Fsca Facoltà d Ingegnera, Archtettura e delle Scenze otore Lezone 9 aprle 03 Archtettura (corso magstrale a cclo unco qunquennale) Prof. Lanzalone Gaetano
CORPO RIGIDO
Il corpo rgdo È un partcolare sstema d punt materal n cu le dstanze, tra due qualunque de suo punt, non varano nel tempo un corpo rgdo (CR) non subsce alcuna deformazone anche se sottoposto a sollectazon estremamente elevate. Il corpo rgdo conserva la sua forma. I corp sold possono, n prma approssmazone, essere consderat rgd. Il corpo rgdo è un astrazone: n natura non c saranno ma corp perfettamente rgd C saranno corp l cu comportamento, n partcolar condzon, può essere descrtto come quello d un corpo rgdo. Un corpo rgdo non può avere mot caratterzzat da una varazone delle dmenson del corpo stesso (vbrazon, maree, etc.) n contnuo dscreto numero d punt fnto tu tto l corpo Infnt punt
Le equazon a dsposzone Corpo rgdo sstema d punt materal: dq dt I e II legge della dnamca de sstem. Due equazon vettoral R est Equvalent a se equazon scalar d L o dt o est Poché le dstanze tra due punt qualsas d un corpo rgdo s mantengono costant Il lavoro delle forze nterne è nullo. Il teorema delle forze vve dventa: est ΔK L
La terna soldale E una terna con orgne n un partcolare punto del corpo rgdo e ass che passano per punt fss del corpo rgdo corpo rgdo y P Terna soldale L asse z è perpendcolare alla fgura uscente dal foglo. O x Ogn punto del corpo rgdo, propro per la sua defnzone, occupa una poszone fssa n questa terna. Descrzone del moto d un CR: note le poszon d tutt punt del CR all stante d tempo nzale t o rspetto alla terna soldale (queste poszon sono costant n modulo drezone e verso) -nota la poszone della terna soldale n un stante successvo t. Utlzzando la poszone d cascun punto del CR rspetto alla terna soldale determnata all stante nzale, posso determnare la poszone d cascun punto all stante t.
I mot del corpo rgdo: la traslazone Traslazone Le orentazon degl ass della terna soldale rmangano costant (gl ass s muovono mantenendos parallel a se stess) Tutt punt del corpo rgdo subscono lo stesso spostamento nello stesso ntervallo d tempo Spostamento che è lo stesso d quello subto dal centro d massa Tutt punt sono ferm rspetto al centro d massa È suffcente determnare l moto del centro d massa, utlzzando la I equazone cardnale della dnamca de sstem. y y P t t 0 C O dq dt x R est r v P r C O P v C x La II equazone rchede che l momento rsultante valutato rspetto al C sa nullo. dl dt C est C ( r' m v' ) L C 0 est C 0
I mot del corpo rgdo: la rotazone Rotazone Le orentazon degl ass della terna soldale non rmangono costant Esste un nseme d punt, allneat su una retta, che rmangono ferm Asse d rotazone (asse fsso) L asse z nel caso dell anmazone y P Tutt punt s muovono su traettore crcolar attorno all asse d rotazone Il pano della traettora è perpendcolare all asse d rotazone Il centro della traettora crcolare è l punto comune dell asse d rotazone e del pano della traettora Tutt punt subscono lo stesso spostamento angolare nello stesso ntervallo d tempo e s muovono con la stessa veloctà ed accelerazone angolare rspetto all asse d rotazone y O P Δθ x O x
I mot del corpo rgdo: la rotazone Rotazone La veloctà d cascun punto è tangente alla sua traettora crcolare Il modulo della veloctà è proporzonale alla dstanza del punto consderato dall asse d rotazone y P Δθ v v ω R O x Anche l accelerazone tangenzale è proporzonale alla dstanza dall asse d rotazone a t αr Così come lo è l accelerazone centrpeta a c ω R
