Lezione 17 Equilibrio MHD in geometria lineare

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1 Lezione 17 Equilibrio MHD in geometria lineare G. osia Universita di Torino G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 1

2 Equazioni MHD (XVII-1) Eq. di continuità MHD ideali (XVII-) (XVII-3) (XVII-4) ρm + ( ρmv) = t = 1 = ( v ) + t µ σ ρ m v ( ) = p + J = ( p + ) + t µ µ Eq. di Maxwell = Eq. di induzione : per σ = ( v ) t Eq. del moto fluido: per σ p = J (XVII-5) J = σ ( E + v ) Legge di Ohm per σ E + v = (XVII-6) ρ m d( pρm dt γ ) = Eq. di stato (adiabatica) G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16

3 Conservazione del flusso di campo magnetico In una delle lezioni precedenti e stato dimostrato che in un fluido MHD, nell ipotesi di conduttività infinita (MHD ideali), il flusso magnetico Φ attraverso un contorno chiuso, si conserva e, come conseguenza, le linee di campo magnetico si possono ritenere 'incollate' al fluido. Pertanto, se il fluido si muove, anche le linee di campo si muovono in modo solidale e viceversa. Consideriamo il caso particolare di un campo magnetico statico, per il quale le linee di forza sono immobili nel tempo. Per il principio prima enunciato un fluido a conduttività infinita, che si trova immerso nel campo, deve essere anche lui immobile, Possiamo dire che il confinamento magnetico dei plasmi ad alta temperatura si basa su questo principio. Nell'ipotesi di conduttività finita, questo non è più vero, nel senso che ci si aspetta un moto relativo fra fluido e linee di campo (diffusione ambipolare).. G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 3

4 Utilizzando le equazioni MHD ideali siamo in grado di studiare, le condizioni generali di equilibrio di una colonna di plasma confinata da un campo magnetico. In condizioni di equilibrio statico v e le sue derivate sono nulle e le prime tre equazioni MHD diventano: J = p (XVII-4) (XVII-7) (XVII-) Eliminando J fra le prime due, facendo uso della identità vettoriale possiamo ottenere una equazione per l equilibrio di pressioni: (XVII-8) con la pressione magnetica /µ che gioca lo stesso ruolo della pressione del fluido, La relazione (XVII-8) è importante perché è la condizione a cui deve soddisfare un campo magnetico statico () per poter confinare un fluido conduttore dotato di pressione (p). Osserviamo in particolare che se le linee di campo magnetico non hanno curvatura, il termine a secondo membro della (XVII-8) è nullo, questa relazione si riduce a: (XVI9) Equilibrio MHD H = J = 1 ( p + ) = ( ) µ µ ( ) = ( ) + ( ) G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 4 grad( p + µ ) =

5 Equilibrio di un fluido MHD Dalla J = p, segue che il gradiente della pressione è perpendicolare sia a J che a, quindi (XVII- 1) (XVII-11) 'superfici magnetiche e che le superfici magnetiche sono anche superfici a pressione costante (superfici isobariche). Allo stesso modo, dalla (XVII-1) si vede che le linee di corrente devono giacere su superfici a pressione costante. Quindi, le superfici con P = cost (perpendicolari a p) sono sia "superfici magnetiche" che 'superfici di corrente'. Dalla x H = J segue: cioè: (XVII-1) P J P = Dalla (XVII-11) si vede che la pressione deve essere costante lungo le linee di campo magnetico ossia le linee di campo devono giacere su superfici a pressione costante. Le linee di forza pertanto giacciono su superfici dette = div ( rot( H)) = div( J) J G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 5 = =

6 Equilibrio di un fluido MHD Dato che sia che J hanno divergenza nulla (quantità solenoidali), le linee di campo magnetico e quelle di corrente o vanno all infinito o sono chiuse al finito. Se il plasma si estende in un volume limitato, le superfici magnetiche devono essere necessariamente chiuse e tali da essere contenute una nell'altra (vedi figura) all'interno di questo volume. Si può dimostrare che se le variabili J, e p sono abbastanza graduali, e se le superfici magnetiche ed isobariche si trovano all'interno di un volume limitato, e se e J sono tali da non essere mai nulli in questo volume le superfici magnetiche assumono la forma di toroidi. La superficie degenerata che consiste in una linea chiusa al 'centro del sistema di superfici magnetiche contenute l'una nell'altra si chiama asse magnetico. La figura mostra un insieme di superfici contenute l'una nell'altra sulle quali la pressione aumenta passando dall'esterno verso l'asse (p < p 1 < p <.); le correnti sono tali che la forza J sia diretta verso l'asse. G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 6

