UNIVRSITÀ GI STUI I NN KOR FOTÀ I INGGNRI RHITTTUR ORSO I UR IN INGGNRI IVI MINT ORSO I UR IN INGGNRI ROSPZI INFRSTRUTTUR RONUTIH SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI GGIORNTO OMPITO 06/0/0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Indice Indice... Introduzione... sercizio tipo... Soluzione del compito dell 8 febbraio 0... Soluzione del compito del febbraio 0...7 Soluzione del compito del 6 giugno 0...0 5 Soluzione del compito del 8 luglio 0...5 6 Soluzione del compito del 05 settembre 0...6 7 Soluzione del compito del 9 settembre 0...7 8 Soluzione del compito del 06 ottobre 0...8 9 Soluzione del compito del 6 febbraio 0...90 0 Soluzione del compito del 6 marzo 0...99 Indice
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Introduzione In questo documento vengono riportate le soluzioni complete e commentate di alcuni esercizi d esame di Scienza delle ostruzioni. intenzione dello scrivente è quella di costituire un database di esercizi d esame mediante il quale l allievo possa prepararsi ad affrontare la prova scritta. Il numero degli esercizi riportati nel seguito, quindi, è destinato ad aumentare man mano che si svolgeranno gli esami scritti di Scienza delle ostruzioni. I primi esercizi sono stati commentati per intero ed in modo esaustivo, e, quando possibile, sono state presentate diverse strategie di soluzione. Per i successivi esercizi si sono evitate inutili ripetizioni e si sono presentati solamente i risultati significativi, riservandosi di commentare ogni passaggio più delicato o l introduzione di un concetto o di una operazione mai affrontata prima. Ricordando che lo spirito della presente raccolta è quello di fornire agli allievi un supporto didattico di preparazione alla prova scritta, si invitano i lettori a dare riscontro di ogni errore od inesattezza riscontrata. Il docente del corso Giacomo Navarra Introduzione
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI sercizio tipo Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione e verificare la sezione più sollecitata del sistema in Figura. trascurando la deformabilità assiale e a taglio. T T q b c h s a) b) =50 cm q=00 N/cm =.5 0-5 - T=0 =. 0 7 N/cm b=0 cm h=0 cm s=cm c= cm amm =6000 N/cm Figura.. Sistema da analizzare; a) schema d'assi; b) sezione trasversale.. Riconoscimento del gradi di iperstaticità Il sistema è composto da due aste vincolate da un incastro interno (vicolo di continuità) e quindi possiede nel piano tre gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni sono quattro, quindi il sistema è una volta iperstatico ( q n ).. alcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale a sezione trasversale a I possiede due assi di simmetria quindi il baricentro G coinciderà con l intersezione di tali assi. Inoltre gli assi di simmetria saranno anche assi principali di inerzia ed il centro di taglio T coinciderà con il baricentro. area della sezione vale: bh b sh c 56 cm (.) Il momento di inerzia rispetto l asse forte (l asse orizzontale baricentrico x ) si calcola come: sercizio tipo
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI I x bshc bh 59.67 cm (.). Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione dei due schemi 0) e ) indicati in Figura., in cui l incognita iperstatica deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto verificata la seguente equazione di congruenza: 0 deve essere nulla, ovvero deve essere (.) T T q T q T = 0) + ) Figura.. Struttura iperstatica e sua scomposizione negli schemi isostatici 0) e ). Una volta determinata l incognita iperstatica come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti: x x x x x x x x x N N N T T T M M M (.). Soluzione dello schema isostatico 0) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura., mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: H V V 500N ; H 7500N; (.5) sercizio tipo 5
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI N x ; N x (.6) T x ; T x q x (.7) q M x x ; M x x x (.8) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.-a. x.5kn x = 0 kn N a) b).5kn.5kn.5kn.5knm = 0 kn = 000 kncm T M 5.5kNm c) 7.5kN d) Figura.. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente..5 Soluzione dello schema isostatico ) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico ), in cui l incognita iperstatica assume valore unitario (=), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche sercizio tipo 6
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI della sollecitazione riportate graficamente nella Figura., mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: H V H V (.9) N x ; N x (.0) T x ; T x (.) x x M x ; M x (.) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.-a. = x x N a) b) T M c) d) Figura.. Schema isostatico ); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. sercizio tipo 7
