Equazioni e disequazioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
A(x)=0 x si chiama incognita dell equazione. Se oltre all incognita non compaiono altre lettere l equazione si dice numerica, altrimenti letterale. Equazioni Un equazione nell incognita x è rappresentata dalla scrittura A(x) = B(x) dove A e B sono espressioni contenenti la variabile x e si chiamano rispettivamente il primo e secondo membro dell equazione. Ad esempio: 2x+1=0 é in forma normale se si presenta nella forma
Soluzioni di un equazione Si chiama soluzione o radice di un equazione un numero che sostituito alla variabile x verifica l uguaglianza. Ad esempio l equazione x+2=0 ha come soluzione x=-2. Infatti (-2)+2=0 Risolvere un equazione significa trovare tutte i valori delle incognite che verificano l equazione, se esistono.
Soluzioni di un equazione Un equazione si dice impossibile se non ha soluzioni, altrimenti si dice possibile. Un equazione che possiede un numero infinito di soluzioni si dice indeterminata. Un equazione è detta identità se l insieme delle soluzioni è tutto l insieme universo.
Principi di equivalenza delle equazioni Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni. Addizione e sottrazione: addizionando o sottraendo ai due membri di una equazione una stessa espressione si ottiene una equazione equivalente a quella data. Esempio: x+3=0 x+3-3 = -3 x=-3
Principi di equivalenza Trasporto: un espressione può essere trasportata da un membro ad un altro di un equazione, purchè tale espressione venga cambiata di segno. Esempio: x+4=0 x= -4 Moltiplicazione e divisione: moltiplicando o dividendo i due membri di un equazione per una stessa espressione diversa da zero, si ottiene un equazione equivalente a quella data. Esempio: 2x=4 1 2 2 x = 4 2 2 1 1 => x=2
Cambiamento di segno: cambiando di segno a tutti i termini di un equazione, questa si trasforma in un equazione equivalente a quella di partenza. Esempio: -x = -2 x=2
Equazioni di I grado Le equazioni di I grado sono quelle che, tramite i principi di equivalenza, si possono ricondurre alla forma: ax = b dove a e b sono numeri reali. b si chiama termine noto a si chiama coefficiente dell incognita
Soluzioni di un equazione di I grado Data la generica equazione di I grado ax = b Se a 0 allora l equazione ha una sola soluzione x = b a Se a = 0 e b 0 l equazione è impossibile Se a = 0 e b = 0 l equazione è indeterminata Per risolvere un equazione si applica i principi di equivalenza in modo da ridurla in forma normale per poi discutere come sopra l esistenza o meno di soluzioni.
Esercizi 1. x + 4 = 2 [-2] 2. 2x + 4 = x + 5 [1] 3. x + 2 = x + 4 [impossibile] 4. x + 1 = 2x 1 x + 2 [indeterminata] 5. 3x + 5 = 4x + 6 [-1] 6. 7. 2 3 x + 1 2 = 1 6 x - 1 4 1 4 x + 5 3 = 2 3 x + 1 6 [ 18 11 ] [ 3 2 ]
Equazioni di II grado Un equazione di secondo grado è un equazione che in forma canonica si presenta come ax 2 + bx + c = 0 con a, b, c reali e a 0.
Equazione spuria Nel caso in cui c = 0 termine noto nullo l equazione di secondo grado diventa ax 2 + bx = 0 che si può scrivere x(ax + b) = 0 x = 0 ax + b = 0 x = b a
Esempio 2x 2 3x = 0 x 2x 3 = 0 x = 0 2x 3=0 2x = 3 Verifica: x = 0 è soluzione? 0 3 = 0; x = 3 2 è soluzione? 3 2 2 3 2 3 = 0 0=0 x = 3 2
Equazione pura Nel caso in cui b= 0 l equazione di secondo grado diventa ax 2 + c = 0 che ha soluzioni reali solo se - c a 0 x 2 = c a x = ± c a
Esempio x 2 3 = 0 x 2 = 3 x = ± 3 2x 2 + 1 = 0 2x 2 = 1 x 2 = 1 2 [impossibile]
Caso generale Nel caso generale ax 2 + bx + c = 0 si applica la formula x = b ± b2 4ac 2a Sia delta = b 2 4ac, allora > 0 2 soluzioni reali = 0 1 soluzione reale < 0 nessuna soluzione reale
Esempio x 2 3x 4 = 0 x = 3 ± 32 + 4 4 2 x = 3± 9+16 2 = 3±5 2 = x = 4 x = 1
Formula ridotta Nel caso in cui b è pari la formula diventa b 2 ± b2 4 ac x = a Esempio: x 2 4x 5 = 0 x = 2 ± 4 + 5= 2 ± 3 = x = 5 x = 1
Equazioni Fratte Un equazione si dice fratta se l incognita compare anche a denominatore delle frazioni presenti nelle espressioni algebriche delle equazioni. In questo caso bisogna fare la discussione, cioè porre il denominatore diverso da zero ed escludere tra le soluzioni i valori scartati nella discussione. A(x) = 0, B x 0 B(x) A(x) = 0
Esempio Esempio: 2x+1 x 3 = 0 Discussione: si pone x 3 0 x 3 Per x 3 il denominatore può essere eliminato, così che l equazione diventa: 2x + 1 = 0 x = 1 2 La soluzione può essere accettata perché non coincide con quella scartata nella discussione.
