6 Le polizze rivalutabili

6 Le polizze rivaluabili 6.1 Inroduzione Le polizze via rivaluabili sono sae inrodoe nel mercao ialiano negli anni di ala inflazione e oggi ui i conrai dei rami via proposi dalla compagnie ialiane, con l eccezione delle polizze TCM, sono rivaluabili. Le polizze rivaluabili prevedono la rivaluazione annuale delle presazioni e, a vole, anche dei premi in base al rendimeno di un fondo gesio dall assicuraore separaamene dal reso delle sue aivià e dove sono invesie le riserve delle polizze. Per queso moivo il fondo è chiamao gesione separaa Le gesioni separae delle compagnie ialiane sono compose da aivi prevalenemene obbligazionari con poco rischio di credio (vincolo normaivo). Gli aivi vengono conabilizzai al coso sorico (e non al valore di mercao) e il rendimeno di gesione è calcolao in senso conabile: è il rapporo ra i reddii incassai nel periodo di riferimeno (cedole, plus/minusvalenze realizzae,... ) e la consisenza media nello sesso periodo. Il meccanismo di rivaluazione è specifico della ipologia di polizza. È conceualmene analogo ad una indicizzazione ma con minimo garanio, come vedremo meglio nell analisi di deaglio. È basao sull idea di rerocedere algli assicurai una pare dell evenuale uile finanziario che, come abbiamo viso, sussise nell evenualià che il rendimeno di gesione risuli maggiore del asso ecnico. Anche prima dell avveno delle polizze rivaluabili erano previse, soprauo nelle compagnie di assicurazione di ipo muualisico, forme di parecipazione agli uili da pare degli assicurai, spesso con modalià fissae in modo discrezionale dall assicuraore. Nelle polizze rivaluabili, invece, la parecipazione agli uili finanziari è conraualizzaa in modo preciso e impegnaivo nella regola conrauale di rivaluazione. 6.2 La formalizzazione della regola di rivaluazione In queso paragrafo formalizzeremo la regola di rivaluazione come è applicaa nella praica assciruraiva ialiana. Si consideri fissaa una polizza generica, con asso ecnico i ed eà alla sipula dell assicurao x, le cui riserve siano invesie in una gesione separaa. Si indicherà con I il rendimeno di gesione nell anno [ 1, ]. 6.2.1 Uile rerocesso e uile raenuo Alla ricorrenza anniversaria, la riserva maemaica della polizza, usando l equazione di Foure, può essere scria nella forma V x = 1 p x+ 1 [ 1V + x C m q x+ 1 v C vp p x+ 1 v ] (), (193) che la esprime ricorsivamene come monane al asso ecnico della riserva di bilancio di inizio anno, diminuia del valore delle presazioni di fine anno (caso more e caso via posicipaa), appena pagae. Il faore i + 1 esprime la capializzazione della riserva per l anno [ 1, ] secondo la base ecnica finanziaria del I ordine. Tuavia, nella realà, gli aivi a coperura sono capializzai al rendimeno di gesione I. Dunque, a fine anno, dopo avere pagao le presazioni, la disponibilià finanziaria il valore degli aivi sarà D = 1 p x+ 1 [ 1V + x C m q x+ 1 v C vp p x+ 1 v ] (1 + I ). (194) c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 39

Confronando la (193) con la (194) si oiene che e quindi che La differenza V x = D 1 + I ( 1 + I D = V x = V x 1 + I ) i = D V x = V x I i. (195) (196) è il surplus (in senso algebrico) di valore degli aivi rispeo alla riserva che l assicuraore deve coprire. Il segno di è quello della differenza I i: il surplus è posiivo se il rendimeno degli aivi ha bauo il asso ecnico, negaivo se hanno reso meno del asso ecnico. Si raa perano di un uile (in senso algebrico) di ipo finanziario. Osservazione 6.2.1. Il surplus (196) è una misura dell uile finanziario leggermene diversa dalla componene finanziaria della scomposizione di Homans dall uile visa nel paragrafo 5.3. La differenza è pricipalmene dovua al fao che la (196) esprime l uile cero in di una polizza in essere al empo ; l uile finanziario in nel senso della scomposizione di Homans è oenuo invece per un conrao in essere al empo 1 ed è aleaorio (come nella (174)) o aeso (come nella (177)). Si assuma che l assicuraore voglia rerocedere all assicurao una pare del surplus (196), in modo da far parecipare l assicurao all uile. Poiché il surplus deriva dal rendimeno di gesione I, l idea è di fissare conraualmene un aliquoa di rerocessione (aliquoa di parecipazione) β (0, 1] e di riparire il rendimeno degli aivi in base a ques aliquoa: I = βi + (1 β)i. La componene βi è il rendimeno rerocesso all assicurao, (1 β)i è il rendimeno raenuo. La scomposizione del rendimeno induce una scomposizione del surplus: l uile rerocesso rer si oiene calcolando la (196) per il solo rendimeno rerocesso, ciò che rimane del surplus è l uile raenuo dall assicuraore ra. In formule rer ra = V x βi i = rer, (197) = V x (1 β)i. (198) Ques idea non può essere (e nella praica non viene) applicaa in queso modo. Infai, se I < i/β, l uile da rerocedere sarebbe negaivo, con problemi di ipo giuridico e anche commerciale. Per queso moivo viene aggiuna la condizione che l assicurao parecipi sì all uile, ma non al disuile, che viene auaa aggiugendo il vincolo che il risulao della (197) sia non negaivo. Le formule divenano quindi rer ra ( βi i = max V x = rer. ), 0, Inroducendo il asso di rivaluazione ( ) βi i ρ = max, 0 = max (βi, i) i = 1 + max (βi, i) 1 (199) c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 40

