L Analisi della Varianza secondo più criteri

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1 Confronto fra più medie Statistica /11/2015 L Analisi della Varianza secondo più criteri Analogamente all analisi della varianza vista precedentemente concettualmente non cambia niente se invece di un criterio di classificazione ne adottiamo due o più 1

2 ANALISI VARIANZA AD UNA VIA: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di una variabile trattamenti (costituiti da 2 o più livelli o attributi). ATTRIBUTO PESO ALLA NASCITA DEI BOVINI SESSO NUMERO F 7 M 3 DISTRIBUZIONE SEMPLICE: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di una variabile. PESO ALLA NASCITA DEI BOVINI matricola PESO SESSO 1 40 F 2 40 M 3 47 F 4 50 M 5 40 F 6 50 F 7 38 F 8 38 F 9 47 M F 2 INTENSITÀ ATTRIBUTO

3 ANALISI VARIANZA AD PIÙ VIE: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di più variabili trattamenti, recinto di appartenenza, tempo, ecc. ecc. (costituito da 2 o più livelli o attributi). SESSO PESO TOTALE F M TOTALE DISTRIBUZIONE DOPPIA: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di due variabili. PESO ALLA NASCITA DEI BOVINI matricola PESO SESSO 1 40 F 2 40 M 3 47 F 4 50 M 5 40 F 6 50 F 7 38 F 8 38 F 9 47 M F 3

4 E., analogamente alla scomposizione dell analisi della varianza. Consiste nell attribuire una quota della Varianza totale di tutti i dati a sorgenti di variazione differenti e ben determinate Le varianze parziali così trovate vengono confrontate fra di loro per mezzo del solito test F Lo scopo è quello di aumentare n e ridurre nel contempo la varianza dell errore (denominatore del rapporto che porta al valore di F). 4

5 Le sorgenti di variazione (trattamenti ed altre) ovviamente devono essere decise a priori sulla base delle domande che il tecnico/ biologo/ veterinario/ ricercatore, vuole farsi! Si cerca di confrontare due gruppi di misure le più omogenee possibili che si diversificano solo per un singolo fattore di variazione, il trattamento che vogliamo studiare. Es. se vogliamo studiare l effetto di un trattamento farmacologico sul peso alla nascita dei bovini dobbiamo utilizzare solo i nati dello stesso sesso. 5

6 Si cerca di confrontare due o più gruppi di misure le più rappresentative della popolazione totale che si diversificano quindi per molti fattori di variazione oltre al trattamento che vogliamo studiare. Es. se vogliamo studiare l effetto di un trattamento farmacologico sul peso alla nascita dei bovini dobbiamo utilizzare sia i maschi che le femmine di più razze bovine. È necessario però che tutti i fattori di variazione vengano misurati o meglio è necessario mettersi in condizione di poter calcolare le varianze associate a tutte le fonti di variazione per poterle sottrarre alla varianza totale. 6

7 + la tesi Es: voglio studiare tre livelli A, B e C di una dieta per conigli in accrescimento utilizzando 18 soggetti: Anche volendo non riesco ad avere 18 conigli nati nello stesso giorno e figli della stessa madre e dello stesso padre! La variabilità aumenta (dalla genetica si sa che esiste un effetto materno e paterno e si sa che esiste un effetto stagionale)! Prendo 18 conigli nati lo stesso giorno da più madri e li sorteggio casualmente fra le 3 tesi (6 conigli per tesi). Prendo 3 conigli da ogni nidiata di 6 madri che hanno partorito lo stesso giorno e li sorteggio casualmente fra le 3 tesi (1 coniglio da ciascuna nidiata per ciascuna tesi). 7

