Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica Prova in Itinere Tema 9 Novembre 03 Esercizio Riempimento di un serbatoio Si deve alimentare il serbatoio B, posto a quota YB, con una portata di 0.098 m 3 /s. tale ine si utilizza un serbatoio, già presente, posto a quota Y. Se la portata così ottenuta non osse suiciente, occorrerebbe predisporre una condotta che colleghi il serbatoio C, posto a quota YC, al serbatoio B. Si determini: - se la portata Q proveniente dal serbatoio è suiciente; - il diametro Dn da assegnare alla nuova tubazione. Dati ν.006 0-6 m /s Y 8 m YB 60 m YC 80 m DB 95 mm LB 0 m L 55 m scabrezza B 0. mm scabrezza 0.08 mm B C Si utilizzi per i calcoli del attore di attrito la ormula per moto completamente turbolento, veriicandola a posteriori. Per rendere più veloci i calcoli iterativi, nel calcolo del diametro della condotta si assuma un attore di attrito di primo tentativo pari a 0.00. Soluzione ε s = log0 3.7 D Y YB J B = = 0.07 L B = 0.0093 J BgDB vb = =.9 m/s π D B 3 QB = vb = 0.068 m /s vbd B Re B = = 87 (conermata bontà assunzione) ν 3 Q = Q Q = 0.03m /s B
YC YB J = = 0.00 L () =0.00 () ε s D = = 0.93m v () D () () () 3.7 0 Q = =.035 π D J gd = = 0.003998 v ε s = = 0.935m 3.7 0 () Risultato a convergenza vd Re = = 9670 accettabile ν
Esercizio Pressione in una tubazione Dell acqua scorre in una tubazione. Si vuole determinare il valore della pressione rierito all asse della tubazione, attraverso un piezometro a mercurio. Se la pressione nella tubazione viene ridotta di 0.5 bar, qual è il nuovo dislivello di mercurio tra i due rami del piezometro? Dati: γhg = 33000 N/m3 h = 0 cm h = 0 cm Soluzione p = p B B' p = p + γ h B HO pb' = pa + γ Hg ( h+ h) p + γh ( ) Oh = pa + γhg h+ h γ ( ) γ p = pa + Hg h+ h + H Oh =.75 bar p = p C C' pc = p p+ γ HO( h ) h pc ' = pa + γ Hg ( h+ h h) p p+ γh ( ) ( ) O h h = pa + γhg h+ h h + γ ( + ) ( ) γ hnew = h+ h h= cm pa Hg h h p p H Oh h = = 9.5 cm γ γ Hg HO
Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica Prova in Itinere Tema B 9 Novembre 03 Esercizio Paratoia Il cassone riportato in igura contiene acqua. Determinare il valore minimo di z per cui la paratoia rettangolare B, incernierata in B e proondità l non si muove. h Dati: l = m B = m θ = 30 P (peso paratoia) = 5000 N z θ B y Soluzione G posizione del baricentro della paratoia. - Momento dovuto alla orza peso (Mp): M P = P GB cosθ = 085 Nm - Coordinate di punti di interesse (cerniera e baricentro) h B h B yb = + B zg = h+ sinθ yg = + sinθ sinθ - rea della paratoia = B l = - Momento di Inerzia baricentrico: 3 IG = B l = 0.67 - Spinta sulla paratoia B S = γzg = γ h + sinθ - Coordinata centro di spinta: IG h B IG yc = yg + = + + yg sinθ h B + sinθ - Braccio (bs) della spinta rispetto alla cerniera
h h B IG IG bs = yb yc = + B + + = 0.5B sinθ sinθ h B h B + + sinθ sinθ - Il momento dovuto al peso deve essere uguale al momento dovuto alla spinta: B IG S bs = γ h sinθ 0.5B + = M h B + sinθ h B 0.5B + IG B sinθ γ h sinθ + = MP h B + sinθ Poniamo α = 0.5B B h B h B γh+ γ sinθ α + α IG = MP + sinθ sinθ Siano: B B β = α IG δ = γ sin θ Si può scrivere: h h B ( γh+ δ) α + β = MP + MP sinθ sinθ γα αδ h B h + γβ h+ h+ δβ = MP + MP sinθ sinθ sinθ γα αδ M P B h + h γβ + + δβ MP = 0 sinθ sinθ sinθ La soluzione dell equazione quadratica qui riportata ci dà due soluzioni di cui una sola accettabile, perché l altra è negativa: h = 9 cm P
