a duraon d un cash flow socasco Gabrella oschn α -- Eanuela Pasqualo β ABSTRACT beo d queso laoro è d surare l rscho delle passà d un ondo Pensone araerso l anals della duraon. Parendo dalla defnzone del alore delle passà del fondo, aluae opporunaene per ener cono dell aleaoreà de fluss consdera, s è perenu al calcolo della duraon d Macauley, nerpreaa coe una sura del rscho d asso d neresse n relazone alle passà del ondo sesso. Tal osserazon sono sae esae su da d blanco d un ondo Pensone Preessene a presazone defna. Jel classfcaon: C4; G3 Key words: Duraa eda fnanzara; penson fund.. E PASSIVITA DI U D PESIE Un ondo Pensone naldà, ecchaa e supers preede presazon d: Penson dree d anzanà o ecchaa all ao al copeno d deernae anzanà d serzo o al raggungeno d una daa eà; Penson ndree a supers dell ao; Penson dree d naldà all ao che dena naldo peranene; Penson d reersblà 3 a supers del pensonao d naldà che uore; Penson d reersblà a supers del pensonao d anzanà o ecchaa che uore. a sura d al oner per l ondo non è noa a pror: l loro alore dpenderà, nfa, dal erfcars o eno dell eeno cu è legaa la presazone garana e dall epoca n cu essa s erfca. a arable aleaora passà coplessa del ondo Pensone, può essere saa araerso l alore aeso de pagaen che l ondo dorà effeuare fno al erne α Unersà degl Sud d Cassno, acolà d Econoa. E-al: g.foschn@uncas.; hp://www.eco.uncas./docene/foschn. β Doorao d Rcerca n Scenze Auaral, Dpareno d Scenze Auaral e nanzare, Unersà a Sapenza, Roa. E-al: eanuela_p@lbero.. a pensone drea è una renda alza che ene rconoscua al laoraore che lasca l aà laoraa per raggun l d eà o anzanà conrbua,oppure per naldà o nablà a pensone ndrea è una renda alza o eporanea corrsposa a supers dell asscurao che uore durane l perodo d aà laoraa. 3 a pensone d reersblà è una renda alza o eporanea corrsposa a supers nel caso d ore del pensonao olare d pensone drea.
del conrao, l nosro obeo sarà dunque quello d esplcare la arable casuale onere del ondo Pensone. Supponao che: a gesone del fondo aenga per un nuero fno d ann con rfereno ad una colleà chusa; w sa l eà assa raggungble n a dagl scr, enre X e H sano rspeaene l eà e l anzanà asse raggungbl dall ao, nel senso che al raggungeno d una d esse s abba l pensonaeno per ecchaa o anzanà, per cu n relazone ad un scro che abba eà e anzanà h sa T l ulerore duraa assa n asscurazone così defna 4 : T n X,H h aonare della pensone drea sa cosurao all anzanà d serzo secondo percenual prefssae dell ula rerbuzone 4 ; aonare della pensone d reersblà o ndrea sa un alquoa della corrspondene pensone drea, fssaa n relazone alla coposzone del nucleo falare superse 4 ; e penson ed conrbu sano corrspose all nzo dell anno scché sano C,,..., - le conrbuzon relae alla colleà nell anno d gesone, e,,..., - rela oner; quese successon s nendono deernae coe alor ed e rfer fnanzaraene all nzo dell anno d copeenza 5. Consderao, n parcolare, un ondo Pensone geso con l ssea della capalzzazone collea 6 con preo edo generale. In un ssea con preo edo generale, l equlbro fnanzaro è oenuo araerso la defnzone d un preo cosane per ua la duraa d gesone ed uguale per u gl asscura. D regola accade che la generazone nzale è foraa da nddu pù anzan d quell che enreranno successaene nel ondo, scché l preo edo generale non è suffcene a coprre gl oner deran dalla pra generazone 4 S eda U. edele, Tecnca auarale delle asscurazon socal, 996, Ed. Il CIG GAIE GAIEI, Cap.II, pag.56 5 S eda. Grasso, Eleen d ecnca auarale della predenza pubblca d base, Worng Paper n.4, Dpareno d Maeaca per le Decson, Unersà degl Sud d renze, pp. 9-. 6 In un ssea a capalzzazone collea la conrbuzone relaa ad un dao asscurao ao concorre al fnanzaeno della presazone pensonsca che porà n fuuro essere percepa dallo sesso asscurao, eenualene denuo pensonao dreo, oppure dagl eenual supers che ne abbano dro, n caso d ore dell asscurao ao oppure pensonao
