SISTEMI TRIFASE: INTRODUZIONE

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1 SISTEMI TRIFASE: INTRODUZIONE Introduzione Ė Z Ė Generatori e carichi generici Collegamenti casuali Z Z Ė Nella realtà, l uso di generatori particolari e di opportuni sistemi di trasmissione e distribuzione dell energia elettrica possono portare notevoli vantaggi sia dal punto di vista tecnico, sia dal punto di vista economico Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Principali vantaggi Alcuni dei principali vantaggi nell uso dei Sistemi Trifase rispetto a quelli monofase sono i seguenti: La potenza istantanea, sotto specifiche condizioni, è costante nel tempo migliore sfruttamento delle linee elettriche (a parità di potenza trasmessa e di tensione di esercizio, le linee trifasi sono più leggere e presentano minori perdite di quelle monofasi) minori sollecitazioni meccaniche sulle macchine elettriche Possibilità di generare campi magnetici rotanti in maniera semplice costruzione di motori elettrici più leggeri ed efficienti Semplicità costruttiva dei generatori di tensione Nelle prossime lezioni, per alcuni di questi vantaggi saranno date opportune dimostrazioni Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di

2 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Generatore di tensione monofase: schema semplificato avvolgimento statore N Statore avvolgimento rotore B Rotore S avvolgimento rotore Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Generatore di tensione monofase: principio di funzionamento ϕ c (θ) ϕ c (t) = B S spira n cos θ a n N B θ = S θ θ = 9 θ = 8 θ = 7 θ = 6 θ =6 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 4 di

3 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Generatore di tensione monofase: principio di funzionamento ϕ c (θ) ϕ c (t) = B S spira n cos θ θ = 9 θ = 8 θ = 7 θ = 6 θ Ω m a n N B θ = S Ω m = θ = costante, in modo che: freq = 5 Hz t θ =6 v (t) v (t) = dϕ c (t) dt = V max sin Ω m t t = 5 ms t = ms t = 5 ms t = ms t t = ms Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 5 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Generatore di tensione trifase: schema semplificato a n a n Statore N B S a n Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 6 di

4 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Generatore di tensione trifase: principio di funzionamento v (t) v (t) = dϕ c (t) dt = V max sin Ω m t t = 5 ms t = ms t = 5 ms t = ms t Ω m v (t) t = ms v (t) = dϕ c (t) dt = V max sin(ω m t π ) t = 5 ms t = ms t = 5 ms t = ms t N B S t = ms v (t) v (t) = dϕ c (t) dt = V max sin(ω m t 4π ) t = 5 ms t = ms t = 5 ms t = ms t t = ms Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 7 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Generatore di tensione trifase: rappresentazione circuitale v (t) N B S v (t) v (t) v (t) = V max sin ωt v (t) = V max sin(ωt π ) v (t) = V max sin(ωt 4π ) v(t) v (t) v (t) v (t) t Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 8 di

5 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Generatore di tensione trifase: osservazioni A valle della descrizione del principio di funzionamento di un generatore trifase di tensione è possibile fare le seguenti osservazioni: L angolo di cui sono sfasati fisicamente gli avvolgimenti sullo statore (angolo meccanico ) determina l angolo di sfasamento elettrico delle tensioni nei sistemi trifase tale angolo è pari a π = Scelto un verso di rotazione, l ordine con cui le tensioni si succedono nell assumere un determinato valore (pe il valore max) è detto sequenza delle fasi Se il rotore ruota in senso orario, la sequenza delle fasi è: se il rotore ruota in senso antiorario la sequenza delle fasi è: 4 Di solito si fissa come riferimento il senso orario e si chiama: sequenza diretta quella per cui le fasi si susseguono nell ordine sequenza inversa quella per cui le fasi si susseguono nell ordine Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 9 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Generatore di tensione trifase: rappresentazione fasoriale v (t) = V max sin ωt v (t) = V max sin(ωt π ) v (t) = V max sin(ωt 4π ) sequenza diretta V = V eff V = V eff e (j π ) V = V eff e (j 4π ) = V eff e (j π ) asse immag V V asse reale V Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di

6 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Tensione trifase: definizioni v(t) V v max (t) v (t) t Un insieme di tensioni: sinusoidali, isofrequenziali, sfasate tra di loro di un angolo pari a π/ ( ) e di uguale valore max, si dice: Sistema SIMMETRICO di tensioni trifase V max v (t) or Si può avere: Terna SIMMETRICA di tensioni trifase terna simmetrica di sequenza diretta se, con verso orario, le fasi si susseguono terna simmetrica di sequenza inversa se, con verso orario, le fasi si susseguono Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Tensione trifase: parametro α Per descrivere in forma compatta una terna simmetrica di tensioni è possibile definire un operatore matematico α, detto fattore di rotazione che, applicato ad un vettore, ne effettua una rotazione in anticipo di un angolo pari a π/ ( ) L operatore α, insieme alle sue potenze, vale: α = α = e (j π ) = j α = e (j 4π ) = j È possibile utilizzare questo operatore per costruire una terna di versori di sequenza diretta o di sequenza inversa: asse immag asse immag α 45 5 α asse reale 8 asse reale α 5 5 α Sequenza diretta: [, α, α] V = V eff V V = V α V = α V V = V α V α Sequenza inversa: [, α, α ] V = V eff V V = V α V = α V V = V α V α Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di

7 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Tensione trifase: ulteriori definizioni Per un sistema simmetrico di tensioni, t, la somma delle tensioni è sempre nulla: v (t) v (t) v (t) = (vale anche fasorialmente: V V V = ) Una terna di grandezza con queste proprietà è detta: TERNA PURA Tutte le terne SIMMETRICHE di tensioni sono PURE (non è vero il contrario: possono esistere terne pure che NON sono simmetriche) Una terna di grandezze la cui somma è si dice TERNA SPURIA 4 Le terne di tensioni che non hanno le caratteristiche delle terne simmetriche si dicono TERNE DISSIMMETRICHE (sfasamento π/ e V maxk V maxj ) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Carichi e correnti trifase: definizioni Se un sistema generico di tensioni trifase, V, V, V, alimenta tre bipoli, Z, Z, Z : İ V Z V V İ Z Z İ allora le correnti: İ = V / Z İ = V / Z e İ = V / Z costituiscono una TERNA DI CORRENTI TRIFASE (le ampiezze e le fasi di tali correnti dipendono dalle tensioni di alimentazione e dalle caratteristiche dei bipoli) L insieme delle impedenze, Z, Z, Z, costituisce un CARICO TRIFASE ogni singolo bipolo rappresenta una FASE del carico Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 4 di

8 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Carichi e correnti trifase: ulteriori definizioni Se Z = Z = Z : il carico si dice CARICO TRIFASE EQUILIBRATO Se un carico EQUILIBRATO ( Z = Z = Z = Z e jϕ ) viene alimentato da una terna SIMMETRICA di tensioni V, V, V (di sequenza diretta or inversa), le correnti valgono: sequenza diretta İ = V Z e jϕ = I eff e jϕ İ = V α Z e jϕ i (t) = I eff sin(ωt ϕ) = α I eff e jϕ i (t) = I eff sin(ωt π ϕ) İ = V α Z e jϕ = α I eff e jϕ i (t) = I eff sin(ωt 4π ϕ) Una terna di correnti derivanti da tensioni SIMMETRICHE e carico EQUILIBRATO si dice: TERNA TRIFASE DI CORRENTI EQUILIBRATE 4 Se t, i (t) i (t) i (t) =, la terna di correnti è PURA in caso contrario la terna è SPURIA (le terne di CORRENTI EQUILIBRATE sono sempre PURE) 5 Se la terna di correnti NON gode delle proprietà delle terne EQUILIBRATE si dice: TERNA TRIFASE DI CORRENTI SQUILIBRATE Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 5 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Collegamenti tra generatori e carichi Gli avvolgimenti dei generatori ed i morsetti delle impedenze di carico possono essere collegati opportunamente in modo da ridurre il numero dei terminali che in genere sono per ogni fase (6 se il sistema è trifase) V Z V Z V Generatore Z Carico I due tipi di collegamento maggiormente utilizzati sono quello a stella e quello a triangolo (esiste anche un terzo tipo detto a zig-zag ma è usato solo in casi molto particolari) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 6 di

9 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Collegamento / Nel collegamento /, i terminali finali (o iniziali) degli avvolgimenti del generatore e di quelli delle impedenze di carico sono collegati insieme a costituire il cosiddetto punto neutro o centro stella conduttore di linea centro stella centro stella generatore carico V Z N conduttore neutro n V V conduttore di linea Z Z conduttore di linea I terminali liberi del generatore e del carico sono collegati tra di loro tramite conduttori detti conduttori di linea A volte vengono collegati tra di loro anche i centri stella con un conduttore detto conduttore neutro o neutro se neutro sistema trifase a 4 fili se neutro sistema trifase a fili Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 7 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Collegamento / Nel collegamento /, gli avvolgimenti del generatore e le impedenze del carico sono collegati in modo da costituire un triangolo secondo una sequenza scelta (diretta or inversa) conduttore di linea V V Z Z İ V conduttore di linea Z conduttore di linea I terminali del generatore e del carico sono collegati tra di loro tramite conduttori detti conduttori di linea poichè centri stella collegamento / è sempre a fili Se la terna delle tensioni dei generatori a è SPURIA una corrente di circolazione nel generatore dipendente dalle sue impedenze interne Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 8 di

