Università di Roma La Sapienza. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali. Istituzioni di Matematiche. Piero D Ancona e Marco Manetti

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1 Università di Rom L Spienz. Fcoltà di Scienze Mtemtiche, Fisiche e Nturli. Istituzioni di Mtemtiche Piero D Ancon e Mrco Mnetti

2 Indirizzo (elettronico) degli utori: Piero D Ancon: e-mil: dncon@mt.unirom.it URL: Mrco Mnetti: e-mil: mnetti@mt.unirom.it URL: Not per il lettore. Di lcuni esercizi proposti, contrssegnti con il simbolo, viene riportt l soluzione nel Cpitolo 7.

3 Indice Cpitolo. Per comincire 5. Equzioni e sistemi 9 2. Le disequzioni 3. Il vlore ssoluto 3 4. Equzioni e disequzioni irrzionli 7 5. Il segno di un espressione L insieme di definizione di un espressione 2 Cpitolo 2. Elementi di lgebr linere 23. Vettori Prodotto vettore Mtrici Il determinnte di un mtrice qudrt Sistemi lineri: il Teorem di Crmer Discussione di un sistem con prmetro Rngo di un mtrice 40 Cpitolo 3. Funzioni di un vribile rele 43. Il concetto di funzione Le funzioni elementri Limiti di funzioni Proprietà dei iti Clcolo di iti 7 6. Limiti notevoli Funzioni continue 80 Cpitolo 4. Derivzione 83. L derivt Mssimi e minimi Teoremi bse del clcolo 9 4. Teorem di de l Hôpitl Studio di funzioni 97 Cpitolo 5. Integrli 03. L definizione di integrle definito Prime proprietà dell integrle definito Il teorem fondmentle del clcolo integrle L integrle indefinito 2 5. Integrzione per prti 4 6. Integrzione per sostituzione 6 7. Integrzione di funzioni rzionli 9 3

4 4 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 8. Esempi rissuntivi 2 Cpitolo 6. Equzioni differenzili 25. Equzioni funzionli Equzioni differenzili del primo ordine Equzioni differenzili lineri Il problem di Cuchy A cos serve l equzione y = y? 32 Cpitolo 7. Soluzioni di lcuni esercizi 35

5 CAPITOLO Per comincire Richimimo qulche concetto di bse e qulche metodo di clcolo che vrete sicurmente già incontrto nelle scuole superiori; in seguito torneremo su lcune di queste idee e le riesmineremo d un punto di vist piú generle. In mtemtic è necessrio scegliere un punto di prtenz condiviso d tutti; d qui, con un serie di rgionmente logici, si ottengono conseguenze sempre piú generli che ci permettono di risolvere problemi sempre piú complicti. Il nostro punto di prtenz sono i numeri nturli:, 2, 3, 4, 5,.... I numeri nturli sono cosí bsilri che non si può drne un definizione utilizzndo oggetti ncor piú semplici (oggetti piú semplici non ce ne sono...). Chimeremo l insieme dei numeri nturli l collezione formt d questi numeri; l notzione che si us è l seguente: N = {, 2, 3, 4, 5, 6,... }. Tutte le volte che bbimo un collezione di oggetti diremo che bbimo un insieme, i singoli oggetti si dicono gli elementi dell insieme, e si dice che essi pprtengono ll insieme. Se è un elemento dell insieme A si scrive nche A (e se non pprtiene, si scrive A), e si legge: pprtiene d A, o nche: A contiene. Qulche volt si mette nell collezione nche lo zero; per distinguere useremo l notzione N 0 = {0,, 2, 3, 4, 5, 6,... }. Notimo che gli elementi dell insieme N stnno nche nell insieme N 0 (c è solo un elemento in piú). Qundo tutti gli elementi di un insieme A sono nche elementi dell insieme B scriveremo A B o nche A B e diremo che A è un sottoinsieme di B. Ad esempio bbimo N N 0. Un ltro insieme che vete già incontrto è quello dei numeri interi: per ottenerlo bst ggiungere d N lo zero e tutti gli interi negtivi. Useremo il simbolo Z = {..., 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4,... }. Quindi bbimo N N 0 Z. Un modo equivlente di esprimere l stess cos è n N = n N 0 = n Z, dove il simbolo = signific implic. L formul A = B (che si legge A implic B) è un modo bbrevito per dire che se A è vero, llor è vero nche B. Per esigenze grfiche scriveremo tlvolt B = A con lo stesso significto di A = B. Or fccimo un slto di qulità: sppimo che dti due numeri interi p e q, positivi o negtivi, possimo considerre l frzione p q, se il denomintore q è diverso d zero (in simboli: se q 0). Chimeremo l insieme di tutte le frzioni insieme di numeri rzionli Q. Se vogo usre l notzione precedente nche per Q dobbimo 5

6 6 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche modificrl un po. Vogo scrivere in un sol formul che Q è l insieme di tutti i numeri x tli che x è un frzione di numeri interi reltivi, con il denomintore diverso d zero: Q = {x: x = pq }, p, q Z, q 0 (e l formul si legge proprio cosí: l insieme di tutti gli x tli che x è ugule p/q ecceter). Nturlmente se p è divisibile per q riottenimo un numero intero; quindi Z Q. Vi ricorderete sicurmente che le frzioni si possono esprimere come numeri decimli, con un prte inter e un prte decimle: 3 = 0, , 3 7 =, = 0, Anzi, qundo dividimo due numeri interi, lo sviluppo decimle è molto prticolre: in certi csi, d un certo punto in poi ottenimo un sequenz di zeri (sviluppo decimle finito) e llor non scrivimo gli zeri: 28 = 0, = 0, 4; 70 in ltri csi, lo sviluppo decimle non si ferm, però c è un gruppo di cifre che ritorn sempre ugule, in modo periodico: 338 = 0, = 0, Per indicre che un gruppo di cifre si ripete si disegn un line sul primo gruppo. Nessuno ci viet di considerre dei numeri ncor piú generli, il cui sviluppo decimle non è periodico: 35, Un numero decimle qulunque si chim un numero rele, e l insieme di tutti i numeri reli (tutti i possibili sviluppi decimli) si indic con R. Quest definizione è qusi perfett: l unico piccolo difetto è che certi sviluppi decimli, in pprenz diversi, dnno lo stesso numero. Precismente si h: 0, = e piú in generle, dto uno sviluppo decimle finito, ne ottenimo uno equivlente con lo stesso metodo: 65, 2583 = 65, Comunque questo piccolo difetto non dà nessun problem nell definizione dei numeri reli. L insieme R è ricchissimo di proprietà: nzitutto possimo eseguire le solite operzioni (somm, prodotto), inoltre dto un numero x possimo considerre il suo opposto x, e il suo inverso x qundo x 0; quindi possimo fre l differenz x y e dividere x y se il denomintore non si nnull. Un ltr proprietà importnte è che l insieme R è ordinto. Questo vuol dire che dti due numeri reli x e y possimo sempre stbilire qule dei due è piú grnde: si deve vere x y oppure x y. L unico cso in cui vlgono tutte e due è qundo x = y. Attenzione: possimo dire che x y (x è minore o ugule d y) si qundo x è piú piccolo di y, si

