UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 ESERCIZI PARTE I SOLUZIONI Domini di funzioni di du variabili Esrcizio a f, = log +. L unica condizion di sistnza è data dalla disquazion + > 0, cioè < +. Il campo di sistnza di f è quindi il smipiano ch si trova al di sotto dll rtta di quazion = +. La rtta non fa part dll insim. Si tratta di un insim aprto, dato ch tutti i suoi punti sono intrni all insim. b f, = + +. La condizion di sistnza è data dal non annullarsi dl dnominator, cioè dalla condizion + 3 0, ch si può anch scrivr 3 3 + 3. Si tratta quindi di punti dl piano ch non stanno sulla rtta di quazion = 3 3. L insim è aprto, dato ch tutti i punti sono intrni. c f, = + +. La condizion di sistnza è data da + + 0, soddisfatta da tutti i punti dl piano ch stanno alla dstra dlla parabola di quazion =. Si tratta di una parabola con ass coincidnt con l ass, con la concavità rivolta vrso sinistra. Il campo di sistnza di f è un insim chiuso, dato ch i punti sulla parabola fanno part dll insim. d f, =. La condizion di sistnza è data da 0, cioè +, soddisfatta da tutti i punti dl piano appartnnti al crchio di cntro l origin raggio bordo comprso. Il campo di sistnza di f è un insim chiuso, dato ch i punti sulla circonfrnza fanno part dll insim. f, = log. La condizion di sistnza è data da > 0, cioè + <, soddisfatta da tutti i punti dl piano intrni all lliss di cntro l origin smiassi a = b = bordo scluso. Il campo di sistnza di f è un insim aprto, dato ch i punti sull lliss non fanno part dll insim. f f, =. La condizion di sistnza è data da 0, ch è vrificata nl primo oppur nl trzo quadrant, bordo comprso. Si tratta di un insim chiuso. g f, = log. La condizion di sistnza è data da > 0, cioè <. La disuguaglianza è vrificata nlla rgion di piano comprsa tra i du rami dll iprbol quilatra di quazion =. I rami dll iprbol si trovano nl primo nl trzo quadrant. I punti ch stanno sull iprbol non sono comprsi quindi l insim è aprto. h f, =. La condizion di sistnza è data da 0, cioè, ch è vrificata s. Quindi il campo di sistnza di f è la rgion di piano comprsa tra l du rtt di quazion = =. L insim è chiuso in quanto il bordo è comprso. Esrcizio a f, = +. La condizion di sistnza è + 0, ch si può sprimr attravrso i sistmi { 0 + 0 cioè { 0 oppur oppur { 0 + 0 { 0. L insim è raffigurato a fianco. Il bordo è comprso. L insim è l union di du insimi ch sono soluzion di du sistmi. Si noti ch pr risolvr ciascuno di sistmi si ffttua un intrszion: ad smpio nl primo l soluzioni sono l intrszion dl smipiano 0 con il smipiano. Pr ottnr l soluzioni complssiv si dvono invc unir qull trovat in prcdnza.
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 b f, = +. La condizion di sistnza è sprssa dal sistma { + 0 0. Si noti ch, a diffrnza dl caso prcdnt, qui si vuol ch ntrambi gli argomnti dll radici siano non ngativi. Quindi c è un unico sistma ch sprim l condizioni di sistnza. Il sistma quival a {. L insim è raffigurato a fianco. Il bordo è comprso. c f, = log. La condizion di sistnza è > 0, ch si può sprimr attravrso i sistmi { > 0 > 0 oppur { < 0 < 0 cioè { < < oppur { > >. L insim è raffigurato a fianco. Il bordo non è comprso. d f, = log + log +. La condizion di sistnza è sprssa dal sistma { > 0 + > 0 cioè { > 0 >. L insim è raffigurato a fianco. Il bordo non è comprso. f, = + 4. La condizion di sistnza è + 4 0, ch si può sprimr attravrso i sistmi { + { 4 0 + 4 0 oppur > 0 < 0 cioè { + 4 > oppur { + 4 <. L insim è raffigurato a fianco. Il bordo è solo in part comprso: i punti ch stanno sulla circonfrnza sono comprsi, qulli sulla rtta no. Qui l insim è l intrszion di du smipiani, in quanto vogliamo ch l du condizioni valgano ntramb. Si noti ancora la diffrnza con l srcizio prcdnt: in qullo la condizion ra ch il prodotto di du fattori foss maggior o ugual a zro cosa ch avvin s i du fattori hanno lo stsso sgno, quindi c rano i du sistmi, mntr in qusto vogliamo ch i du fattori siano ntrambi positivi quindi c è un solo sistma.