ed è nece superore ne confron delle generazon successe, le qual sono chaae così a corrspondere un soprapreo, par agl neress aura sul dsaanzo, dao dalla dfferenza, n alore auale, ra gl oner e conrbu della generazone enraa all epoca. Un ssea che s basa sul preo edo generale genera perano re p d rsere: rsera aeaca per pensona gen; rsera aeaca per gl a gen; rsera aeaca per fuur ngress n asscurazone. a pra cosusce la rsera degl oner aura, la seconda e la erza la rsera per gl oner laen 7. Poché oglao defnre la passà coplessa per l ondo Pensone, dobbao ndduare sa le rsere che l ondo ha gà accuulao fno ad una generca epoca, sa pagaen fuur che l ondo sarà chaao ad effeuare da ale epoca n po, per u gl a ed pensona che copongono l ondo sesso, rappresena dalla rsera aeaca prospea coplessa 8. A fn della aluazone della rsera V, è forulaa l poes che conrbu e le presazon pensonsche che hanno dao luogo all epoca a olo ancpao per l anno d gesone non sano ancora aenue la aluazone rguarda la cosddea rsera ernale. aene rsulerà V V Defnao nolre: A aonare coplesso degl oner per u gl a presen all epoca ; C aonare coplesso de conrbu rscoss dal ondo per u gl a presen all epoca ; P aonare coplesso degl oner per u pensona presen all epoca ; Pra d procedere al calcolo delle rsere aeache, dobbao ndduare quale sano gl eleen che concorrono alla loro forazone, essendo gl sess, coe abbao gà deo, caraerzza da due fon d ncerezza: auarale e fnanzara. Proedereo dunque al calcolo della rsera coplessa che defnreo socasca, coe segue. Poché sa conrbu ncassa che le presazon erogae dpenderanno per l ondo dal erfcars d 9. 7 Poché sao consderando un ondo geso per un nuero fno d ann e a gruppo chuso ralascereo nel nosro odello la rsera aeaca per fuur ngress n asscurazone 8 S eda Honegger R., Mahs C., Duraon of lfe nurance lables and asse lably anageen, 993 3 rd Inernaonal Colloquu AIR, pag 6; 9 S eda. Grasso, Eleen d ecnca auarale della predenza pubblca d base, Worng Paper n.4, Dpareno d Maeaca per le Decson, Unersà degl Sud d renze, pag. 4. 3
een aleaor conness alla duraa d a dell ndduo, l nosro pro obeo è quello d procedere alla defnzone ano de conrbu che delle presazon probablzzae. Con rfereno ad un sngolo ao d eà con α,α,...,t-, l aonare aleaoro de conrbu che l ondo nroerà aluao all epoca per un generco anno d gesone con,,,- può essere rappresenao dalla: C ~, C, con probablà con probablà P C, ; P C ; n cu P C, ; rappresena la probablà n, secondo la sura P, che l poro C, sarà rscosso all epoca. A queso puno conrbu probablzza alua all epoca per un sngolo ao ad un generco anno, sono nddua dalla []: C, C, P C, ; e con rfereno alla oalà degl a presen a ale epoca areo: C T α C, P C Procedao n odo analogo con rfereno agl oner per gl a e per pensona. In A relazone ad un ao d eà, sa ~ la presazone aleaora aluaa ad una generca epoca,, ;, che l ondo dorà erogare n un generco anno, defna coe: ~ A A A, con probablà P, ;, A con probablà P, ; a presazone probablzzaa sarà allora con rfereno ad un sngolo ndduo daa dalla: A, A, P e con rfereno alla oalà degl a areo: A, ;, [] T A α A, P In relazone ad un sngolo pensonao d eà y presene n un generco anno sa A, ; ~ [] P,y la presazone aleaora che l ondo dorà erogare aluaa ad una generca epoca, defna coe: S eda De elce M., Moron., nanza delle Asscurazon sulla Va. Prncp per l asse-lably anageen e per la surazone dell ebedded alue,, Gornale dell Isuo Ialano degl Auar, Volue XV, pp. 3-89. Tale sura d probablà P è oenble araerso l ulzzo d appos odell auaral che, fonda sulla sulazone socasca, consenono appuno d sulare, parendo da un assegnao colleo coposo d poszon asscurae o pensonsche per cascun anno e per un cero nuero d ann, la probable eoluzone d ogn poszone asscuraa apparenene al colleo. 4
