Alicazioni del calcolo di eenziale: oblemi di massimo e minimo Maco Bamanti Decembe 1, 015 Abstact Vediamo alcuni esemi di come il calcolo di eenziale consenta di fomalizzae e isolvee oblemi geometici o di alto tio in cui si ceca di massimizzae o minimizzae una ceta gandezza, sotto ootune condizioni. 1 Poblemi di massimo e minimo di tio geometico Esecizio 1 Ta i ettangoli di eimeto assegnato, quello di aea massima è il quadato. ia il eimeto, a; b i lati. a+b = eciò ossiamo oe a = x; b = e l aea A (x) = x ( x) ; che ha massimo evidentemente e x = =; quindi è un quadato. x Esecizio Tovae il ettangolo di aea massima che sta dento un tiangolo ettangolo di cateti a; b. E un quadato? La sua aea è maggioe o minoe della metà dell aea del tiangolo ettangolo? 1
Consideiamo il tiangolo di vetici 1 (a; 0) ; (0; b). L iotenusa sta alloa sulla b b etta y = b ax. Il ettangolo ha due lati sugli assi, base x, altezza y = b a x; aea b A (x) = x b a x = b a x + xb; aabola che ha massimo nel vetice x = = a. Il ettangolo quindi ha base a= e altezza b=; in geneale non è un quadato. L aea massima è ab=; esattamente metà dell aea del tiangolo in cui è contenuto. In questo caso il calcolo di eenziale non è sevito eché, come nell esemio ecedente, la funzione da massimizzae è una aabola; questa fotunata coincidenza eò non uò continuae a lungo... Esecizio Tovae il ettangolo di aea massima che sta dento un cechio di aggio. E un quadato? La sua aea è maggioe o minoe della metà dell aea del cechio? b b a Consideiamo la ciconfeenza x + y = e siano a; b i semilati del ettangolo. Pe Pitagoa si ha a + b = quindi ossiamo oe a = x; b = x 1 Notiamo che, quando utilizziamo la geometia analitica come stumento e a ontae un oblema fomulato col linguaggio della geometia sintetica, siamo noi a scegliee il sistema di ifeimento nel modo iù comodo.
e l aea del ettangolo è A (x) = ab = x x : A 0 (x) = x + x ( x) = x x x = x x 0 e x x ; x (icodae che x > 0). q =, eciò in coison- Quindi A (x) è massima e a = ; b = denza del quadato. L aea massima è A max = =. Pe confonto, l aea del cechio è A ce =, e il aoto ta le aee è A max A ce = = 0:6::: > 1. Il quadato inscitto ha aea maggioe della metà dell aea del cechio. Esecizio Cosa cambia nell esecizio ecedente se al osto del cechio si ende il semicechio o il quato di cechio? Pe le simmetie, la gua massimizzante è la ozione di quadato contenuta isettivamente nel semicechio (quindi un ettangolo di oozioni 1) o nel quato di cechio (quindi ancoa un quadato). Anche il aoto ta aea del ettangolo e aea della gua cicoscitta non cambia. Esecizio 5 (Il oblema del fabbicante di lattine) Ta tutti i cilindi di volume assegnato, deteminae quello di sue cie totale minima. Esimee il isultato dicendo quanto vale e il cilindo massimizzante il aoto aggio / altezza. (i uò ensae a questo oblema così: ssata la caacità che deve avee una lattina, ad es. cl, deteminae le sue oozioni in modo da usae meno alluminio ossibile e fabbicala). iano ; h aggio e altezza del cilindo. i ha: Volume = h = V assegnato, quindi h = V :
La sue cie totale è = + h = + eciò dobbiamo massimizzae e > 0 la funzione () = + V : V ; 0 () = V ; V 0 e e il volume è massimo e = V e h = V = ::: il aoto h = V = V V = 1 ; quindi il cilindo massimizzante ha h = : (Altezza ai al diameto di base). Esecizio 6 Deteminae il cilindo di volume massimo inscitto in una sfea di aggio. Calcolae il aoto ta altezza e aggio del cilindo massimizzante. Il volume del cilindo massimo è maggioe o minoe di metà del volume della sfea? iano ; h aggio e altezza del cilindo. Una sezione veticale delle gue mosta alloa un ettangolo di lati h; inscitto in una ciconfeenza di aggio ; e e Pitagoa vale: h + = ; da cui = h e il volume del cilindo è V = h = h h: Dobbiamo massimizzae quindi V (h) = h h e 0 < h <
