CAPITOLO 4 PROPRIETÀ ENERGETICHE DEI BIPOLI 4.1 Poenza elerica. Conservazione delle poenze eleriche. Si consideri un circuio N con b bipoli e siano i 1 i 2 i b le correni e v 1 v 2 v b le ensioni; per ogni bipolo i riferimeni per i versi della correne e della ensione siano sceli in base alla convenzione dell uilizzaore (figura 1a). Per il k-esimo bipolo (k=1,2,..., b) del circuio, si definisce la poenza elerica assorbia come S = i k v k = Ö i k Ö v k. (1) Alla grandezza, così definia, si da il nome di poenza elerica perché, come poi vedremo, essa ha un significao fisico preciso: descrive lo scambio di energia ra il k-esimo bipolo e la pare resane del circuio. Nel Sisema Inernazionale la poenza si misura in wa (W): 1W=1V 1A. L'aggeivo assorbia sa solo ad indicare che il prodoo è ra la ensione v k ( v ˆ k ) e la correne i k (ˆ i k ) scele con la convenzione dell'uilizzaore. Figura 1 Convenzione dell'uilizzaore (a) e convenzione del generaore (b). Se si usa la convenzione del generaore, allora al prodoo ra la ensione Ö v k = v k (v k ) e la correne i k ( Ö i k = i k ) S Ö = i k Ö v k = Ö i k v k (2)
128 Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica si dà il nome di poenza elerica erogaa; l'aggeivo erogaa sa solo a indicare che il prodoo è ra la ensione Ö v k e la correne i k scele con la convenzione del generaore. Siccome è v k = Ö v k e i k = Ö i k, (3) si ha ra la poenza elerica assorbia e la poenza elerica erogaa dallo sesso bipolo Ö S = S (4) Si osservi che il segno della poenza elerica assorbia e della poenza elerica erogaa non dipende dalla paricolare scela del riferimeno per il verso della correne. La poenza elerica è un caso paricolare di poenza viruale. Il eorema di Tellegen, presenao nel precedene Capiolo, è applicabile anche quando l'insieme delle correni i 1 i 2 i b e l'insieme delle ensioni v 1 v 2 v b apparengono allo sesso circuio, e quindi verificano olre alle equazioni di Kirchhoff, anche le equazioni cosiuive. In queso caso la poenza viruale assorbia (erogaa) dal k- esimo lao coincide con la poenza elerica assorbia (erogaa) dal k-esimo bipolo. Applicando il eorema di Tellegen si ha che, la somma delle poenze eleriche assorbie da ui i bipoli di un circuio elerico è in ogni isane uguale a zero. Conservazione delle poenze eleriche Si consideri un circuio elerico. La somma delle poenze eleriche assorbie (erogae) da ui i bipoli del circuio è uguale a zero, cioè b i k v k = 0. (5) k=1 Esempio Si consideri il circuio di figura 2a (per ogni bipolo è saa faa la convenzione dell'uilizzaore) e si scriva la conservazione delle poenze. Si ha v 1 i 1 + v 2 i 2 + v 3 i 3 + v 4 i 4 + v 5 i 5 = 0 (6) È evidene che i ermini della (6) non possono avere lo sesso segno (a meno che non siano ui nulli; ciò è ceramene impossibile se nel circuio circolano correni): quindi alcuni ermini sono posiivi e alri negaivi. Perano in un circuio elerico la poenza assorbia da alcuni bipoli è posiiva menre quella assorbia dagli alri è negaiva.
Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica 129 Figura 2 È possibile scrivere la conservazione delle poenze eleriche anche quando su alcuni bipoli si fa la convenzione dell'uilizzaore e su alri la convenzione del generaore, (figura 2b). Parendo dalla (6) e osservando che Ö v 3 = v 3 Ö v 4 = v 4 e Ö v 5 = v 5, si perviene a: v 1 i 1 + v 2 i 2 = Ö v 3 i 3 + Ö v 4 i 4 + Ö v 5 i 5 S 1 + S 2 = S Ö 3 + Ö S 4 + Ö S 5, (7) cioè la somma delle poenze assorbie dal resisore e dal condensaore è uguale alla somma delle poenze erogae dal generaore ideale di ensione, dall'induore e dal diodo. In generale in circuio la somma delle poenze assorbie da un cero insieme di bipoli è uguale, isane per isane, alla somma delle poenze erogae dalla resane pare dei bipoli, cioè α b S i = Ö Sj i =1 j = α+1. (8) 4.2 Significao fisico della poenza elerica Cosa rappresena la poenza elerica assorbia (o erogaa) da un bipolo? Nel limie quasisazionario per la poenza elerica assorbia p() (erogaa Ö p ) dal generico bipolo inserio in un circuio vale la relazione approssimaa (vedi Appendice B) S = vi ( + QdS (o Ö Σ c S = Ö v i ( + Σ c Ö QdS dove Q= Ö Q ) (9) dove 6 = ( + è il veore di Poyning e Σ c è la superficie limie del componene di cui il bipolo è il modello (figura 3); il verso della normale n è rivolo verso l'inerno della superficie limie. Nella (9) la relazione ra la poenza elerica assorbia (erogaa) e il flusso del veore di Poyning è di eguaglianza approssimaa: è ignoraa la poenza eleromagneica irradiaa. Quando le grandezze eleromagneiche (e quindi le ensioni e le correni) variano lenamene nel empo, ques'ulima è generalmene rascurabile. Figura 3 convenzione dell'uilizzaore (a) e convenzione del generaore (b).
