ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE Tem di: MATEMATICA E INFORMATICA Il cdidto dopo ver dto u iustificzioe dell formul d iterzioe per prti: f d f f d dic cos c è di slito el riometo seuete: si d clcolre pplicdo l () co f e d, otteimo: d d d d d cui, elimido d d mo i memri, seue: Successivmete pplici l () per clcolre l iterle defiito: Il cdidto ffroti le seueti questioi: ( ) e d fr tutti i cilidri iscritti i u coo circolre retto volume mssimo quello l cui ltezz è l terz prte dell ltezz del coo dopo verlo esposto pplicre il teorem di de L Hôpitl per dimostrre ce, per fiito, N, si : lim ; esporre u strtei umeric per il clcolo pprossimto di lo wwwmtemticmeteit
Nel pio riferito coordite crtesie ortooli moometrice (, y) si cosideri l curv di equzioe: y si si Si determiio i coefficieti e fficé i u flesso el puto, ; si disei il rfico dell curv, per i vlori di e di così trovti, ell itervllo [, ]; si determii l re dell reioe limitt dll curv, dll sse e dlle rette: e Ifie, si espo u loritmo per il clcolo pprossimto di Durt mssim dell prov: ore E cosetito l uso dell clcoltrice scietific o rfic No è cosetito lscire l Istituto prim ce sio trscorse ore dll detttur del tem wwwmtemticmeteit
PROBLEMA Puto Il cdidto dopo ver dto u iustificzioe dell formul d iterzioe per prti: f d f f d dic cos c è di slito el riometo seuete: si d clcolre pplicdo l () co f e d, otteimo: d d d d d cui, elimido d d mo i memri, seue: Il metodo di iterzioe per prti deriv direttmete dll formul di derivzioe del prodotto: Iterdo mo i memri si : ( f ) f f ( f ) d ( f ) d ( f ) d f ( f ) d ( f ) d ( f ) d f ( f ) Nel riometo reltivo d di cui sopr, c è u errore di fodo i quto si omette l proprietà delle primitive di u stess fuzioe di differire per u costte Iftti sio f, due primitive di d ce differiscoo per u costte e posto f d l, d l k co k, seuedo il riometo ftto sopr si d d l d d d l k l l k k wwwmtemticmeteit
cioè le costti per le quli differiscoo le primitive, differiscoo tr di loro di u uità, cos e divers dll equzioe impossiile I ltri modi l equzioe impossiile l si ottiee prtedo dl presupposto ce l primitiv di u fuzioe si uic e quidi edo ce esistoo ifiite primitive ce differiscoo per u costte Puto Successivmete pplici l () per clcolre l iterle defiito: ( ) e d d Clcolimo prim l iterle idefiito e ( ) Si : sceliedo e, f e e e ( ) ( ) d e ( ) ( ) e d ( ) d e ( ) ( ) e e d ( ) ( ) e e k e ( ) k Quidi e ( ) d [ e ( ) ] ( e ) Ripplicdo literzioe per prti e d wwwmtemticmeteit
PROBLEMA Il cdidto ffroti le seueti questioi: Puto fr tutti i cilidri iscritti i u coo circolre retto volume mssimo quello l cui ltezz è l terz prte dell ltezz del coo Si cosideri l fiur sottostte rffiurte i sezioe il coo circoscritto l cilidro C G K F A D H E B Sio r ed il rio di se e l ltezz del coo rispettivmete Poimo KH co < < I trioli CHB e FEB soo simili per cui CH : HB FE : EB e cioè : r : EB d cui EB d cui il rio di se del cilidro è ( HE ) r R HB EB r r Il volume del cilidro è V Cilidro KH r L mssimizzzioe del volume l effettuimo trmite derivzioe L derivt prim del volume è: V Cilidro V V V Cilidro Cilidro Cilidro r per cui r r ( )( ) r ( )( ) > < < V r ( )( ) < < < V r ( )( ) r strettmete crescete i, strettmete decrescete i, wwwmtemticmeteit Cilidro Cilidro r Ioltre V ( ) V < Cilidro mssimo per e vle V Cilidro Cilidro r r r per cui il volume del cilidro è
Puto dopo verlo esposto pplicre il teorem di de L Hôpitl per dimostrre ce, per fiito, N, si : lim ; Eucimo l reol di de L Hôpitl: Se due fuzioi f e defiite i u itoro di, soo derivili i tle itoro, co ; se le due fuzioi, per tedoo etrme o e se esiste il limite del rpporto delle derivte delle fuzioi dte, f, llor esiste ce il limite del rpporto delle f f f fuzioi e vle lim lim Nel cso i esme è possiile pplicre tle teorem e, dopo verlo pplicto volte si lim lim lim l ( )! lim ( l ) ( l ) D! se, e D l Si osservi ce ce [ ] [ ] I ltertiv, poicé lim lim, clcoldo il limite lim si : lim De L Hopitl lim l Puto Esporre u strtei umeric per il clcolo pprossimto di lo U procedur per clcolre il vlore l si s sull iterzioe umeric ttrverso il metodo dei rettoli, dei trpezi o di Cvlieri Simpso di d, iftti si d [ l ] l Scelimo di suddividere l itervllo [,] i itervllii di mpiezz Poedo ( ) :, si wwwmtemticmeteit