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI.6 eterminazione dell incognita iperstatica ome detto in precedenza l incognita iperstatica va determinata imponendo l equazione di congruenza (.). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo delle rotazioni. tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria. e.6. alcolo di a determinazione di viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema ) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: (.) e Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni (meccaniche e distorcenti) del sistema 0) vale: M x M k d i x T x S Ix M x T M x M x dx M x dx I 0 x h I 0 x che, sostituendo le espressioni ricavate in (.8) e in (.), diventa: x x T x q i d d I 0 x h I 0 x Risolvendo l integrale in (.5) ed eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (.) x x x x (.5) 7 T 0. 066 rad (.6) 8 I h x.6. alcolo di a determinazione di viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema ) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema ) vale: (.7) e sercizio tipo 8
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni (solo meccaniche) del sistema ) vale: M M x d M M x d M M x d i x x x x x x S Ix I 0 x I 0 x (.8) che, sostituendo le espressioni ricavate in (.), diventa: x x i x x I 0 x I 0 x I x (.9) d d guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava:. 0786 0 rad/ncm (.0) 9 Ix.6. alcolo della incognita iperstatica a determinazione del valore della incognita iperstatica può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell equazione di congruenza (.): 7 9Ix T 0 = 58.Nm h (.).7 eterminazione dei diagrammi della sollecitazione pplicando l equazione (.), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato: H V V 06N; (.) H 695N; M 58. Nm N x 06N; N x 06N; (.) T x + =06N; T x q x 06 00 x N (.) x M x x + =-580+06 x Ncm M 00 50 9 58 Ncm x x x. (.5) I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella seguente Figura.5. sercizio tipo 9
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI.8 Verifica della sezione più sollecitata all esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura.5 si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N 06N; T 06N; M 580Ncm. (.6).06kN + + x x = 0 kn N a) - + b).06kn.06kn.06kn 5.8kNm.88kNm = 0 kn T = 000 kncm M 8.6kNm c) 6.9kN d) Figura.5. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. a distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (.6) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l andamento è quello indicato dalla relazione: sercizio tipo 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI N M 06 580 t 85 69 N/cm x x.. x (.7) Ix 56 59. 67 I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t t 506. 6 N/cm t t 8. 6 N/cm (.8), i x s 0cm, x 0cm Il diagramma delle tensioni normali t è riportato nella Figura.6. Per quanto attiene alle tensioni tangenziali, la loro determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski a due sezioni, una posta sull ala della sezione a I, l altra posta sull anima, così come illustrato nella Figura.6: x x ' TSx T h c t y 57. 76y N/cm con I c I t t 88 7 N/cm x,max b. (.9) y '' TSx '' bc h c h z t 5. 9 5. 98z. 08z N/cm con Sx I s sz c ; (.0) il valori estremi della tensione t si hanno in corrispondenza della fibra baricentrica ed in corrispondenza dell intersezione delle ali all anima in cui valgono: t t 60 N/cm,max h. z c t t 5 9 N/cm,min. (.) z0 Il diagramma delle tensioni tangenziali t e t è riportato nella Figura.6. b ' c 8 N/cmq 89 N/cmq 55 N/cmq y h x s t 60 N/cmq z '' P -506 N/cmq t 89 N/cmq 55 N/cmq t x Figura.6. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale. ata l entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P di intersezione tra l ala inferiore e l anima, assumendo, che lì agiscano le tensioni t,i, t,max e t,min : sercizio tipo
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI (.) id t, i t,max t,min 56. N/cm amm 6000 N/cm VRIFI SOISFTT sercizio tipo
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Soluzione del compito dell 8 febbraio 0 Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura Verificare la sezione più sollecitata. ati: =. 0 6 dan/cm amm =900 dan/cm 0 =0.0 rad = 00 cm q =0 dan/cm =5 b= 5 cm h = 5 cm c = cm s= cm q b c h s Figura.. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.. Riconoscimento del gradi di iperstaticità Il sistema privo di vincoli è composto da due aste e quindi possiede nel piano sei gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni ed interni sono sette, quindi il sistema è una volta iperstatico ( q n 6 ). Soluzione del compito dell 8 febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI. alcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale a sezione trasversale a T possiede un asse di simmetria verticale, quindi il baricentro G si troverà su tale asse. Per determinare la coordinata x del baricentro G si determinano dapprima l area: bh b sh c 5 cm (.) ed il momento statico rispetto un asse passante per il lembo inferiore della sezione: bshc bh 98.5 cm (.) Sx0 a coordinata x del baricentro sarà quindi: Sx 98.5 0 y G =8.58 cm (.) 