con probablà P ; ~ P P A,y,y,y P con probablà P,y ; a presazone probablzzaa sarà allora con rfereno ad un sngolo pensonao daa dalla: P,y P,y P P,y enre con rfereno alla oalà de pensona areo: P w y T ; P P P ; [3] Procedao ora al calcolo della rsera. Ad una generca epoca con <<, la rsera aeaca prospea coplessa, V, è daa dalla soa della rsera prospea per gl a,,y A P V e la rsera prospea per pensona, V :,y n cu: V V V [4] A P e A C A, V [5] V P A P, [6] con, asso d rendeno del parono del ondo per l fuuro. Al fne d ndduare la passà coplessa del ondo dobbao anche defnre l aonare delle rsere gà accuulae dal ondo sesso fno alla generca epoca. Sa A,P V l aonare delle rsere accanonae dal ondo ano per gl a che per pensona n un generco anno ; l aonare coplesso delle rsere accuulae fno ad una generca epoca sarà defno coe: A,P A,P V V [7] 5
con ass d rendeno annu del parono del ondo effeaene realzza fno all epoca. a passà coplessa per l ondo pensone all epoca, espresson [5], [6] e [7]: ~, sarà perano la soa delle ~ A P A C, A,P V, [8] aene la [8] è una grandezza aleaora, essendo aleaor ano l aonare degl oner fuur che l ondo dorà pagare quano ass d rendeno che saranno realzza dal parono del ondo sesso.. AAISI DEA DURATI DEE PASSIVITA DE D a duraon è radzonalene defna coe una sura della rschosà d un progeo 3 : aggore è la duraon pù eleaa è la rschosà del progeo consderao. Indchao fluss non nega d un progeo con l eore,,..., e l relao scadenzaro con l eore,,... ; la duraon, aluaa ad una generca epoca, è: o, n odo analogo: con V, D, V, [9] D, [] p V, p con,,.. V, ell applcazone del nosro laoro s è consderao po, conforeene a da a dsposzone un, oero un asso d po deernsco serlzzando dunque l ncerezza fnanzara delle pose consderae connessa a uaen nel epo de ass d neresse. 3 Per la defnzone d progeo s eda Boro, P., Magnan, U., ler, G., Ross,.A., Torrgan, M. 998 Maeaca nanzara, Monduzz Edore, Bologna, pp.4 e seg.: Un progeo econoco-fnanzaro breeene: un progeo non è alro che una successone d capal, d segno qualsogla, pres alle loro brae scadenze[ ].. 6
Dalla [] rsula edene che la duraon è la eda areca ponderaa delle e a scadenza de fluss, con pes p par a alor aual de sngol fluss noralzza. Rappresenando su un asse eporale per cascuna scadenza alor aual de fluss, rappora al alore auale dell nero flusso, coe dsrbuzone de pes p : se surao ep a parre dall sane d aluazone, la duraon è l ascssa del barcenro, fornsce coè l oeno pro della dsrbuzone { p }. Indchao con: V,, [] la funzone alore auale calcolaa all epoca de fluss rela al progeo consderao. a deraa pra della [] rspeo ad è: V, K [] ddao la [] per la []: V, V, D, oero: V, D, V, [3] Dalla [3] rsula che, a eno d una cosane, la duraon non è alro che la deraa logarca della funzone alore auale. Infa, la duraa eda fnanzara può essere 7
