POF. IN CEESO.S. EINSEIN EEMENI DI GEOMEI SOID Postulati: ) pe punti dello spazio, non allineati, passa uno e un solo piano; ) una etta passante pe due punti di un piano giace inteamente in quel piano; ) una etta (etta oigine) giacente su un piano lo divide in due egioni dette semipiani; ) un piano (piano oigine) divide lo spazio in due egioni dette semispazi. Posizione di una etta ispetto a un piano: la etta può giacee sul piano, avee in comune con questo un solo punto, o essee paallela al piano. Posizione di due ette nello spazio: se due ette anno due punti in comune, esse coincidono; se anno un solo punto in comune, esse sono incidenti e deteminano un piano; se non anno punti in comune, esse o sono complanai, e quindi paallele, o non sono complanai (ette sgeme). Posizione di due piani nello spazio: due piani possono essee paalleli (nessun punto in comune) o incidenti (una etta in comune, ce è l intesezione ta i due piani). Quindi pe una etta nello spazio passano infiniti piani (fascio di piani) ce anno la etta come sostegno o asse. eoema : se una etta è pependicolae a due ette s, t ce passano entame pe uno stesso suo punto P, alloa è pependicolae a qualunque alta etta condotta pe P e complanae a s, t. Una etta si dice pependicolae (o otogonale o nomale) a un piano quando lo inconta in H ed è pependicolae a tutte le ette del piano passanti pe H (ce è detto piede della pependicolae). Una etta ce inteseca un piano senza essegli pependicolae è detta oliqua ispetto al piano. eoema : pe un punto dato si può condue uno e un solo piano pependicolae a una etta data. eoema ( teoema delle te pependicolai ): se dal piede di una pependicolae a un piano si conduce la pependicolae a una etta data del piano, questa isulta pependicolae al piano individuato dalle pime due ette. Fig.. Fig.. Hp: dato il piano, sia a ; sia e da Q si tacci c. : α, dove α è il piano individuato da a e da c. Dim: poicé c, pe il teoema è sufficiente dimostae ce è pependicolae ad un alta etta appatenente ad α. Pesi su due punti e tali ce H H, si congiungano e con Q e P, essendo P un punto di a. Ovviamente QH QH, quindi Q Q. lloa PQ PQ (tiangoli ettangoli con i cateti conguenti) da cui P P, quindi P è isoscele: essendo PH mediana, PH è ance altezza, ossia PH, ce è la tesi.
a figua costituita da due semipiani aventi la stessa oigine e da una delle due pati di spazio da essi limitata si ciama angolo diedo o semplicemente diedo. I semipiani si dicono le facce del diedo e ne costituiscono il contono; la etta si dice spigolo del diedo. Dei due diedi fomati da due semipiani distinti quello ce non contiene al suo inteno i polungamenti delle sue facce si dice convesso, mente l alto si dice concavo. Due diedi sono conguenti se esiste un movimento igido mediante il quale si può sovappoe un diedo all alto, in modo tale ce vengano a coincidee spigoli e facce. Si dice sezione nomale di un diedo l angolo ottenuto intesecando il diedo stesso con un piano pependicolae allo spigolo. eoema : due diedi sono conguenti se e solo se anno sezioni nomali conguenti. Il confonto ta diedi si può quindi icondue al confonto ta le ispettive sezioni nomali, e la misua di un diedo si identifica con la misua di una sua sezione nomale (espessa in gadi o in adianti). Due piani ce si intesecano si dicono otogonali (o pependicolai o nomali) se fomano quatto diedi conguenti; in caso contaio i due piani si dicono oliqui. ngoloide: in un piano α è dato un poligono convesso K di n lati (n ) e sia O α; la figua costituita da tutte le semiette uscenti da O e passanti pe i punti di α inteni a K, o passanti pe il contono di K, si dice angoloide; le n semiette di oigine O passanti pe i vetici di K sono dette spigoli, gli n angoli fomati da due spigoli consecutivi sono detti facce; l insieme delle facce