Equzioi espoezili e riti pg 1 Adolfo Sioe 1998 EQUAZIONI ESPONENZIALI -- LOGARITMI Fuzioe Espoezile Dto u uero rele positivo osiderio l fuzioe f : R R he d ogi eleeto R f orrispodere l'eleeto y =. Se = 1, f è ostte: f ( ) = 1 = 1, per ogi R Quest fuzioe: y = se > 0 ed 1 si hi fuzioe espoezile di se. U iportte proprietà dell fuzioe espoezile è dt dll: Proposizioe: - Se è u uero rele positivo e diverso d 1, llor l fuzioe espoezile: y = ssue, uo ll volt, oe vlore, qulsisi uero positivo. Pertto si h he: i).- L fuzioe espoezile è iiettiv, (ioè u orrispodez iuivo tr R ed R +.). ii) -L fuzioe espoezile è ooto: -- strettete resete, se >1, -- strettete deresete, se 0 < < 1. Per ui l fuzioe espoezile è ivertiile i R. Per studire il grfio di dett fuzioe espoezile distiguio due si: 1 Cso - Si > 1. Possio osservre he, essedo sepre positiv si h: ) Per = 0, y = 1, quidi il grfio iotr l'sse y el puto.(0, 1) ) Per vlori positivi di, l y ssue vlori he resoo l resere dell'espoete e tedoo divetre grdi quto si vuole. ) Per vlori egtivi di, reseti i vlore ssoluto, l y ssue vlori positivi vi vi dereseti e tede divetre sepre più piol. Il grfio dell fuzioe espoezile è pertto tutto situto el seipio delle ordite positive e preisete: el seodo qudrte, dove < 0 l urv si vvii sitotiete ll'sse, etre el prio qudrte tede d llotrsi di due ssi.
Equzioi espoezili e riti pg 2 Adolfo Sioe 1998 2 Cso 0 < < 1. I questo so, sioe < 1, l'ordit rese idefiitete per vlori egtivi di, pss per il puto (0, 1) e tede sitotiete ll'sse per vlori positivi dell vriile. L urv he si ottiee è sietri, rispetto ll'sse y di quell trit preedeteete. 3 Cso = 1. I questo so l fuzioe, per ogi vlore dell, ssue sepre vlore 1. Il grfio è quidi rppresetto dll rett prllel ll'sse, he iotr l'sse y el puto (0, 1).
Equzioi espoezili e riti pg 3 Adolfo Sioe 1998 Equzioe Espoezile Defiizioe - Diesi equzioe espoezile ogi equzioe i ui l'iogit opre ll'espoete di u o più poteze. L più seplie equzioe è dell for = (1) Nel po R dei ueri reli, l (1) può vere soluzioi se e solo se > 0 e > 0. Iftti: i)- Il prio ero dell (1), he è u potez rele, h sigifito solo se è positivo. ii) - Ioltre risult sepre positiv per ogi vlore dell, pertto l'equzioe (1) può vere soluzioi solo se he è positivo. Esiio lui si prtiolri ell'ipotesi he > 0 e > 0: ) - Si = 1, = 1. L'equzioe diviee 1 = 1 he è u'idetità. ) - Si = 1, 1. L'equzioe diviee: 1 = evideteete ipossiile per 1. ) - Si 1e = 1,. L'equzioe =1 ette l soluzioe = 0 perhé 0 = 1. Teore: - Dti due ueri, R + o 1, l'equzioe = ette u ed u sol soluzioe. Diostrzioe: Poio y =. L'equzioe espoezile = si può osiderre oe l risolvete del siste: y = (2) y = (3) L (2) è l'equzioe espoezile; l (3) è l'equzioe di u fsio di rette prllele ll'sse.. Le itersezioi del fsio di rette o l urv do le soluzioi dell'equzioe
Equzioi espoezili e riti pg 4 Adolfo Sioe 1998 espoezile dt. Di grfii risult he per quluque vlore di > 0 le rette del fsio iotro l urv i u solo puto. L'equzioe espoezile h pertto, i R, u ed u sol soluzioe. Distiguio due si: 1 so - > 1: i) - Se 0 < < 1 si h u soluzioe egtiv. ii) - Se = 1 si h l soluzioe ull = 0 he vevo trovto i preedez. iii) - Se > 1 si h u soluzioe positiv. 2 Cso - < 1: i) - Se 0 < < 1 si h u soluzioe positiv. ii) - Se = 1 si h l soluzioe ull già trovt i preedez. iii) - Se > 1 si h u soluzioe egtiv. LOGARITMI Aio visto he l'equzioe espoezile = o e ueri reli positivi ed 1 h sepre ell'isiee R, u ed u sol soluzioe. Il uero he soddisf l'equzioe espoezile si hi rito del uero i se e si idi o. Pertto le due equzioi = e = soo tr loro equivleti. Il uero si hi rgoeto del rito e deve essere u uero positivo. Defiizioe - Si hi rito di u uero rele positivo, i u dt se positiv e divers d 1, l'espoete he isog dre tle se per vere il uero dto. Dll defiizioe di rito si h: =
