UGELLO CONVERGENE. Si consideri un ugello convergente che scarica in ambiente ( a atm). Sono noti la temeratura di ristagno K, il diametro di uscita dell ugello D.m e la differenza di ressione tra monte e valle dell ugello 7mmH O 68649Pa. Si calcoli la ortata massica dell ugello e la velocità nella sezione di uscita. Dai valori noti si ricava: π. / 4 7.84 m u a + Δ. + 68.649 69. 949kPa e quindi il raorto: a.966 >.8 Si uò dunque concludere che è soddisfatta la condizione di Kutta, ovvero che all uscita dell ugello il fluido avrà una ressione rorio ari a quella ambiente. Dal valore di u / a / è ossibile ricavare il M u ed il raorto u / utilizzando le tabelle er il moto isentroico: M.89 u / u. Dall ultimo raorto si ricava: u / u 7.84 /. 7.77 m Per cui la ortata risulta essere uguale a: 69.949 7.77 m& Ψ Ψ.8.8 kg / s a γr.4 87 Mentre la velocità nella sezione di uscita dell ugello: m& Vu u Per conoscere la densità osso calcolarmi darima : 69.949.974kg / m R 87 leggere dalle tabelle: /.69 e calcolare infine: /.974.69.64kg / m Per cui la velocità cercata risulta ari a: m&.8 V 87.7m s u.64 7.84 / u. Si vogliono di seguito confrontare i risultati ottenuti er il calcolo della velocità in uscita e della ortata er l ugello dell esercizio recedente, utilizzando il teorema di Bernoulli, il teorema di Bernoulli alicato adottando il valore della ressione media fra a e o e la formula di de Saint Venant (cfr. eq. (.4)). Si faccia infine un confronto tra i risultati delle tre formule er valori crescenti della ressione di ristagno. Il teorema di Bernoulli uò essere alicato calcolando la densità alla ressione di ristagno. La temeratura a cui si calcola la densità è necessariamente quella di ristagno ( si veda esercizio recedente).
R il valore della velocità sarà dunque calcolato come: ( a ) VB e la ortata massica sarà esressa come: m B V B In alternativa si uò alicare il teorema di Bernoulli calcolando la densità ad un valore della ressione che sia la media fra la ressione ambiente e la ressione di ristagno: + a m, m m R la velocità risulta adesso: ( a ) VBm m e la ortata massica di conseguenza sarà: m Bm m V Bm Infine, si uò utilizzare la formula di de Saint Venant: a γ γ γ γ a V e R γ da cui consegue: m e V e Per il valore della ressione di ristagno dell esercizio recedente, alicando le formule aena ricavate, si ricava che: V B V Bm V e m B m Bm m e errv B errv Bm errm B errm Bm 6.79 9. 87.794.4886.6.8 -.88.847.64.8468 Si noti che i risultati ottenuti alicando la formula di de Saint Venant in ratica coincidono con quelli ricavati consultando le tabelle er moto isentroico. Inoltre, l alicazione della formula di Bernoulli alla ressione media uò essere accettata er il calcolo della velocità (errore del % ca.) ma non er il calcolo della ortata (errore del 8% ca.). La formula di Bernoulli semlice, invece, comorta er il calcolo della velocità un errore del 8% e er il calcolo della ortata addirittura un errore del % ca. Suoniamo di voler risolvere lo stesso roblema dell esercizio recedente er una ressione di ristagno molto rossima a quella ambiente; sia, er esemio, mmh O 9.8Pa. La ressione di ristagno sarà ari a: a + Δ. +.98.8 Pa Per utilizzare le tabelle er moto isentroico, ci occorre il valore del raorto a / ; tuttavia, er non commettere grossi errori, dovremmo avere una recisione di a e molto sinta. Utilizzando le formule di Bernoulli, Bernoulli alla ressione media e de Saint Venant, si ottengono i seguenti valori:
V B V Bm V e m B m Bm m e errv B errv Bm errm B errm Bm.8.4.87.86.8.798 -.9.78.8. È interessante notare che alicando entrambe le formule di Bernoulli, sia nel calcolo della velocità che della ortata, si commette un errore mai sueriore allo.%. Di seguito sono riortati i valori degli errori commessi utilizzando le formule di Bernoulli al variare della ressione di ristagno e quindi del Mach nella sezione di uscita dell ugello convergente in esame: (mmho) (Pa) a / M errv B errv Bm errm B errm Bm 98,7 98,,999,78 -,7 6,9E-,,8 47, 447,,998,4 -,6,4,79,97 96,4 496,,99868,7 -,,8,9, 9,8 89,4,99474,87 -,9,78,8, 98,7 8,7,994,74 -,7,684,8,746 96,4 6,4,98,6744 -,4,,,6 49, 6,,989,6744 -,86,8,67,764 987 7,974,6744 -,6,6,9,74 964 94,87786,964 -,,,97,44 49,6788,7766 -,69,7,978,68 7 68649 69949,966,899 -,88,847,64,8468 9 886 896,487,998 -,99,8494,494,4489 Nelle tabelle si evidenzia chiaramente come l utilizzo del teorema di Bernoulli corretto (con l utilizzo cioè della ressione media) er il calcolo della velocità roduca un errore semre minore del % ca., mentre utilizzando il teorema di Bernoulli arossimato si commette un errore del % se M <.. Per il calcolo della ortata l utilizzo del teorema di Bernoulli corretto e del teorema di Bernoulli arossimato roduce un errore minore del % risettivamente er M <.4 e M <... Si consideri un ugello convergente collegato ad un serbatoio, avente sezione di uscita cm ; siano note la temeratura, la ressione e la velocità all ingresso, 6 C, 7atm, V 6m/s, e la ressione in cui scarica l ugello, a 4atm. Come fluido si consideri aria (γ.4, R 87J/kgK). Si calcoli la ortata dell ugello. Per determinare la ortata dell ugello è necessario innanzitutto conoscerne il funzionamento: bisogna dunque calcolare il raorto a / o. Essendo noto il valore di a è necessario determinare o, ricavabile dalla relazione (7.7) a ag.9: γ γ o sua volta la temeratura di ristagno uò essere ricavata dalla (7.):
+ V c γ dove c R J / kgk 4 γ Si hanno dunque: 6 (7 + 6) + 66. 6K 4 9.84atm, da cui: a.48 o a Poiché si ha <.8 il funzionamento dell ugello è strozzato, si avrà un ventaglio di o esansione all uscita, ed il calcolo della ortata si uò effettuare tramite la relazione (.), ove si onga : 4 9.84. m & ψ. 8.96kg/s a.4 87 66.6 La curva di funzionamento è la f (cfr. fig..) 4. Si consideri l ugello dell esercizio recedente e si calcoli la ortata tramite l utilizzo delle tabelle er il moto isentroico. Si calcoli inoltre la sinta dinamica dell ugello. Dalle tabelle er il moto isentroico è ossibile ricavare i raorti,,,. Noti tali raorti si risale ai valori di e, necessari er il calcolo della ortata tramite la relazione (.): m & ψ a Si calcola dunque il valore del numero di Mach nella sezione d ingresso e con questo valore si entra in tabella: V M.7 γr Dalle tabelle si ricavano i raorti suddetti: 4
.87.74.98.786 Si assa adesso al calcolo della ortata essendo noti 7 9.84atm.74 66.6K 4 9.84..8 m&.97kg/s.4 87 66.6 Per il calcolo della sinta sono necessari i valori della sezione, della densità e della velocità nelle sezioni d ingresso e d uscita, essendo S ( V + ) ( V + ) Noto il valore di, oiché l ugello è strozzato, come recedentemente visto, si ricava dal rimo dei raorti trovati sulle tabelle:.87cm analogamente si avranno:.8, essendo l ugello strozzato e dunque.8 er lo stesso motivo (si vedano infatti le (.) e (.)). Da questi raorti si ricavano:.8atm.4k Per il calcolo di e si uò ricorrere all equazione di stato dei gas erfetti:.74kg/m R.986kg/m R Infine si assa al calcolo di V, che sarà: V M γr.4 87..m/s Si uò adesso calcolare la sinta, che risulta essere: S 6.4N