10 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Collegamenti misti: /, / Poichè il tipo di collegamento degli avvolgimenti del generatore e delle impedenze del carico sono indipendenti tra di loro, oltre ai collegamenti precedenti sono possibili anche quelli misti / e / conduttore di linea conduttore di linea V Z Z Z V V N n V V conduttore di linea Z V conduttore di linea Z Z conduttore di linea conduttore di linea Sintetizzando, si possono avere 4 tipi di collegamento: Stella - Stella: / Stella - Triangolo: / Triangolo - Stella: / Triangolo - Triangolo: / Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 9 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Ulteriori definizioni generali Qualunque sia il tipo di collegamento tra generatore e carico ( /, /, / or / ) si ha: I rami in cui sono inseriti i singoli generatori della terna e le singole impedenze del carico sono dette FASI fasi İl fasi V Z V V Z Z N V n V V V V V İl İl Z Z Z Le tensioni (o le correnti) che interessano le fasi sono dette TENSIONI DI FASE (o CORRENTI DI FASE) La tensione tra due conduttori di linea è detta TENSIONE DI LINEA o TENSIONE CONCATENATA la corrente in un conduttore di linea è detta CORRENTE DI LINEA La direzione convenzionale delle correnti di linea è dal generatore al carico Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di

11 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Particolarità nel collegamento a : le correnti Terna tensioni generica N Ė N Ė Ė N Ė Ė N Ė İ f İ f İ f İ l İ l İ l V V V İ l İ l İ f İ f Z Z Z n Carico generico İ l İ f İ f = İl İ f = İl İ f = İl = İ f İl Correnti di fase Correnti di linea Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Particolarità nel collegamento a : le tensioni Ipotesi: tensioni di fase dei generatori costituiscono una terna spuria: Ė Ė Ė V = Ė Ė asse immag V = Ė Ė V = Ė Ė V = Ė Ė Ė Ė V V = Ė5 Ė V V V =Ė Ė Ė Ė 8 Ė V Ė asse reale Ė Ė = V Ė Ė V = Ė Ė La terna di tensioni di linea è sempre PURA (indipendentemente dal fatto che lo sia la relativa terna di tensioni di fase ) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di

12 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Collegamento a : terna simmetrica di tensioni Ipotesi: tensioni di fase dei generatori costituiscono una terna simmetrica (pe seq diretta): Ė = E Ė = α Ė Ė = αė con α = j : V = Ė Ė= Ė α Ė = Ė( α )= Ė( j )= : = Ė( j )= Ė( V = Ė Ė= Ė αė= Ė α j )= Ėe j π 6 V = Ėe j π 6 ( Ė α ) = Ė( α )= Ė( j )= : = Ė( j )= Ė( j )= Ėe j π 6 V = Ėe j π 6 V = Ė Ė= Ė ( Ė α ) = Ė( α )= Ė( j )= = Ė( j )= Ė( j )= Ėe j π 6 V = Ėe j π 6 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Collegamento a : terna simmetrica di tensioni asse immag V = Ė Ė 65 8 Ė V Ė Ė V 6 Ė <-----Fasori-----< >-----Sequenza-----> 45 V = Ė Ė 5 asse reale Le tensioni di linea (o concatenate) relative ad una terna simmetrica di tensioni di fase sono volte più grandi di queste ultime e sono sfasate in anticipo di un angolo pari a π/6 = 95 V 45 Ė Ė V i,i = Ėi e j π V = Ė Ė 7 85 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 4 di

13 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Particolarità nel collegamento a : tensioni e correnti Terna tensioni generica V f V f İ f İ f İ f V f Macronodo İ l İl İ l V V V İ l İ l İ l İ f Z Z İ f İ f Z Carico generico V f = V Vf = V Vf = V V f V l : Tensioni di fase Tensioni di linea İ l = İf İf İ l = İf İf İ l = İf İf İ l = = Qualsiasi sia il carico la terna delle correnti di linea è sempre PURA Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 5 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Collegamento a : terna equilibrata di correnti Ipotesi: correnti di fase del carico costituiscono una terna equilibrata (pe seq diretta): İ fc = I fc İ fc = α İ fc İ fc = αifc con α = j : İ l = İfc İfc= İfc αifc= İfc( α)= İfc( j )= = İfc( j )= İfc( j )= İfce j π 6 İl = İfce j π 6 ( ) : İ l = İfc İfc= İfc İfc α = İfc( α )= İfc( j )= = İfc( j )= İfc( j )= İfce j π 6 İl = İfce j π 6 ( ) : İ l = İfc İfc= İfc α İ fc = İfc α İfc = α İfc( α)= = İfc( j )= İfc( j )= İfce j π 6 İl = İfce j π 6 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 6 di

14 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Collegamento a : terna equilibrata di correnti asse immag İ l = İf İf İ f İ l İf İ f İ l = İf İf İf İ l İ l İf 6 İ f <-----Fasori-----< >-----Sequenza-----> 45 5 asse reale 45 İ l = İf İf Le correnti di linea relative ad una terna equlibrata di correnti di fase sono volte più grandi di queste ultime e sono sfasate in ritardo di un angolo pari a π/6 = İ il = İif e j π Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 7 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sintesi sulle tipologie di sistemi trifase TENSIONI SIMMETRICHE (sfas = π/ e stessa V max ) seq diretta or seq inversa DISSIMMETRICHE (sfas π/ e/o V max ) TERNE PURE (v (t) v (t) v (t) = ) TERNE SPURIE (v (t) v (t) v (t) ) COMBINAZIONI POSSIBILI EQUILIBRATO ( Z = Z = Z ) SIMMETRICI ED EQUILIBRATI CARICO SQUILIBRATO ( Z Z Z ) SIMMETRICI E SQUILIBRATI DISSIMMETRICI ED EQUILIBRATI di scarso interesse DISSIMMETRICI E SQUILIBRATI A or 4 FILI CORRENTI EQUILIBRATE (sfas = π/ e stessa I max ) seq diretta or seq inversa SQUILIBRATE (sfas π/ e/o I max ) TERNE PURE (i (t) i (t) i (t) = ) TERNE SPURIE (i (t) i (t) i (t) ) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 8 di

15 SISTEMI TRIFASE SIMMETRICI ED EQUILIBRATI Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: introduzione In questo tipo di sistema le terne delle tensioni sono simmetriche (di sequenza diretta or inversa) ed i carichi sono equilibrati = terne di correnti equilibrate I Sistemi Simmetrici ed Equilibrati sono una astrazione matematica di solito si definiscono degli indici ρ i e ρ s detti rispettivamente grado di impurezza e grado di squilibrio con i quali si valuta la dissimmetria delle tensioni e lo squilibrio delle correnti se i due indici sono inferiori ad un certo valore prestabilito, il sistema si considera Simmetrico ed Equilibrato Di solito i sistemi su larga scala sono considerati equilibrati su base statistica Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 9 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: analisi İ l ZlA Z lc İ f V l f V İ f İ f V İl İ l Z la ZlA İ l İ l İ l Z lc Z lc l l f Z D Z D f Z D İ f İ f İ f Z B Z B Z B L analisi dei sistemi Simmetrici ed Equilibrati risulta agevole nel collegamento / conviene pertanto riportarsi in questa configurazione Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di

16 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: analisi Ricaviamo un sistema di generatori a equivalenti (agli effetti esterni) al sistema di generatori originali a : İ l Ė V e j π 6 İ fs İl V İ f V İ f İl Ė α Ė İ fs İl İ f V İ l Ė αė İ fs İl Ricaviamo un carico a equivalente (agli effetti esterni) del carico originale a : l l l fc fc fc Z D/ Z D/ Z D/ l l l f Z D f Z D f Z D Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: analisi Ė İ fs İl Z la Z lc l f c ZD / Ė İ fs İl Z la İ l Z lc l İ f c ZD / Ė İ fs İl Z la İ l Z lc İ l l f c ZD / İ f İ f İ f Z B Z B Z B Calcoliamo la tensione tra i diversi centri stella del sistema Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di

17 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: analisi Ė Ė Ė İfs İl ZlA İfs İl ZlA İfs İl ZlA İ l İ l İ l V = Ė Z la İl Z lb İ l V = Ė Z la İl Z lb İ l V = Ė Z la İl Z lb İ l V = (Ė Ė Ė) Z la (İl İl İl) İ f İ f İ f Z lb (İ l İ l İ l ) ZB ZB ZB poichè Ė = İ = V = İ l İ l İ l ZlC ZlC ZlC İ l fc İ l fc İ l fc ZD/ ZD/ ZD/ V = Z lb İ l ( Z lc Z D /) İ l V = Z lb İ l ( Z lc Z D /) İ l V = Z lb İ l ( Z lc Z D /) İ l V = Z lb (İ l İ l İ l ) ZB İ f ZB İ f ZB İ f ( Z lc Z D /)(İ l İ l İ l ) poichè İ = V = V = V = = è possibile collegare con un conduttore ( neutro ) tutti i centri stella del sistema senza alterarne l equilibrio elettrico Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: analisi Ė İ fs İ l ZlA Z lc l f c ZD / Ė İ fs İ l ZlA İ l Z lc l f c ZD / İ l Ė İ fs İ l ZlA Z lc İ l l f c ZD / İ f İ f İ f Z B Z B Z B Con un opportuna scelta dell albero questo sistema è riconducibile a circuiti monofase equivalenti Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 4 di