costituisce la supeficie piamidale (fig. ). Supeficie poliedica: figua fomata da più poligoni convessi situati in piani divesi e disposti in modo ce ciascun lato sia comune a due di essi e ce il piano di ogni poligono lasci tutti gli alti da una medesima pate. I poligoni, i loo vetici e i loo lati sono ispettivamente le facce, i vetici e gli spigoli della supeficie poliedica. Poliedo: figua fomata da una supeficie poliedica e da tutti i suoi punti inteni. Diagonale del poliedo: segmento ce congiunge due vetici non appatenenti alla stessa faccia. Pisma: poliedo in cui due facce (asi) sono poligoni conguenti con i lati coispondenti paalleli e le alte facce (facce lateali) sono paallelogammi aventi una coppia di lati paalleli coincidenti con i lati omologi delle asi (fig. ). a distanza ta le asi è detta altezza. Se gli spigoli lateali non sono pependicolai ai piani delle asi, il pisma si dice oliquo, altimenti si dice etto: in un pisma etto le facce lateali sono ettangoli. Un pisma si dice egolae se è etto e le asi sono poligoni egolai (pisma tiangolae, quadangolae, pentagonale, ecc.) Fig.. Paallelepipedo: pisma avente pe asi due paallelogammi (quindi è delimitato da 6 paallelogammi). Paallelepipedo etto: i suoi spigoli sono pependicolai ai piani di ase; paallelepipedo ettangolo: è etto ed a pe asi dei ettangoli (fig. ). Cuo: pisma delimitato da 6 quadati. Fig.. eoema 5: le diagonali di un paallelepipedo si incontano in un punto (cento del p.) ce le divide pe metà. Se il paallelepipedo è ettangolo, le diagonali sono conguenti.
Piamide: pate di angoloide delimitato dal piano α (v. fig. ) e contenente il punto O (detto vetice della piamide); il poligono K è la ase, gli spigoli dell angoloide sono gli spigoli lateali della piamide; la distanza di O da α è l altezza; i tiangoli individuati da α sono le facce lateali; la loo unione è la supeficie lateale della piamide; l unione ta supeficie lateale e la supeficie di K dà la supeficie totale. Piamide etta: a pe ase un poligono cicosciviile ad una cecio, il cui cento coincide con la poiezione di O sulla ase. Fig. 5. e facce lateali di una piamide etta anno altezze conguenti ta loo, detta apotema della piamide. Piamide egolae: è una piamide etta in cui la ase K è un poligono egolae: le facce lateali di una piamide egolae sono tiangoli isosceli tutti conguenti ta loo (fig. 5). eoema 6: se si taglia una piamide con un piano paallelo alla ase, alloa: ) la ase e la sezione sono poligoni simili; ) i lati e i peimeti di questi poligoni sono popozionali alle distanze del loo piano dal vetice O e le aee sono popozionali ai quadati di queste distanze. onco di piamide: solido ottenuto tagliando una piamide con un piano paallelo alla ase (non passante pe O) e non contenente O. Un tonco è etto (isp. egolae) se è etta (isp. egolae) la piamide sezionata. Poliedi egolai: un poliedo è detto egolae se le sue facce sono poligoni egolai tutti conguenti ta loo e i suoi angoloidi sono pue tutti conguenti ta loo. Esistono solo 5 poliedi egolai (fig. 6, nell odine): tetaedo egolae ( facce tiangolai); ottaedo egolae (8 facce tiangolai); icosaedo egolae (0 facce tiangolai); esaedo egolae o cuo (6 facce quadate); dodecaedo egolae ( facce pentagonali). Fig. 6. eoema 7 ( teoema di Euleo ): indicati con f, v, s ispettivamente il numeo di facce, di vetici e di spigoli di una supeficie poliedica, isulta f v s. Cilindo: solido geneato dalla otazione completa di un ettangolo attono ad uno dei suoi lati, ce costituisce l altezza del cilindo, mente gli alti lati sono i aggi del cilindo, e geneano due ceci detti asi del cilindo. Si ciama cilindo equilateo il cilindo avente l altezza conguente al diameto di ase. Si ossevi ce secondo questa definizione il pisma egolae e la piamide egolae non sono in geneale poliedi egolai.