5 Il momento di inerzia rispetto l asse forte (l asse orizzontale baricentrico x ) si calcola come: bshc bh Ix y G 058. cm (.) Infine è da rilevare che per una forza di taglio diretta in direzione x, il centro di taglio T coinciderà con il baricentro G.. Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne verranno esaminate due. Una volta determinata l incognita iperstatica come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti: x x x x x x x x x N N N T T T M M M (.5). Soluzione numero - Rimozione del carrello in Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione del carrello in si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura., in cui l incognita iperstatica deve essere valutata in Soluzione del compito dell 8 febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI maniera tale che l abbassamento del punto v, deve essere nullo, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: v v v 0 (.6) q v v 0) + ) Figura.. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e ) soluzione... Soluzione dello schema isostatico 0) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura., mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: q x x a) x b) N 8 T M c) d) Soluzione del compito dell 8 febbraio 0 5
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Figura.. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. H V V H 5kN ; M 500 kncm (.7) N x ; N x 0; N x ; (.8) T x q x ; T x 0; T x ; (.9) q x M x x ; M x 0; M x x ; (.0) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.-a... Soluzione dello schema isostatico ) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico ), in cui l incognita iperstatica assume valore unitario (=), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura., mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: H V H ; V ; M x x x (.) N ; N 0; N ; (.) x x x T ; T ; T ; (.) M x x ; M x x ; M x x ; (.) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.-a. Soluzione del compito dell 8 febbraio 0 6
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI x x = a) x b) N T M c) d) Figura.. Schema isostatico ); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente... eterminazione dell incognita iperstatica ome detto in precedenza l incognita iperstatica va determinata imponendo l equazione di congruenza (.6). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti v e v. tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.... alcolo di rrore. Non si possono creare oggetti dalla modifica di codici di campo. a determinazione di v viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema ) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: v M v (.5) e 0 0 Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema 0) vale: Soluzione del compito dell 8 febbraio 0 7
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI M M x d i x x S Ix M x M x dx M x dx I 0 x I 0 x che, sostituendo le espressioni ricavate in (.0) e in (.), diventa: M x (.6) q x 5 i x x x x I 0 x I 0 x I x (.7) d d guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: 5 v 5. 676 cm (.8) 0 Ix... alcolo di v a determinazione di v viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema ) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema ) vale: e v (.9) Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema ) vale: M x M d i x x S Ix M x M x M x M x dx M d M d I x x x x 0 x I 0 x I 0 x che, sostituendo le espressioni ricavate in (.), diventa: x x i x x I 0 x I 0 x I x d d (.0) (.) guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: v.07 0 cm/n (.) Ix Soluzione del compito dell 8 febbraio 0 8
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI... alcolo della incognita iperstatica a determinazione del valore della incognita iperstatica può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell equazione di congruenza (.6): v 5 I v v 0 = 85.N (.) x 0 v.5 Soluzione numero - Rimozione dell incastro in Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla rotazione in si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura.5, in cui l incognita iperstatica deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto,, deve essere pari al cedimento anelastico 0, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (.) 0 q 0) + ) Figura.5. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e ) soluzione..5. Soluzione dello schema isostatico 0) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura.6, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: Soluzione del compito dell 8 febbraio 0 9
