Aldo Brigaglia e Grazia Indovina CABRIRRSAE. Il modello Beltrami-Klein della geometria iperbolica realizzato con CABRI.

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1 RIRRSE quadeni di ldo igaglia e Gazia Indovina Il modello eltami-lein della geometia ipebolica ealizzato con RI n 15

2 quadeni di RIRRSE ldo igaglia, Univesità di alemo Gazia Indovina, Univesità di alemo e Univesità della alabia Il mateiale pubblicato da RIRRSE può essee ipodotto, citando la fonte Released Infomation Videoimpaginazione GRHIRT - Via Fondazza, 37 - Tel. Fax (051) LG

3 quadeni di RIRRSE 72,0 Il modello eltami-lein della geometia ipebolica ealizzato con RI

4 quadeni di RIRRSE Indice Intoduzione ag ostuzioni poiettive ag ostuzioni fondamentali ag lcune applicazioni ag ibliogafia ag

5 quadeni di RIRRSE Intoduzione In questa nota pesentiamo una ealizzazione al compute (usando abi pe Windows) del modello di eltami-lein della geometia ipebolica. Una pesentazione che motiva matematicamente e dimosta il funzionamento dei pogammi è stata inviata pe la pubblicazione alla ivista L insegnamento della atematica e delle Scienze integate del ento Riceche idattiche Ugo oin. L idea di fondo è di ealizzae una sota di RI ipebolico in cui le costuzioni fondamentali sono le stesse di quelle del RI euclideo. Un idea omologa è stata ealizzata in Fancia elativamente al modello di oincaé e si può tovae nel sito Intenet: ftp://ftp.imag.f/pub/ri/enus-folde/. Le costuzioni ipotate sono divise in te pati. ella pima pate si pesentano le maco elative alle costuzioni poiettive utilizzate. ella seconda pate si pesentano le costuzioni fondamentali coispondenti al nosto menù vituale. ella teza pate si pesentano alcune applicazioni che fanno uso delle costuzioni pecedenti. 5

6 quadeni di RIRRSE ostuzioni poiettive Quato amonico ggetti iniziali: i punti allineati, e ggetti finali: il punto Retta: la etta t pe e le due ette ed s pe Intesezione di due oggetti: il punto ; il punto Retta: la etta ; la etta Intesezione di due oggetti: il punto ; il punto Q Retta: la etta Q Intesezione di due oggetti: il punto s Q t è il quato amonico dopo, e. Il biappoto () è uguale a -1. ssevazione: spostando le ette, s e t con la manina possiamo vedee che e indipendente dalla loo scelta... Qualoa i punti non fosseo allineati i isultati della R non vanno pesi in consideazione. olae ggetti iniziali: il punto e la ciconfeenza ggetti finali: la etta unto su un oggetto: i punti e Retta: le ette e Intesezione di due oggetti: i punti e Quato amonico: i punti ed Retta: la etta (pe ed ) sseviamo come vaia la etta se facciamo muovee il punto. ossiamo veificae, muovendo o con la manina, che la costuzione è indipendente dalla scelta di e di. 6 olo ggetti iniziali: la ciconfeenza e la etta p ggetti finali: il punto escizione della costuzione unto su un oggetto: i punti e polae (di ): la etta polae (di ): la etta s Intesezione di due oggetti: il punto p s spostando la etta p si può veificae che saà esteno, inteno o sulla ciconfeenza a secondo che p sia secante, estena o tangente.