18 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: analisi Ė İ fs İ l ZlA Z lc l İ l f c ZD / Ė ZlA İ Z fs İ lc l İ l l Ė İ l İ ZlA l İ fs İ l İ l Z lc l f c ZD / İ l l f c ZD / İ l İ f İ f İ f l Z B Z B Z B rami d albero corde Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 5 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: circ monofase equiv Ė İ Z la ZlC ZD / Ė İ Z B Z eq İ = Ė Z eq Rifer di tensione Ė İ Z la ZlC ZD / Zeq = [( Z D/ Z lc )// Z B] Z la Ė İ İ = Ė Z eq = Rifer di tensione Ė İ Z B Z la ZlC ZD / Z B Zeq = [( Z D/ Z lc )// Z B] Z la Ė İ Zeq = [( Z D/ Z lc )// Z B] Z la Z eq Z eq α Ė Z eq = α İ İ = αė Z eq Ė Z eq = = αi Nei sistemi Simmetrici ed Equilibrati basta studiare il cirucito equivalente di una sola fase (di solito la ) e le correnti nelle altre fasi sono immediatamente determinate dalla conoscenza della sequenza (pe diretta): İ = Ė/ Z eq İ = α İ e İ = αi Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 6 di

19 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: correnti in circ originale Le correnti appena ricavate sono quelle del circuito monofase equivalente Per determinare le correnti effettive occorre rifarsi al circuito originale sapendo che İil = İif e j π 6 : V l l l Correnti nel sistema di generatori originali a : İf İf V İf V İl İl İl Correnti nel carico originale a : f ZD ZD f f ZD İ l = İ İ l = İ cme İ l = α İ l = İ l = αil cme l = α l l = αi l Z B Z B Z lc Z D / İ f = İl e j π 6 İ f = İl e j π 6 İ f = İl e j π 6 = f = f = f = l e j π 6 l e j π 6 l e j π 6 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 7 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati: rappresent fasoriale Rappresentiamo sul piano di Gauss tutte le grandezze relative al generatore originale asse immag V = α V <-----Fasori-----< >-----Sequenza-----> Ė = V e j π 6 İ f ϕ İ l İ l ϕ V İ f V V asse reale Ė = V e j π 6 V İ f ϕ Ė = V e j π 6 İ l V = α V Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 8 di

20 POTENZA NEI SISTEMI SIMMETRICI ED EQUILIBR Potenza nei sistemi Simmetrici ed Equilibrati Ė İ Z Supponendo ( ) Z = R jx (ϕ = arctan X ) e generatori monofase (derivanti da una R terna simmetrica diretta), si ha: Ė Ė İ Z Z İ = Ė Z İ = Ė Z İ = Ė Z i (t) = I M sin(ωt ϕ) i (t) = I M sin(ωt π ϕ) İ i (t) = I M sin(ωt 4π ϕ) La potenza istantanea erogata dai generatori monofase vale: p (t) = e (t) i (t) =E f I f cosϕ p (t) = e (t) i (t) =E f I f cosϕ p (t) = e (t) i (t) =E f I f cosϕ potenza cost E f I f cos(ωt ϕ) E f I f cos(ωt π ϕ) E f I f cos(ωt 4π ϕ) potenza fluttuante Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 9 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Potenza nei sistemi Simmetrici ed Equilibrati İ Riunendo i conduttori di ritorno a formare un sistema trifase a or 4 fili, si ha: Ė Z İ İ İ = İ İ = İ Ė N conduttore neutro: İn = Ė İ İ La potenza istantanea erogata dal generatore trifase vale: Z n Z la corrente di due fasi ritorna al generatore attraverso la terza fase (anche in presenza del 4 filo (neutro) perchè sistema equilibrato) p(t) = p (t) p (t) p (t) = E f I f cosϕ E f I f [cos(ωt ϕ) cos(ωt π ϕ) cos(ωt 4π ] ϕ) }{{} terna simmetrica terna pura ( istante per istante ) [ ] = p(t) = E f I f cosϕ = costante t R Questo risultato vale qualsiasi sia il tipo di collegamento tra le fasi del generatore e del carico ed è dovuto soltanto alla simmetria delle tensioni ed all equilibrio delle correnti Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 4 di

21 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi Simmetrici ed Equilibrati: potenza attiva P La POTENZA ATTIVA è definita come la somma delle potenze attive delle fasi P = P P P = E f I f cosϕ Usando le grandezze di linea: colleg a : E f = V l I f = I l P = V l I l cosϕ P = V l I l cosϕ colleg a : E f = V l I f = I l I P = V l l cosϕ P = V l I l cosϕ Sistemi Simmetrici ed Equilibrati: potenza reattiva Q La POTENZA REATTIVA è definita come la somma delle potenze reattive dei circuiti monofasi equivalenti Q = Q Q Q = E f I f sinϕ or Q = V l I l sinϕ NB: la potenza reattiva trifase perde il legame con gli aspetti fisici del sistema perchè è la somma dei valori massimi (delle potenze reattive istantanee dei relativi circuiti monofase) che avvengono in istanti di tempo diversi Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 4 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi Simmetrici ed Equilibrati: potenza apparente S La POTENZA APPARENTE è definita come la radice quadrata della somma dei quadrati della potenza attiva P e della potenza reattiva Q S = P Q In termini di tensione e corrente: S = E f I f or S = V l I l Sistemi Simmetrici ed Equilibrati: fattore di potenza (fdp or cosϕ) Il FATTORE DI POTENZA è definito come il coseno dell angolo di cui occorre ruotare la stella dei fasori delle correnti, rispetto a quella dei fasori delle tensioni, affinchè la potenza attiva del sistema sia massima si può dimostrare che tale massimo si ha quando: cosϕ = cos ( arctan ( Q P )) or, nei SimmEquil, cosϕ = cos ( arctan ( X R )) Sistemi Simmetrici ed Equilibrati: potenza complessa S Uso della potenza complessa: S = Ė f İ f = V l İ l ej π 6 = P jq Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 4 di

22 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Potenza nei Sistemi Simmetrici ed Equilibrati: Sintesi POTENZA ATTIVA: P = E f I f cosϕ P = V l I l cosϕ POTENZA REATTIVA: Q = E f I f sinϕ Q = V l I l sinϕ POTENZA APPARENTE: S = P Q S = E f I f S = V l I l FATTORE DI POTENZA: ( ( )) ( ( )) cosϕ = cos arctan Q cosϕ = cos arctan X P R POTENZA COMPLESSA: S = Ė f İ f = V l İ l ej π 6 = P jq Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 4 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Misura della Potenza nei sistemi Simmetrici ed Equilibrati Sistema a 4 fili Ė Generatori a Sistema a fili Ė İl A W Ė İl V Ė İl n n İl A W Carichi a Nei sistemi trifase Simmetrici ed Equilibrati a or 4 fili, sono sufficienti soli strumenti per misurare tutti i parametri di potenza: Amperometro (lettura=i a ) Voltmetro (lettura=v v ) Wattmetro (lettura=p w ) Combinando insieme le letture degli strumenti (considerati ideali), si ottiene: ( ) P w = V f I cos V f, I P = P w Ė Ė V İl V v = V l I a = I l S = V v I a V V V İl R p n R p R p ZD ZD ZD Generatori ( or ) Carichi ( or ) Potenza reattiva Q = S P fdp ( ( )) cosϕ = cos arctan Q P Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 44 di

23 IL CAMPO MAGNETICO ROTANTE Dimostrazione dei vantaggi nell uso dei sistemi trifase A valle dello studio dei sistemi Simmetrici ed Equilibrati e della potenza trifase, è possibile dare una breve dimostrazione dei motivi per i quali i sistemi trifase hanno avuto maggiore diffusione rispetto ad altri tipi di sistemi Nello specifico vediamo la possibilità di creare il campo magnetico rotante usando una terna di correnti trifase e la riduzione del volume di rame (nei sistemi trifase rispetto a quelli monofase) nel trasporto di una determinata potenza tra un punto ed un altro Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 45 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Campo magnetico H (t) prodotto dalla sola spira i(t) = I eff sin ωt i(t) t t = ms t = 5 ms t = ms t = 5 ms ā n c H dl = N i(t) H (t)= N i (t) ā n = H max sin ωt ā l }{{} n H (t) = N i (t) N I = eff l l H (t) = N i (t) = l ā n i (t) = t t = ms t = 5 ms t = ms t = 5 ms i(t) ā n i (t) t = 5 ms i (t) = t = ms t = 5 ms t = ms t Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 46 di

24 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Campo magnetico H (t) prodotto dalla sola spira i(t) = i(t) t t = ms t = 5 ms t = ms t = 5 ms ā n c H dl = N i(t) H (t) = N i (t) = l H (t)= N i (t) ā n = H max sin(ωt π l ) ā n H (t) = N i (t) = l ā n i (t) = t t = ms t = 5 ms t = ms t = 5 ms i(t) ā n i (t) t = 5 ms t = ms t = 5 ms i (t) = I eff sin(ωt π ) t t = ms Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 47 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Campo magnetico H (t) prodotto dalla sola spira i(t) = i(t) t t = ms t = 5 ms t = ms t = 5 ms ā n c H dl = N i(t) H (t) = N i (t) = l H (t) = N i (t) = l H (t)= N i (t) ā n = H max sin(ωt 4π l ) ā n ā n i(t) = I eff sin(ωt 4π ) t t = ms t = 5 ms t = ms t = 5 ms i(t) ā n i (t) t = 5 ms i (t) = t = ms t = 5 ms t = ms t Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 48 di