defna coe la sura della sensblà nesa coe elascà del prezzo dell obblgazone a seguo d arazon de ass d neresse 4. a [3] è defna duraon d Macauley 5 ; essa s rfersce ad un cash flow deernsco. o sesso non può drs per le passà d un ondo Pensone, le qual rsulano essere calcolae prendendo coe rfereno cash flows socasc 6. Possao defnre la duraon delle passà d un ondo Pensone coe la arazone aesa nel alore auale de fuur pagaen a seguo d arazon de ass d neresse, espressa coe percenuale de pagaen aes. Ipozzando per l fuuro a fn del calcolo un asso d rendeno del parono del ondo d po deernsco per cu s arà,, la duraon delle passà del ondo è: D [4] aendo ndcao con l alore della passà coplessa del ondo Pensone s eda la [8]. Perano: A C P A oero: A P A C [5] ed nfne sosuendo la [5] nella [4]: 4 S eda, ad esepo, Boro, P., Magnan, U., ler, G., Ross,.A., Torrgan, M. 998 Maeaca nanzara, Monduzz Edore, Bologna; Cea,. 99, Anals nanzara ed Innoazone Tecnologca, ed. CISU, Roa; Morcon,., 994, Maeaca nanzara, ed. Il Mulno, Bologna. 5 Macaulay.,938, Soe heorecal probles suggesed by he oeens of neres raes, bond yelds and soc prces n he U.S. snce 856, ew Yor, aonal Bureau of Econoc Research. 6 Rcordao nfa che quano l fondo sarà chaao a pagare dpende dal erfcars d een lega alla duraa aleaora d a degl nddu scr al fondo sesso. 8
D A P A C [6] a [6] nddua la duraon per la.a. passà coplessa del ondo Pensone. a caraersca fondaenale d ale espressone è che assue alor nferor all unà; n effe cò che abbao plcaene assuno è che pagaen fuur per l ondo Pensone sano calcola con una probablà che poreo defnre esaa n quano rflee l effea eoluzone della popolazone dello sesso. In alr ern pagaen fuur per l ondo sono sepre allnea con la propra coposzone ad ogn sngola epoca e coe ale non creano rgdà cosa che accade nece per pagaen n corso del ondo che n effe rsenranno del dsallneaeno ra la probablà che ha deernao al pagaen e le nuoe probablà sae. Per queso possao afferare che la duraon della.a. passà coplessa ene cono solo dell effeo rgdà ed è par alla duraa del flusso rgdo coè quella de pagaen n corso per l ondo Pensone 7. a [6] è funzone d: : duraa del perodo d gesone; : asso d neresse pegao per l aualzzazone degl oner; oner che l ondo sarà chaao a pagare sa con rfereno agl a che a pensona; conrbuzon che l ondo ncassa all epoca. All auenare dnure della duraa del perodo d gesone s erfca un aueno dnuzone del rscho d arazon nel alore auale de fuur pagaen del ondo che s raduce n un aueno dnuzone della duraon 8 s eda la gura. 7 S edano n proposo Yawz, Kaufold, Macrows, Srloc, The Prcng and Duraon of loang Rae Bonds, Journal of Porfolo Manageen, esae 987 e Caparrell., Econoa del ercao oblare, Ed. McGraw-Hll. 8 Per uleror approfonden s eda l Appendce d queso laoro. 9
gura : andaeno della Duraon n funzone della duraa del perodo d gesone Un aueno dnuzone del asso d neresse 9, copora una dnuzone aueno nel alore delle passà del ondo e consegueneene una dnuzone aueno della duraon s eda la gura. gura : Andaeno della duraon n funzone del asso d neresse
Con rfereno agl oner sa per gl a che per pensona, ed a conrbu ncassa C a osserao che la deraa della [6] rspeo agl sess è posa, dunque la duraon rsula crescene al crescere d ques ul s eda la gura 3. gura 3: andaeno della duraon n funzone d. A DURATI CME VARE ATTES DI UA VARIABIE CASUAE obeo dell asse lably anageen d un ondo Pensone è, per poes, l unzzazone de surplus sulla base del perfeo achng ra la duraon delle aà e quella delle passà. Il ancao raggungeno d queso obeo può derare dal cosddeo rscho d sachng pù accenuao n rù del fao che la arable casuale pagaen per l ondo Pensone ha una aranza nfluenzaa ano dalla naura aleaora delle arabl che nfluscono sulla sua deernazone quano dalla sensblà della arable pagaen a cabaen ne ass d neresse. Per poer defnre la aranza della.a. passà coplessa d un ondo Pensone, sfruao alcune propreà della duraon. 9 Il asso d neresse può assuere alor -; : alor nor d - non sono assbl da un puno d sa fnanzaro. Se -% sao n presenza d un puno d dsconnuà d II ordne??? CHIEDERE.