130 Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica Il flusso del veore di Poyning araverso la superficie limie Σ c è legao al campo eleromagneico all'inerno del componene (della regione delimiaa da Σ c ), dalla relazione (eorema di Poyning, vedi Appendice B) QdS = ( -dω ( + Σ c + ( ' dω + + % dω, (10) e quindi S + ( ' dω + + % ( -dω dω. (11) Se consideriamo mezzi maeriali lineari, isoropi e empo-invariani con cosane dielerica ε e permeabilià magneica µ, la (11) divena (abbiamo supposo anche che la froniera di cosane nel empo) S ( -dω + d ( 2 ε( / 2) d dω + 2 % [ ( 2µ ) Ω dω c Ω ]. (12) c sia Quale è il significao fisico dei re ermini che compaiono a secondo membro della (12)? - Il ermine δ : = ( ( -dω Ω )d (13) c può essere inerpreao come lavoro compiuo dal campo elerico sulle cariche libere in moo nella regione nell'inervallo di empo elemenare d (il moo di quese cariche dà luogo al campo di densià di correne di conduzione J). - La grandezza ( ) U e = 2 ε( 2 dω (14) è la pare di energia immagazzinaa nello spazio associaa al campo elerico; U e è posiiva perché ε>0. - La grandezza ( ) U m = 2 % 2µ dω (15) è la pare di energia immagazzinaa nello spazio associaa al campo magneico; U m è posiiva perché µ>0. Allora la (12) può essere riscria moliplicando ui i ermini per d, nella forma seguene: pd = δ :+ du em, (16) dove U em = U e + U m (17) è l'energia immagazzinaa nello spazio associaa al campo eleromagneico. Riassumendo abbiamo:
Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica 131 La legge della conservazione delle poenze (5) descrive il legame ra le poenze eleriche assorbie dai diversi bipoli del circuio; infai essa è direa conseguenza delle sole leggi di Kirchhoff. L'equazione (12) esprime la poenza elerica assorbia dal singolo bipolo come somma di re conribui: (a) il lavoro, per unià di empo, compiuo dal campo elerico sulle cariche in moo all'inerno del componene di cui il bipolo è il modello; (b) la variazione, per unià di empo, dell'energia immagazzinaa associaa al campo elerico all'inerno del componene; (c) la variazione, per unià di empo, dell'energia immagazzinaa associaa al campo magneico all'inerno del componene. Quale ermine sia prevalene nella (12) dipende unicamene dalla cosiuzione fisica del componene e quindi dalla relazione cosiuiva del bipolo. 4.2.1 Bipoli saici Nei componeni saici, cioè resisori, generaori, diodi,..., la poenza isananea assorbia nel ( -dω. Nel limie lenamene variabile anche se du em regime sazionario è uguale a 0, d queso ermine coninua ad essere rascurabile rispeo a ( -dω perché gli effei prodoi dall'induzione magneoelerica ed eleromagneica sono rascurabili rispeo a quelli prodoi dalla conduzione (vedi Appendice B). Di conseguenza la poenza assorbia dai bipoli saici nel limie lenamene variabile è daa da S ( -dω, (18) (la (18) è esaa solo nel limie sazionario): la poenza elerica assorbia è uguale al lavoro, per unià di empo, compiuo dal campo elerico sulle cariche libere in moo all'inerno del componene di cui il bipolo è il modello. - Resisore La poenza elerica assorbia dal resisore lineare può essere espressa in funzione della sola correne i() o della sola ensione v() araverso la relazione cosiuiva. Si oiene S = Ri 2 = v2 R, (19) dove R è la resisenza del resisore; la poenza elerica assorbia da un resisore lineare è posiiva se R>0. Consideriamo ora un resisore lineare realizzao con un conduore di ipo ohmico. Il lavoro compiuo dal campo elerico per unià di empo in queso componene è dao da = η - ( -dω 2 dω, (20) dove η è la resisivià elerica del conduore; esso è posiivo perché η>0. Sosiuendo la (20) nella (18) e uilizzando la (19) si ha: S = Ri 2 = η 2 - dω. (21)