25 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Campo magnetico rotante (t ms) i(t) = I eff sin ωt i(t) t t = ms t = 5 ms t = ms t = 5 ms ā n H ris (t) = H (t) H (t) H (t) H(t) = H max sin ωt ā n H max sin(ωt π ) ā n H max sin(ωt 4π ) ā n H ris (t) = H max e j(ωt π ) i (t) = I eff sin(ωt 4π ) t t = ms t = 5 ms t = ms ā n t = 5 ms i(t) ā n i (t) = I eff sin(ωt π ) i (t) t = 5 ms t = ms t = 5 ms t t = ms Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 49 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Campo magnetico rotante (t 98 ms) i(t) = I eff sin ωt i(t) t t = ms t = 5 ms t = ms t = 5 ms ā n H ris (t) = H (t) H (t) H (t) H(t) = H max sin ωt ā n H max sin(ωt π ) ā n H max sin(ωt 4π ) ā n H ris (t) = H max e j(ωt π ) i (t) = I eff sin(ωt 4π ) t t = ms t = 5 ms t = ms ā n t = 5 ms i(t) ā n i (t) = I eff sin(ωt π ) i (t) t = 5 ms t = ms t = 5 ms t t = ms Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 5 di

26 V Ė Ė Ė V V V ZD ZD ZD VANTAGGIO: RIDUZIONE DEL VOLUME DI RAME Ulteriore vantaggio dei sistemi trifase: risparmio di volume di rame Per dimostrare un ulteriore vantaggio nell uso dei sistemi trifase rispetto a quelli monofase, stimiamo, per i due diversi sistemi, il volume di rame necessario per il trasporto di una determinata potenza P da un generatore ad un carico (con un dato cosϕ) posti ad una distanza l Fissato il valore V della tensione di esercizio, ipotizziamo una perdita di potenza (P j ) per effetto Joule sulla linea pari al % di P circuito monofase circuito trifase (a fili simmequil) l Ė l İm Ė İt ρ cu, s m Ė ρ cu, s t Ėm ZD İt ZD V ZD Generat monofase İm Carico V İt Generatore ( or ) Carico ( or ) ZD Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 5 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase circuito monofase circuito trifase (a fili simmequil) l l İm İt Ėm ρcu, sm ZD vol cum = l s m ρcu, st İt vol cut = l s t Generat monofase İm Carico l R m = ρ cu s m = ρ cu l s m R m P j = P = R m Im R m = P I m P = V I m cosϕ I m = P Vcosϕ s m = ρcu l P (Vcosϕ) Sostituendo nella formula del volume, si ha: vol cum = 4 ρ cu l P (Vcosϕ) İt Generatore ( or ) Carico ( or ) R t = ρ cu l s t = ρ cu l s t R t P j = P = R t It R t = P I t P = P VI t cosϕ I t = Vcosϕ s t = ρcu l P ( Vcosϕ) Sostituendo nella formula del volume, si ha: vol cut = ρ cu l P (Vcosϕ) vol cut vol cu m = = risparmio del 5% di rame 4 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 5 di

27 CARATTERIZZAZIONE CARICHI TRIFASE Caratterizzazione dei carichi trifase Supponiamo di avere un carico trifase identificato dai dati di targa (i carichi di questo tipo sono considerati sempre equilibrati di solito i valori di tensione e corrente sono di linea) Vediamo come sia possibile ricavare un sistema di impedenze equivalenti del carico carico trifase generico n Z Z Z or n Z Z Z carico trifase equivalente Sist a 4 fili coll a Sist a fili coll a or Dati di targa: P n V n cosϕ or P n V n Q n ( ( { })) cos arctan Qn P n Indipendentemente dal tipo di collegamento, si ha: P n = V n I n cosϕ Z = V f I f Z = Z (cosϕ j sinϕ) ( Z = Z ) = Se : V f = V l I f = I l Z = V In = Pn l Vncosϕ = V n cosϕ Il P n Z = V n cos ϕ P n j V n cosϕsinϕ P n Se : V f = V l I f = I l Z = Vl In = Pn Vncosϕ = V n cosϕ I l P n Z = V n cos ϕ P n j V n cosϕsinϕ P n Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 5 di TEOREMA DI RECIPROCITÀ Teorema di reciprocità Per affrontare lo studio dei sistemi trifase DISSimmetrici e Squilibrati sono utili alcuni risultati che discendono dal Teorema di Reciprocità delle reti elettriche Tale teorema, di validità generale, può essere utilizzato per la determinazione di circuiti equivalenti Introduzione Presa una rete elettrica qualsiasi (per comodità in regime sinusoidale), la scrittura delle equazioni con il Metodo delle Correnti di Maglia (MCM) porta ad un sistema di equazioni che, in forma matriciale, è del tipo: V = Z İ Se si usa il Metodo delle Tensioni Nodali, il sistema di equazioni è invece: İ = Ȳ V Se la rete elettrica è lineare e priva di generatori pilotati, la matrice dei coefficienti è simmetrica e si ha: Z hk = Z kh e Ȳ hk = Ȳkh Una rete descritta da equazioni la cui matrice dei coefficienti ha questa proprietà è detta RETE RECIPROCA e vale il seguente teorema: Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 54 di

28 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Teorema di reciprocità (con generatore di tensione) Se un generatore ideale di tensione* v(t), inserito nel ramo k di una rete elettrica, produce una corrente i(t) in un ramo h, lo stesso generatore, inserito nel ramo h con polarità concorde con la corrente, produce nel ramo k la stessa corrente i(t) di verso concorde con la polarità del generatore di tensione (* v(t) unico!!!) v k (t) rete linerare e priva di generatori pilotati i h (t) i k (t) i k (t) rete linerare e priva di generatori pilotati v h (t) v k (t) Teorema di reciprocità (con generatore di corrente) Se un generatore ideale di corrente* j(t), inserito nel ramo k di una rete elettrica, produce una tensione v(t) tra i morsetti aperti di un ramo h, lo stesso generatore, inserito nel ramo h con polarità concorde con la tensione, produce tra i morsetti aperti del ramo k la stessa tensione v(t) di verso concorde con la polarità del generatore di corrente (* j(t) unico!!!) j k (t) rete linerare e priva di generatori pilotati v k (t) v h (t) v k (t) rete linerare e priva di generatori pilotati j h (t) j h (t) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 55 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sintesi sul teorema di reciprocità e sulle reti reciproche (nel dominio dei fasori) In una rete reciproca, usando un generatore di tensione, vale: Ȳ t hk = İh V k = İk V h = Ȳ t kh In una rete reciproca, usando un generatore di corrente, vale: Z t hk = V h İk = V k İ h = Z t kh Ȳ t hk = Ȳ t kh Z t hk = Z t kh ammettenza di trasferimento : mette in relazione l effetto (corrente) in un ramo prodotto da una causa (tensione) in un altro ramo impedenza di trasferimento : mette in relazione l effetto (tensione) ai morsetti di un ramo aperto prodotto da una causa (corrente) in un altro ramo Teorema di reciprocità: commenti e precisazioni La reciprocità vale solo per una corrente in risposta ad un generatore di tensione e per una tensione in risposta ad un generatore di corrente NON vale, invece, per tensione in risposta a gen di tensione nè per corrente in risposta a gen di corrente Se la rete contiene altri generatori e/o ha condizioni iniziali, l effetto (corrente /tensione) in risposta alla causa (gen di tensione/gen di corrente) deve essere considerato come variazione della grandezza prodotta attraverso l uso del teorema di sovrapposizione degli effetti (facendo agire singolarmente i generatori della rete) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 56 di

29 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Equivalenza tra reti () Il Teorema di Reciprocità facilita il calcolo di reti equivalenti Per verificare la sua utilità, svolgiamo prima un esercizio, usando il metodo classico per ricavare una rete equivalente di una rete data Rete originale R 5 İ V = (R R R ) İ Rİ R İ V = (R R R 4 ) İ Rİ R İ V İ R R R İ V = (R R R 5 ) İ R İ R İ R R 4 dalla a : İ = R R İ R R R 5 İ R R R 5 a e a : V = Z Z { ( }} ) {{ R ( }} ) { R R R R R İ R İ R R R 5 R R R 5 ) ( ) R R R İ R R R İ R R R 5 R R R 5 }{{}}{{} ( V = R Z Z V V = Z Z Z Z İ İ Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 57 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Equivalenza tra reti () Inventiamo ora una nuova rete ed imponiamo che sia equivalente a quella originale: Rete equivalente Z a V = ( Za Z ) b İ Z b İ V = ( Z ) b İ Z = b İ V İ Z b İ V V ( Za V = Z ) b Z b Z b ( Z ) b İ İ Imponendo l equivalenza tra questa matrice e quella della rete originale, si ha: ( Za Z ) b Z b Z b ( Z ) = Z b Z Z Z = Z a = Z Z b = R R R R R R R R 5 Z b = Z = Z R R = R R R R 5 Z c = Z Z b = R R 4 R R R R R R 5 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 58 di