7 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 7 qundo x = y. Per esempio, è vero che 3 e che 2 2. Se vogo escludere l uguglinz usimo il simbolo x < y (o x > y) che si chim disuguglinz strett. Dto che i numeri reli sono ordinti, possimo metterli tutti in fil : il modo piú semplice di visulizzre R è pensre d un rett: Figur. R x < 0 x > 0 0 Dentro quest rett, che si chim l rett rele, ritrovimo tutti gli insiemi precedenti, inftti N Z R. Disegnre gli interi è fcile: Figur 2. Z R m se vogo disegnre Q c è un problem: i numeri rzionli non sono seprti gli uni dgli ltri, m si ddensno dppertutto. Precismente, comunque scego due numeri reli x e y, nche molto vicini, in mezzo loro possimo trovre infiniti numeri rzionli. Dti due numeri e b, con < b, possimo considerre l insieme di tutti i numeri reli compresi fr e b; questo si chim un intervllo di numeri reli, e, b si chimno gli estremi dell intervllo. In certi csi è utile mettere nell insieme nche i due estremi, in ltri csi no; in totle bbimo quttro possibilità: se considerimo tutti e due gli estremi, bbimo l intervllo chiuso [, b] = {x: x b}; se non considerimo nessuno degli estremi, bbimo l intervllo perto ], b[= {x: < x < b}; e se considerimo uno solo degli estremi, bbimo gli intervlli semiperti (detti nche semichiusi) ], b] = {x: < x b} e [, b[= {x: x < b}. Che succede se = b? L intervllo chiuso [, ] contiene soltnto il punto ; l insieme che contiene soltnto il punto si indic nche con {}. Invece l intervllo perto ], [ non contiene nessun punto, perchè nessun x può verificre < x < ; quindi si trtt di un insieme vuoto, che spesso si indic nche con. È fcilissimo visulizzre questi insiemi sull rett rele: bst considerre il segmento di estremi e b. Per distinguere i vri csi precedenti, disegneremo un punto pieno se il punto f prte dell intervllo, e un punto vuoto se non ne f prte: Figur 3. N b c d [, b[ ]c, d[

8 8 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Qulche volt è utile considerre nche intervlli di lunghezz infinit, ossi delle semirette: ossi, scelto un punto, considerimo tutti gli x che stnno destr di, oppure tutti quelli che stnno sinistr. Per indicre questi intervlli infiniti si us il simbolo di infinito, e precismente si scrive: [, + [= {x: x } ], + [= {x: x > } per le semirette destr di ( incluso o escluso), e ], ] = {x: x } ], [= {x: x < } per le semirette sinistr di. Figur 4. b ], ] ]b, + [ Con gli insiemi che bbimo definito possimo fre delle operzioni. Le principli sono due: l unione e l intersezione. Fre l unione di due insiemi vuol dire mettere insieme tutti i punti che stnno si nel primo, si nel secondo. Per esempio, l unione degli intervlli [, 4] e [3, 8] è tutto l intervllo [, 8]; l unione degli intervlli ], 2[ e ] 3, 7] è l intervllo ] 3, 7]; l unione degli intervlli [0, ] e [5, 6] non è un intervllo m è un insieme ftto di due pezzi seprti. L unione di due insiemi si indic con : Figur 5. ]0, 6[ ], 9] =]0, 9]. [, 2] 2 [, 4] [, 2] [, 4] = [, 4] L unione di due insiemi contiene tutti e due gli insiemi di prtenz. L second operzione è l intersezione. Fre l intersezione di due insiemi vuol dire considerre solo i punti in comune, cioè quelli che stnno si nel primo che nel secondo. Se stnno solo in uno dei due m non nell ltro, li scrtimo. L intersezione di due insiemi si indic con. Ad esempio, [, 3] [2, 7] = [2, 3] [3, + [ ], 5[= [3, 5[. Chirmente l intersezione di due insiemi è contenut in tutti e due gli insiemi. Figur 6. [, 2] ], 4] 2 [, 2] ], 4] =], 2]

9 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 9 Esercizio.0. ( ). Le seguenti unioni e intersezioni di intervlli si possono scrivere in modo piú semplice o no? [, 0] ]4, 2]; ] 2, [ [0, 5]; [, 2] ]3, 4[.. Equzioni e sistemi Qundo scrivimo un uguglinz, d esempio 2 = 2 oppure =, stimo semplicemente osservndo un ftto che sppimo essere vero; qulche volt invece stimo dicendo un cos fls, d esempio nessuno ci viet di scrivere = 2, solo che si trtt di un ffermzione fls. Un equzione è un cos un po divers. Un equzione è un modo molto sintetico di descrivere un problem d risolvere. Ad esempio, se dicimo risolvere l equzione 2x 5 = 7 stimo in reltà dicendo: trovre tutti i numeri reli x tli che il doppio di x meno cinque f esttmente sette. Quindi, le soluzioni di un equzione possono essere tnte, oppure solo un, oppure nessun (in questo cso si dice che l equzione è impossibile). L letter che indic l quntità d determinre si chim nche l incognit, nell equzione precedente bbimo usto l letter x. Molto spesso, tnto per complicre le cose, in un equzione si usno vrie lettere; tutte le lettere indicno numeri reli, m solo un è l incognit. In questi csi, per fr cpire qul è l incognit si dice: risolvere l equzione x + b = c rispetto x. Le ltre lettere, b, c stnno d indicre dei numeri reli fissti, m che non vogo scegliere subito; in questo modo ci riservimo l libertà di sceglierli dopo vere risolto l equzione, e le formule che ottenimo per l soluzione si possono pplicre tnte equzioni diverse. Come si f risolvere un equzione? Dipende. Certe equzioni sono molto fcili d risolvere, certe sono molto difficili. Le equzioni che bbimo scritto finor sono molto fcili, si trtt di equzioni di primo grdo che si impr risolvere nelle scuole superiori. Ad esempio l equzione x + b = c, qundo 0 ( diverso d 0) si risolve subito in due pssggi: x + b = c x = c b x = c b. Il simbolo si legge se e solo se, o nche è equivlente, e vuol dire che le due espressioni destr e sinistr sono l stess cos, scritt in modo diverso. Notte che nel primo pssggio bbimo sottrtto b d mbo i membri, nel secondo pssggio bbimo diviso mbo i membri per ; le equzioni si risolvono sempre cosí, con un serie di pssggi che trsformno l equzioni in un equivlente piú semplice. E se = 0? L equzione divent un po strn perché scompre l incognit. M provimo d ndre fino in fondo: bbimo due possibilità. Se i numeri b e c sono diversi, l equzione 0 x + b = c chirmente è impossibile. E se b = c? Per esempio, che vuol dire risolvere rispetto x l equzione 0 x + 3 = 3? Semplicissimo: tutti gli x vnno bene, quindi le soluzioni sono tutti i numeri reli.