Esercizio Sione Da un serbatoio contenente acqua esce un sione, di diametro pari a 0 cm, che scarica in atmosera. Occorre determinare il valore massimo della distanza tra l elusso e il pelo libero del serbatoio (Δh) e della portata massima ainché non si abbia h S ormazione di vapore in nessun punto della h condotta. Si ha ormazione di vapore se la pressione in qualche punto scende al di sotto della tensione di h 0 vapore dell acqua, che alla temperatura del sistema è pari a 350 Pa. Si trascurino le perdite di carico. Nel caso che il dislivello Δh superi il valore massimo, assumendo un valore pari a quello massimo aumentato del 50%, aumentando la velocità di elusso si incorrerebbe nel enomeno della cavitazione. Per evitare ciò occorre ridurre il oro di uscita, rastremando l ugello, in modo da non modiicare la portata precedentemente valutata. Si chiede in questo caso di determinare questo diametro di sbocco. Dati: h0 = 30 m hs = 36 m Soluzione Il punto in cui la pressione è minima è quello del tratto superiore orizzontale. Se applichiamo il teorema di Bernoulli tra il pelo libero e il tratto orizzontale della condotta: P min a S S + h P v 0 = + hs + γ γ g Da cui min Pa P S vs = g + h0 hs = 7.7 γ m/s Da cui la portata: V = v π d S = 0.56 m 3 /s E il valore di Δh si ricava dal teorema di Bernoulli tra pelo libero e sbocco: vs vs h = 0 h + h h0 h 6 g = = g = m Se Δh è aumentato del 50%, il nuovo valore diviene hmod =.5 h= m Riapplicando Bernoulli tra pelo libero e sbocco, si può ottenere la nuova velocità di elusso:
ve hmod = ve = g hmod = m/s g Poiché non si vuole modiicare la portata V, e essendo V = v = v S S e e Si ha che e = V V de 0.8 v = πv = e e m
Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica Prova in Itinere Tema C 9 Novembre 03 Esercizio Paratoia Il cassone prismatico riportato in igura contiene acqua. Determinare il valore della orza F (applicata nel punto C e diretta orizzontalmente) per cui la paratoia, incernierata in e proondità l, non si muove. Dati: l = m B = m = m H =.50 m θ = 30 P (peso complessivo paratoia ) = 5000 N Soluzione Il bilancio di orze da imporre è il seguente: PL P SBbB + Sb + sinθ + Lsinθ = FL( + cosθ) () Dove tutte le orze sono espresse per unità di lunghezza. Con bb e b si indicano i bracci delle due spinte SB e S che agiscono rispettivamente sul tratto B e, aventi uguale lunghezza, indicata più semplicemente con L. La orza richiesta è quindi data da: SBbB Sb 3P + + sin θ F = L L + cosθ () questo punto basta quindi calcolare le due spinte e i due bracci: S B L = γl H cosθ (3) S ( H Lcosθ ) = γ ()
b B L L cosθ = 6 cos ( H L θ ) (5) b H + Lcosθ 3 = (6)
Esercizio Tubazione di collegamento tra serbatoi Si prendano in considerazione due serbatoi identici, di sezione circolare (diametro interno di 3 m), collegati dalle due tubazioni lisce secondo quanto riportato in igura, al cui interno scorre dell olio (ρ=0.8 g/cm3, µ=0 cp). Sulle due tubazioni sono presenti delle perdite di carico a cui sono associati i coeicienti globali K=5 e K=0. Si chiede di determinare il tempo necessario per portare il dislivello da H0=5m a HF=m. Dati: L = 00 m L = 00 m D = 50 mm D = 30 mm Soluzione Equazione di Bernoulli H = H( t) (7) L v L v v v H = + + K + K (8) D g D g g g L v L v H = + K + + K D g D g (9) 6 6µ Re ρvd = = (0) 6µ L v 6µ L v H = + K + + K ρvd g ρvd g () v v β v = = () 6µ L v 6µ L β v H = + K + + K ρvd g vd g ρβ (3) 6µ L 6βµ L v 6µ L 6βµ L v v H = + K + + β K = + K + + β K ρvd ρvd g ρvd ρvd g g ()
