Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in tale punto? Maturità 0 PNI suppletiva - modif.) Soluzione. Si ha lim f), lim f) 0 0 0 + quindi in 0 si ha una discontinuità di prima specie con salto uguale a s lim f) lim f) 0 0. + 0 È continua a sinistra? La funzione è continua a sinistra in quanto lim 0 f) f0). Esercizio. Si consideri la funzione f) 3 ) + 3. Determinare la derivata di f. Determinare l equazione della retta t tangente al suo grafico nel punto di intersezione con l asse delle ordinate e si calcoli l area del triangolo che essa forma con gli assi cartesiani. Calcolare lim f ). Determinare infine il punto di massimo assoluto della 3 + funzione. Maturità 0 PNI suppletiva - modif.) Soluzione. Il dominio della funzione è D f R : 3}. La derivata è f ) + 3 + 3 ) + 3) + 3 + 3 3 3 + 3 + 3 3 + 3 + 3. La funzione f interseca l asse y nel punto P0, 3 3); la retta t tangente al grafico della funzione in P ha coefficiente angolare f 0) 3 3 3 ed ha pertanto equazione 3 t : y + 3 3. La retta t interseca l asse nel punto A6, 0) e quindi il triangolo AOP ha area uguale a 6 3 3) 9 3. Per quanto riguarda lim 3 + f ) si ha: lim 3 + 3 3 + + 3 6 0 + +. Studiando il segno di f si scopre che f ) > 0 a sinistra di e f ) < 0 alla sua destra, quindi è punto di massimo. Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che è il punto di massimo assoluto. Esercizio 3. Si determinino a e b in modo che il grafico della funzione y a +b passi dai punti, 4) e 3, 8). Maturità 00 suppletiva) Soluzione. Imponendo il passaggio da entrambi i punti si ha 4 a +b 8 a 3+b 4 a +b 8 a a +b 4 a +b 8 a 4 4 a +b a dalla seconda equazione si ha a si osservi che a non può essere negativa e quindi la soluzione va scartata); sostituendo nella prima equazione abbiamo 4 ) +b +b + b b 3.
Esercizio 4. Si consideri la funzione f) +. Determinare i punti di massimo e minimo relativi. Si + + calcolino a, b, c in modo che risulti + a + b + c. Maturità 00 PNI suppletiva - modif.) + Soluzione. La derivata della funzione f assegnata è f ) + ) + ) + ) + ) + ). Dallo studio del segno di f si scopre che f ) > 0 a sinistra di 5 e f ) < 0 alla sua destra, pertanto tale punto è di massimo. Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che 5 è punto di massimo relativo. Continuando lo studio del segno della derivata f si scopre che f ) < 0 alla sinistra di + 5 alla sua destra: + 5 è punto di minimo relativo. Per il calcolo dei coefficienti si ha: a + b + e f ) > 0 è un punto di minimo. Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che + 5 c a + ) + b + ) + c a + a + b + c) + b + + ) ; + uguagliando l ultima espressione con quella della funzione assegnata, abbiamo deve risultare a + a + b + c) + b + a a + b + c 0 b da cui + + ; a b c 5. Esercizio 5. Si dimostri che per gli zeri e di una funzione f) a + b + c risulta f ) + f ) 0 e si dia una interpretazione geometrica della affermazione dimostrata. Maturità 00 PNI suppletiva) Soluzione. Primo metodo. La derivata della funzione è f ) a + b; gli zeri della funzione sono, b ± a, b a ± a, b a ± d dove con d abbiamo indicato la quantità a. Calcoliamo a questo punto la somma f ) + f ): f ) + f ) a b ) a + d + b + a b ) a d + b b + a d + b b a d + b 0. Secondo metodo. La derivata della funzione è f ) a + b; ricordando che gli zeri e della funzione f) hanno somma + b, si ha a f ) + f ) a + b + a + b a + ) + b [ [a + ) + b] a b ) ] + b [ b + b] 0. a Il risultato ha una semplice interpretazione geometrica: le rette tangenti negli zeri di f sono simmetriche rispetto alla retta b e pertanto i loro coefficienti angolari sono opposti. a