e ricordando che la riserva V x è non negaiva, si oiene che rer = V x ρ, (200) cioè che l uile da rerocedere è l ineresse al asso ρ della riserva maemaica al empo. L ulima uguaglianza della (199) mosra che 1 + ρ = [1 + max (βi, i)]/(). Il faore 1/() è presene perché il asso ρ, in base al quale viene calcolao l uile da rerocedere per l anno [ 1, ], viene applicao alla riserva di fine anno e non a quella di inizio anno. A meno di quel faore, il asso di rivaluazione è il maggiore fra il rendimeno aribuio e il asso ecnico. L uile raenuo ra si può invece esprimere nella forma = rer ( ) I i = V x ρ ra = V x I max(βi, i) oppure, ricordando le proprieà degli operaori max e min 18, nella forma ra (201) min[(1 β)i, I i] = V x. (202) Quindi, sempre a meno del faore 1/(), l assicuraore si iene (in senso algebrico) il minore fra il rendimeno raenuo e lo spread fra il rendimeno I e il asso ecnico. Nella figura 2 sono mosrae alcune delle grandezze coinvole nella cosruzione dell uile rerocesso e raenuo, in funzione del rendimeno I. In riferimeno a quella figura, è immediao osservare che: Se I < i l assicuraore non è riuscio a rivaluare gli aivi in maniera sufficiene e il surplus è negaivo: I i = V x < 0. Poiché β > 0, si ha che βi i < I i < 0 e quindi il asso di rivaluazione è nullo ( ) βi i ρ = max, 0 = 0, l uile rerocesso è nullo rer = V x ρ = 0 e l uile raenuo è negaivo, coincide con il surplus ed è, in valore assoluo, l enià dell inegrazione che l assicuraore deve operare per coprire la riserva in : ra 18 Gli operaori max e min godono delle proprieà: = = V x I i < 0. max( a, b) = min(a, b), per ogni coppia di numeri reali a e b; min( a, b) = max(a, b), per ogni coppia di numeri reali a e b; max(a, b) + c = max(a + c, b + c), per ogni erna di numeri reali a, b e c; min(a, b) + c = min(a + c, b + c), per ogni erna di numeri reali a, b e c; c max(a, b) = max(c a, c b), per ogni erna di numeri reali a, b e c, con c 0; c min(a, b) = min(c a, c b), per ogni erna di numeri reali a, b e c, con c 0. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 41

I max(βi, i) I i i 1 β β i min[(1 β)i, I i] (1 β)i 0 i i/β I βi I Figura 2: Grandezze coinvole nella cosruzione dell uile rerocesso e raenuo Se i I < I/β la siuazione è migliore ma non rosea. Il surplus è infai non negaivo e gli aivi sono quindi sufficieni a coprire la riserva. Il rendimeno di gesione ha bauo il asso ecnico, ma di poco : essendo I < i/β si ha che βi < i. Quindi il asso di rivaluazione è nullo, non vi è uile rerocesso e, poiché 0 min[(1 β)i, I i] = I i < (1 β)i l uile raenuo è non negaivo ma minore di quello che si oerrebbe poendo uilizzare il rendimeno raenuo (1 β)i. Se infine I i/β, il surplus è posiivo, il asso di rivaluazione è ( ) βi i ρ = max, 0 = βi i 0 e il asso che deermina l uile raenuo è min[(1 β)i, I i] = (1 β)i 1 β β i 0. Esempio 6.2.1. Si consideri una polizza con i = 4% e β = 80%. Il asso ecnico è al livello ipicamene praicao fino alla fine degli anni 90, menre l aliquoa di rerocessione è uora sandard per polizze rivaluabili a premio annuo. I livelli criici del rendimeno di gesione sono quindi I = i = 4% e I = i/β = 5%. L analisi dei re casi precedeni fornisce: Se l assicuraore non riesce a rivaluare gli aivi di almeno il 4%, la siuazione è pessima: non solo non può rerocedere uile, ma deve coprire con capiale proprio il disuile che si crea per l insufficienza di rendimeno degli aivi. Se 4% I < 5% la siuazione è migliore ma non oimale. Non si è creao disuile, ma l uile generao è scarso: non è sufficiene a rerocederne una pare all assicurao e l uile raenuo è meno del prevenivao 20% del rendimeno di gesione. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 42

Il caso I 5% è quello ideale: l assicuraore può raenere esaamene il 20% del rendimeno e, se I > 5%, rimane anche qualcosa da rerocedere all assicurao. Esempio 6.2.2. Le condizioni conrauali ipiche delle polizze rivaluabili a premio annuo commercializzae alla fine del 2005 prevedono i = 1.5% e β = 85%. I livelli criici del rendimeno di gesione sono quindi I = i = 1.5% e I = i/β 1.76%. Osservazione 6.2.2. Il caso limie β = 0 corrisponde al caso di polizza non rivaluabile: essendo βi i = i < 0, il asso di rivaluazione è ρ = 0 e l inero surplus è raenuo dall assicuraore. All alro esremo si ha il caso β = 1, dove vi è rerocessione inegrale dell uile, se posiivo. In queso caso, infai, se I i/β = i risula rer risula rer = 0 e = ra < 0. = 0 e ra = 0, menre se I < i Una vola ripario il surplus, vi possono essere varie forme di auazione della rerocessione. Nei paragrafi che seguono verranno analizzae le più diffuse: rerocessione soo forma di cedola, come incremeno (rivaluazione) delle presazioni, come rivaluazione sia delle presazioni che dei premi. Nella carella Excel lab6.xls sono proposi esempi numerici di calcolo del surplus e della sua scomposizione in uile rerocesso e raenuo. 6.2.2 Rerocessione soo forma di cedole Il conrao può sabilire che l uile rerocesso venga liquidao all assicurao al empo. Queso caso è presene nella praica assicuraiva ialiana solo in alcune polizze commercializzae nei canali bancassicuraivi, con lo scopo di fare compeere il prodoo con prodoi finanziari che prevedono cedole. Esempio 6.2.3. Si consideri una polizza misa a premio unico, con duraa n anni, capiale assicurao C, asso ecnico i = 0, rerocessione dell uile soo forma di cedole annuali con aliquoa di rerocessione β = 90%. In quesa ipologia conrauale, diffussa nella praica bancassicuraiva, la riserva maemaica coincide in ogni isane con il capiale assicurao C (cfr. l osservazione 3.2.3): V x = C ( n E x+ + n A x+ ) = C. Fissao il rendimeno di gesione I, il asso di rivaluazione è ρ = max(βi, 0) e l uile rerocesso, la cedola annuale, è quindi rer = V x ρ = C max(βi, 0). La polizza è facilmene confronabile con un obbligazione di nominale C, con cedole annuali indicizzae al 90% del rendimeno di gesione. 6.2.3 Rerocessione soo forma di rivaluazione delle presazioni Nei casi più frequeni l uile rerocesso non viene liquidao all assicurao al empo, ma viene rasformao in un incremeno (rivaluazione) delle presazioni della polizza. Il procedimeno è quello di usare l uile da rerocedere per acquisare per cono dell assicurao una polizza (aggiuniva) dello sesso ipo e con la sessa scadenza di quella originale (polizza base) ma a premio unico. In queso modo alle presazioni della polizza base vengono sommae quelle c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 43