132 Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica D alra pare sappiamo dal primo principio della ermodinamica che il lavoro compiuo dal campo elerico in un mezzo conduore si rasforma compleamene in energia ermica (effeo Joule): pare di quesa energia uscirà dalla superficie limie soo forma di calore e la resane pare darà luogo a un incremeno dell'energia inerna del conduore e quindi a un innalzameno della sua emperaura. In conclusione Ri 2 (o v 2 R ) rappresena l'energia ermica, per unià di empo, prodoa per effeo Joule all'inerno del resisore. Queso risulao è del uo generale e vale anche per bipoli resisori che modellano sisemi più complessi del componene resisore. Anche in un diodo, in un diodo unnel, in un irisore la poenza elerica assorbia è uguale all'energia ermica prodoa per unià di empo. Per ognuno di quesi bipoli, come poi vedremo, S = ( -dω è sempre maggiore di zero. - Generaore ideale di ensione Uilizzando l'equazione caraerisica, la poenza elerica assorbia dal generaore ideale di ensione (e() è la ensione impressa dal generaore e i() è la correne), può essere espressa araverso la relazione S = e i. (22) Il lavoro, per unià di empo, compiuo dal campo elerico all'inerno del componene è dao da ( -dω = Ω ( c m -dω, (23) (ricordiamo che in un generaore ideale di ensione è ( + ( m = ), cioè esso è uguale all'opposo del lavoro, per unià di empo, compiuo sulle cariche libere dal campo eleromoore E m. Perano abbiamo: In una pila S = e i = ( m -dω. (24) ( m -dv è uguale a una frazione dell'energia di legame, che per unià di empo, si libera nelle reazioni chimiche che sono alla base del suo funzionameno (il rendimeno di quesi sisemi è minore di uno a causa di fenomeni dissipaivi di diversa naura fisica). In una dinamo o in un alernaore ( m -dv è uguale al lavoro compiuo, nell'unià di empo, dal sisema meccanico che muove il roore. La poenza assorbia da un generaore ideale di ensione può essere sia posiiva che negaiva: il segno dipende dal circuio in cui il componene è inserio. Ad esempio, in un accumulaore soo carica è posiiva, menre è negaiva quando lo sesso accumulaore, una vola caricao, fa funzionare un calcolaore poraile (almeno fino a quando non si scarica); è negaiva in una pila che alimena una radio. In un alernaore è posiiva in alcuni isani e negaiva in alri; comunque il valore medio (su un inervallo di empo opporuno) è negaivo. Considerazioni analoghe possono essere sviluppae per il generaore ideale di correne. 4.2.2 Bipoli dinamici
Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica 133 Nei bipoli che modellano i componeni dinamici (condensaore e induore) il lavoro, per unià di empo, compiuo dal campo elerico sulle cariche libere in moo è idenicamene nullo (il dielerico di un condensaore ideale ha conducibilià nulla e il filo conduore di un induore ideale ha conducibilià infinia). Perano per essi abbiamo p = du em d. (25) - Condensaore lineare empo-invariane Uilizzando l'equazione cosiuiva del bipolo condensaore (si assuma che il condensaore sia lineare e empo-invariane), si oiene per la poenza assorbia S = d d 1 2 Cv2 ; (26) essa è posiiva negli isani in cui la ensione del condensaore cresce in valore assoluo ed è negaiva negli isani in cui decresce se C>0. Nel condensaore ideale il campo di correne, e quindi il campo magneico, sono idenicamene nulli nel limie sazionario. Di conseguenza, l'energia immagazzinaa nello spazio è associaa solo al campo elerico, menre quella associaa al campo magneico è nulla. Nel limie lenamene variabile, pur essendo il campo magneico e U m diversi da zero, U m è rascurabile rispeo a U e, perché predominano gli effei dovui all'induzione magneoelerica su quelli dovui all'induzione eleromagneica (vedi Appendice B). Perano si ha S d d ( 2 ε( 2) Dalle equazioni (26) e (27) si ha: dω = du e. (27) d d [ U e 1 2 d Cv 2 ]= 0. (28) Dovendo essere ( = per v = 0 (siamo nel modello quasi-sazionario elerico), dalla (28) segue necessariamene e quindi 1 2 Cv 2 U e = 1 2 Cv2, (29) rappresena proprio l'energia immagazzinaa nel condensaore associaa al campo elerico quando la ensione ra le armaure è v. - Induore lineare empo-invariane Uilizzando l'equazione cosiuiva del bipolo induore (si assuma che l'induore sia lineare e empo-invariane), si oiene per la poenza assorbia S = d d Li 2 2 ; (30) essa è posiiva negli isani in cui la correne nell'induore cresce in valore assoluo ed è negaiva negli isani in cui decresce se L>0.