Esercizio 6. Si determini il punto P della parabola 4 y più vicino al punto di coordinate 6, 3). Maturità 00 PNI suppletiva) ) Soluzione. Primo metodo. Il punto generico della parabola ha coordinate P t, t 4. La distanza d del punto 6, 3) da P è ) t d t 6) t 4 + 4 + 3 + 40 t 9 t + 70 t4 + 40 t 6 4 9 t + 70. Si tratta ora di rendere minimo il radicando r) dell ultima espressione, che ha derivata Fattorizzando il polinomio in parentesi si ha r t) 4 t 3 + 80 t 9 4t 3 + 0 t 48). r t) 4t )t + t + 4) ed osservando che il polinomio t +t+4 è sempre positivo < 0 ed il coefficiente di grado è > 0), possiamo affermare che r t) si annulla solo in t. Studiando il segno di r t) si scopre che r t) < 0 a sinistra di t e r t) > 0 alla sua destra: t è punto di minimo di rt). Dallo studio dell andamento di rt) si scopre che t è il punto di minimo assoluto. In definitiva, il punto P della parabola più vicino al punto 6, 3) ha ascissa t ed ha pertanto coordinate P, ). Secondo metodo. Si tratta di determinare l equazione della circonferenza di centro 6, 3) e) tangente alla parabola assegnata. Poiché la parabola e la circonferenza devono essere tangenti nel punto P t, t 4, la tangente alla parabola in P deve essere perpendicolare alla retta passante per P e 6, 3). Il prodotto della derivata della funzione y 4 con il coefficiente angolare della retta passante per P e 6, 3) deve essere uguale a : t t 4 3) t 6 t3 + 0 t 48 t 6 0 t )t + t + 4) t 6 l unica soluzione reale dell equazione è t, quindi il punto della parabola più vicino a 6, 3) ha ascissa ed ha pertanto coordinate, ). 0 ; Esercizio 7. Trovare i punti di massimo e minimo relativi della funzione f) tan + cot. Maturità 0 PNI suppletiva - modif.) Soluzione. Il dominio della funzione è D f R : k π con k Z}. La derivata della funzione è f ) cos sin sin cos cos sin Alternativamente, essendo cos sin ) sin cos) cos ) ) 4 sin ) cos ) sin ). f) sin cos + cos sin sin + cos sincos sincos sin ) sin ), la derivata è f 4 cos ) ) sin. ) Dallo studio del segno di f ) si scopre che, considerando i punti di ascissa π 4 + k π, la funzione f) decresce alla loro sinistra e cresce alla loro destra, quindi si tratta di punti di minimo. Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che i punti π 4 + k π sono di minimo relativo. Sempre dalla studio del segno di f ) si scopre che, considerando i punti di ascissa 3 4 π+k π, la funzione f) cresce alla loro sinistra e decresce alla loro destra, quindi si tratta di punti di massimo. Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che i punti 3 4 π + k π sono di massimo relativo. 3
Esercizio 8. Dimostrare che la funzione f) arcsin + arccos è costante sull intervallo [, ]. Trovare C in modo che risulti arcsin + arccos C per ogni [, ]. Soluzione. La funzione f) è continua sull intervallo [, ] ed è derivabile nei punti interni con derivata f ) 0, ). Una delle conseguenze del teorema di Lagrange ci assicura che la funzione è costante su tutto l intervallo [, ] ed il valore della costante C si trova semplicemente ponendo, ad esempio, 0 in f): C f0) arcsin0) + arccos0) 0 + π π. Esercizio 9. Dimostrare che la funzione f) arctan + arctan è costante a tratti e si dia un espressione più semplice per f. Soluzione. Il dominio della funzione è D f R : 0} mentre la sua derivata è f ) + + ) ) + + 0 0. + Sull intervallo, 0) la funzione è costante ed il valore di questa costante si trova semplicemente sostituendo un valore alla, ad esempio : ) f ) arctan ) + arctan π 4 π 4 π. Sull intervallo 0, + ) la funzione è costante ed il valore di questa costante si trova semplicemente sostituendo un valore alla, ad esempio : ) f) arctan) + arctan π 4 + π 4 π. In definitiva possiamo scrivere: π f) π se < 0 se > 0. Esercizio 0. Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f) sincos 3 nell intervallo [0, π ]. Maturità 987) Soluzione. La derivata della funzione è f ) cos cos 3 + sin 3 cos sin)) cos 4 3 cos sin cos cos 3 sin ) cos cos 3 cos )) cos 4 cos 3) cos 4 cos ) cos cos ) ) cos cos ) ) ; dallo studio del segno della derivata, limitandoci come richiesto all intervallo [0, π ], si scopre che f ) > 0 a destra di 0 non dobbiamo guardare a sinistra di 0 in quanto dobbiamo restare nell intervallo [0, π ] ) e f ) < 0 a sinistra di π non dobbiamo guardare a destra di π in quanto, come già detto, dobbiamo restare nell intervallo [0, π ] ): i punti di ascisse 0 e π sono punti di minimo. Continuando lo studio del segno della derivata f ) si scopre che f ) > 0 a sinistra di π 6 e f ) < 0 alla sua destra si osservi che π 6 è interno all intervallo [0, π ] ): π 6 è punto di massimo. Dall andamento della funzione non è difficile capire che 0 e π sono i punti di minimo assoluto e che π 6 è il punto di massimo assoluto. 4