Eserczo. Un volano d dametro d.0 m gra a veloctà angolare d 00gr/mn a. Qual è la sua veloctà angolare n rad/s? b. Qual è l modulo della veloctà lneare d un punto del bordo del volano? c. Qual è l accelerazone centrpeta d un punto sul bordo del volano? d. Qual è l accelerazone angolare costante necessara per ncrementare a 000 gr/mn n 60 s la veloctà angolare del volano? e. Qual è l accelerazone tangenzale d un punto del bordo del volano? f. Quant gr comprà n quest 60 s? a) ω 00gr mn 00 π rad 60s 0.9 rad s b) R dametro.60m v ω R 0.9 rad s.60m.55 m s c) a c ω R ( 0.9 rad s ).60m 6. m s d) ω f 000gr mn 000 π rad 60s 04.7 rad s ω f ωo + αt α ω f ω o Δt 04.7 0.9 60.397 rad s
Eserczo. Un volano d dametro d.0 m gra a veloctà angolare d 00gr/mn a. Qual è la sua veloctà angolare n rad/s? b. Qual è l modulo della veloctà lneare d un punto del bordo del volano? c. Qual è l accelerazone centrpeta d un punto sul bordo del volano? d. Qual è l accelerazone angolare costante necessara per ncrementare a 000 gr/mn n 60 s la veloctà angolare del volano? e. Qual è l accelerazone tangenzale d un punto del bordo del volano? f. Quant gr comprà n quest 60 s? e) a t αr.397 rad s.60m.84 m s f) θ θ o + ω o t + αt θ θ o ω o t + αt 0.9 60 +.397 60 54 + 44 3668rad 3668rad gro πrad 583.79gr
I mot del corpo rgdo: la rototraslazone Rototraslazone In generale l moto d un corpo rgdo sarà la composzone d un moto d traslazone pù un moto d rotazone Attenzone: non è detto che l asse d rotazone s mantenga fsso Esso può cambare sa n poszone che n orentazone Un moto comunque complesso può sempre essere mmagnato come la sovrapposzone del moto del C (I equazone cardnale) Pù un moto d rotazone attorno al centro d massa (II equazone cardnale) No non affronteremo l caso generale C occuperemo del moto d rotazone attorno ad un asse fsso oto d puro rotolamento (l moto delle ruote) y O P x
I grad d lbertà del corpo rgdo Le equazon a dsposzone sono suffcent a rsolvere l moto del corpo rgdo? Quante coordnate c servono per ndvduare la poszone del corpo rgdo nello spazo? Abbamo detto che la poszone nello spazo d un CR è determnata se conoscamo la poszone nello spazo della terna soldale! Osservamo che per conoscere la poszone della terna basta fornre le poszon dell orgne O del punto P sull asse x e del punto P sull asse y. Con quest tre punt s determnerà la poszone dell orgne e due ass x, y. y C P L asse z sarà automatcamente determnato dovendo passare per l orgne ed essere perpendcolare agl altr due. O P x Occorrono dunque nove coordnate (tre per cascun punto) a tre punt non sono lber d assumere delle poszon arbtrare, poché facendo parte del CR le loro mutue dstanze (d,d 0, d 0 ) devono restare costant! ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) d ( x x o ) + ( y y o ) + ( z z o ) d o ( x x o ) + ( y y o ) + ( z z o ) d o
I grad d lbertà del corpo rgdo Esstono qund tre relazon tra le nove coordnate de punt O, P e P. Qund solo se d esse possono essere scelte n manera ndpendente. Una volta scelte le prme se le ultme tre vengono determnate dalle relazon tra le coordnate. I grad d lbertà d un corpo rgdo, ossa le coordnate ndpendent sono solo se (nove complessve meno tre relazon) Dalle due equazon cardnal s hanno 6 equazon scalar. y P Se equazon e se coordnate da determnare Sono suffcent per descrvere completamente l moto d un corpo rgdo. C O P x