previse dalla polizza aggiuniva e si prosegue come se la polizza fosse saa originariamene sipulaa per le presazioni risulani. Quesa procedura viene auaa ad ogni ricorrenza anniversaria e le presazioni conrauali vengono quindi incremenae di anno in anno. La polizza aggiuniva che l assicuraore vende ogni anno ha un coso uguale all uile da rerocedere per quell anno e può essere a premio unico puro o a premio unico di invenario. Nel primo caso l assicuraore non applica caricameni alla polizza aggiuniva: il relaivo premio unico puro coincide con il premio unico di ariffa ed enrambi sono uguali all uile rerocesso. Nel secondo caso, invece, l assicuraore applica un caricameno e quindi il premio unico puro è minore del premio unico di ariffa, che coincide con l uile rerocesso. La erminologia premio unico di invenario, che significa premio unico gravao della sola componene di caricameno per spese di gesione, allude alla scomposizione radizionale del caricameno: poiché non vi sono spese di acquisizione (il cliene è già acquisio) né di incasso (si raa di un incasso viruale ) l unico caricameno da applicare è quello per spese di gesione. 19 Poiché il premio unico puro della polizza aggiuniva coincide con la riserva presazioni della sessa, nella rivaluazione a premio unico puro, per effeo della rivaluazione, la riserva della polizza cresce esaamene dell uile rerocesso: indicando con V x la riserva maemaica in, calcolaa sulla base delle presazioni non ancora rivaluae, e con Vx riv la riserva calcolaa con le presazioni rivaluae, risula V riv x = V x + rer. (203) Nella rivaluazione a premio unico di invenario, invece, nel membro sinisro della formula precedene occorre sorarre il caricameno G applicao: V riv x = V x + rer G. (204) La descrizione appena esposa della regola di rivaluazione delle presazioni appare macchinosa e complicaa da illusrare al cliene; può uavia essere radoa in regole di rivaluazione delle presazioni. Anzi, normalmene, nei conrai non si parla di uile rerocesso, né di rivaluazione a premio unico puro, ma si descrive la regola annuale di rivaluazione delle presazioni in modo ricorrene, a parire dal livello raggiuno l anno prima e dal asso di rivaluazione per l anno in quesione. Esempio 6.2.4. Un esempio ipico di formalizzazione conrauale della regola di rivaluazione per una polizza di capiale differio a premio unico con β = 85% e i = 1.5% è: Il capiale assicurao viene rivaluao ad ogni ricorrenza anniversaria. La misura annua della rivaluazione è l 85% del rendimeno cerificao della gesione separaa, diminuio di 1.5%, diviso per 1.015. La misura annua di rivaluazione non può risulare negaiva. Come si vedrà nell esempio 6.2.5, è la rascrizione a parole della regola ricorrene di rivaluazione del capiale assicurao nel caso di rivaluazione a premio unico puro. La raduzione della regola di rivaluazione, che sia a premio unico puro o di invenario, in regola di rivaluazione delle presazioni dipende dalla ipologia del conrao. Si raa di imporre la condizione (203) o (204) e ricavare le presazioni rivaluae a parire da quelle non rivaluae. Esempio 6.2.5. Si consideri una polizza di capiale differio a premio unico, sipulaa da un assicurao di eà x per la duraa di n anni. Si assuma che sia conraualmene sabilia la 19 Nella modalià di rivaluazione a premio unico puro il conrao dovrebbe progeao in modo che le spese di gesione delle polizze aggiunive siano copere dai caricameni della polizza base. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 44

rivaluazione annuale del capiale assicurao a premio unico puro. Sia C 1 il capiale assicurao come rivaluao fino alla ricorrenza anniversaria 1. Se si indica con C agg k l incremeno di presazione aggiuno alla ricorrenza anniversaria k-esima, risula nauralmene che 1 C = C 0 + k=1 C agg k, essendo C 0 il capiale inizialmene assicurao. Al empo, subio prima della rivaluazione, la riserva maemaica della polizza è xv = C 1 n E x+. Sia ρ il asso di rivaluazione per l anno [ 1, ]; l uile da rerocedere alla polizza è rer = x V ρ = C 1 n E x+ ρ. Il asso di premio unico puro della polizza aggiuniva n u x+, cioè il premio unico puro per unià di capiale assicurao della polizza di capiale differio per n anni è n u x+ = n E x+. Si osservi che il asso di premio unico puro coincide con il asso di riserva presazioni: in enrambi i casi è il valore auale auariale, secondo la base ecnica del I ordine, delle presazioni residue della polizza. Il capiale assicurao della polizza aggiuniva, cioè il capiale aggiunivo C agg, si deermina imponendo la condizione che il premio della polizza aggiuniva sia uguale all uile da rerocedere: da cui si oiene che C agg = rer = n u x+ C agg n u x+ = rer, x V n u x+ ρ = C 1 n u x+ n u x+ ρ = C 1 ρ. La riserva della polizza aggiuniva è uguale al premio unico puro e quindi V agg x = rer. L effeo della rivaluazione è quello di incremenare il capiale assicurao secondo la regola La riserva della polizza dopo la rivaluazione è C = C 1 + C agg = C 1 (1 + ρ ). (205) V riv x = V x + V agg x = V x + rer e la rivaluazione rasforma quindi l uile rerocesso in incremeno di riserva della polizza. Osservazione 6.2.3. La regola di rivaluaazione del capiale assicurao visa nell esempio 6.2.5 è di ipo ricorrene C = C 1 (1 + ρ ) e si chiama regola di rivaluazione piena. Indicando con C 0 il livello iniziale del capiale assicurao, sabilio conraualmene alla sipula, la regola di rivaluazione piena ammee la soluzione in forma chiusa C = C 0 (1 + ρ ). k=1 c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 45