wwwmtemticmeteit Metodo dei rettoli: [ ] () 9 9 d co u errore commesso [ ] i m co, M M e I questo cso ed i [;] il mssimo m m M è riuto per e vle M per cui l errore è 8 e Metodo dei trpezi: () 9 8 d co u errore commesso [ ] i m co, M M e I questo cso ed i [;] il mssimo m m M è riuto per e vle M per cui l errore è 9 9 M e Metodo di Cvlieri Simpso: [ ] d () 9
co u errore commesso e ( ) 8 M co M m IV IV ed i [;] il mssimo M m m M per cui l errore è IV i [, ] I questo cso è riuto per e vle ( ) e M 8 8 9 Not ce il metodo ce, prità di pssi, cosete di clcolre u vlore di più vicio quello rele, pri 9, è il metodo di Cvlieri Simpso wwwmtemticmeteit 8
PROBLEMA Nel pio riferito coordite crtesie ortooli moometrice (, y) si cosideri l curv di equzioe: y si si Puto Si determiio i coefficieti e fficé i u flesso el puto, ; L curv si y si pss per, se Ioltre l derivt secod di y si si è y cos si per cui ess preset u flesso i, se y Mettedo sistem le due codizioi e l curv divet y si si ( si )( si ) Puto si disei il rfico dell curv, per i vlori di e di così trovti, ell itervllo [, ]; Studimo l fuzioe y si si ( si )( si ) ell itervllo [, ] Domiio: [, ]; Itersezioe sse delle scisse: si ; Itersezioi sse delle ordite: y ; Evetuli simmetrie: o è u fuzioe è pri è dispri, m è u fuzioe periodic di periodo T ; y > si > < < ; Positività: ( si )( si ) y ; Comportmeto li estremi: y( ) wwwmtemticmeteit 9
Asitoti verticli: o vi soo sitoti verticli; Asitoti orizzotli: o vi soo sitoti orizzotli i quto l fuzioe è periodic; Asitoti oliqui: o vi soo sitoti oliqui i quto l fuzioe è periodic ; Crescez e decrescez: l derivt prim è y cos ( si ) per cui y cos ( si ) >,, cioè l fuzioe è strettmete crescete i,, e strettmete decrescete ltrove; Cocvità e covessità: l derivt secod è y ( si )( si ) ed è positiv per,,, ; ioltre y per cui i,,, l fuzioe preset due flessi tete oliqu Tr l ltro y 8 <, y per cui, è u 9 mssimo reltivo ed ssoluto metre per costtre l tur del puto, doimo clcolre le derivte successive I prticolre l derivt terz e qurt soo: y > 9 per cui, è u miimo reltivo ed ssoluto I coclusioe l fuzioe IV IV cos ( si ) y, y ( cos si ) y cocvità verso l lto i,, e verso il sso i Il rfico è sotto presetto:, wwwmtemticmeteit
wwwmtemticmeteit p p p p p p - 9 - si HL sihl- Puto si determii l re dell reioe limitt dll curv, dll sse e dlle rette: e L re d clcolre è pri : 9 cos si si cos si cos si si d d d S Puto Ifie, si espo u loritmo per il clcolo pprossimto di Teuto coto ce è d, u loritmo per il clcolo di si ricoduce u loritmo di iterzioe umeric; ci soo differeti metodi di iterzioe umeric, come il metodo dei rettoli, dei trpezi o di Cvlieri - Simpso Quest ultimo prevede l suddivisioe dellitervllo di iterzioe i sottoitervlli e l sostituzioe i questi sottoitervlli dell fuzioe iterd
medite rci di prol, cioè medite poliomi qudrtici Clcolimo co u errore iferiore ttrverso l formul d iterzioe pprossimt di Cvlieri Simpso,, ; co queste ssuzioi l errore ce si commette utilizzdo il Poimo metodo suddetto è e ( ) 8 M IV dove M m sottoitervlli Nel cso i esme l derivt qurt di e l derivte qurt i [,] è mssim per i [,] ed è il umero di è ( ) IV ( ) IV e M m Quidi l errore commesso è e e poicé si vuole u risultto co u errore iferiore si deve sceliere i modo ce e < > > per cui scelimo 8 i quto il metodo di Cvlieri Simpso v usto per divisioi pri Applicimo l formul di Cvlieri - Simpso: d ( ) ( 8 ) 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 8 89 8 8 Il vlore rele di per le prime cique cifre decimli coicide co quello trovto [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] wwwmtemticmeteit