,, se < Figur. A s, se > 0, d se < 0. Chirmete 0 per ogi R. Geometricmete rppreset l distz tr il puto e lo 0. Ecco lcue proprietà fodmetli del modulo: Proposizioe.3.4. Vlgoo le segueti proprietà: ullmeto: = 0 sse = 0.

24 7 omogeeità: y = y, per ogi, y R. disugugliz trigolre: + y + y, per ogi, y R. Dim. Le prime due soo semplici e le lscimo per esercizio. Provimo l disugugliz trigolre. Primo otimo che, come mostr l figur precedete, y y y, Pertto se + y 0), + y = se + y < 0), I ogi cso: + y + y. sommdo = + y ) + y + y. = + y + y, = + y) + y )) = + y. Il ome disugugliz trigolre deriv dl sigificto geometrico che h. A tl fie itroducimo l distz tr due puti: d, y) := y,, y R, distz euclide). Allor si h che d, y) d, z) + dz, y), per ogi, y, z R. Se si visulizzo i tre puti, y, z come puti del pio, meo di o prederli llieti si form u trigolo. L disugugliz trigolre dice llor che l lughezz di u lto è sempre iferiore ll somm delle lughezze degli ltri due. Notimo cor, dll defiizioe di modulo, che Similmete, se > 0, =, mi, < 0, = 0, = 0, = ±, > 0.,,,,. Esempio.3.5. Risolvere l disequzioe + +. Sol. Il domiio di defiizioe dell disequzioe è l isieme { R : + 0} = [, + [. Poiché mbo i membri dell disequzioe soo positivi, possimo qudrre e dire che + +, + +, + ) +, + + +, Or + 0, 0, 3 0, < 0. per 0, + 0, 5 + 5,

25 8 [ e poiché 0, e segue 0, + 5 ]. Ioltre, per < 0, 3 0, 3 3 che produce soluzioi 9 3 < 0. I coclusioe: le soluzioi soo 3 + 3, [ 3 3, + 5 Pesdo l modulo come fuzioe il suo grfico è trccito ell figur che segue. ]..4. Desità dei rzioli ei reli Abbimo visto come ell rppresetzioe geometric dell rett Q o occupi tutto lo spzio m lsci lcui buchi. Quto grdi possoo essere questi buchi? Risult che o ci soo "zoe" prive di rzioli el seso che Teorem.4.. [, b] R, q Q : q [, b]. Dim. Per l proprietà rchimede N : b. Iftti esiste u itero tle che b. Per proseguire suppoimo che > 0 il cso < 0 si f llo stesso modo. Vedimo che m N, : m b. Iftti: cosiderimo i umeri 0,,, 3,..., m,... Se fosse sempre m llor m per ogi m N e questo violerebbe l proprietà rchimede. Quidi lmeo u m lo trovimo. Predimo il più piccolo di questi i modo tle che Tle m è quello giusto. Iftti m = m + m = m < m. Defiizioe.4.. Dicimo che S R è deso i R se + < + + b ) = b. [, b] R, [, b] S.

26 Duque Q è deso i R e e ricvimo l immgie dei rzioli ei reli come di u polvere sprs u po ovuque. Si può dimostrre, più o meo llo stesso modo, che che l ltr metà del cielo, gli irrzioli, soo desi i R: Teorem.4.3. R\Q è deso i R. Dim. Omess..5. Fttorile, coefficieti biomili e biomio di Newto Itroducimo or lcue importti otzioi prtedo dl problem: trovre u formul geerle per lo sviluppo del biomio + b). Nturlmete + b) = + b) + b) + b). Immgiimo di dover clcolre il prodotto, come procederemmo? Sceglieremmo d ogi fttore o b e moltiplicheremmo il tutto, otteedo qulcos del tipo k b h. Siccome ci soo fttori, k + h =, cioè h = k. Duque otterremmo qulcos del tipo + b) = c k, k b k. Or: k=0 c k, := umero di scelte di, k volte tr fttori umero di scelte di b, k volte tr fttori. Come clcolre c k,? Nel clcolo di c k, oi teimo coto che dell ordie: cioè pssimo i "rsseg" i fttori e sceglimo di volt i volt o b. Se o fossimo vicolti ll ordie e dovessimo clcolre C k, il umero delle scelte di k volte su fttori coteremmo molti più oggetti perché predere dl primo e poi dl secodo srebbe lo stesso che predere dl secodo e poi dl primo etc.), m il coto si semplificherebbe. Iftti: l prim volt lo possimo scegliere tr fttori, poi tr, poi tr, e così vi, procededo per k scelte. L ultim verrà ftt tr k + fttori. Il umero totle delle possibilità è duque C k, := ) ) k + ). Siccome quello che ci iteress è moltiplicre i fttori, il risultto file è idifferete rispetto ll ordie co cui bbimo scelto i vri fttori. Certo, se si fosse trttto di formre prole co le lettere e b mgri molte di esse srebbero diverse. M siccome moltiplichimo e b il risultto o dipede dll ordie. Pertto C k, = c k, possibili ordimeti di k scelte. Ache questo umero è fcile d clcolre, cioè i quti modi possoo essere messi i fil k oggetti. Se predimo il primo bbimo per lui k posti dispoibili, per il secodo e restero k e quidi per le coppie soo kk ); per il terzo k, quidi per le tere kk )k ). E così vi: l ultimo vrà solo u possibilità ell uico posto rimsto libero. I totle vremo possibili ordimeti di k scelte = kk )k ) 3 =: k!, e quest qutità viee dett fttorile di k. È utile ssumere che, per covezioe, 0! :=. 9

27 0 Allor e scrivedo otteimo ) k + ) = c k, k!, c k, = ) k + ) = ) k + ), k! ) k + ) k) k ) 3 k) k ) 3 c k, =! k! k)! =: k ). =! k)! Per ovvie rgioi quest qutità è dett coefficiete biomile. I coclusioe bbimo dimostrto il Lemm.5. formul del biomio di Newto)..5.) + b) = k k=0 ) k b k..6. Esercizi Esercizio.6. souveir de jeuesse... ). Risolvere le segueti disequzioi < >. 4. ) > log ) + log ) ) log + ) log 0 ) < < log + + log 3 < Esercizio.6.. Trovre il domiio e il sego delle segueti fuzioi.. log log 0 ) log log ) + log ) log 4.

28 Esercizio.6.3. Sez usre clcoltrici etc., stbilire se soo soddisftte le segueti disuguglize.. 4. > < < < > < > > < < Esercizio.6.4. Mostrre che 3, 5 e 7 soo umeri irrzioli. Provre formulre ed eucire u risultto più geerle: è irrziole se N e è.... Esercizio.6.5. Si S R iferiormete limitto e M := {m R : m s, s S}. Mostrre che if S = m M. Esercizio.6.6. Si S R e S := { s : s S}. Mostrre che i) S è iferiormete limitto sse S è superiormete limitto. ii) mi S esiste sse m S) esiste e i tl cso... ). iii) if S = sup S). Esercizio.6.7. { ) Si S := }, : N, mostrre che mi S = e sup S =. { + ) Si S := }, : Z, mostrre che mi S = e sup S =. 3 3) Si S := { { 3 : N, 3}, mostrre che mi S = 3 e sup S = +. 4) Si S := 3 + }, +7 : N, > 0 mostrre che if S = 3 e m S = 4. 5) Si S := { + { : N, }, mostrre che m S = e if S =. 6) Si S := }, + : N, > 0 mostrre che mi S = e sup S =. 3 Esercizio.6.8. Si S := m S? { + } + : N,. Mostrre che mi S = e sup S =. Cos si può dire di Esercizio.6.9. Per ciscuo dei segueti isiemi discutere if, sup, mi, m.. 4. { { + ) + } { } : N.. N\{0}) : N,. 3. } : N. 5. { } + : N, > 0. { } { : N, } : N

29 Esercizio.6.0. Per ciscuo dei segueti isiemi trovre if S, sup S e dire se esistoo e quto vlgoo) mi S, m S. { } {. S := + + : N } +.. S := + + : N, > S := { } { } : N. 4. S := : N, S := + : N, ). 6. S := {log S := log : N,. 8. S := } : N. { } ) : N. 9. S := { } log : > 0 log S := + log ) log : R, >.. S := 3. S := { } log } log : R, 0 < <.. S := { ) + : N. { + cos π + si π } { π ) : N. 4. S := ) si 3 } : N. 5. S := log : N,. 6. S := log ) 3 : N. { } { 7. S := 4 : N, > 0 4 }. 8. S := : R. Esercizio.6. ). Dimostrre che gli irrzioli soo desi ei reli. Suggerimeto: seguire l stess ide dell dimostrzioe dell desità dei rzioli ei reli, m prededo tle che b...

30 CAPITOLO Numeri complessi I R ogi umero positivo h u rdice qudrt metre lo stesso o vle per i umeri egtivi. Questo h lcue cosegueze sull risolubilità di equzioi come quelle di secodo grdo α + β + γ = 0. È oto che se = β 4αγ 0 llor le soluzioi soo reli e soo dte dll formul = β ±. α Se < 0 l equzioe o h soluzioi i R. L ecessità di vere le rdici qudrte di umeri egtivi emerse itoro ll metà del 500 qudo Trtgli, Crdo e Ferrri risolsero le equzioi di terzo grdo. Il ftto è che le equzioi di terzo grdo ho sempre lmeo u rdice rele. L formul di clcolo di tle rdice, oggi ot come formul di Crdo, prevede il clcolo rdici qudrte di umeri egtivi, per quto il risultto file si u umero rele. Per l loro tur u po misterios, le rdici di umeri egtivi presero il ome di umeri immgiri. Qulche secolo più trdi si scoprì che questi umeri ho u strordiri verstilità e soo u ete mtemtico privilegito, così come lo soo i vettori, per descrivere molti feomei di tur fisic o igegeristic. L ide ll bse è l seguete. Chimimo i := u uovo umero, o rele evidetemete), i modo che i =. Allor, lmeo formlmete, se y < 0, y = ) y) = y = i y. U "umero" del tipo ib co b R viee detto umero immgirio. Duque = y, = ±i y. Più i geerle, le soluzioi di u equzioe di secodo grdo co < 0 vro l form = β ± α = β α ± i α. Essedo α, β, γ R, le soluzioi precedeti ho l form + ib co, b R. Questo tipo di oggetti vegoo detti umeri complessi. Nel chimrli umeri, come detto el Cpitolo precedete, ci spettimo che su di loro sio defiite lcue operzioi, come u somm e u prodotto. L defiizioe di queste operzioi è semplice e turle perché segue le regole del clcolo letterle: +ib) + c +id) = + c) +ib+ d), +ib)c +id) = c +id +ibc +i bd = c bd) +id + bc), 3