10 0 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Sempre nelle scuole superiori si studino le equzioni di secondo grdo x 2 + bx + c = 0, 0. Il procedimento stndrd di soluzione port ll seguente regol: si clcol il discriminnte = b 2 4c. Se < 0, non ci sono soluzioni. Se > 0, ci sono due soluzioni distinte dte dll formul x = b ± b 2 4c. 2 Infine se = 0, l formul precedente è ncor giust, m fornisce un sol soluzione x = b 2 ; si dice nche che le due rdici coincidono. (Per studire piú fondo l equzione di secondo grdo servirebbero i numeri complessi, m questo v l di là dei nostri obiettivi...) Qusi sempre nei problemi concreti succede di dover risolvere vrie equzioni contempornemente. In questo cso bbimo un problem di tipo piú complicto che si chim un sistem. Si us l notzione seguente: risolvere il sistem { x 2 3x + 2 = 0 6x 5 = vuol dire trovre tutti i numeri x che risolvono si l prim si l second equzione. Un procedimento che funzion qusi sempre è il seguente: prim si risolve ciscun equzione del sistem, seprtmente; in questo modo si ottiene l insieme delle soluzioni dell prim, dell second ecceter. All fine, si confrontno i vri insiemi e si cercno tutti gli x in comune fr tutti gli insiemi di soluzioni: cioè si f l intersezione delle soluzioni. Nel sistem precedente, l prim equzione h per soluzioni x =, 2; l second equzione h per soluzione x = ; questi due insiemi di soluzioni hnno in comune solo il vlore x =, quindi l unic soluzione del sistem è x =. Molto spesso è utile considerre delle equzioni in cui i coefficienti non sono fissti m possono dipendere d un prmetro. Incognite e prmetri sono lettere che compiono nell equzione: simo noi decidere qule letter rppresent un incognit e qule rppresent un prmetro. Per esempio, se si chiede di risolvere rispetto x l equzione kx 3 = 2k llor stimo considerndo x come un incognit e k come un prmetro; l soluzione llor è semplicemente x = 4 2k = 4 k k 2. Notre che per ogni vlore del prmetro si ottiene un equzione divers; qundo risolvimo rispetto x stimo risolvendo tutte queste equzioni in un colpo solo. Qusi sempre prim di risolvere bisogn fre ttenzione e discutere se ci sino vlori del prmetro che cusno problemi. Ad esempio nell equzione precedente, se k = 0 l incognit x sprisce e l equzione divent 3 = il che è ssurdo (e inftti l soluzione che bbimo scritto non è definit per k = 0). Quindi per risolvere correttmente dobbimo dire: se k 0, l soluzione è quell scritt sopr; qundo k = 0 l equzione è impossibile.

11 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Esercizio... Discutere e risolvere le equzioni seguenti: 2kx + 3 = 7k 6x; kx 2 + 2x 5 = 0; k(2 x) = (3k )x + 2; x 2 = (2k + )(2x ). 2. Le disequzioni Come le equzioni, nche le disequzioni sono un modo sintetico di descrivere un problem. Risolvere l seguente disequzione di primo grdo 5 8x > 3 signific trovre tutti i numeri x che soddisfno quest condizione. Le disequzioni di primo grdo si risolvono come le equzioni di primo grdo, c è solo un differenz importnte d ricordre: qundo si moltiplicno o si dividono mbo i membri di un disuguglinz per un numero negtivo, l disuguglinz cmbi di verso. Ad esempio, Per risolvere l disequzione qui sopr bstno pochi pssggi: 5 8x > 3 8x > 3 5 8x > 8 x < 8 8 x <. Se preferite, possimo risolvere nche cosí: 5 8x > > 8x 8 > 8x 8 > x > x 8 che è esttmente l stess cos. Di solito l insieme delle soluzioni è un intervllo, o un unione di intervlli; è utilissimo disegnre sempre l insieme delle soluzioni sull rett rele, questo iut risolvere e qulche volt scoprire degli errori. Le disequzioni di secondo grdo hnno l form x 2 + bx + c > 0, oppure < 0, 0, 0. Queste disequzioni si risolvono in modo semplicissimo: inftti dobbimo soltnto stbilire il segno del trinomio x 2 + bx + c. M, come si studi nelle scuole superiori, per cpire il segno del trinomio bst immginre un prbol con i rmi rivolti verso l lto qundo > 0, Figur 7. x 2 + bx + c, > 0, = b 2 4c > 0 = 0 < 0 b 2 b+ 2 b 2 e verso il bsso qundo < 0.

12 2 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Figur 8. x 2 + bx + c, < 0, = b 2 4c b 2 b+ 2 b 2 > 0 = 0 < 0 Il segno del trinomio è lo stesso dell prbol. Esempio.2.. Ad esempio risolvimo l disequzione x(x 4) 3 2x. Anzitutto portimo tutto primo membro e rccogo: ottenimo x 2 2x 3 0. x 2 2x 3 è un prbol verso l lto, h due rdici distinte x = e x = 3, qundi è positiv nell zon estern lle rdici e negtiv nell intervllo fr le due rdici. Nell disequzione si richiede l zon 0, quindi l soluzione è dt dll zon estern lle rdici, rdici comprese (notre il mggiore o ugule): x e x 3. Esercizio.2.2. Risolvere le disequzioni (non è un sistem! sono quttro disequzioni seprte): 2x 2 x; x(2 3x) > x 6; 2x x 2 ; x 2 + x <. Nturlmente possimo considerre nche sistemi di disequzioni, o sistemi misti con equzioni e disequzioni; in questi csi un disegno può essere indispensbile! Esempio.2.3. Risolvere il sistem { 3(x 2 5) < (x + )x x < 3x 4. Anzitutto semplifichimo e risolvimo seprtmente le due equzioni: { { 2x 2 x 5 < < x < 3 4x > 5 x > 5 4. Per finire, dobbimo trovre i punti in comune fr le soluzioni dell prim e dell second equzione (cioè fre l intersezione dei due insiemi): Figur 9. 5/2 5/4 3 ]5/4, 3[

13 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 3 e ottenimo che le soluzioni sono tutti i numeri x tli che 5 4 < x < 3. Esempio.2.4. Risolvere il sistem Si h subito 5x 3 2x 2 8x 7 < 2x + 3 x(2x 5) = (x 2)(x + 2). 2x 2 + 5x 3 0 6x < 0 x 2 5x + 4 = 0 Vedimo subito dl digrmm Figur 0. 3 /2 x 3 e x 2 x < 5 3 x = e x = 4. 5/3 4 che l unic soluzione del sistem è x =. x = Esercizio.2.5 ( ). Risolvere i seguenti sistemi: { { x 2 < x x 2 2x 0 ) b) x 2 > 2x 2x x + c) { x 2 2x 3 = 0 x 2 < 4 Esercizio.2.6. Risolvere i seguenti sistemi: 2x 3 > 2 x + < 5 x 3 < 6 7x + 5 > x 2 2x 3 < 0 2 3x > 3 x 2x + 3 x 2 + 2x x < 5 + 2x. 3. Il vlore ssoluto Dto un numero rele x, vogo definire il suo vlore ssoluto, che si indic con il simbolo x. Comincimo d qulche esempio: il vlore ssoluto di 3 è 3; il vlore ssoluto di 0 è 0; il vlore ssoluto di 0 è 0.

14 4 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Chiro? Il vlore ssoluto di un numero positivo è ugule l numero; il vlore ssoluto di un numero negtivo è l opposto del numero. (Il vlore ssoluto di zero è zero perché si può considerre si positivo che negtivo e il risultto è lo stesso). Quindi il risultto è sempre un numero positivo. Rissumendo: { x se x 0, x = x se x 0. L stess regol si pplic in csi un po piú generli. Ad esempio: { x 2 se x 2 0, x 2 = x + 2 se x 2 0 il che si può scrivere nche cosí: x 2 = { x 2 se x 2, 2 x se x 2. A volte, il vlore ssoluto di x si dice nche il modulo di x. Qundo in un equzione (o disequzione) compre un vlore ssoluto, in reltà bbimo che fre con due equzioni diverse, second di dove si trov l incognit x. Vedimo un esempio. Esempio.3.. Risolvimo l equzione x 2 = 5. Tle equzione è soddisftt se e soltnto se vle x 2 = 5 oppure x 2 = 5. Nel primo cso trovimo x = 7, nel secondo x = 3. Esempio.3.2. Supponimo di volere risolvere l equzione 2x + x = x. Anzitutto dobbimo interpretre l presenz del vlore ssoluto. Dto che x signific due cose diverse second che si x 0 oppure x 0, procedimo cosí: dividimo tutti i possibili numeri x in due gruppi e studimoli seprtmente. Primo gruppo: tutti gli x 0; per questi x sppimo che x = x, quindi dobbimo risolvere l equzione 2x + x = x 4x = x = 4. Notimo che quest equzione è esttmente quell di prtenz per gli x 0, m sugli x negtivi non h niente vedere con l equzione di prtenz! Dto che l nuov equzione h un soluzione x = 4 nell zon sotto studio, possimo ccettrl: bbimo trovto un soluzione dell equzione di prtenz. M non finisce qui; dobbimo studire nche il cso x 0. Per questi vlori di x sppimo che x = x, quindi l equzione di prtenz divent 2x x = x 2x = x = 2. Anche in questo cso bbimo risolto il vlore ssoluto, bbimo ottenuto un nuov equzione, e l bbimo risolt; m disgrzitmente l soluzione trovt non st nell zon giust. Inftti l nuov equzione è equivlente quell di prtenz solo per gli x 0; per gli x 0 invece non h niente che vedere con ess. In conclusione, l soluzione è soltnto un: x = 4.