7 Confinamento magnetico Il fatto importante qui è che un plasma può essere confinato interamente dalla forza magnetica; questo va sotto il nome di 'confinamento magnetico'. Se un plasma con p = si trova in equilibrio in un campo applicato dall'esterno, deve necessariamente generarsi nel plasma una corrente J compatibile con la p = J che rende conto su scala macroscopica dell'effetto di diamagnetismo, per il quale il campo 'interno' al fluido è più debole di quel lo 'esterno' Per calcolare questa corrente (detta 'corrente diamagnetica'), moltiplichiamo la (XVII-5) p = J vettorialmente per : p = ( J ) = J ( j) da cui ricaviamo la componente J perpendicolare al campo magnetico, mentre quella parallela è nulla : p (XVII-6) J = Questa corrente puo essere misurata sperimentalmente e fornisce, noto il campo magnetico, una misura dell energia interna del plasma ( P) G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 7

8 Confinamento magnetico in geometria lineare: θ pinch Le equazioni MHD dimostrano in un modo auto-consistente che e possibile, in linea di principio, confinare un plasma mediante un campo magnetico. Questa e stata la base del metodo di confinamento magnentico Vari tipi di macchine in geometria lineare e toroidale sono state proposte e realizzate Consideriamo per esempio il caso ideale di un solenoide di lunghezza infinita che, come e noto, produce, al suo interno, un campo magnetico costante con linee di forza rettilinee lungo l asse del solenoide. In questa configurazione nota come θ pinch, in assenza di plasma sia il campo magnetico (uniforme) uguale a. In presenza di plasma il campo magnetico auto consistente e dato dalla : (XVII-7) ( p + ) = µ Ovvero il sistema magnetico può confinare un plasma fino ad una massima pressione cinetica pari a (XVII-8) p max = /µ z r θ G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 8

9 Equilibrio di un θ pinch Infatti utilizzando le equazioni MHD per un cilindro di lunghezza infinita e tenendo conto che per simmetria ha solo una componente assiale J ha solo una componente azimutale P ha solo una componente radiale Utilizzando le equazioni : (XVII-9) ossia (XVII-1) J J θ P P J ed eliminando J θ Jθ si ottiene P G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 9

10 Sistemi di confinamento lineari : θ pinch In pratica un θ pinch e un tubo di scarica inserito in un solenoide costituito da una serie di bobine o semplicemente costituito un conduttore metallico a forma di spira molto larga, percorsa da una forte corrente rapidamente variabile, ottenuta mediante la scarica di un banco di condensatori in cui sia stata immagazzinata una grande quantità di energia elettrica. All'interno della spira si genera un campo magnetico assiale ( z ) rapidamente variabile, che induce nel plasma delle correnti azimutali (J θ ), che scorrono in direzione opposta a quelle che percorrono la spira. E utile schematizzare il fenomeno facendo l'ipotesi che il plasma si comporti come un fluido perfettamente J θ conduttore con una pressione cinetica costante; il campo magnetico prodotto dalla spira e presente solo nella regione compresa fra il plasma ed il conduttore metallico, dato che non può penetrare nel plasma, per la conservazione del flusso magnetico all interno del fluido. Quello che succede e che sulla superficie del fluido si genera una corrente diamagnetica azimutale, che comprime (pinch) il fluido fino a quando pressione magnetica e cinetica si eguagliano ossia la quantità (XVII-11) β θ P = ( ) µ = 1 G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 1

11 Sistemi di confinamento lineari : θ pinch La quantità β θ e pertanto la misura delle capacità del sistema a confinare un plasma avente una certa pressione cinetica (ovvero temperatura ). In realtà, per una conduttività finita, il campo magnetico penetra (o diffonde), all'interno del plasma ed il plasma diffonde attraverso le linee di campo magnetico. In un caso reale si avrà pertanto una situazione a contorni diffusi, con una pressione cinetica in generale crescente ed una pressione magnetica decrescente verso il centro del solenoide. MHD ideale MHD resistivo p r G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 11

12 Sistemi di confinamento lineari : Ζ pinch Un'altra configurazione lineare di equilibrio MHD, lo Z-pinch consiste in una colonna di fluido cilindrica, anche in questo caso di lunghezza infinita, che conduce correnti nella direzione dell'asse z (J z ). Queste creano così un campo magnetico azimutale ( θ ) e pertanto linee di forza di J e di sono scambiate rispetto alla configurazione del θ pinch. La forza J è di nuovo radiale, diretta verso l'asse. Uno 'z-pinch si ottiene provocando una scarica in un gas a bassa pressione all'interno di un tubo di vetro, fra due elettrodi terminali, simile a quelli usati per l illuminazione. Questi sono evidentemente a contatto col plasma e la corrente totale che percorre il plasma uguaglia quella del circuito esterno che alimenta la scarica. In coordinate cilindriche r,z e θ, dato che le coordinate z e θ sono ignorabili per la simmetria del problema, l equazione per il bilancio di pressione (XVII-1) si riduce a : (XVII-13) 1 ( p + ) = ( ) µ µ ( p + ) + r µ µ r G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 1 = φθ θ r P J z z