31 4 essedo i =. I questo Cpitolo itroducimo questo tipo di umeri e e studimo lcue semplici proprietà... Defiizioe di C Defiizioe... Si chim isieme dei umeri complessi l isieme delle scritture formli + ib co, b R, cioè C := { + ib :, b R}. Dto il umero complesso z = + ib cioè, b R) viee dett prte rele di z e si deot co Re z) metre b viee dett prte immgiri e si deot co Im z). Su C soo defiite le segueti operzioi: somm + ib) + c + id) := + c) + ib + d),, b, c, d R. prodotto + ib)c + id) := c bd) + id + bc),, b, c, d R Osservzioe... L selv dei segi + può trrre i cofusioe: provimo fre chirezz! Nei umeri complessi il sego + compre co tre sigificti diversi: il sego + ell scrittur + ib è solo formle: vremmo potuto idicre u umero complesso che trmite u coppi, b) o u ltro simbolo "di ftsi" come b) m tle otzioe srebbe stt meo prtic, perché il clcolo coi umeri complessi fuzio come il cosiddetto clcolo letterle; il sego + ell somm del umero + ib col umero c + id è l defiizioe di somm tr due umeri complessi: i tl seso è u operzioe del tutto uov, che quidi per distiguerl dll somm i R qulcuo idic col simbolo + C. il sego + che si trov el risultto dell somm, cioè qudo si scrive + c sommto i volte c + d è l ordiri somm di umeri reli, b, c, d soo reli): potremmo idicrlo col simbolo + R. I questo modo l scrittur formlmete più pigol è + ib) + C c + id) := + R c) + ib + R d). Dopodiché è coveiete utilizzre sempre lo stesso sego + i tutti e tre i csi. Per esempio + i) i4) = + 3) + i + 4) = 4 + i6. U discorso simile si può fre per il prodotto. I questo cso è utile osservre che piuttosto che ricordre l defiizioe di prodotto u po rticolt e di difficile memorizzzioe) è più semplice ricordre che l formul origi dl clcolo letterle co l covezioe che i =. Per esempio: + i)3 + i4) = 3 + i4 + i6 + i 8 = 3 + i0 8 = 5 + i0. Teorem..3. Su C muito delle operzioi di somm e prodotto defiite sopr vlgoo le segueti proprietà: i) ssocitività dell somm): z + w + ζ) = z + w) + ζ, z, w, ζ C. ii) commuttiv dell somm): z + w = w + z, z, w C. iii) zero): lo zero di C è il umero 0 C = 0 + i0 e si h z + 0 C = z, z C. iv) opposto): z C, l opposto di z = + ib è il umero z = ) + i b). Si scrive che, per covezioe, z = ib. v) ssocitività del prodotto): z w ζ) = z w) ζ, z, w, ζ C.

32 vi) commuttivià del prodotto): z w = w z, z, w C. vii) uità): l uità di C è il umero C := + i e vle z C = z, z C. viii) reciproco): z C\{0 C },!w C : z w = C. Per defiizioe z := w. i) proprietà distributiv): w z + ζ) = w z + w ζ, w, z, ζ C. Scriveremo semplicemete 0 e per idicre zero e uo dei umeri complessi. Dim. i) Sio z = + ib, w = c + id, ζ = e + i f. Allor z + w + ζ) = + ib) + c + id) + e + i f )) = + ib) + c + e) + id + f )) = + c + e)) + i b + d + f )). Alogmete z + w) + ζ = + ib) + c + id)) + e + i f ) = + c) + ib + d)) + e + i f ) = + c) + e) + i b + d) + f ). Or, essedo l somm su R ssocitiv si deduce che + c + e) = + c) + e, b + d + f ) = b + d) + f, = z + w + ζ) = z + w) + ζ. ii) Verificre per esercizio. iii) Se z = + ib llor iv), v), vi) Esercizio. vii) Se z = + ib llor z + 0 C = + ib) i0) = + 0) + ib + 0) = + ib = z. z C = + ib) + i0) = + ib + i 0 + i b 0 = + ib = z. viii) Si z = + ib 0 C e cerchimo w = c + id tle che zw = C = + i0. Procedimo i mier u po iformle scrivedo z = + ib = ib + ib ib = ib + ib) ib). Or + ib) ib) = i b + ib ib = + b. Notimo che essedo z = + ib 0 C = 0 + i0,, b o possoo essere etrmbi ulli e quidi + b > 0. Allor il coto formle ftto sopr porge z = ib ) + b = + b + i b + b. Or è fcile verificre che se si chim w il umero complesso ppe otteuto si trov zw = C. i) esercizio. Il modo turle per rppresetre il umero z = + ib qui, lo ricordimo,, b R) cosiste ell idetificrlo co il puto, b) el pio crtesio. 5 b,bz ib bd d w cid zw b z ib z c c z Figur. A s il z = + ib, b); d l somm di due umeri complessi.

33 6 I quest rppresetzioe l operzioe di somm è l cosiddett regol del prllelogrmm per l somm di vettori el pio come si può fcilmete verificre. I questo cso il pio complesso prede che il ome di pio di Guss. È chiro che z = w, Re z = Re w, Im z = Im w. Il prossimo Esempio mostr che ogi umero complesso 0 h esttmete due rdici qudrte. Riprederemo più vti l questioe e dimostreremo che, di ftto, ogi umero complesso 0 mmette rdici esime distite per og > 0 teorem di De Moivre). Esempio..4. Mostrre che per ogi w 0 esistoo due rdici qudrte complesse, cioè due umeri z, z C tli che z = w. Sol. Si w = + ib co, b o etrmbi ulli. Cerchimo z = + iy co, y R tle che z = w, + iy) = + ib, y ) + iy = + ib, y =, y = b. D u puto di vist grfico è fcile cpire che il sistem precedete h sempre soluzioe. Le soluzioi iftti rppreseto le itersezioi tr le iperboli y = e y = b. Nell figur che segue è illustrto il cso, b > 0. Procedimo u giustificzioe litic. Distiguimo il cso b = 0 d b 0. Se b = 0 llor vuol y b y dire che w = co R e i tl cso è fcile osservre che z = sse se > 0 llor z, = ± ; se < 0 llor z, = ±i. = 0 o è possibile ltrimeti w = 0). Quidi suppoimo b 0. Allor,, y 0 e dll secod possimo scrivere y = b che immesso ell prim produce b 4 =, 44 4 b = 0. Quest è u equzioe di secodo grdo i che, lo ricordimo, è rele). Il discrimite è 4) + 6b = 6 + b ) > 0 perché srebbe = 0 sse = b = 0, cioè w = 0) quidi = 4 ± 6 + b ) 8 = ± + b.

34 7 Or = +b < 0 o h soluzioi reli per cui rest = + + b > 0, = ± + b. Osservimo, per cocludere, che 0 ltrimeti dovrebbe essere + b = 0, cioè + b = e quidi b = 0, cso già visto sopr), per cui vremo i corrispodez di ogi vlore di uo e u solo vlore di y = b. I coclusioe: z, = ± + b b + i. +b Defiizioe..5. U umero complesso + ib, b R) si dice rele se b = 0, immgirio e = 0. I umeri reli i C) vegoo idicti co + i0, i umeri immgiri co ib 0 + ib. Se dl puto di vist purmete lgebrico C sembr formlmete simile d R c è u differez mggiore: su C o è possibile istituire u ordie coerete co le operzioi defiite sopr. Teorem..6. Su C è impossibile vere u ordie che soddisfi le proprietà di ordimeto totle, ivriz rispetto somm e prodotto per umeri positivi. Dim. Suppoimo per ssurdo che tle ordie esist. Allor, essedo totle, u delle segueti ltertive vle: i > 0, i = 0 oppure i < 0. Chirmete i 0. Se i > 0, llor moltiplicdo per i e cosidert l ivriz rispetto l prodotto per positivi si ottiee i > 0, = i i > i 0, i > 0, > 0. M llor, moltiplicdo cor per i e sempre per l ivriz rispetto l prodotto per positivi, si ottiee > 0, = ) i > 0 i, i > 0, i < 0, cioè d i > 0 segue obbligtorimete che i < 0 e vicevers: ssurdo!.. Modulo di u umero complesso I logi col modulo di R, defiimo modulo di u umero complesso z come l su distz geometric dllo zero. Nel pio di Guss, idetificto z = + ib co, b), l distz co 0 0, 0) si clcol col teorem di Pitgor, d cui l Defiizioe.. modulo). Si z = + ib,, b R. Poimo z := + b. Il modulo di umeri complessi gode di proprietà simili l modulo dei umeri reli. gevolmete itroducimo prim l Defiizioe.. coiugto). Si z = + ib,, b R. Poimo z := ib. Geometricmete il coiugto di z è il riflesso di z rispetto ll sse rele. Proposizioe..3. Si h che i) z + w = z + w, z, w C. ii) zw = z w, z, w C. iii) z = z sse z è rele. Per procedere

35 8 iv) z + z = Re z, z z = iim z per ogi z C. v) z = z z per ogi z C. vi) z + w = z + w + Re z w. Dim. Soo delle semplici verifiche. i) Sio z = + ib, w = c + id. Allor ii), iii), iv), v) Esercizio. vi) Si h z + w = + c) + ib + d) = + c) ib + d) = ib) + c id) = z + w. z + w = z + w)z + w) = z + w) z + w) = z z + w w + z w + zw = z + w + z w + z w = z + w + Re z w. Proposizioe..4. Vlgoo le segueti proprietà: ullmeto: z = 0 sse z = 0. omogeeità: zw = z w, per ogi z, w C. disugugliz trigolre: z + w z + w, per ogi z, w C. Dim. Aullmeto: z = 0 sse + b = 0, cioè sse + b = 0 cioè, essedo, b 0, sse = 0 e b = 0, cioè sse = b = 0. Omogeeità: coviee elimire le rdici e mostrre che zw = z w dopodiché l coclusioe è evidete perché si vrebbe zw = ± z w, m essedo zw 0 può essere solo zw = z w. Or zw = zw)zw) = zw z w = z z)w w) = z w. Disugugliz trigolre: ricordimo che dll vi) dell proposizioe precedete z + w = z + w + Re z w. Or, poiché si ottiee d cui l coclusioe. Re z w z w = z w = z w, z + w z + w + z w = z + w ), Esempio..5. Risolvere, i C, l equzioe z + z = z. Sol. Si z = + iy. Allor z = + iy) = y + iy, z = iy, z = + y. L equzioe divet y + iy + iy) = + y, y + ) + iy y) = + y.