15 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 5 Vedimo un ltro esempio; il metodo è sempre lo stesso! Notre che se si prte d un equzione di secondo grdo, qundo risolvimo il vlore ssoluto ottenimo due equzioni diverse di secondo grdo; quindi second dei csi il numero delle soluzioni può vrire d 0 (nessun soluzione) fino 4. Esempio.3.3. Risolvere l equzione x 2 x 2 = x +. Anzitutto dobbimo cpire il significto del vlore ssoluto: { x + se x, x + = x se x. Quindi distinguimo le due zone x e x e in ognun di esse ottenimo un equzione divers d risolvere solo in quell zon. Provimo: se x l posto di x + mettimo x + e ottenimo l equzione x 2 x 2 = x + x 2 2x 3 = 0 x = e x = 3. Entrmbe le soluzioni cdono nell zon sotto esme x, quindi possimo ccettrle tutte e due. Pssimo ll zon x : qui il vlore ssoluto signific x + = x, e sostituendo ottenimo l equzione x 2 x 2 = x x 2 = 0 x = + e x =. L soluzione è ccettbile, comunque l bbimo già trovt come soluzione del primo cso. Invece dobbimo scrtre l second soluzione + perché non cde nell zon sotto esme x. Rispost finle del problem: l equzione h esttmente due soluzioni x = e x = 3. Esercizio.3.4. Risolvere le seguenti equzioni: x = 2x 3; 2x + + x = ; x x 2x + = 0; 2x x x = 2; x = x ; x x 3x + 2 = 0; x 2 = x + x ; 2x x = 2 x 3; x = 3x( x 2) + 3; x x = 2x + ; (x + x ) 2 = 3x ; x 2 + x + = x x 6x 5. Nturlmente possimo nche considerre disequzioni contenenti un vlore ssoluto; il procedimento è completmente nlogo l precedente. Esempio.3.5. Risolvere l disequzione Il vlore ssoluto signific 3 x = 3 x < 2 x. { 3 x se x 3, 3 + x se x 3. Come l solito dividimo tutti gli x in due gruppi. Nell zon x 3 sostituimo l vlore ssoluto 3 x il suo significto 3 x e ottenimo l disequzione 3 x < 2 x 3 2 x < 4 x > 8 3.

16 6 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Quindi, esminndo tutti gli x 3, bbimo scoperto che le soluzioni sono tutti i numeri x > 8 3 : ossi bbimo ottenuto che tutti gli x 8 3 < x 3 sono soluzioni dell disequzione dt. Pssimo l secondo gruppo x 3; in questo cso l equzione signific 3 + x < 2 x 2 x < 2 x < 4 e quindi nche tutti gli x 3 x < 4 sono soluzioni. Se mettimo insieme tutte le soluzioni ottenute, cioè 8 3 < x 3 e 3 x < 4, possimo concludere che le soluzioni dell disequzione dt sono gli x 8 3 < x < 4. Esempio.3.6. Risolvere l disequzione x 2 2x + 2 x. Dobbimo distinguere i due csi x 0 e x 0. Qundo x 0 bbimo x = x, quindi l equzione divent x 2 4x x 2 4x 0 0 x 4 (prbol rivolt verso l lto, con rdici 0 e 4). Dto che stimo esminndo l zon x 0, bbimo ottenuto le soluzioni 0 x 4. Pssimo ll zon x 0 dove x = x: l equzione divent x 2 2x 2x x 2 0 x = 0 e quindi x = 0 è soluzione, m lo spevmo già dl primo gruppo. In conclusione, le soluzioni dell disequzione sono gli x tli che 0 x 4. Nturlmente con gli stessi metodi si risolvono i sistemi di disequzioni contenenti moduli: prim si risolve seprtmente ciscun equzione, e poi si cercno le soluzioni in comune fr tutte le equzioni del sistem. Esercizio.3.7. Risolvere le seguenti disequzioni: x x + 2; 2 x > 3; x + x 5 ; x + x 2 0; 2x x x 2; 2x 2 < x + ; 4x x < 3; 4x x + 4 x 3 0; x x x + 2 < 0. Risolvere i seguenti sistemi: { x 2 2x 0 2x x + { 2x x + x 3 = 0 x > { 2 x 2 < 3x x 2 + x < 4

17 (x )(x + 2) > 3 x + < 6 2x = 8 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 7 7 x 5 > x 2 2 x 3 < 0 2 3x > 3 x x 5 x x 2 > 4 6x < x Equzioni e disequzioni irrzionli In lcuni csi le equzioni o disequzioni d risolvere contengono un rdice qudrt; per einrl è necessrio elevre l qudrto, in qunto ( A) 2 = A; m bisogn fre ttenzione due problemi: ) un rdice qudrt è sempre un numero positivo ( 0); 2) l rgomento dell rdice deve sempre essere un numero positivo. Vedimo cos succede se non si f ttenzione questi ftti. Considerimo l equzione x = 2 x. Se elevimo l qudrto mbo i membri senz bdre i due problemi sopr ricordti, ottenimo x = (2 x) 2 x 2 5x + 4 = 0 x = e x = 4. Provimo sostituire nell equzione di prtenz: x = è un soluzione, inftti sostituendo ottenimo =. Invece sostituendo x = 4 ottenimo 2 = 2 ssurdo. Dove bbimo sbglito? Il problem è molto semplice: se d esempio prtimo d un relzione ssurd come 2 = 2, elevndo l qudrto possimo ottenere un relzione ver: 4 = 4, e quindi qulche volt ggiungimo soluzioni che non c erno in prtenz. Vedimo come si risolve l esercizio in modo corretto. Osservimo che nell equzione x = 2 x l rdice qudrt è definit solo se x 0, quindi dobbimo imporre quest condizione. Poi osservimo che il primo membro è sempre positivo, quindi nche il secondo membro deve essere positivo: 2 x 0. A questo punto bbimo due membri positivi e se elevimo l qudrto non ggiungimo soluzioni: e or risolvimo il sistem ottenuto: x 0 2 x 0 x 2 5x + 4 = 0 x = 2 x x 0 2 x 0 x = (2 x) 2 x 0 x 2 x = e x = 4 x =. Quindi, in generle: per einre in modo corretto un rdice qudrt dobbimo impostre un sistem: Studimo un ltro esempio: A(x) = B(x) A(x) 0 B(x) 0 A(x) = B(x) x = 2 x.

