Urti tra due punti ateriali URTO: eento isolato nel quale una orza relatiaente intensa agisce per un tepo relatiaente bree su due o più corpi in contatto tra loro r risultato di un contatto isico F F r risultato di una interazione tra particelle p + ++ 4 He eteor-crater Le orze che, coe nel caso di un urto agiscono per un tepo bree rispetto al 00 tepo di osserazione Urti su scale dierse sono chiaate orza ipulsie Dinaica VII - Urti Δt 4 s α Ν
Urti tra due punti ateriali Loggetto L esercita su R una orza F(t) Loggetto R esercita su L orza F(t) F(t) può aere unintensità che aria nel tepo Nelle igure sono rappresentati due possibili andaenti di F(t). Lazione della orza si esplica nellinterallo τ t -t Le orze ipulsie che si aniestano durante un urto sono interne al sistea dei due punti ateriali interagenti In assenza di orze esterne si eriica durante lurto la conserazione della quantità di oto totale τ P P in,in +,in,in +,in Pin Durante lurto la quantità di oto del centro di assa riane inariata: P ( + ) P P costante CM in in τ Dinaica VII - Urti
,in,in J, Dato che : ΔP t t F (E) F F ( t) dt,, Urti tra due punti ateriali Il oto del centro di assa non iene alterato dallurto. Variano inece le quantità di oto di ciascun punto ateriale per leetto dellipulso della orza di interazione r t r p r r r J F() t dt dp p p t F t (E) F t i ( t) dt Δ, p J J, J, e J,, pria considerati, per le orze interne ipulsie che, r r p si siluppano nellurto, si possono scriere: τ i i,in,in J, t F t Dinaica VII - Urti 3 t ( t) dt Δ, p Le ariazioni di quantità di oto sono uguali ed opposte La conserazione della quantità di oto totale è possibile in presenza di orze esterne? Si se la durata dellipulso τ è suicienteente piccola e le orze esterne non sono ipulsie. Inatti la ariazione della quantità di oto totale douta alle orze esterne: J t F ( t) dt F τ
Urti tra due punti ateriali Conserazione della quantità di oto J t t F ( t) dt F τ τ τ F : alor edio della orza ipulsia nellinterallo τ Dato che J assue un alore inito e che τ è olto bree, F può assuere alori estreaente grandi, rispetto a cui F (E) è certaente trascurabile La orza esterna, se non è ipulsia, non odiica i singoli ipulsi durante lurto e quindi riane era luguaglianza J, -J,, e alida la conserazione della quantità di oto totale Nel caso dellurto la conserazione del oento angolare non aggiunge alcuna inorazione Inatti: durante lurto r r r e quindi se Pin Pin τ L r in P in L r in P in Nel caso dellurto il principio di conserazione della quantità di oto ed il principio di conserazione del oento angolare sono equialenti Dinaica VII - Urti 4
Urti tra due punti ateriali Energia A priori non è noto se le orze interne sono conseratie. Non si può assuere la conserazione dellenergia eccanica del sistea durante lurto nè che lenergia cinetica si conseri Dato che la posizione dei punti non aria nellurto, eentuali energie potenziali non ariano nellurto e quindi: ΔE ΔE Lenergia cinetica del sistea può essere espressa utilizzando il secondo teorea di Konig: E + ( + ) CM E' Energia cinetica del centro di assa: non aria se ale la conserazione della quantità di oto Energia cinetica dei due punti rispetto al sistea del centro di assa. E ' ' + ' Può rianere costante o ariare a seconda che le orze interne siano conseratie o non siano conseratie Dinaica VII - Urti 5