Esercizio. Determinare a e b in modo che il grafico della funzione f) a e b abbia un massimo assoluto nel punto, ). Soluzione. La derivata della funzione assegnata è f ) a e b + a e b b ) a b + )e b ed imponendo che la derivata si annulli in si ha si osservi che e b 0) a b + )e b 0 a b + ) 0. L altra condizione ci sono due parametri da determinare) si ricava dal passaggio del grafico della funzione dal punto di coordinate, ): a e b a e b. In definitiva si ha a b + ) 0 a e b a e b. Dallo studio del segno della derivata si scopre che effettivamente la funzione ha un massimo in. Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che tale punto è di massimo assoluto. Esercizio. Trovare i punti di massimo e minimo relativi della funzione Soluzione. Il dominio della funzione è R; la derivata è f) arctan ln + ). f ) + 4) + + ; dallo studio del segno di f si scopre che 0 è un punto di massimo f ) > 0 a sinistra e f ) < 0 a destra) e che 4 è un punto di minimo f ) < 0 a sinistra e f ) > 0 a destra). Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che 0 è punto di massimo relativo e che 4 è punto di minimo relativo. Esercizio 3. Assegnata la funzione f), trovare il suo punto di minimo assoluto. Soluzione. Il dominio della funzione è D f R : > 0}. Riscriviamo la funzione nella forma f) e ln) e ln e calcoliamo la derivata: f ) } e ln } ln + ) ln + ). Dallo studio del segno di f ) si scopre che e è un punto di minimo f ) < 0 a sinistra e f ) > 0 a destra). Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che tale punto è di minimo assoluto. Esercizio 4. Dimostrare che la funzione f) + Maturità 0 suppletiva - modif.) Soluzione. Il dominio della funzione è R. La derivata di f è è crescente su R. Determinare i suoi asintoti. f ) + + ) + + ) + + 5
+ + + + ) + + ) 3/. La derivata f ) è positiva per ogni reale, quindi la funzione è crescente su R. Calcoliamo ora il limite della funzione f) per : lim f) lim lim + + lim + ) lim + ) lim + ; in alternativa: lim f) lim + lim + ) lim + lim ) lim + lim + lim + ; + possiamo quindi concludere che la funzione f) ha un asintoto orizzontale sinistro di equazione cartesiana y. Vediamo ora il limite di f) per + : lim f) lim lim + + + + + lim + + ) lim + + + ) lim + ; in alternativa: lim f) lim + + + lim + + ) lim + + lim + + lim + + lim + + ; possiamo quindi concludere che la funzione f) ha un asintoto orizzontale destro di equazione cartesiana y. Esercizio 5. Sia f la funzione definita sull insieme R dei numeri reali da f) a + b)e 3 + 3 dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo assoluto nel punto d ascissa 4 e che f0). Maturità 0) Soluzione. La derivata della funzione è f ) a e 3 + a + b)e 3 ) 3 3 a 3 a + b)e 3 ; deve risultare si osservi che e 3 0 per ogni reale): f0) a 0 + b)e 0 3 + 3 f 4) 0 a 4 3 a + b 0 b + 3 a + b 0 a b. Dallo studio del segno della derivata si scopre che effettivamente la funzione ha un punto di massimo in 4. Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che tale punto è di massimo assoluto. 6
Esercizio 6. Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f). Maturità 00 suppletiva - modif.) Soluzione. Il dominio della funzione è D f R : } e la sua derivata è f ) + ) ) ; dallo studio del segno della derivata si scopre che è un punto di minimo f ) < 0 a sinistra e f ) > 0 a destra) e che è un punto di massimo f ) > 0 a sinistra e f ) < 0 a destra). Dallo studio dell andamento del grafico si scopre che è il punto di minimo assoluto e che è il punto di massimo assoluto. 7