18 8 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Impostimo il sistem: 7 6x 0 2 x 0 7 6x = (2 x) 2 x 7 6 x 2 x 2 + 2x 3 = 0 x 7 6 x 2 x = e x = 3 e in questo cso non dobbimo scrtre nessun soluzione ed ottenimo x = e x = 3. Esercizio.4. ( ). Risolvere le seguenti equzioni irrzionli: ) x + 5 = 3 3x; b) x + 5 = 3x 3; c) 2x + 5 = 3x 3; Esercizio.4.2. Risolvere le seguenti equzioni irrzionli: 2x = + x; x x = 2x ; x + 2 6x = 3. In modo simile si possono studire le disequzioni irrzionli, ossi contenenti delle rdici. Il tipo piú semplice è il seguente: A(x) B(x). Anche qui bisogn stre ttenti prim di elevre l qudrto; un disuguglinz si può elevre l qudrto soltnto se sppimo già che tutti e due i membri sono positivi: m se provimo d elevre l qudrto l disuguglinz 3 2 ottenimo l ssurdo 9 4 e quindi vedimo che se i due membri non sono tutti e due positivi il verso dell disuguglinz può cmbire. Per risolvere l disequzione A(x) B(x) bisogn: ) imporre che l rdice si definit, quindi A(x) deve essere positivo; 2) notre che il secondo membro è mggiore di un rdice che è sempre positiv, quindi nche B(x) deve essere positivo; 3) questo punto possimo trnquillmente elevre l qudrto. In ltri termini, dobbimo impostre il sistem A(x) B(x) A(x) 0 B(x) 0 A(x) B(x) 2. L disequzione A(x) < B(x) si risolve in modo completmente nlogo. Vedimo un esempio: 8x + 24 < 2x 2 8x x 2 0 8x + 24 < (2x 2) 2 x 3 x x 2 4x 5 > 0

19 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 9 L disequzione di secondo grdo nell ultimo sistem h per soluzioni i vlori di x esterni ll intervllo delle rdici (che sono x = e x = 5), ossi tutti gli x > 5 e tutti gli x <. Quindi simo rrivti l sistem x 3 x x > 5 oppure x < e bst disegnre il solito digrmm per scoprire che le soluzioni del sistem sono tutti i numeri x > 5. Invece per risolvere l disequzione A(x) B(x) (o A(x) > B(x) che è completmente nlog) bisogn distinguere due csi. Se il termine B(x) è strettmente negtivo, llor non c è piú null d risolvere, perché il primo membro è un rdice che è sempre positiv. In questo modo ottenimo subito il primo gruppo di soluzioni: { A(x) 0 I. B(x) < 0 (bisogn sempre imporre che l rdice si definit, ossi A deve sempre essere positivo ltrimenti l espressione di prtenz non è definit). Se invece B è positivo, llor possimo trnquillmente elevre l qudrto e ottenimo il secondo gruppo di soluzioni: II. A(x) 0 B(x) 0 A(x) B(x) 2. Rissumendo, per risolvere le disequzioni del tipo A(x) B(x) bisogn imporre due sistemi distinti: { A(x) 0 A(x) 0 A(x) B(x) I. piú II. B(x) 0 B(x) < 0 A(x) B(x) 2. Un esempio: per risolvere l disequzione bisogn risolvere i due sistemi { 7 3x 0 I. x 3 < 0 x 3 7 3x II. 7 3x 0 x x (x 3) 2. Risolvendo come prim ottenimo dl primo sistem le soluzioni { I. x 7 3 mentre il secondo sistem è impossibile (bst confrontre le prime due righe) e non dà ltre soluzioni. Tutte le soluzioni quindi sono dte d x 7 3.

20 20 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Esercizio.4.3. Risolvere le seguenti disequzioni irrzionli: x + 5 < 3 3x; x + 5 3x 3; 2x + 5 < 3x 3; x x; x + 5 > 3x 3; 2x + 5 3x 3; 2x < + x; x x 2x ; x + 2 6x < 3. Considerimo l seguente disequzione: 5. Il segno di un espressione (x + 3)(6 x)(2x 8) > 0. Per risolverl potremmo procedere come negli esempi precedenti e comincire moltiplicre, dividere, portre secondo membro ecc.; m in reltà c è un modo molto piú semplice. Inftti bst osservre che l esercizio chiede semplicemente: per quli vlori di x l espressione sinistr è positiv? Cioè, tutto quello che ci interess è il segno del prodotto (x + 3)(6 x)(2x 8). M il segno di un prodotto è il prodotto dei segni, quindi bst studire seprtmente il segno di (x + 3), (6 x) e (2x 8) e ll fine fre il prodotto dei segni. In prtic procedimo cosí: osservimo che: x + 3 h segno + qundo x > 3, e h segno ltrimenti; 6 x h segno + qundo x < 6, e h segno ltrimenti; 2x 8 h segno + qundo x > 4, e h segno ltrimenti. Poi riportimo questi risultti nel digrmm dei segni seguente, dl qule è molto semplice stbilire il prodotto dei segni, riportto nell rig piú in bsso: Figur e quindi il prodotto è positivo per tutti gli x < 3 e 4 < x < 6. x x 2x 8 Bisogn fre ttenzione quello che succede nei punti x = 3, x = 4 e x = 6; in questi punti il prodotto si nnull, m nell disequzione chiedimo che il prodotto si strettmente positivo, quindi i tre punti devono essere scrtti. Lo stesso metodo funzion se l espressione di cui cerchimo il segno è un misto di prodotti e rpporti: 2x 3 (x + 2)(6 x) 0 inftti il rpporto dei segni è identico l prodotto dei segni. Nel cso del rpporto nturlmente bisogn escludere i vlori di x che nnullno il denomintore! Risolvimo l esercizio:

21 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 2 2x 3 h segno + qundo x > 3 2, e h segno ltrimenti; x + 2 h segno + qundo x > 2, e h segno ltrimenti; 6 x h segno + qundo x < 6, e h segno ltrimenti. Disegnmo il solito digrmm; osservimo inoltre che l disequzione è con il, quindi oltre ll cso di segno negtivo ccettimo nche il cso in cui l frzione si nnull; infine togo i punti che nnullno il denomintore. In conclusione ottenimo 2 < x 3 e 6 < x. 2 Un ultim osservzione utile: se qulcuno dei fttori è un vlore ssoluto, llor bisogn fre ttenzione nei punti dove esso si nnull; inftti se non si nnull è positivo e quindi inutile inserirlo nel digrmm, perché non cmbi il segno dell espressione: d esempio per risolvere x 4 (3 x) x 2 0 non c è bisogno di disegnre il digrmm. x 2 è sempre positivo o nullo, x 4 è sempre positivo o nullo, quindi il segno di tutt l espressione coincide con il segno di 3 x e l soluzione è: x < 3, x 2 (scrtre x = 2 e x = 3 perché nnullno il denomintore). Esercizio.5.. Risolvere le disequzioni x + x 0; x(x + 2) < 0; x + 3 x x + 2 x + 3 0; x 4 (5 6x) > 0; 2x + 9 x 2 (5 x) 3x 7 < L insieme di definizione di un espressione Qundo si scrive un espressione contenente un vribile, come d esempio x + 2 x 3 si intende che l vribile x è un numero rele rbitrrio, e second del vlore di x l espressione ssume un vlore diverso. M bisogn fre un po di ttenzione: per lcuni vlori di x l espressione non si può clcolre. Ad esempio nell espressione precedente compre un divisione, e non si può dividere per zero; inoltre compre un rdice qudrt, e non si può estrrre l rdice qudrt di un numero negtivo. L insieme di tutti gli x per cui l espressione si può clcolre si chim l insieme di definizione dell espressione. Provimo studire l insieme di definizione dell espressione precedente: dobbimo imporre che il denomintore si diverso d zero e che l rgomento dell rdice si 0, cioè bbimo il sistem x 3 0 x 3 x + 2 x 3 0 x + 2 x 3 0. Notre che nell second rig bbimo usto il perché se l rgomento dell rdice si nnnull non c è nessun problem ( 0 = 0); il problem c è solo se l rgomento

22 22 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche è strettmente negtiv. Risolvimo l second disequzione con i metodi noti ed ottenimo { x 3 x 2 e x > 3 e quindi l insieme di definizione è semplicemente x 2 e x > 3. Usndo un notzione piú sintetic possimo scrivere nche I.D. = ], 2] ]3, + [. Esercizio.6.. Determinre l insieme di definizione delle espressioni seguenti: x + x(x + 2) x ; x + 3 ; x x ; x 2 ; x 2 3x + 2; x 2 + x x 2 (x 3) 2 x ; ; 4 3x x 2 5x + 4 ; x x 2x + 3; 0 2x x 2 ; x 4 (x + 2 x 2); x + x ; x 2 x 3 ; x + 4 ; x + 4 ; x 2 8x + 0 ; ; x + x +.