36 Quest è u ugugliz tr umeri complessi per cui, y + = + y, y y = 0, = y, y ) = 0. Dll secod equzioe segue y = 0 e quidi, dll prim, = 0 che idividuo l soluzioe 0 + i0 = 0 C ; oppure =, ed llor y = per l prim equzioe, cioé y = ±, d cui si ho le soluzioi ± i. I coclusioe: soo soluzioi dell equzioe 0 C, ± i tre soluzioi)..3. Form trigoometric C è u ltro modo turle di rppresetre u umero complesso z = + ib, ovvero il vettore di vertice, b), usdo l su distz dll origie ρ e l golo θ formto tr il vettore e l sse rele positivo. 9 b ib Ρ Θ z Chirmete, se z = 0 llor ρ = 0 e l golo θ o è uivocmete defiito. A prte questo cso prticolre, se z 0 l distz dll origie ρ = z è chirmete be defiit e ltrettto chirmete è uivocmete determito u golo θ [0, π[. Tle θ viee detto rgometo priciple del umero z e viee deotto co l scrittur rg z. Aliticmete, z = + ib, ρ = + b, θ rg z = rccos +b, se b 0, π + rccos +b, se b < 0. Più semplice esprimere l relzioe tr form trigoometric e form lgebric: dti ρ, θ) = ρ cos θ, b = ρ si θ, = z = + ib = ρcos θ + i si θ). Coviee cosiderre θ R. I tl cso o ci srà più u uico θ ssocito l puto z = + ib, m ifiiti vlori che però differiscoo dll rgometo priciple per u multiplo itero di π. I ltre prole ρcos θ + i si θ) = ρcosθ + kπ) + i siθ + kπ)), k Z. Il umero uθ) := cos θ + i si θ è u umero uitrio, el seso che uθ) =. Duque ρ = ϱ, pricipio d idetità) ρuθ) = ϱuϑ), ρ, ϱ > 0, θ ϑ = kπ, k Z. Proposizioe.3.. Si h che uθ + ϑ) = uθ)uϑ), θ, ϑ R. I prticolre, se z = ρuθ), w = ϱuϑ) llor:

37 30 i) zw = ρϱuθ + ϑ); ii) se w 0 cioè se ϱ 0), z w = ρ ϱ uθ ϑ); iii) z = ρ uθ), per ogi N. Dim. È u semplice verific: dlle formule di ddizioe di si, cos uθ + ϑ) = cosθ + ϑ) + i siθ + ϑ) = cos θ cos ϑ si θ si ϑ) + i si θ cos ϑ + cos θ si ϑ). Gurddo quest formul e ricorddo l formul del prodotto di due umeri complessi si ricoosce destr il risultto del prodotto di cos θ + i si θ co cos ϑ + i si ϑ, cioè uθ)uϑ). D ciò segue subito che zw = ρuθ)ϱuϑ) = ρϱuθ + ϑ), cioè l i). Similmete si prov ii). iii) segue immeditmete dlle precedeti. Esempio.3.. L formul iii) è molto utile el clcolo delle poteze. Per esempio: clcolre + i) 00 Sol. Potremmo certo sviluppre il biomio 0 termii). Oppure osservre che + i = ρuθ), co ρ = + i = + =, θ = π 4. Allor u π )) 00 + i) 00 = = 00/ u 4 00 π ) = 50 u 5π) = 50 uπ) = U delle ppliczioi più efficci dell form trigoometric è il Teorem.3.3 De Moivre). Si w = ρuθ) co ρ > 0 cioè w 0). Allor, se N ), z = w, Dim. Iftti: se z = ϱuϑ) si h che z = w, ϱ uϑ) = ρuθ) z = ϱuϑ), co pric. id. ϱ = ρ /, ϑ = θ + k π, k = 0,,,...,. ϱ = ρ, ϑ = θ + kπ, k Z, È fcile mostrre che solo i vlori k = 0,,..., producoo soluzioi diverse. Esempio.3.4. Clcolre le rdici qurte del umero i. ϱ = ρ /, ϑ = θ + k π, k Z. Sol. Azitutto scrivimo i i otzioe trigoometric ρuθ). Evidetemete ρ = e θ = π. Allor z = ϱuϑ), z 4 = i, ϱ = /4 =, ϑ = π/ 4 + k π 4 = π 8 + k π, k = 0,,, 3,, cioè metà dell golo i Le soluzioi duque sto sull circoferez uitri. Quell per k h u golo di π 8 grdi) di 45 o. Le quttro soluzioi formo i vertici di u qudrto. Esempio.3.5. Risolvere i C l equzioe 9iz 5 = 6 z.

38 Sol. Azitutto z = 0 è soluzioe. Scrivimo z = ρuθ). Allor z 5 = ρ 5 u5θ) e z = ρu θ). Pertto, l equzioe divet 9i ρ 5 u5θ) = 6ρu θ). Teuto coto poi che i = u π ), bbimo π ) π ) 9u ρ 5 u5θ) = 6ρu θ), 9ρ 5 u + 5θ = 6ρu θ). L equzioe è stt riscritt come idetità fr due umeri complessi i form trigoometric. Pertto 9ρ 5 = 6ρ, π + 5θ = θ + kπ, k Z, θ = π + k π 3, k Z. Dll prim equzioe si legge ρ = 0 che corrispode ll soluzioe z = 0 già determite) e ρ9ρ 4 6) = 0, ρ 4 = 6 9, ρ = 3, teedo coto del ftto che ρ > 0). 3 Gli goli effettivmete distiti si ottegoo per k = 0,,..., 5, vedo diviso l golo giro i 6 prti. z z z 3 0 z 0 z 4 z 5.4. Esercizi Esercizio.4.. Determire i vlori di R tli che si immgirio il umero z = i + i. Esercizio.4.. Risolvere le segueti equzioi i C e disegre le soluzioi el pio complesso:. z + iz + z = 0 C.. zim z z z = iz z + ) z Re z = Re z)im z ) + z + z = 0. Esercizio.4.3. Disegre, el pio complesso, i segueti isiemi:. { z C : z 4 z+4 3}.. { z C : Im iz 3) z < 0 }. 3. { z C : z < z + }. 4. {z C : Im z z + z >, Re z > 0, Im z < }. 5. ) { C : Re z z+ } { z+ Im z+. 6. ) z C : Im z+ z i 0, z i }.

39 3 Esercizio.4.4. Trovre i umeri complessi z C tli che Esercizio.4.5. Si α R e z z zz = z, z 3 + z) 3 =. S α := {z C : z z + + i)z + i) z + α < 0}. Dire per quli α R risult che S α o è vuoto e disegrlo el pio complesso. Esercizio.4.6. Determire il vlore del prmetro rele α di modo tle che il sistem mmett u ed u sol soluzioe. Esercizio.4.7 ). Risolvere l equzioe Re zz i) = α, Im z = Re z, z z + Re zim z z z = 0, z C. Esercizio.4.8. Dt l fuzioe f : C C defiit d f z) = 6i z i clcolre le rdici terze del umero complesso w = f i + ). Esercizio.4.9. Determire λ C i modo che z 0 = i si rdice del poliomio complesso Per tle λ trovre tutte le rdici di p. Esercizio.4.0. Risolvere, i C, le segueti equzioi: pz) := z 8 + iz 7 + iz 5 + λz 4.. z 8 = i z z.. z 4 z = z. 3. z z i4 z = z 3 z = z. 5. z 3 z = z z i z 4 + i z z = 0.

40 CAPITOLO 3 Successioi I questo Cpitolo iizimo l itroduzioe dei cocetti e metodi propri dell Alisi. Tr questi cetrle è l ozioe di limite, che qui studieremo el cso delle successioi. Si trtt di u ide profod e che serve rispodere questioi molto turli che si pogoo i problemi pplictivi. Sebbee lo scopo di questo corso si di sviluppre strumeti e teciche, è opportuo o perdere di vist che il verste pplictivo dell mteri. Per questo iizieremo co lcui semplici modelli ei quli le ozioi di successioe e di limite emergoo i modo turle. 3.. Modelli mtemtici L ozioe di modello mtemtico è molto mpi e compless e sottede questioi molto delicte. Ci ccotetimo qui di u ide ïf: u modello mtemtico è u rppresetzioe idelizzt, spesso semplifict, di u sistem rele. U modello mtemtico può servire rispodere questioi diverse come: fre u previsioe sul comportmeto di u dto sistem rele d es.: u modello meteorologico serve fre le previsioi del tempo); trovre o cofutre u legge qutittiv per descrivere u dto feomeo d es.: le leggi dell Fisic); oppure, cor, determire i prmetri strutturli di fuziometo di u sistem dto il suo comportmeto. I geere il modo rele è molto complesso e su u dto sistem itervegoo moltissimi ttori, lcui dei quli mgri igoti. Per questo si idelizz e si semplific. Si idelizz per idividure i fttori più rilevti, si semplific per redere l trttzioe bbordbile. L vveto dei computer h permesso l trttzioe di modelli molto sofisticti. Tuttvi il clcoltore più potete è iutile se o si s cos e come cercre. Per questo l iqudrmeto teorico è fodmetle. I quest sezioe vedimo lcui semplici modelli che descrivoo bbstz bee questo tipo di processo e complessità Modelli demogrfici. Immgiimo di voler rispodere ll domd: quti bitti ci sro sul ostro piet tr 50 i? Nturlmete sembr u problem complictissimo perché si trtt di prevedere qulcos che potezilmete dipede d moltissimi fttori. No solo fttori "soggettivi" qule srà l propesioe fre figli?) o territorili si s che l tlità cmbi elle vrie ree del globo). Ci soo fttori imprevedibili quli ctstrofi turli, guerre, ivsioe degli liei... Quest complessità ci mette di frote ll ecessità di idelizzre e semplificre. Azitutto chimimo l popolzioe ll o, suppoedo che 0 si oggi. Ci iteresso duque 50. Il cocetto fodmetle è quello di tsso di crescit, che forisce u prmetro qutittivo per misurre l crescit e rederl comprbile. Fissimo u istte : certmete + rppreset l vrizioe di popolzioe tr "oggi" e "domi". È u misur che di per sé può dirci, se positiv/egtiv, che l popolzioe umet/dimiuisce. D u puto di vist qutittivo, il vlore + può vere u iteresse reltivo. Dire che l popolzioe um umet di milioe di idividui è tto o poco? Per sperlo, occorre 33