8 Non tengo conto del fatto che i fratelli sono più simili fra di loro dei figli di madri diverse. Accetto che la variabilità aumenti Poiché so, o solo sospetto che ci sia un effetto familiare, ripartisco casualmente i figli di ciascuna madre (e di diversi padri) fra le diverse tesi. La completa randomizzazione, base di tutta l analisi statistica, non è più rispettata! La nidiata di provenienza non è più un fattore casuale ma l abbiamo trasformato in un fattore artificiale da valutare (misurare) rispetto alla variabilità normale esattamente come i trattamenti. Poiché il numero di conigli di ciascuna nidiata varia da 4 a 12 scelgo solo 3 conigli da ciascuna nidiata (scartando quello più piccolo della nidiata di IV perché sospetto potrebbe essere un soggetto non sano, analogamente scarto i minus e plus varianti dalle altre nidiate quindi sorteggio fra i restanti di ciascuna nidiata). Il campione comunque non è più estratto a caso dalla popolazione di provenienza. Non è più possibile conoscere le caratteristiche delle nidiate dei conigli (popolazione di provenienza)! 8

9 Il mio scopo però non è conoscere le caratteristiche delle nidiate dei conigli (popolazione di provenienza) ma l'effetto delle diverse diete sull accrescimento dei conigli medi. Sono consapevole di perdere informazioni accettando di scartare un soggetto dubbio ed i minus e plus varianti ma in tal modo penso di aumentare la precisione (riducendo la numerosità)! tesi nidiata x A I 2 B 4 C 5 A II 1 B 1 C 3 A III 1 B 2 C 2 A IV 2 B 4 C 3 A V 1 B 2 C 2 A VI 1 B 4 C 4 Dopo 28 giorni di prova delle diete peso gli animali ed ottengo i seguenti valori (numeri semplici di pura fantasia). Dati originali (da disporre opportunamente per l analisi) DISTRIBUZIONE DOPPIA: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di due variabili. 9

10 Dispongo i dati per l analisi: nidiata dieta I II III IV V VI A B C Procedo all analisi della varianza calcolando la somma dei quadrati degli scarti dalla media con la tecnica del TC (termine di correzione) anche per le nidiate oltre che per i trattamenti (cioè sia per righe che per colonne ). 10

11 I II III IV V VI sx sx^2 A B C sx sx^ ,667 1,667 1, ,667 3 (sx)^2 n (sx)^2/n TC = (sx)^2/n ,556 SS TOT [s(x^2) - TC] = ,56 28,4444 SS'TRATT.(sxA)^2/nA+(sxB)^2/nB+...(sxG)^2/nG-TC = ,56 11, SS NIDIATA (sxi)^2/ni+(sxii)^2/nii+...(sxvi)^2/nvi-tc = ,56 11,7778 (blocchi) 3 SS ERRORE [V.TOT-(TRATT+BLOCCHI)] 5,22222 Sorgenti di variazione Fra le serie o fra gruppi TRATTAMENTI Fra le nidiate o fra BLOCCHI entro le serie e blocchi ERRORE TOTALE gradi di libertà n.gruppi-1 n.nidiate-1 (n-1)di a + (n-1) di b gl ab Sorgenti di variazione Somme dei quadrati degli scarti gradi di libertà Fra le serie o fra gruppi TRATTAMENTI SS a-b-c n.gruppi-1 Fra le nidiate o fra BLOCCHI SS I-II---VI n.nidiate-1 entro le serie e (n-1)di a + blocchi SS a + SS b ERRORE (n-1) di b TOTALE SS ab gl ab 11 Varianze Rapporti SS gl o df MS F (SSa-b)/ (n.gruppi-1) (SSI-II---VI)/ (n.nidiate-1) (SS a + SS b )/ (n- 1)di a + (n-1) di b Sui dati disposti in modo da poter lavorare con ordine calcolo tutte le somme ed i quadrati MStrattamenti/ MSerrore

12 Sorgenti di variazione Fra le serie o fra gruppi TRATTAMENTI Fra le nidiate o fra BLOCCHI entro le serie e blocchi ERRORE Somme dei quadrati degli scarti gradi di libertà Varianze Rapporti SS gl o df MS F 11, , ,957 11, ,3556 4,511 5, ,5222 TOTALE 28,