23 CAPITOLO 2 Elementi di lgebr linere. Vettori Nel cpitolo precedente ci simo fmilirizzti con i numeri reli e bbimo definito l insieme R; bbimo inoltre visulizzto questo insieme come un rett, l rett rele. Or introducimo il concetto di vettore: i vettori sono semplicemente delle coppie, oppure delle triple, o in generle delle n-uple di numeri reli. M ndimo con ordine. Un vettore di R 2 è un coppi ordint di numeri reli (x, y) (ordint vuol dire che (x, y) e (y, x) sono due vettori diversi). Ad esempio (, 0), (3, 7) e (7, 3) sono tre vettori distinti di R 2. I numeri x e y si dicono nche le componenti del vettore (x, y). Il vettore (0, 0) si chim nche il vettore nullo. Notre che qundo dicimo che un vettore v è non nullo stimo dicendo soltnto che v non è il vettore nullo, quindi bst che un delle sue componenti si divers d zero. Ad esempio il vettore (, 0) è non nullo. C è un modo molto efficce di visulizzre i vettori di R 2 : si trtt del ben noto pino crtesino. Richimimo l costruzione per completezz: prendimo un pino, e su di esso trccimo due rette perpendicolri che possimo considerre come due rette reli, con l origine nel punto di intersezione. Se su un delle due rette considerimo il punto x e sull ltr il punto y, e disegnmo le prllele lle due rette pssnti per questi due punti, il punto di intersezione rppresent il vettore (x, y): Figur 2. y (x, y) 0 x L origine rppresent il vettore nullo (0, 0). Molto spesso è utile disegnre un frecci che unisce l origine l punto (x, y), specilmente per visulizzre le operzioni fr i vettori che definiremo in seguito; m per noi il vettore è soltnto l punt dell frecci: 23

24 24 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Figur 3. (x, y) 0 L insieme di tutti i vettori si indic con R 2 e il pino crtesino ne è l rffigurzione intuitiv. Per indicre un vettore si possono usre vrie notzioni. L piú comune è (x, y); qulche volt è comodo indicre il vettore con un sol letter, d esempio X = (x, y). In ltri csi è utile usre degli indici per distinguere l prim e l second componente, e si scrive x = (x, x 2 ); ttenzione non fre confusione, qundo si us l ultim notzione l letter x rppresent tutto il vettore, e non soltnto un delle componenti. Con un po di prtic si riesce pssre d un ll ltr notzione senz problemi. Sui vettori di R 2 possimo definire lcune operzioni elementri. L somm di due vettori v = (v, v 2 ) e w = (w, w 2 ) si clcol sommndo ciscun delle componenti: v + w = (v, v 2 ) + (w, w 2 ) := (v + w, v 2 + w 2 ). (Il simbolo := è ncor un simbolo di uguglinz e quindi del tutto equivlente l simbolo =. I due punti servono d indicre che si trtt di un definizione, e sper distinguere le definizioni dgli enunciti è fondmentle per cpire l mtemtic.) Il prodotto di un vettore v = (v, v 2 ) per un numero rele t si clcol in modo simile: tv = t(v, v 2 ) := (tv, tv 2 ). Il vettore tv si dice nche un multiplo del vettore v. Qundo t = il vettore ( )v = ( v, v 2 ) si indic semplicemente con v e si chim l opposto di v. Quindi l differenz di due vettori è semplicemente il vettore (v, v 2 ) (w, w 2 ) := (v w, v 2 w 2 ). I vettori dell form tv si dicono nche multipli del vettore v. Infine definimo il prodotto sclre di due vettori v = (v, v 2 ) e w = (w, w 2 ), il cui risultto è un numero rele: v w := v w + v 2 w 2. Spesso si us il termine sclre per indicre un numero rele. Abbimo ppen visto che il prodotto sclre di due vettori è uno sclre (ppunto). Infine il modulo del vettore v = (x, y) è il numero v := (x, y) (x, y) = x 2 + y 2. L unico vettore di modulo zero è il vettore nullo; tutti gli ltri vettori hnno modulo strettmente positivo. A vote si us il termine norm per indicre il modulo. Tutte le precedenti definizioni si estendono in modo nturle lle triple di numeri reli (x, x 2, x 3 ) o (x, y, z), che si dicono nche i vettori di R 3. Quindi, dti due

25 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 25 vettori v = (v, v 2, v 3 ) e w = (w, w 2, w 3 ) possimo clcolre l somm v + w = (v + w, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ), l differenz v w = (v w, v 2 w 2, v 3 w 3 ), il prodotto per un numero rele t il prodotto sclre e il modulo tv = (tv, tv 2, tv 3 ), v w = v w 2 + v 2 w 2 + v 3 w 3 v = v 2 + v2 2 + v2 3. Il vettore nullo è (0, 0, 0); due vettori sono ortogonli qundo il loro prodotto sclre è ugule zero. Esempio 2... Vedimo qulche esempio numerico. Somm e differenz di vettori: (2, ) + (5, 6) = (7, 5); (0, 2) (3, 3) = ( 3, 6); (, 5, 4) + (3, 4, ) (3, 3, 0) = (, 6, 3). Prodotto di vettore per numero (multiplo di un vettore): 5( 2, 0, 2) = ( 0, 0, 0); t(0, 2, 3) = (0t, 2t, 3t); 2(3, 6) + 3(, ) 9(, ) = (6, 2) + (3, 3) (9, 9) = (0, 0). Prodotto sclre di due vettori: (, 3, 6) (,, 0) = 3 60 = 64; (, ) (, ) = 0. Modulo di un vettore: (3, 4) = = 5; (,, ) = 3; (, 2, 3) = 4. Osservzione Queste operzioni si possono visulizzre in modo semplice utilizzndo il pino crtesino. Ad esempio per disegnre l somm di due vettori v e w bst disegnre il prllelogrmm che h per vertici v, w e l origine; il qurto vertice rppresent l somm v + w: Figur 4. v w v + w 0

26 26 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Ancor piú semplice è disegnre il prodotto di un vettore per uno sclre: moltiplicre v per il numero rele t vuol dire semplicemente llungre (qundo t > ) o ccorcire il vettore (qundo t è compreso fr 0 e ) di un fttore t. Qundo t è negtivo, stimo riflettendo v rispetto ll origine e lo stimo llungndo o ccorcindo, in prticolre l opposto di v è esttmente il vettore v riflesso rispetto ll origine. Nturlmente 0v è il vettore nullo, ossi l origine, qulunque si v. Figur 5. 2v 3v 0 v 2 v v 2v Il modulo del vettore v = (x, y) è semplicemente l lunghezz del vettore, ossi l distnz del punto (x, y) dll origine: Figur 6. (x, y) = v v y 0 x Il prodotto sclre di vettori è meno semplice d visulizzre. Verifichimo il ftto seguente: prendimo un vettore v = (x, y) non nullo, e considerimo poi il secondo vettore w = ( y, x). Bst un disegno (e un po di geometri) per rendersi conto che i due vettori sono perpendicolri: Figur 7. ( y, x) x (x, y) ( y, x) y (x, y) y 0 x