oto d rotazone attorno ad un asse fsso: determnazone dell ENERGIA CINETICA Consderamo un corpo rgdo dscreto (fatto da n punt materal) n rotazone attorno ad un asse fsso. Tutt punt s muovono attorno all asse con la stessa veloctà angolare. Consderamo l -esmo punto materale. Il modulo della sua veloctà: v ω R La sua energa cnetca: z r v K m v m ω R m R ω P' R P L energa cnetca d tutto l sstema: K n n K m v n m R n m R ω ω x O θ Defnamo questa quanttà : omento d nerza (I) r y
DEFINIZIONE del momento d nerza d un corpo rgdo rspetto all asse d rotazone n I m R m massa della -esma partcella R dstanza dell -esma partcella dall asse d rotazone [ I] [ ]! L " SI : kgm # $ Il momento d nerza dpende dalle masse de punt che costtuscono l corpo rgdo a soprattutto dalla dstrbuzone della massa attorno all asse d rotazone Per corp contnu: I di R dm tutto lcorpo R dm I dm massa contenuta nell elemento nfntesmo dv: à dmρdv R di tutto lcorpo dstanza dell elemento dv dall asse d rotazone Per un corpo rgdo n rotazone attorno ad un asse fsso, l energa cnetca è data da: K Iω
Esamnamo qualche caso omento d nerza d un punto materale d massa Consderamo la stuazone n fgura: ω R Applchamo la defnzone: I m R R
omento d nerza d un anello omogeneo d massa e raggo R rspetto al propro asse Consderamo la stuazone della fgura. Supponamo che l anello ruot attorno un asse, perpendcolare all anello passante per l suo centro (asse dell anello). ω R Indchamo con λ la denstà lneare dell anello: Consderamo un elemento dell anello: dl Rdϕ a cu corrsponde la massa: dm λdl πr Rdϕ π dϕ Applchamo la defnzone d momento d nerza per corp contnu: π I R dm R ϕ 0 π d I π anello π R dϕ 0 π R π [ ϕ] 0 π R ( π 0) R IR come se la massa dell anello fosse concentrata n un punto materale a dstanza R dall asse (ved caso precedente). R y dϕ dl I R x
omento d nerza d una sbarra d lunghezza L e massa ruotante rspetto ad un asse passante per un estremo Consderamo la stuazone della fgura: Supponamo che la sbarra ruot attorno un asse, perpendcolare alla sbarra passante per un suo estremo. L Indchamo con λ la denstà lneare della sbarra. λ L λ L Introducamo un sstema d rfermento come n fgura Suddvdamo la sbarra n element nfntesm d lunghezza dx, ndchamo con x la coordnata del prmo estremo dell elemento nfntesmo La dstanza dell elemento nfntesmo dall asse d rotazone sarà propro l valore assoluto d x. z Rx x L x+dx x dm λdx L dx I L L L R dm dx x sbarra λ 0 0 x dx L 3 x 3 L 0 L 3 L 3 0 3 L I L 3
Tabella rassuntva
Il teorema d Stener Il momento d nerza d un corpo rspetto ad un asse qualunque è uguale alla somma y y y y m del momento d nerza rspetto ad un asse parallelo al prmo ma passante per l centro d massa (I*) e d un termne par al prodotto della massa totale del corpo per la dstanza al quadrato tra due ass (h ) P R h a R C x b x x x' +a y y' +a x x I I *+h
Il teorema d Stener Dmostramo per un CR dscreto: m R R R' x' +y' Dstanza del punto -esmo dall asse d rotazone passante per l C Dstanza del punto -esmo dall asse d rotazone passante per l punto P b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' h I m y b m x a b a m y x m m by m ax m b m a m y m x b y a x m y x m m R I C y n x n n n n n n n P C C + + + + + + + + + + + + + + + y y x x C a y y x x P h R x + y