Sistea del laboratorio e sistea del centro di assa Sistei di rieriento in cui può essere studiato lurto: Sistea del laboratorio (sistea inerziale) Sistea del centro di assa Legae tra le elocità nei due sistei, in qualsiasi istante: + ' CM ' + CM Coe già diostrato, nel sistea del centro di assa, la quantità di oto totale è nulla: ' + ' ' + 0,in,in,in ',in p' p',in p',in,in p',in Dal centro di assa si edono i punti arriare erso il centro di assa con quantità di oto uguali in odulo ed opposte in erso. I punti si urtano nella posizione occupata dal centro di assa e ripartono dopo lurto con quantità di oto ancora uguali in odulo ed opposte in erso. In generale per ogni punto : p' p Dinaica VII - Urti 6 in ' in
Urto copletaente anelastico Lurto si chiaa copletaente anelastico quando i due punti restano attaccati dopo lurto, orando un unico corpo puntiore di assa + Se e sono le elocità dei due punti pria dellurto e la elocità coune iediataente dopo lurto si ha: ( + )' + ( + ) CM Le ariazioni di quantità di oto dei singoli punti sono: CM Δp Δp ( + + Subito dopo lurto i due punti si uoono con la elocità che aea il centro di assa un istante pria dellurto ( CM resta inariata nellurto) CM ) CM Si eriica dalla relazione sopra, che queste due ariazioni sono uguali ed opposte: + ( + ) CM ( CM ) (CM ) Dinaica VII - Urti 7
Urto copletaente anelastico Energia cinetica pria dellurto: E,in + ( Energia cinetica + )CM + E' Applicando il teorea di Konig Energia cinetica dopo lurto: E +,in ( ) CM < E, in Energia cinetica nel sistea del centro di assa In un urto copletaente anelastico, lenergia totale diinuisce. Lenergia che iene assorbita è E e corrisponde allenergia cinetica rispetto al centro di assa che i punti hanno pria dellurto : ΔE E,in E,in NOTA: Doe inisce lenergia persa?. E' ( + ) CM I due corpi durante lurto si deorano in odo peranente e restano copenetrati. Il laoro copiuto, a spese dellenergia cinetica iniziale, per are aenire la deorazione non iene più recuperato, oero le orze interne che si siluppano non sono conseratie. Dinaica VII - Urti 8
Esepio Un proiettile di assa p 0g si uoe orizzontalente con 400s - e penetra in un blocco di assa b 390g inizialente in quiete su una supericie pria di attrito.quali sono le elocità inali del proiettile e del blocco? y p Pria dellurto in b Dopo lurto b p in Sol.: o x Quantità di oto totale iniziale P 3 in,x p in,x 0 400g s 4 0 gs 4g s Quantità di oto totale inale P + in,x ( p b ) in, x 400g in, x 0.4g in, x P in,x P in,x 4g s 0.4g in, x in,x 0s Dinaica VII - Urti 9
Esepio - continuazione y Pria dellurto b Dopo lurto b p in in p o x NOTA : NOTA : K p in, x 800J K ( p + b ) in,x 0J i L energia non si consera: calore, deorazione. Qual è la ariazione di quantità di oto del proiettile e del blocco? in,x 0s Proiettile: ΔP p p p,in p p,in ( 0 Kg)( 0s ) ( 0 Kg)( 400s ) 3.9Ns Blocco: ΔP ( 0.39Kg)( 0s ) ( 0) b +3.9Ns Opposti! Dinaica VII - Urti 0
Esepio: pendolo balistico Dispositio per deterinare la elocità dei proiettili Una pallottola di assa, che iaggia orizzontalente con elocità,in urta il pendolo di assa rianendoi coniccata. Nessuna orza esterna agisce sul sistea. 0 h,in per :,in 0 del sistea subito dopo lurto:,in in conserazione della quantità di oto P P in,x per :,in del sistea subito dopo lurto:,in in in,x,in ( ) in in, in + Dinaica VII - Urti +
Esepio: pendolo balistico - continuazione h 0 del sistea subito dopo lurto: in, in in +, in h Terinata la collisione, il pendolo con la pallottola inizia ad oscillare raggiungendo unaltezza h, isurata rispetto alla posizione di equilibrio, tale che lenergia potenziale eguagli lenergia cinetica del sistea subito dopo lurto Conserazione dellenergia eccanica ( + ) gh ( + ) in ( ), in +,in + gh Dinaica VII - Urti
