LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 1. La deinizine di unzine reale di variabile reale.. Le rappresentazini di una unzine reale di variabile reale. La classiicazine delle unzini. 4. Il dmini delle unzini. 5. Le unzini crescenti e decrescenti. 6. Le unzini limitate e illimitate. 7. L estrem superire e inerire di una unzine. 8. Massimi e minimi assluti, massimi e minimi relativi. 9. Le unzini pari e dispari. 10. Le unzini peridiche. 11. Le unzini cntinue e discntinue. 1. Le unzini cnvesse e cncave. 1. Le intersezini di una unzine cn gli assi cartesiani. 14. Il segn di una unzine. 15. Gli asintti di una unzine. 16. I punti di less di una unzine. 17. I punti anglsi e i punti cuspidali. 18. Le unzini inverse. 19. Le unzini cmpste. 0. L espressine analitica e il graic delle principali unzini reali di variabile reale. 1. Esercizi vari per determinare le principali caratteristiche di una unzine.. Graici deducibili da quell di una unzine.. Le trasrmazini gemetriche applicate alle unzini. 4. Graic delle unzini cn l us di gegebra. 1. La deinizine di unzine reale di variabile reale. Sia D un sttinsieme di numeri reali chiamat dmini, ciè D R; Sia C un sttinsieme di numeri reali chiamat cdmini, ciè C R; Si chiama unzine reale di variabile reale, e si indica cn, una qualunque legge di crrispndenza che ad gni numer reale D asscia un ed un sl numer reale y C. Per rappresentare graicamente una unzine si pssn utilizzare i diagrammi di Euler-Venn. R D R y C Per indicare che è una unzine dall insieme D all insieme C si scrive: : D C. Per indicare che al numer reale D la unzine asscia il numer reale y C si scrive: : y ppure y = ( Il numer reale si chiama variabile indipendente; il numer reale y si chiama variabile dipendente. Quindi la scrittura: : D C signiica che: D! yc/ y (
. Le rappresentazini di una unzine reale di variabile reale. Una unzine reale di variabile reale si può rappresentare in quattr mdi diversi: a. Cn i diagrammi di Euler-Venn, in cui il dmini e il cdmini vengn indicati cn due linee chiuse, aventi all intern i valri della variabile indipendente e della variabile dipendente. La crrispndenza tra ed y viene espressa mediante una reccia che ad gni valre di asscia il valre crrispndente di y. D 1 5 C 0 1 b. Cn una tabella, in cui il dmini e il cdmini sn rappresentati cn due clnne, in cui vengn scritti i valri della variabile indipendente e della variabile dipendente. 5 1 y -1 5 0 1 1 5 c. Cn un graic cartesian, in cui il dmini e il cdmini vengn rappresentati su due rette rientate perpendiclari, che si chiaman asse delle ascisse e asse delle rdinate. Il legame tra ed y viene espress cn un graic cstituit da tutti i punti P del pian cartesian aventi cme ascissa D e cme rdinata y C essend y = (. 6 5 4 1 0 - -1 0 1 4 d. Cn una espressine analitica, ciè cn una rmula, che indica le perazini matematiche che bisgna eseguire sulla variabile per ttenere il valre crrispndente della variabile y. In tutti gli esempi precedenti la rmula è: y La rappresentazine analitica è la rappresentazine più precisa di una unzine, perché cn essa si può calclare il valre di y per qualsiasi valre di e si pssn pi ttenere gli altri tipi di rappresentazine. Il graic cartesian, però, è la rappresentazine più eicace, perché rnisce un idea più immediata dell andament di una unzine. In mlte applicazini scientiiche è pprtun studiare l espressine analitica di una unzine, per ricavare le sue principali prprietà e disegnare cn buna apprssimazine il graic cartesian. Esercizi, Data la unzine: y 4 Calclare il su valre per 0; 1; ; ; 4 e rappresentarla cn un diagramma di Euler-Venn, cn una tabella e cn un graic cartesian.