Verfca del teorema d Stener VALORI NOTI -omento d nerza d una sbarra rspetto all asse per l C della sbarra: L I* L -omento d nerza d una sbarra rspetto ad un asse passante per un estremo I 3 L h L λ L λ L Verfca della valdtà del teorema d Stener: I I * +h L + L L + 4 L + 3 L 4 L 3 L
ESERCIZI
ESEPIO: Cascuna delle tre pale del rotore d un elcottero, mostrate n fgura, è lunga 5.0m ed ha una massa d 40 kg. Qual è l momento d nerza del rotore rspetto all asse d rotazone? (le pale possono essere consderate come astcelle sottl) Qual è l energa cnetca rotazonale del rotore alla veloctà angolare d 350 gr/mn? I pala 3 L 3 40kg 5.0 63.kgm I rotore 3I pala 3 63.kgm 6489.6kgm ω 350gr mn 350 π rad 60s 36.6 rad s K Iω 6489.6 36.6 4.34J
Esempo: L elemento oscllante d un pendolo è costtuto da una sbarretta d massa m s 0.5kg e lunga 50 cm a cu è attaccato un dsco d massa m d kg d 0cm d dametro. Determnare l momento d nerza rspetto ad un asse perpendcolare alla fgura passante per l estremo superore della sbarretta. y Asse d rotazone I R dm R dm + R tutto lcorpo corpo corpo dm h x I sbarra 3 L 3 0.5 0.5 0.047kgm Applcando Stener: * I dsco I dsco * I dsco R.0 0. 0.005kgm + h 0.005kgm +.0kg (.5 +.) 0.005kgm +.36kgm.365kgm
omento assale 6
Rotazone d un corpo rgdo attorno ad un asse fsso Faccamo rfermento all anta d una porta Asse d rotazone θ E possble determnare la poszone del CR con la sola conoscenza dell angolo θ Un CR n rotazone attorno ad un asse fsso ha un solo grado d lbertà È suffcente una sola equazone scalare per determnare l suo moto. Vsta dall alto
Rotazone d un corpo rgdo attorno ad un asse fsso Possamo varare l angolo ϕ della forza rspetto al vettore poszone mantenendo la forza nel pano perpendcolare all asse d rotazone b ϕ O r F Vsta dall alto θ O r F L effetto è maggore quando l angolo ϕ è 90 È nullo quando ϕ è 0 o 80 Questa osservazone c conferma che la causa delle rotazon è l momento della forza. Infatt: o r F rfsenϕ bf " è nullo quando ϕ è 0 o 80 " è massmo quando ϕ è 90 S osserv l momento della forza è parallelo all asse d rotazone
Rotazone d un corpo rgdo attorno ad un asse fsso Se consderamo una forza perpendcolare al vettore poszone r Il modulo del momento è o r F Frsenϕ Fb Lo stesso modulo del momento quando la forza F è perpendcolare al pano della porta (caso precedente!) a n questo caso l effetto prodotto è nullo!! Non s verfca alcun moto della porta. O r F In cosa dffersce dal caso precedente? Osservamo che n questo caso l momento o è perpendcolare all asse d rotazone In precedenza esso era parallelo all asse d rotazone Possamo concludere: Il moto d rotazone d un corpo rgdo attorno ad un asse fsso dpende dalla componente del momento della forza lungo l asse d rotazone (che chameremo omento assale)
Equazone del moto d rotazone d un corpo rgdo attorno ad un asse fsso Abbamo dedotto: l moto d rotazone d un corpo rgdo attorno ad un asse fsso dpende dal momento assale (la componente del momento delle forze esterne lungo l asse d rotazone) S trova nfatt che: Equazone del moto d rotazone d un CR attorno ad un asse fsso I momento d nerza del CR rspetto all asse d rotazone α accelerazone angolare z componente assale del momento delle forze esterne