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI q x x a) x b) N - T M c) d) H V H 0; V Figura.6. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. 5 kn; V 5 kn; (.5) N x 0; N x 0; N x ; (.6) T x q x ; T x ; T x 0; (.7) q x M x ; M x x; M x 0; (.8) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.6-a..5. Soluzione dello schema isostatico ) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico ), in cui l incognita iperstatica assume valore unitario (=), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura.7, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: Soluzione del compito dell 8 febbraio 0 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI H V H V ; V ; (.9) N x ; N x 0; N x ; (.0) T x ; T x ; T x ; (.) x x x M x ; M x ; M x ; (.) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.7-a. x x a) x = b) N T M c) d) Figura.7. Schema isostatico ); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente..5. eterminazione dell incognita iperstatica incognita iperstatica va determinata imponendo l equazione di congruenza (.). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo delle rotazioni metodo della forza unitaria. e. tale scopo si utilizzerà il Soluzione del compito dell 8 febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI.5.. alcolo di a determinazione di viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema ) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: (.) e Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema 0) vale: M x M d i x x S Ix M x M x M x dx M x dx I 0 x I 0 x che, sostituendo le espressioni ricavate in (.8) e in (.), diventa: qx qx 7 d d i x x I 0 x I 0 x I x (.) (.5) guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: 7 =.65 0 rad (.6) Ix.5.. alcolo di a determinazione di viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema ) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema ) vale: (.7) e Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema ) vale: M x M d i x x S Ix M x M x M x M x dx M d M d I x x x x 0 x I 0 x I 0 x (.8) Soluzione del compito dell 8 febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI che, sostituendo le espressioni ricavate in (.), diventa: x x i x x I 0 x I 0 x I x d d (.9) guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava:. 67 0 rad/ncm (.0) 9 Ix.5. alcolo della incognita iperstatica a determinazione del valore della incognita iperstatica può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell equazione di congruenza (.): 7 Ix 0 = 80Ncm 0 0 (.).6 eterminazione dei diagrammi della sollecitazione pplicando l equazione (.5), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato. Questo può essere fatto a partire dalle due soluzioni determinate ottenendo, ovviamente, gli stessi andamenti delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione. Operando, per esempio, secondo la prima soluzione trovata si ha: H V H 5000 85 65N; V 5000 6770 770N; V 85N (.) M 500 05. 5 8. 5kNcm N x 65N; N x 0 N x 770N (.) T x q - x +=65-00 x N; T x 85N T x 65N (.) Soluzione del compito dell 8 febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI q x M x x + x =65 x -50 x Ncm M x x 85 x Ncm (.5) M x x 8500 65 x Ncm I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella seguente Figura.8. 65 N q 65 N x x 85 N 65 N 0000 N a) x 8.5 kncm 65 N 770 N b) N 770N 885 N 65 N 85 N 000 kncm 0000 N 000 kncm T M 65 N c) d) 8.5 kncm Figura.8. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente..7 Verifica della sezione più sollecitata all esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura.8 si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N 65N; T 885N; M 000kNcm. (.6) a distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (.6) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Soluzione del compito dell 8 febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Per quanto riguarda le tensioni normali, l andamento è quello indicato dalla relazione: N M 65 000000 t 0 6 N/cm x x.. x (.7) Ix 5 058. I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t t. N/cm t t 805. 7 N/cm (.8), i xy, s G xhyg Il diagramma delle tensioni normali t è riportato nella Figura.9 Per quanto attiene alle tensioni tangenziali, la loro determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski a due sezioni, una posta sull ala della sezione a T, l altra posta sull anima, così come illustrato nella Figura.9: c ' T h yg TS x t y 50. 5y N/cm con I c I t t 77 6 N/cm x x,max b. (.9) y '' TSx t 7. z. 6z N/cm con I s x '' z Sx sz y G ; (.50) il valore massimo della tensione t si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t,max t 60. 8 N/cm (.5) zyg Il diagramma delle tensioni tangenziali t e t è riportato nella Figura.9 b 805 N/cmq 77 N/cmq t ' x y c 50 N/cmq 60 N/cmq h s t z '' P - N/cmq t x Figura.9. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale. Soluzione del compito dell 8 febbraio 0 5
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI ata l entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P assumendo che lì agisca la sola tensione t,i : (.5) id t, i. N/cm amm 6000 N/cm VRIFI NON SOISFTT Soluzione del compito dell 8 febbraio 0 6