. La classiicazine delle unzini. Le unzini reali di variabile reale espresse in rma analitica y (, a secnda di quali sn le perazini matematiche che bisgna eseguire sulla variabile per ttenere il valre crrispndente della unzine (, si pssn classiicare in quest md: 1. Funzini algebriche razinali intere, cme: y y 4 5. Funzini algebriche razinali ratte, cme: 1 y 1 1 y. Funzini algebriche irrazinali intere, cme: y 6 y 1 4. Funzini algebriche irrazinali ratte, cme: 1 y 1 y 4 5. Funzini algebriche cn valre asslut, cme: y 4 1 y 1 6. Funzini trascendenti gnimetriche, cme: y sen tg y cs( 5 7. Funzini trascendenti espnenziali, cme: y 1 y 1 e 8. Funzini trascendenti lgaritmiche, cme: y lg( 1 y lg 1 1
4. Il dmini delle unzini. Il Dmini D di una unzine reale di variabile reale è l insieme di tutti i valri della variabile per i quali si può calclare il valre crrispndente della unzine y (. Per determinare il dmini di una unzine bisgna ricnscere il tip di unzine e seguire questa prcedura. Se la unzine è razinale intera y P(, è sempre pssibile eettuare le perazini matematiche sulla variabile per ttenere il valre crrispndente della unzine y (, perciò nn bisgna prre alcuna cndizine sulla e il Dmini è uguale all insieme di tutti i numeri reali: D R P( Se la unzine è razinale ratta y bisgna prre la cndizine che il denminatre sia divers da zer Q( Q ( 0 e quindi bisgna escludere dal dmini tutti i valri di che annullan il denminatre. Se la unzine è irrazinale intera cn la radice di indice pari: y P(, bisgna prre la cndizine che il radicand sia maggire uguale a zer: P ( 0 e il dmini è l insieme dei numeri reali che veriican tale disequazine. P( Se la unzine è irrazinale ratta cn la radice di indice pari: y, bisgna prre la cndizine che il Q( P( radicand sia maggire uguale a zer: 0. Per rislvere la disequazine si studierà il segn del Q( numeratre, il segn del denminatre e pi il segn cmplessiv della razine. Il dmini sarà l insieme dei numeri reali che veriican tale disequazine. Se la unzine cntiene qualche valre asslut e bisgna prre delle cndizini sulla unzine, si dvrà rislvere qualche equazine disequazine cn valre asslut. In tal cas, se è pssibile, cnviene utilizzare qualche prprietà del valre asslut per ttenere la sluzine più rapidamente. In cas cntrari si dvrà utilizzare la deinizine di valre asslut e cnsiderare il cas cn argment 0 e il cas cn argment < 0. Si dvrann quindi rislvere alcuni sistemi di equazini disequazini. Se si tratta di unzini gnimetriche bisgna ricrdare che: la unzine la unzine y sene la unzine y cs sn deinite per qualsiasi valre di ; y tg è deinita per k ed è sempre crescente; la unzine la unzine la unzine la unzine la unzine y ctg è deinita per 0 k ed è sempre decrescente; y arcsen è deinita per 1 1 ed è sempre crescente; y arccs è deinita per 1 1 ed è sempre decrescente; y arctg è deinita per ed è sempre crescente; y arcctg è deinita per 0 ed è sempre decrescente; Se si tratta di una unzine espnenziale del tip y a essa è deinita per gni valre di, ( ma se si tratta di una unzine espnenziale del tip y a bisgna prre le cndizini per l esistenza di ( Inltre bisgna ricrdare che la unzine espnenziale è crescente se la base risulta a 1 ma è decrescente se la base risulta a 1. Se la unzine è lgaritmica bisgna prre la cndizine che l argment del lgaritm sia maggire di zer. Inltre bisgna ricrdare che la unzine lgaritmica è crescente se la base risulta a 1 ma è decrescente se la base risulta a 1.