30 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Equivalenza tra reti: applicazione teorema di reciprocità Se sfruttiamo i risultati del teorema di recprocità, possiamo ricavare gli elementi Z, Z e Z = Z della matrice del sistema di equazioni risolutive tramite delle prove (se tali prove sono effettuate in laboratorio occorre usare un Voltmetro, un Amperometro ed un Fasometro): V = Z İ Z İ V = Z İ Z İ Z = V Z = İ İ V = = İ İ Z = V Z = = İ İ V = İ İ = İ Rete orig V İ R R5 İ R R İ = İ Rete orig İ R R5 İ R R İ = V Rete orig R İ = R5 İ R R İ V İ R R4 R R4 R R4 = (R R R 5 )İ R İ İ = R (R R R 5 ) İ V = (R R R )İ R İ R V = (R R R )İ R R R 5 Z = V İ = R R R R R R R 5 = (R R R 5 )İ R İ İ = R (R R R 5 ) İ V = R İ Rİ R V = ( R R)İ R R R 5 Z = V = R R R İ R R R 5 = (R R R 5 )İ R İ R İ = (R R R 5 ) İ V = (R R R 4 )İ R İ R V = (R R R 4 )İ R R R 5 Z = V İ = R R R 4 R R R R 5 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 59 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Equivalenza per reti trifase Il numero minimo di elementi circuitali per la costruzione di una rete equivalente non è casuale Si può dimostrare che, data una rete (lineare e passiva) con n porte, essa può essere descritta compiutamente (agli effetti esterni) con un numero di elementi (impedenze o ammettenze) pari a n Se la rete è reciproca il numero di elementi scende a n(n) Esempio precedente (rete reciproca): n = () = impedenze Nel caso dei sistemi trifase occorre distinguere i sistemi a fili da quelli a 4 fili: V İ V İ Sistema a fili: rete lineare, passiva, reciproca n = () = impedenze V İ V İ V Sistema a 4 fili: İ rete lineare, passiva, reciproca n = () = 6 impedenze Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 6 di

31 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Equivalenza per reti trifase (a 4 fili) Partiamo da un sistema trifase generico a 4 fili (con un numero di impedenze maggiore di 6) e proviamo a ricavare una rete elettrica trifase, equivalente alla prima, ma con solo 6 impedenze/ ammettenze Prima però, supponendo note le correnti nelle porte, e, scriviamo un sistema di equazioni con il Metodo delle Tensioni Nodali alla rete orginale (riferimento: nodo ): İ İ İ = Ȳ V Ȳ V Ȳ V Ȳn V n İ = Ȳ V Ȳ V Ȳ V Ȳn V n İ = Ȳ V Ȳ V Ȳ V Ȳn V n V V V İ 6 7 rete lineare, passiva, reciproca = Ȳ4 V Ȳ4 V Ȳ4 V Ȳ4n V n = Ȳn V Ȳn V Ȳn V Ȳnn V n Ricavando V 4, V5,, V n dalle ultime equazioni (in funzione di V, V, e V ) e sostituendo nelle prime equazioni si ottiene il sistema risolutivo relativo alle porte scelte: İ = Ȳ V Ȳ V Ȳ V İ = Ȳ V Ȳ V Ȳ V İ = Ȳ V Ȳ V Ȳ V Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 6 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Equivalenza per reti trifase (a 4 fili) Inventiamoci ora una rete trifase, con solo 6 impedenze/ammettenze, e, dopo aver scritto le equazioni con il MTN, imponiamo che sia equivalente a quella originale V İ V İ V İ ȲA ȲB ȲD ȲE ȲC ȲF İ = (ȲA ȲD ȲF ) V (ȲD) V (ȲF ) V İ = (ȲD) V (ȲB ȲD ȲE ) V (ȲE ) V İ = (ȲF ) V (ȲE ) V (ȲC ȲE ȲF ) V Uguagliando i singoli elementi di questo sistema con quello della rete originale, si ha: Ȳ A ȲD ȲF = Ȳ Ȳ B ȲD ȲE = Ȳ Ȳ C ȲE ȲF = Ȳ ȲD = Ȳ = Ȳ ȲF = Ȳ = Ȳ ȲE = Ȳ = Ȳ dalle quali si ricavano i valori dei singoli elementi circuitali (in termini di ammettenze o impedenze) che costituiscono la rete equivalente: Ȳ A ȲB ȲC ȲD ȲE ȲF or ZA = Ȳ A Z B = Ȳ B Z C = Ȳ C Z D = Ȳ D Z E = Ȳ E Z F = Ȳ F Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 6 di

32 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Equivalenza per reti trifase (a 4 fili) V İ V İ V İ ȲA ȲB ȲC ȲD ȲE ȲF <-----equivalenti-----> V = İ Ȳ Ȳ Ȳ V Z a İ Z ab İ Z ac İ İ = Ȳ Ȳ Ȳ V = Z ab İ Z b İ Z bc İ V V İ Ȳ Ȳ Ȳ = Z ac İ Z bc İ Z c İ V V İ Z Z Z Osservaz finale: İ Z = Ȳ = Ȳ V V = Z Z Z İ ma V Z Z Z Z İ hk Ȳ hk Ȳ İ = Ȳ Ȳ V V = Ȳ İ V = Z İ V İ V İ V İ Zab Zbc Za Zb Zac Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 6 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Osservazioni sull equivalenza per reti trifase a 4 fili Data una rete trifase generica (a 4 fili), essa è equivalente ad una rete con 6 solo impedenze or ad una con impedenze mutuamente accoppiate Ovviamente vale anche il contrario: una rete a 4 fili con impedenze mutuamente accoppiate è equivalente ad una rete con 6 impedenze senza mutui accoppiamenti NB: l equivalenza è di tipo matematico Il circuito equivalente potrebbe NON essere fisicamente realizzabile con solo elementi passivi reali V İ V İ V İ rete lineare, passiva, reciproca V İ V İ V İ ȲA ȲB ȲD ȲE ȲC ȲF V İ V İ V İ Zab Zbc Za Zb Zac Anche in questo caso i singoli elementi Ȳ hk della matrice Ȳ possono essere calcolati tramite delle prove sul circuito originale Per esempio: V İ İ V = Ȳ = İ Ȳ V V = V = İ Ȳ V = V = V = İ V = V = V = İ V = 6 7 rete lineare, passiva, reciproca Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 64 di

33 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Equivalenza per reti trifase (a fili) Nei sistemi a fili (con un numero di impedenze maggiore di ), la riduzione ad un circuito equivalente con solo impedenze/ ammettenze avviene molto semplicemente attraverso passaggi serie/parallelo or / La necessità di ricorrere al metodo descritto in precedenza per la definizione di un circuito equivalente si presenta solo quando nella rete originale vi sono impedenze mutuamente accoppiate Per questo caso ricaviamo un circuito equivalente İ V İ İ V İ İ Z ab Z bc Z a Z b Z c Z ac {}}{ V = ( Z a Z {}}{ b Z ab ) İ ( Z b Z ab Z bc Z ac ) İ Z Z V = ( Z b Z ab Z bc Z ac ) İ ( Z c Z b Z bc ) İ }{{}}{{} Z Z Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 65 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Equivalenza per reti trifase (a fili) Nei sistemi a fili (con un numero di impedenze maggiore di ), la riduzione ad un circuito equivalente con solo impedenze/ ammettenze avviene molto semplicemente attraverso passaggi serie/parallelo or / La necessità di ricorrere al metodo descritto in precedenza per la definizione di un circuito equivalente si presenta solo quando nella rete originale vi sono impedenze mutuamente accoppiate Per questo caso ricaviamo un circuito equivalente İ V İ İ V İ İ Z ab Z bc Z a Z b Z c Z ac V V Osservazione su passaggi / : = Z Z Z Z İ İ V = ( Z Z )İ Z İ V = Z İ ( Z Z )İ con: Z = Z Z Z = Z Z Z = Z Z MCM ( ) : V = Z İ Z V = Z Z İ İ = Ȳ V MTN ( ) : Ȳ = Z Z = Ȳ < equivalenti > < equivalenti > V V İ İ İ Ȳ Ȳ Ȳ İ V V < > İ İ İ İ Z Z Z Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 66 di

34 SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI E SQUILIBRATI Sistemi DISsimmetrici e Squilibrati: alcune proprietà Nei sistemi a fili (collegamento dei generatori e dei carichi a or ): La terna delle correnti di linea è sempre PURA: İ l İl İl = Il sistema delle tensioni è univocamente determinato da tensioni di fase ( V, V, V ) o da tensioni di linea ( V V = V ) Nei sistemi a 4 fili (almeno un generatore ed un carico sono a e collegati con 4 filo): Le terne delle tensioni di fase e quelle delle correnti di linea sono SPURIE: V V V İ l İl İl = İn La terna delle tensioni di linea è sempre PURA: V V V = Il sistema delle tensioni è univocamente determinato da tensioni di cui almeno deve essere di fase Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 67 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi DISsimmetrici e Squilibrati: altre definizioni V V V Vn Vn Z Z Z Vn TENSIONI STELLATE: le tensioni Vn, Vn, Vn, tra ciascun conduttore di una linea (di tensioni concatenate V, V, V ) ed il centro stella n di impedenze generiche, Z, Z, Z, derivate dalla linea stessa Sul piano di Gauss: asse immag n Osservazione generale: fissate le tensioni di linea, al variare delle impedenze si hanno centri stella ed tensioni stellate V n V n = V n V n = = V V n V n = V n V n = = V V n V n = V n V n = = V V V n V n n 8 95 V n 5 V n V n 4 5 V n n Vn V n V n 5 45 V n V asse reale Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 68 di