. Si consideri un ugello convergente con sezione d ingresso ari ad mm ; siano note le condizioni all ingresso: C,.7 Pa, ed il numero di Mach nella stessa sezione: M.. E inoltre noto il raorto fra le aree. Come fluido si consideri aria (γ.4, R 87J/kgK). Si calcoli la ortata dell ugello ed il numero di Mach nella sezione di uscita. Dalle tabelle relative al moto isentroico, noto il numero di Mach nella sezione d ingresso M, si leggono i raorti fra temeratura e ressione all ingresso e in condizioni di ristagno, nonché il raorto fra sezione d ingresso e sezione critica:.97.99.96 Da tali raorti risultano immediatamente: 779.9kPa.97.4K.99.67mm Essendo il raorto fra l area d ingresso e l area critica maggiore del raorto fra le aree d ingresso e di uscita, si deduce che il funzionamento dell ugello non è strozzato e non si raggiungono mai le condizioni critiche. Si calcola di seguito il valore della ortata utilizzando l area critica fittizia: 6 79.9.67.8 4 m & ψ.8 kg/s a.4 87.4 Per quanto riguarda il calcolo del numero di Mach nella sezione di uscita, questo è calcolabile a artire dal valore del raorto fra l area di gola e l area critica: entrando con tale valore nelle tabelle relative al moto isentroico, si legge il valore di M.. 96.48 M.47 6. Si consideri un ugello convergente che scarica in aria a ressione ambiente, a atm. Siano note le grandezze di ristagno atm, C e la sezione d ingresso dell ugello, mm. Sia inoltre noto il raorto fra l area d ingresso e l area di gola,. Sono richieste le condizioni all ingresso dell ugello. Innanzitutto si calcoli il raorto fra la ressione ambiente e la ressione di ristagno er determinare la curva di funzionamento dell ugello. 6
a. o oiché il raorto fra le due ressioni è minore di.8, il funzionamento dell ugello è strozzato e si raggiungono le condizioni critiche in gola: mm Il calcolo della ortata è effettuabile a tramite la (.) 6..8 4 m & ψ 4.7 kg/s a.4 87 Essendo l ugello strozzato si avrà M. Per il calcolo delle grandezze all ingresso dell ugello si ossono utilizzare i raorti ricavabili dalle tabelle er il moto isentroico una volta noto il valore di M. ale valore si ricava entrando nelle suddette tabelle con il raorto. Si ricavano dunque: M.6.97.986 Da questi raorti si calcolano i valori richiesti:.874atm 97.4K Suoniamo adesso che sia iù bassa, ad esemio si abbia.4atm. a Si calcola il raorto tra la ressione ambiente e quella di ristagno,.74. Il funzionamento o non è strozzato e vale la condizione di Kutta, dunque a. Con il valore del raorto fra la ressione di uscita e la ressione di ristagno si entra nelle tabelle relative al moto isentroico e si ricava il valore del numero di Mach all uscita: M.7 Con tale valore si uò ricavare, dalle tabelle di cui sora, il valore del raorto / e da tale raorto si uò ricavare la sezione critica, necessaria er il calcolo della ortata..84.9mm La ortata si calcola mediante la: 6.4..9.8 m & ψ. -4 kg/s a.4 87 Per il calcolo di M ci si serve ancora delle tabelle, utilizzando come valore di ingresso il raorto. Si avrà dunque:.74 M.787 7
.9474.4..4.9847 98.4K Si suonga adesso che la ressione di ristagno sia ancora iù bassa, ad esemio si abbia mm HOrel. Si inizi col convertire il valore dato in Pascal: si avrà: rel gh kg/m 9. 8m/s m 47.kg/ms desso ossiamo assare al valore assoluto di. +47..4 Pa Il raorto fra la ressione ambiente e la ressione di ristagno è in questo caso: a.999 o Essendo tale raorto, si ha M <<, quindi il moto uò essere considerato incomressibile; risulta dunque conveniente utilizzare il teorema di Bernoulli nella sua formulazione incomressibile er il calcolo della velocità, in quanto l utilizzo delle tabelle er il moto isentroico condurrebbe ad un errore non trascurabile. Δ 47. V.88m/s.66.4 dove il calcolo della densità è stato effettuato alla ressione, R 87.66kg/m, essendo iccola la differenza fra la ressione di ristagno e la ressione ambiente. Si sottolinea che la densità deve essere calcolata alla temeratura di ristagno, in quanto la temeratura dell ambiente in cui scarica l ugello non influenza in alcun modo il fenomeno di efflusso. Si uò adesso rocedere al calcolo della ortata mediante la relazione: m& V 8.kg/s Pa 8