Introduzione al problema

INTRODUZIONE AL PROBLEMA 1 di Simone BIANCO 1 Introduzione al problema Lo scopo della tesi svolta e quello di ricalibrare il colore nelle immagini fotografiche, ovvero: si supponga di avere un immagine fotografica e che i colori di questa differiscano dagli originali, quello che ci si propone di fare e andare a correggerli di modo che l immagine fotografata risulti il piu possibile uguale all originale. Si prenda ad esempio la Figura 1.1, dove l immagine a sinistra e quella originale e quella a destra quella fotografata: Figura 1.1: immagine originale e fotografata da un confronto delle due figure si puo vedere immediatamente che i colori sono alquanto differenti. La correzione dei colori nelle immagini fotografate viene effettuata grazie alla seguente idea: si e pensato di correggere queste immagini con l ausilio di una tavola di test di colori (ognuno dei quali rappresentato da una terna

INTRODUZIONE AL PROBLEMA di Simone BIANCO di numeri, ovvero dalle proprie componenti rispetto alla base nello spazio dei colori costituita da rosso, verde e blu (R, G, B)) procedendo al seguente modo: al momento della cattura dell immagine, oltre ad effettuare una fotografia all immagine stessa, se ne effettua un altra alla tavola dei colori di test scelta per la correzione nelle stesse identiche condizioni ambientali. Figura 1. un esempio di tavola di test da 7 colori: Si riporta in Figura 1.: tavola di test da 7 colori Sia ora C(R, G, B) la matrice contenente i coefficienti dei colori originali della tavola di test rispetto alla base (R,G,B) e sia C (R, G, B) quella contenente i coefficienti dei colori fotografati. Quello che si vuole andare a fare è costruire una funzione I che mappi i colori originali in quelli fotografati (I : C(R, G, B) C (R, G, B)), invertirla e applicare I 1 ad ogni colore dell immagine fotografata in modo da poter risalire al colore originale. Da quanto appena esposto è chiaro cosa bisogna implementare nel programma: un buon metodo interpolatorio e un metodo di inversione della fun-

INTRODUZIONE AL PROBLEMA 3 di Simone BIANCO zione I. Per quanto riguarda il metodo interpolatorio si è utilizzato il metodo di interpolazione lineare di Lagrange; certamente utilizzando il metodo totale i risultati ottenuti sarebbero stati migliori, ma lavorando con set di 15 nodi i tempi di calcolo sarebbero stati troppo lunghi. Pertanto si è dovuto sviluppare una modalità per andare a cercare all interno della tavola di test dei colori i valori migliori per ogni componente tra cui effettuare la suddetta interpolazione lineare. Si riportano nel seguente paragrafo alcuni esempi di interpolazione lineare e totale nel caso mono, bi e tri dimensionale; per quanto riguarda invece la ricerca di zeri di sistemi di equazioni non lineari si rimanda al paragrafo 3.

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 4 Esempi di interpolazione di Lagrange.1 Interpolazione lineare tra due punti (caso monodimensionale) Siano x i i punti da interpolare e siano y i = f(x i ) i rispettivi valori delle y: x 0 = 1 f(x 0 ) = y 0 = x 1 = f(x 1 ) = y 1 = 3 si calcolano i polinomi fondamentali di Lagrange: l j (x) = n (x x i ) i=0,i j n i=0,i j (x j x i ) (.1.1) l 0 (x) = x 1 = x (si noti che l 0 (x) vale 1 per x = x 0 e 0 per x = x 1 ) l 1 (x) = x 1 1 = x + 1 (in questo caso l 1 (x) vale 0 per x = x 0 e 1 x = x 1 ). Si calcola il polinomio interpolatore: P n (x) = n y j l j (x) (.1.) j=0 1 P 1 (x) = y j l j (x) = ( x) + 3(x 1) = x + 1 j=0 Andando a rappresentare i nodi e il polinomio interpolatore su un grafico si ottiene la Figura.1.1 (dove i nodi sono rappresentati dai pallini rossi)

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 5 Figura.1.1: interpolazione monodimensionale di Lagrange su due punti. Interpolazione monodimensionale su tre punti In questo caso sono possibili due tipi di interpolazioni: si può fare un interpolazione totale su tutti e tre i punti oppure un interpolazione lineare tra i punti x 0 e x 1 e poi tra i punti x 1 e x ; siano dati i seguenti nodi e i valori su essi assunti dalla funzione f: x 0 = 1 f(x 0 ) = y 0 = x 1 = f(x 1 ) = y 1 = 3 x = 3 f(x ) = y = 1 si inizia con la prima possibilità esposta: innanzitutto si calcono i polinomi fondamentali di Lagrange con la formula.1.1: l 0 (x) = (x )(x 3) (si noti che l 0 (x) vale 1 per x = x 0 e 0 per x = x 1 e x = x ) l 1 (x) = (x 1)(x 3)