13 g.l ,45 199,5 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 243,91 245,36 246,46 247,32 248,01 249,26 250,1 2 18, ,164 19,247 19,296 19,33 19,353 19,371 19,385 19,396 19,413 19,424 19,433 19,44 19,446 19,456 19, ,128 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,812 8,786 8,745 8,715 8,692 8,675 8,66 8,634 8, ,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,999 5,964 5,912 5,873 5,844 5,821 5,803 5,769 5, ,608 5,786 5,409 5,192 5,05 4,95 4,876 4,818 4,772 4,735 4,678 4,636 4,604 4,579 4,558 4,521 4, ,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147 4,099 4,06 4 3,956 3,922 3,896 3,874 3,835 3, ,591 4,737 4,347 4,12 3,972 3,866 3,787 3,726 3,677 3,637 3,575 3,529 3,494 3,467 3,445 3,404 3, ,318 4,459 4,066 3,838 3,687 3,581 3,5 3,438 3,388 3,347 3,284 3,237 3,202 3,173 3,15 3,108 3, ,117 4,256 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,23 3,179 3,137 3,073 3,025 2,989 2,96 2,936 2,893 2, ,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,135 3,072 3,02 2,978 2,913 2,865 2,828 2,798 2,774 2,73 2,7 11 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948 2,896 2,854 2,788 2,739 2,701 2,671 2,646 2,601 2, ,747 3,885 3,49 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849 2,796 2,753 2,687 2,637 2,599 2,568 2,544 2,498 2, ,6 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699 2,646 2,602 2,534 2,484 2,445 2,413 2,388 2,341 2, ,494 3,634 3,239 3,007 2,852 2,741 2,657 2,591 2,538 2,494 2,425 2,373 2,333 2,302 2,276 2,227 2, ,414 3,555 3,16 2,928 2,773 2,661 2,577 2,51 2,456 2,412 2,342 2,29 2,25 2,217 2,191 2,141 2, ,351 3,493 3,098 2,866 2,711 2,599 2,514 2,447 2,393 2,348 2,278 2,225 2,184 2,151 2,124 2,074 2, ,242 3,385 2,991 2,759 2,603 2,49 2,405 2,337 2,282 2,236 2,165 2,111 2,069 2,035 2,007 1,955 1, ,171 3,316 2,922 2,69 2,534 2,421 2,334 2,266 2,211 2,165 2,092 2,037 1,995 1,96 1,932 1,878 1, ,085 3,232 2,839 2,606 2,449 2,336 2,249 2,18 2,124 2,077 2,003 1,948 1,904 1,868 1,839 1,783 1, ,034 3,183 2,79 2,557 2,4 2,286 2,199 2,13 2,073 2,026 1,952 1,895 1,85 1,814 1,784 1,727 1, ,936 3,087 2,696 2,463 2,305 2,191 2,103 2,032 1,975 1,927 1,85 1,792 1,746 1,708 1,676 1,616 1, ,904 3,056 2,665 2,432 2,274 2,16 2,071 2,001 1,943 1,894 1,817 1,758 1,711 1,673 1,641 1,58 1, Tavola realizzata con la funzione invf di libreoffice