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Soluzione del compito del febbraio 0 Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura Verificare la sezione più sollecitata. ati: =. 0 kn/cm amm =6 kn/cm 5 =.50 0-5 - =5 = 00 cm q =50 N/cm b=0 cm h = 0 cm s = cm T T b h s q Figura.. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale. Riconoscimento del gradi di iperstaticità Il sistema privo di vincoli è composto da due aste e quindi possiede nel piano sei gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni ed interni sono sette, quindi il sistema è una volta iperstatico ( q n 6 ). Soluzione del compito del febbraio 0 7
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI. alcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale a sezione trasversale è scatolare e possiede due assi di simmetria, quindi il baricentro G si troverà nella loro intersezione. Si determina l area: bhbshs 56 cm (.) Il momento di inerzia rispetto l asse forte (l asse orizzontale baricentrico x ) si calcola come: bshs bh 778.67 cm (.) Ix Infine è da rilevare che, data la doppia simmetria, il centro di taglio T coinciderà con il baricentro G.. Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne verranno esaminate due. Una volta determinata l incognita iperstatica come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti: x x x x x x x x x N N N T T T M M M (.). Soluzione numero - Rimozione dell incastro in Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla rotazione in, si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura., in cui l incognita iperstatica deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto nulla, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: 0, deve essere (.) Soluzione del compito del febbraio 0 8
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI T T 0) + ) q Figura.. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e ) soluzione... Soluzione dello schema isostatico 0) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura., mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: x x N a) x b) T M c) d) Figura.. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. Soluzione del compito del febbraio 0 9
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI H V V H. 5kN ; N ; N ; N ; x x x T ; T ; T q ; V 0; (.5) N x 0; (.6) x x x x T x 0; (.7) q x M x x ; M x x; M x x ; M x 0; (.8) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.-a... Soluzione dello schema isostatico ) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico ), in cui l incognita iperstatica assume valore unitario (=), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura., mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: H V H V ; V N ; N ; N ; x x x T ; T ; T ; ; (.9) N x 0; (.0) x x x T x ; (.) x x M x ; M x x; M x x; M x ; (.) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.-a... eterminazione dell incognita iperstatica ome detto in precedenza l incognita iperstatica va determinata imponendo l equazione di congruenza (.). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti e. tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.... alcolo di a determinazione di viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema ) come sistema equilibrato fittizio. Soluzione del compito del febbraio 0 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: (.) e = x a) x x b) N T M c) d) 6 Figura.. Schema isostatico ); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (.8) e in (.), può scriversi come: M x T M x i Mx dx Mx dx I 0 x h I 0 x M x M x T I I 5 I h / M x dx M x dx 0 x / x x guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava:. 5 Ix h (.) T 08 0 rad (.5) Soluzione del compito del febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI... alcolo di a determinazione di viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema ) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema ) vale: (.6) e Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema ) vale, sostituendo le espressioni ricavate in (.): M x M x M d M d i x x I x x x I 0 0 x / M x M x 9 M x dx M d I x x 0 x I x 6 I / x guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: 9 6 Ix (.7) 9. 7 0 rad/ncm (.8)... alcolo della incognita iperstatica a determinazione del valore della incognita iperstatica può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell equazione di congruenza (.): 8 TIx 0 = 67.7kNcm 608 9 h.5 Soluzione numero - Rimozione del carrello in (.9) T T 0) + ) q v Figura.5. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e ) soluzione. v Soluzione del compito del febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione del carrello in si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura.5, in cui l incognita iperstatica deve essere valutata in maniera tale che l abbassamento del punto, la seguente equazione di congruenza: v, deve essere nullo, ovvero deve essere verificata v v v 0 (.0).5. Soluzione dello schema isostatico 0) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura.6, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: x x N a) x b) T M c) d) Figura.6. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. H V V H. 5kN ; M 0; (.) Soluzione del compito del febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI N ; N ; N ; x x x T ; T ; T q ; N x 0; (.) x x x x T x 0; (.) q x M x x ; M x x; M x x ; M x 0; (.) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.6-a..5. Soluzione dello schema isostatico ) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico ), in cui l incognita iperstatica assume valore unitario (=), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura.7, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: H V H ; V ; x x x N ; N ; N ; M ; (.5) N x 0; (.6) x x x T ; T ; T ; T x ; (.7) x x x x x x x M ; M ; M ; M x ; (.8) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.7-a..5. eterminazione dell incognita iperstatica incognita iperstatica va determinata imponendo l equazione di congruenza (.0). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo delle rotazioni metodo della forza unitaria. v e v. tale scopo si utilizzerà il.5.. alcolo di v a determinazione di v viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema ) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: e v (.9) Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (.) e in (.8), vale: Soluzione del compito del febbraio 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI M x T M x i Mx dx Mx dx I 0 x h I 0 x M x M x T / M x dx M d I x x 0 x I x 8 I x h / (.0) x N a) x x b) T M c) d) Figura.7. Schema isostatico ); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: T v = 0.77 cm (.) 8 I h x.5.. alcolo di v a determinazione di v viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema ) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema ) vale: e v (.) Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema ), sostituendo le espressioni ricavate in (.8), vale: Soluzione del compito del febbraio 0 5
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI M x M x M d M d i x x I x x 0 x I 0 x M x M x 9 / M x dx M d I x x 0 x I x I / x (.) guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: 9 v.9787 0 cm/n (.) Ix.5. alcolo della incognita iperstatica a determinazione del valore della incognita iperstatica può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell equazione di congruenza (.0): v 6 Ix T v v 0 = 60.5N (.5) v 8 9 h.6 eterminazione dei diagrammi della sollecitazione pplicando l equazione (.), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato. Questo può essere fatto a partire dalle due soluzioni determinate ottenendo, ovviamente, gli stessi andamenti delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione. Operando, per esempio, secondo la prima soluzione trovata si ha: H V H 669. 8N; V 05. 05N; (.6) V 60. 5N; M 67. 7kNcm N x 669N; N x 05N; (.7) N x 669N; N x 0 T x =05N T x 669N (.8) T x q x 669 50 x N T x 6N Soluzione del compito del febbraio 0 6
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI M x x x = 67+0.5x kncm M x x x 6. 69 x kncm (.9) q x M x x x 6. 69 x 0. 075 x kncm x 00 M x x 67 kncm 900 I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella seguente Figura.8. 669N 67kNcm x 669N 05 N 500N x 0000 N N 05 N a) 669N 669N x 6 N b) 669N 67kNcm 05 N 669N 986kNcm 0000 N T 669N 588N c) d) 6 N M 000 kncm Figura.8. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. 986kNcm.7 Verifica della sezione più sollecitata all esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura.8 si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: Soluzione del compito del febbraio 0 7
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI N 669N; T 05N; M 67kNcm. (.0) a distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (.0) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l andamento è quello indicato dalla relazione: N M 669. 8 6700000 t 8 05 99 8 N/cm x x.. x (.) Ix 56 778. 67 I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t t 879. 9 N/cm t t 56. N/cm (.), i x s 0cm, x 0cm Il diagramma delle tensioni normali t è riportato nella Figura.9 Per quanto attiene alle tensioni tangenziali, la loro determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski alle corde illustrate nellafigura.9: t ' TS x 70. 5y N/cm con I s x ' h s Sx sy ; (.) il valore massimo della tensione t si ha sullo spigolo della sezione: t t 50 6 N/cm,max b. (.) y andamento delle tensioni tangenziali t, invece, è dato dalla: '' TS x t 50. 6 66. z. 69z N/cm con I s x '' h s h z Sx bs sz s ; (.5) il valore massimo della tensione t si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t t 69 58 N/cm h,max. (.6) z s Il diagramma delle tensioni tangenziali t e t è riportato nella Figura.9 ata l entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P assumendo che lì agiscano la tensione t,i, la t e la,max t. z 0 (.7) t t t 50 7 N/cm 6000 N/cm id, i,max. z0 amm VRIFI SOISFTT Soluzione del compito del febbraio 0 8