41 34 rpportre l vrizioe l totle, cioè clcolre r := +. Il tsso di crescit di u popolzioe è u qutità osservbile se riferit l "pssto" metre, se riferit l futuro, divet u qutità sull qule fre u cert ipotesi. Vedimo due esempi otevoli Modello di Mlthus. L seguete tbell mostr l dmeto dell popolzioe modile dl 970 i poi e i tssi di crescit clcolti su bse u: Ao Popolzioe i milioi) Tsso Auo , , , , , , , , ,57 Foglio Si osserv, i prticolre, che il tsso di crescit r o è costte m, l tempo stesso, vri ppretemete poco. Potremmo quidi fre l ipotesi semplifictori che r si di ftto costte, cioè che l popolzioe soddisfi l regol + = r, N. Questo modello prede il ome di modello di Mlthus. I virtù di quest regol è fcile determire u formul che esprim i termii di tempo), r tsso di crescit) e 0 popolzioe iizile): iftti, = + r) = + r) + r) = + r) = + r) 3 3 =... = + r) 0, Duque, i prticolre, 50 = + r) 50 0, il problem di prevedere l popolzioe tr 50 i è semplicemete risolto u volt sio oti r e 0, turlmete ptto di ccettre l ipotesi o ble che il tsso di crescit si costte. Fccimo or qulche ulteriore cosiderzioe geerle sul modello di Mlthus. È chiro che se r > 0 l popolzioe dovrebbe crescere el tempo metre se r < 0 l popolzioe dovrebbe dimiuire. È turle chiedersi cos succede el futuro remoto? Nel primo cso verrebbe d dire che l popolzioe cresc idefiitmete, el secodo che si destit d estiguersi. Come possimo redere precise queste ffermzioi? Cosiderimo dpprim il cso r > 0 e chiedimoci se l popolzioe può superre u cert sogli prefisst K > 0 d immgire grde): vedimo che K, + r) 0 K, + r) K 0, r>0, +r>) log +r K 0 := N 0 K). Duque, qule che si K si trov u tempo iizile N 0 K) tle che K per N 0 K), cioè prtire dl tempo N 0 K). Siccome K è rbitrrio l iterpretzioe turle di questo ftto è che divet rbitrrimete grde pur di ttedere bbstz, il tempo N 0 K). Cosiderimo or il cso r < 0. Notimo zitutto che r : iftti, per quto mtemticmete le formule bbio u seso, u tsso r < sigificherebbe che dl tempo l tempo + muoioo Pgi

42 più idividui di quelli che soo effettivmete i vit. Or fissimo u sogli ε > 0 d immgire piccol) e chiedimoci se e qudo l popolzioe scede sotto l sogli ε: bbimo ε, + r) 0 ε, + r) ε 0 r<0, +r<) log +r ε 0 =: N 0 ε). che è simile ll precedete: essedo ε > 0 rbitrrio, possimo dire che divet defiitivmete rbitrrimete piccol. I ltre prole: l popolzioe è destit d estiguersi Modello logistico. Il modello di Mlthus è il più semplice possibile. Nell su semplicità prevede che l popolzioe bbi u comportmeto semplice: crescit idefiit espoezile r > 0), estizioe r < 0 e stziorietà r = 0). U modello più complesso dovrebbe d esempio teer coto del ftto che lo spzio o le risorse o soo illimitte. Ad esempio, è chiro che l popolzioe terrestre o può crescere idefiitmete. Si può modellizzre questo prevededo che il tsso di crescit diveti ullo e egtivo qudo l popolzioe rggiuge e super u cert sogli M. Il modo più semplice di fre questo è poedo r = r ). M Qui r rppreset u tsso di crescit qudo 0, cioè qudo è molto piccolo rispetto ll sogli M. Qudo = M, r = 0 e se > M llor r < 0, idicdo u decrescit. Il modello corrispodete è quidi descritto dll equzioe + = r ), + = r M + r ) λ β ), M dove bbimo per brevità chimto λ = r 0 M e β = M + r 0 ). Questo modello prede il ome di modello logistico. Noostte l pprete semplicità, si trtt di u modello molto complesso. A differez del modello di Mlthus o è possibile determire u espressioe esplicit di. Ioltre, l vrire dei prmetri l evoluzioe dell popolzioe può essere così complict d ssumere u dmeto cotico 3.. L ozioe di limite Abbimo già rccolto diversi sputi per itrodurre le fodmetli defiizioi di questo cpitolo. Defiizioe 3.. successioe). U successioe umeric o, brevemete, u successioe) è u fuzioe : N R. Deoteremo u successioe col simbolo ) R, dove := ), N è chimto elemeto dell successioe, è chimto idice. 35 Figur. Grfico dell successioe = + ) +.

43 Limite fiito. Voglimo or dre l defiizioe precis di cos s itede per l R per che "divet grde". L ide è semplice: l distz tr e l è piccol quto si vuole purché si sufficietemete grde: Defiizioe 3... Si ) R. Dicimo che l R per + si legge: ) tede l per che tede + ) se 3..) ε > 0, N ε) N : l ε, N ε). Scrivimo che lim + := l. Provimo cpire geometricmete il sigificto dell 3..). Riscrivedol come ε > 0, N ε) N : l ε l + ε, N ε). leggimo che per ogi ε > 0 fissto ituitivmete "piccolo") trovimo u idice iizile N ε) tle che, prtire d questo i puti dell successioe giccioo ell strisci tr le quote l ε e l + ε. Come l figur suggerisce, più ε è piccolo più N ε) è grde. ε ε Nε Esempio Mostrre che 0, per +. Sol. Per provre che vle l 3..) dobbimo fissre ε > 0 e trovre N ε) tle che 0 ε, N ε). Or, 0 ε ε =: N ε). ε Ovvimete ε N, me se predimo il primo itero più grde di ε, cioè N ε) = [ ] ε + simo posto. Esempio Mostrre che, +. + Sol. Verifichimo l 3..) che i questo cso si trduce i ε > 0, N ε) : + ε, N ε). Cerchimo le soluzioi dell disequzioe + ε. Abbimo + ε, + ε, + ) ε + ), ε + ), ε.

44 M llor, se N ε) := ε o meglio, N ε) := [ ε ] + ) llor è verifict l 3..). Esempio Mostrre che 0, +. + Sol. Si ε > 0. Dobbimo trovre N ε) tle che + 0 ε, N ε). Studimo l disequzioe + 0 ε. Abbimo + 0 ε, + ε, ε + ) 0, ε + ε 0. Quest è u disequzioe di secodo grdo i, qui N). Ricordti i ftti fodmetli sulle disequzioi di secodo grdo, posto = 4ε bbimo due csi: < 0 e ciò ccde sse 4ε 0, cioè ε 4 ): l disequzioe è soddisftt per ogi N. I questo cso possimo predere N ε) = 0. 0 sse 0 < ε < 4 ): le soluzioi dell disequzioe soo 4ε, + 4ε. L prim potrebbe o vere soluzioi itere, o se ce e soo ce e soo u umero fiito. L secod ivece cotiee sicurmete tutti gli iteri più grdi di N ε) = + 4ε come sempre, per l pigoleri, [ ] N ε) := + ). + 4ε Nε I ogi cso simo i grdo di trovre N ε) per cui ogi N ε) è soluzioe dell disequzioe. Esempio Mostrre che + 0, +. Sol. Si ε > 0: dobbimo trovre N ε) tle che + ε, N ε). Osservto che +, bbimo + ε + ε, qudrdo) ) ε + ε + ).

45 38 Per elimire l rdice vorremmo or qudrre. Per frlo occorre per o lterre il sego dell disugugliz) che che il membro siistro si positivo, i cso cotrrio l disequzioe è ovvimete soddisftt. Or, + ε > 0 sse > ε, cioè per sufficietemete grde. A questo puto, qudrdo, + ε )) 4 + ), 4 ε ) + ε ) 4, ε ). 4ε Pertto, se { ε ) ε } N ε) := m,, 4ε llor per ogi N ε) si h + ε Limite ifiito. I lcui csi u successioe divet "grde" positivmete o egtivmete) sez limitzioe. Defiizioe Si ) R. Dicimo che + per + se 3..) K > 0, N K) N : K, N K). Scrivimo che lim + := +. Alogmete si defiisce lim + = : K < 0, N K) N : K, N K). K Esempio Mostrre che + + Sol. Fissimo K > 0: dobbimo trovre N K) tle che + + +, +. K, N K). Studimo le soluzioi dell disequzioe + + K co N. Si h + + K, N, 0 + K + ), K + K) 0, che è u disequzioe di secodo grdo i. Si llor := K 4 K). Abbimo che se < 0 l disequzioe è ver per ogi N: ciò sigific che possimo predere N K) = 0. se 0, le soluzioi soo K I prticolre, se K+ =: N K), è soluzioe., K +.