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 6 (l 1 (x) vale 1 per x = x 1 e 0 per x = x 0 e x = x ) l (x) = (x 1)(x ) (l (x) vale 1 per x = x e 0 per x = x 0 e x = x 1 ).1.: Ora si può procedere e calcolare il polinomio interpolatore con la formula P (x) = j=0 y j l j (x) = 3x + 11x 4 Andando a rappresentare i nodi e il polinomio interpolatore su un grafico si ottiene la Figura..1 (dove i nodi sono rappresentati dai pallini rossi): Figura..1: interpolazione monodimensionale (totale) di Lagrange su tre punti Si passi ora alla seconda modalità esposta, ovviamente si ottengono due polinomi interpolatori lineari diversi per gli intervalli I 1 = [x 0, x 1 ] e I = [x 1, x ] che sono rispettivamente: P 1 (I 1 ) = x + 1

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 7 e P 1 (I ) = 7 x Andando a rappresentare i nodi e il polinomio interpolatore su un grafico si ottiene la Figura.. (dove i nodi sono rappresentati dai pallini rossi): Figura..1: interpolazione monodimensionale (lineare) di Lagrange su tre punti.3 Interpolazione lineare bidimensionale su punti Ora in nodi non sono più punti in R ma punti in R : f(x 0, y 0 ) = f(0, 0) = 1 f(x 0, y 1 ) = f(0, 1) = f(x 1, y 0 ) = f(1, 0) = 1 f(x 1, y 1 ) = f(1, 1) = Si procede col calcolare i polinomi fondamentali di Lagrange associati ai nodi x i come negli esempi precedenti con la formula.1.1: l 0 (x) = x l 1 (x) = x 1

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 8 successivamente si passa a calcolare quelli associati ai nodi y i con la seguente formula: lj (y) = e cioè n (y y i ) i=0,i j n i=0,i j (y j y i ) (.3.1) l0 (y) = 3 y l1 (y) = y 1 A questo punto si calcolano i polinomi l i,j (x, y) = l i (x) l j (y): l 0,0 (x, y) = ( x)(3 y) ; l 0,1 (x, y) = ( x)(y 1) cioè l 1,0 (x, y) = (x 1)(3 y) ; l 1,1 (x, y) = (x 1)(y 1) Infine si calcola il polinomio interpolatore richiesto con la formula seguente: n m P n,m (x, y) = f(x i, y j )l i,j (x, y) (.3.) i=0 j=0 P 1,1 (x, y) = f(x 0, y 0 )l 0,0 + f(x 0, y 1 )l 0,1 + f(x 1, y 0 )l 1,0 + f(x 1, y 1 )l 1,1 ovvero nel caso in esame P 1,1 (x, y) = 1 + y Andando a rappresentare i nodi e il polinomio interpolatore su un grafico si ottiene la Figura.3.1 (dove i nodi sono rappresentati dai pallini rossi):.

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 9 Figura.3.1: interpolazione bidimensionale di Lagrange su punti Supponiamo invece che i nodi fossero stati i seguenti: f(x 0, y 0 ) = f(0, 0) = 1 f(x 0, y 1 ) = f(0, 1) = 3 f(x 1, y 0 ) = f(1, 0) = 1 f(x 1, y 1 ) = f(1, 1) = come polinomio interpolatore si sarebbe ottenuto il seguente: P 1,1 (x, y) = 3y + x xy 1. Andando a rappresentare i nuovi nodi con il nuovo polinomio interpolatore si ottiene la Figura.3.:

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 10 Figura.3.: interpolazione bidimensionale di Lagrange su punti.4 interpolazione bidimesionale su 3 punti Siano assegnati i seguenti nodi con rispettivi valori assunti dalla funzione f sugli stessi: f(x 0, y 0 ) = f(0, 0) = 1 f(x 1, y 0 ) = f(1, 0) = f(x, y 0 ) = f(, 0) = f(x 0, y 1 ) = f(0, 1) = 0 f(x 1, y 1 ) = f(1, 1) = 1 f(x, y 1 ) = f(, 1) = 1 f(x 0, y ) = f(0, ) = 1 f(x 1, y ) = f(1, ) = f(x, y ) = f(, ) = 0 Come nel caso del paragrafo 1. si può procedere in due modi distinti: si può effettuare facendo un interpolazione totale su tutti i nodi oppure un interpolazione lineare su ogni regione del tipo [x i, x i+1 ] [y i, y i+1 ]; si proceda con il primo metodo esposto; usando le formule.1.1 e.3.1 per calcolare i polinomi fondamentali di Lagrange si ottengono: e l 0 (x) = l0 (y) = (x 1)(x ) ; l 1 (x) = x( x); l (x) = (y 1)(y ) ; l1 (y) = y( y); l (y) = x(x 1) y(y 1).

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 11 Da questi si ottengono i seguenti l i,j (x, y) = l i (x) l j (y): l 0,0 (x, y) l,0 (x, y) l 1,1 (x, y) l 0, (x, y) l, (x, y) = (x 1)(x )(y 1)(y ) ; l 1,0 (x, y) = x( x)(y 1)(y ) ; ; ; ; = x(x 1)(y 1)(y ) 4 ; l 0,1 (x, y) = (x 1)(x )y( y) = x( x)y( y) 1 ; l,1 (x, y) = x(x 1)y( y) = (x 1)(x )y(y 1) 4 ; l 1, (x, y) = x( x)y( y) = x(x 1)y(y 1). 4 Calcolando il polinomio interpolatore con la formula.3. si ottiene così: P, (x, y) = 1 4 ( 3x y + 5x y + 5xy 4x + y 11xy + 1x y) Andando a rappresentare i nodi e il polinomio interpolatore su un grafico si ottiene la Figura.4.1 (dove i nodi sono rappresentati dai pallini rossi): Figura.4.1: interpolazione bidimensionale (totale) di Lagrange su 3 punti Per il secondo metodo esposto non si riportano i conti ma solamente il risultato finale nella Figura 1.4.:

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 1 Figura.4.: interpolazione bidimensionale (lineare) di Lagrange su 3 punti.5 Iterpolazione lineare tridimensionale su 3 punti Sia dato il seguente set di dati: f(x 0, y 0, z 0 ) = f(0, 0, 0) = 0; f(x 0, y 0, z 1 ) = f(0, 0, 1) = 0; f(x 0, y 1, z 0 ) = f(0, 1, 0) = ; f(x 0, y 1, z 1 ) = f(0, 1, 1) = 3; f(x 1, y 0, z 0 ) = f(1, 0, 0) = 1; f(x 1, y 0, z 1 ) = f(1, 0, 1) = 1; f(x 1, y 1, z 0 ) = f(1, 1, 0) = 0; f(x 1, y 1, z 1 ) = f(1, 1, 1) =. Si calcolino ora i polinomi fondamentali di Lagrange associati ai nodi x i con la formula.1.1: l 0 (x) = 1 x; quelli associati ai nodi y j con la formula.3.1: l 1 (x) = x l0 (y) = 1 y; l1 (y) = y

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 13 e quelli associati ai nodi z k con la seguente formula: n (z z i ) lj (z) = ovvero: i=0,i j n i=0,i j (z j z i ) l0 (z) = 1 z; l1 (z) = z. (.5.1) Si procede col calcolare tutti i prodotti seguenti: l i,j,k (x, y, z) = l i (x) l j (y) l k (z) (.5.) Infine si calcola il polinomio interpolatore con la seguente formula: n m r P n,m,r (x, y, z) = f(x i, y j, z k )l i,j,k (x, y, z) = i=0 j=0 k=0 i=0 j=0 k=0 n m r = f(x i, y j, z k )l i (x) l j (y) l k (z) (.5.3) che nel caso in esame risulta P 1,1,1 (x, y, z) = xyz 3xy + 3yz + x + y. Facendo disegnare il precedente polinomio su un grafico facendo colorare ogni punto del cubo (i cui vertici sono i nodi da interpolare) con colori diversi in base al valore assunto dalla funzione nel determinato punto si ottengono le Figura.5.1 e.5. (dove a colori freddi corrispondono valori minori della funzione e a colori caldi valori maggiori):

ESEMPI DI INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE 14 Figura.5.1: interpolazione tridimensionale (lineare) di Lagrange su 3 punti (sulla superficie del cubo) Figura.5.: interpolazione tridimensionale (lineare) di Lagrange su 3 punti (all interno del cubo)