134 Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica In un induore ideale il campo elerico è idenicamene nullo nel limie sazionario, e quindi l'energia immagazzinaa è associaa solo al campo magneico. Nel limie lenamene variabile, pur essendo il campo elerico e la pare di energia immagazzinaa ad esso associaa diversi da zero, la pare di energia immagazzinaa associaa al campo elerico è rascurabile rispeo a quella associaa al campo magneico, U m >> U e, perché sono predominani gli effei dovui all'induzione eleromagneica rispeo a quelli dovui all'induzione magneoelerica (vedi Appendice B). Perano si ha p d d Dalle equazioni (30) e (31) si ha: d ( 2 % 2µ ) dω = du m. (31) d 1 [ U () Li ()] 0 d 2 m = 2. (32) Dovendo essere % = per i = 0 (siamo nel modello quasi-sazionario magneico), dalla (32) segue necessariamene quindi U m = 1 2 Li2, (33) 1 2 Li 2 rappresena proprio l'energia immagazzinaa nell'induore associaa al campo magneico, quando la correne che circola nell'avvolgimeno è i. Osservazione Come poi vedremo, le relazioni cosiuive dei bipoli induore e condensaore possono anche descrivere il funzionameno di componeni la cui cosiuzione fisica è compleamene diversa da quelle dei componeni induore e condensaore che abbiamo inrodoo nel Capiolo 2. Ad esempio, è possibile realizzare un induore uilizzando un condensaore e un elemeno saico paricolare, il giraore, come faremo vedere nel Capiolo 7. In queso caso l'energia U immagazzinaa nel bipolo non è più associaa al campo magneico, ma al campo elerico ed è immagazzinaa nel condensaore (il giraore è un elemeno saico e quindi non è in grado di immagazzinare energia). Esempio Si consideri il circuio di figura 2a. Dalla conservazione delle poenze (6), uilizzando le relazioni cosiuive, si oiene e i 5 = Ri 2 1 + v 3 gv 3 + d 1 d 2 Li 4 2 + 1 2 Cv 2 2 ; (34) e() è la ensione del generaore (il riferimeno per il verso è indicao in figura 2), R, L e C sono, rispeivamene, la resisenza, l'induanza e la capacià del resisore, induore e condensaore e i 3 = g(v 3 ) è la caraerisica del diodo. In queso circuio, dunque, la poenza elerica erogaa dal generaore ideale di ensione è uguale alla somma della poenza assorbia dal resisore, dal diodo, dall'induore e dal condensaore.
Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica 135 Uilizzando i risulai appena illusrai, il bilancio delle poenze eleriche espresso araverso la (34) può essere formulao nel seguene modo. Il lavoro compiuo, durane l'inervallo di empo d, dal campo eleromoore agene sui poraori di carica preseni nel generaore è uguale alla somma: 1) della quanià di calore uscene, durane l'inervallo di empo d, dal resisore e dal diodo (nei conduori di collegameno, nel condensaore e nell'induore non ci sono fenomeni dissipaivi; nella realà ci sono, ma sono rascurabili); 2) della variazione dell'energia inerna oale. La variazione dell'energia inerna oale è somma della variazione dell'energia inerna della maeria e della variazione dell' energia inerna del campo eleromagneico. La variazione dell energia inerna della maeria è, a sua vola, uguale alla somma della variazione dell'energia inerna, di ipo ermico, del pezzo di conduore con cui è realizzao il resisore e dei pezzi di semiconduore con cui è realizzao il diodo, che si manifesa in un innalzameno della emperaura, e della variazione dell'energia inerna di polarizzazione del dielerico con cui è realizzao il condensaore e dell'energia inerna di magneizzazione del maeriale magneico con cui è realizzao l'induore (è sao impliciamene assuno che le emperaure del dielerico e del maeriale magneico fossero cosani). Nel modello circuiale viene ignoraa l'energia eleromagneica che, durane l'inervallo di empo d, è scambiaa per irradiazione ra i componeni e l'energia eleromagneica irradiaa verso l'infinio. In conclusione la poenza elerica assorbia (erogaa) dal bipolo, e quindi il flusso del veore di Poyning araverso la superficie limie del componene, corrisponde a un vero e proprio ermine di energia, che nell'unià di empo, araversa la superficie limie: se è posiiva, il flusso di energia è dal circuio (in cui il bipolo è inserio), verso il bipolo; se, invece, è negaiva il flusso di energia è dal bipolo verso la pare resane del circuio. Quindi l'inegrale definio ra 1 e 2 della poenza elerica assorbia rappresena l'energia assorbia dal bipolo nell'inervallo di empo ( 1, 2 ). 4.3 Energia elerica. Bipoli passivi e bipoli aivi. L'energia elerica assorbia : da un bipolo (inserio in un circuio) nell'inervallo di empo ( è un isane di empo assegnao), è : = p τdτ, (35) dove p() è la poenza elerica assorbia dal bipolo. Nel Sisema Inernazionale l'unià di misura dell'energia è il joule 1 (J): 1J=1W 1s. Perano la poenza assorbia dal bipolo è uguale alla derivaa (rispeo al empo ) dell'energia assorbia, S = d :. (36) d 1 Nella produzione e disribuzione dell'energia elerica si usa come unià di misura dell'energia il kilowaora (kwh): essa è l'energia assorbia da un bipolo in un'ora quando la poenza assorbia è cosane ed è uguale a 1kW; 1kWh=3.6 MJ.