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI b ' y P 56 N/cmq t 5 N/cmq x h s G 650 N/cmq '' z -880 N/cmq t x Figura.9. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale. Soluzione del compito del febbraio 0 9
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Soluzione del compito del 6 giugno 0 Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura Verificare la sezione più sollecitata. ati: = 0000 N/mm amm =60 N/mm = 000 mm q =0 N/mm =.50 0-5 - T =+5 T =+5 b=00 mm h = 00 mm s = 5 mm c=0 mm q b c T T h s F Figura.. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.. Riconoscimento del gradi di iperstaticità Il sistema privo di vincoli è composto da tre aste e quindi possiede nel piano nove gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni ed interni sono dieci, quindi il sistema è una volta iperstatico ( q n9 ). Soluzione del compito del 6 giugno 0 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI. alcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale a sezione trasversale è una sezione ad I e possiede due assi di simmetria, quindi il baricentro G si troverà nella loro intersezione. Si determina l area: bh b sh c 900 mm (.) Il momento di inerzia rispetto l asse forte (l asse orizzontale baricentrico x ) si calcola come: bshc bh 096666.67 mm (.) Ix Infine è da rilevare che, data la doppia simmetria, il centro di taglio coinciderà con il baricentro.. Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne verranno esaminate due. Una volta determinata l incognita iperstatica come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti: x x x x x x x x x N N N T T T M M M (.). Soluzione numero - Rimozione dell incastro in F Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla rotazione in F, si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura., in cui l incognita iperstatica deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto F ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: 0 F F F F, deve essere nulla, (.) Soluzione del compito del 6 giugno 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI q 0) + ) T F F T F F Figura.. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e ) soluzione... Soluzione dello schema isostatico 0) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura., mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: N F a) b) F 0.75 x x x T M 9 c) F d) F Figura.. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. H H V 0; F V 7500N; ; VF 500N; (.5) Soluzione del compito del 6 giugno 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Nx0 Nx0 Nx0 Nx0 NFx (.6) T x 0 T x 0 T x qx T x TF x 0 (.7) qx x M x 0 M x 0 M x x M x MF x 0 I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.... Soluzione dello schema isostatico ) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico ), in cui l incognita iperstatica assume valore unitario (=), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura., mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: V H H 0; V F F (.8) V ; (.9) N x 0 N x 0 N x 0 N x 0 NF x (.0) T x 0 T x 0 T x T x TF x 0 (.) x x M x 0 M x 0 M x M x MF x (.) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.... eterminazione dell incognita iperstatica ome detto in precedenza l incognita iperstatica va determinata imponendo l equazione di congruenza (.6). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo delle rotazioni F. tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria. F e... alcolo di F a determinazione di F viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema ) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: (.) e F Soluzione del compito del 6 giugno 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Per il calcolo del lavoro interno in questo caso, essendo presente una componente di deformazione termica costante, non può essere trascurato il contributo dello sforzo normale. = N F a) b) F x x x T M c) F Figura.. Schema isostatico ); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. d) F a componente costante TN e la componente a farfalla TM della deformazione termica valgono: T T TN 0 ; TM T T 5 (.) Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (.6), (.8), (.0) e (.) e trascurando gli addendi in cui compaiono valori nulli delle sollecitazioni può scriversi come: M x M x T M d M d M d M i x x F I x x 0 x I x x 0 x h 0 N x F TM NF x TN dx T N 6I 0 x h guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: M F N 6Ix h (.5) T T -.655 0 rad (.6) Soluzione del compito del 6 giugno 0