5. Le unzini crescenti e decrescenti. Sia y ( una unzine reale di variabile reale deinita in un dmini D. Si dice che la unzine è crescente in un cert intervall I Dse: 1 e I : 1 ( 1 ( Una unzine crescente ha il graic che sale vers destra. Si dice che la unzine è nn decrescente in un cert intervall 1 e I : 1 ( 1 ( Una unzine nn decrescente ha il graic che sale vers destra ppure si mantiene cstante. I Dse: Si dice che la unzine è decrescente in un cert intervall 1 e I : 1 ( 1 ( Una unzine decrescente ha il graic che scende vers destra. I Dse: Si dice che la unzine è nn crescente in un cert intervall I Dse: 1 e I : 1 ( 1 ( Una unzine nn crescente ha il graic che scende vers destra ppure si mantiene cstante.
6. Le unzini limitate e illimitate. Una unzine y ( si dice limitata superirmente se il su cdmini è limitat superirmente, ciè se esiste un numer reale K che è maggire uguale di tutti i valri della unzine. Quindi: ( è limitata superirmente K R/ D: ( K Una unzine y = ( si dice limitata inerirmente se il su cdmini è limitat inerirmente, ciè se esiste un numer reale h che è minre uguale di tutti i valri della unzine. Quindi: ( è limitata inerirmente h R/ D: h ( Una unzine si dice limitata se è limitata sia superirmente che inerirmente. Una unzine y = ( si dice illimitata superirmente se il su cdmini è illimitat superirmente, ciè se per gni numer reale K scelt arbitrariamente grande, esiste un valre della unzine che l supera. Quindi: ( è illimitata superirmente K R D: ( K Una unzine y = ( si dice illimitata inerirmente se il su cdmini è illimitat inerirmente, ciè se per gni numer reale h scelt arbitrariamente piccl, esiste un valre della unzine che è ancra più piccl. Quindi: ( è illimitata inerirmente h R D: ( h Una unzine si dice illimitata se è illimitata superirmente ppure inerirmente.
7. Estrem superire e inerire di una unzine. Si chiama estrem superire di una unzine, e si indica cn s sup (, l estrem superire del su cdmini. L estrem superire s è maggire uguale di tutti i vapri della unzine e per gni numer reale appena più piccl di s, diciam s, esiste un valre della unzine che l supera. Simblicamente tutt ciò si esprime in quest md: D: ( s s sup ( 0 D/ ( s ( s s Se una unzine è illimitata superirmente si dice che l estrem superire è uguale a. Si chiama estrem inerire di una unzine, e si indica cn i in (, l estrem inerire del su cdmini. L estrem inerire i è minre uguale di tutti i vapri della unzine e per gni numer reale appena più grande di i, diciam s, esiste un valre della unzine che è inerire. Simblicamente tutt ciò si esprime in quest md: i in D: i ( ( 0 D/ ( i ( i i Se una unzine è illimitata inerirmente si dice che l estrem inerire è uguale a.
8. Massimi e minimi assluti, massimi e minimi relativi. Data una unzine y ( si dice che è il punt di massim asslut della unzine, se in quest punt la unzine assume il valre più grande rispett a tutti gli altri punti del dmini. Ciè: è il punt di massim asslut D ( ( : Il valre ( si chiama massim asslut della unzine e si indica cn M. ( Si dice che è il punt di minim asslut della unzine, se in quest punt la unzine assume il valre più piccl rispett a tutti gli altri punti del dmini. Ciè: è il punt di minim asslut D : ( ( Il valre ( si chiama minim asslut della unzine e si indica cn m. ( Si dice che è un punt di massim relativ della unzine, se esiste un intrn di tale che per gni valre dell intrn la unzine assume un valre più piccl rispett a. Ciè: è un punt di massim relativ I / I( : ( ( ( ( Il valre si chiama massim relativ della unzine. ( ( Si dice che è un punt di minim relativ della unzine, se esiste un intrn di tale che per gni valre dell intrn la unzine assume un valre più grande rispett a. Ciè: è un punt di minim relativ I / I( : ( ( ( ( Il valre si chiama minim relativ della unzine. ( ( In pratica quand una unzine ha più massimi relativi, il più grande di essi è il massim asslut; quand una unzine ha più minimi relativi, il più piccl di essi è il minim asslut. Vedrem successivamente cme calclare i punti di massim e di minim di una unzine cn l us delle derivate.