Legame tra l equazone del moto d rotazone del CR e la II a equazone cardnale della dnamca de sstem Consderamo un sstema d punt materal, rgdo, n rotazone attorno all asse z con veloctà angolare ω. Consderamo la partcella -esma. Per ogn partcella ndchamo: r vettore poszone dstanza dall'asse d rotazone R v ωr r m v r m v r m ωr ( ) z cos 90 θ m ωr r senθ m R ω R modulo della veloctà momento della quanttà d moto modulo del momento della quanttà d moto componente assale x j r l P' O z θ r v R l j r P y L z n l z n n m R ω m R ω Iω Se l corpo è smmetrco rspetto all asse d rotazone: L x 0, L y 0 L z Iω dl z dt Iα
La conservazone del momento angolare ne corp rgd. I grande I pccolo La seconda equazone cardnale della dnamca de sstem : d L dt Il momento rsultante delle forze esterne applcate è nullo, allora : dl 0 L costante dt L z L costante L f Il momento delle forze esterne rspetto al C è nullo I pccolo I grande I ω I f ω f I I f ω f ω L z Iω I grande
ESERCIZIO: La fgura rappresenta un dsco unforme d massa.5 kg e raggo R0 cm montato su un mozzo orzzontale fsso. Un blocco d massa. kg è appeso ad un flo prvo d massa avvolto ntorno al bordo del dsco. Trovare l accelerazone d caduta del blocco, l accelerazone angolare del dsco e la tensone del flo. Il flo non sltta e l mozzo gra senza attrto. Il moto del dsco è un moto d rotazone attorno ad un asse fsso y Introducamo un sstema d rfermento L asse d rotazone concde con l asse z L equazone del moto d rotazone z Iα Il momento d nerza I (dsco omogeneo rspetto al suo asse) (.0m) 0.05kgm I R.5kg Dobbamo ora calcolare z : Le forze esterne agent sul dsco sono tensone peso reazonevncolare zt zp zr v TR 0 0 x P R v L equazone del moto: Per l corpo d massa m nvece: y T mg ma y TR R α r T + F r g ma r Abbamo ottenuto due equazon con le ncognte T, a y, α. TR T mg R ma y α
TR T mg R ma y α Le equazon non sono suffcent. a sappamo che la corda è nestensble qund c è una relazone tra a y, α. y x P R v Ruotamo l dsco d un angolo Δθ n senso oraro (Δθ negatvo), osserveremo l corpo d massa m abbassars d un tratto Δy anch esso negatvo: Δy RΔθ Dvdendo per Δt, e passando al lmte E con una seconda dervazone s ottene T ay T mg ma y T ay mg m + a y mg. 9.8.7 a 4.77 m y m +. +.5.45 s T ay ( ).5 4.77 5.96N 4.77 m a y α s 3.8rad R.0m s
Il lavoro ne mot d rotazone Facendo rfermento all applcazone precedente calcolamo l lavoro nfntesmo fatto dalla tensone T relatvamente ad uno spostamento angolare nfntesmo dθ: dl T dr Tdscosϕ T ( Rdθ ) TRdθ dθ z dθ dr Nel caso della fgura ds, l modulo dello spostamento nfntesmo, è uguale a -Rdθ (l segno meno s gustfca per l fatto che dθ è negatvo, mentre ds deve essere postvo) Il lavoro per una rotazone fnta sarà: L f θ θ La potenza stantanea: o dθ dl dθ P dt dt z z z ω S osserv che poché la corda è nestensble l lavoro complessvo fatto dalle due tenson a due cap della corda è nullo. P z ω
Con rfermento all applcazone precedente n cu un dsco unforme d massa.5 kg e raggo R0 cm montato su un mozzo orzzontale fsso e un blocco d massa m. kg è appeso ad un flo prvo d massa avvolto ntorno al bordo del dsco, calcolare la veloctà del corpo d massa m dopo che ha percorso m supponendo che nzalmente fosse fermo. Calcolare la corrspondente veloctà angolare del dsco. Calcolare l angolo d cu ha ruotato l dsco. Verfcare che l lavoro fatto dalla tensone sul dsco è uguale alla varazone della sua energa cnetca. No abbamo gà calcolato l accelerazone unforme del corpo d massa m. ) Potremmo rsolvere l problema per va cnematca: o y o ( 4.77)( ) 3. m s v v a ( y y ) v y R v ω v R 3.m s 0.m 5.5rad s ) Possamo anche rsolvere l problema con la conservazone dell energa: ΔE L nc L + L + T T 0 E E f K + U K f + U f 0 + mgh mv + Iω + 0 LR v app. a un punto fermo mgh mv + R ω3 m + v mgh m + v. 9.8. +.5 v 9.6 m s 0 x P