Abbao defno nel la duraon coe l oeno pro della dsrbuzone { } p. E possble rcaare alr ndcaor eporal esendendo la defnzone al caso d oen d ordne superore al pro. Pù n parcolare, s defnsce oeno d secondo ordne o duraon d secondo ordne, la seguene espressone: p D, [7] che espre la eda ponderaa de quadra delle e a scadenza con pes par a alor aual de fluss, così coe defn nella [8], e fornsce una sura della dspersone eporale de fluss rspeo a. a sessa duraon d secondo ordne può essere calcolaa a parre dal rapporo ra la deraa seconda della funzone alore auale e la funzone sessa. Procedao parendo dalla forula [] e derao nuoaene rspeo ad : K V, [8] oero: K V, [9] ddendo per V,:,,,,, V V C V V [] a [] nddua un alro ndcaore sraegco, la coney, C,. Il erne:
D, V, [] è la duraon d secondo ordne. Per la passà coplessa d un ondo Pensone, la daa dalla: D, calcolaa a parre dalla [4], è A C D P A [] a D è funzone della duraa del perodo d gesone, del asso d neresse, e degl oner d gesone; n parcolare, l andaeno d D rspeo a arazon del perodo d gesone è crescene, endendo ad nfno se derge: dunque s confera quano gà osserao con la duraon d pro ordne. Sesse consderazon s possono fare per le arazon relae della D rspeo a ass d neresse s edano la gura 4 e la gura 5, così coe s confera l andaeno per la duraon d secondo ordne rspeo a quano so per la duraon con rfereno agl oner. 3
4 gura 4: andaeno della D n funzone degl ann d gesone gura 5: andaeno della D n funzone del asso d neresse S uole ora nrodurre una sura della rschosà del flusso preso n consderazone. Rcordando che la aranza d una generca arable aleaora X è: [ ] X E X E X σ [3] la aranza della arable aleaora, è: A P A A P A C C σ [4] Poché la [4] è oenua coe dfferenza ra la duraon d secondo ordne e l quadrao della duraon sessa, è anch essa funzone della duraa del perodo d gesone consderao,, del
asso d neresse, pegao per l aualzzazone de fluss e del alore degl oner aleaor annu che l ondo sarà chaao a pagare ano per gl a che per pensona. gura 7: ar e gura 8: ar e 5
In parcolare, un aueno dnuzone del perodo d gesone, proocherà un aueno dnuzone d ale rscho al le ale rscho derge per che ende ad nfno s eda la gura 7. effeo d arazon de ass d neresse sulla aranza dpende dal lello nzale del asso sesso: nfa la aranza del passo ende ad auenare se ass d neresse auenano a fno ad un alore asso, olre ale puno sazonaro un aueno de ass d neresse s raduce n una dnuzone della aranza s eda la gura 8. gura 9: ar e oner a aranza rsula crescene n odo asnoco all auenare degl oner annu che l ondo dee pagare s eda la gura 9. Consderao ass d neresse -;. 6
3. I RISCHI DI U D PESIE: U CAS PRATIC Consderao un ondo Pensone Preessene PP. Per l anals sola s sono esana da rela al blanco ecnco del PP alla daa del 3//; n parcolare da della Sezone I d deo ondo, a presazone defna, rela agl scr a e pensona presen alla daa del 7/4/93. Il perodo d gesone consderao s esende fno al 77, anno n cu la colleà non è ancora esaura, a ha una conssenza assa rdoa. A fn del nosro laoro e copablene con da a dsposzone, consderereo un perodo d gesone pù bree: dal 3// epoca al 3//3. Gl pegn fuur copless del ondo Pensone a ale daa rsera aeaca coplessa, aonano a 5.84.888.957,, così rpar: - rsera prospea per pensona: 3.99.73.568, ; - rsera prospea per gl a:.365.75.389,. a aluazone della rsera aeaca