7 quadeni di RIRRSE mologia amonica ggetti iniziali: la etta p e i punti e ggetti finali: il punto Retta: la etta Intesezione ta due oggetti: il punto quato amonico (di, e ): il punto Questa maco costuisce, dati il polo e l asse p di un omologia amonica, l omologo di ogni punto diveso da e non appatenente all asse. mologia () p ggetti iniziali: la ciconfeenza e i punti e (entambi inteni o entambi esteni alla ciconfeenza ) ggetti finali: la etta t Retta: la etta polo (di ):il punto Retta: le ette e Intesezione di due oggetti: i punti ed Retta: la etta Intesezione di due oggetti: il punto T polae (di T): la etta t Questa maco costuisce (nella polaità individuata dalla ciconfeenza ) l asse dell omologia amonica che pota in. Se (o ) coincide con il cento della ciconfeenza questa maco non agisce (il punto va all infinito). In tal caso sevisi della maco omologia. Se e sono simmetici (in senso euclideo) ispetto ad, l asse dell omologia saà il diameto pependicolae al segmento di estemi e. t T mologia ggetti iniziali: la ciconfeenza e il punto ggetti finali: la etta Retta: la etta ependicolae: le ette s e t Intesezione di due oggetti: i punti ed Retta: la etta Intesezione di due oggetti: il punto polae: la etta s t ssevazione: i punti ed vanno scelti nello stesso semipiano ispetto alla etta.. Se ed non si scelgono nel medesimo semipiano la etta saà la pependicolae ad passante pe il punto di intesezione di con. 7

8 quadeni di RIRRSE ostuzioni fondamentali Hetta ggetti iniziali: la ciconfeenza, il punto e il punto ggetti finali: il segmento escizione della costuzione Retta: la etta Intesezione di due oggetti: i punti ed Segmento: il segmento ssevazione: questa maco costuisce la etta ipebolica pe due punti Hsemietta ggetti iniziali: la ciconfeenza, i punti e ggetti finali: il segmento unto: il punto e il punto Semietta: la semietta Intesezione di due oggetti: il punto Segmento: il segmento ssevazione: questa maco costuisce la semietta ipebolica con punto iniziale, diezione e veso pefissati. Hasse ggetti iniziali: la ciconfeenza, il punto e il punto ggetti finali: la hetta mologia(): la etta Intesezione di due oggetti: il punto e il punto hetta: il segmento 8 ssevazione: cf. la costuzione pecedente...: questa maco non agisce se uno dei due estemi del segmento coincide con. In questo caso cf. la costuzione successiva

9 quadeni di RIRRSE Hasse ggetti iniziali: la ciconfeenza e il punto ggetti finali: la hetta mologia (): la etta Intesezione di due oggetti: il punto e il punto hetta: il segmento Hiflessione ggetti iniziali: la ciconfeenza, la hetta e il punto ggetti finali: il punto f() Retta (pe ed ): la etta olo (di ): il punto omologia amonica (di asse e polo ): il punto f() ssevazione: infatti il segmento f() è pependicolae, nel senso ipebolico del temine, (vedi più avanti), alla hetta e inolte il segmento è ipebolicamente uguale al segmento f(). f(a) Hciconfeenza ggetti iniziali: la ciconfeenza, il punto e il punto ggetti finali: l ellisse 1 hasse : il segmento hiflessione :il punto f() iconfeenza: la ciconfeenza unto su un oggetto: i punti, E, F e G hiflessione: i punti f(), f(e), f(f) e f(g) onica: l ellisse 1 ssevazione: abbiamo pefeito costuie l ellisse utilizzando il comando conica piuttosto che il comando luogo peché il luogo non viene iconosciuto dal abi pe eventuali manipolazioni successive. e motivi didattici, qualoa non sia ancoa noto il fatto che la ciconfeenza ipebolica è appesentata nel modello da un ellisse, può essee utile lavoae speimentalmente usando il comando luogo (scegliendo un punto su e il luogo descitto da f() al vaiae di )... Questa maco non agisce nel caso in cui coincida con. In tal caso la ciconfeenza ipebolica coincide con quella euclidea. E F f(f) f(e) G f() f() 1 f(g) 9

10 quadeni di RIRRSE Hpependicolae ggetti iniziali: la ciconfeenza, il punto e la hetta ggetti finali: la hetta p Retta: la etta polo (di ): il punto G Retta: la etta G unto su due oggetti: il punto hetta (pe e ): la hetta p ssevazione: icodiamo che nel modello di eltami- lein due ette sono pependicolai se e solo se una passa pe il polo dell alta. Spostando la hetta si può ossevae che quando diviene un diameto la pependicolaità ipebolica coincide con quella euclidea G p Hpunto medio ggetti iniziali: la ciconfeenza, il punto e il punto ggetti finali: il punto hasse : il segmento Segmento: il segmento Intesezione di due oggetti: il punto ssevazione: questa maco non funziona se uno degli estemi del segmento coincide con. In questo caso confonta la costuzione successiva. La maco non funziona anche nel caso in cui il punto medio è popio. In tal caso = anche in senso euclideo. Hpunto medio ggetti iniziali: la ciconfeenza e il punto ggetti finali: il punto 10 hasse : il segmento Segmento: il segmento Intesezione di due oggetti: il punto