13 Sistemi di confinamento lineari : Ζ pinch In questa configurazione e la corrente stessa del plasma che crea il campo magnetico di confinamento della scarica. Se si schematizza la situazione con un fluido cilindrico, attraversato da una corrente che scorre parallelamente al suo asse, sotto l'azione della forza J x il plasma viene compresso (effetto pinch) in un filamento lungo l'asse del cilindro e questa forza e equilibrata dal gradiente di pressione nel fluido. Le superfici P = cost sono ancora cilindri concentrici, ma la pressione ora varia con il raggio del cilindro. Si noti che la che la pressione del plasma viene equilibrata dal campo magnetico attraverso due meccanismi: per effetto della 'pressione magnetica', analogamente al caso del θ-pinch, e per effetto della curvatura delle linee di campo. I due effetti risultano in generale dello stesso ordine di grandezza. Se la corrente totale I e uniformemente distribuita sulla sezione del fluido di raggio a ossia J = I/(πa ), dal teorema della circuitazione, in ogni punto r < a: π r ( r) = µ I ( r) ossia µ e r I ( r) = I ( r) = πr J = I π r a si ottiene I (XVII-14) ( r) = µ r π a Sostituendo nella (XVII-13) p I ( p + ) + = = µ ( ) r r µ r π a µ r i due termini di forza sono uguali e pari a (I /πa ) r. Pertanto la pressione magnetica cresce verso l asse del cilindro con il quadrato del raggio (profilo parabolico). G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 13

14 Si può dimostrare che l'equilibrio MHD Z-pinch non è stabile e richiede l'aggiunta di una componente assiale di campo magnetico per essere 'stabilizzato con l aggiunta di un campo assiale ( z ). Inoltre in questa configurazione la colonna di plasma non e confinata alle estremità ma in contatto termico con gli elettrodi del circuito eccitatore, pertanto lo Z pinch ha modeste capacità di confinamento. Studiamo tuttavia qualche sua proprietà perché da questo concetto e derivata la configurazione tokamak in geometria toroidale. Si può dimostrare che esiste una relazione fra la corrente del pinch I e la quantità di fluido confinato ad una certa temperatura T. La condizione di equilibrio (XVII-13) può essere riscritta come: Moltiplicando per r ed integrando per parti fra ed a, otteniamo: a a 1 a [ rp ] p rdr = [ r ] µ Se assumiamo che la pressione di plasma vada a zero alla superficie di contorno r = a, questa relazione diventa : a (XVII-15) ( a) π prdr = πa µ Se assumiamo anche gli ioni e gli elettroni abbiamo temperature costanti nella sezione del pinch (T i e T e ): (XVII-16) Proprietà dello Ζ pinch dp dr = + µ r d dr ( r) p r) = n( r) k( T e + T ) ( i G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 14

15 Relazione di ennet Introduciamo il numero totale di elettroni per unità di lunghezza della colonna di plasma ('densità lineare'): (XVII-17) N = π rn( r) dr ed otteniamo : πa N k( Te + Ti ) = ( a) µ (a) è legato alla corrente I dal teorema della circuitazione dalla relazione (XVII-18) da cui otteniamo la relazione (di ennett): µ (XVII-19) N k( T ) I e + Ti = 8π Questa relazione mostra che in un pinch la temperatura del plasma è proporzionale al quadrato della corrente della scarica ed è inversamente proporzionale alla 'densità lineare'. Introducendo la 'pressione media e il parametro parametro 'beta-theta : p a (XVII-) 1 β (XVII-1) θ = p = πprdr π a ( ) µ tenendo conto che : il campo magnetico ha una unica componente azimutale ( = θ ), la (XIII-48) si semplifica in : (XVII-1) β θ = 1 a µ I ( a) = πa G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione 16 15

16 Linee di forza elicoidali dz La presenza delle due componenti θ (r) e z (r) fa sì che le linee di campo magnetico abbiano la forma di eliche, come mostrato in figura. Se consideriamo un punto Q mobile lungo una linea di forza che giace su una superficie cilindrica di raggio r. Ad uno spostamento dz parallelo all'asse del pinch, corrisponde una rotazione dθ del punto attorno all'asse magnetico. Il passo dell'elica (la distanza lungo l'asse z percorsa dal punto Q, quando compie un giro completo di rotazione attorno all'asse del pinch ) è dato da: πdz (XVII-) L( r) = dϑ Usando l'equazione della linea di forza la (XVII-) dà (XVII-3) La funzione (XVII-4) rdϑ dz = ϑ z L( r) = πr P( r) = r z ϑ z ϑ viene chiamata 'pitch' della linea di forza elicoidale e differisce dal 'passo' della linea di un fattore π. Sia L(r) che P(r) sono costanti su una superficie magnetica r = cost. Qualora l'inclinazione delle linee di forza vari da superficie magnetica a superficie magnetica (dp/dr = ) si dice che le linee di forza hanno uno shear finito.questo e spesso indice di sforzi di taglio tra superfici del fluido e di fenomeni di viscosita e turbolenza nella colonna di plasma. G. osia Introduzione alla fisica del plasma Lezione Q dθ