è effeuaa secondo l rege ecnco-fnanzaro della capalzzazone coplea a gruppo chuso: s consdera nfa, n relazone all auale coposzone della colleà scra alla Sezone I d deo ondo, la presone d u fuur conrbu fno alla cessazone dal serzo dell ulo scro e d u gl oner fuur fno al decesso dell ulo benefcaro. Descrao ora le poes pegae per l calcolo d al oner. Ipoes deografche: a colleà scra alla Sezone I del ondo n daa 3//, s copone d.696 a e 9.48 pensona; l eoluzone nel epo della popolazone del ondo è saa effeuaa araerso l eodo MAGIS Meodo degl ann d gesone su base ndduale e per soreggo. e aole d sopraenza ulzzae sono sae defne sulla base delle seguen rduzon : - oralà degl a e de pensona d ecchaa/anzanà: ass ISTAT 98 per eà e sesso della popolazone alana, dappra rdo del 5% sno all eà d 7 ann S raa d quelle fore pensonsche copleenar, sue anecedeneene all enraa n gore del D.gs.4/9. ar.8 coa, del D.gs n.4/93 preede che al fore pensonsche, debbano adeguars enro dec ann, a parre dalla daa d enraa n gore del D.gs. 4/93, alle dsposzon auae del arcolo 6 d deo decreo n aera d rege delle presazon e de odell d gesonal adoa, secondo le nore specfcaaene eanae dal Mnsero dell Econoa. S eda Toase A. ezon d ecnca auarale delle asscurazon socal, 996 Ed. Vesch, Vol I.. 7
e d alquoe lnearene decrescen per le eà 7-9 ann, po proea aggorando d,5 ann la speranza d a a 35 ann; - oralà degl nald: ass ISTAT 98 aggora del 5% e po proea coe sopra; - cessazone dal serzo per naldà: ass d oralà ISTAT 98 rdo al 3%; - cessazone dal serzo per cause derse dalla ore e dall naldà: ass desun dalle sasche del ondo relae al renno / Ipoes econoche: - asso annuo d nflazone cosane %; - asso annuo d rendeno neo pozzao per fuur esercz 4,75%. Per calcolare la duraon della passà del ondo, defnao nnanzuo l alore della passà coplessa del ondo, ~. a passà coplessa è daa dalla soa delle rsere gà accuulae e degl oner fuur del ondo nddua dalla rsera aeaca coplessa V. All epoca 3// dal blanco ecnco s ha: V 3 / / 5.84.888.957, Dall anals de blanc del ondo rela agl esercz 998, 999,,, e rsula che l aonare delle rsere gà accuulae fno all epoca 3//, aona ad 7.3.89,. Pù n parcolare al rsere sono sae capalzzae sulla base della seguene sruura de renden del parono del ondo: 998 4,94% 999 5,4%,94% 4,7%,3% In base alla [5] la passà coplessa del fondo ~ 3 / /, rsula essere par a 5.557.89.46,. 8
a duraon; n base alla [6] è: D A P A C,9537 a duraon assue n genere un alore nore d uno e rsula del caso esanao conferano quesa conclusone; queso dera dal fao che enre al denonaore abbao la passà coplessa oenua coe soa delle rsere gà accuulae e delle passà fuure, l nueraore è cosuo solo dagl oner fuur. a duraon d secondo ordne; n base alla [3] essa rsula par a: D A P A C 4,638547 dunque la aranza del PP esanao n base alla [5] è: σ D D 3,6994536. Da rsula oenu s può afferare che la aranza della passà coplessa rsula essere puoso bassa; cò equale ad afferare che la arablà ne pagaen fuur del ondo Pensone sa puoso odesa. Procedao ora ad ndduare quale sa l effeo prodoo sulle grandezze ndduae, da una arazone ne ass d neresse. I rsula oenu sono rappresena n Tabella : 9