9. Le unzini pari e dispari. Sia y ( una unzine reale di variabile reale, avente Dmini D. Si dice che la unzine ( è pari se: D: D einltre ( ( Una unzine pari ha il graic simmetric rispett all asse y e quindi se un punt P( ; y appartiene al graic anche il punt P' ( ; y deve appartenervi. Si dice che la unzine ( è dispari se: D: D einltre ( ( Una unzine dispari ha il graic simmetric rispett all rigine degli assi e quindi se un punt P( ; y appartiene al graic anche il punt P' ( ; y deve appartenervi. 4 Esempi 1. Stabilire la parità della unzine ( 1 4 4 Bisgna calclare ( ( ( 1 1 siccme ( ( la unzine è pari. Esempi. Stabilire la parità della unzine ( 5 Bisgna calclare ( ( 5( 5 5 siccme ( ( la unzine è dispari. Esempi. Stabilire la parità della unzine ( 5 Bisgna calclare ( ( 5( ( 5 siccme ( ( e ( ( la unzine nn è pari né dispari.
10. Le unzini peridiche. Sia y ( una unzine reale di variabile reale, avente Dmini D. Si dice che la unzine ( è peridica di perid T se: D: TD einltre ( T ( Una unzine peridica di perid T ha il graic identic in gni intervall di ampiezza T. Le unzini gnimetriche sen, csen, tangente e le lr unzini reciprche csecante, secante, ctangente, sn le tipiche unzini peridiche. La unzine La unzine 1 y cs ec hann il perid T=; sen 1 cs e la sua unzine reciprca y sec hann ha il perid T=; cs y sen e la sua unzine reciprca y 1 La unzine y tg e la sua unzine reciprca y ctg hann ha il perid T=; tg Le unzini gnimetriche più cmplesse hann un perid che si può calclare cme nei seguenti esempi. Esempi 1 Determinare il perid della unzine y sen 4 Ainché la unzine sia peridica di perid T deve risultare ( T (, ciè: s en ( T s en ; s en T s en ; T k ; T k 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Per k=1 si ttiene il perid principale: 8 T ; 4 8 T k k Esempi Determinare il perid della unzine y tg5 Ainché la unzine sia peridica di perid T deve risultare ( T (, ciè: tg 5 T tg5 ; tg5 5T tg5 ; 5 5T 5 k; 5T k; T k 5 Per k=1 si ttiene il perid principale: T 5 Esempi Determinare il perid della unzine 1 y 4sen y cs y sen cs y 4sen 5 y cs y sen cs 4
11. Le unzini cntinue e discntinue. Una unzine reale di variabile reale y ( si dice cntinua, dal punt di vista intuitiv, se varia i sui valri cn cntinuità senza avere brusche variazini e il su graic nn presenta interruzini in alcun punt. Se una unzine nn è cntinua in alcuni punti, si dice che è discntinua e questi punti si dicn punti di discntinuità. In tali punti la unzine subisce brusche variazini e il su graic presenta delle interruzini. Vedrem successivamente, quand studierem i limiti, una deinizine più rigrsa di cntinuità; per il mment ccrre avere almen il cncett intuitiv di unzine cntinua. Per esempi, il graic 1 rappresenta una unzine cntinua in tutt il dmini. Il graic rappresenta una unzine discntinua che ha un punt di discntinuità in 0. Il graic rappresenta una unzine discntinua che ha due punti di discntinuità: in 1 e in 1. Fig.1 Fig. Fig. Esistn anche unzini che hann ininiti punti di discntinuità. Per esempi, la unzine parte intera di, che si indica cn (, si mantiene cstante inché raggiunge il numer inter successiv, dve a un salt e aumenta di una unità (ig. 4. La unzine ( ha un andament lineare inché raggiunge il numer inter successiv, dve a un salt e ritrna a zer (ig. 5. Fig.4 Fig.5 Il cncett di unzine cntinua è mlt imprtante in matematica perché, cme vedrem in seguit, le unzini cntinue hann numerse prprietà e applicazini.