V 0 (h) = h 0 e h ; h. Il volume è massimo e h = ; = h =. h = = ; Il volume massimizzante è V max = = mente e V sfea = V max = 1 = 0; 577::: > 1 V sfea. Il volume del cilindo è (oco) iù di metà del volume della sfea cicoscitta. Esecizio 7 Deteminae il cilindo di volume massimo che sta dento un cono di altezza H e aggio. Calcolae il aoto ta altezza e aggio del cilindo massimizzante. Il volume del cilindo massimo è maggioe o minoe di metà del volume del cono? iano ; h aggio e altezza del cilindo. Una sezione veticale delle gue mosta alloa un ettangolo di lati h; inscitto in un tiangolo isoscele di base e altezza H. e i vetici sono (; 0) ; (0; H) ; il lato obliquo di desta è la etta y = H H x e si ha h = H H : Il volume del cilindo è V = h = H H : Dobbiamo massimizzae quindi V () = H e 0 < < : 5
Il volume è massimo e Il volume massimizzante è mente e V max = H 1 V 0 () = H 0;. = ; h = H h = H. H 0 e = 1 H; = H 9 1 V cono = 1 H V max V cono = 9 < 1. = 7 H Il volume del cilindo è (oco) meno di metà del volume del cono cicoscitto. Esecizio 8 Deteminae il cono di volume massimo inscitto in una sfea di aggio. Calcolae il aoto ta altezza e aggio del cono massimizzante. Il volume del cono massimo è maggioe o minoe di un tezo del volume della sfea? iano ; h aggio e altezza del cono. Una sezione veticale delle gue mosta alloa un tiangolo isoscele inscitto in una ciconfeenza di aggio. Indicando con y la distanza ta la base del cono e il cento della sfea, l altezza del cono è h = y + e e Pitagoa vale: da cui onendo x = si ha + y = ; h = + x e il volume del cono è V = 1 h = 1 x + x : 6
Dobbiamo massimizzae quindi V (x) = 1 x + x x e 0 < x < V 0 (x) = 1 x + x x x = 1 x + x x x = x x x + x 0 e x x + x 0 x x : = 1 x + x! x x Occoe isolvee la disequazione iazionale. Pe x è seme vea, e x > è equivalente a x 9x + 1x 9x 8x 0 9x 8 quindi V (x) cesce no a x = 8 9, che dà il unto di massimo = x = h = + h = Il volume massimizzante è mente e V max = 1 8 9 + 8 9 = 8 9! V sfea = V max = 8 V sfea 7 < 1. = 1 8 9 = 8 7 Il volume del cono è (oco) meno di un tezo del volume della sfea cicoscitta. 7
Esecizio 9 Ta tutti i cilindi inscitti in una sfea di aggio, deteminae quello di sue cie lateale massima. (Il oblema fu isolto da Femat). Calcolae il aoto h= e il cilindo massimizzante. La sue cie lateale del cilindo è maggioe o minoe della metà della sue cie della sfea? iano ; h aggio e altezza del cilindo. Una sezione veticale delle gue mosta alloa un ettangolo di lati h; inscitto in una ciconfeenza di aggio ; e e Pitagoa vale: h + = ; da cui = h e la sue cie lateale del cilindo è = h = h h: Dobbiamo massimizzae quindi (h) = La sue cie è massima e h h e 0 < h < 0 1 V 0 (h) = @ h + h q h A h = q h 0 e h h ; h. h = ; = h =. La sue cie massimizzante è mente h = ; max = = sfea = ; ossia la sue cie lateale del cilindo è esattamente metà di quella della sfea cicoscitta. 8