11 quadeni di RIRRSE Hbisettice ggetti iniziali: la ciconfeenza e i punti, e ggetti finali: la hsemietta hsemietta: i segmenti e E hetta: il segmento E hpependicolae: la hetta punto su due oggetti: il punto hsemietta: il segmento H E 1 iclo R s 2 ggetti iniziali: la ciconfeenza, il punto e il punto ggetti finali: l ellisse escizione della costuzione unto su un oggetto: il punto hetta (pe e ): la hetta hiflessione (di ispetto alla hetta ): il punto unto su un oggetto: il punto R hetta (pe R e ): la hetta s hiflessione (di ispetto alla hetta s): il punto hiflessione (di ispetto alla hetta s): il punto 1 hiflessione (di 1 ispetto alla hetta ): il punto 2 onica: l ellisse 1 ssevazione: questa maco genea un ciclo definito come l obita descitta da un punto (nel nosto caso ) ispetto al guppo delle tasfomazioni ipeboliche che tengono fisso un punto, ottenute come podotto di iflessioni pe ette passanti pe. ei te casi ispettivi in cui sia inteno a, su o esteno si hanno le otazioni, le taslazioni e gli spostamenti paalleli e le cuve isultanti sono le ciconfeenze, gli oocicli e le cuve equidistanti. R s 2 11

12 quadeni di RIRRSE..:u essendo il ciclo il luogo descitto da al vaiae del punto sulla ciconfeenza, abbiamo pefeito definie la maco sfuttando il comando onica pe le agioni esposte pecedentemente nei iguadi della costuzione dell hciconfeenza 1 R s 2 Hcompasso ggetti iniziali: la ciconfeenza, il segmento e il punto. ggetti finali: l ellisse escizione della costuzione hasse : la hetta hiflessione: il punto hciconfeenza: l ellisse ssevazione: questa maco non funziona se il punto (o il punto ) coincide con. In ta caso vedi costuzione successiva... Se e sono simmetici ispetto al punto l hasse coincide con il diameto pependicolae al segmento Hcompasso1 ggetti iniziali: la ciconfeenza, il punto e il segmento ggetti finali: la hciconfeenza 12 hasse : la hetta hiflessione: il punto hciconfeenza: l ellisse

13 quadeni di RIRRSE Htaspoto di un segmento ggetti iniziali: la ciconfeenza il segmento e la hsemietta ggetti finali: il segmento E E hcompasso: l ellisse Intesezione di due oggetti: il punto E Segmento: il segmento E Htaspoto di un segmento1 ggetti iniziali: la ciconfeenza, il segmento e la hsemietta ggetti finali: il segmento escizione della costuzione hcompasso1: l ellisse intesezione ta due oggetti: il punto Segmento: il segmento Htaspoto di un angolo. ggetti iniziali: la ciconfeenza, l angolo e la hsemietta E ggetti finali: l angolo Segmento: il segmento hpependicolae: la hetta F Intesezione di due oggetti: il punto Segmento: il segmento htaspoto di un segmento: il segmento hpependicolae:la hetta Segmento: il segmento hsemietta: la hsemietta htaspoto di un segmento: il segmento Segmento: il segmento ssevazione: i due tiangoli e sono uguali (in senso ipebolico) pe il pimo citeio di uguaglianza. Infatti si tatta di due tiangoli ettangoli con i cateti uguali... Questa costuzione va bene pe gli angoli acuti. e gli angoli ottusi sono necessaie alcune modifiche che lasciamo al lettoe F E 13

