Sollecitazioni semplici Lo Sforzo Normale Obiettivi: apprendere il concetto di sollecitazione, determinare l espressione della sollecitazione originata da una forza assiale, calcolare allungamenti e deformazioni associati allo sforzo normale e comprendere come essi siano legati alle caratteristiche della struttura attraverso il concetto di rigidezza assiale. Determinare la contrazione trasversale associata alla trazione.
Considerazioni introduttive Come accennato in precedenza, il calcolo delle azioni interne è propedeutico alla definizione dello stato di sollecitazione della struttura L obiettivo del progettista è di fatto quello di mappare gli sforzi ai quali la struttura è sottoposta in ogni punto di ogni sua sezione. Ciò al fine di prevedere, con ragionevole certezza qual è la zona più a rischio di cedimento (collasso) strutturale Sollecitazione, Sforzo, Tensione Ha le dimensioni di una pressione σ,τ Forza Superficie N = m = 2 = Pa Tensione normale (vettore sforzo entrante/uscente dal piano) Tensione tangenziale (vettore sforzo giacente nel piano)
Tensioni normali e tangenziali Il segno degli sforzi viene assegnato secondo la seguente convenzione: Sforzi NORMALI: Positivo se USCENTE dalla superficie (trazione) Negativo se ENTRANTE (compressione) Sforzi TANGENZIALI: Positivo se tende a far ruotare la superficie in senso ORARIO, Negativo se tende a far ruotare la sezione in senso ANTIORARIO
Considerazioni introduttive Prendiamo in esame una delle strutture analizzate nel corso dello studio delle azioni interne. L/2 F F q L q B H B V B F 2 q L 2 L L A F 2 + q L 2 V A A
Considerazioni introduttive Tracciamo il diagramma dell azione normale: q L H B + Il diagramma dell azione normale mostra che le due aste sono soggette a compressione con una forza che è pari a Asta orizzontale q L Asta verticale F 2 q L + 2 V A A F 2 + q L 2 Tuttavia tale informazione, da sola, non è sufficiente a consentirci di sapere se la struttura, realizzata secondo una certa geometria e con un determinato materiale, resiste o collassa Occorre, anzitutto, esprimere lo stato di sollecitazione dell asta. Questo è funzione del carico applicato e della geometria della struttura
Considerazioni introduttive È intuitivo che, a parità di forza applicata, un aumento della sezione del componente (dove per sezione si intende l area della superficie ottenuta tagliando l asta con un piano perpendicolare al suo asse), è garanzia di una maggior resistenza al carico applicato La forza per unità di area, ossia l intensità delle forze distribuite su una certa sezione, è chiamata tensione o stress. In particolare in questo caso di solito viene indicata con la lettera greca σ.
Considerazioni introduttive Per determinare in che modo si esprime lo stato di sollecitazione nel caso di sola azione normale, prendiamo in esame un solido ad asse rettilineo e sezione costante, caratterizzato da una dimensione prevalente rispetto alle altre due Il solido si caratterizza attraverso tre entità: 1) L asse baricentrico, 2) La forma della sezione 3) L area della sezione (A) Asse A
Considerazioni introduttive Si immagini di applicare, su una delle due superfici di base, una forza N in direzione coincidente con quella dell asse baricentrico (forza ASSIALE o NORMALE) Per l equilibrio del corpo, la forza sarà controbilanciata da una forza uguale e contraria applicata nella stessa direzione, ma di verso opposto, sull altra faccia In questa configurazione, comune a numerose strutture civili, industriali, e dispositivi medici si dice che il solido subisce uno sforzo ASSIALE o NORMALE N N
Esempio
Considerazioni introduttive Se si immagina di tagliare la barra con una sezione perpendicolare all asse, per l equilibrio entrambe le porzioni dovranno scambiarsi una azione interna uguale alla forza N applicata Ciò può avvenire con la collaborazione di tutti i punti della sezione, sui quali agisce uno sforzo normale che è espresso come rapporto tra la forza applicata e la superficie (che si immagina infinitesima) Lo sforzo si rappresenta mediante il vettore Φ N Φ N In questo specifico caso, lo sforzo è uguale in ogni punto della superficie ed è diretto normalmente ad essa Φ Il vettore viene quindi a coincidere con la sua componente normale Φ Φ n = n σ