Esecizio 10 Deteminae il aalleleiedo a base quadata di volume massimo inscitto in una sfea di aggio. E un cubo? Il volume del aalleleiedo massimo è maggioe o minoe di metà del volume della sfea? (Il oblema fu isolto da Keleo). iano a; a; b i semisigoli del aalleleiedo inscitto. Pitagoa nello sazio si ha Pe il teoema di quindi onendo si ha e il volume del aalleleiedo è a + a + b = a = b = x x V = (a) b = x x, da massimizzae e 0 < x <. V 0 (x) = x ; x x 0 e quindi il volume è massimo e b = x = ; a = aalleleiedo massimo è un cubo, di volume e V max = V max V sfea = = 8, q 8 = = 0; 7::: =, eciò il Il volume del cubo è oco iù di un tezo del volume della sfea, ma meno della metà. Esecizio 11 Ta tutti i cilindi di diagonale ssata, tovae quello di volume massimo. Esimee il isultato dicendo quanto vale il aoto h= e il cilindo massimizzante. [Diagonale del cilindo è la diagonale del ettangolo che si ottiene con una sezione veticale del cilindo assante e il cento]. Pe Pitagoa si ha: h + () = d 9
dove d è la diagonale ssata. Peciò oniamo Il volume del cilindo è e dobbiamo massimizzae = x h = d x V = h = x d x V (x) = x d x e 0 < x < d. V 0 (x) = x d x + x ( 8x) d x x = d x d 6x 0 e d 6x x d 6 : Il volume è massimo e = x = d 6 ; h = h 6 = = : d d = x x x d x d 6 = d ; i uò a questo unto aie una aentesi sul concetto di diagonale di un cilindo: Esecizio 1 Dimostae che la diagonale di un cilindo (così come è stata de nita nell esecizio ecedente) è il segmento iù lungo in esso contenuto. Pe inseie un segmento di massima lunghezza in un cilindo usando bene lo sazio a disosizione, è chiao che i due estemi del segmento dovanno essee sulla sue cie del cilindo stesso, e dovanno essee sulle due basi ooste. cegliamo un ifeimento in cui uno dei due unti è P 1 ( ; 0; 0) ; e sia l alto P (x; y; H), con x +y =. La lunghezza del segmento al quadato è (teoema di Pitagoa nello sazio): (P 1 P ) = (x + ) + y + H = (x + ) + x + H = x + + H ; con x [ ; ] ; ed è ovviamente massima e x = : Quindi P (; 0; H), e il segmento P 1 P è oio quello che abbiamo chiamato diagonale del cilindo. Qui non è nemmeno sevito il calcolo di eenziale, visto che si massimizzava una funzione lineae su un intevallo chiuso e limitato. 10
Esecizio 1 Ta tutti i cilindi di diagonale ssata, tovae quello di sue cie totale massima. Esimee il isultato dicendo quanto vale il aoto h= e il cilindo massimizzante. Pe Pitagoa si ha: h + () = d dove d è la diagonale ssata. Peciò oniamo = x h = d x La sue cie totale del cilindo è = + h = x + x d x e dobbiamo massimizzae (x) = x + x d x e 0 < x < d. 0 (x) = x + d x + x ( 8x) d x = x + d 8x 0 e d x e x d 8 x d x 8x d d è seme vea, se 8 < x d = x + d x x d x si ha x d x 6x + d 16x d 80x 0x d + d 0 5 0 5 = x = 1 s x = 10d 0d 80 d x 5 + 5 d 0 = 5 5 d 0 cescente no a x = 5+ 5 0 d ; quindi la sue cie è massima e s 5 + 5 d 10 h = d 5 + 5 d 10 = s h = 1 5 + 5 = 1 5 5 s 5 5 + 1 : 5 d 10 11
Esecizio 1 Ta tutti i coni di sue cie totale ssata, deteminae quello di volume massimo. Esimee il isultato mediante il aoto h= ta altezza e aggio del cono. La sue cie totale è: = + 1 a dove a è l aotema, a = + h, quindi = + + h ed è ssato. Possiamo icavae h = e quindi calcolae il volume s V = 1 h = 1 : Occoe quindi massimizzae V () = 1 s = 1 = 1 e <. V 0 () = 1 + q = 1 q q 1 = q 0 5 5 = q 1 q 0 e 1
eciò il volume è massimo e = v u h = t h = : = Alti tii di oblemi di massimo e minimo I oblemi di massimo e minimo facilmente fomalizzabili e isolubili col calcolo di eenziale scolastico non si limitano ai tii di oblemi geometici che abbiamo illustato nella sezione ecedente. i ossono consideae oblemi sici, economici, o di alto tio. Nella tadizione didattica dei libi di Calculus ameicani questi oblemi occuano amio sazio. Ad esemio, i seguenti testi (tadotti in italiano) contengono decine di oblemi di questo tio, alcuni decisamente inteessanti: obet A. Adams. Calcolo di eenziale 1. Funzione di una vaiabile eale. econda edizione. Casa Editice Ambosiana (v. agine 190-19). James tewat. Calcolo. Funzioni di