136 Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica L energia elerica erogaa Ö :, in un assegnao inervallo di empo, è l'inegrale definio della poenza elerica erogaa Ö p = Ö p. Prima di proseguire, c'è bisogno di sabilire un'alra convenzione. Con l'espressione poenza assorbia (energia assorbia) si inende il prodoo ra la ensione e la correne del bipolo scele con la convenzione dell'uilizzaore, menre con l'espressione poenza erogaa (energia erogaa) si inende il prodoo ra la ensione e la correne scele con la convenzione del generaore: quese grandezze, a seconda del bipolo e della dinamica circuiale, possono essere, in generale, posiive in alcuni isani e negaive in alri. Invece con l'espressione il bipolo assorbe energia elerica (poenza elerica) si deve inendere che si sa considerando una condizione di funzionameno, in cui l'energia assorbia (la poenza assorbia) è posiiva e con l'espressione il bipolo eroga energia elerica (poenza elerica) si deve inendere che si sa considerando una condizione di funzionameno, in cui l'energia erogaa (la poenza erogaa) è posiiva. Un bipolo può erogare energia elerica in alcuni inervalli di empo e assorbirla in alri. Ci sono bipoli che non possono mai erogare più energia elerica di quella assorbia in precedenza e bipoli che, invece, possono. I bipoli (così come ui gli alri elemeni circuiali) vengono classificai in due ipi, i bipoli aivi e i bipoli passivi, a seconda se possono erogare più energia elerica di quella assorbia in precedenza o possono erogare una quanià di energia elerica al più uguale a quella assorbia prima. Definizione: bipolo passivo e bipolo aivo Un bipolo si dice passivo se, per ogni condizione di funzionameno, non può erogare più energia elerica di quano ne abbia assorbia in precedenza. Se esise almeno una condizione di funzionameno in cui il bipolo eroga più energia elerica di quano ne abbia assorbia in precedenza 2, allora esso si dice aivo. 4.4 Proprieà energeiche dei bipoli saici I bipoli saici sono caraerizzai da un legame isananeo ra ensione e correne: il valore della ensione in un generico isane dipende solo dal valore della correne in quell'isane e viceversa. Per quesi bipoli il segno della poenza assorbia dipende solo dai quadrani del piano v i per i quali la curva caraerisica passa. Si considerino i bipoli saici che hanno la curva caraerisica passane solo per il primo e il erzo quadrane del piano v i (figura 4a; i bipoli sono caraerizzai usando la convenzione dell'uilizzaore). La poenza assorbia da quesi bipoli è sempre posiiva o al più uguale a zero; essa non può essere mai negaiva. È evidene, allora, che per quesi bipoli l'energia assorbia in un qualsiasi inervallo di empo è sempre posiiva, cioè 2 In queso caso l energia elerica erogaa dal componene fisico, di cui il bipolo rappresena un modello, è oenua rasformando un'energia di naura diversa da quella elerica (ad esempio, energia chimica o meccanica), in energia elerica.
Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica 137 : = Sτ dτ 0 > (37) e per ogni *. Perano essi non possono mai erogare energia e quindi sono passivi. Quesi bipoli non possono mai resiuire, nemmeno in pare, l energia elerica assorbia. Un resisore con resisenza posiiva, un diodo a giunzione pn sono esempi di bipoli passivi; l energia elerica che essi assorbono viene rasformaa ineramene in energia ermica. Figura 4 Bipolo passivo (a) e bipolo aivo (b). Figura 5 Un circuio semplice cosiuio da un bipolo aivo e da uno passivo (a) e caraerisica del generaore di ensione (b). Quando la curva caraerisica passa anche per il secondo e/o quaro quadrane del piano v-i (figura 4b), la poenza assorbia può essere negaiva (anche in inervalli di empo illimiai). Ad esempio, si consideri il circuio illusrao in figura 5. Esso consise di un generaore ideale di ensione collegao a un resisore lineare con resisenza R posiiva. Si assuma, come ipoesi di lavoro, che la ensione E del generaore sia posiiva; quindi abbiamo i g = E R < 0. (38) Il puno di lavoro del generaore di ensione si rova nel quaro quadrane del piano v g -i g (figura 5), e la poenza assorbia dal generaore S g = Ei g è in ogni isane negaiva; quindi l'energia assorbia in un qualsiasi inervallo di empo dal generaore di ensione è sempre negaiva, cioè S τdτ < 0 > (39)