1. Le unzini cnvesse e cncave. Sia y ( una unzine reale di variabile reale deinita in un cert dmini D e sia D. Si dice che la unzine è cnvessa nel punt se in tale punt il graic cartesian presenta la cncavità vers l alt. Ciò vul dire che esiste un intrn di in cui il graic della unzine si trva al di spra della retta tangente in. Una unzine si dice cnvessa in un intervall [ a; b] D se è cnvessa in tutti i punti dell intervall [ a ; b]. Si dice che la unzine è cncava nel punt se in tale punt il graic cartesian presenta la cncavità vers il bass. Ciò vul dire che esiste un intrn di in cui il graic della unzine si trva al di stt della retta tangente in. Una unzine si dice cncava in un cert intervall [ a; b] D se è cncava in tutti i punti dell intervall [ a ; b]. Vedrem successivamente cme si trvan gli intervalli di cnvessità e di cncavità di una unzine cn l us delle derivate.
1. Le intersezini di una unzine cn gli assi cartesiani. Sn i punti in cui la unzine interseca gli assi cartesiani. È pprtun ricavarli per tracciare megli il graic della unzine. I punti di intersezine cn l asse y si trvan rislvend il sistema che cntiene l equazine dell asse y, che è 0 e l equazine della unzine y (. Quindi bisgna rislvere il sistema: 0 y ( I punti di intersezine cn l asse si trvan rislvend il sistema che cntiene l equazine dell asse, che è y 0 e l equazine della unzine y (. Quindi bisgna rislvere il sistema: y 0 y ( Esempi 1. Trvare i punti di intersezine tra la unzine 1 y cn gli assi cartesiani. 14. Il segn di una unzine. Studiare il segn di una unzine vul dire stabilire per quali valri di la unzine è psitiva (e quindi il su graic si trva spra l asse e per quali valri di la unzine è negativa (e quindi il su graic si trva stt l asse. L studi del segn di una unzine è di grande aiut per disegnare il graic della unzine. Esempi 1. Studiare il segn della unzine: 1 y
15. Gli asintti di una unzine. Gli asintti di una unzine y ( sn delle rette a cui la unzine si avvicina lntan dall rigine degli assi. Quand si studia una unzine è pprtun calclare gli asintti per disegnare megli il graic della unzine. Secnd l andament della unzine, si pssn avere tre tipi di asintti. Asintt verticale: quand la si avvicina ad un valre init c e la unzine ( tende all ininit, la retta verticale di equazine c è un asintt verticale della unzine. y Asintt rizzntale: quand la tende all ininit e la unzine ( si avvicina ad un valre init c, la retta rizzntale di equazine y c è un asintt rizzntale della unzine. Asintt bliqu: quand la tende all ininit e la unzine ( tende anche all ininit avvicinandsi ad una retta bliqua di equazine y m q, tale retta è un asintt bliqu della unzine. Vedrem successivamente, quand studierem i limiti, cme calclare il ceiciente anglare m e l rdinata all rigine q dell asintt bliqu. Bisgna ntare che se una unzine y ( ha un asintt rizzntale, allra nn può avere anche l asintt bliqu, piché per la unzine può tendere all ininit in un sl md: avvicinandsi ad una retta rizzntale avvicinandsi ad una retta bliqua. Se una unzine y ( nn ha un asintt rizzntale per, allra ptrebbe avere un l asintt bliqu. Per determinare gli asintti di una unzine bisgna calclare il limite della unzine agli estremi del dmini che nn appartengn al dmini. Esempi 1. Trvare gli asintti della unzine 1 y.