46 Come si vede, i ogi cso bbimo trovto u idice iizile N K). Esempio Mostrre che, +. Sol. Quest successioe è defiit per ogi. Dobbimo provre che K < 0, N K), : K, N K). Per, K, )K, K K. Or: K > 0 perché K < 0) e così pure K > 0. Pertto, qudrdo K, K) K, + K + K K 0, + K + K) + K 0. Abbimo di uovo u disequzioe di secodo grdo. Posto := K + K) 4K bbimo che se < 0 ogi è soluzioe pertto, essedo, possimo predere N K) := ; se 0 llor le soluzioi dell disequzioe soo K + K), K + K) +. Prededo N K) := K +K)+, bbimo che ogi turle N K), è soluzioe. Abbimo quidi trovto, i ogi cso possibile, u N K) tle che K per ogi N K). Esempi otevoli di qutità ifiite soo: poteze α co α > 0: iftti α K, espoezili co > : iftti K, logritmi log b co b > : iftti log b K, >) b>) K /α := N K). log K =: N K). e K := N K) Sotto-successioi. U successioe che mmette limite fiito viee che dett, brevemete, covergete, u che mmette limite ifiito divergete. U successioe è ecessrimete covergete o divergete? L rispost è o! L esempio più turle è forito dll successioe := ), cioè +,, +,, Sembr evidete che tle successioe o poss vere limite. Coglimo l occsioe per mostrre questo ftto itroducedo u cocetto importte. Osservimo che se "estrimo" dll successioe gli elemeti di posto cioè idice) pri, cioè 0,, 4, 6,..., k,... bbimo che k ; se vicevers "estrimo" gli elemeti di posto dispri, cioè, 3, 5,..., k+,..., llor k+. Le successioi k ) e k+ ) soo csi prticolri dell seguete

47 Defiizioe Si ) R e si k ) N u successioe strettmete crescete di idici, cioè i prticolre k < k+ per ogi k N. L successioe,, 3,..., k, k+,... viee idict co k ) e viee dett sotto successioe di ). Si scrive k ) ). Occorre fre ttezioe: i u sottosuccessioe l ordie di posizioe deve essere rispettto. Così, per esempio 4,, 3, 8, 0, 5,... o è u sottosuccessioe di ) perché l sequez degli idici o e crescete o viee cioè rispettto l ordie di posizioe). Ecco lcui esempi di sottosuccessioi: 0,, 4,..., k,...) k );, 3, 5,..., k+,...) k+ ); 0, 3, 6, 9,,..., 3k,...) 3k ); 0,, 4, 9, 6, 5,..., k,...) k );,, 4, 8, 6, 3,..., k,...) k ); Or, l proprietà chive è l seguete: se l successioe "mdre" h u limite l lo stesso ccde per le sottosuccessioi "figlie". Proposizioe 3... Si l R {± }. Allor, per ogi sottosuccessioe k ) ) si h k l. Dim. Cosiderimo il cso l R lscido quello l = ± l lettore). Per ipotesi Or, siccome k, è chiro che k k. Pertto ε > 0, N ε), : l ε, N ε). k l ε, k N ε). D questo risultto, u mier del tutto evidete si ottiee il Corollrio 3.. criterio di o esistez). Se esistoo k ), mk ) ) tli che llor ) o può vere limite. k l, mk l, co l l, Esempio L successioe ) ) o mmette limite. Sol. Iftti, essedo k = metre k+ =. Citimo le segueti due successioi come ltri importti esempi di successioi che o mmettoo limite: si ), cos ). È comuque molto difficile mostrre effettivmete o mmettoo limite! 3.3. Proprietà fodmetli U prim questioe è: è possibile che u successioe bbi due o più limiti?

48 4 Teorem 3.3. uicità del limite). Se lim esiste fiito o meo) è che uico. Dim. Suppoimo che l e l co l, l R {± } e l l. Cso l, l R. L ide è semplice: essedo l, prim o poi srà così vicio l d o poter essere vicio l. Precismete: si d := l l l distz tr l e l e poimo ε := d 4. Per defiizioe di limite N ε), : l ε, N ε), e N ε), : l ε, N ε). M llor, se N ε) := m{n ε), N ε)} le due precedeti soo vere per ogi N ε) e l l l + l ε + ε = ε = d 4 = d < d = l l, che è chirmete impossibile. Ne segue l = l. Csi l R, l = ± e l =, l = + : esercizio. Il limite di u successioe h lo stesso sego dell successioe. Precismete Proposizioe 3.3. permez del sego). Si l R {± }. Allor se l > 0 compreso l = + ) esiste N N tle che > 0 per ogi N. se esiste N N tle che 0 per ogi N llor l 0. Dim. Sebbee i due euciti sembrio l uo l iverso dell ltro bisog stre tteti lle sottili differeze. Primo eucito: suppoimo l R e l > 0 il cso l = + ) è simile e lo lscimo per esercizio. Predimo ε := l ell 3..): esiste llor N ε) =: N tle che l ε l + ε, N. I prticolre l ε = l l = l > 0, N. Secodo eucito: suppoimo, per ssurdo, che l < 0. Dl primo eucito llor seguirebbe < 0 per tutti gli Ñ per qulche Ñ. M ciò è i cotrddizioe co l ipotesi visto che > 0 per ogi N, così se m{n, Ñ} vremmo < 0 <. Osservzioe Ovvimete u successioe può essere positiv m il limite essere ullo: u semplice esempio è 0. Itroducimo u termiologi utile: Defiizioe Si p = p) u certo predicto e ) R si u successioe. Dicimo che p è defiitivmete ver per ) se esiste N N tle che I tl cso scrivimo p ) defiitivmete. p ) è ver N. Per esempio: possimo riformulre l permez del sego el modo seguete: se l, llor se l > 0 llor ) è defiitivmete positiv; se ) è defiitivmete 0 llor l 0. Teorem due crbiieri). Sio ), b ), c ) R tli che

49 4 i) b c defiitivmete; ii) l, c l, l R. Allor che b l. Dim. Dobbimo provre che Per ipotesi ε > 0, N ε) : b l ε, N ε), l ε b l + ε, N ε). l, = N ε) : l ε l + ε, N ε), c l, = N ε) : l ε c l + ε, N ε), Ioltre, per l i) esiste N tle che b c per ogi N. Allor, se N ε) := m{n ε), N ε), N} le proprietà precedeti soo vere per N. Si deduce che Esempio Mostrre che l ε b c l + ε, N ε). ) lim + Sol. Iftti ) per ogi N, per cui Or: e ) = 0.,. soo i due crbiieri che tedoo 0. Pertto, ) 0 s 0. L esempio precedete suggerisce u regol geerle. Premettimo due defiizioi importti: Defiizioe Dicimo che ) R è limitt se esiste M tle che M per ogi N. ifiitesim se 0. Allor, Corollrio limitt ifiitesim=ifiitesim). Sio ), b ) R tli che ) si limitt e b ) si ifiitesim. Allor b ) è ifiitesim quidi b 0). Dim. Esercizio. Esempio Mostrre che si lim = 0. + Sol. Scrivedo si = si ), si per ogi N e è ifiitesim. Teorem due crbiieri, limiti ifiiti). Sio ), b ) R. Suppoimo che i) b defiitivmete; ii) +. Allor b +. Dim. Esercizio.

50 43 Esempio Mostrre che lim + si ) = +. + Sol. Bst osservre che + si + per Regole di clcolo Come ccde spesso i Mtemtic, buoe defiizioi o soo ecessrimete prtiche. Ci soo tuttvi u serie di regole che permettoo di ftto di ridurre il clcolo di u limite Proposizioe Sio ), b ) R tli che l e b l co l, l R. Allor i) ± b l ± l. ii) b l l. iii) if l 0, b l l. Dim. Dimostrimo solo l i). Dobbimo provre che Osservimo che, Or: fissto ε > 0 si h ε > 0, N ε) : + b ) l + l ) ε, N ε). + b ) l + l ) = l ) + b l ) l, = N ε ) : l ε, N dis. l + b l. ε ), Pertto, se b l, = N ε ) : b l ε, N { ε ) ε )} N ε) := m N, N, = l ε, b l ε, N ε), ε ). così che è l coclusioe. Esempio Clcolre + b ) l + l ) l + b l ε + ε lim. + + = ε, N ε), Sol. Abbimo Or, chirmete ) = + ) = +, +, = +. + =. Le regole di clcolo fuzioo che i molti csi i cui i limiti coivolti sio ifiiti.

51 44 Proposizioe Sio ), b ) R tli che l, b l. Allor i) se l = ± e l R llor + b ± co lo stesso sego di l ). ii) se l = l = ± stesso sego) llor + b ± co il sego comue l e l ). Dim. Esercizio. Osservzioe Nel cso i cui l = + e l = o si può dire ull priori: si trtt di u form idetermit. Possimo iftti trovre esempi el quli più o meo qulsisi cos può ccdere. Vedimo lcui csi semplici: = +, b =. Allor + b =. È fcile vedere che +. Per esempio: per, per cui = +, e l coclusioe segue per il teorem dei crbiieri. = +, b =. Qui = + +, b =. Qui + b =. + b = + ) =. = + ) +, b =. Qui + b = + ) ) = ), che o mmette limite Alogmete + ) + ) o ) + + ) o ) ) soo forme idetermite. Itroducimo u otzioe efficce per ricordre i risultti precedeti: Simile è il rgiometo col prodotto: ± ) + l = ±, + ) + + ) = +, ) + ) =. Proposizioe Sio ), b ) R tli che i) ±, b l R\{0}. Allor b sgl) ±. ii), b ±. Allor b ±, dove il sego è determito co le usuli regole dei segi + )+ ) = ) ) = + e + ) ) =. Dim. Esercizio. Osservzioe Il cso "disgrzito" per il prodotto è ± 0. Ache i questo cso o si può dire ull priori e si trtt quidi di u form idetermit. Ecco lcui esempi: = +, b = 0, b = =. = +, b = 0, b = = +, = +, b = ) 0, b = ) = ), o esiste. Ifie, per quto cocere il rpporto, Proposizioe Sio ), b ) R tli che

52 45 i) l R, b ±. Allor b 0. ii) ± R, b l R\{0}. Allor b ±sgl ). Dim. Esercizio. Osservzioe Le forme idetermite per il rpporto soo 0 0 e. Le formule memoiche per il rpporto soo Il cso 0 l ± = 0, l R), + = sgl), l 0), l l = sgl), l 0). è prticolre: se simo i grdo di stbilire il "sego" dello 0 possimo cocludere. Defiizioe Dicimo che l+ o l ) se è defiitivmete > l o < l). Allor + 0+ = 0 = +, + 0 = 0+ =. Rissumedo: soo forme idetermite ± ) + ), segi opposti), ± ) 0, 0 0, ± ±. Queste, ssieme d ltre, soo le "brutte bestie" co cui dobbimo imprre trttre el clcolo dei limiti. Comicimo d qulche esempio Esempio Clcolre 3 + lim Sol. A prim vist ci soo precchie forme idetermite. Al umertore bbimo + ) + ) + = + ) + ). È comuque fcile risolvere il problem: osservdo i vri termii, per grde è chiro che il termie domite è 3 che dovrebbe "guidre" il tutto vero +. Precismete, osservimo che se scrivimo 3 + = 3 + ) 3, il termie i pretesi tede fcilmete poiché, 0 d cui = ). Allor 3 bbimo trsformto l espressioe i u form + ) che o è più idetermit: 3 + = 3 + ) + ) 3 +. Similmete l deomitore 3 5 = ) + ) +. Ftto questo, l frzioe si preset quidi come + +. Tuttvi, per quto ppe visto = 3 + ) 3 ) = ,

