16-1 Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl RISOLUZIONI CAP. 16 16.1 Nl flusso laminar compltamnt sviluppato all intrno di un tubo circolar vin misurata la vlocità a r R/. Si dv dtrminar la vlocità al cntro dl tubo (r 0). Ipotsi Il flusso è stazionario, laminar compltamnt sviluppato. Analisi Il profilo di vlocità nl flusso laminar w(r)w max (1-r /R ) compltamnt sviluppato in un tubo circolar è dato da ( ) max 1 r w r w R dov w max è la vlocità massima ch si misura in corrispondnza dl cntro dl tubo pr r 0. A r R/, ( R / ) 1 w w R / ) w max 1 wmax 1 R 4 4 ( max Ricavando w max sostitundo si ha w max 4w( R / ) 4(6 m/s) ch è la vlocità al cntro dl tubo. 8 m/s R w max 0 r 16. Vin dato il profilo di vlocità nl flusso laminar compltamnt sviluppato in un tubo circolar. Si dvono dtrminar la vlocità mdia qulla massima. Ipotsi Il flusso è stazionario, laminar compltamnt sviluppato. w(r)w max (1-r /R ) Analisi Il profilo di vlocità nl flusso laminar compltamnt sviluppato è dato da R ( ) r max 1 r w r w R 0 Il profilo di vlocità in qusto caso è dato da w( r) 4(1 r / R ) Confrontando l du rlazioni prcdnti, si ottin la vlocità massima ch risulta pari a w max 4 m/s. Allora la vlocità mdia la portata volumtrica divngono w mdia w max 4 m/s m/s V& w A w ( πr ) ( m/s)[ π (0.10 m) ] 0.068 m /s mdia c mdia w max
16- Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl 16. Si dvono dtrminar i cofficinti di scambio trmico convttivo in aria acqua in condizioni simili. Ipotsi 1 Il sistma è in condizioni stazionari. Il flusso trmico suprficial è uniform. L suprfici intrn dl tubo sono lisc. Proprità L proprità dll aria a 5 C sono (Tablla A.19) λ 0.0551 W/m C -5 ν 1.56 10 m /s Acqua o aria D 8 cm Pr 0.796 m/s L proprità dll acqua a 5 C sono (Tablla A.18) L 7 m ρ 997 kg/m λ 0.607 W/m C -7 ν μ / ρ 0.891 10 /997 8.97 10 m /s Pr 6.14 Analisi Il numro di Rynolds è wd ( m/s)(0.08 m) R 104 5 ν 1.56 10 m /s risulta maggior di 10 000, quindi il flusso è turbolnto la lunghzza d ingrsso val Lh Lt 10 D 10(0.08 m) 0.8 m ch è molto infrior alla lunghzza total dl tubo. Si può prtanto ritnr ch il flusso sia turbolnto compltamnt sviluppato lungo l intro condotto dtrminar il numro di Nusslt con l sprssion hd 0.8 0.4 0.8 0.4 Nu 0.0R Pr 0.0(10,4) (0.796).76 λ Il cofficint di scambio trmico convttivo è λ 0.0551 W/m. C h Nu (.76) 10.45 W/m. C D 0.08 m Riptndo i calcoli pr l acqua si ha wd ( m/s)(0.08 m) R 179,05 7 ν 8.97 10 m /s hd 0.8 0.4 0.8 0.4 Nu 0.0R Pr 0.0(179,05) (6.14) 757.4 λ λ 0.607 W/m. C h Nu (757.4) 5747 W/m. C D 0.08 m Discussion Il cofficint convttivo rlativo all acqua è 550 volt suprior a qullo dll aria.
16- Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl 16.4 Dll aria scorr in un tubo la cui suprfici intrna è liscia. Si dv dtrminar il cofficint di scambio trmico convttivo utilizzando du divrs corrlazioni pr il numro di Nusslt. Ipotsi 1 Il sistma è in condizioni stazionari. L aria può ssr considrata un gas idal con proprità costanti. La prssion dll aria è 1 atm. Proprità Assumndo com tmpratura mdia dlla massa fluida 0 C, l proprità dll aria sono (Tablla A.19) ρ 1.04 kg/m λ 0.0514 W/m C ν 1.516 10 c p -5 m 1007 J/kg. C /s Aria 10ºC 0.065 kg/s Pr 0.709 Analisi La vlocità mdia dll aria il numro di Rynolds sono m& 0.065 kg/s wmdia 4.77 m/s A (1.04 kg/m ) π (0.1 m) / 4 ρ c L 5 m w (4.77 m/s)(0.1 m) R mdia D 7785 5 1.516 10 m /s ν ch è maggior di 10 000 quindi il moto è turbolnto la lunghzza d ingrsso val circa L L 10 D 10(0.1 m) 1. m h t D 1 cm ch risulta minor dlla lunghzza total dl tubo. Si può prtanto considrar il flusso turbolnto compltamnt sviluppato lungo l intro condotto. Il cofficint d attrito può ssr ricavato mdiant l quazion di Colbrook 1 /.51 1 0.000 / 0.1.51 log ε D + log + f 0.0695 f.7 R.7 7,785 f f f Il numro di Nusslt, dall quazion 16.66 è 1/ 1/ Nu 0.15 f R Pr 0.15(0.0695)(7,785)(0.709) 114.7 Il cofficint di scambio trmico convttivo val allora λ 0.0514 W/m. C h Nu (114.7) 4.0 W/m. C D 0.1 m A qusto punto si dtrmina la tmpratura di uscita dll aria A π DL π (0.1 m)(5 m) 1.885 m ha /( mc & ) (4.0)(1.885) (0.065)(1007) p T Ts ( Ts Ti ) 50 (50 10) 0.0 C Qusto risultato confrma l ipotsi fatta pr il valor dlla tmpratura mdia dlla massa fluida, utilizzato pr valutar l proprità dll aria. La potnza trmica scambiata risulta allora Q & mc & p ( T Ti ) (0.065 kg/s)(1007 J/kg. C)(0.0 10) C 107 W Riptndo i calcoli utilizzando la corrlazion pr il numro di Nusslt dll Eq. 16.70 si ottin invc ( f / 8)(R 1000) Pr (0.0695 / 8)(7,785 1000)(0.709) Nu 105. 0.5 / 0.5 / 1+ 1.7( f / 8) (Pr 1) 1+ 1.7(0.0695 / 8) (0.709 1) λ 0.0514 W/m. C h Nu (105.).04 W/m. C D 0.1 m T T s ( T s T ) i ha /( mc & ) p 50 (50 10) (.04)(1.885) (0.065)(1007) 8.8 C
16-4 Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl Q & mc & p ( T Ti ) (0.065 kg/s)(1007 J/kg. C)(8.8 10) C 10 W Il risultato ottnuto con l Eq. 16.66 è circa il 6% suprior risptto a qullo calcolato con l Eq. 16.70. 16.5 (a) La potnza trmica scambiata è La tmpratura all'uscita dl fluido frddo è L diffrnz di tmpratura tra i du fluidi all du strmità dllo scambiator di calor sono La diffrnza mdia logaritmica di tmpratura è Quindi il cofficint global di scambio trmico divnta (b) L capacità trmich rifrit all'unità di tmpo dl fluido caldo dl fluido frddo sono Prciò,
16-5 Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl Quindi la potnza trmica scambiata massima divnta La potnza trmica scambiata ffttiva l'fficacia dllo scambiator di calor sono Il NTU di qusto scambiator di calor in controcorrnt, dtrminato mdiant la rlazion nlla Tablla 16.5, è L'ara dlla suprfici di scambio trmico dllo scambiator di calor è Nota: Qusto scambiator di calor non può ssr in quicorrnt prché la rlazion pr il NTU pr lo scambiator in quicorrnt non ha soluzion. Inoltr, T f,u > T c,u, ch è impossibil nllo scambiator di calor in quicorrnt.