: 4,75% 4,5% 5% D,95,957,9493 D 4,639 4,666 4,5453 Tabella σ 3,6995 3,754 3,644 I rsula raggun c consenono d afferare che una rduzone de ass d neresse produce un aueno del alore delle passà del ondo e dunque un aueno ano d D che d D ; queso s raduce n un aueno del rscho della arablà de fuur pagaen e dunque della aranza. Al conraro un aueno de ass produrrà una rduzone del alore delle passà e qund s aranno alor pù bass ano per D che per D accopagna da un pù basso rscho d arazon della arable pagaen fuur che sarà ndduao da una aranza pù conenua. 4 CCUSII In ale laoro s propone l ulzzo della duraon d Macauley, consderaa srueno d surazone del rscho, nell abo de ond Pensone allo scopo d defnre una sura della rschosà delle passà dello sesso. S è n pro luogo proeduo a odfcare opporunaene la radzonale forula d Macauley per ener cono dell aleaoreà pca de cash flows d un ondo Pensone caraerzza da un ncerezza relaa sa al erfcars d een aleaor conness alla duraa d a degl nddu aderen allo sesso, sa all epoca n cu ques een s erfcano. Cò che s è deernao è perano una duraon d po socasco che enga cono d ale aspeo coè una duraon n cu la caraersca fondaenale non è l aleaoreà de ass d neresse bensì de cash flows oero de
pagaen che l ondo sarà chaao ad effeuare nel corso del perodo d gesone consderao. ella defnzone d ale espressone s è douo perenre al calcolo della arable aleaora passà coplessa per l nero ondo oenua coe soa delle rsere gà accuulae dal ondo fno ad una generca epoca e de pagaen fuur che lo sesso dorà effeuare da ale epoca fno alla fne del perodo d gesone consderao, rappresena dalla rsera aeaca coplessa. Alla luce d quano deo, abbao defno la duraon socasca così ndduaa, coe la arazone aesa nel alore auale de fuur pagaen a seguo d arazone de ass d neresse, espressa coe percenuale de pagaen aes. Cò che s è edenzao è che la duraon rsula essere una funzone crescene della duraa del perodo d gesone, enre rsulerà essere decrescene rspeo a ass d neresse; n parcolare un aueno dnuzone de ass d neresse genera una dnuzone aueno del alore aeso della.a. passà coplessa del ondo che s raduce n una dnuzone aueno della duraon sessa. S è proeduo nolre ad ndduare l coporaeno d ale grandezza rspeo a arazon degl oner aleaor annu che l ondo sarà chaao a pagare. Successaene s è calcolaa la aranza della arable aleaora passà coplessa dell nero ondo sfruando la defnzone d duraon quale ndcaore d dspersone de fluss consdera rspeo all epoca d rfereno. Pù n parcolare abbao proeduo ad ndduare quale sa l coporaeno d ale rscho al arare de ass d neresse edenzando coe n generale una rduzone de ass prooch un aueno d ale rscho perché auena la arablà de fuur pagaen per l ondo enre, al conraro, un aueno degl sess agrà n senso opposo. Essendo po, l obeo dell asse lably anageen del ondo l unzzazone de surplus sulla base del perfeo achng ra la duraon delle aà e quella delle passà, ale aranza dorebbe rsulare n genere puoso conenua.
APPEDICE Andaeno d D al arare d duraa del perodo d gesone Defnao la duraon per la passà coplessa del ondo Pensone all epoca -. Essa è par a: [ ] [ ] D [] con K C a duraon all epoca sarà: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] D [] Affnché la duraon della passà coplessa del ondo rsul crescene all auenare della duraa del perodo d gesone, dorà erfcars che D > D -. Per la [] s arà che: > [3] allora D > D - [4] se e solo se >D - [5] Dao che l le superore della duraon è, la condzone espressa dalla [4] sarà sepre erfcaa.
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