Equzioi espoezili e riti pg 5 Adolfo Sioe 1998 Si ho le segueti proprietà: ) - 1= 0 perhè 0 = 1; ioè quluque si l se, il rito di 1 è ugule zero. 1 ) - = 1 perhè = ioè, quluque si l se, il rito di u uero ugule ll se è ugule 1. ) - Il è positivo se: > 1 0 < < 1 > 1 0 < < 1 d) - Il è egtivo se : > 1 0 < < 1 0 < < 1 > 1.Si h quidi: Se l se è ggiore di 1,i ueri iori di 1 ho riti egtivi ed i ueri ggiori di 1 ho riti positivi..se l se è iore di 1, i ueri iori di 1 ho riti positivi ed i ueri ggiori di 1 ho riti egtivi. e) - Se l se è ggiore di 1, l resere del uero, rese he il rito di quest'ultio. f) - Se l se è iore di 1, l resere del uero il riti derese. Ifie: No si può prlre di rito di u uero rispetto ll se 1 (perhé l'equzioe 1 = è ipossiile se 1 o ideterit se = 1) o rispetto d u se egtiv o ull (perhé l potez è defiit per > 0 PROPRIETÀ' DEI LOGARITMI Quluque si l se, i riti godoo delle segueti proprietà: Teore 1 Il rito di u prodotto di due (o più) ueri e è ugule ll so dei riti dei sigoli fttori, ioè ( ) = + Iftti posto = e y = per defiizioe di rito si h: y = e =
Equzioi espoezili e riti pg 6 Adolfo Sioe 1998 Moltiplido ero ero otteio y = e quidi: + y = D quest ugugliz si dedue he + y è l'espoete he isog dre d per vere ioè, per defiizioe di rito si h: ( ) = + y ossi, per le posizioi ftte otteio: ( ) = + L stess diostrzioe si esegue el so i ui il uero dei fttori si ggiore di due. Teore 2.- Il rito di u quoziete di due ueri positivi e è ugule ll differez fr il rito del dividedo e il rito del divisore: = Posto = e = y per defiizioe di rito si h: y = e = Dividedo ero ero otteio: y = Riorddo l defiizioe di rito, otteio: = y e quidi = Teore 3 - Il rito di u potez d espoete rele e se positiv è ugule l prodotto dell'espoete dell potez per il rito dell se dell potez.
Equzioi espoezili e riti pg 7 Adolfo Sioe 1998 = Posto = (1) si h: = elevdo i due eri potez -esi si h: = d ui, per defiizioe di rito = e teedo oto dell (1) otteio: = Teore 4.- Il rito di u rdile è ugule l prodotto dell'idie del rdido per il reiproo dell'idie del rdile. = Dll idetità = e per il teore preedete si h: = =. PASSAGGIO DA UN SISTEMA DI LOGARITMI AD UN ALTRO Suppoio si oto il rito di u uero positivo N i u ert se, propoioi di lolre il rito dello stesso uero N i u'ltr se. Idihio o il uovo rito i se, ioè: = N
Equzioi espoezili e riti pg 8 Adolfo Sioe 1998 Per defiizioe di rito io = N Prededo i riti i se dei due eri vreo: = N pplido il teore (3) dell potez si h: = N d ui: N = N e quidi N = I sistei di riti più usti soo: i) - il siste se 10 detto siste di riti deili, o volgri o di Briggs. ii) - il siste se e (e uero irrziole he vle 2,71828182845...) detto siste di riti turli o eperii e viee idito o l ivee di e. FUNZIONE LOGARITMICA Sppio he se è u uero rele positivo diverso d 1, d ogi uero rele positivo orrispode l uero rele. Si h quidi l seguete: Defiizioe -.Se > 0 e 1, l fuzioe f: R R defiit d f ( ) = prede il oe di fuzioe riti di se. D quto io visto preedeteete si ho le segueti proprietà: ) - l fuzioe riti è ooto: i) - strettete resete se >1; ii) - strettete deresete se 0 < <1. ) - l fuzioe riti è iiettiv, ioè esiste u orrispodez iuivo tr + R ed R Pertto l fuzioe riti è ivertiile i R.
Equzioi espoezili e riti pg 9 Adolfo Sioe 1998 ) - l fuzioe riti di se è l'ivers dell fuzioe espoezile di se. Iftti: se f ( ) = e g( ) = si h: f g = g f = Grfio dell fuzioe riti y Si ho due si: = 1 so Si > 1: essedo: d o f = o, + il grfio dell fuzioe G(f) si trov destr dell'sse y. Per = 1 si h y = 0, per ui l urv iterse l'sse el puto (1, 0); per > 1 l y ssue vlori positivi e res l resere dll ; per 0 < < 1 l y ssue vlori egtivi e qudo tede zero i vlori di y tedoo Si h quidi il grfio. 2 - Cso Si 0 < < 1. Co osiderzioi he l so preedete si h he l fuzioe è deresete ed ssue vlori positivi se 0 < < 1, tede + per vlori dell vriile tedeti zero ed ssue vlore zero per = 1; ssue vlori egtivi per > 1. Si h il grfio
Equzioi espoezili e riti pg 10 Adolfo Sioe 1998 L urv he rppreset il grfio dell fuzioe y = prede il oe di urv riti.