16. I punti di less di una unzine. Sia y ( una unzine reale di variabile reale deinita in un cert dmini D e sia D. Si dice che nel punt la unzine ha un punt di less se in tale punt la unzine cambia la sua cncavità, ciè da cnvessa diventa cncava viceversa. Se ciò accade vul dire che in gni intrn di, cmunque piccl, ci sn punti della curva al di spra della tangente in e punti della curva al di stt della tangente in. Secnd l andament della unzine, un punt di less può essere di vari tipi: y Punt di less a tangente rizzntale in cui la unzine da cnvessa diventa cncava. ( y Punt di less a tangente rizzntale in cui la unzine da cncava diventa cnvessa. ( Punt di less a tangente bliqua in cui la ( unzine da cnvessa diventa cncava. Punt di less a tangente bliqua in cui la ( unzine da cncava diventa cnvessa. Punt di less a tangente verticale in cui la ( unzine da cnvessa diventa cncava. Punt di less a tangente verticale in cui la unzine da cncava diventa cnvessa. (
17. I punti anglsi e i punti cuspidali. Sia y ( una unzine reale di variabile reale deinita in un cert dmini D e sia D. Si dice che nel punt la unzine ha un punt angls se in tale punt la direzine della curva cambia rapidamente, rmand un angl di ampiezza α ra la retta tangente alla curva a sinistra di e la retta tangente alla curva a destra di. Secnd l andament della unzine un punt angls può essere: Punt angls vers l alt, che crrispnde anche ad un punt di massim relativ; ( Punt angls vers il bass, che crrispnde anche ad un punt di minim relativ; ( Si dice che nel punt la unzine ha un punt cuspidale se in tale punt la direzine della curva cambia rapidamente, rmand un angl di ampiezza nulla ra la retta tangente alla curva a sinistra di e la retta tangente alla curva a destra di. Secnd l andament della unzine un punt cuspidale può essere: Punt cuspidale vers l alt, che crrispnde anche ad un punt di massim relativ; ( Punt cuspidale vers il bass, che crrispnde anche ad un punt di minim relativ; (
18. Le unzini inverse. Data una unzine di e si indica cn a crrispndere un sl y C, si chiama unzine inversa 1, quella unzine 1 : C D che ad gni y C a crrispndere un sl D. : DC che ad gni D La unzine e la sua unzine inversa di Euler-Venn. R D 1 si pssn rappresentare graicamente cn i diagrammi 1 R y C Nn sempre una unzine ammette la unzine inversa; quand ciò accade si dice che la unzine è invertibile. Ainché sia invertibile una unzine deve essere bigettiva, ciè biunivca. Nel cas delle unzini reali di variabile reale, una unzine è bigettiva quand nel su dmini D è mntòna, ciè sempre crescente sempre decrescente. mntòna crescente mntòna decrescent e In tal cas ad gni valre di crrispnde un sl valre di y e, viceversa, ad gni valre di y crrispnde un sl valre di. Per ricavare la unzine inversa dalla rmula della unzine, bisgna calclare la variabile in unzine della variabile y. 1 Se rappresentiam una unzine e la sua unzine inversa sull stess diagramma cartesian, pssiam 1 1 1 sservare che se è cntinua anche l è, se è crescente anche l è, se è decrescente anche l è. Inltre i due graici sn simmetrici rispett alla bisettrice del prim e terz quadrante di equazine y. Se invece la unzine nn è mntòna, essa nn è invertibile piché ad alcuni valri y del cdmini crrispndn più valri del dmini, cme in igura. Tuttavia, quand una unzine nn è mntòna, si può cnsiderare un intervall del dmini in cui la unzine è mntna e in tale intervall si può deinire la unzine inversa.