14 g.l , ,17 99,25 99,3 99,33 99,36 99,37 99,39 99,4 99,42 99,43 99,44 99,44 99,45 99, ,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 27,05 26,92 26,83 26,75 26,69 26, , ,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,8 14,66 14,55 14,37 14,25 14,15 14,08 14,02 13, ,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,888 9,77 9,68 9,61 9,553 9, ,75 10,92 9,78 9,148 8,746 8,466 8,26 8,102 7,976 7,874 7,718 7,605 7,519 7,451 7,396 7, ,25 9,547 8,451 7,847 7,46 7,191 6,993 6,84 6,719 6,62 6,469 6,359 6,275 6,209 6,155 6, ,26 8,649 7,591 7,006 6,632 6,371 6,178 6,029 5,911 5,814 5,667 5,559 5,477 5,412 5,359 5, ,56 8,022 6,992 6,422 6,057 5,802 5,613 5,467 5,351 5,257 5,111 5,005 4,924 4,86 4,808 4, ,04 7,559 6,552 5,994 5,636 5,386 5,2 5,057 4,942 4,849 4,706 4,601 4,52 4,457 4,405 4, ,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,4 4,29 4,21 4,15 4,1 4, ,33 6,927 5,953 5,412 5,064 4,821 4,64 4,499 4,388 4,296 4,155 4,052 3,972 3,909 3,858 3, ,862 6,515 5,564 5,035 4,695 4,456 4,278 4,14 4,03 3,939 3,8 3,698 3,619 3,556 3,505 3, ,531 6,226 5,292 4,773 4,437 4,202 4,026 3,89 3,78 3,691 3,553 3,451 3,372 3,31 3,259 3, ,285 6,013 5,092 4,579 4,248 4,015 3,841 3,705 3,597 3,508 3,371 3,269 3,19 3,128 3,077 2, ,096 5,849 4,938 4,431 4,103 3,871 3,699 3,564 3,457 3,368 3,231 3,13 3,051 2,989 2,938 2, ,77 5,568 4,675 4,177 3,855 3,627 3,457 3,324 3,217 3,129 2,993 2,892 2,813 2,751 2,699 2, ,562 5,39 4,51 4,018 3,699 3,473 3,304 3,173 3,067 2,979 2,843 2,742 2,663 2,6 2,549 2, ,314 5,179 4,313 3,828 3,514 3,291 3,124 2,993 2,888 2,801 2,665 2,563 2,484 2,421 2,369 2, ,171 5,057 4,199 3,72 3,408 3,186 3,02 2,89 2,785 2,698 2,562 2,461 2,382 2,318 2,265 2, ,895 4,824 3,984 3,513 3,206 2,988 2,823 2,694 2,59 2,503 2,368 2,265 2,185 2,12 2,067 1, Tavola realizzata con la funzione invf di libreoffice

15 Sorgenti di variazione Fra le serie o fra gruppi TRATTAMENTI Fra le nidiate o fra BLOCCHI entro le serie e blocchi ERRORE Somme dei gradi di quadrati degli Varianze Rapporti libertà scarti SS gl o df MS F 11, , ,957 11, ,3556 4,511 5, ,5222 TOTALE 28, MDS 6 6 6*6 t * MSerrore 0,3 * n n A A n *n B B 0,174 Attenzione: il trattamento è stato ripetuto nei diversi blocchi quindi gl= n A +n B 2=10 15

16 probabilità % di un valore più elevato di t trascurando il segno. due code 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 una coda 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 g.l. 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,710 31,820 63, , , ,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31, ,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12, ,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8, ,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6, ,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5, ,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5, ,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5, ,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4, ,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4, ,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4, ,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4, ,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4, ,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4, ,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4, ,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4, ,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3, ,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3, ,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3, ,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3, ,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3, ,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3, ,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3, ,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3, ,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3, ,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3, ,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3, ,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3, ,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3, ,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3, ,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3, ,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3, Tavola realizzata con la funzione invt di excel

17 3,169 * 0,174 MDS 1,32 MDS Sempre uguale perché n uguale per tutte le tesi Si mettono in ordine crescente le medie: Medie A 1,33 B 2,83 C 3,17 1,33 2,83 3,17 Testo 1,33 vs. 2,83 = 1,50 17

18 MDS 1,32 1,33 2,83 3,17 Testo 2,83 vs. 3,17 = 0,34 1,33 2,83 3,17 18

19 Media dev.st. A 1, , B 2, ,32916 C 3, , TESI A B C n media 1,33 A 2,83 B 3,17 B dev.st. 0,516 1,329 1,169 Nota: lettere diverse indicano differenze significative per p<0,01 n 6 media 1,33 A 2,83 B 3,17 MSErrore 0,52 Nota: lettere diverse indicano differenze significative per p<0,01 19

20 Facciamoci poi alcune domande: 20

21 Sorgenti di variazione Fra le serie o fra gruppi TRATTAMENTI Fra le nidiate o fra BLOCCHI entro le serie e blocchi ERRORE Somme dei gradi di quadrati degli Varianze Rapporti libertà scarti SS gl o df MS F 11, , , , ,3556 4, , ,5222 TOTALE 28, MDS t * MSerrore * n n A A n *n B B Attenzione: il trattamento è stato ripetuto nei diversi blocchi quindi 3 3 3* ,6 0,3481 gl n A 21 n B 2 4