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 3 f f, = log +. La condizion di sistnza è + > 0, ch si può sprimr attravrso i sistmi { > 0 + > 0 cioè { > 0 > oppur oppur { < 0 + < 0 { < 0 <. L insim è raffigurato a fianco. Il bordo non è comprso. + g f, = + +. La condizion di sistnza è + i sistmi ++ 0, ch si può sprimr attravrso cioè { + 0 + + > 0 { > oppur oppur { + 0 + + < 0 { <. L insim è raffigurato a fianco. Il bordo è solo in part comprso. h f, = log + 4 4. La condizion di sistnza è + 4 4 attravrso i sistmi { + > 4 + oppur < 4 > 0, ch si può sprimr { + < 4 + > 4. L corrispondnti quazioni individuano du circonfrnz, rispttivamnt di cntro, 0 0,, ntramb di raggio. L insim è raffigurato a fianco. Il bordo non è comprso. 3 3 Curv suprfici di livllo Esrcizio L figur sono nlla pagina succssiva. In tutt ho riportato la curva di livllo 0 trattggiata una gnrica curva di livllo k. Una frccia sulla curva di livllo dic in qual dirzion il valor dlla funzion aumnta. a Ponndo f, = k, cioè + + = k, ricavando = + k, si trova ch la curva di livllo k è la rtta di pndnza m = k ch passa pr il punto 0,. All aumntar di k la rtta si sposta vrso l alto, com indicato dalla frccia. b Ponndo f, = k, cioè = k, ricavando = + k, si trova ch l curv di livllo sono parabol con ass vrtical la curva di livllo 0 passa pr l origin. All aumntar di k la parabola si sposta vrso l alto, com indicato dalla frccia. c Ponndo f, = k, cioè + = k, ricavando = + k, si trova ch l curv di livllo sono parabol con ass vrtical la curva di livllo passa pr l origin. All aumntar di k la parabola si sposta vrso il basso.
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 4 d Ponndo f, = k, cioè + = k, ricavando qusta volta si ottin = + k quindi l curv di livllo sono parabol con ass orizzontal la curva di livllo passa pr l origin. All aumntar di k la parabola si sposta vrso sinistra. Ponndo f, = k, cioè + = k, riscrivndo + = k +, si vd ch, s k + > 0 cioè k >, l curv di livllo k sono circonfrnz di cntro l origin raggio k +. S k + = 0 cioè k =, la curva di livllo k si riduc al solo punto 0, 0 non ci sono invc punti nl piano in cui la funzion ha valor minor di. All aumntar di k il raggio dlla circonfrnza aumnta. f Ponndo f, = k, cioè + = k, riscrivndo = k, si vd ch, s k = la curva di livllo coincid con i du assi cartsiani, s k > la curva di livllo è un iprbol ch sta nl primo trzo quadrant ch si allontana dall origin all aumntar di k, infin s k < la curva di livllo è ancora un iprbol ch sta nl scondo quarto quadrant ch si avvicina all origin all aumntar di k. k / k k k a b c k k+ k< k> k= k> k< Esrcizio d f a La suprfici di livllo 0 è dfinita dall quazion f,, z = 0 cioè + z = 0. Tal quazion dfinisc un piano in R 3 ogni quazion linar in tr variabili dfinisc un piano. Ossrvando ch l quazion può ssr scritta com l annullamnto dl prodotto intrno,,,, z = 0, si ha ch il piano è costituito dai vttori ortogonali al vttor,,. b La suprfici di livllo 0 è dfinita dall quazion f,, z = 0 cioè = 0. Anch qusta quazion dfinisc un piano in R 3. Il piano è formato dai vttori ortogonali al vttor,, 0. Si tratta di un piano paralllo all ass z. 3 c La suprfici di livllo 0 è dfinita dall quazion f,, z = 0 cioè + z = 0. Anch qusta quazion dfinisc un piano in R 3. Il piano è formato dai vttori ortogonali al vttor, 0,. Si tratta qusta volta di un piano paralllo all ass. d La suprfici di livllo 0 è dfinita dall quazion f,, z = 0 cioè + +z 4 = 0, cioè + +z = 4. Si tratta dlla suprfici dlla sfra di cntro l origin raggio. La suprfici di livllo 0 è dfinita dall quazion f,, z = 0 cioè + + z + = 0, cioè + + z + =. Si tratta dlla suprfici dlla sfra di cntro il punto, 0, raggio. 3 Si rifltta sul fatto ch, non dipndndo da z, trovati du valori di ch la soddisfano, l idntità è vra qualunqu sia z, quindi il piano è vrtical, cioè paralllo all ass z.