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI... alcolo di F a determinazione di F viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema ) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema ) vale: (.7) e F Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema ), tenendo ancora in considerazione lo sforzo normale, sostituendo le espressioni ricavate in (.0) e (.) e trascurando gli addendi in cui compaiono valori nulli delle sollecitazioni può scriversi come: M x M x M d M d i x x I x x x I 0 0 x F x F x MF x dx NF x dx 0 x 0 x M N 8 I I guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: 9 F Ix. 85888 (.8) 8 0 rad/nmm (.9)... alcolo della incognita iperstatica a determinazione del valore della incognita iperstatica può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell equazione di congruenza (.): 9 m F 6 F F 0 = 8. 88 5 0 Nm F.5 Soluzione numero - Sostituzione della cerniera in con un carrello (.0) q v v T T 0) + ) F F Figura.5. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e ) soluzione. Soluzione del compito del 6 giugno 0 5
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la sostituzione della cerniera in con un carrello ad asse di scorrimento verticale (altrimenti la struttura sarebbe labile ed iperstatica), si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura.5, in cui l incognita iperstatica deve essere valutata in maniera tale che l abbassamento del punto, v, deve essere nullo, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: v v v 0 (.).5. Soluzione dello schema isostatico 0) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura.6, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: F a) b) F N x x x x T M c) F Figura.6. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. d) F H H V 0; F VF 0000N; ; M 5 0 Nmm; (.) 7 F. Soluzione del compito del 6 giugno 0 6
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI x x x x x N 0 N 0 N 0 N 0 N (.) F x x x x x x T 0 T 0 T q T 0 T 0 (.) F q x M x 0 M x 0 M x M x 0 MF x (.5) I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.6..5. Soluzione dello schema isostatico ) pplicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico ), in cui l incognita iperstatica assume valore unitario (=), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura.7, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: V H H 0; F VF ; MF ; (.6) x x x x x N 0 N 0 N 0 N 0 N (.7) F x x x x x T 0 T 0 T T T 0 (.8) F x x x x x x x M 0 M 0 M M M (.9) F I sistemi di riferimento delle ascisse x utilizzati sono mostrati nella Figura.7-a. = F a) b) F N x x x x c) F T M Figura.7. Schema isostatico ); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. d) F Soluzione del compito del 6 giugno 0 7
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI.5. eterminazione dell incognita iperstatica incognita iperstatica va determinata imponendo l equazione di congruenza (.). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti v e utilizzerà il metodo della forza unitaria. v. tale scopo si.5.. alcolo di v a determinazione di v viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema ) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: e v (.0) Per il calcolo del lavoro interno in questo caso, essendo presente una componente di deformazione termica costante, non può essere trascurato il contributo dello sforzo normale. e componenti TN e TM della deformazione termica sono quelle ricavate in (.). Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (.), (.5), (.7) e (.9) e trascurando gli addendi in cui compaiono valori nulli delle sollecitazioni può scriversi come: F M i x x F I x x x I x x 0 0 x I 0 x h NF x 55 8TM NF x TN dx TN I 0 x h M x M x M x T M d M d M d (.) guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: 55 8T v T = 0.75 mm (.) M Ix h N.5.. alcolo di v a determinazione di v viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema ) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema ) per effetto degli spostamenti del sistema ) vale: e v (.) Soluzione del compito del 6 giugno 0 8
SMPI SVOTI I PROV SM I SINZ OSTRUZIONI Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema ) per effetto delle deformazioni del sistema ), tenendo ancora in considerazione lo sforzo normale, sostituendo le espressioni ricavate in (.7) e (.9) e trascurando gli addendi in cui compaiono valori nulli delle sollecitazioni può scriversi come: M x M x M d M d i x x I x x 0 x I 0 x M x M x I I F F MF x dx NF x dx 0 x 0 x guagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: Ix (.) v 6.6997 0 mm/n (.5).5. alcolo della incognita iperstatica a determinazione del valore della incognita iperstatica può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell equazione di congruenza (.): v v v 0 = 608.N (.6) v.6 eterminazione dei diagrammi della sollecitazione pplicando l equazione (.), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato. Questo può essere fatto a partire dalle due soluzioni determinate ottenendo, ovviamente, gli stessi andamenti delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione. Operando, per esempio, secondo la seconda soluzione trovata si ha: V H H 0; V 98. 6N; F F MF 8 8895 6. 0 Nmm; V 608. N x x x N 0 N 0 N 0 N x 0 N x 89. 6N F x. x T x 0 T x 0 T x q x 0 x 608. N T 608 N T 0 F (.7) (.8) (.9) Soluzione del compito del 6 giugno 0 9