22 probabilità % di un valore più elevato di t trascurando il segno. due code 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 una coda 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 g.l. 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,710 31,820 63, , , ,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31, ,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12, ,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8, ,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6, ,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5, ,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5, ,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5, ,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4, ,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4, ,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4, ,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4, ,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4, ,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4, ,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4, ,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4, ,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3, ,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3, ,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3, ,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3, ,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3, ,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3, ,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3, ,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3, ,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3, ,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3, ,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3, ,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3, ,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3, ,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3, ,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3, ,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3, ,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 3,416 Tavola realizzata con la funzione invt di LibreOffice

23 2,776 * 0,3481 MDS 1,638 Sempre uguale perché n uguale per tutte le tesi Si mettono in ordine crescente le medie: I II III IV V VI media 3,667 1,667 1, ,667 3 Test 1,667 vs. 3 = 1,333 Test 1,667 vs. 3,667= 2 Test 3,667 vs. 3= 0,667 1, ,667 23

24 err.st. 0, , , , , err.st.= 0,17033 BLOCCO I II III IV V VI n media 3,67 b 1,67 a 1,67 a 3,00 ab 1,67 a 3,00 ab dev.st. 1,528 1,155 0,577 1,000 0,577 1,732 Nota: lettere diverse indicano differenze significative per p<0,05 BLOCCO I II III IV V VI n media 3,67 b 1,67 a 1,67 a 3,00 ab 1,67 a 3,00 ab Mserrore 0,522 Nota: lettere diverse indicano differenze significative per p<0,05 24

25 BLOCCO I II III IV V n 18 media 3,67 b 1,67 a 1,67 a 3,00 ab 1,67 SEM=errore standard delle media= 0,170 Nota: lettere diverse indicano differenze significative per p<0,05 TESI A B C n. cella 6 media 1,33 A 2,83 B 3,17 B BLOCCO I II III IV V VI n. cella 3 media 3,67 b 1,67 a 1,67 a 3,00 ab 1,67 a 3,00 ab Mserrore 0,522 Nota: lettere diverse indicano differenze significative se maiuscole per p<0,01; se minuscole per p<0,05 25

26 I II III IV V VI sx sx^2 Media A , B , C , sx 44 sx^2 136 x (sx)^2 n (sx)^2/n TC =(sx)^2/n ,5556 SS TOT [s(x^2) - TC] = ,556 28,44444 TRATT.(SXA)^2/nA+(SXB)^2/nB+...(SXG)^2/nG-TC ,556 11, SORGENTI SS DF MS TRATTAMENTI 11, , ERRORE , TOTALE 28, ,

27 SORGENTI SS DF MS F TRATTAMENTI 11, , , ERRORE , TOTALE 28, , Sorgenti di variazione Somme dei quadrati degli scarti gradi di libertà Varianze 27 Rapporti SS gl o df MS F Fra le serie o fra gruppi 11, , , TRATTAMENTI Fra le nidiate o fra BLOCCHI 11, , , entro le serie e blocchi 5, , ERRORE TOTALE 28,

28 Perché la ripartizione in blocchi sia efficace (migliori il valore di F) è condizione necessaria e sufficiente che la variabilità fra blocchi esista cioè sia maggiore della variabilità fra individui dello stesso blocco (i blocchi ipotizzati esistano veramente!). Quando la variabilità fra blocchi non è superiore alla variabilità fra individui dello stesso blocco l efficacia peggiora poiché si perdono gradi di libertà dalla stima dell errore (denominatore del denominatore per il calcolo del F). 28

