Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 7 settembre 207 Parte B Tema B Tempo a disposizione: due ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all'inizio di una pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giusticate. SOLUZIONI Esercizio. Risolvere l'equazione ( (3 + 2i)z 2 + (4 + i) z )( (3 2i)z 2 + ( 4 + i) z ) = 3z 4 7 z 2 + + i Sviluppando il prodotto i termini in z 4 e z 2 si semplicano e l'equazione diventa 0iz 2 z = + i Questa equazione si risolve senza nessuna dicoltà usando il modulo e l'argomento di z. L'equazione ha un'unica soluzione. Esercizio 2. a) Dimostrare che i punti A(; 0; ), B(0; 2; ) e C(4; 6; 7) sono allineati. Basta osservare che i vettori AB = ( ; 2; 2) e AC = (3; 6; 6) sono paralleli. b) Determinare la retta r passante per A, B e C. Tale retta è ovviamente quella passante per A e per B, ossia r : = t y = 2t z = + 2t c) Scrivere l'equazione del piano contenente la retta r e il punto D( 3; 3; 2). Si tratta del piano passante per i punti A, B e D, la cui equazione è ossia 8 + 9y 5z 3 = 0. y z + 2 2 4 3 = 0
d) Calcolare l'area del triangolo ABD. L'area cercata è la metà del modulo di AB AD = ( 8; 9; 5), ossia 2 70. Esercizio 3. Si consideri la quadrica σ di equazione 4 2 + y 2 + 4z 2 4y + 8z 4yz 20 + 0y 20z + 24 = 0. a) Determinare gli eventuali punti doppi di σ. L'equazione di σ in forma matriciale è dove A = (, y, z, )A y 4 2 4 0 2 2 5 4 2 4 0. 0 5 0 24 I punti doppi di σ sono determinati dalla condizione ossia dal sistema 0 A y z = 0 0, 0 4 2y + 4z 0 = 0 2 + y 2z + 5 = 0 4 2y + 4z 0 = 0 0 + 5y 0z + 24 = 0 Dal confronto tra la seconda e la quarta equazione è immediato concludere che il sistema è impossibile; quindi la quadrica non ha punti doppi. b) Dopo aver vericato che il punto C(0; 2; ) appartiene a σ, scrivere l'equazione del piano π tangente a σ nel punto C. Per eettuare la verica richiesta basta sostituire le coordinate di C nell'equazione di σ. Il piano cercato ha poi equazione ossia 2 y + 2z 4 = 0. (0, 2,, )A y 2
c) Vericare che il piano π è contenuto nella quadrica σ. Basta sostituire y = 2 + 2z 4 nell'equazione di σ e vericare che si ottiene un'identità. d) Riconoscere la quadrica σ. Poiché σ non ha punti doppi e contiene un piano, essa è costituita da due piani paralleli. A conferma di ciò, si può vericare che il polinomio che la denisce si fattorizza come (2 y + 2z 4)(2 y + 2z 6). 3
Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 7 settembre 207 Parte B Tema B2 Tempo a disposizione: due ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all'inizio di una pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giusticate. SOLUZIONI Esercizio. Risolvere l'equazione ( (4 + i)z 2 + (3 + 5i) z )( (4 i)z 2 + ( 3 + 5i) z ) = 7z 4 34 z 2 + + i Sviluppando il prodotto i termini in z 4 e z 2 si semplicano e l'equazione diventa 34iz 2 z = + i Questa equazione si risolve senza nessuna dicoltà usando il modulo e l'argomento di z. L'equazione ha un'unica soluzione. Esercizio 2. a) Dimostrare che i punti A(; 0; ), B(0; 2; ) e C( 2; 6; 5) sono allineati. Basta osservare che i vettori AB = ( ; 2; 2) e AC = ( 3; 6; 6) sono paralleli. b) Determinare la retta r passante per A, B e C. Tale retta è ovviamente quella passante per A e per B, ossia r : = t y = 2t z = + 2t c) Scrivere l'equazione del piano contenente la retta r e il punto D(3; 3; 2). Si tratta del piano passante per i punti A, B e D, la cui equazione è ossia 8 3y + 7z = 0. y z + 2 2 2 3 = 0