Esempio x2 3x+2 x 2 4 = 0 Discussione: x 2 4 0 x 2 4 x ± 2 x 2 3x + 2 = 0 x = 3± 9 4(2) 3± 9 8 = = 3±1 = 2 2 2 Può essere accettata solo la soluzione x = 1. x = 2 x = 1
Esercizi Risolvere le seguenti equazioni: 1. x 2 5x + 6 = 0 [2,3] 2. 2x 2 + 5 = 0 [impossibile] 3. 25x 2 4 = 0 [± 2 5 ] 4. 2x 2 5x = 0 [0, 5 2 ] 5. x 2 2x 8 = 0 [-2, 4] 6. x 2 x 3 = 5 x 1 [impossibile] 7. x x + 2 + 2 1 2x = 4 x + 1 2 ± 2 2
8. x 2 + x 6 = 0 [-3,2] 9. x 2 + 12x + 32 = 0 [-8,-4] 10. x 2 3x + 1 = 0 3± 5 11. 2x 2 3x + 5 = 0 [nessuna] 12. 1 x 3x 1 = 0 3 x 1 x 2 4 13. 1 4x = 0 1 x 2 5x+6 4 2
Disequazioni Una disequazione nell incognita x può essere rappresentata dalle seguenti scritture A(x) > B(x) A(x) < B(x) A(x) B(x) A(x) B(x) dove A e B sono espressioni in x e si chiamano rispettivamente il primo e secondo membro della disequazione. Ad esempio: 2x+1 0 La disequazione è in forma normale se si presenta nella forma A(x) > 0 A(x) < 0 A(x) 0 A(x) 0 x si chiama incognita della disequazione. Risolvere una disequazioni significa trovare tutti i valori di x che soddisfano la disuguaglianza data.
Principi di equivalenza delle disequazioni Due disequazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni. Addizione e sottrazione: addizionando o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa espressione si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Esempio: x+3>0 x+3-3 > -3 x>-3
Principi di equivalenza Moltiplicazione e divisione: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa espressione strettamente positiva, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Esempio: 2x 3 1 2 1 2 x 3 2 x 3 2
Principi di equivalenza Moltiplicazione e divisione: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa espressione strettamente negativa e invertendo il senso della disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Esempio: 2x 3 x 3 2
Disequazioni di I grado Le disequazioni di I grado sono quelle che, tramite i principi di equivalenza, si possono ricondurre alla forma: x b x b x < b x > b In questo caso le soluzioni sono sottoinsiemi della retta e quindi infinite: x b, b x b b, + x < b (, b) x > b (b, + )
Esempio Risolvere la seguente disequazione: 3x + 5 < 2 + x 3x x < 2 5 2x < 3 x < 3 2
Esempio Risolvere la seguente disequazione: 1 Sempre verificata x 3 2 > 2x 7 4 2(x 3) 4 > 2x 7 4 4 4 1 1 2x 6 > 2x 7 2x 2x > +6 7 0 > 1 1
Esercizi di riepilogo Svolgere le seguenti disequazioni di I grado 1. 2 3 x + 2 5 > 1 5 x + 9 5 [x > 3] 2. x 2 2 < x 3 [x > 4] 3. 17x 1 3 4 x + 1 2 < 0 [x < 7 39 ] 4. x 3 > 1 4 4 5. 3 + x 4 < 1 2 3 x 7 [qualunque x] x + x 2 4 [x > 18]
6. 2x 1 4 7. x 1 6 2 x 3 > 1 6 5x + 2 3 x > x 2 x 3 1 6 [impossibile] [x < 0]
Disequazioni di II grado Le disequazioni di II grado sono quelle che, tramite i principi di equivalenza, si possono ricondurre ad una delle seguenti forme: ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c > 0 con a, b, c reali e a 0. Dal segno del discriminante = b 2 4ac della equazione associata ax 2 + bx + c = 0 si possono presentare 3 casi
> 0 2 soluzioni reali, x 1 < x 2 per l equazione associata ax 2 + bx + c = 0 Se a > 0 + + x 1 x 2 + Se a < 0 x 1 x 2
= 0 1 soluzione reale, x 1 per l equazione associata ax 2 + bx + c = 0 Se a > 0 + Se a < 0 x 1 x 1
< 0 nessuna soluzione reale per l equazione associata ax 2 + bx + c = 0 Se a > 0 + Se a < 0
Esempio 1 Risolvere la seguente disequazione di II grado: x 2 + 3x 4 0 Le soluzioni dell equazione associata x 2 + 3x 4 = 0 sono 3± 9+16 = 3±5 = 2 x = 2 Essendo a = 1 > 0 La soluzione della disequazione è quindi x 4 o x 1 1-4 + + -4 1
Esempio 2 Risolvere la seguente disequazione di II grado: x 2 + 2x + 1 > 0 Le soluzioni dell equazione associata x 2 +2x + 1 = 0 sono x = 1 ± 1 1 = 1 ± 0 = 1 Essendo a = 1 > 0 La soluzione della disequazione è quindi x 1 + 1 +
Esempio 3 Risolvere la seguente disequazione di II grado: x 2 x 1 > 0 Le soluzioni dell equazione associata sono x = 1± 1 4 2 = 1± 3 2 nessuna soluzione Essendo a = 1 < 0 La disequazione non ammette quindi nessuna soluzione
Disequazioni razionali fratte Le disequazioni razionali fratte sono quelle che possono essere ricondotte alla seguente forma: P(x) Q(x) > 0, P(x) Q(x) < 0, P(x) Q(x) 0, P(x) Q(x) 0 dove il numeratore P(x) e il denominatore Q(x) sono polinomi a coefficienti reali. La discussione della disequazione tenendo conto che una frazione è maggiore di zero se numeratore e denominatore sono entrambi positivi o negativi e che una frazione è minore di zero se numeratore e denominatore sono uno positivo e l altro negativo o viceversa. Il denominatore deve essere sempre diverso da 0.