27 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 27 Se clcoo il prodotto sclre ottenimo subito v w = xy + yx = 0. Questo vle in generle, ossi tutte le volte che il prodotto sclre di due vettori è ugule zero, i due vettori sono perpendicolri. Allor introducimo l definizione: due vettori sono ortogonli (o perpendicolri) se il loro prodotto sclre si nnull. Si us nche l notzione v w per indicre il ftto che i vettori v e w sono ortogonli. Notre che tutti i vettori sono ortogonli l vettore nullo! Anche i vettori di R 3 si possono visulizzre, nche se è un po piú difficile, utilizzndo i punti dello spzio. Nello spzio possimo disegnre tre ssi crtesini ortogonli e procedendo come prim su R 2 possimo identificre ogni tripl (x, y, z) con un punto dello spzio. Figur 8. z y (x, y, z) x Le operzioni fr vettori di R 3 si possono visulizzre in modo simile quello visto sopr per i vettori del pino. Infine, è chiro che tutti questi concetti si possono generlizzre ncor: possimo definire R 4, R 5,... e in generle i vettori di R n. Per questi vettori piú generli tuttvi non è possibile dre un rffigurzione intuitiv come nei csi del pino e dello spzio. A che servono direte voi? Be, secondo lcuni fisici teorici l universo h 0 dimensioni (tre spzili, un temporle e ltre sei dell cui esistenz si ccorgono solo le prticelle subtomiche); secondo ltri le dimensioni sono, mentre i più estremisti ne contno Esercizio Eseguire le seguenti operzioni: (2, ) (3, 5) + 3(4, 0); 2(, 0, 3) 0(2, 2, ); 2(0, 0, 0) 3(,, ) + 5(0, 0, 3). Esercizio Tr i seguenti vettori, lcuni sono ortogonli l vettore (2, 3). Quli sono? (0, 0); (3, 2); ( 2, 3); ( 3, 2); (, 4); ( 5, 0); (3, ). Esercizio Tr i seguenti vettori, lcuni sono ortogonli l vettore (,, 5). Quli sono? (0,, 2); (5, 5, 0); (2, 3, 7); (0, 0, 0); (,, 0); ( 5, 0, 2); (8, 3, ).

28 28 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Esempio Trovre tutti i vettori di R 2 ortogonli (, 3) che hnno modulo 2. In ltri termini, cerchimo dei vettori (x, y) tli che (x, y) (, 3) = 0 e inoltre tli che x 2 + y 2 = 2: queste due relzioni ci dnno il sistem (elevndo l qudrto l second equzione) { x + 3y = 0 x 2 + y 2 = 4 { x = 3y ( 3y) 2 + y 2 = 4 cioè trovimo i due vettori opposti ( ) , 5 e { x = 3y y 2 = 2 5 ( ) ,. 5 2 x = 3 5 y = ± Se interpretimo grficmente il problem, è chiro che i vettori del pino ortogonli d un vettore fissto e di lunghezz fisst sono proprio due (e sono opposti). Esercizio ) Trovre tutti i vettori di R 2 ortogonli (, 3) che hnno modulo 4. 2) Trovre tutti i vettori di R 2 ortogonli (2, ) che hnno modulo 3. 3) Trovre tutti i vettori di R 2 ortogonli (0, ) che hnno modulo 0. 4) Trovre tutti i vettori di R 3 ortogonli si (,, 0) che (0,, ) e che hnno modulo 4. Esempio Trovre tutti i vettori di R 2 che sono multipli del vettore (, 3) ed hnno modulo 6. Quindi stimo cercndo i vettori del tipo t(, 3) = (t, 3t), con t numero rele, che hnno modulo 6: (t, 3t) = 6 t 2 + 9t 2 = 36 t 2 = t = ± 5. Abbimo trovto soltnto due vettori: 8 (, 3) = 5 ( 8 5, 3 ) 8 5 e ( 8 8 (, 3) = 5 5, 3 ) 8. 5 Esercizio ) Trovre tutti i vettori di R 2 che sono multipli del vettore (, ) ed hnno modulo 3. 2) Trovre tutti i vettori di R 2 multipli del vettore (0, 4) che hnno modulo 0. 3) Trovre tutti i vettori di R 3 multipli del vettore (,, ) che hnno modulo 3. 4) Trovre tutti i vettori di R 3 multipli del vettore (0, 3, 4) che hnno modulo 6. Esempio Per quli vlori di t i vettori sono ortogonli? Bst scrivere il prodotto sclre (t, t, t + ) e ( 2t, 0, 3 t) (t, t, t + ) ( 2t, 0, 3 t) = 2t (t + )(3 t) = 3t 2 + 2t + 3 e imporre che si ugule zero: 3t 2 + 2t + 3 = 0 t = ±

29 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 29 Esercizio 2... Per quli vlori di t i vettori (2t, t, t) e (t +, t, 5) sono ortogonli? 2. Prodotto vettore In fisic si us spesso un operzione sui vettori di R 3 dett il prodotto vettore. Il prodotto vettore di due vettori di R 3 è ncor un vettore di R 3 che si definisce nel modo seguente: dti due vettori v = (v, v 2, v 3 ) e w = (w, w 2, w 3 ) il loro prodotto vettore è dto d v w = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w v w 3, v w 2 v 2 w ). In fisic si us spesso nche l notzione v w = v w. Notimo tre proprietà importnti: ) Il prodotto vettore v w è ortogonle si v che w: inftti bst clcolre il prodotto sclre v (v w) = v v 2 w 3 v v 3 w 2 + v 2 v 3 w v 2 v w 3 + v 3 v w 2 v 3 v 2 w = 0. Verific nlog per w (v w) = 0. 2) Se invertimo l ordine di v e w, il prodotto cmbi di segno: w v = (w 2 v 3 w 3 v 2, w 3 v w v 3, w v 2 w 2 v ) = v v. 3) Il prodotto vettore di un vettore per sé stesso è sempre ugule zero v v = (v, v 2, v 3 ) (v, v 2, v 3 ) = (0, 0, 0) (verific immedit). Anche il prodotto di un vettore v per un suo multiplo tv è ugule zero, inftti (tv) v = t(v v) = 0. Esercizio Clcolre i prodotti vettore (, 2, 3) (0,, 5); (, 5, 5) (, 0, ); (,, ) ( 2, 3, ). 3. Mtrici Un vettore si può pensre come un gruppetto di numeri reli disposti su un rig; null ci viet di generlizzre quest ide e considerre dei numeri reli disposti su piú righe, d esempio ( ) Quest si chim un mtrice. Nell esempio bbimo due righe e tre colonne, llor dicimo che l mtrice è 2 3. In generle possimo vere m righe ed n colonne; di solito un mtrice si indic con un letter miuscol, e i suoi elementi (detti nche le componenti di A) si indicno con lettere minuscole con due indici. Ad esempio se