14 quadeni di RIRRSE Hotazione ggetti iniziali: la ciconfeenza, l angolo E, il punto (cento della otazione) e il punto ggetti finali: il punto hsemietta: la hsemietta htaspoto di un angolo: il punto hsemietta: la hsemietta hciconfeenza: l ellisse Intesezione di due oggetti: il punto E ssevazione: il punto giaceà nel semipiano opposto a quello in cui giace ispetto alla hetta polungamento della hsemietta. Se tale hetta passa pe la maco non funziona. Hmisua di un angolo 75,7 ggetti iniziali: la ciconfeenza e l angolo ggetti finali: il numeo hasse : la hetta hiflessione: i punti e isua di un angolo: misua euclidea dell angolo Hpaallele limite ggetti iniziali: la ciconfeenza, la hetta, il punto ggetti finali: il segmento e il segmento T 54,9 54,9 Q Segmento: il segmento e il segmento 14 ssevazione: usando la maco pecedente si possono speimentae alcune inteessanti (e note) popietà. d esempio l angolo Q è uguale all angolo Q. Inolte spostando lungo la nomale da Q a T, l angolo di paallelismo assume tutti i valoi possibili compesi nell intevallo (90,0 )

15 quadeni di RIRRSE Htaslazione ggetti iniziali: la ciconfeenza, il vettoe e il punto ggetti finali: il punto ostuzione: hetta: hetta hpependicolae: hetta RS Intesezione di due oggetti: il punto hsemietta: hsemietta htaspoto di un segmento: il segmento hpependicolae: hetta TU Retta: la etta polo: il punto ciclo (di cento e passante pe ): l ellisse Intesezione di due oggetti: il punto S R U T ssevazione: questa aco non funziona se uno degli estemi del vettoe coincide con. Essa descive lo spostamento del punto lungo la cuva equidistante alla hetta in modo tale che la poiezione dell aco pecoso sulla hetta sia uguale al modulo del vettoe. Hspostamento paallelo ggetti iniziali: la ciconfeenza, il punto e il vettoe ggetti finali: il punto hsemietta: la hsemietta ciclo (di cento e passante pe ): l ellisse hcompasso (di cento e aggio ): l ellisse Intesezione di due oggetti: il punto ssevazione: nella definizione di questa maco, come in molte alte, c è un poblema elativo al fatto che la scelta del punto di intesezione ta le due ellissi fatta dal RI isulta casuale e non si possono quindi indicae al pogamma le modalità attaveso le quali scegliee un punto ispetto a un alto. 15

16 quadeni di RIRRSE lcune applicazioni ostuzione della hpependicolae comune a due hette date. Gli oggetti dati sono: la ciconfeenza e le hette e. escizione della costuzione: Retta (passante pe ed ): la etta p polo (di p): il punto Retta (passante pe e ): la etta polo (di ): il punto R Retta (passante pe e R): la etta s Intesezione di due oggetti: i punti e hetta: la hetta (che è la hpependicolae comune). ssevazione: la costuzione ci confema il noto isultato che esiste una sola pependicolae comune a due hette ipepaallele. Infatti pe due punti passa una e una sola etta, e questa etta inteseca la ciconfeenza solo se le hette date si incontano in un punto ultaideale. ossiamo veificae speimentalmente questo fatto con abi facendo vaiae con la manina la posizione ecipoca delle hette e. R 2 ostuzione di un tiangolo equilateo di lato dato. 1 Gli elementi iniziali sono: la ciconfeenza e il segmento hciconfeenza (di cento e passante pe ): l ellisse 1 hciconfeenza (di cento e passante pe ): l ellisse 2 Intesezione di due oggetti: il punto oligono: il tiangolo ipebolico equilateo ostuzione di un hquadato inscitto in una hciconfeenza. Gli elementi iniziali sono la ciconfeenza e la hciconfeenza ( di cento e passante pe ). 16 hetta (passante pe e ): la hetta Intesezione di due oggetti: il punto hpependicolae (da a ): la hetta Intesezione di due oggetti: i punti e oligono: il quadato ipebolico