35 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi DISsimmetrici e Squilibrati: altre definizioni V V V Z İ Vb Z İ b Vb Z İ Vb Osservazione: le tensioni stellate baricentriche costituiscono una terna PURA: V b = Z İ V b = Z İ V b = Z İ V b V b V b = Z PdK = (İ İ İ) = BARICENTRO ELETTRICO: il particolare centro stella ( b, G or ) ottenuto derivando dalla linea impedenze uguali: Z = Z = Z = Z Il baricentro elettrico coincide con il baricentro geometrico del triangolo delle tensioni di linea Le tensioni Vb, Vb, Vb sono dette tensioni stellate baricentriche V V b 5 asse immag V b b Vb V V asse reale Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 69 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi DISsimmetrici e Squilibrati: altre definizioni V V V V Vb Z Vb Z Vb Z b n asse immag 4 V V n b V V n b V 45 Vbn V V n bn b Vb Z Vn Vb Vb Z Vb Z asse reale La tensione tra il baricentro elettrico b ed un generico centro stella n vale: Dimostrazione: Vbn = V n V b V bn = V n V b V bn = V n V b Vbn = V n V n V n V bn = V n V n V n ( V b V b V b ) Noti i fasori delle tensioni concatenate, le tensioni baricentriche si ricavano facendo coincidere il centro stella n con i vertici del triangolo Si ha: n : V b = V V V n : V b = V V V ( V b = V b ) = Vb = V V ( V b = V b ) = Vb = V V n : V b = V V V ( V b = V b ) = Vb = V V Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 7 di

36 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi DISsimmetrici e Squilibrati: generatori equivalenti Sfruttando le definizioni precedenti ed il principio di sostituzione, le tensioni ai terminali di un sistema trifase dissimmetrico e squilibrato possono essere rappresentate (agli effetti esterni) da un insieme di generatori equivalenti In particolare: asse immag V V Vb b Vb Vb V Ė V b Ė V b b Ė V b asse reale < or 4 fili----- V V V - fili-> Ė V Ė V ---- fili--> fili > Ė V Ė V Ė V Ė V Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 7 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi DISsimmetrici e Squilibrati: definizione del problema generale Note le tensioni concatenate/stellate ad inizio linea, le impedenze dei carichi e le caratteristiche geometriche e fisiche della linea, ricavare le correnti nel generatore, nella linea ed in tutti i carichi Procedimento generale: ricavare un sistema di generatori equivalenti ad inizio linea determinare un circuito equivalente della linea ridurre il complesso dei carichi ad un carico unico equivalente 4 calcolare la corrente nella linea e nel generatore 5 calcolare la tensione ai capi dei singoli carichi del circuito orginale 6 calcolare la corrente nei singoli carichi del circuito orginale Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 7 di

37 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a fili Prendiamo un sistema (generico) trifase DISSimmetrico e Squilibrato a fili e supponiamo di poter misurare con voltmetri le tensioni concatenate ad inizio linea Supponiamo inoltre note le impedenze dei carichi (se vi sono carichi mutuamente accoppiati li riduciamo a carichi equivalenti senza mutuo accoppiamento) Supponiamo, infine, noto il circuito equivalente delle linee (vedremo successivamente come ricavarlo) İl Z l İ l Z l V V V İ l İ l Zl Zl İ B İ B İ B İ l İ l Z l Z l Z c f f Z c f Z c Z B Z B Z B s Per l analisi di questo tipo di sistemi possiamo usare due diversi metodi: il metodo classico basato su riduzioni / e serie/parallelo o il metodo generale basato sull uso delle matrici Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 7 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a fili: metodo classico Innanzitutto ricaviamo un sistema equivalente di generatori: fissiamo a fase nulla una delle tensioni misurate dai voltmetri (pe V = V e j ) e usiamo il teorema di Carnot per ricavare l angolo α e, di conseguenza, i valori dei rimanenti fasori asse immag V α Ė Ė b V Ė V α = V V V V V asse reale Tensioni concatenate: V = V V = V (cos α j sin α) V = ( V V ) Tensioni baricentriche: Ė = V V Ė = V V Ė = V V = = b V V V Ė Ė Ė Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 74 di

38 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a fili: metodo classico Riduciamo il carico e le linee ad un sistema di sole impedenze in serie (tramite trasformazioni / e serie/parallelo) in modo da poter usare il Teorema di Millman İl Zl İ l Z l İl Zl İ l Z l İB f İB İl Zl İ l Z l f İl Zl İ l Z l İl Zl İB İB İ l Z l f İl Zl İB İB İ l Z l ZB ZB ZB ZB ZB ZB serie İl Zl s İ l > s Zl İl > İ l Zs İl Zl İB İ l Z c İl Zl Z b İB Z b İB Z b İ l Z c İl Zl İB İ l Zs s Z c parallelo < İl Zl Osservazione: V ss non si può fare parallelo fase x fase trasformazione / e poi parallelo ZB İB İ l İB ZB ZB s Zs Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 75 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a fili: metodo classico L intero circuito è stato ridotto a due impedenze in serie per ciascuna fase a questo punto, introducendo il sistema equivalente dei generatori, possiamo risolvere il circuito tramite la formula di Millman V İl Zl Zeq V = Z l Z eq V Z l Z eq V Z l Z eq Z l Z eq Z l Z eq İ l Zl Zeq V İ l Zl Zeq İ l = V V Z l Z eq İ l = V Z l Z eq İ l = V V Z l Z eq Note le correnti di linea İl, İl, e İl, è possibile, a ritroso, calcolare le tensioni ai capi dei singoli carichi e quindi le relative correnti assorbite Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 76 di

39 < circuitazione----- < circuitazione----- < circuitazione Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a fili: metodo classico V V İl Zl İl Zl İl Zl İB V V V V İB circuitazione ----> İB İ l İ l İ l Z l Z l Z l V V V V f f f V = V Z l İ l Z l İ l V = V Z l İ l Z l İ l V s = V Z B V Z B Z B Z B Z B ZB ZB ZB = s İ B = V V s Z B İ B = V s Z B İ B = V V s Z B İ l = İl İB İ l = İl İB İ l = İl İB V = V Z li l Z li l V = V Z li l Z li l Problema risolto f = V Z c f = V Z c f = V V Z c Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 77 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a fili: metodo matriciale Risolviamo ora lo stesso problema con un metodo più generale basato sull uso delle matrici Tale metodo, scarsamente utilizzato per i sistemi a fili, è di notevole aiuto per la soluzione dei sistemi trifase a 4 fili Esso si basa sulla scrittura di un sistema di equazioni per ciascun singolo carico (o linea) e nella successiva combinazione di tali equazioni in un unico sistema risolutivo (Se i carichi sono a si usa MTN, se sono a si usa MCM) İ l İ l İ l İ l İ l V İ f V f f Per il carico C (a ), supponendo note le correnti İ l e İ l, e prendendo il nodo come riferimento, si ha: İ l İ l = Ȳ c Ȳ c Ȳ c Ȳ c V V con: Ȳ c = Z c Z c Ȳ c = Ȳ c = Z c Ȳ c = Z c Z c İ l Z l Per la linea Z l, supponendo note le tensioni concatenate V e V ad inizio ed a fine linea, si ha: V V İ l circuitazione > < circuitazione İ l Z l Z l V V V V = Z l Z l Z l Z l İ l İ l V V con: Z l = Z l Z l Z l l = Z = Z l Z l = Z l Z l Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 78 di

40 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a fili: metodo matriciale V İB circuitazione > İB < circuitazione İB V Per il carico B (a ), supponendo note le tensioni V e V, si ha: V V = Z b Z b Z b Z b İ B İ B con: Z b = Z B Z B Z b = Z b = Z B Z b = Z B Z B ZB ZB ZB s İl Zl Per la linea Z l, supponendo note le tensioni concatenate V a fine linea (quelle ad inizio linea sono note e pari ai generatori equivalenti del sistema), si ha: V İl V İl circuitazione > < circuitazione Zl Zl V V V V = Z l Z l Z l Z l İ l İ l V V con: Z l = Z l Z l Z l = Z l = Z l Z l = Z l Z l Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 79 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a fili: metodo matriciale Combiniamo ora i sistemi di equazioni scritti per ciascun singolo carico, cercando di ottenere un unico sistema risolutivo (per comodità usiamo le matrici in forma compatta): Poichè il numero di incognite è 5 e noi abbiamo 4 soli sistemi di equazioni, dobbiamo trovare un altro sistema per poter risolvere il problema il 5 sistema di equazioni è rappresentato dal PdK ai nodi,, e carico C: linea l : carico B: linea l: PdK : İ l = Ȳ c V () V = Z l İ l V () V = Z b İB () V = Z l İl V (4) İl = İ l İB (5) Manipolando questi insiemi di equazioni è possibile arrivare ad un unico sistema risolutivo che abbia come incongnite le correnti di linea İl e İl, e come termini noti le tensioni V e V dei generatori equivalenti del sistema trifase Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 8 di

41 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a fili: metodo matriciale İ l = Ȳ c V V = Z l İ l V V = Ȳ c İ l V = Z c İ l (in ) { V = Z l Z c } İ l V = Z l c İ l (in 5) İ l Ȳ = l c V İ l = Z l c V V = Z b İB İB = Z b V İB = Ȳ b V (in 5) V = Z l { İl V V = Z } l Z l cb İl V = Z eq İl İl = İ l İB (da e ) İl = Ȳ l c V Ȳ b V İl = Ȳ l cb V (in 4) V = Z l cb İl V Ȳ = l cb İl İl = Z eq V İ İl = Ȳ eq V l = İ l Ȳ eq Ȳ eq Ȳ eq Ȳ eq V V note İl e İl, a ritroso si ricavano tutte le altre grandezze incognite Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 8 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase - metodo matriciale: osservazioni sulle matrici La matrice Ȳ c è relativa al carico C nel collegamento a la matrice Z c = Ȳ c è relativa al carico C nel suo collegamento a l inversione della matrice Ȳ c non è altro che il passaggio / La matrice Z l c = Z l Z c rappresenta l operazione di serie tra il carico C a e la linea l la matrice Ȳ l c = Z l c è relativa all equivalente in serie del carico e della linea nella rappresentazione a La matrice Z b è relativa al carico B nel collegamento a la matrice Ȳ b = Z b è relativa al carico B nel suo collegamento a l inversione della matrice Z b non è altro che il passaggio / La matrice Ȳ l cb è relativa a tutti i carichi e le linee a valle dei nodi, e nel loro equivalente a la matrice Z l cb = Ȳ l cb è relativa a tali carichi nell equivalente a l inversione della matrice Ȳ l cb non è altro che il passaggio / La matrice Z eq = Z l Z l cb, ottenuta dalla serie dei carichi a valle dei nodi nodi, e e della linea l, è relativa all intero carico nella rappresentazione a la matrice Ȳ eq = Z eq è relativa all intero sistema nella sua rappresentazione equivalente a Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 8 di