30 30 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche l mtrice A h m righe ed n colonne, ossi è un mtrice m n, possimo scriverl cosí: 2... n A = n m m2... mn Un mtrice si dice qudrt se h lo stesso numero di righe e colonne, ossi qundo è del tipo n n. Noi vremo che fre molto spesso con mtrici 2 2 o 3 3: ( ) , Un mtrice null è un mtrice di soli zeri (qulunque numero di righe e colonne); ecco un mtrice 3 4 null: Anche fr le mtrici possimo eseguire delle operzioni. Le piú semplici sono l somm di due mtrici e il prodotto di un mtrice per un numero; queste operzioni si fnno esttmente come nel cso dei vettori, ossi componente per componente: Un esempio di prodotto: = = M per le mtrici possimo definire un nuov operzione: il prodotto fr mtrici detto nche prodotto righe per colonne. Questo prodotto non si può eseguire fr due mtrici qulunque: dte due mtrici A e B, il prodotto AB si può eseguire solo qundo il numero delle colonne dell prim è ugule l numero di righe dell second, ossi A deve essere m n e B deve essere n k; llor il risultto è un mtrice m k. Il clcolo si esegue cosí: si considerno l prim rig di A e l prim colonn di B, che sono due vettori dell stess lunghezz, e si f il loro prodotto sclre. Questo vlore si scrive nell ngolo in lto sinistr dell mtrice prodotto. Ad esempio, clcoo il prodotto un mtrice 2 3 per un mtrice 3 2, quindi il risultto è un mtrice 2 2; prim rig per prim colonn: ( ) ( ) 9? 0 = 5?? 2 6

31 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 3 perché (2,, 3) (,, 2) = = 9. Poi clcoo il prodotto sclre dell prim rig per l second colonn: ( ) ( ) =, 5?? 2 6 poi second rig per prim colonn, ( ) ( ) =, 5 6? 2 6 e infine second rig per second colonn: ( ) ( ) = In generle, per clcolre l elemento c ij del prodotto, cioè quello che si trov sull rig i e sull colonn j, bst moltiplicre l rig i dell prim mtrice per l colonn j dell second mtrice. Notre che possimo considerre nche mtrici che hnno un sol rig ( n) o un sol colonn (m ), cioè dei vettori rig o vettori colonn ; l regol del prodotto si pplic nche in questo cso, e quindi possimo trnquillmente clcolre il prodotto di un mtrice per un vettore (se le dimensioni sono quelle giuste!). Ad esempio, possimo clcolre il prodotto di un mtrice 2 3 per un mtrice (un vettore colonn) 3, e il risultto srà un mtrice 2 (ncor un vettore colonn) ( ) 3 ( 0 = 7 Il cso ite è quello delle mtrici, che contengono soltnto un numero, e llor di solito non si scrivono le prntesi: (5) = 5. Se clcoo il prodotto di un mtrice n per un mtrice n stimo semplicemente clcolndo il prodotto sclre di un vettore rig per un vettore colonn, e il risultto è nturlmente un numero (un mtrice ): ( ) = ) ( ) 4 = 4. Esercizio Eseguire le seguenti operzioni fr mtrici: ( ) ( ) ;

32 32 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche Esercizio ( ). Eseguire i seguenti prodotti fr mtrici, dopo vere controllto che l operzione si possibile: ( ) ; ; ( ) ; ; ( ) ( ) ; Il determinnte di un mtrice qudrt Ad ogni mtrice qudrt A si può ssocire un numero detto il suo determinnte, che si indic con det A. Spesso si us nche l notzione ( ) per indicre il determinnte dell mtrice, ossi si usno delle sbrre verticli invece delle prentesi; ttenzione, il determinnte è un numero, non un mtrice! L regol per clcolre il determinnte è semplice m un po lung d spiegre. Anzitutto, per un mtrice non c è nessun clcolo d fre: det(2) = 2, det() = ossi il determinnte è ugule ll unico elemento dell mtrice. Per un mtrice 2 2, il determinnte si clcol con l regol seguente: b = d bc. c d Ad esempio = 3 ( ) 9 = = Per un mtrice 3 3 il determinnte si clcol con un regol che esprime il determinnte trmite determinnti piú semplici (2 2). Ad esempio: = Cerchimo di cpire l formul precedente. Abbimo eseguito l operzione dett sviluppre il determinnte rispetto ll prim rig. Precismente, bbimo considerto uno ll volt i tre elementi sull prim rig,, 9 e 4; per ognuno di essi

33 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche 33 bbimo considerto il determinnte 2 2 che si ottiene cncellndo l rig e l colonn corrispondenti, e l bbimo moltiplicto per il numero stesso: , , Infine bbimo rimesso insieme queste tre quntità secondo l regol: l prim, meno l second, piú l terz. Il risultto è il determinnte 3 3 cercto. Nturlmente dobbimo ncor finire di clcolre i determinnti 2 2 ottenuti: = = ( 5) ( 0) e il risultto finle è 36. Si può sviluppre nche rispetto ll second rig: il procedimento è identico, l unic differenz sono i segni nell ultimo pssggio: = ossi per l second rig bbimo usto l regol, +, (mentre per l prim rig vevmo usto l regol +,, +). Continundo il clcolo si ottiene 9 4 = = ( 86) = Se sviluppimo secondo l terz rig i segni d usre sono +,, + e si ottiene sempre lo stesso risultto. M si può nche sviluppre rispetto ll terz rig, oppure rispetto d un colonn, e il risultto non cmbi: bst usre l regol corrett per i segni: Dto che possimo scegliere l rig o l colonn che preferimo, chirmente per bbrevire i clcoli è consiglibile sceglierne un che conteng molti zeri! L regol per clcolre determinnti di mtrici qudrte piú grndi n n è esttmente l stess: si sceglie un rig (o un colonn) qulunque, e si svilupp il

34 34 D Ancon-Mnetti: Istituzioni di Mtemtiche determinnte rispetto quell rig utilizzndo i segni e in questo modo si riduce il clcolo un somm in cui compiono determinnti piú piccoli. Poi si svilupp ciscuno dei determinnti piú piccoli e ci si riduce determinnti ncor piú piccoli, e cosí vi fino che non si rriv determinnti 2 2. Non fccimo esempi di questi clcoli perché noi ci iteremo clcolre determinnti 3 3 l mssimo. Esercizio 2.4. ( ). Clcolre i determinnti delle seguenti mtrici qudrte: ( ) , 2 0 4, 2 2 3, Sistemi lineri: il Teorem di Crmer Un sistem linere 2 2 è un sistem di due equzioni in due incognite, che di solito si indicno con x e y, in cui le incognite compiono solo in polinomi di grdo. Ad esempio, { 3x 2y = 4 5x + 7y = 2 è un sistem linere 2 2. Risolvere il sistem vuol dire trovre tutti i vlori di x e y che verificno entrmbe le equzioni. Ogni coppi (x, y) di vlori che soddisfno le equzioni si chim un soluzione del sistem. Il metodo piú semplice e generle per risolvere il sistem è quello di sostituzione: si ricv un incognit, d esempio x, dll prim equzione, e si sostituisce nell second: { 3x 2y = 4 5x + 7y = 2 { y = 3 2 x 2 5x + 7 ( 3 2 x 2) = 2 { y = 3 2 x 2 x = In questo modo nell second equzione rest solo un incognit che si può clcolre, e sostituendo il vlore ottenuto si ottengono i vlori di tutte e due le incognite: { y = = 4 3 x = Il metodo di sostituzione funzion benissimo nche per sistemi piú grndi. Ad esempio un sistem linere 3 3 è un sistem di tre equzioni in tre incognite che di solito si indicno con x, y, z: x + 4y + 2z = 0 2x + y + z = 2x 3y z = 4. Per risolverlo ricvimo d esempio x dll prim e sostituimo nelle ltre, poi ricvimo y dll second e sostituimo nell terz; in questo modo nell terz