Esempio 6.2.6. Si consideri il caso dell esempio 6.2.5, ma con regola conrauale di rivaluazione a premio unico di invenario. Sia n g x+ il asso di caricameno per spese di gesione (per unià di premio di ariffa, come usuale per i assi di caricameno) del premio unico della polizza aggiuniva che realizza la rivaluazione alla ricorrenza anniversaria. Si noi che, in linea di principio, il asso di caricameno può dipendere da per ramie dell eà raggiuna x + e della duraa residua n, che è la duraa della polizza aggiuniva. Il asso di premio unico di invenario (per unià di capiale aggiunivo) è allora n x+ = n u x+ = n E x+. 1 n g x+ 1 n g x+ Ripeendo il ragionameno dell esempio 6.2.5, parendo dalla condizione che il premio di ariffa della polizza aggiuniva sia uguale all uile raenuo: si oiene che C agg = rer V agg x V riv x C agg n x+ = rer, n x+ = C 1 (1 n g x+ ) ρ, = C agg n u x+ = rer n u x+ n x+ = rer (1 n g x+ ), C = C 1 + C agg = C 1 [1 + (1 n g x+ ) ρ ], = V x + V agg x = V x + rer rer n g x+. Quindi, rispeo al caso di rivaluazione a premio puro, essendo n g x+ > 0 e quindi (1 n g x+ ) ρ ρ, e la rivaluazione del capiale assicurao è meno che piena, perché frenaa dal asso di caricameno. Equivalenemene, non uo l uile da rerocedere viene rasformao in incremeno di riserva della polizza perché viene applicao il caricameno G = rer n g x+. Esempio 6.2.7. In una polizza misa a premio unico la siuazione è formalmene analoga a quella della capiale differio, sia nel caso di rivaluazione a premio unico puro che in quello di rivaluazione a premio unico di invenario. L unica cosa che cambia è l espressione del asso di premio unico puro della polizza aggiuniva, che coincide con il asso di riserva presazioni e che nel caso della misa è n u x+ = n E x+ + n A x+. Ripeendo il calcolo, infai, si oengono le sesse espressioni già oenue per la capiale differio perché, come in quel caso, il asso di premio unico puro si semplifica. Esempio 6.2.8. Si consideri una polizza di capiale differio a premio annuo cosane, con rivaluazione del capiale assicurao a premio unico puro. Sia n la duraa conrauale, C 0 il capiale assicurao iniziale, definio alla sipula del conrao, C 1 il capiale assicurao come rivaluao fino alla ricorrenza anniversaria 1, P il premio annuo puro e x l eà dell assicurao alla sipula del conrao. Nauralmene si ha P = C 0 ne x nä x = C 0 nu x nä x, (206) dove n u x è il asso di premio unico puro, che coincide con il asso di riserva presazioni ed è lo sesso della versione a premio unico del conrao, raaa nell esempio 6.2.5. Al empo, subio prima della rivaluazione, la riserva maemaica della polizza è V x = C 1 n E x+ P n ä x+ = C 1 n u x+ P n ä x+. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 46

Fissao il asso di rivaluazione ρ, e quindi l uile da rerocedere rer = V x ρ, il capiale aggiunivo è dao da C agg = rer = C 1 n u x+ P n ä x+ n u x+ n u x+ ρ = C 1 ρ P n ä x+ n u x+ ρ. Rispeo alla versione a premio unico si oiene quindi un ermine correivo a sorarre. Ricordando la (206), il ermine correivo può essere scrio nella forma e quindi P n ä x+ n u x+ ρ = C 0 nu x n ä x+ n u x+ n ä x ρ C agg = C 1 ρ C 0 nu x n ä x+ n u x+ n ä x ρ. Essendo la regola di rivaluazione a premio unico puro, la riserva maemaica della polizza aggiuniva coincide con l uile rerocesso e quindi la riserva maemaica complessiva cresce esaamene dell uile rerocesso. La regola di rivaluazione del capiale assicurao è C = C 1 + C agg = C 1 (1 + ρ ) C 0 nu x n ä x+ n u x+ n ä x ρ. Osservazione 6.2.4. Si può dimosrare che, nei casi di rilevanza praica, il coefficiene auariale del ermine correivo che compare nella regola di rivaluazione a premio unico puro della polizza di capiale differio a premio annuo dell esempio 6.2.8 può essere approssimao efficacemene con nu x n ä x+ = n E x n ä x+ n. (207) n u x+ n ä x n E x+ n ä x n Acceando quesa approssimazione la regola di rivaluazione del capiale assicurao divena C = C 1 (1 + ρ ) C 0 n n ρ. (208) Se ne può oenere un inerpreazione significaiva riscrivendola nella forma C agg = C C 1 = (C 1 C 0 )ρ + n C 0 ρ, che mosra come il capiale aggiunivo derivane dalla rivaluazione al empo sia la somma di due componeni: l ineresse al asso ρ sulla rivaluazione inervenua dalla daa di sipula fino alla ricorrenza anniversaria precedene, cioè sui capiali aggiunivi corrisposi in anni precedeni; l ineresse al asso ρ sulla frazione del capiale inizialmene assicurao che corrisponde ai premi versai fino alla daa correne, rapporai agli n conraualmene previsi. L inerpreazione è la seguene: la presazione è saa pagaa per /n e quindi il capiale aggiunivo (che è un ineresse) viene calcolao sui /n del capiale inizialmene assicurao, cui si aggiunge l ineresse composo, cioè la rivaluazione delle rivaluazioni concesse in anni precedeni, che spea per inero. Si noi che la (208), che va soo il nome di regola degli ennesimi ed è naa come un approssimazione della regola meodologicamene correa, è ormai acceaa anche a livello conrauale. È infai più rasparene e semplice da spiegare alla clienela e meno complessa da gesire per l assicuraore. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 47