Calcolo della tensione normale Se il materiale è omogeneo lo sforzo normale N si distribuisce uniformemente in tutte le aree elementari da della sezione, interessando in eguale misura tutte le ideali fibre disposte parallelamente all asse x della trave, e dando origine a tensioni unitarie normali alla sezione trasversale A x Il valore di x si ricava imponendo che la risultante della distribuzione (uniforme) della sollecitazione sulla superficie di area A sia uguale all azione interna N σ xda = A N da cui, essendo x costante σ x da = N σ x A = N σ x = A N A È chiaro che in condizioni di puro sforzo assiale, l azione interna è uguale alla forza esterna applicata
Calcolo della tensione normale Per visualizzare lo stato di sforzo in un punto di una struttura spesso si fa riferimento alla rappresentazione di un volume elementare, il cosiddetto «elementino». Questo è di fatto un cubetto immaginario centrato sul punto nel quale si vogliono calcolare le sollecitazioni. Utilizzando tale schematizzazione, la rappresentazione dello sforzo assiale è la seguente: Come accennato in precedenza, gli sforzi sono grandezze la cui dimensione corrisponde a quella di una pressione, essendo definiti come rapporto tra una forza ed una superficie. Nel SI si misurano in Pascal (Pa) 1 N m N mm Pa = 1 1 MPa = 1 2 2
Deformazioni conseguenti ad un carico assiale Analizziamo ora cosa accade ad un materiale sottoposto a carico assiale https://www.youtube.com/watch?v=d8u4g5kcpcm https://www.youtube.com/watch?v=i28m4fzzqro&t=8s
Deformazioni conseguenti ad un carico assiale Analizziamo ora cosa accade ad un materiale elastico sottoposto a sforzo normale Consideriamo un asta BC di lunghezza L, sospesa nel punto B. Se applichiamo un carico P alla sua estremità libera, l asta si allunga. È intuitivo che l entità di tale allungamento sia associata all entità del carico applicato (maggiore il carico, maggiore l allungamento) Rappresentando in un diagramma che riporta in ascisse gli allungamenti e in ordinate i carchi applicati, si ottiene un grafico simile a quello in figura In una certa regione del grafico, si osserva che l allungamento è proporzionale al carico applicato
Deformazioni conseguenti alla trazione Dunque, l effetto macroscopico dell applicazione di un carico assiale (e quindi del conseguente sforzo di trazione) su un corpo, è un allungamento del corpo stesso, ovviamente nell ipotesi che questo sia deformabile (e quindi non perfettamente rigido) Le sezioni A e B, inizialmente a distanza L, al termine dell applicazione del carico (che si suppone venga fatta in modo quasi statico, cioè con una velocità molto bassa) si verranno a trovare allontanate tra loro di una lunghezza δ (m) Il rapporto tra l allungamento δ e la lunghezza iniziale del corpo L, si definisce DEFORMAZIONE. ε = L finale L L iniziale iniziale = δ L m m La deformazione, essendo calcolata come rapporto tra due distanze, è un numero puro. Possiamo pensare alla deformazione come all allungamento per unità di lunghezza
Deformazioni conseguenti alla trazione La definizione vista in precedenza fa riferimento al corpo nella sua interezza, considerato che abbiamo calcolato l allungamento globale Per definire la deformazione puntuale (locale), è necessario prendere in esame due sezioni normali all asse della trave/barra parallele tra loro adiacenti, cioè separate da una distanza dx Queste, per effetto del carico assiale N sono interessate da una distribuzione uniforme di sforzi σ. In virtù dell esistenza di una deformazione del materiale conseguente all azione del carico assiale, le sezioni si allontanano di una quantità δ L ε = finale L L iniziale δ = L m m δ ε = δ = ε dx dx