17 quadeni di RIRRSE ostuzione di un quadato ipebolico cicoscitto ad una ciconfeenza. Gli oggetti iniziali sono la ciconfeenza e la hciconfeenza (di cento e passante pe ). hetta (pe e ): la hetta Intesezione di due oggetti: il punto hpependicolae (da a ): la hetta RS hpependicolae (da a ): la hetta R S hpependicolae (da a ): la hetta Intesezione di due oggetti: i punti e E hpependicolae (da a ): la hetta Q hpependicolae (da E a ): la hetta Q Intesezione di due oggetti: i punti,, e oligono: il quadato ipebolico ssevazione: può essee utile definie la maco hlato del quadato cicoscitto da utilizzae nella costuzione dell hpentagono iscitto. R R S E Q S Q ostuzione del lato di un hesagono iscitto in una hciconfeenza Gli oggetti iniziali sono la ciconfeenza e la hciconfeenza (di cento e passante pe ) escizione della costuzione Segmento: il segmento hpependicolae (da ad ): la hetta Intesezione di due oggetti: il punto Segmento: il segmento hpependicolae (da ad ): la hetta Intesezione di due oggetti: il punto hciconfeenza (di cento e passante pe ): hciconfeenza Intesezione di due oggetti: il punto hciconfeenza (di cento e passante pe ): la hciconfeenza * Intesezione di due oggetti: il punto E Segmento: il segmento E (che è il lato dell esagono egolae ipebolico iscitto nella hciconfeenza ). ssevazione: può essee utile definie una maco hlato dell esagono iscitto da utilizzae nella costuzione successiva. * E ostuzione di un hlato del pentagono ipebolico egolae iscitto in una hciconfeenza. Gli oggetti iniziali sono la ciconfeenza e la hciconfeenza di cento e passante pe. hlato del quadato cicoscitto: il segmento F (tangente in a ) 17

18 quadeni di RIRRSE G s t I L Q E * F hlato dell esagono iscitto: il segmento GL hpunto medio (di GL): il punto I Segmento: il segmento GI hsemietta (pe e ): la hsemietta t htaspoto di un segmento (del segmento GI): il segmento hbisettice (dell angolo ): la hsemietta Intesezione di due oggetti ( e ): il punto Retta (pe e ): la etta polo (di ): il punto osta/ascondi: nasconde la etta ciclo (di cento e passante pe ): l ellisse Segmento: il segmento Intesezione di due oggetti (di e ): il punto Q hpependicolae (da Q ad ): hetta s Intesezione di due oggetti: il punto Segmento: il segmento htaspoto di un segmento (il segmento ): il segmento E hciconfeenza (di cento E e passante pe ):l ellisse * Intsezione di due oggetti: il punto hciconfeenza (di cento e passante pe ): l ellisse Intesezione di due oggetti: il punto e il punto Segmento: il segmento ssevazione: Il segmento è il lato dell hpentagono iscitto. patie da questa costuzione si può definie la aco hlato del pentagono iscitto ad una hciconfeenza. ostuzione di un hpentagono egolae iscitto in una hciconfeenza Gli oggetti iniziali sono: la ciconfeenza e la hciconfeenza di cento e passante pe. 4 hlato pentagono inscitto: il segmento hciconfeenza (di cento e passante pe ): l ellisse 1