Esercizio: urto copletaente anelastico Un blocco di g parte da ero, senza attrito, lungo un piano inclinato di rispetto al piano orizzontale dallaltezza di 0,65. Allarrio, sul piano a quota zero, urta, attaccandoisi, un blocco di assa 3,5 g. I due blocchi congiunti slittano per una distanza di 0,57 sul piano orizzontale ino ad arrestarsi. Qual è il coeiciente di attrito della supericie orizzontale? g h0,65 3,5 g Sol.: 0,57 Moto del blocco di g Per troare la elocità inale di, pria dellurto con applichiao la conserazione dellenergia gh ( ) in in 3,57 + Dinaica VII - Urti + gh 9,8 0, 65 3,57 s Subito dopo lurto i due punti blocchi si uoono insiee con la elocità ( ): 5,5,3 s in,3 s 3
g Esercizio: continuazione h0,65 3,5 g in,3 s Moto dei due blocchi l 0,57 Dallistante dopo lurto i due blocchi si uoono sul piano orizzontale con elocità iniziale e decelerazione costante data dallattrito dinaico: Utilizzando il legae tra ariazione dellenergia cinetica e laoro ΔE W at µ 0, 5 g ( + ) µ ( + )g l Dinaica VII - Urti 4
h0,65 g 3,5 g Esercizio: continuazione Utilizzo le equazioni del oto in,3 s Moto dei due blocchi l 0,57 Dallistante dopo lurto i due blocchi si uoono sul piano orizzontale con elocità iniziale e decelerazione costante data dallattrito dinaico: Utilizzando le equazioni del oto unioreente decelerato: (t) x(t) t at at Per x(t)l, (t)0 0 ( µ g)t t µ ( g) t a t µ µ g a µ g g µ g ( µ g) µ g µ g µ 0, 5 g Dinaica VII - Urti 5
Urto elastico Si deinisce urto elastico, un urto durante il quale si consera anche lenergia cinetica del sistea Le orze interne sono conseratie. I due corpi che urtano subiscono, durante lurto, delle deorazioni elastiche, riprendendo la conigurazione iniziale subito dopo lurto. Nellurto elastico sono dunque alide le equazioni: P in P in E E,in,in Sistea di rieriento del laboratorio Sistea di rieriento del centro di assa Dinaica VII - Urti 6
Urto elastico Caso unidiesionale I due corpi si uoono pria e dopo lurto elastico lungo la stessa direzione. Supponendo di conoscere le asse e le elocità iniziali dei due corpi che urtano, attraerso le due equazioni di conserazione: possiao ricaare il alore delle due elocità inali incognite: P in P in in in in + in + ( + ) CM P in P in E E,in,in E E,in,in in + i,in,in +,in,in ( ),in + +,in Sistea del laboratorio Sistea del centro di assa,in,in + ( + ),in Dinaica VII - Urti 7
Sistea del laboratorio Urto elastico Caso unidiesionale,in,in ( ),in +,in + + ( ),in +,in Attenzione ai segni delle elocità!prendendo coe rieriento il erso di,in, allora,in a considerata con segno positio se è concorde a,in, o negatio se è discorde. Segno delle elocità inali: - positio elocità concorde a,in - negatio elocità discorde a,in Nel sistea del centro di assa per lurto elastico si ricaa: ',in ',in,in,in Sistea del centro di assa Velocità e quantità di oto di ciascun punto riangono inariate in odulo, cabiano solo il erso Dinaica VII - Urti 8
Esepio urto elastico Un neutrone di assa urta rontalente, in odo elastico un bersaglio costituito da un nucleo atoico di assa inizialente ero. Qual è la diinuzione percentuale dellenergia del neutrone? Fare il calcolo nei casi in cui il nucleo bersaglio sia: ) Piobo; (assa atoica: A06) ) Carbonio; (assa atoica: A) 3) Idrogeno. (assa atoica: A) Sol.: E,in,in E,,in,in E,,in E,,in E,, in + ( ),in,in,in doe in questo caso,in 0,in, in + +,,in 4 E,i 4,,in 4, in E,,in E ( ),,in + ( ) E ( ) +,,in + E, in Caso: ) Caso: ) Caso: 3) A 06: 06 A : A : E E E E,,in,,in,,in,,in,,in 4 ( + ) 4 ( + ) ( + ) 4 06 0, 0 ( 07) ( 3) % 4 0, 8 8% E,,in 4 4 00% Dinaica E VII - Urti 9 ( )