Osservazione 6.2.5. La regola di rivaluazione della presazione per l ulimo anno della polizza dell esempio 6.2.8 è C n = C n 1 (1 + ρ n ) C 0 nu x 0 ä x+n 0u x+n n ä x ρ n. Poiché 0 ä x+n = 0, il ermine correivo si annulla e si ha C n = C n 1 (1 + ρ n ), cioè nell ulimo anno di polizza la rivaluazione è piena. Lo sesso accade anche per l approssimazione agli ennesimi, essendo C n = C n 1 (1 + ρ n ) C 0 n n n ρ n = C n 1 (1 + ρ n ), corenemene con l inerpreazione del ermine correivo faa nell osservazione 6.2.4: al empo n ui i premi conraualmene previsi sono sai pagai. Esempio 6.2.9. In riferimeno all esempio 6.2.8, se la presazione previsa è di ipo miso anziché di capiale differio, il risulao che si oiene è formalmene analogo. L unica differenza è nell espresione del asso di premio unico puro (che è ovviamene la sessa della misa a premio unico). Anche in queso caso la regola di rivaluazione può essere efficacemene approssimaa con la regola degli ennesimi. Esempio 6.2.10. In una polizza di capiale differio o misa a premio annuo cosane, con rivaluazione delle presazioni a premio unico di invenario, si può ripeere il procedimeno dell esempio 6.2.8, adaandolo alla presenza del asso di caricameno non nullo n g x+. L espressione che si oiene è C = C 1 [1 + (1 n g x+ ) ρ ] C 0 nu x n ä x+ n u x+ n ä x (1 n g x+ ) ρ, dove nauralmene il asso di premio unico puro n u x+ è quello della polizza specifica (misa o capiale differio). Come nel caso delle polizze corrispondeni a premio unico, la rivaluazione è minore di quella del caso a premio unico puro, per la presenza del ermine (1 n g x+ ) < 1. Esempio 6.2.11. Nel caso di una polizza di rendia vializia, immediaa o differia, emporanea o meno, anicipaa o posicipaa, i risulai che si oengono sono analoghi a quelli della polizza di capiale differio. L analogia dipende dal fao che nella polizza di capiale differio la riserva presazioni e il premio unico puro sono proporzionali al capiale assicurao, menre nella polizza di rendia la proporzionalià è rispeo alla raa della rendia assicuraa. Nella carella Excel lab6.xls sono proposi esempi numerici di rasformazione dell uile rerocesso in rivaluazione delle presazioni. 6.2.4 Rerocessione soo forma di rivaluazione di premi e presazioni Come viso nell analisi delle regole di rivaluazione delle polizze a premio annuo, la rivaluazione delle presazioni è frenaa, rispeo alla rivaluazione piena, dal fao che non ui i premi sono sai pagai. Non è infai possibile rivaluare le presazioni in modo pieno perché si romperebbe l equilibrio della polizza: per finanziare l incremeno di riserva sarebbe necessario un imporo maggiore dell uile da rerocedere. Una soluzione per ovviare a queso problema è di rivaluare anche il premio annuo che l assicurao corrisponde; la rivaluazione riguarda nauralmene solo i premi ancora da versare. Illusriamo queso procedimeno per il caso di una polizza misa a premio annuo rivaluabile. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 48

Esempio 6.2.12. In una polizza misa a premio annuo rivaluabile, con capiale assicurao rivaluabile, duraa n anni, eà dell assicurao alla sipula x, sia il capiale assicurao che il premio annuo rivaluano in modo pieno. Se i livelli iniziali del capiale assicurao e del premio annuo puro sono rispeivamene C 0 e P 0, la regola conrauale è In forma chiusa si oiene che C = C 0 C = C 1 (1 + ρ ), P = P 1 (1 + ρ ). (1 + ρ k ), P = P 0 (1 + ρ k ). k=1 La regola di rivaluazione è meodologicamene correa. Infai l uile da rerocedere al empo è = V x ρ = (C 1 n u x+ P 1 n ä x+ ) ρ rer e la riserva dopo la rivaluazione risula xv riv = C n u x+ P n ä x+ k=1 = C 1 (1 + ρ ) n u x+ P 1 (1 + ρ ) n ä x+ = (C 1 n u x+ P 1 n ä x+ ) (1 + ρ ) = V x (1 + ρ ) = V x + rer, che mosra come la rivaluazione piena del capiale assicurao e del premio corrisponda all aribuzione alla riserva della polizza dell uile da rerocedere. Nella carella Excel lab6.xls sono proposi esempi numerici di polizze con presazioni e premi rivaluabili. 6.3 Le opzioni implicie nella rivaluazione La condizione che l assicurao parecipi all uile ma non al disuile, che viene implemenaa aggiungendo nella (199) un floor a zero per il asso di rivaluazione, conferisce alla regola di rivaluazione una componene opzionale. Usando le proprieà dell operaore max, possiamo infai scomporre il asso di rivaluazione per l anno in due componeni: ρ = ρ base + ρ pu. (209) La prima, ρ base, è il asso di rivaluazione base; è il asso di rivaluazione privao del floor: ρ base = βi i. (210) La seconda, ρ pu, è la differenza ρ pu = ρ ρ base ( ) βi i = max, 0 βi ( ) i i βi = max, 0. (211) La scomposizione (209) è la scomposizione pu del asso di rivaluazione; lo esprime come somma della componene base con la componene pu, che è un opzione che proegge il minimo garanio nullo. La scomposizione pu mosra come la rivaluazione consisa nel rerocedere ρ base più un opzione pu che proegge l assicurao e scaa quando ρ base < 0, riporando il c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 49

