Idrodinamica Equazione di con0nuità Equazione di Bernoulli
Fluidi Ideali Lo studio del moto di un fluido reale sarebbe troppo complesso ed è ancora oggetto di molti studi. Limitiamoci a studiare un liquido reale che sia vincolato alle seguenti caratteristiche. Supponiamo che il nostro fluido sia: Incoprimibile, cioè sia un liquido e che la massa volumica sia costante Laminare, cioè nel tempo non cambi ne direzione ne verso: il moto dell acqua al centro di un fiume è laminare, mentre non lo è quello delle rapide. non viscoso, la viscosità è l equivalente dell attrito nel moto dei solidi. In un fluido ideale l elica di una barca sarebbe inutile, ma una barca non avrebbe bisogno di un elica una volta in movimento. Irrotazionale, cioè nel suo movimento il liquido non incontra vortici
Equazione di con0nuità Consideriamo un liquido che fluisce in un tubo seguendo le specifiche del fluido ideale e vediamo come varia la sua velocità nel caso che il tubo cambi dimensione. Supponiamo che nell intervallo di tempo Δt una certa quantità di liquido ΔV che occupa una regione di spazio con superficie A abbia una velocità v. Allora per l incomprimibilità del liquido la stessa quantità di liquido dovrà lasciare la sezione A, ma la sua velocità sarà diversa. Infatti, sia ΔV la quantità di liquido considerata, allora ΔV = A Δx ovvero ΔV = A vδt e quindi nel tempo Δt sarà anche A v = A v cioè la portata volumica in [m 3 /s] è R v = cost. La portata massica espressa in [kg/s] è R m = ρr v = ρ A v = cost
Equazione di Bernoulli Supponiamo un tubo di flusso che abbia l ingresso e l uscita a due diverse quote e siano di due diverse sezioni. Bernoulli partendo dall equazione di continuità e facendo semplici considerazioni di conservazione dell Energia meccanica concluse che: p + ρv ovvero p + ρv + ρgy + ρgy = p + = cost ρv + ρgy
Generalità dell Equazione di Bernoulli Questa equazione ha interessanti implicazioni:. Se il fluido è a riposo v = v ovvero v = 0 p - p = ρg (y y ) Questa formula è esattamente uguale all equazione usata da Torricelli per misurare la pressione atmosfera. Se invece il flusso è orizzontale y = y p p = ½ρ (v v ) Si verifica l affermazione che laddove aumenta la velocità di un fluido diminuisce la pressione (portanza delle ali, tubo di venturi) Si può notare che l equazione di Bernoulli non ha le dimensioni dell energia, ma da questa deriva e vedremo come.
Dimostrazione dell Equazione di Bernoulli In un certo intervallo di tempo Δt ai due estremi del tubo le superfici che si spostano sono Δs e Δs e per il principio di continuità dovrà essere: ΔV = Δs A = Δs A. Il lavoro fatto sarà w = p A Δs - p A Δs = w = (p -p ) ΔV. (In s la pressione è diretta in senso opposto alla pressione in s, quindi segno - in s ) Il lavoro fatto corrisponde alla variazione dell energia meccanica. w = E+U
Ancora sull equazione di Bernoulli D altronde l E k (s ) = ½ mv = ½ ρ ΔV v è l energia cinetica di una massa m che entra nel tubo di flusso in s. Nello stesso intervallo di tempo la stessa massa dovrà lasciare il tubo da s portandosi dietro una energia cinetica E k (s ) così che possiamo scrivere ΔE k = E k (s ) E k (s ) = ½ ρ ΔV (v - v ) L energia potenziale della massa m entrante in s sarà Δmgy = ρ ΔVgy e quella uscente in s nello stesso Δt sarà Δmgy = ρ ΔVgy ΔU = ρ ΔV g(y y ) Per il teorema del Lavoro e dell Energia (p -p ) ΔV = ½ ρ ΔV (v -v ) + ρ ΔV g(y - y ) o più semplicemente p + ½ ρv + ρgy = cost [M - KS - ]
Esempio classico Trovare la velocità dell acqua che esce dal foro?. Bisogna pensare ad un tubo con diametro del serbatoio. Quindi per l equazione della continuità Av 0 = av v 0 = (a/a) v. p 0 + ½ ρ v 0 + ρ gh = p 0 + ½ ρ v + ρ g(0) e per v 0 <<v v = (gh) ½ (velocità di un grave)
Come pesare la spinta di Archimede Un recipiente pieno d acqua è posto su una bilancia che indica un peso W. Una pietra che pesa w, agganciata ad una corda, viene immersa nell acqua senza toccare il fondo. La pietra sospesa ad un filo e immersa nell acqua deve rispettare la II legge di Newton e pertanto Σ F x = 0 e le forze presenti sono: la forza peso w, la tensione del filo T e la forza di galleggiamento B, quindi T + B = w (*). Quando mettiamo il sistema isolato sulla bilancia, la molla eserciterà sul sistema una forza S così che la II legge di Newton darà W + w = S + T e tenendo conto della relazione (*) avremo: W + (T + B) = S + T S = W + B B = ρ g V spinta di Archimede la bilancia segnerà la forza peso dell acqua più la spinta di Archimede