Con rfermento all applcazone precedente n cu un dsco unforme d massa.5 kg e raggo R0 cm montato su un mozzo orzzontale fsso e un blocco d massa m. kg è appeso ad un flo prvo d massa avvolto ntorno al bordo del dsco, calcolare la veloctà del corpo d massa m dopo che ha percorso m supponendo che nzalmente fosse fermo. Calcolare la corrspondente veloctà angolare del dsco. Calcolare l angolo d cu ha ruotato l dsco. Verfcare che l lavoro fatto dalla tensone sul dsco è uguale alla varazone della sua energa cnetca. Δθ h R m 0.m 5rad ΔK K f K Iω 4.5. 5.5 6.0J R ω Rcordamo l valore della tensone T determnato precedentemente (T5.96N) θ LT zdθ TRdθ TRΔθ 5.96. 5 5. 96J 0 θ 0 Per l teorema delle forze vve: ΔK L rsul tante L T + LP + L v R 0
Coppa d forze Due forze ugual ed opposte non avent la stessa retta d azone Attraverso una coppa è possble applcare al corpo un momento puro La forza rsultante della coppa è nulla. r F O b ( ) π θ r r F θ Il momento della coppa nvece è ndpendente dal polo Per esempo rspetto ad O, l punto d applcazone della forza F: 0, rfsenθ rfsen(π-θ)frsen(π-θ)fb È dretto perpendcolarmente al pano della coppa Nel caso consderato l verso è uscente Il modulo vale Fb dove b è l bracco della coppa par alla dstanza tra le retta d azone delle due forze Se le due forze sono collnear l momento della coppa è nullo r F b r F Lo stesso momento può essere ottenuto n nfnt mod dvers.
Coppa d forze Due forze ugual ed opposte non avent la stessa retta d azone Attraverso una coppa è possble applcare al corpo un momento puro La forza rsultante della coppa è nulla. r F O b ( ) π θ r r F θ Il momento della coppa nvece è ndpendente dal polo Per esempo rspetto ad O, l punto d applcazone della forza F: 0, rfsenθ rfsen(π-θ)frsen(π-θ)fb È dretto perpendcolarmente al pano della coppa Nel caso consderato l verso è uscente Il modulo vale Fb dove b è l bracco della coppa par alla dstanza tra le retta d azone delle due forze Se le due forze sono collnear l momento della coppa è nullo r F b r F Lo stesso momento può essere ottenuto n nfnt mod dvers.
Eserczo. Il patto d grammofono d raggo r0.0 m gra ntorno ad un asse centrale vertcale alla veloctà d 4.7 rad/s. Il suo momento d nerza rspetto all asse d rotazone vale 5.0x0-4 kg*m. Un pezzetto d stucco d massa 0.00 kg cade dall alto vertcalmente sul dsco e s appccca sul bordo. Qual è la veloctà angolare del dsco subto dopo che lo stucco s è attaccato? z ω v O L urto è un urto anelastco, dopo l urto due oggett s muovono restando attaccat. Le forze esterne present sono le forze peso del dsco e dello stucco pù la reazone vncolare eserctata dall asse d rotazone. Propro la presenza della reazone vncolare non consente la conservazone della quanttà d moto. Poché la reazone vncolare, mpulsva, è applcata all asse d rotazone, ha momento assale nullo rspetto all asse d rotazone. Anche le altre forze esterne present, le forze peso, essendo vertcal hanno momento assale nullo ( z 0) rspetto all asse d rotazone (l omento generato è ortogonale all asse) Qund s conserva l momento angolare assale L z.
