DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO SIGNIFICATO GEOMETRICO. EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO NEL PUNTO DI TANGENZA. REGOLE DI DERIVAZIONE. CONTINUITA E DERIVABILITA PUNTI DI NON DERIVABILITA Angela Donatiello
A (,y ) = (c, f(c)) B(,y ) = (c+, f(c+)) m = y y y tg dove è l angolo ce la retta forma con l asse delle ascisse valutato in senso antiorario. RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE y f (c ) f (c) f (c ) f (c) Angela Donatiello
Esso prende il nome di rapporto incrementale, in quanto è il rapporto tra l incremento della variabile dipendente e quello della variabile indipendente. Il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della retta secante la curva nei due punti A e B Esprime il tasso di variazione della funzione relativo all intervallo [c,c+] E un tasso di crescita se è positivo, un tasso di decrescita se negativo Si può interpretare ance come velocità media di variazione della funzione nell intervallo assegnato Se la funzione è una retta esso è costante, altrimenti varia, al variare dell intervallo Esempio. Il tasso di crescita di una popolazione maltusiana è un rapporto incrementale: n m N(t) N(t ) N(t ) Angela Donatiello 3
Esempio. Velocità media di un corpo. La velocità media è rappresentata dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo, indipendentemente dalla legge oraria considerata. v media s t s(t) t s(t t ) E interessante valutare ance la velocità istantanea di un corpo. Esempio. Controllo della velocità: tutor in autostrada e autovelo. Tutor misura la velocità media: v media t t t L autovelo misura la velocità istantanea, ossia una velocità media con l intervallo di tempo t v is tan tan ea t s t s t s(t s(t) t s(t Angela Donatiello ) s(t t ) )
Data una funzione y f (), il ite del rapporto incrementale, y f (c ) f (c) se esiste ed è finito si ciama derivata della funzione nel punto c e si indica con il simbolo f '(c) o df (c) d Esempio. Accelerazione media e accelerazione istantanea. (8..7) Angela Donatiello 5
Significato geometrico di derivata Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta secante la curva nei due punti A e B. Quando però, il punto B di coordinate B (c,f (c )) tende ad avvicinarsi al punto A di coordinate A (c,f (c)). La retta secante, tende quindi a diventare tangente alla curva nel punto A. Di conseguenze, il valore del rapporto incrementale tende e diventare il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva in A. Angela Donatiello 6
Il valore f '(c) y f (c ) f (c) derivata della funzione nel punto c, coincide con il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in c. Equazione della retta tangente Ricordiamo l equazione del fascio proprio di rette di centro un dato punto P y y m( ) y f (c) m( c) m f '(c) y f (c) f '(c)( c) Angela Donatiello 7
Punto stazionario: Data la funzione y f () e un suo punto = c, se f '(c) allora si dice = c è punto stazionario, ovvero un punto a tangente orizzontale. Derivata destra e sinistra f ' f ' (c) f (c ) f (c) derivata sinistra nel punto c (c) f (c ) f (c) derivata destra nel punto c Una funzione si definisce derivabile in un punto c se esistono finite le derivate destra e sinistra e sono uguali. Una funzione si definisce derivabile in un intervallo ciuso [a,b] se è derivabile in tutti i suoi punti interni e se esistono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b. Angela Donatiello 8
Teorema. Se una funzione f () punto è ance continua. Continuità e derivabilità y è derivabile in un punto allora in quel Hp: f ( ) f ( ) finito T: f () f () Dim. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Calcolo il ite per di entrambi i membri, tenendo conto del fatto ce il ite della somma è la somma dei iti, il ite del prodotto è il prodotto dei iti e il ite di una costante è la costante stessa. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Angela Donatiello 9
f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Ricordiamo l ipotesi: finito f ( ) f ( ) f '() f ( ) f ( Allora f '() (*) f ( ) f () f '() f () ) Pongo se Sostituendo nella (*) f () f () cioè la funzione è continua in. Angela Donatiello
Attenzione: Non vale il viceversa!!!! Il teorema non si può invertire!! E cioè possibile trovare funzioni continue in un punto, ma non derivabili in tale punto. Controesempio. La funzione valore assoluto f () Proviamo ce in = è continua, ma non derivabile. ) f () f () f () Pertanto possiamo affermare ce è continua in = Angela Donatiello