42 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a 4 fili Prendiamo un sistema (generico) trifase DISSimmetrico e Squilibrato a 4 fili e supponiamo di aver già determinato un sistema di generatori equivalenti tramite le tensioni baricentriche Supponiamo inoltre note le impedenze dei carichi ed il circuito equivalente delle linee Z A Z B Z B Z B Z A Z A Z l Z c Z m Z l Z c Z l Z c Z m n L analisi di questo tipo di sistemi, a parte qualche caso particolare, viene effettuato in maniera semplice tramite il metodo generale basato sull uso delle matrici Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 8 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a 4 fili Prima di applicare il metodo, verifichiamo l eventuale possibilità di riduzione dei carichi tramite operazioni / o serie/parallelo Z Z Z Z l İl İ l l Z c İ l Z l İl l Z cm İ l Z l İl l Z c n Z m // Z c = Z cm carico B / Zm // Z B = Z Bm ZA // Z B = Z Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 84 di

43 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a 4 fili: metodo matriciale Applichiamo il metodo matriciale scrivendo un sistema di equazioni per i carichi e per la linea Supponendo note le correnti İl, İl, e İl, e prendendo il Z nodo n come riferimento, si ha: Z Z İ l Ȳ c Ȳ c Ȳ c V Z İl İ İ l c l İ l = Ȳ c Ȳ c Ȳ c (Equazioni già viste nell e- V sempio di applicazione del İ l teorema di reciprocità) İl İl n İ l l l Z c Z c İ l Ȳ c Ȳ c Ȳ c Ȳ c = Z c Z Ȳ Z c = Ȳ c = Z Ȳ c = Z c Z Ȳ Z c = Ȳ c = Z Ȳ c = Z c Z Ȳ Z c = Ȳ c = Z V Zl İl Zl İl Zl İl n n circuitazione > circuitazione > circuitazione > Per la linea Z l, supponendo note le tensioni stellate V a fine linea (quelle ad inizio linea sono note e pari ai generatori equivalenti del sistema), si ha: V Z l Z l Z l İ l V Z l = Z l V = Z l Z l Z l Z İ l V l = Z l con: Z V Z l Z l Z l l İ l V = Z l Z hk l = Z kh l = (con h k) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 85 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi trifase DISSimmetrici ed Squilibrati a 4 fili: metodo matriciale Combiniamo ora i sistemi di equazioni scritti per i carichi e per la linea (per comodità usiamo le matrici in forma compatta): Manipolando questi insiemi di equazioni è possibile arrivare ad un unico sistema risolutivo { carichi: İl = Ȳ c V () che abbia come incongnite le correnti di linea linea: V = Z l İl V İ l, İl e İl, e come termini noti le tensioni stellate V, V e V dei generatori equivalenti del () sistema trifase İl = Ȳ c V V = Ȳ c İl V = Z c İl (in ) V = Z l { İl V V = Z l Z c } İl V = Z eq İl İl = Z eq V İl = Ȳ eq V İ l İ l İ l = Ȳ eq Ȳ eq Ȳ eq Ȳ eq Ȳ eq Ȳ eq Ȳ eq Ȳ eq Ȳ eq V V V note İl, İl e İl, a ritroso si ricavano tutte le altre grandezze incognite Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 86 di

44 POTENZA NEI SISTEMI DISSIMMETRICI E SQUIL Potenza nei sistemi DISSimmetrici e Squilibrati Ė Ė İ Ė İ İ Z Z Z Supponendo impedenze generiche Z = R jx, Z = R jx,( e Z = R jx, Xi (ψ i = arctan )) e generatori monofase (di una terna R i dissimmetrica), si ha: İ = Ė La potenza istantanea erogata dai generatori monofase vale: Z İ = Ė Z İ = Ė Z i (t) = I M sin(ωt ψ ) i (t) = I M sin(ωt ψ ) i (t) = I M sin(ωt ψ ) p (t) = e (t) i (t) =E I cosϕ E I cos(ωt ψ ϕ ) p (t) = e (t) i (t) =E I cosϕ E I cos(ωt ψ ϕ ) p (t) = e (t) i (t) =E I cosϕ E I cos(ωt ψ ϕ ) potenza costante potenza fluttuante Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 87 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Potenza nei sistemi DISSimmetrici e Squilibrati İ Riunendo i conduttori di ritorno si ha: Ė Ė N Z conduttore neutro: İn İ Ė Z İ n Z - nei sistemi trifase a fili la corrente di due fasi ritorna al generatore attraverso la terza fase: İ İ = İ - nei sistemi a 4 fili la corrente delle fasi ritorna al generatore attraverso il neutro: İ İ İ = İn La potenza istantanea erogata dal generatore trifase vale: p(t) = p (t) p (t) p (t) = E I cosϕ E I cosϕ E I cosϕ [E I cos(ωt ψ ϕ ) E I cos(ωt ψ ϕ ) E I cos(ωt ψ ϕ )] Nei sistemi trifase DISSimmetrici e Squilibrati, la potenza fluttuante è diversa da zero ciò implica che tra i generatori ed i carichi, oltre ad un flusso di potenza costante nel tempo, esiste anche un flusso di potenza variabile nel tempo con frequenza doppia rispetto a quella della tensione e della corrente La potenza fluttuante è un parametro caratteristico dei sistemi dissimmetrici e squilibrati e può essere utilizzata anche per verificare il grado di squilibrio di una rete essa è nulla nei sistemi simmetrici ed equilibrati, ha ampiezza crescente con il grado di dissimmetria e squilibrio ed assume ampiezza massima se il sistema da trifase diventa monofase Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 88 di

45 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi DISSimmetrici e Squilibrati: parametri di potenza La POTENZA ATTIVA è definita come la somma delle potenze attive delle fasi P = P P P = E I cosϕ E I cosϕ E I cosϕ La POTENZA REATTIVA a è definita come la somma delle potenze reattive delle fasi Q = Q Q Q = E I sinϕ E I sinϕ E I sinϕ La POTENZA APPARENTE è definita come la radice quadrata della somma dei quadrati della potenza attiva P e della potenza reattiva Q S = P Q Ovviamente: S S S S Il FATTORE DI POTENZA è definito come il coseno dell angolo di cui occorre ruotare la stella dei fasori delle correnti, rispetto a quella dei fasori delle tensioni, affinchè la potenza attiva del sistema sia massima ( ( )) f dp or cosϕ = cos arctan Q P Ovviamente: P V l I l cosϕ, Q V l I l sinϕ, S ( ( )) V l I l e cosϕ cos arctan XR a NB: La potenza reattiva trifase perde il legame con gli aspetti fisici del sistema perchè è la somma di valori massimi che avvengono in istanti di tempo diversi Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 89 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi DISSimmetrici e Squilibrati: potenza complessa Continua a valere l uso della potenza complessa Per esempio, se si vuole calcolare la potenza erogata da un generatore trifase equivalente, si ha: sistemi a or 4 fili: S = S S S = Ėİ Ėİ Ėİ = P jq sistemi a fili: S = S S = V İ V İ = P jq Poichè la potenza fluttuante può essere usata per indicare il grado di dissimmetria e squilibrio di un sistema trifase, è possibile ricavare una formula per il calcolo della potenza fluttuante complessa (che, antitrasformata, permette di ricavare la potenza fluttuante istantanea): p fl (t) = E I cos(ωt ψ ϕ ) E I cos(ωt ψ ϕ ) E I cos(ωt ψ ϕ )= = E I sin(ωt ψ ϕ π ) E I sin(ωt ψ ϕ π ) E I sin(ωt ψ ϕ π ) vett rotante: S fl (t) = E I e j(ωtψ ϕ π ) E I e j(ωtψ ϕ π ) E I e j(ωtψ ϕ π ) fasore: S fl = S fl (t) t= = E I e j(ψ ϕ π ) E I e j(ψ ϕ π ) E I e j(ψ ϕ π ) (poichè ϕ h = α h ψ h ) Sfl = j (Ėİ Ėİ Ėİ) (nota S fl, antitrasformando si ha la p fl (ωt)) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 9 di