Rcham al moto d PURO ROTOLAENTO 4
Rsoluzone del moto d rotolamento : ) pura rotazone attorno a punt d contatto ) sovrapposzone del moto del centro d massa pù una rotazone attorno al centro d massa N.B. : Entramb devono condurre al medesmo rsultato
oto d puro rotolamento d un clndro Consderamo un clndro d massa e raggo R che s può muovere su d un pano orzzontale sotto l azone d una forza F applcata nel suo centro d massa. Le altre forze agent sul clndro sono La forza peso applcata al centro d massa La normale N applcata nel punto d contatto La forza d attrto anch essa applcata nel punto d contatto. y r N r F as r P r F x Sa la normale N che la forza d attrto statco sono dstrbute su tutt punt della generatrce del clndro a contatto con l pano Facendo rcorso a queston d smmetra possamo renderc conto che l nseme d queste forze è equvalente ad un unca forza applcata nel punto d mezzo del segmento costtuto da punt d contatto tra clndro e pano orzzontale Nella fgura le forze rsultant, sa per quanto rguarda la Normale che per la forza d attrto statco, sono state applcate propro nel punto precedentemente determnato (esso s trova nfatt sulla sezone del clndro che contene l centro d massa). NB: n generale non s può stablre a pror l verso della forza d attrto statco Ragon d smmetra c dcono che deve essere parallela alla forza applcata F, però potrebbe andare verso destra o verso snstra. In fgura abbamo scelto a caso (quas) uno de due vers: se rsolvendo l problema determnamo un modulo negatvo, non vuol dre che abbamo raggunto un rsultato assurdo, solo che abbamo sbaglato la scelta del verso che, pertanto, andrà corretta.
) Rsoluzone del moto d rotolamento come pura rotazone attorno a punt d contatto L equazone del moto è: z Iα y I è l momento d nerza rspetto all asse d rotazone z è l momento assale rsultante delle forze applcate. F P N F Nel nostro caso (l polo è l punto d contatto): as z z 3z 4 z FR 0 0 0 FR Iα con r N r F as I I *+h R + R 3 R Stener r P r F x Utlzzando la condzone d puro rotolamento a x Rα FR I a x R a x FR I a x FR I FR 3 R NB:In questo caso non abbamo avuto alcuna nformazone sulla forza d attrto. F 3 F a x 3
) Rsoluzone del moto d rotolamento come sovrapposzone del moto del centro d massa pù una rotazone attorno al centro d massa. y F + P + N + F as a C x : y : F F L equazone del moto d rotazone attorno ad un asse fsso nel SR del C: F : P : N : Fas : F as I * a Cx R as N g Fz Pz Nz z 0 0 0 F a a as R Cx Cy 0 Sosttuendo n (*) x : y : I * R F as R I * α F F F I * a Cx R a Cx a Cx a F F F F Cx * I R + + 3 R + R F as I * a Cx R F R 3R F NB :Info sul puro rotol. 3 N as g a Cx Traslazone Rotazone condzone d puro rotolamento r N r F as r P r F z * I * α F F F a F as Cx + I* R F 3 as R I a * α Rα µ N x Cx s µ s (*) g
Dove è fnta l energa? F as N P F a x F 3 Con attrto oto d puro rotolamento N P F Senza attrto Pura traslazone Se la forza opera per un tratto Δx: v f v o a x Δx F v+ f Δx 3 Solo due terz del quadrato della veloctà del caso senza attrto S consder anche l energa cnetca del moto d rotazone ΔK K f K v + f v + f 0 + R ω + f v + f + I * ω + f F 3 Δx # + & % ( FΔx L F $ ' ΔK v v f + f K 3 f v F K F f 0 Δx a x F Δx v f FΔx L F
Eserczo: Un corpo d massa m e raggo R rotola senza strscare a veloctà v su un pano orzzontale. Prosegue rotolando su per una rampa fno ad una altezza massma h3v /(4g). Qual è l momento d nerza del corpo rspetto all asse passante per l centro d massa? Le D forze che tpo agent d corpo sono: l s peso, tratta? la normale e la forza d attrto. Possamo applcare la conservazone dell energa K + U * v + I ω K + f + U 0 0 f + mgh v h Da cu: mv + v I* R mg 3v 4g m + I * R m 3 I * m 3 R mr S tratta d un clndro!