Esercizi 1. Stabilire se la unzine y 5 è invertibile nel su dmini e ricavare la unzine inversa. Se nn è invertibile nel dmini individuare le zne del dmini in cui è invertibile e ricavare le rispettive unzini inverse. La unzine y 5 ha cme dmini D R, rappresenta una retta cn ceiciente anglare psitiv, quindi è una unzine mntòna crescente e ammette la unzine inversa che si ttiene ricavand la in unzine di y. y 1 y 5 5 y y 5 5 5 Se vgliam indicare cme al slit la variabile indipendente cn e la variabile dipendente cn y, basta scambiare la cn la y e la unzine inversa diventa: 1 y 5 5 Se rappresentiam la unzine y 5 e la sua unzine inversa 1 y sull stess graic cartesian, 5 5 pssiam sservare che entrambe le unzini sn cntinue, crescenti e che i due graici sn simmetrici rispett alla bisettrice del prim e terz quadrante di equazine y. Esercizi. Stabilire se la unzine y è invertibile nel su dmini e ricavare la unzine inversa. Se nn è invertibile nel dmini individuare le zne del dmini in cui è invertibile e ricavare le rispettive unzini inverse. La unzine y. y ha cme dmini D R Scambiand la cn la y la unzine inversa diventa:, è una unzine mntna crescente e ammette la unzine inversa: y. Se rappresentiam la unzine y e la sua unzine inversa y sull stess graic cartesian, pssiam sservare che entrambe le unzini sn cntinue, crescenti e che i due graici sn simmetrici rispett alla bisettrice del prim e terz quadrante di equazine y. 1 Esercizi. Stabilire se la unzine y è invertibile nel su dmini e ricavare la unzine inversa. Se nn è invertibile nel dmini individuare le zne del dmini in cui è invertibile e ricavare le rispettive unzini inverse. 1 La unzine y è una unzine mgraica, ciè un iperble equilatera rierita agli asintti e traslata. È una unzine mntna decrescente e perciò ammette la unzine inversa che si ttiene ricavand la in unzine di y. 1; y y y 1; y 1y; ( y1 1y; 1 y y 1 Scambiand la cn la y la unzine inversa diventa: 1 y 1
Esercizi 4. Stabilire se la unzine y è invertibile nel su dmini e ricavare la unzine inversa. Se nn è invertibile nel dmini individuare le zne del dmini in cui è invertibile e ricavare le rispettive unzini inverse. La unzine y ha cme dmini: R ; D. Si ricnsce che la unzine rappresenta una parabla cn il vertice nell rigine degli assi e cn la cncavità rivlta vers l alt. La unzine è mntna decrescente nell intervall ] ; 0] e mntòna crescente nell intervall [ 0; [. Ricavand la in unzine di y tteniam: y Siccme ad gni valre di y crrispndn due valri di, la unzine nn è mntòna in tutt il dmini, e quindi nn è invertibile. Però se cnsideriam l intervall ] ; 0], la unzine è mntòna decrescente, è invertibile e ammette la unzine inversa 1 ( y y Se cnsideriam l intervall [ 0; [, la unzine è mntòna crescente, è invertibile e ammette la unzine inversa 1 ( y y Esercizi 5. Stabilire se la unzine y 4 è invertibile nel su dmini e ricavare la unzine inversa. Se nn è invertibile nel dmini individuare le zne del dmini in cui è invertibile e ricavare le rispettive unzini inverse. Per ricnscere la unzine bisgna prre le seguenti cndizini: 4 0 y 0 y 4 4 0 y 0 4 y y 0 4 y Siccme ad gni valre di y crrispndn due valri di, la unzine nn è mntòna, e quindi nn è invertibile nel su dmini. Inltre, essend y 4 e y 0, si ricnsce che la unzine rappresenta la parte superire di una circnerenza cn centr O (0;0 e raggi r. Quindi per 0 la unzine è mntna crescente, è invertibile e la unzine inversa è: 4 y. Per 0 la unzine è mntna decrescente, è invertibile e la unzine inversa è: 4y.
Le unzini inverse delle unzini gnimetriche. La unzine y sennn è mntòna nel su dmini R, però nell intervall ; del su dmini essa è mntna crescente, ha cme cdmini l intervall 1;1 e può avere la unzine inversa y arcsen avente cme dmini l intervall 1;1 e cme cdmini l intervall ;. All stess md, la unzine y cs nn è mntòna nel su dmini R, però nell intervall 0 ; del su dmini essa è mntna decrescente, ha cme cdmini l intervall 1;1 e può avere la unzine inversa y arccs avente cme dmini l intervall 1;1 e cme cdmini l intervall 0 ;. La unzine y tg è mntòna crescente nell intervall ;, ha cme cdmini l intervall ; e può avere la unzine inversa y arctg avente cme dmini l intervall ; e cme cdmini l intervall ;. La unzine y ctg è mntòna decrescente nell intervall 0 ;, ha cme cdmini l intervall ; e può avere la unzine inversa y arcctg avente cme dmini l intervall ; e cme cdmini l intervall 0 ;.