53 46 Esempio Clcolre + )! + + )! lim + + )! + )!. Sol. Nturlmete! + per esempio! + ), e similmete + )!, + )! +. Pertto + )! + + )! + metre + )! + )! è u form idetermit + ) + ). D ltr prte è turle che + )! si più grde di + )! e, osservto che + )! = + ) + )!, bbimo + )! + + )! = + )! + e similmete + )! + )! = + )! + ), così + )! + )! ) = + )! + )! + + )! + )! + )! = + +, Notimo u pricipio geerle. Suppoimo di studire u espressioe del tipo b dove +, b +, di modo tle che si u form idetermit + ) + ). Il termie "più grde" se c è) è quello che decide el seso che, scrivedo, b = b ). se b 0 llor deve essere di u ordie di grdezz mggiore di b ) si toglie l idecisioe. Formlizzimo questo cocetto itroducedo u defiizioe molto importte: Defiizioe Sio ), b ) R,, b 0. Dicimo che b è di ordie iferiore rispetto d scrivimo b = o )) se b 0, +. b è dello stesso ordie di scrivimo b ) se Nel cso prticolre i cui b C R\{0}, +. b, +, dicimo che e b soo sitotiche, e scrivimo b. Notimo che se b l trsformzioe precedete b = b ), trsform l form + ) + ) ell form + ) 0: dll pdell ll brce. ),

54 47 Esempio Clcolre ) lim +. + Dim. Chirmete +, + per cui bbimo u form idetermit del tipo + ) + ). Ache se + > o è vero che = o + ). Azi: + come suggerisce l ituizioe. Iftti = + + = +. Sembr evidete che siccome + llor + =. Più i geerle, mmesso bbio seso, sembr turle che l se l. Quest proprietà si chim cotiuità dell fuzioe e srà oggetto del Cpitolo sulle fuzioi cotiue. Per il mometo ccettimo che si vero. D questo segue che +. Duque essuo dei due termii "domi" e quidi è iutile rccogliere. E llor? I questo cso ce l possimo cvre co u trsformzioe lgebric: ) ) + + = + = = Cofroto espoezili/poteze/logritmi Come bbimo visto è importte stbilire cofroti el seso del rpporto) tr qutità diverse per stbilire qul è l più grde. Tr le qutità fodmetli che vo ll iifiito per ci soo gli espoezili co > ), le poteze α co α > 0) e i logritmi log b co b > ). Itroducimo u otzioe comod co gli ifiiti:, b, b, b 0. I ltre prole: b sse b = o ), tuttvi l otzioe o...) è utilizzt qudo si trtt co qutità ifiitesime. Teorem α log b, >, α > 0, b >. Dim. i) α. Primo psso: cso α <. Mostrimo che +, α d cui α + 0. Il puto chive è il Lemm 3.5. disugugliz di Beroulli). 3.5.) + h) + h, h 0, N,. Dim. Segue dll formul di Newto: ) ) ) + h) = h k k k = h 0 0 ) + h + h k k = + h + k=0 k= essedo h 0 e quidi ) ) k= h k k 0 ricordre che 0). k k k= ) h k + h

55 48 Applicdo l disugugliz di Beroulli co = + h h > 0 essedo > ) bbimo per i due crbiieri essedo α > 0. + h α α = α + h α + Secodo psso: cso geerle α. Osservimo che ) α α = α /α ) ) α ) β α / = / =: /, dove β := /α >, essedo >. M llor β / per il cso precedete e quidi β +, = / α = ) β α +. / ii) α log b. Omess. Esempio Clcolre lim Sol. Discutimo prelimirmete umertore e deomitore. Essedo bbimo ) N := = =, dove bbimo deotto, per comodità, :=. Al deomitore ppretemete 00 è più grde di 3, tuttvi, essedo 3 ) 00. Pertto essedo 3 <. D := 3 00 = 3 00 N D = 3 = Esempio Clcolre i fuzioe di > 0 il 3 ) = 3 00 ) 3 = 3, ) 0, 3 + ) 4 lim Sol. Trttimo seprtmete umertore e deomitore. Ricordimo zitutto che 0, 0 <,, =, +, >.

56 Cosiderto il umertore N sembr coveiete distiguere i csi <, =, >. Se < il termie = ) co > sembr domire. Rccogliedo Or: N = ) 4 ) = ) ). 0, < ), = 0. Ioltre, essedo <, cioè >, si h ), = ) 0, = ) ) 0, limitt ifiitesim) così N =. Nel cso = bbimo N = + ) 4 = ) 4 + ) 4 ) ) = ) 4, cor i virtù dell regol limitt ifiitesim. Ifie, se > il termie domite è e iftti N = ) ) + ) 4 = 4 + ) = essedo = ) > ) e 4 metre ) 4 0 per l regol limitt ifiitesim. Rissumedo: N =, ) 4, <, =, =, >. Pssimo l deomitore. Abbimo cor i csi <, =, >. D = ) = 3, 0), <, ) = 3, =, 49 Mettedo ssieme, N D = + 3 ) =, = ) 3 ), >. 3 ) ) =, <, ) 4 3 = ), o esiste, =, = 0, >. Due ltre importti qutità ifiite soo e!. Abbimo

57 50 Proposizioe !, >. Dim. Provimo che! 0. Abbimo 0! ) 3 = = 3 =!, 0. M llor l coclusioe segue dl teorem dei crbiieri. Provimo or che! 0. Rgiodo i modo simile, 0 = ) = Or, per + defiitivmete, cioè per N. Allor è fisso. I ltre prole N N 0! b, N, e d qui l coclusioe segue dl teorem dei crbiieri.. =: b, dove b := N N, C è u ltr importte form idetermit che spesso ricorre. Cosiderimo u limite del tipo lim + b. Qui ssumimo che ) ]0, + [ e b ) R. Osservimo che, fisst u bse c >, b = log b ) = c b log c ). Or b log c ) può dre origie d u form idetermit del tipo 0 o 0. Nel primo cso b log c ) = 0, b 0, log c ±, b 0, 0+, +. Nel secodo, osservto che come fcilmete si verific, esercizio) log c 0 sse, Coclusioe: b log c ) = 0, b ±, log c 0, ±, 0+) 0, 0+) + soo forme idetermite. L trsformzioe lgebric) è l vi mestr per trttre questo tipo di forme. b = c b log c, b ±,,

58 5 Esempio Clcolre lim + ) log. Sol. Sppimo che log, quidi log 0 metre 0+. Abbimo cioè u form del tipo 0+)0, che è idetermit. Osservimo llor che ) log log e clcolimo lim ), che è u form. Scrivedo per cui log ) ) log = log log = log ), = log / log / / log 0, = log ) 0 = Successioi mootoe Abbimo sior visto il problem del clcolo del limite di u successioe esplicitmete ot. Come bbimo visto ell sezioe itroduttiv iizile sui modelli mtemtici, o sempre si riesce d vere u espressioe esplicit di u successioe. Si poe così il problem: come si f stbilire se esiste il limite i questi csi? Prtimo co u Esempio 3.6. Iteressi composti). Suppoimo di disporre di u cert somm s e di volerl ivestire. Dopo u certo itervllo di tempo, per fissre le idee o, ci spettimo u redimeto, cioè si rivere s umetto di u qutità rs ovvero s + rs = + r)s. Il umero r viee chimto tsso di iteresse semplice. Questo tipo di ivestimeto presuppoe che l somm resti "immobilizzt" per u o. Nel cso di u coto correte bcrio, il tsso r viee corrisposto i mier divers e, precismete, ell misur di u frzioe r 365 ogi gioro. Poedo = 365 così che bbimo u formul geerle qule che si l itervllo temporle miimo di mturzioe degli iteressi), possimo clcolre il redimeto file dell somm s come segue: gioro 0: s gioro : s + r s = ) + r s gioro : ) ) ) + r s + r + r s = + r s gioro 3: ) + r ) s + r + r ) s = + r 3 s. gioro : + r ) s. I questo modo si dice che r è u tsso di iteresse composto. Immgiimo or che il tsso di iteresse r veg corrisposto i frzioe r su bse orri, o ogi miuto o cor ogi secodo. Ciò sigific

59 5 cosiderre vlori di vi vi più grdi = 8.760, , ,.... L questioe turlmete si poe: cos succede ll qutità + r ) s per che divet vi vi più grde? Siccome s è solo u fttore, l questioe evidetemete rigurd l qutità := + r ). Assumimo r > 0 per semplicità. Notimo che = ) + r = + r + r 4 > + r =, 3 = ) + r 3 3 = + r + r 3 + r3 7 > + r + r 4 =, 4 = ) + r 4 4 = + r + 5 r 8 + r3 6 + r4 64 > + r + r 3 + r3 7 = 3. Questo potrebbe fr rgioevolmete scere l ide che + > per ogi. Abbimo dimostrto questo sopr? No, bbimo solo dimostrto che l cos è ver per =,, 3. Per frlo i geerle occorre prtire d co geerico. Osservimo che, i virtù dell formul del biomio di Newto, 3.6.) = Or, + r ) = k=0 per cui, ricorddo che qui r 0, = + r ) k ) r k k = k=0 ) k + ) k ) k + ) k = ) ) k ) k=0 + k=0 = r k k!. ) ) k ) ) + k + ) + ) k + ) + k + ) r k + ) k k! = + k ) k=0 + k r k + ) k = + r ) + = +. + ) r k + ) k Duque + per ogi. A questo puto si poe turlmete l ltertiv: o cresce sez limitzioe superiore, cioè +, oppure è superiormete limitt. I questo cso sembr turle che l dove l è il "mssimo" degli, o meglio l = sup. Vedremo che questo è pputo vero i geerle.