ESERCIZIO: Una forza orzzontale costante d 0 N è applcata a una ruota d massa 0kg e raggo R0.30 m, nel modo come ndcato n fgura. La ruota rotola senza strscare sulla superfce orzzontale, e l accelerazone del suo centro d massa è 0.60 m/s. Qual sono l ntenstà ed l verso della forza d attrto sulla ruota? Qual è l momento d nerza della ruota ntorno all asse d rotazone passante per l suo centro? Dal teorema del centro d massa: R F + P + N + F as a C x : y : F F as N g a a Cx Cy 0 N g Fas F acx 0 0.60 4. 0N per la rotazone I * z * I * α R F a Cx F as 4. 0N F P N F 0.3 4 0.60 as 0.36 0.60 as z z z z 0 0 0 F as R 0.60kgm y x F as R I * α F as * I 0.60kgm N P F a x Rα F as I * a Cx R
Una forza orzzontale costante d 0 N è applcata a un clndro d massa 0kg e raggo R0.0 m, attraverso una corda avvolta sul clndro nel modo come ndcato n fgura. Il clndro rotola senza strscare sulla superfce orzzontale. Determnare: l accelerazone del suo centro d massa. l ntenstà ed l verso della forza d attrto necessaro per asscurare l moto d puro rotolamento l mnmo coeffcente d attrto tra l clndro e l pano orzzontale. Supponamo che la forza d attrto statco sa dretta n verso opposto alla forza applcata F, salvo rcrederc se rsolvendo l problema c rsultasse una componente negatva. Dal teorema del centro d massa: F + P + N + F as a C x : F Fas acx N g y : N g acy 0 La rotazone attorno al centro d massa: * z I * α F P N F as z z z z FR 0 0 F as R FR F as R I * α Traslazone Rotazone condzone d y I * R puro rotolamento x F as F F N FR F a Cx as P a as Rα Cx * R I α F a Cx Rα 0. ( 33.3) 6.66 m s F as F + Rα 0+ 0.( 33.3) 3.3N Fas µ sn µ s F N as Fas g 3.3 9.8 0.7
Eserczo: Un clndro peno d raggo 0 cm e massa Kg, partendo da fermo, rotola senza strscare per una dstanza d 6 m gù per l tetto d una casa nclnato d d 30 Quando lasca l bordo del tetto, qual è la sua veloctà angolare rspetto ad un asse passante per l suo centro d massa? La parete esterna della casa è alta 5 m, a che dstanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno pano? Consderamo dapprma l moto d puro rotolamento sul tetto Le forze agent sono la forza peso, la Normale, la forza d attrto statco. Possamo trovare la veloctà fnale utlzzando la conservazone U0 L dell energa meccanca totale ΔE L nc f LN + LF a 0 appl.punto fermo E E K + U K + U f 0 f f K * f K f vc + K vc + per l T.d Kong * I ω
La condzone d puro rotolamento: v C R ω K + U K f + U f 0 + glsen 30 v C v C R ω + I* ω + 0 U0 v y L Il momento d nerza del Clndro: I * R ω glsen30 R ω + 4gLsen 30 3R R ω 4 9.8 6 0.5 3. 394 6.6 rad s x v C Rω 0. 6.6 6. 6 m s Affrontamo ora la seconda parte del problema. Dobbamo nnanztutto calcolarc l modulo della veloctà del C; Usamo la condzone d puro rotolamento: La veloctà è dretta come mostrato n fgura. Quando l clndro abbandona l tetto, l moto del suo centro d massa è come l moto del proettle. Facendo rpartre l orologo al momento del dstacco,le condzon nzal sono: x o 0m y o 5m v xo 6.6cos30 5.4 m s v yo 6.6sen 30 3.3 m s x v xo t y y o + v yo t gt
Determnamo l stante d mpatto al suolo mponendo che y sa nulla: y o + v yo t gt 0 4.9 t + 3.3t 5 0 t, b ± b 4ac a 3.3 ± 3.3 + 4 4.9 5 9.8 3.3 ±0.39 9.8.37 +0.74 y La soluzone negatva è da scartare. v La dstanza a cu atterrerà: x v xo t 5.4.74 4.0m x S osserv che la veloctà d rotazone attorno all asse passante per l centro d massa rmane costante dal momento del dstacco fno all mpatto al suolo. L unca forza esterna agente, la forza peso, essendo applcata al C, ha momento assale nullo rspetto all asse d rotazone.