138 Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica e per ogni *. Perano si può concludere che il generaore di ensione è un bipolo aivo (si arriverebbe alla sessa conclusione se il generaore indipendene di ensione fosse empo variane). Nell'esempio considerao il generaore di ensione produce l'energia elerica che viene assorbia dal resisore: il generaore di ensione rasforma, ad esempio, energia di naura chimica o di naura meccanica in energia elerica, invece il resisore rasforma l'energia elerica assorbia in energia ermica. Osservazione Un generaore può anche funzionare in modo ale da assorbire poenza. Si consideri, ad esempio, il circuio illusrao in figura 6, e si deerminino le poenze assorbie dai due generaori di ensione. Figura 6 La poenza assorbia dal generaore di ensione 1 è p 1 = E 1 E 1 E 2 R e la poenza assorbia dal generaore 2 è p 2 = E 2 E 1 E 2 R. Se E 1 > E 2, la poenza assorbia dal generaore 1 è negaiva, menre quella assorbia dall'alro generaore 2 è posiiva; dunque un generaore eroga energia (il generaore 1 ), menre l'alro l'assorbe (il generaore 2 ). Proprieà energeiche dei bipoli saici Un bipolo saico con la caraerisica passane, solo per il primo e il erzo quadrane del piano v-i è passivo. Un bipolo saico con la caraerisica passane anche per il secondo e/o quaro quadrane è aivo. Il resisore lineare con resisenza maggiore di zero, il corocircuio, il circuio apero, il nullaore, l'inerruore, il diodo a giunzione pn, il diodo zener, il diodo unnel e il irisore (con il erminale di pora scollegao) sono ui bipoli passivi. Il generaore ideale e il generaore reale di ensione, e il generaore ideale e il generaore reale di correne e il noraore sono bipoli aivi. Definizione: bipolo sreamene passivo Un bipolo saico passivo si dice sreamene passivo se - la poenza assorbia è sempre maggiore di zero quando la ensione e la correne sono diverse da zero; - la poenza assorbia è uguale a zero se e solo se la ensione e la correne sono conemporaneamene uguali a zero.
Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica 139 Il bipolo coro circuio e il bipolo circuio apero sono passivi ma non sono sreamene passivi. Il resisore passivo, il diodo a giunzione pn, il diodo zener, il diodo unnel e il irisore sono bipoli sreamene passivi. La srea passivià implica che se la poenza assorbia è nulla allora la ensione e la correne sono enrambe nulle. Esercizio Il leore dimosri che: (a) in un circuio cosiuio da soli bipoli sreamene passivi ue le correni e ue le ensioni sono nulle; (b) la massima poenza che è in grado di erogare un generaore reale di ensione o di correne è limiaa. 4.5 Proprieà energeiche dei bipoli dinamici lineari empo-invariani Allo scopo di illusrare le caraerisiche energeiche fondamenali dei bipoli dinamici lineari empo-invariani si consideri, ad esempio, un condensaore lineare e empo-invariane. L energia W( 0,) assorbia nell inervallo ( 0,) dal condensaore vale (C è la capacià del condensaore) d : 0 = p τdτ = 0 [ dτ Cv2 τ 2]dτ = 1 0 2 Cv2 1 2 Cv2 0. (40) Essa non dipende dalla soria della ensione nell'inervallo ( 0,), ma solo dai valori che v() assume negli esremi dell'inervallo: dal valore della ensione v( 0 ) nell'isane iniziale e dal valore della ensione v() nell'isane finale. Quando la ensione nell'isane finale v() è uguale a quella nell'isane iniziale v( 0 ), allora l'energia assorbia dal condensaore è idenicamene nulla, indipendenemene dalla sua forma d'onda. Un bipolo con quesa proprieà si dice conservaivo. Figura 7 Si consideri, ad esempio, un condensaore con una capacià di 1 µf e si assuma che la forma d'onda della ensione del condensaore sia quella illusraa in figura 7. L'energia assorbia dal condensaore nell'inervallo (0, 2) è uguale a zero: nell'inervallo (0, 1) assorbe 0.5 µj, e nell'inervallo (1, 2) la resiuisce ineramene al circuio a cui è collegao (l'energia erogaa nell'inervallo (1, 2) è uguale a 0.5 µj).