60 Defiizioe Dicimo che ) R è crescete otzioe: ) se +, N. Similmete si defiisce u successioe decrescete ). Tli successioi vegoo dette mootoe. U delle più importti cosegueze dell esistez dell if / sup per isiemi di umeri reli è il Teorem Ogi successioe mooto mmette limite. Precismete: Similmete, se, = lim = sup { : N} R {+ }. se, = lim = if { : N} R { }. I prticolre: se è mooto e limitt llor lim R. Dim. Cosiderimo il cso e si Ci soo due possibilità: i) l R, ii) l = +. l := sup{ : N}. i) l R. Si ε > 0. Per le proprietà crtteristiche del sup, si trov u N = N ε) N tle che M, così e quest è l defiizioe di limite ε è rbitrrio). l ε N l. l ε N l, N, = l ε, N, ii) l = +. I questo cso { : N} è superiormete illimitto. Pertto, fissto K > 0, trovimo N = N K) tle che N K. M, così e di uovo quest è l defiizioe di limite +. N K, N, Torimo ll Esempio visto sopr sugli iteressi composti. Il cso r = è u cso prticolre importtissimo poiché coduce ll più importte costte dell Alisi: Teorem umero di Nepero). 3.6.) lim + + ) =: e ], 3[. Dim. Si è già visto che. I virtù del teorem geerle, l R {+ }. Mostrimo or il boud 3 per ogi. L prim è fcile essedo = per ogi. L secod meo. Tordo ll 3.6.) e osservdo che ) k + ) k = ) ) k ), 53

61 54 possimo scrivere k=0 k! = + + k!. Or: se k, k! = 3 k )k > = k, per cui ) k + k = +. L somm può essere fcilmete clcolt utilizzdo l idetità lgebric Pertto così k= q = q) + q + q q ), k= k = k=0 + ) q) ) k = ) k= k= + q + q q = q q. = ) = 3 < 3, N. D or i poi chimeremo log il logritmo i bse e cioè log e ), che viee che detto logritmo turle e per questo i lcui libri è idicto col simbolo l) Teorem di Bolzo Weierstrss Occorre o essere idotti i errore dlle prole: limitt o sigific che mmette limite. Iftti ) è ovvimete limitt m o mmette limite. Le due proprietà soo però i qulche modo collegte. Proposizioe Ogi successioe che mmette limite fiito è che limitt. Dim. Esercizio. Il vicevers, come bbimo osservto, è flso. Tuttvi si può dimostrre l importte Teorem 3.7. Bolzo Weierstrss). U successioe limitt mmette lmeo u sottosuccessioe covergete. Dim. Si ) l successioe. Essedo limitt potremo dire che Si or S := { α, β R : α β, N. : N}. Abbimo due possibilità: S fiito o ifiito. Cso S è fiito: llor lmeo uo dei suoi elemeti s deve essere ugule d per ifiiti vlori di : si form così turlmete u sotto successioe costte quidi covergete) e il teorem è dimostrto; Cso S è ifiito: sigific che esiste u sotto successioe k ) co k h se h k. Chimimo quest sotto successioe co b k ) che è l ) sez "doppioi") e mostrimo che esiste u su sotto successioe covergete è chiro che si trtt di u sotto successioe dell mdre )). Procedimo così: dividimo [α, β] i due prti uguli. Almeo u delle due prti deve coteere ifiiti elemeti di S ltrimeti, se ciscu e coteesse u umero fiito, S srebbe fiito). Chimimo [α, β ] [α, β], l prte per cui [α, β ] S =: S è ifiito

62 Si tle che b [α, β ] S S. Notimo che α α b β β, 0 β α β α. Dividimo [α, β ] i due uove prti. Almeo u delle due cotiee ifiiti elemeti di S. Come sopr, chimimo [α, β ] [α, β ], l prte per cui [α, β ] S =: S è ifiito Si > tle che b [α, β ] S S. Notimo che α α α b β β β, 0 β α β α. Iterimo il procedimeto: si costruisce u sotto successioe b k ) b ) tle che α α α... α k b k β k... β β β, 0 β k α k b k. Or: α k ) quidi mmette limite l = lim k α k ], + ]. Allo stesso modo, β k ), quidi esiste l = lim k β k [, + [. Ioltre, essedo α k β si h che ecessrimete l < + e così pure l >. Ed ifie, essedo 0 β k α k β α k, CC = β k α k 0, d cui l = l. M llor, pplicdo il teorem dei crbiieri, che b k l d cui l coclusioe Successioi defiite per ricorsioe Abbimo itrodotto ll iizio successioi defiite trmite u equzioe di evoluzioe del tipo + = f ), dove f è u cert fuzioe. Lddove si possibile determire esplicitmete possimo procedere l clcolo del limite. M o sempre ciò è possibile. Vedremo i quest sezioe lcue idee e teciche che possoo essere utilizzte i questi csi. Esempio Si ) R defiit d 0 =, + = Studire il comportmeto dell successioe ). Sol. Osservimo i primi vlori: 0 =, = + 4 = 5, 5 = D questi primi vlori possimo fre lcue cogetture: i) 0 per ogi 0. ii)., 0. + = 0 9, 3 = = 90 84,

63 56 Se i) e ii) fossero vere llor potremmo dire che: ) esiste l := lim i quto successioe mooto), b) il limite è fiito essedo per i)) ) limitt. Prtimo d i). Immgiimo di ver dimostrto che 0, = 0,,,..., N. Ci chiedimo se riuscimo dire se che 0 N+. L prim è evidete: N+ = + 0, essedo N 0. N M che l secod o è difficile. Iftti, dobbimo mostrre che N N N+ = +, N + N, spedo solo che 0 N. N M è evidete che N + N : siistr iftti N, destr + N + 0 =. Duque bbimo mostrto che 3.8.) se 0, = 0,,,..., N, llor 0 N+. Questo sembr turle implichi che 0 N per ogi N. Iftti: 0 0, ver), 3.8.) = 0, ver) 3.8.) = 0, ver) 3.8.) = 0 3, ver) 3.8.) =... Similmete dimostrimo ii). Dobbimo dimostrre che +, N. I primi vlori mostro che 0 >, > e > 3. Or, rgiodo come sopr, suppoimo che Provimo che N+ < N+. Iftti M N+ < N+, N + + N + Duque: si è mostrto che + <, = 0,,,..., N. < N, + N+ + N ) < N + N+ ), N N+ + N N+ < N + N N+, N N+ N N+ ) < N N+, N N+ <. N N N+ = N + N = N + N <, evidetemete. 3.8.) se + <, = 0,,,..., N, llor N+ N+. Co lo stesso rgiometo ftto sopr si deduce + < per ogi. Duque si l [0, ]. Vedimo or come determire esplicitmete l. Torimo ll equzioe ricorsiv che defiisce e "pssimo l limite i " i tle equzioe: l + = + l + l, d cui l = l + l. Quest è u equzioe i l che può essere fcilmete risolt. O l = 0 oppure =, ovvero + l =, cioè +l l = 0. Quidi c è u uic possibilità. Siccome il limite esiste e deve risolvere quell equzioe o può che essere l uic soluzioe: si coclude che l = 0.

64 Abbimo icotrto u importte schem dimostrtivo. Dovevmo dimostrre che u cert proposizioe p) er ver per ogi e bbimo utilizzto il Pricipio di iduzioe: se qudo u cert ffermzioe p) è ver per =,..., N llor si riesce mostrre che è ver che per = N +, llor quell ffermzioe è ver per ogi itero N. Questo schem è stto utilizzto si per dimostrre che ) er limitt che per dimostrre che er mooto el cso decrescete). Esempio Si ) R defiit d 0 =, + = +, 0. Mostrre che i) 3 N e ii). Dedurre esistez e vlore del limite dell ). Sol. i) Si p) : 3. Chirmete p 0 perché 0 =. Or, suppoimo che p0), p),..., p) sio vere, cioè 3 0,,...,. Allor, = 4 9, = + = = 3 = 3. Essedo poi, + + = <. M llor p + ) è ver: per iduzioe tutte le p) soo vere e quidi 3 N. ii) Si p) : + <. Cofrotimo e 0 : = = + = < = 0. Duque p0) è ver. Sio or p0), p),..., p) vere, cioè 0 > > >... > > + e provimo che + > +. Essedo, < +, = + = < + = D i) e ii) si h che ) è decrescete e limitt, quidi esiste lim =: l R. Ioltre, sempre d i), essedo 3 dll permez del sego si deduce 3 l. Or: + l + l per cui, fcilmete, l + = + l + l, e quidi l = l + l, 4l = l + l, 3l = l, l = 0, l = 3. Essedo l 3 l uic possibilità è l = 3. Il prossimo rffito esempio è u clssico e tichissimo lgoritmo per il clcolo di.

65 58 Esempio Si ) R defiit d Mostrre che: i) Dedurre esistez e vlore di lim. Sol. i) Se > 0 + evidetemete ver. 0 =, + ), 0. + = ) + per ogi > 0; ii), per ogi N; iii) ) è mooto. ), +, + 0, ) 0, ii) Per dimostrre che ) per ogi bst mostrre che > 0 per ogi. Iftti d i) segue che + = + per ogi. Si llor p) : > 0. Per defiizioe p0) è ver. Suppoedo 0,,..., > 0, + = ) + > 0, = p + ) è ver. Duque p) è ver per ogi. Mostrimo or che per ogi N. Si p) :. Per defiizioe p0) è ver. Suppoimo 0,,...,. Allor, ricordto che che, + = ) + + ) = + <. Duque p + ) e quidi l coclusioe segue per iduzioe. iii) Per cpire se o cofrotimo e 0 =. Abbimo = + ) = + < = 0. Duque sembr turle scommettere su. Si p : +. Per quto visto p0) è ver. Suppoimo che p0), p),..., p) sio vere, cioè 0 > >... > > + e mostrimo che + > +. Abbimo + < +, + + ) < ) +, < ) > + ), + >, si ricordi iftti che + > 0 vist l ipotesi di iduzioe). Or, bbimo mostrto che che per ogi, duque, +, per cui + =. Si coclude duque che. Coclusioe: essedo esiste lim =: l. Ioltre, per ii), e quidi l. Pssdo l limite ell equzioe di evoluzioe l + = ) + l + ), l