29 Quando si controlla più di un fattore di variazione contemporaneamente (analisi della varianza a più vie), il numero delle misure dovrebbe essere bilanciato (cioè la numerosità nelle celle dovrebbe essere sempre uguale) per poter applicare le semplici metodiche di calcolo qui descritte. Nel caso il numero delle misure non fosse bilanciato (cioè la numerosità nelle celle non fosse sempre uguale) bisogna ricorrere a calcoli molto più complessi. Invece delle medie aritmetiche è necessario calcolare le medie ponderate (o medie stimate) e, analogamente, l analisi della varianza deve essere effettuata in modo analogo al calcolo ponderato tramite l utilizzo delle matrici con la tecnica di risoluzione delle stesse detta anche analisi dei minimi quadrati che non tratteremo in questo corso di base. 29

30 + la tesi Es: voglio studiare tre diete per galline testandole con ciascuna gallina: In un primo tempo, alimento : la gallina A con la dieta blu la gallina B con la dieta verde la gallina C con la dieta fucsia cambio poi le diete: la gallina A con la dieta fucsia la gallina B con la dieta blu la gallina C con la dieta verde infine cambio ancora le diete per avere tutte le combinazioni possibili: la gallina A con la dieta verde la gallina B con la dieta fucsia la gallina C con la dieta blu 30 2,16 3,12 24,3 26,11 15,6 13,1 4,2 22,8 17

31 DISTRIBUZIONE DOPPIA: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di due variabili (es. gallina e tempo). DISTRIBUZIONE SEMPLICE: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità della rimanente variabile (es. dieta) DISTRIBUZIONE TRIPLA: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di tre variabili. 31

32 Dispongo i dati secondo la DISTRIBUZIONE TRIPLA: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di due variabili. I II III A 2,16 26,11 4,2 B 3,12 15,6 22,8 C 24,3 13,1 17 tesi 1 tesi 2 tesi 3 I II III sx sx^2 A 2,16 26,11 4,2 32,47 704,0377 B 3,12 15,6 22,8 41,52 772, ,0256 C 24,3 13, ,4 1051,1 1792,0621 sx 29,58 54, ,39 198,9844 sx^2 604, , , , ,0721 = 2528,0721 tesi 1 tesi 2 tesi 3 sx 34,76 73,21 20,42 medie 11, , , sx^2 537, , ,9844 (sx)^2 n (sx)^2/n TC = (sx)^2/n 16483, ,5547 SS TOT [s(x^2) - TC] = 2528, , ,51742 ABC= (SXA)^2/nA+(SXB)^2/nB+(SXC)^2/nC-TC = 5737, ,555 80, I-II-III= (SXI)^2/nI+(SXII)^2/nII+(SXIII)^2/nIII-TC = 5815, , , TRAT, '(SXblu)^2/nb+(SXrosso)^2/nr+(SXverde)^2/v-TC6984, , , ERRORE [V.TOT-(TRATT+VAR RIGHE+VARCOLONNE)] 11,

33 SORGENTI SS DF MS F RIGHE 80, , , TRATTAMENTI 496, , ,48585 COLONNE 106, , , ERRORE 11, , TOTALE 696, , *3 MDS t * n MSerrore * n A A n *n B B 5,547 probabilità =0,05 di un valore più elevato di F. g.l ,4 199,5 215,7 224,6 230, ,8 238,9 240,5 241,9 243,9 245,4 246,5 247, ,3 250,1 251,1 2 18, ,16 19,25 19,3 19,33 19,35 19,37 19,39 19,4 19,41 19,42 19,43 19,44 19,45 19,46 19,46 19, ,13 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,812 8,785 8,745 8,715 8,692 8,675 8,66 8,634 8,617 8, ,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,999 5,964 5,912 5,873 5,844 5,821 5,803 5,769 5,746 5, ,608 5,786 5,409 5,192 5,05 4,95 4,876 4,818 4,772 4,735 4,678 4,636 4,604 4,579 4,558 4,521 4,496 4,464 probabilità =0,01 di un valore più elevato di F. g.l , ,16 99,25 99,3 99,33 99,36 99,38 99,39 99,4 99,42 99,43 99,44 99,44 99,45 99,46 99, ,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,05 26,92 26,83 26,75 26,69 26,58 26,5 gl n n 2 4 2,776 A B 33