140 Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica Analogamene per l induore lineare e empo invariane si ha che, l energia W( 0,) assorbia nell inervallo ( 0,) vale (L è l'induanza dell'induore) d : 0 = p τdτ = 0 [ dτ Li 2 τ 2]dτ = 1 0 2 Li 2 1 2 Li 2 0. (41) Essa non dipende dalla soria della correne nell'inervallo ( 0,), ma solo dai valori che essa assume negli esremi dell'inervallo: dal valore della correne i() nell'isane iniziale e dal valore della correne i( 0 ) nell'isane finale. Quando la correne nell'isane finale i() è uguale a quella nell'isane iniziale i( 0 ), allora l'energia assorbia dall'induore è idenicamene nulla, indipendenemene dalla sua forma d'onda. In conclusione i condensaori e gli induori lineari empo-invariani sono bipoli conservaivi: l'energia che assorbono viene immagazzinaa. L'energia immagazzinaa può essere resiuia in pare o ua al circuio in cui sono inserii. Il condensaore e l'induore sono bipoli passivi o sono bipoli aivi? Si consideri dapprima il condensaore con capacià posiiva, C>0. L'energia W( 0, 1 ) assorbia dal condensaore nell'inervallo di empo ( 0, 1 ) dipende sia dalla ensione iniziale v( 0 ) che dalla ensione finale v( 1 ). Fissaa la ensione finale v( 1 )=V (siccome è C>0), il valore massimo dell'energia assorbia W( 0, 1 ) si oiene quando la ensione iniziale è nulla. Queso massimo è uguale a CV 2 2 ed esso rappresena la massima energia che il condensaore è in grado di assorbire quando la ensione finale è V. Se, invece della ensione finale si fissa la ensione iniziale v( 0 )=V (siccome è C>0) il valore minimo di W( 0, 1 ) si oiene quando la ensione finale è nulla. Queso minimo è uguale a CV 2 2, e rappresena, in valore assoluo, la massima energia che il condensaore può erogare quando la ensione iniziale è V. Perano se l'energia immagazzinaa nel condensaore al generico isane T è CV 2 2, l'energia che il condensaore può erogare per > T non può essere più grande di CV 2 2, e quindi non può essere più grande dell'energia che è saa assorbia per <T. Di conseguenza il condensaore con C>0 è un bipolo passivo. Se la capacià fosse minore di zero (sempre con la convenzione dell'uilizzaore), allora il bipolo sarebbe aivo. Per l'energia elerica assorbia dal condensaore passivo vale la proprieà : = pτdτ = 1 2 Cv 2 0 >, (42) dove * è un isane in cui la ensione del condensaore è uguale a zero. Risulai analoghi valgono per l'induore: se L>0 l'induore è passivo (il leore lo dimosri). Per l'energia elerica assorbia dall'induore passivo vale la proprieà : = pτdτ = 1 2 Li2 0 >, (43) dove * è un isane in cui la correne nell'induore è uguale a zero. Le (40) e (41) non valgono se il condensaore e l'induore sono empo-variani (cioè quando la capacià e l'induanza variano nel empo). In quesi casi si ha
Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica 141 v d [ C v] d 1 C v2, d d 2 (44) i d [ L i] 1 d d 2 Li 2. (45) In generale i condensaori e gli induori empo-variani non sono passivi. Figura 8 Osservazione I bipoli saici non sono conservaivi. In essi l energia assorbia in un dao inervallo di empo ( 0,) dipende dalla inera soria della correne (o della ensione) in quell inervallo di empo. Si consideri, ad esempio, l energia assorbia da un resisore lineare con resisenza R=1, nell inervallo di empo (0, 2), e la si valui per le due forme d onda della correne illusrae in figura 8. Pur avendo le due forme 2 2 2 d onda gli sessi valori iniziali e finali, si ha i 1 τ 2 dτ i 2 τ dτ. 0 L energia che assorbe un bipolo saico passivo, a differenza di quano accade in un bipolo conservaivo, è rasformaa ineramene in energia ermica, e quindi, non può mai essere resiuia (nemmeno in pare) soo forma di energia elerica in modo sponaneo (violerebbe il secondo principio della ermodinamica). Per queso moivo i bipoli saici passivi vengono dei bipoli dissipaivi. Esempio Si consideri il circuio illusrao in figura 9. Il generaore di correne fornisce una correne cosane diversa da zero nell'inervallo di empo (0, 1); la forma d'onda della correne imposa è illusraa in figura 9a. La ensione sul condensaore nell'isane = 0 è nulla e l'inerruore resa apero fino a =1; nell'isane =1 l'inerruore si chiude. Nell'inervallo di empo (0, 1), siccome l'inerruore è apero, si ha i()=j(), e quindi v = 1 C τdτ ; (46) 0 j perano la ensione sul condensaore vale v = per 0 1. (47) In queso inervallo di empo il generaore di correne eroga poenza e l'energia assorbia dal condensaore è uguale 0.5 mj: all'isane =1 quesa energia è ua immagazzinaa nel condensaore 0