d) Calcolare l'area del triangolo ABD. L'area cercata è la metà del modulo di AB AD = ( 8; 3; 7), ossia 2 22. Esercizio 3. Si consideri la quadrica σ di equazione 4 2 + y 2 + 4z 2 4y + 8z 4yz 2 + 6y 2z + 8 = 0. a) Determinare gli eventuali punti doppi di σ. L'equazione di σ in forma matriciale è dove (, y, z, )A y 4 2 4 6 A = 2 2 3 4 2 4 6. 6 3 6 8 I punti doppi di σ sono determinati dalla condizione ossia dal sistema 0 A y z = 0 0, 0 4 2y + 4z 6 = 0 2 + y 2z + 3 = 0 4 2y + 4z 6 = 0 6 + 3y 6z + 8 = 0 Dal confronto tra la seconda e la quarta equazione è immediato concludere che il sistema è impossibile; quindi la quadrica non ha punti doppi. b) Dopo aver vericato che il punto C(0; 2; ) appartiene a σ, scrivere l'equazione del piano π tangente a σ nel punto C. Per eettuare la verica richiesta basta sostituire le coordinate di C nell'equazione di σ. Il piano cercato ha poi equazione ossia 2 y + 2z 4 = 0. (0, 2,, )A y 2
c) Vericare che il piano π è contenuto nella quadrica σ. Basta sostituire y = 2 + 2z 4 nell'equazione di σ e vericare che si ottiene un'identità. d) Riconoscere la quadrica σ. Poiché σ non ha punti doppi e contiene un piano, essa è costituita da due piani paralleli. A conferma di ciò, si può vericare che il polinomio che la denisce si fattorizza come (2 y + 2z 4)(2 y + 2z 2). 3
Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 7 settembre 207 Parte B Tema B3 Tempo a disposizione: due ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all'inizio di una pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giusticate. SOLUZIONI Esercizio. Risolvere l'equazione ( (2 + 3i)z 2 + (6 + 4i) z )( (2 3i)z 2 + ( 6 + 4i) z ) = 3z 4 52 z 2 + + i Sviluppando il prodotto i termini in z 4 e z 2 si semplicano e l'equazione diventa 20iz 2 z = + i Questa equazione si risolve senza nessuna dicoltà usando il modulo e l'argomento di z. L'equazione ha un'unica soluzione. Esercizio 2. a) Dimostrare che i punti A(; 0; ), B(0; 2; ) e C(2; 2; 3) sono allineati. Basta osservare che i vettori AB = ( ; 2; 2) e AC = (; 2; 2) sono paralleli. b) Determinare la retta r passante per A, B e C. Tale retta è ovviamente quella passante per A e per B, ossia r : = t y = 2t z = + 2t c) Scrivere l'equazione del piano contenente la retta r e il punto D( ; 3; 2). Si tratta del piano passante per i punti A, B e D, la cui equazione è ossia 8 + 5y z 9 = 0. y z + 2 2 2 3 = 0
d) Calcolare l'area del triangolo ABD. L'area cercata è la metà del modulo di AB Esercizio 3. Si consideri la quadrica σ di equazione AD = ( 8; 5; ), ossia 4 2 + y 2 + 4z 2 4y + 8z 4yz 6 = 0. a) Determinare gli eventuali punti doppi di σ. L'equazione di σ in forma matriciale è dove (, y, z, )A y 4 2 4 0 A = 2 2 0 4 2 4 0. 0 0 0 6 I punti doppi di σ sono determinati dalla condizione ossia dal sistema 0 A y z = 0 0, 0 4 2y + 4z = 0 2 + y 2z = 0 4 2y + 4z = 0 6 = 0 2 90 = 3 2 0. Dal confronto tra la seconda e la quarta equazione è immediato concludere che il sistema è impossibile; quindi la quadrica non ha punti doppi. b) Dopo aver vericato che il punto C(0; 2; ) appartiene a σ, scrivere l'equazione del piano π tangente a σ nel punto C. Per eettuare la verica richiesta basta sostituire le coordinate di C nell'equazione di σ. Il piano cercato ha poi equazione ossia 2 y + 2z 4 = 0. (0, 2,, )A y 2