asso di rivaluazione al livello minimo garanio ρ gar essere scria nella forma ρ pu ( = max ρ gar βi ) i, 0 = 0. La componene pu può anche che è in un cero senso ridondane (perchè ρ gar = 0), ma la rende più riconoscibile come opzione pu. Un alro modo ineressane di vedere il fenomeno è la scomposizione call del asso di rivaluazione: con ρ call = ρ ρ gar ρ = ρ gar, + ρ call, (212) ( ) βi i = max ρ gar, 0, (213) che mosra come il asso di rivaluazione possa essere viso come il suo livello minimo garanio più un opzione call che rerocede l evenuale sovrarivaluazione olre quella minima garania. Osservazione 6.3.1. Si noi che il asso di rivaluazione minimo garanio ρ gar = 0 corrisponde ad un minimo per il rendimeno di gesione di i. Come viso nel paragrafo 6.2.1, infai, l assicuraore si impegna conraualmene a rivaluare gli aivi di almeno il asso ecnico i, che rappresena quindi il rendimeno minimo garanio del conrao. Il livello i/β i è invece il livello del rendimeno di gesione, al di soo del quale l assicuraore non riesce a raenere la frazione 1 β del rendimeno; è quindi un obieivo di secondo livello per la gesione, essendo il asso ecnico quello di primo livello. Tralasciando il caso di rerocessione della rivaluazione soo forma di cedole, nei casi più frequeni la regola di rivaluazione delle presazioni è di ipo ricorrene. La componene opzionale della rivaluazione (pu o call, a seconda del puno di visa) si applica ai livelli delle presazioni risulai dalle rivaluazioni degli anni precedeni, nei quali le corrispondeni componeni opzionali porebbero essere a loro vola scaae. Le componeni opzionali della rivaluazione di ogni anno vanno quindi a comporsi con quelle degli anni precedeni; sono perano opzioni clique (o rache), nelle quali la rivaluazione di ogni anno consolida. In paricolare, non si possono compensare anni caivi, con rendimeno di gesione insufficiene, con anni buoni. Esempio 6.3.1. Si consideri il caso di una polizza con β = 80%, i = 4% e duraa n = 2 anni. Si consideri il caso di I 1 = 8% e I 2 = 3%. Come viso nell analisi dell esempio 6.2.1, nel primo anno il rendimeno di gesione è oimale: ( ) 80% 8% 4% ρ 1 = max, 0 = 2.4% 1 + 4% 1.04 2.31%. Dal puno di visa della scomposizione pu si ha perano ρ base 1 = ρ 1 2.31%, e ρ pu 1 = ρ 1 ρ base 1 = 0. La l opzione pu proeiva non scaa (non c è nulla da proeggere) e la componene base coincide con il asso di rivaluazione. Dal puno di visa della scomposizione call, risula ρ gar 1 = 0, e ρ call 1 = ρ 1 ρ gar 1 = ρ 1 2.31%. La componene call coincide con il asso di rivaluazione, che è uo sovrarivaluazione rispeo al minimo ρ gar 1 = 0. Nel secondo anno la siuazione è invece pessima: ( ) 80% 3% 4% ρ 2 = max, 0 = 0, 1 + 4% c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 50

l uile rerocesso è nullo e, essendo I 2 < i, l uile raenuo è negaivo: l assicuraore deve inegrare la riserva con il capiale proprio. Dal puno di visa della scomposizione pu si ha ρ base 80% 3% 4% 2 = = 1.6% 1.54%, e ρpu 2 = ρ 2 ρ base 2 = 1.6% 1 + 4% 1.04 1.04 1.54%. Senza proezione la rivaluazione sarebbe saa negaiva, ma la pu proeiva inegra la rivaluazione al livello minimo garanio. La scomposizione call risula ρ gar 2 = 0, e ρ call 2 = ρ 2 ρ gar 2 = ρ 2 = 0. Poiché I 2 è risulao insufficiene, non vi è sovrarivaluazione rispeo al minimo (anzi, c è soorivaluazione, compensaa però dalla pu proeiva). Si osservi che, in queso esempio, l assicuraore ha subio una perdia il secondo anno, nonosane il primo anno il rendimeno della gesione separaa sia risulao più che sufficiene. Avendo però rerocesso la sovrarivaluazione all assicurao, non ha pouo uilizzarla per compensare il defici del secondo anno. L esempio 6.3.1 mosra come le opzioni di minimo garanio implicie nel meccanismo di rivaluazione, rappresenino un rischio finanziario non rascurabile per l assicuraore. Nella praica, le compagnie ialiane soriche hanno ancora in essere mole polizze con rendimeni minimi garanii al 4% o più. Quese polizze sono sae vendue in anni in cui i rendimeni del mercao obbligazionario erano sufficienemene ali, ma pongono grossi problemi in queso periodo, in cui realizzare il 4% all anno con una gesione prevalenemene obbligazionaria è molo difficile, se non impossibile. Proprio per limiare il rischio finanziario delle opzioni implicie le compagnie ialiane sanno sempre più orienandosi alla commercializzione di polizze con rendimeno minimo a scadenza, dove il meccanismo di rivaluazione viene modificao in modo da consenire la compensazione, almeno parziale, fra anni buoni e anni caivi. L idea, che non svilupperemo in quesa sede, è quella di rimuovere il minimo dalla rivaluazione annuale, salvo poi effeuare un conrollo al momeno del pagameno della presazione, per inegrarla al minimo se necessario. Effeuando il conrollo solo a scadenza, sulla rivaluazione globale, e non anno per anno, si ha la possibilià di compensazione ra anni diversi. 6.4 La valuazione delle polizze rivaluabili 6.4.1 I faori di rivaluazione Si consideri una polizza generica, sipulaa al empo zero da un assicurao di eà x, con presazioni via e more rivaluabili e premi, evenualmene anch essi rivaluabili. Sia Y = Y v + Y m il veore delle presazioni, scompose in caso via e caso more, e X il veore dei premi. Senza appesanire roppo le noazioni, le presazioni via e more pagabili al empo possono essere scrie nella forma Y v Y m = Y v 0 Φ Y,v (0, ) 1 {Tx>}, = Y m 0 Φ Y,m (0, ) 1 { 1<Tx }, dove Y v 0 e Y m 0 sono i livelli iniziali delle presazioni via e more, rispeivamene, Φ Y,v (0, ) e Φ Y,m (0, ) i corrispondeni faori di rivaluazione. 20 I faori di rivaluazione sono il rapporo 20 In realà occorrerebbe uilizzare anziché Y v 0 e Y m 0 una noazione più pesane, a doppio indice, per espliciare la dipendenza da dei livelli iniziali. Presazioni pagabili a scadenza diverse possono infai avere livelli iniziali diversi, come accade per esempio in una polizza a premio annuo con conroassicurazione, dove il livello iniziale (non rivaluao) della presazione caso more al empo è Π, che dipende da. Si preferisce uavia non appesanire la noazione. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 51