142 Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica (soo forma di energia inerna del campo elerico e di energia inerna di polarizzazione del dielerico). Per >1 il generaore di correne è speno, l'inerruore è chiuso, e quindi i= v/r= v. Perano si ha per la ensione v dv d +10 3 v = 0, (48) v = 1 = 1. (49) Figura 9 Carica e scarica di un condensaore. La soluzione dell'equazione (48) con la condizione iniziale (49) è v() = ( 1) /10 3 H ( 1). (50) Per >1 nel circuio, pur non essendovi generaori accesi, fluisce una correne, a causa dell'energia che è saa immagazzinaa nel condensaore per <1: l'energia, che nell'isane =1 è immagazzinaa nel condensaore, viene dissipaa ineramene nel resisore nell'inervallo di empo (1, + ). 4.6 Bipoli dinamici non lineari empo-invariani Si consideri, ora, un condensaore non lineare e empo-invariane, conrollao in carica e sia v=h(q) la relazione algebrica ra la carica e la ensione (in queso caso empo invarianza significa che la funzione h=h(q) non dipende espliciamene dal empo). L'energia assorbia W( 0,) nell'inervallo di empo ( 0,) vale d : 0 = p τdτ = { 0 dτ : e >qτ }dτ @ = : e q @ > : e >q 0 @, (51) 0 dove : T è una primiiva della funzione h=h(q), cioè d : e dq = hq. (52) Come nel caso lineare, se la caraerisica del condensaore è empo invariane, l'energia assorbia dal condensaore non lineare nell'inervallo di empo ( 0,) dipende unicamene dal valore iniziale q( 0 ) e
Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica 143 dal valore finale q() della carica e non dalla soria inermedia. Perano anche un condensaore non lineare e empo-invariane è un bipolo conservaivo. Figura 10 Esempi di caraerisiche non lineari. La primiiva : e : e q della funzione h=h(q) è deerminaa univocamene a meno di una cosane addiiva. Se la curva caraerisica h=h(q) del condensaore è del ipo illusrao in figura 10, cioè solo un rao finio di essa passa per il secondo e/o quaro quadrane, allora è sempre possibile deerminare una primiiva ale che : e q 0. (53) Figura 11 Se invece la curva caraerisica h=h(q) del condensaore è del ipo illusrao in figura 11, cioè un rao non limiao di essa passa per il secondo e/o quaro quadrane, allora non esise nessuna primiiva di h=h(q) che verifica la (53). Si assuma che la (53) sia verificaa e si indichi con Q * il valore della carica per cui : e = 0. Poendo esprimere l'energia elerica assorbia dal condensaore nell'inervallo ( 0, 1 ) come : 0 1 = : e >q 1 @ : e >q 0 @, (54) ed essendo : e 0, si ha che: (a) q : e Q > 0 rappresena la massima energia che il condensaore può assorbire quando la carica finale è Q (la carica iniziale è Q * ); (b) : e Q > 0 rappresena la massima energia che il condensaore è in grado di erogare quando la carica iniziale è Q (e la carica finale è Q * ). Perano se solo un rao finio della caraerisica del condensaore passa araverso il
144 Giovanni Miano Lezioni di Eleroecnica secondo e/o il quaro quadrane del piano q-v, allora il condensaore non può erogare più energia elerica di quana ne abbia assorbia in precedenza, e quindi è passivo; invece il condensaore con la caraerisica illusraa in figura 11 (sempre con la convenzione dell'uilizzaore), è aivo. Così come nel caso lineare, alla grandezza : : H e(q) si dà il nome di energia immagazzinaa nel condensaore. Per il condensaore con la caraerisica illusraa in figura 10a : e (q) è uguale all'energia elerica che bisogna fornire al condensaore, a parire dalla condizione iniziale q=0, per realizzare la configurazione di campo elerico corrispondene al valore di ensione v=v(q). Invece per il condensaore con la caraerisica illusraa in figura 10b, : e (q) è uguale all'energia elerica che bisogna fornire al condensaore a parire dalla carica iniziale Q*. Perano, per un condensaore passivo non lineare esise un isane di empo * (finio) ale che è verificaa la proprieà Z = p τdτ = : >q @ 0 > (55) dove * è l'isane in cui q=q*. Il caso dell'induore non lineare e empo-invariane (in assenza di fenomeni isereici) è compleamene duale. Alla luce dei risulai fin qui descrii, il conceo di passivià porebbe essere riformulao, in queso modo: un bipolo è passivo se per qualsiasi condizione di funzionameno esise almeno un isane di empo * 3 (finio) ale che pτdτ 0 >. (56) Se esise almeno una condizione di funzionameno per la quale la relazione (56) non è verificaa (cioè non esise nessun isane di empo * per cui la (56) è verificaa), allora il bipolo è aivo. La relazione (56) non implica che non vi possano essere degli inervalli di empo (nell'inervallo ( *,)) in cui l'energia elerica assorbia dal bipolo non possa essere negaiva. Possono esisere degli inervalli di empo in cui il bipolo eroga energia elerica, solo che essa non può mai essere di più di quella assorbia in precedenza. Ad esempio, l'energia assorbia nell'inervallo ( 1,) può essere negaiva, però in valore assoluo non può essere più grande dell'energia assorbia nell'inervallo ( *, 1 ). È facile convincersi che quesa nuova formulazione del conceo di passivià è del uo equivalene a quella precedene, faa eccezione che per un caso. Infai secondo la (56) sarebbe passivo anche un bipolo che in un inervallo Ö, precedene a, ha sempre erogao energia elerica. Comunque queso caso non si verifica mai per i bipoli fondamenali che vengono presi in considerazione in quese lezioni. 3 Per il componene circuiale, di cui il bipolo rappresena un modello, * porebbe rappresenare l'isane in cui esso è sao cosruio, o un isane successivo opporuno (porebbe anche accadere che ). In leeraura la passivià è, spesso, espressa araverso la condizione pτ dτ 0.