una vaiabile. Ed. Aogeo. (v. agine 1-17). E istuttivo endesi conto di come il calcolo di eenziale emetta di isolvee oblemi di massimo o minimo anche nel disceto, non solo nel continuo: Esemio 15 Ci chiediamo e quale n la successione a n = n e n assume il suo valoe massimo. La domanda è giusti cata dal fatto che questa successione è ositiva e tende a zeo e la geachia degli in niti, ma a 0 = 0, eciò deve avee un elemento massimo. Natualmente si uò facilmente indovinae chi sia questo temine tabulando i imi valoi n 0 1 5 6 7 8 a n 0 0:68 :165 :0 :689 :11 :1 1:7 0:810 ma noi voemmo ote dimostae il isultato congettuato. Consideiamo: f (x) = x e x e x [0; +1); e cechiamone (in quell intevallo) il unto di massimo assoluto. f 0 (x) = e x x x = x e x ( x) 0 e x, quindi f ha il suo massimo e x =, ossia f (x) f () e ogni x 0, e quindi a maggio agione e ogni x = n 0. Peciò a n = f (n) ha il suo massimo e n = : 1
Esemio 16 Dimostae che e ogni k = 1; ; ; :::; la successione a n = n k e n ha massimo e n = k. (i ossevi che la successione diende dall indice n, mente k è un aameto ssato). Il ocedimento è identico a quello visto. i noti che se si fosse a ontato diettamente il oblema e la successione a n = n 10 e n (ad esemio), non saebbe stato facile caie e tabulazione che il valoe massimo ea assunto e n = 10. Il calcolo di eenziale ci fa scoie il isultato, non ce lo fa solo dimostae. Esemio 17 Deteminae e quale n la successione a n = n n assume il suo valoe massimo. (La agione e ci asettiamo che ci sia un valoe massimo è la stessa del imo esemio). Il ocedimento è simile ma c è un fatto tecnico che ende il oblema signi cativamente diveso. e oniamo e calcoliamo f (x) = x x e x [0; +1) f 0 (x) = x x x log = x x ( x log ) 0 e x log ' 5:77 vediamo che la funzione di vaiabile eale assume il suo massimo in un unto non inteo. Poiché f cesce ima di 5:77, la successione a n è cescente e n = 1; ; :::; 5; analogamente, è decescente e n = 6; 7; 8; ::: La conclusione è che il valoe massimo di a n è assunto e n = 5 o e n = 6: solo il calcolo numeico dei due valoi ci uò die quale dei due sia il massimo: eciò il valoe massimo è a 6. a 5 = 19:51; a 6 = 0:5 Un alto tio ancoa di imiego dei oblemi di massimo e minimo, di tio teoico, è illustato dal seguente Esemio 18 Dimostae che esiste una costante c > 0 e cui si ha: (a + b) c a + b e ogni a; b > 0 e deteminae la minima costante c e cui questo è veo. i tatta qui di dimostae una disuguaglianza valida e ogni a; b > 0. isciviamo la tesi accogliendo b ad ambo i membi e semli cando (b > 0): a b + 1 c a b + 1 e ogni a; b > 0 che saà dimostata se oveemo che (x + 1) c x + 1 e ogni x > 0: 1
Ci siamo così icondotti ad un oblema in una sola vaiabile. De nendo f (x) = (x + 1) (x + 1) si vede che il oblema è equivalente a tovae il minimo numeo c e cui si ha f (x) c e ogni x > 0; ossia deteminae il massimo della funzione f (x) e x > 0. Così tasfomato, il oblema è oa standad: f 0 (x) = (x + 1) x + 1 x (x + 1) (x + 1) (x + 1) = (x + 1) x + 1 x (x + 1) = (x + 1) (x + 1) 1 x 0 e x 1. Quindi il massimo di f, ossia la costante c, è: c = f (1) = = 8: Esemio 19 Deteminae la minima costante c e cui si abbia (a + b) 5 c a 5 + b 5 e ogni a; b > 0 (oue si uò fae diettamente con esonente k inteo ositivo qualsiasi). Esemio 0 Esiste un c > 0 e cui si abbia E e cui si abbia (a + b) 5 c a + b e ogni a; b > 0? (a + b) c a 5 + b 5 e ogni a; b > 0? Giusti cae le isoste fonendo dimostazione o contesemio. [In entambi i casi c non esiste. Nella ima: oe a = b e fa tendee a a +1; e la seconda: oe a = b e fa tendee a a zeo]. 15