Esempio Risolvere la seguente disequazione fratta: x 2 3x > 0 x(x 3) > 0 x+2 x+2 Il numeratore è positivo per x < 0 o x > 3. Il denominatore è positivo per x > 2. Si ottiene la seguente tabella: -2 0 3 Num. + + + 0-0 + Den. - 0 + + + + + Fraz. - n.d. + 0-0 + La soluzione è 2 < x < 0 o x > 3.
Esempio Risolvere la seguente disequazione fratta: x 5 x 2 +3x+2 < 0 Il numeratore è positivo per x > 5. Il denominatore è positivo per x 2 + 3x + 2 > 0 Le soluzioni dell equazione associata sono: x = 3± 9 8 2 = 3±1 2 = Il denominatore è positivo per x < 2 oppure x > 1 Si ottiene la seguente tabella: -2-1 5 Num. - - - - - 0 + Den. + 0-0 + + + Fraz. - n.d. + n.d. - 0 + La soluzione è x < 2 oppure 1 < x < 5. -1-2
Sistemi di disequazioni Un sistema di disequazioni è un insieme di più disequazioni. La soluzione di un sistema di disequazioni è l insieme delle eventuali soluzioni comuni a tutte le disequazioni che lo compongono. La soluzione di un sistema di disequazioni si ottiene risolvendo ciascuna disequazione separatamente e prendendo quindi l intersezione delle soluzioni di ciascuna.
Esempio Risolvere il seguente sistema di disequazioni: x + 2 > 3 x + 5 > 2 x x > 3 2 x + x > 2 5 x > 1 2x > 3 x > 1 x > 3 2 la soluzione è x > 1-3/2 1 I dis. II dis. sistema
Esempio Risolvere il seguente sistema di disequazioni: 1 3 x 1 2 3 > x x 1 > 0 2 2 3 x 1 > 2x 3x 2 > 0 2x 3x > 5 x > 2 3 2 3 x 1 2 3x 2 2 > 2x 2 > 0 2 2 3x + 3 > 2x 3x > 2 5x > 5 x > 2 3
Esempio x < 1 x > 2 3 la soluzione è 2 3 < x < 1 2/3 1 I dis. II dis. sistema
Esercizi 1. x 2 + 4x + 5 > 0 [tutti i numeri reali] 2. 5x 2 + 3 < 0 [impossibile] 3. x 2 + 3x 4 0 [x 4 o x 1] 4. x 2 x + 2 0 [impossibile] 5. 1 + 5x x 2 < 5 [x < 1 o x > 4] 6. 2x + 1 2 5 x 2 4 [ 4 3 7. x 1 2 + x 2 2 < x 3 2 x 0] [ 2 < x < 2]
Esercizi 8. 2x 1 x 3 > 0 [x < 1 2 9. x2 6x+5 x 2 +3x o x > 3] 0 [ 3 < x < 0 o 1 x 5]
Esercizi 10. 11. x + 1 < 4 x 3x + 1 > x + 2 x+3 + 1 > x 1 1 2 3 x 1 5 + x < x 1 4 [ 1 4 < x < 3 2 ] [ 23 < x < 1 4 ] 12. 4 9x2 2x 1 < 0 2 3 < x < 1 2 o x > 2 3
Esercizi 13. x2 +4x 3 x 2 6x+5 0 3 x < 5 14. 9x2 1 x 2 4 > 0 x < 2 o 1 3 < x < 1 o x > 2 3 15. x 2 8x+15 0 0 < x 3 o 4 < x 5 4x x 2