19 quadeni di RIRRSE Intesezione di due oggetti: il punto hciconfeenza (di cento e passante pe ): l ellisse 2 Intesezione di due oggetto: il punto hciconfeenza (di cento e passante pe ): l ellisse 3 Intesezione di due oggetti: il punto oligono: il pentagono (che è un hpentagono egolae) ssevazione: la hciconfeenza 4 (di cento e passante pe ) inteseca nel punto : Tassellazione del piano ipebolico con tiangoli equilatei Gli elementi iniziali sono la ciconfeenza e il suo cento oligono egolae (tiangolo di cento ): il tiangolo hmisua di un angolo: hmisua dell angolo (si sposta con la manina facendo in modo che tale misua isulti uguale a 45 ) hiflessione (di ispetto a ): il punto oligono: il tiangolo hiflessione (di ispetto a ): il punto oligono: il tiangolo hiflessione (di ispetto a ): il punto Si posegue in maniea analoga pe i punti e i tiangoli successivi. Il punto (hiflesso di ispetto ad ) coincideà con. 45,0 Tassellazione con quadati il cui angolo ha misua ipebolica uguale a 72,0. Gli elementi iniziali sono la ciconfeenza e il suo cento. oligono egolae (quadato di cento ): il quadato hmisua di un angolo (hmisua dell angolo ): il numeo 72,0 (si sposta con la manina un vetice fino ad ottenee il numeo 72 ) hiflessione ( di ispetto a ): il punto hiflessione (di ispetto a ): il punto oligono: il quadato ipebolico hiflessione (di ispetto a ): il punto hiflessione (di ispetto a ): il punto oligono: il quadato. Si posegue nella stessa maniea pe la ealizzazione dei quadati ipebolici e (dove che è l hiflesso di ispetto a, coincide con ) ssevazione: Se si sposta con la manina uno dei veici del quadato l angolo ipebolico cambia (aumenta o diminuisce ) e il iflesso di ispetto a non coincide più con. 72,0 19

20 quadeni di RIRRSE Tassellazione con pentagoni egolai i cui angoli hanno misua ipebolica 90. Si pocede in modo analogo alla tassellazione con quadati. In questo caso E (che è il iflesso di E ispetto a ) coincide con E. elle pagine pecedenti abbiamo dato alcune costuzioni ipeboliche. Val la pena comunque notae che in geneale esse fanno uso dei punti all infinito e all ultainfinito e quindi, pu essendo pefettamente valide pe dimostae l esistenza degli oggetti costuiti nel piano ipebolico, non sono diettamente taducibili come costuzioni in esso. d esempio la nosta costuzione delle hpaallele limite dal punto alla etta consisteva nel congiungee con i punti all infinito di. a questi punti all infinito sono popio definiti come i punti comuni a due hpaallele limite. iò da luogo ad un cicolo vizioso. Quindi con le costuzioni pecedenti si è solo dimostata l esistenza delle hpaallele, ma non si è data una costuzione effettiva nel piano. Se si esaminano le costuzioni effettuate, quelle che necessitano di essee tadotte in costuzioni nel piano ipebolico sono in genee quelle che ichiedono di connettee punti ta i quali almeno uno è impopio. I casi possibili sono quindi: E E 90,0 E (a) Un punto popio con un punto all infinito (equivalente alla costuzione dell hpaallela da un punto a una hsemietta) (b) Un punto popio con un punto all ulta-infinito (deteminato da due hette ultapaallele). La costuzione si iduce a deteminae la hpependicolae da alla hpependicolae comune alle due hette. (c) ue punti all infinito (cioè la hpaallela comune a due hsemiette). (d) Un punto all infinito con un punto all ulta-infinito (equivale a costuie una hetta hpaallela a una hsemietta e hpependicolae a una hetta). (e) ue punti all ulta-infinito (non è genealmente possibile, ma se le due hpependicolai comuni sono ultapaallele basta pendee la loo pependicolae comune). 20 Si compende così come queste costuzioni siano in qualche modo basilai pe tadue le costuzioni nel modello nel piano ipebolico e abbiano uno status paticolae ta le costuzioni possibili. lcune sono di Hilbet e tutte possono vedesi in un apposito paagafo di oxete Seguendo oxete diamo di seguito delle costuzioni effettive di oggetti geometici nel piano ipebolico senza fa uso dei punti all infinito (atualmente è lecito pe dimostae la validità delle costuzioni itonae al modello completo, cioè al piano poiettivo).