3 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI 15 3 Risoluzione di equazioni non lineari Il problema che ci si accinge ad affrontare è la ricerca di soluzioni di equazioni (e di sistemi di equazioni) non lineari f(x) = 0. Purtroppo la non linearità della f(x) introduce particolari difficoltà, soprattutto in relazione al problema della convergenza dei metodi di risoluzione, che sono necessariamente di tipo iterativo. Si inizierà la trattazione del problema per una singola equazione non lineare; si procederà poi col generalizzare gli stessi metodi per sistemi di equazioni non lineari. Partendo dall approssimazione iniziale x 0 di una radice dell equazione non lineare f(x) = 0, graficamente si può pensare di generare i valori successivi x 1, x,..., x n nel modo seguente: Figura 3.1: generazione di una successione {x n} convergente a ξ. Ossia, si conduce dal punto iniziale (x 0, y 0 ), y 0 = f(x 0 ), sulla curva y = f(x)

3 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI 16 una retta con pendenza k 0, e si prende come nuova (e migliore) approssimazione x 1 l intersezione di questa retta con l asse x. Si riparte poi dal nuovo punto (x 1, y 1 ), y 1 = f(x 1 ), con una seconda retta con pendenza k 1, e si determina l intersezione x di quest ultima con l asse x, e così via. In altri termini, ad ogni passo si linearizza localmente il problema iniziale f(x) = 0, e come nuova approssimazione della radice ξ prendiamo la radice dell equazione lineare cioè y n + k n (x x n ) = 0 n = 0, 1,,... x n+1 = x n f(x n) k n n = 0, 1,,... (3.1) Le direzioni k 0, k 1, k,... possono essere scelte in vari modi. Ci si limiterà solamente alla trattazione del metodo di Newton-Raphson (o delle tangenti) in quanto è quello utilizzato nella risoluzione dei sistemi non lineari di questo elaborato. 3.1 Metodo delle tangenti o di Newton-Raphson In questo metodo la scelta delle direzioni k n è data da k n = f (x n ). Ovviamente è indispensabile l esistenza di f (x n ) per ogni n. Il processo iterativo diviene pertanto: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) (3.1.1) La generalizzazione di questo metodo a sistemi di equazioni non lineari è abbastanza semplice. A tale fine si consideri un approssimazione x (i) = (x (i) 1, x (i),..., x (i) n ) T della radice ξ = (ξ 1, ξ,..., ξ n ) T. Si supponga che ogni

3 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI 17 singola funzione f j del sistema f 1 (x 1, x,..., x n ) = 0 f (x 1, x,..., x n ) = 0... f n (x 1, x,..., x n ) = 0 sia derivabile due volte, con derivate (parziali) seconde continue, in un intorno di ξ contenente x (i), in modo che risultino validi i seguenti sviluppi in serie di Taylor: f 1 (x (i) ) + (ξ 1 x (i) f (x (i) ) + (ξ 1 x (i) 1 ) 1 )... f n (x (i) ) + (ξ 1 x (i) 1 ) ( f 1 ( ) f x 1 x 1 ) ( ) f n x 1 1 ) x=x (i) + + (ξ 1 x (i) x=x (i) + + (ξ 1 x (i) 1 ) x=x (i) + + (ξ 1 x (i) 1 ) ( f 1 ( f x 1 )x=x x 1 )x=x (i) + term. ord. = 0 (i) + term. ord. = 0 ( f n x 1 + term. ord. = 0 )x=x(i) Trascurando i termini di ordine si ottiene un sistema lineare la cui soluzione, se unica, non sarà ξ = (ξ 1, ξ,..., ξ n ) T bensì x (i+1) = (x (i+1) 1, x (i+1),..., x (i+1) n ) T : La matrice J (i) h (i) = f(x (i) ) x (i+1) = x (i) + h (i) per i = 0, 1,,... ( ) ( f 1 f 1 x 1 x=x (i) ( f 1 x... ( ) ( )x=x (i) J (i) = J(x (i) f f ) = x 1 x=x (i) x... )x=x (i). (.. )......... f n f n x 1 x... )x=x (i) è lo Jacobiano del sistema. x=x (i) ( ( f x n )x=x (i) x n )x=x (i) ( f n x n )x=x (i) (3.1.) Il processo iterativo della formula 3.1. definisce il metodo di Newton in n variabili. Nota un approssimazione iniziale x (0) sufficientemente buona, il processo iterativo sopra definito determina una successione di approssimazioni {x (i) } convergente alla radice incognita ξ. Come nel caso monodimensionale