34 probabilità % di un valore più elevato di t trascurando il segno. due code 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 una coda 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 g.l. 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,710 31,820 63, , , ,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31, ,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12, ,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610 tesi 1 tesi 2 tesi 3 media 11,59 24,40 6,81 e.s. 4, , , Tavola realizzata con la funzione invt di LibreOffice 6,81 11,59 24,40 MDS 5,547 tesi 1 tesi 2 tesi 3 n media 12 a 24 b 7 a dev.st 8,2 1,7 5,5 tesi 1 tesi 2 tesi 3 n media 12 a 24 b 7 a Mserrore 5,99 Nota: lettere diverse indicano differenze significative per p<0,05 34

35 In questo caso: tempo e animale 35 meno numeri!!

36 L'effetto legato alla gallina è un effetto individuale (genetico); L effetto legato al tempo potrebbe dipendere però anche dall accrescimento degli animali (tempo e/o età ) Con la prova strutturata in questo modo il tempo e l età degli animali non possono essere separati (man mano che il tempo procede anche gli animali diventano più vecchi.). Per questo motivo in questo caso l effetto viene indicato come età e/o tempo e le due variabili vengono definite statisticamente CONFUSE. L azione di una variabile non può essere separata dall azione di una o più variabili diverse che agiscono contemporaneamente. 36

37 B = Σx Blocco con dato mancante T = Σx Trattamento con dato mancante b = numero blocchi t = numero trattamenti Ricostruzione di un dato perso che evita di ricorrere al calcolo matriciale Dato perso= b*b+t*t Σx (( b-1)*( t-1)) Dato perso L = Σx Linea con dato mancante C = Σx Colonna con dato mancante T = Σx Trattamento con dato mancante k = numero quadrato latino (= numero L,C,T) k *(L C T) 2 x (k -1)*(k - 2) Per ogni dato ricostruito va però tolto un g.l. dall errore! Il dato è utile per semplificare i calcoli ma non deve alterare l'analisi! 37

38 BLOCCO TRATTAMENTO x BLOCCO TRATTAMENTO x A 1 2 A 4 2 B 4 B 4 C 5 C 3 D 4 D 4 E 5 E 3 A 2 1 A 5 1 B 1 B 2 C 3 C 2 D 1 D 2 E 3 E 2 A 3 1 A 6 1 B 2 B 4 C 2 C Perso D 2 D 4 E 2 E 4 DISTRIBUZIONE DOPPIA: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di due variabili. 38

39 Bloc somme A B C D E somme medie 4 1,8 1,8 3,2 1,8 3, * * =77 =4 5 * 4 20 B = Σx Blocco con dato mancante T = Σx Trattamento con dato mancante b = numero blocchi t = numero trattamenti Dato perso= b*b+t*t Σx (( b-1)*( t-1)) Bloc somme A B C D E somme medie 4 1,8 1,8 3,2 391,8 3,4 80

40 DISTRIBUZIONE TRIPLA: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di tre variabili. DISTRIBUZIONE DOPPIA: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità di due variabili (es Animale e tempo). DISTRIBUZIONE SEMPLICE: il risultato della classificazione delle unità di una popolazione secondo le modalità della rimanente variabile (es.tesi) ANIMALE TEMPO TRATTAMENTO x A 1 giallo 1 B 1 grigio 2 C 1 celeste 11 D 1 viola 6 E 1 blu 21 A 2 grigio 3 B 2 blu 22 C 2 giallo 2 D 2 celeste 12 E 2 viola 7 A 3 celeste 13 B 3 giallo 3 C 3 viola 8 D 3 blu 23 E 3 grigio 4 A 4 viola 9 B 4 celeste 14 C 4 blu 24 D 4 grigio 5 E 4 giallo 4 A 5 blu 25 B 5 viola 10 C 5 grigio dato perso D 5 giallo 5 E 5 celeste 15 40

41 somme A B C perso 45 D E somme * * = = 4 * = 6 L = Σx Linea con dato mancante C = Σx Colonna con dato mancante T = Σx Trattamento con dato mancante k = numero quadrato latino (= numero L,C,T) Dato perso k *(L C T) 2 x (k -1)*(k - 2) somme A B C D E somme