Relazione tra sforzi e deformazioni L evidenza sperimentale dell allungamento del corpo a seguito dell azione di un carico assiale è stata utilizzata per caratterizzare il comportamento meccanico dei diversi materiali (la gomma si allunga di più dell acciaio a parità di sezione e carico applicato!) Anche se non sempre il legame tra sforzi applicati e deformazioni non è di facile determinazione nel caso in cui il materiale di cui è composto il corpo sia elastico, sforzi e deformazioni sono legati tra loro dalla Legge di Hooke (definita nel 1660 da Robert Hooke e valida sotto l ipotesi che le deformazioni siano piccole) σ = E ε x x Secondo tale relazione, la deformazione che subisce il corpo quando è sottoposto all azione di una forza normale, è proporzionale allo sforzo mediante una costante di proporzionalità, tipica di ciascun materiale, che viene definita modulo di elasticità longitudinale, o modulo di Young Poiché la deformazione è un numero puro, ne consegue che il modulo di Young ha le stesse dimensioni di uno sforzo, e dunque viene espresso in Pa (GPa)
Modulo di Young di alcuni materiali
Il concetto di rigidezza Un concetto importante legato all interazione della struttura con un carico esterno assiale è quello di «Rigidezza». Possiamo pensare alla rigidezza come alla capacità di un elemento strutturale di opporsi alle deformazioni generate dall applicazione di un carico Per definire analiticamente la rigidezza nel caso di sforzo assiale, riassumiamo le relazioni fin qui trovate per gli sforzi e le deformazioni N 1) σ = A δ 2) ε = L 3) σ = E ε δ = ε L Dalla relazione (3) ricaviamo la deformazione Sostituiamo all espressione dello sforzo la (1) Sostituiamo questa relazione nella (2) ottenendo Sollecitazione come rapporto tra carico e area della sezione Deformazione come rapporto tra allungamento e lunghezza iniziale Legge di Hooke (proporzionalità tra sforzi e deformazioni) ε = σ E = δ = Questa relazione ci permette di introdurre il concetto di «rigidezza assiale equivalente» di un corpo soggetto a trazione. NL EA N EA
Il concetto di rigidezza δ = NL EA Perché si parla di rigidezza equivalente? Se si fa riferimento allo schema ideale di una molla, di cui sia nota la forza necessaria per ottenere un allungamento unitario, cioè la sua rigidezza (costante elastica) k, il legame tra forza e allungamento è rappresentato dalla formula N = k δ δ = N k Allora se si assimila il comportamento di un corpo elastico soggetto a trazione a quello della molla, la rigidezza sarà espressa dalla relazione: L inverso della rigidezza si definisce cedevolezza e si esprime come: k = l = EA L L EA Rigidezza Cedevolezza
Il concetto di rigidezza L equazione δ = NL EA può essere utilizzata solo: Se la struttura è omogenea (ossia se il modulo di Young E è costante) Se la sezione è costante Solo per carichi localizzati alle estremità In casi più generali (area della sezione trasversale o azione interna dipendente dall ascissa x) l allungamento si può ottenere utilizzando l espressione L δ = 0 N EA dx
Esercizio 1 (2.1 Beer) Un asta di acciaio è lunga 2.2 m e non può allungarsi più di 1.2 mm quando le si applica un carico pari a 8.5 kn. Sapendo che E=200 GPa, determinare a) il più piccolo diametro dell asta che si può usare b) la corrispondente tensione normale causata dal carico δ = NL EA A = NL Eδ A = 8500 2.2 = 7.792 10 9 200 10 0.0012 5 m 2 A = π D2 4 σ D = N A 4 A π = 4 7.792 10 5 π 8500 7.792 10 = = = 5 109.08MPa = 9.9mm
Esercizio 2 Un asta di controllo cilindrica fabbricata in ottone giallo non deve allungarsi più di 3 mm quando è sottoposta ad una forza di trazione è di 4 kn. Sapendo che E = 105 GPa e che la massima tensione normale ammissibile è 180 MPa, determinare: (a) il più piccolo diametro che può essere scelto per l asta e (b) la corrispondente lunghezza massima dell asta. σ = E ε σ ε = = E 180 10 105 10 6 9 = 0.00171 δ ε = L L = δ ε = 0.003 0.00171 = 1.75m δ = NL NL 4000 1.75 A = A = = 2.22 10 5 9 EA Eδ 105 10 0.003 m The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.