) Valutiamo ora la derivata destra e la derivata sinistra: f ' () f ( ) f () f ' () f ( ) f () Pertanto la derivata destra e la derivata sinistra in = esistono finite, ma sono diverse, la funzione non è derivabile in = e si dice ce essa a in = un punto angoloso. Angela Donatiello
Punti di non derivabilità Punti angolosi E' un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra esistono finite,o almeno una delle due è finita, ma sono diverse. In questo caso la curva nel punto a due tangenti con pendenza diversa. f ' (c) f ' (c) Angela Donatiello 3
Cuspidi Un punto di cuspide è un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra sono infinite, ma con segno diverso. Cuspide verso il basso: f ' (c f ' (c ) ) Cuspide verso l alto: f ' (c f ' (c ) ) Angela Donatiello
Flessi a tangente verticale Un punto di flesso a tangente verticale è un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra sono infinite con lo stesso segno. In questo caso la retta tangente alla curva esiste ed è una retta parallela all asse y di equazione = c. f ' (c f ' (c ) ) f ' (c f ' (c ) ) Angela Donatiello 5
Funzione derivata: f '() : f ( ) f () REGOLE DI DERIVAZIONE D[k f ()] k f '() D[f () g()] f '() g'() D[f () g()] f '()g() f ()g'() n n D[f ()] n[f ()] f '() f '() D f () [f ()] f () f '()g() f ()g'() D g() [g()] Angela Donatiello 6
(dim. svolte in aula) Derivate fondamentali D(k) D() (sen) cos D(cos ) D sen D(a ) a ln a D(log a ) loga e D(tg) tg cos D(arcsin ) D(arctg) D(e ) e D(ln ) D( ) D(arccos ) Angela Donatiello 7
Derivata della funzione inversa Teorema. Sia f () sua inversa. Se f () zero, allora ance f (y) è derivabile e vale la relazione: Applicazioni y definita e invertibile in un intervallo I e sia f (y) la y è derivabile in ogni punto di I, con derivata diversa da D[f (y)] f '() D(arcsin ) D(arccos ) D(arctg) Angela Donatiello 8
Derivata della funzione composta Teorema. Se la funzione g è derivabile nel punto e la funzione f è derivabile in z g(), allora la funzione composta y f (g()) è derivabile in e la sua derivata è il prodotto delle derivate di f rispetto a z e di g rispetto a. D[f (g())] df dz f '(z) g'() con z g() dz d Esempio. y z g() df dz Dy dz d 3 ( 3 ) in tal caso 3 3 y f (z) z z 3 z' ( 3 3 3 ) (6 6 ) Esempio. y ln sen( 3 ) y' cos( ) sen( Angela Donatiello 9 )
Angela Donatiello Esempio. 3 arctg y 3 3arctg 3) ( 3 3 3 3 3 arctg y' Esempio. arcsen y ) ( ) ( ) ( y'
Derivate di ordine superiore al primo Data la funzione y f (), la sua derivata y' f '() è una funzione della variabile, della quale a sua volta è possibile calcolare la derivata. Tale derivata prende il nome di derivata seconda y'' f ''(). In modo analogo si definisce la derivata terza, come la derivata della derivata seconda e così via. La derivata di una funzione è ance detta derivata prima. 3 Esempio. y f () 3 y' 3 3 '' 6 y () y y''' 6 Angela Donatiello
Angela Donatiello Derivate di funzioni definite per casi o contenente valori assoluti ln () f Determino il dominio della funzione C.E., D Poi valuto il segno dell argomento del modulo ln ln ln
Angela Donatiello 3 Si deduce ce l argomento è ln ln Posso quindi scrivere la funzione per casi: ln ln ln () f Determino ora la funzione derivata '() f
Attenzione!!!!!! Devo inizialmente escludere gli estremi, in quanto va controllato se in essi la funzione derivata esiste oppure no e pertanto vanno eventualmente esclusi dal dominio di derivabilità. Cosa succede in =? Valutiamo la derivata destra e la derivata sinistra. Se esse risultano diverse o non esistono o sono infinite, allora la funzione iniziale y = f() non risulta derivabile in = e dunque tale punto va escluso dal dominio di derivabilità. f ' () f ' () f ' () f ' () finite Pertanto la funzione in = non è derivabile e presenta un punto angoloso, D ', dominio di derivabilità Si osserva ce D' D Angela Donatiello
Determiniamo le due semirette tangenti in = f () ln P(; ) y m( ) f ' () t : y f ' () t : y Angela Donatiello 5
Esercizi. Determina la funzione derivata delle seguenti funzioni contenente moduli. y 6 y e y ln( ) Determina l equazione della retta tangente alla curva y e nel suo punto di intersezione con l asse y. [y = - + ] a b c y d ; 3 y ed inoltre si a ce f () Determina i coefficienti dell equazione grafico corrispondente passa per il punto tangente la retta sapendo ce il, nell origine a per Angela Donatiello 6
Determina i punti di discontinuità e di non derivabilità delle seguenti funzioni e indicane il tipo. f () e [= punto di discontinuità I specie; = punto angoloso; = p. disc. II specie] f () 3 3 [= cuspide; = flesso a tangente verticale] Angela Donatiello 7
Trova a e b, in modo ce la funzione sia continua e derivabile in tutto R a cos bsen f () [a= -, b = ] f () a bln 3 (a ) [a =, b = - 5/] Angela Donatiello 8