66 59 d cui l = l + ), l = l + l l, l = l +, l =, l = Esercizi Esercizio Utilizzdo l defiizioe, mostrre che + ). lim + 4. lim + =.. lim + + =. 3. lim =. + + = lim =. 6. lim + 7. lim log0 + ) log + 0 ) = lim + Esercizio Utilizzdo l defiizioe, mostrre che. lim + 4. lim + + =. 9. lim ) + = +.. lim = lim =. 5. lim + ). + Esercizio Stbilire se le segueti successioi mmettoo limite oppure o.. :=, pri,, dispri.. ). 3. si = 0, α > 0). α =. + + =. π ) ). + ) ). 7. ) 3 +. Esercizio Per ciscu delle segueti sequeze determire due crbiieri e clcolre il limite + : + cos ) ) si si!) Esercizio Clcolre i segueti limiti: ) 3 3 ) 3. lim.. lim lim lim 3 + 3, > 0). 5. lim + ) + )!) )!. 6. lim ))!!). 7. lim + 0. lim!. 8. lim + )!! si.. lim si. 9. lim cos + ) ). +

67 60 Esercizio Discutere, i fuzioe del prmetro α R, esistez e vlore dei segueti limiti: α +. lim +.. lim α lim α + ). Esercizio Clcolre. lim +.. lim + ) lim lim + 7. lim +!. 8. lim / lim lim si )log ) log. 9. lim ) 4 + log 4 ) Esercizio Discutere, l vrire del prmetro rele > 0, esistez e vlore di cos. lim lim si ) cos!) 3. lim + 3) lim ) ) 5. lim + 3 ). 6. lim ) + 4! 7. lim si α 3 + cos ) lim ) + 4 cos!) lim lim + 6 si!) 3) Esercizio Clcolre, i fuzioe di R, il limite [ ) ] lim Esercizio Clcolre, l vrire del prmetro rele α > 0, esistez e vlore del α log lim + α + e. Esercizio Per ciscu delle segueti coppie stbilire quli relzioi vlgoo,, o...), ) ), e. ) + log ) 3, +. 3) 3 + si,. 4) log,. Esercizio Ordire le segueti qutità ell ordie :,, log +log 4,, + log.

68 6 Esercizio Ricoducedosi l limite di Nepero clcolre. lim + ) 3.. lim + ) ) 4. lim lim + Esercizio ). Clcolre: Esercizio Si ) R defiit come segue: ) lim + ) + log lim + + ). + 0 =, + =, 0. Mostrre che i), N; ii). Dedurre esistez e vlore del lim. Esercizio Si ) R defiit come segue: 0 = 3, + = 5 +, 0. Mostrre che i) 3 5, N; ii). Dedurre esistez e vlore del lim. Esercizio Si ) R defiit come segue: 0 =, + = 4 +, 0. + ), k N). + k Mostrre che i) 0, N; ii). Dedurre esistez e vlore del lim. Cos succede se 0 = 3? Esercizio Si ) R defiit come segue: 0 = 0, + = , 0. Mostrre che i) 0, N; ii) ) è mooto. Dedurre esistez e vlore del lim. Cos succede se 0 =? Esercizio Si ) R defiit come segue: 0 = π, + = + si, 0. Provre che i) 0 π, N; ii) ) è mooto. Dedurre esistez e vlore del lim. Cmbi qulcos se 0 = α ]0, π[? E se 0 = 0?

69 6 Esercizio Si ) R defiit come segue: 0 =, + = 3 + ), 0. Provre che i) 9, N; ii) ) è mooto. Dedurre esistez e vlore del lim. Cos succede se 0 =? Esercizio Si ) R defiit come segue: 0 = α [0, + [, + = m { 4, }, 0. Provre che: i) se α > llor per ogi N, e il limite è... ; ii) se α = l successioe è... ; iii) se α < llor 0 per ogi N, e il limite è.... Esercizio Si ) R defiit come segue: 0 =. + = +, 0. Provre che: i) 0 per ogi N; ii) ) è mooto. Dedurre esistez e vlore del lim. Esercizio Si ) R defiit come segue: 0 =. + = 3, 0. + Provre che: i) per ogi N; ii) ) è mooto. Dedurre esistez e vlore del lim. Esercizio Due mici decidoo di fre il seguete gioco: ogi gioro predoo i loro soldi che egtivi, cioè debiti) e se e scmbio u frzioe, rispettivmete 0 < α < dl primo l secodo e 0 < β < dl secodo l primo. Ovvimete oguo dei due vorrebbe cpire se ci gudgerà o ci perderà el lugo periodo. Scrivere u modello mtemtico per l coppi p, q ) che rppreset i rispetti veri. Mostrre che è possibile ridurre l evoluzioe d u uic opportu qutità : scrivere l equzioe di evoluzioe di ) e determire. Dedure il comportmeto sitotico per grde) del sistem l vrire di 0 < α, β <. Cos succede se i due soo disposti scmbirsi itermete o tutto il loro ptrimoio? cioè se α o β o tutti e due soo )? Esercizio U mltti geetic è legt l cromosom X, il che vuol dire che u femmi è porttrice metre u mschio può essere ffetto. Co egule probbilità, u coppi che geeri u femmi l può quidi geerre porttrice o s l 50% delle possibilità; el cso ivece veg geerto u mschio questi può essere so o mmlto l 50%. Si p l percetule di mschi mmlti ll esim geerzioe. Trovre u equzioe di evoluzioe per p si ssume che tutte le possibili combizioi precedeti sio equiprobbili), dedure esplicitmete p e studire il comportmeto sitotico i fuzioi delle codizioi iizili ecessrie.

70 CAPITOLO 4 Serie umeriche I diversi problemi si h l ecessità di dre u seso ll operzioe di somm di ifiiti umeri, k + k k, dove k ) R. Questo è per esempio il cso dell Probbilità Discret, u modello strtto per il Clcolo delle Probbilità che h u qutità elevt di ppliczioi. Il problem isito el defiire u somm ifiit di risiede el ftto che l operzioe di somm è u operzioe fiit, cioè d u umero fiito di ddedi: = ) + ) +...) + ) +. Per quto si grde, o si può mi bbrccire u umero ifiito di termii. Al tempo i cui questo problem fu posto, l Mtemtic er lot d fodmet teoriche solide e duque o c er u defiizioe rigoros di cos sigificsse sommre ifiiti umeri e spesso si otteevo risultti bizzrri. Ad esempio, scrivedo S = = ) = + S sembrerebbe S =, il che evidetemete è impossibile. Ciò fu origie di molte speculzioi che dvo l di là dell mtemtic producedo prdossi di vri tur. Il più celebre è idubbimete quello di Zeoe di Ele. Esempio 4.0. prdosso di Achille e dell trtrug). I u cors, il corridore più veloce che prt i svtggio rispetto quello più leto o potrà mi rggiugerlo poiché dovrà prim rggiugere l su posizioe e qudo l vrà ftto il più leto si troverà u po più izi. Sol. Vedimo cos c etr questo prdosso co le somme ifiite. Assumimo che Achille debb percorrere.000 m e u trtrug si trovi metà trd, 500 m dll rrivo. Per semplicità suppoimo che Achille corr ll velocità di.000 m/h, metre l trtrug viggi 500 m/h. Sembr ovvio che Achille rggiugerà l trtrug dopo u or dl vi, cioè ll fie dei.000 m. M... cosiderimo il seguete rgometo: zitutto Achille dovrà percorrere i primi 500m, e questo verrà ftto i /h. A quel puto l trtrug vrà percorso 50m e si troverà 750m dl vi. Quidi Achille dovrà percorrere ltri 50m, il ché vverrà i /4h, e l trtrug si trovertà 5m più i l. E così vi. Il tempo totle impiegto d Achille per rggiugere l trtrug è quidi k=0 h + 4 h + 8 h + 6 h + 3 h

71 64 A questo puto Zeoe dice: siccome Achille o può rggiugere mi l trtrug perché ess si troverà sempre più vti) tle somm deve essere ifiit! Eppure, ricorddo l formul si h + q + q q = q, q ), q = + ) d cui sembr turle poter dire che ) = =, che è esttmete il vlore che ci spettimo! Notimo che i questo modo k= k = lim + k= k. 4.. Defiizioe ed esempi fodmetli =, Defiizioe 4... Si ) R. Dicimo che l serie ) è covergete, divergete o idetermit secod che il N lim N + =0 esist fiito, esist ifiito o o esist. Se l serie è covergete il limite prede il ome di somm dell serie. Le somme fiite s N := N =0, N N si dicoo somme przili o ridotte) dell serie. Osservzioe 4... I ltre prole: l serie coverge/diverge/idetermit secod che l successioe delle somme przili s ) bbi limite fiito/limite ifiito/o mmett limite. Esempio 4..3 serie geometric). 4..) =0 q = q R coverge), se q <. = +, diverge), se q, idetermit, se q. Il termie usto i Mtemtic è serie, che el liguggio comue è sioimo di successioe il ché può idurre u ftle cofusioe d cui occorre gurdrsi.

72 65 Sol. Clcolimo le somme przili zitutto. Ricorddo l solit idetità otevole q N+ = q) + q + q q N ), = s N = Se q = blmete s N = N =0 = N =0 = N +. Pertto s N = N q = =0 N =0 q N+, q, q N +, q =. q = qn+, se q. q Evidetemete, se q =, s N = N + +. Studimo or il cso q. Dobbimo clcolre M q N+ è u espoezile, per cui D questo è fcile cocludere. lim s q N+ N = lim = N + N + q q q lim N + qn+. 0, q <, q N+ +, q >, o mmette limite, q. Esempio 4..4 l curv di Koch). L curv di Koch è u curv pi bordo di u figur dett "fiocco di eve" costruit el seguete modo. Si prede u trigolo equiltero di lto per covezioe). Ogi suo lto viee diviso i tre prti uguli e sul terzo cetrle viee costruito u trigolo equiltero rivolto verso l estero del trigolo iizile. Si ottiee così u stell 6 pute. Si iter l procedur ripetedo l costruzioe su ogi lto dell stell, che viee diviso i tre prti uguli e sul terzo cetrle si costruisce u trigolo equiltero rivolto ll estero dell stell e così vi sez fie. Si pogoo due problemi: l re dell figur srà fiit o meo? E l lughezz del suo bordo, il suo "perimetro" cioè? Sol. Il coto dell re o è difficile. Per u trigolo equiltero di lto l l re è iizilmete, l psso zero, bbimo trigolo di bse l = ; l primo psso ggiugimo 3 trigoli di bse 3 ; l secodo psso ggiugimo trigoli di bse 9 ; 3 4 l. Or: Ci vuole l regol geerle: il umero di trigoli è ugule l umero di lti del perimetro, e questi, d u psso l successivo umet di 4 per ogi lto. Quidi possimo dire che il umero di lti è 3, 3 4, 3 4 4,..., 3 4 l