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 5 f La suprfici di livllo 0 è dfinita dall quazion f,, z = 0 cioè + z = 0, cioè z = +. Si tratta dlla suprfici di un paraboloid con vrtic nll origin ass paralllo all ass z. g La suprfici di livllo 0 è dfinita dall quazion f,, z = 0 cioè z = 0, cioè = + z. Si tratta ancora dlla suprfici di un paraboloid con vrtic nll origin ass paralllo qusta volta all ass. h La suprfici di livllo 0 è dfinita dall quazion f,, z = 0 cioè + = 0, cioè + =. Ossrviamo ch sul piano, l soluzioni sono dat dalla circonfrnza di cntro l origin raggio. L quazion non dipnd da z quindi, fissato un qualunqu punto sulla circonfrnza, anch tutta la rtta passant pr qul punto parallla all ass z è soluzion dll quazion. L soluzioni in R 3 costituiscono qulla ch si chiama suprfici cilindrica il cilindro ha ass di simmtria ch coincid con l ass z. 4 Curv nl piano rstrizioni Esrcizio a Si può far in du modi. Un primo modo è scrivr t, t = t, + 0,, da cui si vd ch si tratta dlla rtta ch contin il vttor, traslata dl vttor 0,, cioè la rtta passant pr il punto 0, di pndnza. Altro modo è qullo di scrivr { = t = t da cui si ricava =, ch è l quazion dlla rtta già trovata prima. b Anch qui in du modi. Scrivndo + t, + t = t, +,, da cui si vd ch s t variass in tutto R si trattrbb dlla rtta ch contin il vttor, traslata dl vttor,, cioè la rtta passant pr il punto, di pndnza. Oppur scrivndo { = + t = + t da cui si ricava = +, ch è l quazion dlla rtta trovata prima. Dato ch t 0,, l immagin dlla curva è soltanto una part dlla rtta, prcisamnt il sgmnto di strmi,, 3 sclusi. c Ponndo = t = t, si vd ch i punti dlla curva hanno quazion =, ch al variar di t in tutto R formano una parabola con vrtic nll origin ass dato dall ass. d Possiamo scrivr + t, t = t, t +, 0 si tratta quindi dlla parabola di quazion = traslata dl vttor, 0. Si può anch porr { = + t = t da cui si ricava =, ch è appunto l quazion dlla parabola di vrtic, 0 ass vrtical. Dato ch t 0,, l immagin dlla curva è soltanto una part dlla parabola, qulla ch va dal punto, 0 al punto, sclusi. Dato ch =, i punti dlla curva si trovano sulla rtta bisttric dl primo trzo quadrant. Ossrvando poi ch t 0 pr ogni t, possiamo affrmar ch i punti stanno solo nl primo quadrant. Al variar di t nll intrvallo [, ] ottniamo i punti dl sgmnto con strmi l origin,, comprsi. 4 Si ossrvi ch ad smpio invc l quazion + z = 4 dfinisc la suprfici dl cilindro con ass dato dall ass raggio.
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 6 f Poniamo { = t = t 4 da cui si ricava =. I punti stanno dunqu sulla parabola di quazion =. Al variar di t in tutto R non si ottin prò tutta la parabola, dato ch t 0 pr ogni t. La curva è costituita soltanto dai punti dlla parabola ch stanno sul primo quadrant, dall origin in poi. Esrcizio a La rstrizion è la funzion dfinita pr t R. b La rstrizion è la funzion dfinita pr t R. fγt = t + t t + t = t + t, fγt = t + t t + t = t t t +, c La rstrizion è la funzion fγt = t + tlog t, dfinita pr t 0, +. d La rstrizion è la funzion fγt = t /t = t, dfinita pr t 0, +. La rstrizion è la funzion fγt = log t t + = log =, dfinita pr t R \ {0}. f La rstrizion è la funzion fγt = t + log t + t, dfinita pr t 0, +. Drivat dll funzioni di più variabili Esrcizio a Si ha b Si ha = 3 4 + + 3 4 3 = 3 4 + + 3 4 4. = + = log + + +. c Si ha = =. d Si ha = + + 3 = + 3 3.
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 7 Si ha f Si ha g Si ha h Si ha = + = = + + =. = / + / = / = / + / = /. = + = + + = +. = + log + log + log = + log + log + log. Esrcizio a Il gradint di f, = 3 è f, = 3, 3. b Il gradint di f, = log + è f, = log +,. + c Il gradint di f, = è d Il gradint di f, = è f, =,. f, =,. Il gradint di f,, z = 3 z è f Il gradint di f,, z = z + z è f,, z = 3, 3 z, z. f,, z = z, z z, z + z.