21 quadeni di RIRRSE ato un punto e una hetta q costuie le hpaallele pe a q. hpependicolae (pe alla hetta q): hetta hpependicolae (pe a ): hetta s unto su un oggetto: punto hpependicolae (pe a s): hetta t Intesezione di due oggetti: il punto Segmento: il segmento hcompasso (cento e aggio ): hciconfeenza Intesezione di due oggetti: i punti e hetta: le hette e. onclusione: Le hette e sono le hpaallele limite dal punto alla hetta q. q s ostuie la hpaallela limite comune a due hsemiette non hpaallele. Siano date le hsemiette e. unto su un oggetto: il punto e il punto Segmento: il segmento e il segmento hbisettice (dell angolo ): la hsemietta hbisettice (dell angolo ): la hsemietta hpependicolae comune: la hetta d (che è la hpaallela limite comune cecata) ate le due hette ultapaallele ed s costuie la hpependicolae comune. unto su un oggetto: i punti e (su s) hpependicolae: la hetta (hpependicolae a pe ) hpependicolae: la hetta (hpependicolae a pe ) Intesezione di due oggetti: i punti e. Se = la hpependicolae cecata saà la congiungente i punti medi di E. ltimenti supponiamo <. Segmento: il segmento hcompasso (di cento e aggio ): l ellisse 1 Intesezione di due oggetti: il punto hsemietta: la hsemietta htaspoto di un angolo (dell angolo sulla hsemietta ): il segmento F hetta: hetta F intesezione di due oggetti: il punto Segmento: il segmento hcompasso (di cento e aggio ): l ellisse 2 Intesezione di due oggetti: il punto (scelto ispetto ad dalla pate opposta di ) hasse (di ): la hetta d (che è la hpependicolae comune cecata) d 2 s d F 1 21

22 quadeni di RIRRSE ate una hetta e una hsemietta p che non sia nè hpependicolae nè hpaallela a, costuie una hetta che sia hpaallela a p e hpependicolae a. Indichiamo con l oigine della hsemietta e con il suo punto all infinito. hiflessione (di ispetto a ): il punto unto su un oggetto: il punto hiflessione (di ispetto a ): il punto hsemietta (di oigine, passante pe ): la hsemietta hetta: la hetta p ongiungee un punto all infinito con un punto all ulta infinito. Siano date le hette ultapaallele e e la hsemietta L. hpependicolae comune (alle due hette ultapaallele date): la hetta ST hiflessione (di ispetto a ST): il punto unto su un oggetto: il punto hiflessione (di ispetto a ST): il punto hsemietta (di oigine e passante pe ): hsemietta Q hetta: hetta QL ssevazione: QL è hpependicolae alla hpependicolae comune e hpaallela alla hesemietta data. Q L 22

23 quadeni di RIRRSE ibliogafia abain., La géométie non euclidienne, (1920), Rééd Gabay oxete H.S.. The tigonomety of Esche s woodcut cicle limit III, ath. Intelligence vol 18 n.4 (1996) oxete H.S.., on-euclidean Geomety, Univesity of Toonto ess 1968 edò., Tasfomazioni geometiche, Zanichelli ecibel 1997 Hege H.. olthie., Visualitaton and athematics Expeiments, Simulations and Envionments, Spinge 1997 (pagg.21-36) Hilbet., Fondamenti della geometia, Feltinelli 1968 agiotta G., abi come stumento di esploazione della geometia non euclidea, Quadeni di RIRRSE (n 10) 1995 oincaé J. H., La scienza e l ipotesi, edizioni edalo 1989 Senesi E., Geometia I, ollati onghiei 1989 Tudeau R. La ivoluzione non euclidea ollati oinghiei

24 quadeni di RIRRSE el quadeno n.10 di abisae è stato pesentato il modello di oincaé del piano ipebolico. Si pesenta qui un alto modello, quello di eltami-lein, secondo un impostazione inteamente basata sul concetto di tasfomazione e sulle idee del pogamma di Elangen di lein. Tasfomando le maco in tasti è possibile costuie una sota di abi ipebolico di cui vengono indicate alcune applicazioni alla costuzione dei poligoni egolai e a poblemi di pavimentazione. I.R.R.S..E. Emilia Romagna - Sezione Scuola edia 24 Supplemento al n. 2 mazo - apile 1999, di IVZIE EUTI- V bollettino bimestale dell Istituto Regionale di Riceca, Speimentazione, ggionamento Educativi dell Emilia Romagna. Registazione Tib. o n del iettoe esp. Giancalo eini, popietà IRRSE - Emilia-Romagna.