46 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Misura della potenza: indipendenza dal centro stella Dimostriamo, per un sistema generico a fili, l indipendenza della potenza dal centro stella: Ė asse immag İ l V s Ė Ė Ė P = E I l cosϕ E I l cosϕ E I l cosϕ } P = Real {Ė İl Ėİ l Ėİ l Scelto un altro centro stella generico S, si ha: s ϕ V ss V s Ė s V s ϕ Ė İ l İ l ϕ asse reale Ė = V s V ss Ė = V s V ss Ė = V s V ss Sostituendo: P = Real { ( V s V ss ) İ l ( V s V ss ) İ l ( V s V ss ) İ l } P = Real { Vs İ l V s İ l V s İ l V ss [İ il ] = (İ l İ l İ l) } P = Real { Vs İ l V s İ l V s İ l } Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 9 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Misura della potenza: metodo ARON ( fili) Poichè il centro stella è arbitrario, possiamo farlo coincidere con i vertici,, or del : Ė asse immag İ l Ė Ė Ė S Per esempio: S, si ha: V s = Vs = V Vs = V e V ss = Ė Ė = V s V ss Ė = V s V ss Ė = V s V ss V ϕ V s İ l ϕ 55 Ė s 9 75 s V ss ϕ Vs V s = V V İ l Ė asse reale Ė = V Ė Ė = V Ė Ė = V Ė } Sostituendo in: P = Real {Ė İl Ėİ l Ėİ l { si ha: P = Real ( V Ė) İ l ( V Ė) İ l ( V } Ė) İ l P = Real { V İl V İl V İl V ss [İ (İ l İ l l) İ } il ] = P = Real { V İ l V İ l } Nei sistemi a fili sono sufficienti soli wattmetri per misurare P VALE PER TUTTI I SISTEMI (SIMMEQ or DISSSQ)!! Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 9 di

47 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Misura della potenza: metodo ARON ( fili), S P = Real { V İ l V İ l } ( ) ( ) P = V I l cos V, I l V I l cos V, I l Ė Ė İl W Ė V V İl V ZD V V İl W ZD ZD Generatori ( or ) Carichi ( or ) P = P w P w (somma algebrica!!!) Ovviamente si può scegliere un nodo a comune diverso dal, per esempio or I collegamenti dei wattmetri sono i seguenti: Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 9 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Misura della potenza: metodo ARON ( fili), S P = Real { V İ l V İ l } ( ) ( ) P = V I l cos V, I l V I l cos V, I l Ė Ė Ė V V V İl W İl V W V ZD P = P w P w (somma algebrica) İl ZD ZD Generatori ( or ) Carichi ( or ) Misura della potenza: metodo ARON ( fili), S P = Real { V İ l V İ l } ( ) ( ) P = V I l cos V, I l V I l cos V, I l Ė Ė Ė V V V İl V İl W V ZD P = P w P w (somma algebrica) İl W ZD ZD Generatori ( or ) Carichi ( or ) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 94 di

48 Ė Ė Ė Elettrotecnica : Sistemi Trifase Misura della potenza: sistema a 4 fili Esempio : S n Esempio : S Ė İl W Ė İl W Ė İl W Ė İl Ė İl W Ė İl W Generatori a n n P = Real { Vn İ l V n İ l V n İ l P = P w P w P w Carichi a } Generatori a n W n P = Real { V İ l V İ l V n İ nl P = P w P w P wn Carichi a } Misura della potenza: numero di wattmetri necessari Il numero di wattmetri necessari per la misura della potenza (sistema qualsiasi) dipende dal numero di fili e dalla scelta del punto di riferimento La regola è la seguente: N wattmetri = N fili se punto di riferimento interno al sistema N wattmetri = N fili se punto di riferimento esterno al sistema Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 95 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Metodo Aron: sistemi Simmetrici ed Equilibrati (a fili) A valle della dimostrazione della invarianza della potenza rispetto al centro stella, riprendiamo brevemente il problema della misura della potenza nei sistemi Simmetrici ed Equilibrati a fili supponiamo di avere i due wattmetri sulle fasi e : V = α V İ l Ė Ė ϕ 5 asse immag V = V ϕ 4 5 ϕ İ l Ė Ė Ė = ϕ Ė İ l V = α V V ϕ ( V, I l ) = ϕ ( V, I l ) = ϕ asse reale V V V İl W V İl V İl W Generatori ( or ) Carichi ( or ) ( ) ( ) P w = V I l cos V, I l P w = V I l cos V, I l V = V = V = V l I l = I l = I l = I l P w = V I l cos (ϕ ) = = V l I l (cosϕ cos sinϕ sin ) = ( ) = V l I l cosϕ sinϕ P w = V I l cos (ϕ ) = = V l I l (cosϕ cos sinϕ sin ) = ( ) = V l I l cosϕ sinϕ Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 96 di ZD ZD ZD

49 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Metodo Aron: sistemi Simmetrici ed Equilibrati (a fili) P w = V l I l ( cosϕ sinϕ ) P w = V l I l ( cosϕ sinϕ ) SOMMA DIFFERENZA ( ) ( P w P w = V l I l cosϕ sinϕ ) V l I l cosϕ sinϕ = = V l I l cosϕ V l I l sinϕ V l I l cosϕ V l I l sinϕ = = P w P w = V l I l cosϕ = P = P w P w Vale sempre ( ) ( P w P w = V l I l cosϕ sinϕ ) V l I l cosϕ sinϕ = = V l I l cosϕ V l I l sinϕ = P w P w = V l I l sinϕ= Q = (P w P w ) V l I l cosϕ V l I l sinϕ = Solo SimmEq Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 97 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi DISSimmetrici e Squilibrati: sintesi su misura della potenza Sintetizziamo le modalità di misura della potenza attiva di un sistema trifase dissimmetrico e squilibrato: sistemi a fili: wattmetri inseriti su conduttori di linea e collegati al ( ) ( ) P = P w P w = V I l cos V, I l V I l cos V, I l sistemi a 4 fili: wattmetri inseriti sui conduttori di linea e collegati al neutro ( ) ( ) ( ) P = P w P w P w = V I l cos V, I l V I l cos V, I l V I l cos V, I l In questo tipo di sistemi NON è possibile misurare (con soli wattmetri) anche la potenza reattiva: Q (P w P w ) necessità di strumenti e metodi particolari Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 98 di

50 IL RIFASAMENTO NEI SISTEMI TRIFASE Sistemi Trifase: rifasamento Le motivazioni ed i vantaggi del rifasamento trifase sono identici a quelli visti nel caso monofase Riassumendo: si rifasa per ridurre il valore efficace della corrente sulla linea a parità di potenza sul carico vantaggi: - riduzione delle perdite per effetto Joule sulla linea - migliore sfruttamento della linea e del generatore che, a parità di potenza apparente e sezione dei conduttori, può alimentare un maggior numero di carichi - riduzione della caduta di tensione sulla linea - ecc ecc Dal punto di vista pratico, il rifasamento trifase viene effettuato tramite batterie di condensatori di tipo equilibrato con condensatori uguali sulle fasi, collegati a od a Nel caso di rifasamento totale di tutto il sistema a valle del generatore trifase, quest ultimo NON eroga potenza reattiva Attenzione!!!!: ciò non è vero, in generale, per ciascun generatore di fase della terna preso singolarmente Il calcolo della batteria di rifasamento si effettua con le stesse formule (energetiche) usate nel caso monofase: Q cond = P (tgϕ tgϕ r ), indipendentemente dal tipo di collegamento dei condensatori e dal tipo di sistema da rifasare (simmetrico ed equilibrato or dissimmetrico e squilibrato) nel caso in cui si voglia ricavare il valore della capacità C della batteria in termini di [µf ] è necessario, invece, distinguere sia il tipo collegamento, sia la tipologia di sistema da rifasare Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide 99 di Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi Trifase: rifasamento Caso : sistemi simmetrici ed equilibrati or carichi squilibrati ma alimentati da tensioni impresse simmetriche la capacità C è indipendente dalla tensione ai suoi capi C C Ė Zl Ė α Ė Zl or α Ė αė Zl αė - Q cond = ωc(vf V f V f ) V f =V f =V f = ωcvf C = P (tgϕtgϕ r ) ωv f - if colleg a : V f = V l C = - if colleg a : V f = V l C = Q cond ωv l Q cond Vl ) C = ω( Q cond ωv l = G c V = P (tgϕtgϕ r ) ωv l = P (tgϕtgϕ r ) (C ωv l = C ) f (tgϕtgϕ r ) ω V f Sebbene il valore della capacità sia indipendente dalla tensione ai suoi capi, il valore di tale tensione influenza il tipo di collegamento il costo dei condensatori, infatti, oltre al valore della capacità è legato anche alla tensione di isolamento in Bassa Tensione si preferisce il collegamento a perchè, seppur V = V, per la capacità si ha C = C al contrario, in Alta Tensione si preferisce il collegamento a perchè il costo dell isolamento è preponderante Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di

51 Elettrotecnica : Sistemi Trifase Sistemi Trifase: rifasamento Caso : sistemi dissimmetrici e squilibrati la capacità C dipende dalla tensione ai suoi capi C Ė Zl Ė Zl Ė Zl supponendo noti i valori efficaci delle tensioni concatenate ai morsetti della batteria, si ha: Q cond = ωc (V V V ) C = Q cond ω(v V V ) = P (tgϕtgϕ r ) ω(v V V ) poichè V V V la batteria dipende dal valore della tensione ai suoi capi necessità di un procedimento iterativo per il calcolo preciso della batteria: al passo si calcola la capacità C usando i valori di tensione concatenata ottenuti in assenza di rifasamento i valori di capacità così ottenuti si inseriscono nel sistema e si calcolano i nuovi valori di tensione concatenata ( passo) e quindi il nuovo valore di capacità C il processo termina quando la differenza percentuale C% = Cn C n C n è inferiore ad un certo valore prestabilito Tale procedura è solo teorica perchè, nei casi pratici, il valore di capacità ottenuta al passo è ampiamente accettabile (anche perchè le linee sono costruite per mantenere basse le V ai loro capi) Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica slide di