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 8 Diffrnzial piano tangnt Esrcizio a Pr scrivr l sprssion dl diffrnzial ci srv il gradint di f, calcolato nl punto indicato. Si ha f, =, quindi f, 0 =,. Quindi il diffrnzial è 5 df 0, h = h h oppur df 0, =. b Si ha f, = 3, 3 quindi f, =,. Quindi il diffrnzial è df 0, h = h h oppur df 0, = +. c Si ha f,, z =,, 4z quindi f,, 0 =,, 0. Quindi il diffrnzial è df 0, h = h + h oppur df 0, = +. d Si ha f,, z = z, z, z quindi f,, =,,. Quindi il diffrnzial è df 0, h = h + h h 3 oppur df 0, = + + z +. Si ha Quindi il diffrnzial è f,, z = + z +,, z + z + quindi f0,, 0 = 0,, 0. df 0, h = h oppur df 0, =. f Si ha f,, z = logz,, z quindi f,, = 0,,. Quindi il diffrnzial è df 0, h = h h 3 oppur df 0, = z. Esrcizio a L quazion dlla rtta tangnt al grafico di una funzion f di una variabil nl punto di ascissa 0 è = f 0 + f 0 0. Quindi con f = log 0 = abbiamo = +. 5 Ricordo ch il diffrnzial si può scrivr utilizzando l variabili originari oppur l variabili h, h,..., ch sono l variazioni dll variabili originari risptto al punto ch si considra. Quindi in R h, h = 0, 0 in R 3 h, h, h 3 = 0, 0, z z 0.
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 9 b Con f = log 0 = abbiamo c Con f = 0 = abbiamo d Con f = + 0 = 0 abbiamo =. =. =. Esrcizio 3 a In gnral la rtta tangnt alla curva di quazion g, = 0 nl punto 0, 0 ch dv ssr una soluzion dll quazion cioè tal ch g 0, 0 = 0, ha quazion g 0, 0 0, 0 = 0. Nl nostro caso abbiamo g, = + log con g, =, quindi g0, =,. Prtanto l quazion dlla rtta tangnt è,, = 0 quindi + = 0. b Con l quazion log = nl punto, si ha g, = log con g, =, =, quindi g, = Prtanto l quazion dlla rtta tangnt è,, = 0 quindi + = 0.,. c Con l quazion =, nl punto, 0 si ha g, = con g, = +, quindi g, 0 =,. Prtanto l quazion dlla rtta tangnt è,, = 0 quindi + = 0. d Con l quazion + = +, nl punto, si ha g, = + con g, =, quindi g, =, 0. Prtanto l quazion dlla rtta tangnt è, 0, = 0 quindi = 0. Esrcizio 4 a L quazion dl piano tangnt al grafico di una funzion f di du variabili in corrispondnza dl punto 0, 0 è z = f 0, 0 + f 0, 0 0, 0. Quindi con f, = +, in corrispondnza dl punto, abbiamo Prtanto l quazion dl piano tangnt è f, =, quindi f, =, 4. z = 5 +, 4 +, cioè z = 5 + + 4.
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 0 b Con la funzion f, = + 3 il punto, si ha f, = + 3, + 3 quindi f, = 3, 4. Prtanto l quazion dl piano tangnt è z = + 3, 4, + cioè z = 3 + 4 +. c Con la funzion f, = il punto, 0 si ha f, =, quindi f, 0 =, 0. Prtanto l quazion dl piano tangnt è z = +, 0, cioè z = +. d Con la funzion f, = log il punto, si ha f, = log +, log + quindi f, =,. Prtanto l quazion dl piano tangnt è z =, +, + cioè z = + +. Esrcizio 5 a In gnral il piano tangnt alla suprfici di quazion g,, z = 0 nl punto 0, 0, z 0 soluzion dll quazion, ha quazion g 0, 0, z 0 0, 0, z z 0 = 0. Con l quazion + + 3z = 6, nl punto,,, abbiamo g,, z = + + 3z 6 con g,, z =, 4, 6z quindi g,, =, 4, 6. Prtanto l quazion dl piano tangnt è, 4, 6,, z = 0 quindi + 4 + 6z = 0. b Con l quazion + log + z = 0, nl punto,, 0, abbiamo g,, z = + log + z con g,, z =,, z quindi g,, 0 =,,. Prtanto l quazion dl piano tangnt è,, +,, z = 0 quindi + + + z = 0. c Con l quazion z =, nl punto,,, abbiamo g,, z = z con g,, z = z, z + z z, z quindi g,, =,,. Prtanto l quazion dl piano tangnt è,,,, z = 0 quindi + + z = 0. d Con l quazion + +z =, nl punto 0,, 0, abbiamo g,, z = + con g,, z = + z + z, z + z, + + z Prtanto l quazion dl piano tangnt è, 0,,, z = 0 quindi z = 0. quindi g0,, 0 =, 0,.