Il coefficiente di Poisson In un solido prismatico, la deformazione in senso assiale non è l unica conseguenza causata dallo sforzo di trazione, infatti la struttura tende anche a contrarsi in direzione trasversale È dunque possibile calcolare una N N deformazione trasversale definita dal rapporto tra dimensione iniziale e finale della sezione in direzione perpendicolare all asse longitudinale δtr ε tr = L La deformazione trasversale è proporzionale alla deformazione assiale e ha lo stesso valore in qualunque punto del solido elastico, a patto che questo sia omogeneo, cioè possegga uguali proprietà in tutti i suoi punti Se, poi, il materiale è anche isotropo, cioè possiede proprietà meccaniche indipendenti dalla direzione considerata, il rapporto tra la deformazione trasversale e quella assiale prende il nome di coefficiente di Poisson. ν = ε tr ε lo tr Valori tipici del coefficiente di Poisson per i metalli sono nell ordine di 0.25-0.35
Il coefficiente di Poisson La deformazione trasversale rappresenta un esempio di come sia possibile avere una deformazione in una direzione lungo la quale non agisce nessuno sforzo Video contrazione trasversale https://www.youtube.com/watch?v=hbnzrbhnzvo https://www.youtube.com/watch?v=skbodb0x4gk https://www.youtube.com/watch?v=kclbfaud0fg Poisson negativo https://www.youtube.com/watch?v=5wprszzzhyq
Variazione di volume Sempre nel caso di solidi prismatici, l applicazione di carichi di trazione tende a modificarne il volume per effetto delle deformazioni assiali e trasversali. δ a Consideriamo il parallelepipedo in figura di lati a, b e c. Se questo viene sollecitato da uno sforzo assiale diretto secondo l asse x (cioè in direzione del lato a) subisce un cambiamento di dimensioni. In particolare, li lato a si allunga, mentre i lati b e c si accorciano Ricordando che: = ε a l δ = ν ε b b δ ε = δ = ε dx dx l δ = ν ε c c l Il volume iniziale del prisma è dato da: V i = a b c Il volume finale sarà: V f ( a + δ ) ( b δ ) ( c δ ) = a b c ( 1+ ε ) ( 1 νε ) ( νε ) = 1 a b c l l l Sviluppando e trascurando i termini di V ( ) secondo e terz ordine di ε (molto piccoli) si ha: f = a b c 1+ ε l 2νε l
Variazione di volume Possiamo quindi esprimere la variazione di volume come: V f V i = a b c = a b c ( 1+ ε 2νε ) l l ΔV = V f V i ΔV = a b c ΔV = a b c ΔV ( 1+ ε 2νε ) a b c l ( 1+ ε 2νε 1) l l l ( 1 ) = a b c ε 2ν l Il rapporto tra la variazione di volume e il volume iniziale fornisce la dilatazione di volume ( 1 2ν ) ΔV a b c ε l ε v = = = ε l 2 V a b c i ( 1 ν ) Pertanto si avranno dilatazioni positive solo quando il termine (1-2 <0.5. Nel caso in cui =0.5, la dilatazione è nulla )>0, ossia per
Il lavoro di deformazione Un altra importante conseguenza dell esistenza di una deformazione originata dall applicazione di una forza è rappresentata da un accumulo di energia del quale è possibile calcolare il valore. Nel caso della trazione, ipotizzando che il carico applicato P cresca da 0 al valore massimo gradualmente, in maniera quasi statica (ossia attraverso una successione di stati di equilibrio) gli estremi del prisma si allontanano di una quantità Se si riporta in un diagramma l andamento di P in funzione di si ottiene il grafico in figura. Un aumento del carico pari a dp provoca un allungamento d Il lavoro relativo a questo intervallo vale P d Il lavoro totale relativo all allungamento finale vale: L δ = 1 0 P dδ Questo integrale rappresenta di fatto l area sottesa dalla curva P- Questo lavoro rappresenta l energia di deformazione accumulata dal solido a seguito della deformazione provocata dall azione del carico P