16-6 Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl 16.6 L capacità trmich rifrit all'unità di tmpo dl fluido caldo dl fluido frddo sono Prciò, Quindi il NTU di qusto scambiator di calor, corrispondnt a C 0,544 ε 0,65, è data da (vdi Figura 16.6) Quindi l'ara dlla suprfici di qusto scambiator di calor divnta 16.7 La capacità trmica rifrita all'unità di tmpo di un fluido ch condnsa in uno scambiator di calor è infinita. Prciò, Quindi la potnza trmica scambiata massima divnta
16-7 Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl Il NTU di qusto scambiator di calor è Quindi l'fficacia di qusto scambiator di calor, corrispondnt a C 0 NTU 6,76, dtrminata usando la rlazion appropriata nlla Tablla 16.5, è Quindi la potnza trmica scambiata ffttiva divnta (b) Infin, la portata in massa dl vapor nl condnsator è data da 16.8 L proprità dll'acqua a 00 K sono Il numro di Rynolds è
16-8 Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl ch è maggior di 00. Prciò, assumiamo un flusso turbolnto compltamnt sviluppato dtrminiamo il numro di Nusslt mdiant la rlazion L'ara dlla suprfici intrna l'ara dlla suprfici strna dl tubo sono La rsistnza trmica total di qusto scambiator di calor, rifrita all'unità di lunghzza, è Quindi il cofficint global di scambio trmico con rifrimnto alla suprfici intrna divnta 16.9 L diffrnz di tmpratura all du strmità sono
16-9 Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl La diffrnza mdia logaritmica di tmpratura è L'ara dlla suprfici di scambio trmico dal lato strno dl tubo è data da 16.10 Una portata di acqua vin riscaldata facndola scorrr in cinqu tubi idntici tra loro mantnuti ad una prfissata tmpratura. Si dv dtrminar la potnza trmica scambiata la lunghzza di tubi. Ipotsi 1 Lo scambio trmico avvin in condizioni stazionari. La tmpratura suprficial è costant uniform. L suprfici intrn di tubi sono lisc. 4 Lo scambio di calor con l ambint circostant è trascurabil. Proprità L proprità dll acqua alla tmpratura mdia dlla massa fluida (15+5)/5ºC sono (Tablla A.18) ρ 997 kg/m λ 0.607 W/m. C - μ 0.891 10 m /s c p 4180 J/kg. C Pr 6.14 Analisi (a) La potnza trmica è Acqua 15ºC 10 kg/s 5 tubs Q & mc & T T ) (10 kg/s)(4180 J/kg. C)(5 15) C 86000 W p( i (b) La vlocità dll acqua è m& w ρa c (10/5) kg/s (997 kg/m ) π (0.05 m) / 4 1.0 m/s 60ºC D 5 cm Il numro di Rynolds val ρwd (997 kg/m )(1.0 m/s)(0.05 m) R 57,067 μ 0.891 10 kg/m s d è maggior di 10 000 pr cui il flusso è turbolnto. Ipotizzando ch il flusso sia compltamnt sviluppato lungo l intro tubo, il numro di Nusslt può ssr ricavato da hdh 0.8 0.4 0.8 0.4 Nu 0.0R Pr 0.0(57,067) (6.14) 0.5 λ pr cui il cofficint convttivo val λ 0.607 W/m. C h Nu (0.5) 684 W/m. C D 0.05 m 5ºC
16-10 Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl Utilizzando la tmpratura mdia dl fluido considrando il fatto ch ci sono cinqu tubi, la loro lunghzza può ssr dtrminata com sgu Q& ha( T s T mf A A 5πDL L 5πD ) 86000 W (684 W/m 6.484 m 8.6 m 5π (0.05 m) C) A(60 5) C A s 6.484 m