3 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI 18 l ordine di convergenza è ancora p =, dove per ordine di convergenza si definisce il seguente: ξ x (i+1) lim n + ξ x (i) p Tuttavia, il problema della convergenza (connesso con la possibilità di avere o determinare un approssimazione iniziale x (0) sufficientemente buona) nel caso di un sistema è molto più delicato. Si osserva inoltre che quando lo Jacobiano pur non essendo singolare, risulta quasi singolare, il sistema di iterazioni si rivela mal condizionato. Riassumendo, col metodo di Newton ad ogni iterazione si deve: 1. valutare J (i) e f(x (i) );. risolvere il sistema J (i) h (i) = f(x (i) ); 3. porre x (i+1) = x (i) + h (i). = c Il processo iterativo diviene pertanto, nel caso di n variabili: x (i+1) = x (i) f(x(i) ) J (i) (3.1.3) molto simile al caso unidimensionale, dove al posto dello Jacobiano compare la derivata. I punti 1 e risultano però estremamente dispendiosi, tranne in quei casi in cui lo Jacobiano è sparso (cioè quando ogni funzione f ij dipende da poche variabili). Un altro inconveniente di questo metodo è la necessità di conoscere o poter valutare le n derivate parziali presenti in J (i). Al fine di ridurre il costo di ogni iterazione del metodo di Newton, sono state proposte diverse alternative, tutte volte alla ricerca di approssimazioni efficienti B (i) dello Jacobiano J (i). Si è notato che la matrice risolvente del problema della taratura dei colori in immagini fotografiche presenta una forma fortemente diagonale; si è pertanto

3 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI 19 pensato che fosse molto conveniente (sia in termini di costi che di risultati ottenuti) procedere con la generalizzazione a n dimensioni del metodo iterativo ad una dimensione conosciuto come metodo a farfalla. 3. Il metodo iterativo a farfalla Si supponga di riscrivere l equazione in esame f(x) = 0 nella forma x = g(x) con g(x) derivabile in un intorno I della radice incognita ξ, e tale che ξ = g(ξ) se e solo se f(ξ) = 0. Nota un approssimazione iniziale x 0 della radice ξ si utilizza il procedimento iterativo x n+1 = g(x n ), n = 0, 1,,... (3..1) per costruire la successione {x n }. Se questa converge ad un punto α, allora ξ α, cioè f(α) = 0. Si esamini in Figura 3..1 il significato geometrico della precedente formula iterativa: y=g(x) Figura 3..1: metodo a farfalla

3 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI 0 L equazione f(x) = 0 può sempre essere riscritta nella forma x = g(x); anzi, ciò può essere fatto in un numero infinito di modi. Come si può osservare nella Figura 3..1 la funzione g(x), e in particolare il valore di g (x), svolge un ruolo fondamentale; quest ultimo è infatti il diretto responsabile della convergenza o meno della successione {x n }. Infatti la successione {x n } risulta certamente convergente quando, detto m il valore che soddisfa la seguente disuguaglianza: g (ξ) m, i = 0, 1,,... dove ξ è un punto (non noto) dell intervallo con estremi ξ e x i, si viene a verificare che m < 1, cioè quando la funzione g(x) scelta ha g (ξ) m < 1 in tutto un intervallo I contenente l approssimazione iniziale x 0 e tale che g(x) I per ogni x I. In tale sistuazione ξ è l unica radice dell equazione f(x) = 0 presente nel suddetto intervallo. Quando invece in tutto un intorno di ξ risulta g (x) > 1 la successione non può convergere. Il metodo descritto viene denominato a farfalla in quanto la convergenza è assicurata se e solo se la funzione g(x) è compresa nella porzione di spazio per cui vale g (x) < 1, che ha la forma che ricorda le ali di una farfalla (Figura 3..):

3 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NON LINEARI 1 g (x)=1 y=g(x) g (x)=-1 Figura 3..: zona di convergenza del metodo a farfalla per la funzione g(x) L espressione più generale per il metodo iterativo a farfalla è la seguente, facilmente riutilizzabile anche nel caso n-dimensionale: x i+1 = x i + f(x i ) y i. (3..) È però da sottolineare il fatto che nella correzione dei colori nelle immagini fotografiche avvengono degli errori, la maggior parte dei quali causati dalla non convergenza del metodo iterativo appena esposto. Si esaminerà più in dettaglio la situazione nel momento in cui si vedranno i risultati ottenuti con il programma implementato.