Il lavoro di deformazione Nel caso in cui la legge di variazione della deformazione rispetto al carico sia lineare (come accade per la maggior parte dei materiali che presentano un comportamento elastico), l espressione dell energia di deformazione diventa: L = P 2 1 δ 1 [ N m] Quindi, nel caso di un materiale elastico, si osserva che il lavoro compiuto da una forza che cresce linearmente da 0 al valore massimo è la metà del lavoro che compirebbe la stessa forza quand essa fosse mantenuta al valore costante per tutto il campo di spostamento (Teorema di Clapeyron) Sempre nel caso di materiale a comportamento lineare è possibile definire l energia accumuata da un volume unitario, o densità di energia di deformazione come segue: Ψ = L V σ ε 1 P δ 2 1 P δ 1 = = = σ ε = A l 2 A l 2 2 σ 2E
Esercizio 1 (1.1 Beer) Due aste cilindriche piene AB e BC sono saldate in B e caricate come illustrato in figura. Sapendo che d 1 = 30 mm e d 2 = 50 mm, si determini la tensione normale media agente nella sezione di mezzeria di entrambe le aste
Esercizio 2 (1.2 Beer) Due aste cilindriche piene AB e BC sono saldate in B e caricate come illustrato in figura. Sapendo la tensione normale media non deve superare i 150 MPa in ciascuna asta, determinare i valori minimi possibili dei diametri d 1 e d 2.
Esercizio 4 (2.07 Beer)
Esercizio 3 (1.3 Beer) È stato misurato sperimentalmente che la tensione media misurata nel punto C dell osso in figura è pari a 3.8 MPa quando esso è soggetto a due forze di trazione di 1200 N. Assumendo che la sezione trasversale in C sia anulare, e sapendo che il diametro esterno D vale 25 mm, determinare il diametro interno nella sezione C dell osso. Suggerimento: 1) Ricordare l espressione della sollecitazione assiale σ x e quella dell area di una corona circolare. Il diametro esterno D è noto: l unica incognita è il diametro interno d.
Esercizio 8 Una prova standard di trazione è usata per determinare le proprietà di un polietilene ad altissimo peso molecolare (UHMWPE) Il provino è una barra di diametro 15 mm ed è soggetto ad un carico di trazione di 3.5 kn. Sapendo che nella lunghezza base di 120 mm è stato osservato un allungamento di 11 mm ed una riduzione di diametro di 0.62 mm, determinare: (a) il modulo di elasticità, (b) il coefficiente di Poisson del materiale. Suggerimento: 1) Ricordare l espressione della legge di Hooke 2) Ricordare l espressione del coefficiente di Poisson
Esercizio 8 Entrambe le porzioni dell asta ABC sono realizzate in alluminio (E=73 GPa). Sapendo che il diametro della porzione BC é d=20 mm, determinare il massimo carico che può essere applicato se la sollecitazione massima ammissibile non può superare i 160 MPa, e la corrispondente deformazione massima al punto C non può eccedere i 4 mm
Esercizio 4
Esercizio 9 (2.12 Beer) Il provino mostrato in figura è stato ricavato da un foglio di vinile avente modulo di Young E=3.1 GPa e spessore 5 mm Sapendo che il provino è soggetto ad un carico di trazione di 1.5 kn determinare: a) l allungamento totale del provino b) l allungamento della sola parte centrale
Esercizio 3 Calcolare l allungamento della barra di acciaio (E = 210 GPa) rappresentata in figura e soggetta ai due carichi concentrati (200 e 300 kn) δ = NL EA Suggerimenti: 1) Tracciare lo schema statico, calcolare le reazioni vincolari e disegnare i diagrammi delle azioni interne 2) Ricordare l espressione dell allungamento che fa riferimento al concetto di rigidezza assiale 3) Si applica il principio della sovrapposizione degli effetti. L allungamento totale della barra è somma degli allungamenti delle sue singole porzioni