fra il livello (aleaorio) della presazione che verrà effeivamene liquidaa nel caso si verifichi l eveno corrispondene e il livello iniziale della sessa, noo alla sipula del conrao. Analogamene il premio puro pagabile in può essere scrio nella forma X = X 0 Φ X (0, ) 1 {Tx>}, con X 0 il suo livello iniziale e Φ X (0, ) il faore di rivaluazione del premio fra zero e. Esempio 6.4.1. In una polizza di capiale differio di n anni a premio unico, con capiale assicurao iniziale C 0 che rivalua in modo pieno, la presazione caso more è sempre nulla; per n, anche la presazione caso via è nulla, menre si ha Per 0 il premio è nullo, menre Y v n = C 0 n k=1 (1 + ρ k ) 1 {Tx>n}. X 0 = U, essendo U il premio unico puro del conrao. Tralasciando i casi di presazione nulla, si ha quindi che e Y v 0 = C 0, n Φ Y,v (0, n) = (1 + ρ k ), k=1 X 0 = U, Φ X (0, 0) = 1. Esempio 6.4.2. In una polizza misa a premio annuo cosane P, con capiale assicurao iniziale C 0 che rivalua secondo la regola degli ennesimi, le presazioni caso more e caso via parono dallo sesso livello Y 0 = C 0 e rivaluano allo sesso modo. Possiamo alleggerire un po la noazione, omeendo l apice v o m nel livello iniziale e nel faore di rivaluazione, che coincidono nei due casi: Y m = Y 0 Φ Y (0, ) 1 { 1<Tx }, per ogni = 1, 2,..., n Y v n = Y 0 Φ Y (0, n) 1 {Tx>n}. Il faore di rivaluazione è Φ Y (0, ) = C C 0, essendo C calcolabile in modo ricorrene secondo la (208). Si verifica facilmene che anche Φ Y (0, ) può essere calcolao in modo ricorrene, come soluzione 21 di Φ Y (0, 0) = 1, Φ Y (0, ) = Φ Y (0, 1) (1 + ρ ) n n ρ (214), 21 Si può dimosrare (C. Pacai, Valuazione di porafogli di polizza via con rivaluazione agli ennesimi, Gruppo di ricerca su Modelli per la finanza maemaica, Working paper 38(aprile 2000)) che la soluzione in forma chiusa dell equazione ricorrene (214) è Φ Y (0, ) = 1 (1 + ρ k ) k=1 k=0 n + k n ρ k (1 + ρ j). j= k+1 c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 52

Per quano riguarda i premi, si ha X n = 0, menre per 0 < n risula X = P 1 {Tx>} e quindi si ha X 0 = P e Φ X (0, ) = 1 per ogni. Esempio 6.4.3. Se modifichiamo l esempio 6.4.2, prevedendo che premi e presazioni siano rivaluabili in modo pieno, ue le grandezza hanno lo sesso faore di rivaluazione piena che, omeendo gli apici, risula 6.4.2 La valuazione Φ(0, ) = (1 + ρ k ). k=1 Nelle basi ecniche del I ordine, l ipoesi finanziaria compora che il rendimeno di gesione sia noo, cosane e che coincida con il asso ecnico. Quindi, in una polizza rivaluabile, il asso di rivaluazione è sempre nullo: nell ipoesi del I ordine la rivaluazione non ha mai luogo. Per queso moivo nella ariffazione (calcolo del premio) e nella riservazione di una polizza rivaluabile secondo la logica auariale radizionale si ignora la regola di rivaluazione e si raa la polizza come se fosse non rivaluabile. Nauralmene l ipoesi che I = i per ogni è assoluamene irrealisica: se il asso ecnico è fissao in modo meodologicamene correo, cioè prudenzialmene basso, il rendimeno di gesione dovrebbe anzi risulare ipicamene maggiore del asso ecnico. Se ci fosse la cerezza che ciò accadrà in ogni anno, cioè che il rendimeno di gesione risuli sempre sufficiene, il meodo radizionale di calcolo sarebbe uo sommao legiimo: fornirebbe un approssimazione per eccesso e quindi prudenziale del valore degli impegni nei dell assicuraore nei confroni dell assicurao. Nell analisi delle regole di rivaluazione si è infai viso che se il surplus di rendimeno di gesione rispeo al asso ecnico è posiivo, il salo di riserva dovuo alla rivaluazione, cioè l uile rerocesso, si finanzia con pare del sovrarendimeno degli aivi. L ipoesi di rendimeno di gesione sempre sufficiene è uavia roppo oimisica, come ben sanno le compagnie ialiane che negli ulimi anni hanno viso crollare i rendimeni delle loro gesioni separae per effeo del crollo dei rendimeni obbligazionari (e nel segmeno azionario le cose sono andae anche peggio). Il calcolo della riserva radizionale, quindi, non solo non è deo che sovrasimi il valore neo degli impegni, ma anzi, rascurando la possibilià che l assicuraore debba fare ricorso al capiale proprio per inegrare le riserve, ne può soosimare il valore. Equivalenemene, assegna valore nullo all opzione pu proeiva, che è presene nel conrao e che ha invece valore posiivo. Come viso nella sezione 5.4, nella valuazione RAD si abbandonano le basi ecniche del I ordine e si usa il rendimeno aeso di gesione per ogni anno fuuro. La ecnica di valuazione RAD si esende in maniera ovvia al caso delle polizze rivaluabili: i faori di rivaluazione possono essere calcolai sosiuendo ai rendimeni di gesione aleaori le loro aspeaive. Anche la scomposizione dell uile secondo la formula di Homans si esende immediaamene al caso rivaluabile. Rimane uavia il puno debole della meodologia, cosiuio dalle scele dei rendimeno aesi di gesione e del asso RAD; quesa debolezza è ancora più grave quando si applica il meodo RAD in presenza di opzioni. Sosiuendo infai il rendimeno di gesione con la sua aspeaiva, si valua nell ipoesi che l opzione pu proeiva scai con cerezza (se il rendimeno aeso è insufficiene) o che non scai con cerezza (se il rendimeno aeso è sufficiene). Quindi il valore RAD dell opzione pu proeiva risula sovrasimao o, più spesso, soosimao. Queso fenomeno è ormai ben compreso nella praica e, nonsane il meodo RAD di calcolo del valore inrinseco sia uno sandard di mercao, gli analisi spesso chiedono di conoscere il valore delle opzioni implicie, calcolao con meodologia più robusa, per sorarlo dal valore inrinseco RAD. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 53