c) Vericare che il piano π è contenuto nella quadrica σ. Basta sostituire y = 2 + 2z 4 nell'equazione di σ e vericare che si ottiene un'identità. d) Riconoscere la quadrica σ. Poiché σ non ha punti doppi e contiene un piano, essa è costituita da due piani paralleli. A conferma di ciò, si può vericare che il polinomio che la denisce si fattorizza come (2 y + 2z 4)(2 y + 2z + 4). 3
Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 7 settembre 207 Parte B Tema B4 Tempo a disposizione: due ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all'inizio di una pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giusticate. SOLUZIONI Esercizio. Risolvere l'equazione ( ( + 3i)z 2 + (5 + 2i) z )( ( 3i)z 2 + ( 5 + 2i) z ) = 0z 4 29 z 2 + + i Sviluppando il prodotto i termini in z 4 e z 2 si semplicano e l'equazione diventa 26iz 2 z = + i Questa equazione si risolve senza nessuna dicoltà usando il modulo e l'argomento di z. L'equazione ha un'unica soluzione. Esercizio 2. a) Dimostrare che i punti A(; 0; ), B(0; 2; ) e C( 4; 0; 9) sono allineati. Basta osservare che i vettori AB = ( ; 2; 2) e AC = ( 5; 0; 0) sono paralleli. b) Determinare la retta r passante per A, B e C. Tale retta è ovviamente quella passante per A e per B, ossia r : = t y = 2t z = + 2t c) Scrivere l'equazione del piano contenente la retta r e il punto D(5; 3; 2). Si tratta del piano passante per i punti A, B e D, la cui equazione è ossia 8 7y + z + 3 = 0. y z + 2 2 4 3 = 0
d) Calcolare l'area del triangolo ABD. L'area cercata è la metà del modulo di 3 2 26. Esercizio 3. Si consideri la quadrica σ di equazione AB AD = ( 8; 7; ), ossia 2 234 = 4 2 + y 2 + 4z 2 4y + 8z 4yz 4 + 2y 4z 8 = 0. a) Determinare gli eventuali punti doppi di σ. L'equazione di σ in forma matriciale è dove (, y, z, )A y 4 2 4 2 A = 2 2 4 2 4 2. 2 2 8 I punti doppi di σ sono determinati dalla condizione ossia dal sistema 0 A y z = 0 0, 0 4 2y + 4z 2 = 0 2 + y 2z + = 0 4 2y + 4z 2 = 0 2 + y 2z 8 = 0 Dal confronto tra la seconda e la quarta equazione è immediato concludere che il sistema è impossibile; quindi la quadrica non ha punti doppi. b) Dopo aver vericato che il punto C(0; 2; ) appartiene a σ, scrivere l'equazione del piano π tangente a σ nel punto C. Per eettuare la verica richiesta basta sostituire le coordinate di C nell'equazione di σ. Il piano cercato ha poi equazione ossia 2 y + 2z 4 = 0. (0, 2,, )A y 2
c) Vericare che il piano π è contenuto nella quadrica σ. Basta sostituire y = 2 + 2z 4 nell'equazione di σ e vericare che si ottiene un'identità. d) Riconoscere la quadrica σ. Poiché σ non ha punti doppi e contiene un piano, essa è costituita da due piani paralleli. A conferma di ciò, si può vericare che il polinomio che la denisce si fattorizza come (2 y + 2z 4)(2 y + 2z + 2). 3