3 L 3 L v 3 L L K K H µ βµ µ = + v + K + K = + β v + + β v γd γd g γ D D g β (5) 3µ L βl K + β K H = + v + v = v + v γ D D g ε δ (6) Bilancio di materia: dv v dx = (7) dh dt = v (8) S Dall equazione di Bernoulli: H v v = ε + δ (9) Equazione dierenziale da risolvere: dh dv dv ( v ) dv dt dt dt dt = ε + δv = ε + δ (0) dv ( ε + δv ) = v 0 v( t = 0) = v dt S () ε + δv dv v S = dt () ε + δ dv = t v (3) S v 0 εln + δ ( v v ) = t () v 0 S F S v tf = εln + δ v v 0 v F 0 ( ) (5) Dove:
( ) δ v + εv H = 0 0 0 0 0 ε ± ε + δh v = δ F ( ) F ε δ v + v H = 0 F ε ± ε + δh v = δ F 0 F (6)
Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica Prova in Itinere Tema D 9 Novembre 03 Esercizio Portello quadrato Il disegno riportato a lato mostra un portello quadrato di lato L incernierato su un asse (a distanza pari a 0.5 L dalla base superiore), in grado di ruotare nella direzione riportata in igura. Il serbatoio è riempito di acqua (ρ=000 kg/m3) nella parte ineriore (quella direttamente a contato con il portello) ino ad un altezza b misurata a partire dalla base superiore del portello e olio (ρ=800 kg/m3) nella parte superiore. Si chiede di determinare qual è il livello minimo di olio (ovvero la grandezza a riportata in igura) in grado di consentire la rotazione del portello. Dati: L = 00 mm b = 50 mm Soluzione La condizione da imporre è che il punto di applicazione della spinta sul portello cada esattamente sulla cerniera. Se con yc indichiamo l aondamento del punto di applicazione della spinta e con yg l aondamento del baricentro del portello (entrambi misurati rispetto al piano dei carichi idrostatici dell acqua), abbiamo: L yc yg L yg L α = + α = + (7) dove α=0.5 (secondo i dati del problema). desso è suiciente sviluppare l equazione sopra riportata: y L + LyG L C = = + y (8) G LyG yg α L yg L y y + = + G (9) G Da qui troviamo la posizione che deve essere assunta dal baricentro: y G L = 6 ( α ) (30)
Sappiamo però anche che il baricentro si trova in corrispondenza della seguente posizione: L γ O yg b a γ = + + (3) Quindi, combinando le due abbiamo una sola equazione nell incognita a: L L γ b a 6 O = + + ( α ) γ (3) 3 a α = L b γ 6α 3 γ O (33)
Esercizio Tubazione di collegamento tra serbatoi Si prendano in considerazione due serbatoi collegati dalle tre tubazioni secondo quanto riportato in igura, al cui interno scorre dell acqua (ρ= g/cm3, µ= cp). Sulla tubazione 3 è presente una valvola (non riportata in igura) che introduce una perdita di carico concentrata a cui è associato un coeiciente K=5. Le tre tubazioni sono scabre e hanno lo stesso indice di scabrezza pari a ε= mm. Si chiede di determinare la portata che complessivamente luisce da un serbatoio all altro in corrispondenza di un dislivello assegnato pari a H=50 m. Si utilizzi opportunamente la seguente correlazione per il calcolo del attore di attrito in condizioni turbolente: K.55 = log + 3.7 D Re Dati: L = 00 m L = 50 m L3 = 50 m D = 50 mm D = 30 mm D3 = 60 mm Soluzione Equazione di Bernoulli H = H( t) (3) L v L v v H = + + K (35) 3 3 3 3 3 D g D3 g g L v L v v H = + + K (36) 3 3 3 3 3 D g D3 g g L v L v D g D g = (37) Lv Lv D D = (38) LD v v β v = = (39) LD v + v = v 3 3 (0) v v+ v 3 = () 3
K.55 = log + 3.7 D Re () K log 3.7 D (3) K log 3.7 D v = βv βv = αβv K log 3.7 D () v+ αβv + αβ v v α v = = = (5) 3 3 3 3 H = L v + L α v + K α v v = L + L + K 3 3 3 3 3 3 α3 3 3α3 D g D3 g g g D D3 (6) g H v = L L3 + α3 3 + K3α3 D D 3 (7) K log 3.7 D K 3 log 3 3.7 D3 (8) Calcolo più accurato: K.55 log + 3.7 D old Re K.55 log + 3.7 D old Re K.55 3 log + 3 3.7 D old 3 Re3 3 v v v new new β α new β (9) = = (50) + α β v v v new 3 new α3 3 == = (5) g H v = new L new L3 + α3, new 3 + K3α3, new D D 3 (5)