Un pisma etto si dice inscitto in (cicoscitto a) un cilindo quando le sue asi sono inscitte nelle (cicoscitte alle) asi del cilindo (fig. 7). Un pisma egolae isulta sempe inscittiile e cicoscittiile ad un cilindo. Cono: solido geneato dalla otazione completa di un tiangolo ettangolo attono ad un cateto, ce costituisce l altezza del cono. ipotenusa genea la supeficie lateale e appesenta l apotema del cono; l alto cateto è il aggio del cono e genea la supeficie di ase. Un cono si dice equilateo se l apotema è conguente al diameto di ase. Fig. 7. Una piamide etta si dice inscitta in (cicoscitta a) un cono se il suo vetice è il vetice del cono e la sua ase è inscitta nella (cicoscitta alla) ase. onco di cono: solido geneato dalla otazione completa di un tapezio ettangolo attono alla sua altezza; il lato oliquo di genea la supeficie lateale del tonco, ed è detto apotema o lato del tonco. Sfea (si vedano le illustazioni ipotate più olte nel Fomulaio): solido geneato dalla otazione completa di un semicecio attono al suo diameto; la supeficie geneata dalla otazione completa di una semiciconfeenza attono al diameto è detta supeficie sfeica. Zona sfeica: pate di supeficie sfeica compesa ta due piani paalleli ce taglino la supeficie. Calotta: ciascuna pate in cui la supeficie sfeica esta suddivisa da un piano secante. Segmento sfeico a due asi: pate di sfea individuata da due piani secanti paalleli. Segmento sfeico a una ase: ciascuna delle pati solide in cui una sfea è divisa da un piano secante. Settoe sfeico: pate di sfea geneata dalla otazione di un settoe cicolae attono a un diameto ce giace nel piano del settoe ma non lo attavesa. Fuso sfeico: pate di supeficie sfeica delimitata da due semipiani diametali. Spiccio sfeico: pate di sfea limitata da un fuso e dai due semiceci massimi coispondenti ai lati del fuso. Pincipio di Cavaliei (condizione sufficiente ma non necessaia pe l equivalenza dei solidi): se due solidi si possono dispoe ispetto a un dato piano α in modo ce le sezioni fatte nei due solidi con un piano qualunque paallelo ad α siano equivalenti, alloa essi sono equivalenti. olume della sfea Data una sfea di cento O, si considei il cilindo equilateo ad essa cicoscitto ed i due coni aventi vetice in O e le asi coincidenti con quelle del cilindo. Il solido ce si ottiene dal cilindo togliendo i due coni è detto anticlessida. eoema 8: la sfea è equivalente all anticlessida. Fig. 8a. Fig. 8.
Dim.: consideiamo due sezioni del cilindo equilateo in cui è inscitta una sfea. Sia xoc la distanza del piano α ce seca la sfea ed il cilindo, paallelamente alle asi di questo. lloa l aea del cecio di cento C e aggio CD è CD ( x ), dove è il aggio della sfea (uguale al aggio del cilindo cicoscitto). Inolte isulta OF GF, quindi x O (in quanto OGF è simile ad O); l aea del cecio di cento e aggio x è quindi x ; l aea del cecio di cento e aggio E è analmente, quindi pe ogni x isulta. In ase al pincipio di Cavaliei, la sfea isulta quindi equivalente all anticlessida, il cui volume si ottiene semplicemente sottaendo dal volume del cilindo il volume dei due coni: sf cil cono. egenda: aea lateale; volume. aea di ase; FOMUIO aea totale; P peimeto di ase; altezza; Paallelepipedo ettangolo ( a ) d d diagonale Pisma etto ac P a a c c Piamide etta P a/ / a apotema 5
6 onco di piamide etto / a/ P P a apotema P, aea e peimeto della ase infeioe P, aea e peimeto della ase supeioe Cilindo cicolae etto Cono cicolae etto / a a apotema onco di cono / a a apotema
7 Sfea Calotta sfeica e segmento sfeico a una ase Fuso sfeico e spiccio sfeico 90 α Zona sfeica e segmento sfeico a due asi 6 Settoe sfeico