Per affronare il problema in modo meodologicamene più correo, si consideri la presazione rivaluabile Y = Y 0 Φ(0, ) 1 A, pagabile in nel caso si verifichi l eveno A (via dell assicurao in o sua more in ( 1, ]). Se si accea, come al solio, l indipendenza fra gli eveni legai alla via dell assicurao e gli eveni dei mercai finanziari, che deerminano i rendimeni di gesione e quindi Φ(0, ), il valore della presazione può essere scomposo per linearià: V (0, Y ) = Y 0 V ( 0, Φ(0, ) ) prob II (A), dove prob II è la probabilià del II ordine, opporunamene fissaa. Il calcolo del valore della presazione si riduce quindi al calcolo del valore del faore di rivaluazione. Poiché si raa di una grandezza che dipende unicamene da grandezze di mercao, è meodologicamene correo valuarla come se fosse il payoff di un conrao puramene finanziario, dimenicando il conrao assicuraivo da cui proviene. Quesa logica di valuazione fornisce quello che va soo il nome di valore mark-o-marke (valore di mercao) o anche riserva socasica o fair value della presazione. Il calcolo del valore di mercao del faore di rivaluazione deve essere effeuao enendo cono delle caraerisiche della gesione separaa. Per la presenza delle opzioni implicie è, sia in eoria che in praica, analogo al calcolo del valore di un conrao derivao complesso. L unico caso in cui il procedimeno di calcolo è semplice è quello degenere di presazione (o premio) non rivaluabile. Se infai la presazione pagabile in è non rivaluabile, si ha Φ(0, ) = 1 e quindi V ( 0, Φ(0, ) ) è il valore mercao di un iolo a cedola nulla uniario con scadenza in, cioè il faore di scono in vigore sul mercao alla daa di valuazioni per la scadenza. Un caso un po meno banale è proposo nell appendice A.2. Se si calcola il valore di mercao di ue le presazioni, si oiene la riserva socasica presazioni V (0, Y ) = >0 V (0, Y ), che nauralmene può essere scomposa nella riserva socasica presazioni via e presazioni more. Allo sesso modo si calcola la riserva socasica premi V (0, X) = >0 V (0, X ), rascurando il premio pagabile alla sipula, considerao già pagao. La riserva socasica si oiene come al solio per differenza. Il confrono con la riserva di bilancio V (0, Y X) = V (0, Y ) V (0, X). 0V + x V (0, Y X) esprime la misura mark-o-marke del valore degli uili della polizza, il valore inrinseco socasico. La riserva di bilancio è infai il valore degli aivi in mano all assicuraore a coperura della polizza, menre la riserva socasica misura il valore effeivo del conrao, immerso nel mercao che ne deermina la rivaluazione. La differenza esprime (in senso algebrico) la misura della sovracoperura di valore ed è il valore al empo zero degli uili (in senso algebrico) che l assicuraore porà saccare dal conrao durane la sua via. Il valore di mercao delle opzioni implicie nella rivaluazione può essere evidenziao uilizzando le scomposizioni del asso di rivaluazione vise nel paragrafo 6.3, che inducono analoghe scomposizioni delfaore di rivaluazione. La scomposizione pu del faore di rivaluazione è Φ(0, ) = Φ base (0, ) + Φ pu (0, ), c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 54

dove Φ base (0, ) è calcolao come Φ(0, ) ma con la successione dei assi di rivaluazione base, menre la componene pu del faore di valuazione è Il valore base della presazione è allora Φ pu (0, ) = Φ(0, ) Φ base (0, ). V base (0, Y ) = Y 0 V ( 0, Φ base (0, ) ) prob II (A) e il valore dell opzione pu che proegge la presazione è V pu (0, Y ) = V (0, Y ) V base (0, Y ) = Y 0 V ( 0, Φ pu (0, ) ) prob II (A). Ripeendo l analisi per ue le presazioni si oiene per somma la scomposizione della riserva socasica presazioni in sua componene base componene pu. Ripeendo per i premi e facendo le differenze si ha la sessa scomposizione a livello della riserva socasica, oenendo il valore neo dell opzione pu che proegge i minimi garanii. In modo analogo si procede con la scomposizione call. Il faore di valuazione risula scomposo in Φ(0, ) = Φ gar (0, ) + Φ call (0, ), dove Φ gar (0, ) è calcolao come Φ(0, ) ma usando ogni anno il livello minimo garanio del asso di rivaluazione ρ gar k = 0 e si oiene Φ gar (0, ) = 1. La componene call della scomposizione è Φ call (0, ) = Φ(0, ) Φ gar (0, ) = Φ(0, ) 1. Anche in queso caso si esende la scomposizione al valore delle presazioni, dei premi e alla riserva, oenendo quindi il valore neo dell opzione call che realizza l evenuale sovrarivaluazione rispeo al minimo garanio. Esempi di calcolo della riserva socasica e del valore inrinseco socasico, messo a confrono con il valore inrinseco RAD, sono proposi nella carella Excel lab7-8.xls, usando i risulaai dell appendice A.2. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 55